2第2讲　充分条件与必要条件、全称量词与存在量词_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023新高考一轮复习讲义+课件_2023年高考数学一轮复习讲义（新高考）_赠补充习题库

第2讲 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 最新考纲 考向预测 含有一个量词的命题的否定和充 命 分必要条件的判定是高考的重 题 点，一般多与集合、函数、不等 1.理解必要条件、充分条件与充要条件 趋 式、立体几何结合，考查考生的推 的意义． 势 理能力，考查形式以基础题为主， 2．理解全称量词与存在量词的意义，能 低档难度. 正确地对含有一个量词的命题进行否 核 定. 心 逻辑推理、数学抽象 素 养 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒p p是q的必要不充分条件 p⇒q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇒q且q⇒p [注意] 不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命 题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题． 2．全称命题和特称命题 (1)全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 所有、一切、任意、全部、每 全称量词 ∀ 一个等 存在一个、至少有一个、有 存在量词 ∃ 些、某些等 (2)全称命题和特称命题 名称 全称命题 特称命题形式 对M中任意一个x， 存在M中的一个x ， 0 结构 有p(x)成立 使p(x )成立 0 简记 ∀ x ∈ M ，p(x) ∃ x ∈ M ，p(x ) 0 0 否定 ∃ x ∈ M ，﹁p(x ) ∀ x ∈ M ，﹁p(x) 0 0 常用结论 1．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B， (1)p是q的充分不必要条件⇔AB； (2)p是q的必要不充分条件⇔AB； (3)p是q的充要条件⇔A＝B. 2．全称命题与特称命题的否定 (1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上 量词，再对量词进行改写． (2)否定结论：对原命题的结论进行否定． 常见误区 1．命题的条件与结论不明确致误； 2．含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提而致误； 3．对充分必要条件判断不明致误． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( ) (2)q不是p的必要条件时，“p⇒q”成立．( ) (3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( ) (4)∃x ∈M，p(x )与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反．( ) 0 0 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2．(多选)下列命题的否定是全称命题且为真命题的有( ) A．∃x∈R，x2－x＋<0 B．所有的正方形都是矩形 C．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0 D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0 解析：选AC.由条件可知：原命题为存在性命题且为假命题，所以排除BD；又因为x2－x＋＝≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以AC均为存在性命题且为假命 题，故选AC. 3．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必 要不充分条件． 4 ． ( 易 错 题 ) 命 题 “ 全 等 三 角 形 的 面 积 一 定 都 相 等 ” 的 否 定 是 __________________________． 答案：存在两个全等三角形的面积不相等 5．已知p：x＝2，q：x－2＝，则p是q的________条件． 解析：当x－2＝时，两边平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x ＝ 1 2，x ＝1.当x＝1时，－1＝，不成立，故舍去，则x＝2.所以p是q的充要条件． 2 答案：充要 全称命题与特称命题 [题组练透] 1．下列命题中的假命题是( ) A．∀x∈R，ex＞0 B．∀x∈N，x2＞0 C．∃x ∈R，ln x ＜1 D．∃x ∈N*，sin x ＝1 0 0 0 0 解析：选B.对于B.当x＝0时，x2＝0，因此B中命题是假命题． 2．(2021·沈阳市教学质量监测(一))命题p：∀x∈(0，＋∞)，x≠x，则﹁p为( ) A．∃x ∈(0，＋∞)，x ＝x 0 0 0 B．∀x∈(0，＋∞)，x＝x C．∃x ∈(－∞，0)，x ＝x 0 0 0 D．∀x∈(－∞，0)，x＝x 解析：选A.由全称命题的否定为特称命题知，﹁p为∃x ∈(0，＋∞)，x ＝x ，故 0 0 0选A. 3．(多选)(2021·海南海口第四中学期中)下列关于二次函数y＝(x－2)2－1的说 法正确的是( ) A．∀x∈R，y＝(x－2)2－1≥1 B．∀a>－1，∃x ∈R，y＝(x －2)2－1 －1，∃x ∈R，y＝(x －2)2－10”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(2020·高考浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共 面”是“l，m，n两两相交”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 (1)解不等式|x－2|<1，即－10即(x－1)(x＋3)>0，得x<－3或x>1. 记P＝{x|11}． 显然PQ，所以“|x－2|<1”是“x2＋2x－3>0”的充分不必要条件．故选A. (2)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公 共点，所以不能推出m，n，l两两相交．由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点， 可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B， C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内，故选B. 【答案】 (1)A (2)B 充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，适用于命 题中涉及字母的范围的推断问题． 1．(2020·高考天津卷)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a” 的充分不必要条件，故选A.2．(2021·开封市第一次模拟考试)若a，b是非零向量，则“a·b>0”是“a与b 的夹角为锐角”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.因为a，b为非零向量，a·b>0，所以由向量数量积的定义知，a与b 的夹角为锐角或a与b方向相同；反之，若a与b的夹角为锐角，由向量数量积的 定义知，a·b>0成立．故“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件． 故选B. 充分条件、必要条件的探求及应用 已知条件p：集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，条件q：非空集合S＝{x|1－ m≤x≤1＋m}．若p是q的必要条件，求m的取值范围． 【解】 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， 所以P＝{x|－2≤x≤10}， 由p是q的必要条件，知S⊆P. 则所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时，p是q的必要条件， 即所求m的取值范围是[0，3]． 【引申探究】 1．(变问法)本例条件不变，若x∈P的必要条件是x∈S，求m的取值范围． 解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，若x∈P的必要条件是 x∈S，即x∈S是 x∈P的必要条件，所以P⊆S，所以可以得到解得m≥9.故m的取值范围是[9，＋ ∞)． 2．(变问法)本例条件不变，是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？ 解：不存在实数 m，使 x∈P 是 x∈S 的充要条件．由例题知 P＝{x|－ 2≤x≤10}．若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，所以所以故满足题意的m不存 在． 利用充要条件求参数的关注点 (1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关 系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍． 1．命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A．a≥9 B．a≤9 C．a≥10 D．a≤10 解析：选C.命题∀x∈[1，3]，x2－a≤0⇔∀x∈[1，3]，x2≤a⇔9≤a.则“a≥10” 是命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C. 2．(2021·武汉质检)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根 的充要条件是________． 解析：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是 即ac<0. 答案：ac<0 核心素养系列2 逻辑推理——突破双变量“存在性或任意性”问题 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过 程．包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从 一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎． 已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x，g(x)＝x－，若对任意x ∈[－1， 1 1]，总存在x ∈[0，2]，使得f′(x )＋2ax ＝g(x )成立，求实数a的取值范围． 2 1 1 2 【解】 由题意知，g(x)在[0，2]上的值域为. 令h(x)＝f′(x)＋2ax＝3x2＋2x－a(a＋2)， 则h′(x)＝6x＋2，由h′(x)＝0得x＝－. 当x∈时，h′(x)<0；当x∈时，h′(x)>0，所以[h(x)] ＝h＝－a2－2a－. min 又由题意可知，h(x)的值域是的子集，所以 解得实数a的取值范围是[－2，0]． (1)理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键．此类问题求解的策略 是“等价转化”，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”，从而利用包含关系构 建关于a的不等式组，求得参数的取值范围． (2)解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词 的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质． 1．已知函数 f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log x＋m，对任意的 x ，x ∈[1，4]有 2 1 2 f(x )>g(x )恒成立，则实数m的取值范围是________． 1 2 解析：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x∈[1，4]时，f(x) ＝f(1)＝2，g(x) ＝ min max g(4)＝2＋m，则f(x) >g(x) ，即2>2＋m，解得m<0，故实数m的取值范围是(－∞， min max 0)． 答案：(－∞，0) 2．已知函数f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝－m，若对∀x ∈[0，3]，∃x ∈[1，2]，使得 1 2 f(x )≥g(x )，则实数m的取值范围是________． 1 2 解析：当x∈[0，3]时，f(x) ＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x) ＝g(2)＝－m.由 min min f(x) ≥g(x) ，得0≥－m.所以m≥. min min 答案： [A级 基础练] 1．(2021·全国统一考试)设命题p：所有正方形都是平行四边形，则綈p为( ) A．所有正方形都不是平行四边形 B．有的平行四边形不是正方形 C．有的正方形不是平行四边形 D．不是正方形的四边形不是平行四边形 解析：选C.全称量词命题的否定为特称量词命题，即“有的正方形不是平行 四边形”． 2．(2021·开封市模拟考试)已知命题p：∃n∈N，n2>2n，则﹁p为( ) A．∀n∈N，n2>2n B．∃x∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n 解析：选C.因为特称命题的否定是把存在量词改为全称量词，同时否定结论， 所以﹁p：∀n∈N，n2≤2n，故选C. 3．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C” 是 “A∩B＝∅”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.由A⊆C，B⊆∁U C，易知A∩B＝∅，但A∩B＝∅时未必有A⊆C， B⊆∁U C，如图所示，所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的 充分不必要条件． 4．已知f(x)＝sin x－x，命题p：∃x∈，f(x)<0，则( ) A．p是假命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0 B．p是假命题，﹁p：∃x∈，f(x)≥0 C．p是真命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0 D．p是真命题，﹁p：∃x∈，f(x)≥0 解析：选C.由已知得，f′(x)＝cos x－1<0，所以f(x)在上是减函数，因为f(0)＝ 0，所以f(x)<0，所以命题p：∃x∈，f(x)<0是真命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0，故选C. 5．(2021·西安五校联考)“ln(x＋1)<0”是“x2＋2x<0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.由ln(x＋1)<0得00，≥a”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.当x>0时，＝x＋，由均值不等式可得x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即 x＝1时等号成立． 所以≥a的充要条件为a≤2.(实质就是条件的等价转化) 显然“a<1”是“a≤2”的充分不必要条件，所以“a<1”是“∀x>0，≥a”的充分不必要条件．故选A. 7．(多选)已知a，b，c是实数，则下列结论中正确的是( ) A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件 B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件 C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件 D．“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件 解析：选CD.对于A，当a＝－5，b＝1时，满足a2>b2，但是ab，但是a2bc2得c≠0，则有a>b成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a＝－5，b ＝1时，|a|>|b|成立，但是ab， 但是|a|<|b|，所以必要性也不成立，故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件． 故选CD. 8．(多选)下列说法正确的是( ) A．“x＝”是“tan x＝1”的充分不必要条件 B．定义在[a，b]上的偶函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最大值为30 C．命题“∃x ∈R，x ＋≥2”的否定是“∀x∈R，x＋>2” 0 0 D．函数y＝sin x＋cos x－无零点 解析：选AB.由x＝，得tan x＝1，但有tan x＝1推不出x＝，所以“x＝”是 “tan x＝1”的充分不必要条件，所以A是正确的；若定义在[a，b]上的函数f(x)＝ x2＋(a＋5)x＋b是偶函数，则得则f(x)＝x2＋5，在[－5，5]上的最大值为30，所以B 是正确的；命题“∃x ∈R，x ＋≥2”的否定是“∀x∈R，x＋<2”，所以C是错误 0 0 的；当x＝时，y＝sin x＋cos x－＝0，故D是错误的． 9．若命题 p 的否定是“∀x∈(0，＋∞)，>x＋1”，则命题 p 可写为 ____________________． 解析：因为p是﹁p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否 定即可． 答案：∃x ∈(0，＋∞)，≤x ＋1 0 0 10．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件． 解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z. 因为0a，条件q：x≥2. (1)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围． 解：设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥2}， (1)因为p是q的充分不必要条件， 所以AB，所以a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)． (2)因为p是q的必要不充分条件， 所以BA，所以a<2.所以a的取值范围是(－∞，2)． 12．已知集合A＝{x|a－20)；q：x<或x>1，若p是q的充分不必要条件，求实数m的 ⊂ ⊂ 取值范围． 解：因为p是q的充分不必要条件，又m>0，所以≤，所以00⇔或则a，b都不为0. 答案：(1)①②③ (2)④ (3)① 16．一学校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同 学出题如下：若“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围．王小 二略加思索，反手给了王小一一道题：若“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题，求 实数m的取值范围．你认为，两位同学题中实数m的取值范围是否一致？并说明 理由． 解：两位同学题中实数m的取值范围是一致的． 因为“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”，而 “∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命 题． 所以两位同学题中实数m的取值范围是一致的．