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大庆中学 2024--2025 学年度上学期期中考试
高三年级数学试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分）
的
1. 若复数z满足 （i为虚数单位），则z 模 （ ）
A. B. 1 C. D. 5
2. 已知命题 ，命题 ，则（ ）
A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题
C. p和 都是真命题 D. 和 都是真命题
3. 已知 ．若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 心率是指正常人安静状态下每分钟心跳的次数，也叫安静心率，一般为 60～100 次/分.某生统计了自己
的八组心率，如下为：80，76， ，80，83，81，85， 平均数为80分且 ， 是两个相邻的自然数，则
这组数据的第75分位数是多少（ ）
A. 79 B. 80 C. 81 D. 82
5. 已知圆 ： 和 ： ，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动
圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（ ）
A. B.C. D.
6. 已知函数 ，若函数图象上关于原点对称的点恰有3对，则实数
的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时．如图，沙漏可视为上下
两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为 6，沙子体
积占该沙漏容积的 ，则沙子堆积成的圆台的高（ ）
A. 1 B. C. D.
8. 设函数 在区间 上存在零点，则 的最小值为（ ）
A. 0 B. e C. D. 1
二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分）9. 已知函数 ， ，以下四种变换方式能得到函数 的图象的是
（ ）
A. 将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，再将所得图象向左平移 个单位长度
B. 将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，再将所得图象向左平移 个单位长度
C. 将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的
D. 将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的
10. 已知抛物线C： ，圆 ．若C与 交于M，N两点，圆 与
x轴的负半轴交于点P，则（ ）
A. 若 为直角三角形，则圆 的面积为
B.
C. 直线PM与抛物线C相切
D. 直线PN与抛物线C有两个交点
11. 已知函数 ，则（ ）
A. 在 单调递减，则 B. 若 ，则函数 存在2个极值点
C. 若 ，则 有三个零点 D. 若 在 恒成立，则
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分）
12. 记 为等差数列 的前n项和，若 ， ，则 ______．13. 已知角 ， 为锐角， ， ，则 的值为______．
14. 已知 为 中不同数字的种类，如
与 视为不同的排列，则 的不同排列有
______个（用数字作答）；所有的排列所得 的平均值为______.
四、解答题（本题共5个大题，共77分）
15. 已知 为锐角三角形，角 的对边分别为 ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的取值范围.
16. 已知函数 ．
（1）求函数 的极值；
的
（2）求函数 在区间 上 最小值 ．
17. 在梯形 中， ， ， ， 为 的中点，线段 与
交于 点（如图1）.将△ 沿 折起到△ 位置，使得 （如图2）.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
18. 甲、乙、丙参加某竞技比赛，甲轮流与乙和丙共竞技 场，每场比赛均能分出胜负，各场比赛互不影
响.
（1）假设乙的技术比丙高，如果甲轮流与乙和丙竞技3场，甲只要连胜两局即可获胜，甲认为：先选择与
实力弱的丙比赛有优势，判断甲猜测的正确性；
（2）假设乙与丙的技术相当，且甲与乙，甲与丙竞技甲获胜的概率都是 ，设 为甲未
获得连续3次胜利的概率.
①求 ， ；
②证明： .
19. 已知双曲线 的实轴长为4，渐近线方程为 .
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）双曲线的左､右顶点分别为 ，过点 作与 轴不重合的直线 与 交于 两点，直线
与 交于点S，直线 与 交于点 .
（i）设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，若 ，求 的值；
（ii）求 的面积的取值范围.大庆中学 2024--2025 学年度上学期期中考试
高三年级数学试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分）
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】A
二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分）
【9题答案】
【答案】BC
【10题答案】
【答案】ABC
【11题答案】
【答案】BCD
第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分）
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】 ①. 256 ②.
四、解答题（本题共5个大题，共77分）
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）极小值为 ，无极大值
（2）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【18题答案】
【答案】（1）甲猜测错误.
（2）① ， ；②证明见解析
【19题答案】【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）
