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训练 1 集合与常用逻辑用语
一、单项选择题
1．(2023·百师联盟联考)命题“∀x>0，cos x>－x2＋1”的否定是( )
A．∀x>0，cos x≤－x2＋1
B．∀x≤0，cos x>－x2＋1
C．∃x>0，cos x≤－x2＋1
D．∃x≤0，cos x≤－x2＋1
答案 C
2．已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的
必要不充分条件．
3．(2023·苏州模拟)已知U为全集，非空集合A，B满足A∩(∁U B)＝∅，则( )
A．A⊆B
B．B⊆A
C．(∁U A)∩(∁U B)＝∅
D．(∁U A)∪(∁U B)＝U
答案 A
解析 如图所示，
∵A∩(∁U B)＝∅，由图可知，A⊆B，
(∁U A)∩(∁U B)＝∁U B.
4．(2023·百师联盟联考)下列各命题中，p是q的充分不必要条件的是( )
A．p：<，q：ln x>ln y
B．已知a∈R，p：直线2x＋ay＋3＝0与直线ax＋8y＋6＝0平行，q：a＝4或－4C．已知a∈R，p：－20，b>0，p：a＋b>6，q：a>3且b>3
答案 B
解析 对于A，命题p：x>y>0，命题q：x>y>0，故p是q的充要条件，故选项A不正确；
对于B，命题p：由题意得＝≠，解得a＝－4，由p可推出q，由q推不出p，故p是q的充
分不必要条件，故选项B正确；
对于C，函数f(x)若有两个零点，则Δ＝4a2－8(a＋4)>0，解得a<－2或a>4，所以由p推不
出q，由q也推不出p，故p是q的既不充分也不必要条件，故选项C不正确；
对于D，若a＝1，b＝6，满足a＋b>6，但不满足 a>3且b>3，若a>3且b>3，可得a＋
b>6，所以由p推不出q，由q可推出p，故p是q的必要不充分条件，故选项D不正确．
二、多项选择题
5．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|2x>1}，则( )
A．A∩(∁U B)＝∅ B．A∪B＝A
C．A⊆B D．B⊆A
答案 AC
解析 ∵A＝{x|x2－2x<0}＝(0,2)，
B＝{x|2x>1}＝(0，＋∞)，
∴A∩(∁U B)＝∅，A∪B＝B，A⊆B，
故AC正确，BD错误．
6．下列各结论正确的是( )
A．“xy>0”是“>0”的充要条件
B.＋的最小值为2
C．命题“∀x>1，x2－x>0”的否定是“∃x≤1，x2－x≤0”
D．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，则“图象过点(1,0)”是“a＋b＋c＝0”的充要条件
答案 AD
解析 xy>0⇔>0，故A正确；
由基本不等式知，＋≥2，
当且仅当＝，
即x2＝－8时等号成立，
由于x2＝－8无解，
所以等号不成立，所以取不到最小值2，故B错误；
命题“∀x>1，x2－x>0”的否定是“∃x>1，x2－x≤0”，故C错误；
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，显然有a＋b＋c＝0，反之亦可，故D正确．
三、填空题7．“α＝β”是“sin α＝sin β”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充
要”“既不充分也不必要”中的一个)
答案 充分不必要
解析 若α＝β，则sin α＝sin β，
当α＝0，β＝2π时，sin α＝sin β，此时α≠β，
所以“α＝β”是“sin α＝sin β”的充分不必要条件．
8．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，若B⊆A，则 m 的取值范围为
________．
答案 [－1，＋∞)
解析 ∵B⊆A，
∴当B＝∅时，2m－1>m＋1，
解得m>2，符合题意；
当B≠ ∅时，解得－1≤m≤2，
综上所述，m≥－1，即m的取值范围为[－1，＋∞)．
四、解答题
9．已知全集为R，集合A＝{x|5－m10，
即m∈(10，＋∞)．
10．在“①A∩B＝A，②A∩B＝∅”这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下
列问题．
已知集合A＝{x|2a－1
