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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 02 练 常用逻辑用语（精练）
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.
2.理解判定定理与充分条件的关系，性质定理与必要条件的关系，理解数学定义与充要条件
的关系.
3.理解全称量词命题与存在量词命题的意义，能正确对两种命题进行否定.
一、单选题
1．（2023·北京·高考真题）若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
解法一：由 化简得到 即可判断；解法二：证明充分性可由 得到 ，代入
化简即可，证明必要性可由 去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由
通分后用配凑法得到完全平方公式，再把 代入即可，证明必要性可由 通分后用配凑法
得到完全平方公式，再把 代入，解方程即可.
【详解】
解法一：
因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法二：
充分性：因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法三：
充分性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
2．（2023·全国·高考真题）设甲： ，乙： ，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】
当 时，例如 但 ，
即 推不出 ；
当 时， ，
即 能推出 .
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
3．（2023·天津·高考真题）已知 ，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】
根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】
由 ，则 ，当 时 不成立，充分性不成立；
由 ，则 ，即 ，显然 成立，必要性成立；
所以 是 的必要不充分条件.
故选：B
4．（2023·全国·高考真题）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，
则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判
断作答.，
【详解】方法1，甲： 为等差数列，设其首项为 ，公差为 ，
则 ，
因此 为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 为常数，设为 ，
即 ，则 ，有 ，
两式相减得： ，即 ，对 也成立，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲： 为等差数列，设数列 的首项 ，公差为 ，即 ，
则 ，因此 为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 ，
即 ， ，
当 时，上两式相减得： ，当 时，上式成立，
于是 ，又 为常数，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
5．（2022·天津·高考真题）“ 为整数”是“ 为整数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A
【分析】用充分条件、必要条件的定义判断.
【详解】由 为整数能推出 为整数，故“ 为整数”是“ 为整数”的充分条件，
由 , 为整数不能推出 为整数，故“ 为整数”是“ 为整数”的不必要条件，
综上所述，“ 为整数”是“ 为整数”的充分不必要条件，
故选：A.
6．（2022·浙江·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为 可得：
当 时， ，充分性成立；
当 时， ，必要性不成立；
所以当 ， 是 的充分不必要条件.
故选：A.
7．（2022·北京·高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数
，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列 的公差为 ，则 ，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义
判断可得出结论.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，
若 ，则当 时， ；若 ，则 ，由 可得 ，取 ，则当 时， ，
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
故选：C.
【A级 基础巩固练】
一、单选题
1．（2024·内蒙古赤峰·一模）命题“ ， ， ”的否定形式是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【分析】
本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定。
【详解】由全称量词命题与存在量词命题的否定可知：命题“ ， ， ”的否定形式是“
， ， ”.
故选：C
2．（2024·山东·二模）已知命题 ：若 是自然数，则 是整数，则 是（ ）．A．若 不是自然数，则 不是整数 B．若 是自然数，则 不是整数
C．若 是整数，则 是自然数 D．若 不是整数，则 不是自然数
【答案】B
【分析】命题的否定，不否定条件，只否定结论.
【详解】 是“若 是自然数，则 不是整数”.
故选：B
3．（2024·山东·二模）已知 ，若集合 ，则“ ”是“ ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由 ，可得 或 ，再由充分不必要条件的定义即可得答案.
【详解】因为 ，
则 或 ，
所以 ，
由 推不出 .
故选:A．
4．（2024·全国·模拟预测）已知命题 ：“ ”，命题 ：“ ”，则命题 是命题 的
（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据万能公式得到方程，求出 ，从而得到命题 是命题 的充分不必要条件.
【详解】 ，
解得 ，
故 ，所以命题 是命题 的充分不必要条件.
故选：B
5．（2024·河南信阳·模拟预测）已知复数 为虚数单位)，则“ ”是“ 在复平面内对应的点位于第四象限”的（ ）条件
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算化简 ，根据复数的几何意义，即可判断和选择.
【详解】 ，则 在复平面内对应的点为 ；
点 位于第四象限的充要条件是 ，即 ；
故“ ”是“ 在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件.
故选：A
6．（23-24高三上·湖南·阶段练习）若 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】借助充分条件与必要条件的定义，结合基本不等式或举反例的方式计算即可得.
【详解】由已知，当 时， ，
，
当且仅当 时，等号成立，
故“ ”是“ ”的充分条件；
当 时， ，此时 ，
故“ ”不是“ ”的必要条件；
即“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
7．（2024·河南·模拟预测）若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】构造函数 ，根据函数单调性得到 ，故 .
【详解】构造函数 ，则 在 上单调递增，
所以 ．
故选：C．
8．（2024·河北廊坊·模拟预测）已知 ，且数列 是等比数列，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】利用充分必要条件的判定及等比数列通项公式验证即可.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
若 ，则 ，因为 不等于0，
所以 ，若 时，无法得出 ，
所以“ ”不是“ ”的充分条件；
若“ ”，则 ，
所以“ ”是“ ”的必要条件.
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
9．（2024·全国·模拟预测）设 是两条相交直线， 是两个互相平行的平面，且 ，则“
”是“ ”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用线面平行判定、面面的性质，结合充分条件与必要条件的定义判断得解.
【详解】若 是两条相交直线， ，且 ，由 ，则存在过直线 的平面 与 相交，
令交线为 ，于是 ，显然 与 也相交，令交线为 ，则 ，因此 ，
由 是两条相交直线， ，知 ，否则 与 有公共点，所以 ，即充分性成立；
若 是两条相交直线， ，且 ，则 或者 ，即必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
10．（2024·四川·模拟预测）“ ”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对数函数的单调性，求得不等式对应的解集，再根据选项进行选择.
【详解】 等价于 ，即 ，
因为 可以推出 ，而 不能推出 ，所以 是 的必要不充分条件，其它选
项均不满足；
所以“ ”的一个必要不充分条件是 ．
故选：B．
11．（2024·内蒙古包头·二模）设m， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】通过举反例说明“ ”不是“ ”的充分条件，再由对数的运算性质由推得 ，即得结论.
【详解】由 不能推出 ，如 满足 ，
但 无意义，故“ ”不是“ ”的充分条件；
再由 可得 ，即得 ，故“ ”是“ ”的必要条件.
即“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
12．（2024·陕西·模拟预测）已知 ：向量 与 的夹角为锐角．若 是假命题，则实数
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用向量夹角为锐角得到关于 的不等式组，进而求得 的取值范围，再结合 为假命题取 的
取值范围的补集即可得解.
【详解】当向量向量 与 的夹角为锐角时，
有 且 与 方向不相同，即 ，解得 且 ，
因为 是假命题，所以实数 的取值范围是 .
故选：C.
13．（2024高三·全国·专题练习）已知命题p： x∈[1，9]，x2－ax＋36≤0.若p是真命题，则实数a的取值
范围是（ ） ∃
A．[37，＋∞)
B．[13，＋∞)
C．[12，＋∞)
D．(－∞，13]【答案】C
【详解】
∵ p： x∈[1，9]，使得x2－ax＋36≤0为真命题，即 x∈[1，9]，使得x2－ax＋36≤0成立，即a≥x＋ 能成
∃ ∃
立．设f(x)＝x＋ ，则f(x)＝x＋ ≥2 ＝12，当且仅当x＝ ，即x＝6时，取等号，即f(x) ＝
min
12，∴ a≥12，故实数a的取值范围是[12，＋∞).故选C.
14．（23-24高三下·湖南湘潭·阶段练习）设椭圆 的离心率为 ，则“ ”，是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据充分、必要性定义，结合椭圆方程，讨论 判断充分性，由离心率定义判断必要性，即可
得答案.
【详解】因为椭圆 的离心率为 ，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
所以 推不出 ，即充分性不成立；
当 时，则 ，即必要性不成立；
综上，“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
15．（2023·湖南邵阳·二模）已知集合 ， ．若“ ”是“ ”的充分不
必要条件，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 ，列出不等式组求解即可.
【详解】若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 ，
所以 ，解得 ，即 的取值范围是 .
故选：B.
16．（2023·云南昆明·模拟预测）已知集合 ， ，若 是 的必要
不充分条件，则实数 的所有可能取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，对集合 分等于空集和不等于空集两种情况讨论，分别求出符合题意的 的值即可．
【详解】由题， ， ，
当 时，有 ，符合题意；
当 时，有 ，此时 ，所以 或 ，所以 .
综上，实数 的所有可能的取值组成的集合为 .
故选：A.
17．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）若“ ”是“ ”的必要不充分
条件，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先解不等式 ，然后由题意可得 是 的真子集，从而列不等式可求得结果.
【详解】由 ，解得 ，
因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，
所以 是 的真子集，
所以 ，经验证，端点值满足条件，故 .
故选：B
18．（23-24高一上·辽宁大连·期中）“若 ， 恒成立”是真命题，则实数 可能
取值是（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【分析】由题得到 恒成立，求出 即可得到答案.
【详解】 ， ，即 恒成立，
，当且仅当 ，即 时等号成立，故 .
对比选项知A满足.
故选：A
19．（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）若命题“， ”是假命题，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，转化为对任意的 ，不等式 恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由命题“ ”为假命题，可得命题“ ”为真命题，
即对任意的 ，不等式 恒成立，
则满足 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：A.
20．（2024·陕西安康·模拟预测）记 为数列 的前 项和，已知 是公比为3的等比数列， ：
当 时， ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】当 成立时，借助等比数列性质计算可得 ，当 成立时，可举出反例，故 是 的充分不必要条
件.
【详解】若 是公比为3的等比数列，
则有 ，
即当 时， 成立，故 是 的充分条件；
若当 时， ，取 符合要求，
故 不是 的必要条件；
即 是 的充分不必要条件.
故选：A.
21．（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）已知 ， ，则 是方程 的解的充要条
件是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用二次函数的图象和性质，理解全称量词命题和存在量词命题的真假以及充要条件的意义即可.
【详解】因为 ，所以函数 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为：
，函数的最小值为 .
若“ 是方程 的解”，则 ，那么 就是函数 的最小值，
所以“ ， ”，即“ 是方程 的解”是“ ， ”的充分条件；
若“ ， ”，则 为函数 的最小值，所以 ，即 ，
所以“ 是方程 的解”，故“ 是方程 的解”是“ ， ”的必要条件.
综上可知：“ 是方程 的解”的充要条件是“ ， ”.
故选：C
二、填空题
22．（22-23高二下·四川绵阳·期中）写出“实数x、y满足条件 ”的一个充分不必要条件：
（答案不唯一）
【答案】 ， （此题答案不唯一）
【分析】根据充分不必要条件的定义填空即可
【详解】根据充分不必要条件的定义，只需找出一组满足不等式的值即可，不妨令 ， ，而
不能推出该组值，故符合要求.（答案不唯一）
故答案为： ， .23．（23-24高三上·上海松江·期中）已知 ，且 是 的充分不必要条件，
则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据不等式所表示的集合的关系列出不等式，解出即可.
【详解】 ，解得 ，设 ， ，
若 是 的充分不必要条件，则 ，
则有 ，且等号不会同时取到，解得 ，
则实数 的取值范围是 .
故答案为： .
24．（22-23高一下·上海徐汇·期中）设 ， 是非零向量，则 是 成立的 条件.（用
“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”填空）
【答案】充分不必要
【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断
【详解】因为 ，所以 共线且方向相同，
因为 表示 方向上的单位向量，所以 ，
而当 时，可得 共线且方向相同，但不一定是 ，
所以 是 成立的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要.
25．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）设命题 ， ，若 是假命题，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据命题的否定与原命题的关系得出命题 是真命题，即可根据命题 得出 ，
，再根据基本不等式或对勾函数的性质得出 在 上的最小值，即可得出答案.
【详解】 是假命题，
是真命题，
， ，
， ，
当 时， ，当且仅当 时，即 时，等号成立，
，可取到 ，
，
，
故答案为： .
26．（23-24高三上·湖南永州·阶段练习）已知： ， ，
若 真 假，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据 式恒成立，和方程 无实数解可得.
【详解】 等价于 ，因为命题p为真，所以不等式 恒成立，
易知， 时不满足题意，
所以 ，解得 ；
因为 为假，所以方程 无实数解，
所以 ，解得 .
综上，实数 的取值范围为 .
故答案为：
【B级 能力提升练】
一、单选题
1．（2024·河北邯郸·二模）已知 是两个平面， 是两条直线，且 ，则“ ”
是“ ”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义及线面垂直的性质可得结果.
【详解】用平面 代表平面 ，平面 代表平面 ，
当 如图所示时显然m与平面 不垂直，反之，当 时，又 ，根据线面垂直的性质有 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：A.
2．（2024·四川·模拟预测）已知命题“ ”为真命题，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分离参数 ，求函数 的最小值即可求解.
【详解】因为命题“ ”为真命题，所以 ．
令 与 在 上均为增函数，
故 为增函数，当 时， 有最小值 ，即 ，
故选：A．
3．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数 ，设甲： ；乙： ，则
（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】利用特殊值的函数值判断充分性不成立，利用导数研究 的单调性和值域，结合三角函数的有
界性，从而判断必要性.【详解】 ， ，满足 ，但 ，故甲不是乙的充分条件；
令 ，则 ，故 在 单调递增，
即 ，也即 在 恒成立，则 在 恒成立；
故当 时， ， ，甲是乙的必要条件.
综上所述，甲是乙的必要条件，但不是充分条件.
故选：B.
4．（2024·北京丰台·二模）已知等差数列 的公差为 ，首项 ，那么“ ”是“集合
恰有两个元素”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】依据题意证明充分性成立，举反例否定必要性即可.
【详解】对于充分性，已知等差数列 的公差为 ，首项 ，
当“ ”时，集合 恰有两个元素 ，
故充分性成立，对于必要性，当 时，
“集合 也恰有两个元素”，故必要性不成立，
故“ ”是“集合 恰有两个元素”的充分而不必要条件.
故选：A
5．（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数和余弦函数的性质即可判断AC；举出反例即可判断B；由作差法即可判断D.
【详解】对于AC，当 时， ，
所以 ，故A正确，C错误；
对于B，当 时， ，故B错误；
对于D， ，
因为 ，所以 ，故D错误.
故选：A.
6．（2024·青海·模拟预测）记数列 的前n项积为 ，设甲： 为等比数列，乙： 为等比数列，
则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用等比数列通项公式、等比数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解.
【详解】若 为等比数列，设其公比为 ，则 ， ，
于是 ， ，当 时， 不是常数，
此时数列 不是等比数列，则甲不是乙的充分条件；若 为等比数列，令首项为 ，公比为 ，则 ， ，
于是当 时， ，而 ，
当 时， 不是等比数列，即甲不是乙的必要条件，
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
故选：D
7．（2024·北京丰台·一模）已知函数 ，则“ ”是“ 是偶函数，
且 是奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先求出 、 的解析式，再根据正弦函数的性质求出使 是偶函数且
是奇函数时 的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为 ，则 ，
，
若 是奇函数，则 ，解得 ，
若 是偶函数，则 ，解得 ，
所以若 是偶函数且 是奇函数，则 ，
所以由 推得出 是偶函数，且 是奇函数，故充分性成立；
由 是偶函数，且 是奇函数推不出 ，故必要性不成立，所以“ ”是“ 是偶函数，且 是奇函数”的充分不必要条件.
故选：A
8．（2024·四川凉山·二模）已知命题“ ， ”是假命题，则m的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】写出原命题的否定，即为真命题，然后将有解问题转化为最值问题求解即可.
【详解】命题“ ， ”是假命题，
则“ ， ”是真命题，
所以 有解，
所以 ，
又 ，
因为 ，所以 ，
即 .
故选：B.
9．（2024·全国·模拟预测）在 中，命题 ，命题 ，则P是
Q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换解命题P可得A，B，C必有一个为直角；根据平面向量的线性运算与垂直关
系的向量表示解命题Q可得A为直角，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】命题P：由 ， 及 ，得 ，
∴
，
得 ，则 ， ， 必有一个为0，
∴A，B，C必有一个为直角．
命题Q：由 得 ，
即 ，得 ，即 ，∴A为直角，
故P是Q的必要不充分条件.
故选：B．
二、填空题
10．（2024·上海普陀·二模）设等比数列 的公比为 ，则“ ， ， 成等差数列”的
一个充分非必要条件是 .
【答案】 （或 ,答案不唯一）
【分析】根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解．
【详解】 ， ， 成等差数列，
则 ，即 ，解得 或 ，
故“ ， ， 成等差数列”的一个充分非必要条件是 （或 ．
故答案为： （或 ,答案不唯一）
11．（2024高三·全国·专题练习）若“ ”是“ ”的一个充分条件，则 的一个可能取值是 .（写出一个符合要求的答案即可）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】解不等式 ，可得出满足条件的一个 的值.
【详解】由 可得 ，则 ，
所以 ，解得 .
因为“ ”是“ ”的一个充分条件，
所以 的一个可能取值为 （答案不唯一， 均满足题意）．
故答案为： （答案不唯一， 均满足题意）.
12．（23-24高三上·河南·阶段练习）若命题“ ， ”为假命题，则 的取值
范围为 .
【答案】
【分析】根据已知条件知命题“ ， ”为真命题，再分类讨论，即可求解.
【详解】由题意可知，命题“ ， ”为真命题.
当 时，可得 .
若 ，则有 ，符合题意；
若 ，则有 ，解得 ，不符合题意；
当 时，则 ，解得 .
综上， 的取值范围是 .故答案为： .
【C级 拓广探索练】
一、单选题
1．（2024·吉林·模拟预测）已知函数 ，则“ 有两个极值”的一个充分不必要条
件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 有两个正的穿越零点，求得 有两个极值点的充要条件，再求其充分不必要条
件即可.
【详解】由题可得 ，
若满足题意，则 有两个正的穿越零点，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
又 ， ，当 趋近于正无穷时， 趋近于 ，
若 有两个正的穿越零点，则 ，解得 ，
即 有两个极值的充要条件是： ，根据选项，则 有两个极值的一个充分不必要条件是 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对 ，分离参数，构造函数 ，利用导数研究
其单调性，从而求得 有两个极值点的充要条件.
2．（2023·全国·模拟预测）已知 是等比数列，则甲：数列 为递增数列，乙： ，
恒成立，则甲是乙的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用充分必要条件的定义，分别讨论甲乙的充分性与必要性，结合等比数列的通项公式分类讨论
即可得解.
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ．
当 为递增数列时， ，即 ， 恒成立，故充分性成立；
当 ， 恒成立时， ，即 ，
若 ，则 或 ，
当 时， ，与假设矛盾，舍去，
故 ，此时 ，则 为递增数列；
若 ，则 或 ，
当 时， ，与假设矛盾，舍去，
故 ，此时 ，则 为递增数列．
综上所述，当 ， 时， 为递增数列，故必要性成立；所以甲是乙的充要条件．
故选：C．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分类讨论解不等式 ，从而推得其必要性成立.
3．（23-24高三上·湖南娄底·期末）已知函数 的定义域为 ，对任意 ，有 ，则
“ ”是“ "的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】
根据题意可构造函数 ，利用函数单调性解不等式即可解得 ，再由集合间的关系可得结论.
【详解】
设 ，该函数的定义域为 ，
则 ，所以 在 上单调递增.
由 可得 ，
即 ，又 在 上单调递增，所以 ，解得 ，
显然集合 是集合 的真子集，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题关键在于根据 构造函数，并将不等式 变形，利用
单调性解不等式即可得结论.
4．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）命题“对任意的 ，总存在唯一的 ，使得”成立的充分必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
将方程整理为 ；当 时，解方程可确定其符合题意；当 和 时，将问题转化为
与 在 时，有且仅有一个交点的问题，采用数形结合的方式可构造不等式组求
得 的范围，由此可得原命题成立的充要条件.
【详解】由 得 ；
①当 时， ，则 ，解得 ，
因为 ， ，满足题意；
②当 时， ，
若存在唯一的 ，使得 成立，
则 与 有且仅有一个交点，
在平面直角坐标系中作出 在 上的图象如下图所示，
由图象可知：当 时， 与 有且仅有一个交点，
所以， ，解得 ，此时， ；③当 时， ，
由②同理可得 ，解得： ，则 .
综上所述：原命题成立的充要条件为 .
故选：D.
5．（2024·上海闵行·二模）已知 ，集合 ， ，
. 关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）
命题①：集合 表示的平面图形是中心对称图形；
命题②：集合 表示的平面图形的面积不大于 .
A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题
C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题
【答案】A
【分析】根据 是奇函数，可以分析出当 时 ，所以集合 表示的平面图形是
中心对称图形；结合集合 代表的曲线及不等式的范围可以确定集合 表示的平面图形，从而求得面积，
与 进行比较.
【详解】对于 ，集合 关于原点中心对称，且函数
是奇函数，
若 则 则 ，
即若 则 ，即集合 表示的平面图形是关于原点中心对称图形，故①是真命题；
对于 ，由 即 知 ，
设 ，则 与 一一对应且 随 的增大而增大， ，
又由 知 ，
结合 知在 范围内， 与 一一对应且 随 的增大而减小，
所以在 范围内， 与一一对应且 是关于 的减函数，
由①可知 图象关于原点中心对称，所以可得到 在
的图象，如图
代入点 可得 ，所以 的区域是右半部分，
面积为正方形面积的一半，即集合 表示的平面图形的面积 ，故②是假命题.
故选：A.
