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第 2 节 命题及其关系、充分条件与必要条件
（本卷满分150分，考试时间120分钟。）
一、单选题
1．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】因为集合 是集合 的真子集，所以“ ”是“
”的充分不必要条件.故选：A
2．若命题 ，命题 且 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由 ，不能推出 且 ，如 ， ；
反之，由 且 ，根据不等式的性质能推出 ．
即 ，但 ，所以 是 的充分不必要条件，故选：A．
3．已知向量 ， 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量 在直线l上，则“
，且 ”是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意， ， .
若 与 方向相反，且 ， 在平面α内，则向量 ， 所在的直线要么重合，要么平行，
因此根据线面垂直的判定定理，由 ，且 无法得到 .
若 ，根据线面垂直的定义，可以得到 ，且 .
所以“ ，且 ”是 的必要不充分条件.故选：B.
4．2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19(新冠肺
炎)新冠肺炎,患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征.“新冠肺炎患者”是“患者表现为
发热､干咳､浑身乏力”的（ ）
已知该患者不是无症状感染者
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A
【解析】新冠肺炎患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征，充分的同，但有发热､干
咳､浑身乏力等外部表征的不一定是新冠肺炎患者，不必要，即为充分不必要条件．
故选：A．
5．设 ，则“ ”是“复数 为纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】 ，复数 为纯虚数，则 ，
解得： ，所以则“ ”是“复数 为纯虚数”的充要条件故选：C
6．已知 ，则“函数 的图象关于 轴对称”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 关于 轴对称，则 关于原点对称，故 ，
，故 是可以推出 ， ，但 ， 推不出
，故函数 的图象关于 轴对称是 的必要不充分条件
故选：B
7．“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若 ，则方程 表示焦点在 轴上的椭圆；
反之，若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则
所以“ ”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选：C
8．命题 ，命题 ，则p是q成立的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【解析】由题知，命题 或 ；命题 或 ，
故p是q的充分不必要条件故选：A
二、多选题
9．已知 ， 都是 的充分条件， 是 的必要条件， 是 的必要条件，则（ ）
A． 是 的既不充分也不必要条件
B． 是 的充分条件
C． 是 的必要不充分条件
D． 是 的充要条件
【答案】BD
【解析】由已知得： ； ．
是 的充分条件； 是 的充分条件； 是 的充要条件； 是 的充要条件．
正确的是B、D．故选：BD．
10．若“ ”为真命题，“ ”为假命题，则集合 可以是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】 为假命题, 为真命题，可得 ，
又 为真命题，可得 ，所以 ，故选：AB
11．已知偶函数 ，有 ， 时， 成立，
则 对任意的 恒成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】当 时， 成立，
则函数在 为单调递减函数，又函数 为偶函数，
则函数 在 上单调递增函数，
对任意的 恒成立，所以 ，当 时，不等式恒成立，当 时， ，
又 ，当且仅当 时取等号，则 ，即 ，解
得 ，由必要不充分条件的概念可知选项A、D正确，选项B、C错误.故选：
AD
12．已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（ ）
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}
C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|01}
【答案】BCD
【解析】方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是 ，解得
，A错误；方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是
，解得 ，B正确；方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根
的充要条件是 ，解得 ，C正确；方程x2＋(m－3)x＋m＝0无
实数根的充要条件是 ，解得 ， ，故必要条件是
m∈{m|m>1}，故D正确.故选：BCD.
三、填空题
13．设 ， ，则“ ”是“ ”的____________条件．
【答案】必要非充分
【解析】当 时， 或 若 ， ，满足 ，但此时
充分条件不成立当 时，由 ， 可知： ，即必要
条件成立 “ ”是“ ”的必要非充分条件本题正确结果：必要非充分
14．“ ”是“ ”的________条件．
【答案】充分不必要
【解析】 ，解不等式得： 或 ，
设 ， 或 ，利用集合包含关系可知A是B的真子集，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件故答案为：充分不必要．15．“ ”是“ ”的_________________条件．
【答案】充分不必要
【解析】充分性：若 ，则 ，故充分性成立；
必要性：若 ，当 时， 不成立，故必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.
16．下列所给的p，q中，p是q的充要条件的为________.(填序号)
①若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
②p：|x|>3，q：x2>9.
【答案】①②
【解析】①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q p，故
p q，所以p是q的充要条件.②由于p：|x|>3 q：x2>9，所以p是q的充要条件.故答案为：
⇒ ⇒
①②
⇔ ⇔
四、解答题
17．已知p：函数f(x)＝（a﹣m）x在R上单调递减，q：关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0的
两根都大于1．
（1）当m＝5时，p是真命题，求a的取值范围；
（2）若p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，求m的取值范围．
【解析】（1）因为m＝5，所以f(x)＝（a﹣5）x
因为p是真命题，所以0＜a﹣5＜1，解得5＜a＜6．故a的取值范围是（5，6）
（2）若p是真命题，则0＜a﹣m＜1，解得m＜a＜m+1．
关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0的两根分别为a﹣1和a+1．若q是真命题，则a﹣1＞1，解
得a＞2．因为p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，所以m≥2．
18．已知“ ，使等式 ”是真命题.
（1）求实数 的取值范围 ：
（2）设关于 的不等式 的解集为 ，若“ ”是“ ”的充分
条件，求 的取值范围.
【解析】（1）若“ ，使等式 ”是真命题，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
（2）由不等式 可得 ，所以 ，
若“ ”是“ ”的充分条件，
则 是 的子集，所以 解得 ，
经检验 、 符合题意，
所以 的取值范围是
19．已知集合 ， .
（1）用区间表示集合P；
（2）是否存在实数m，使得 是 的______条件.若存在实数m，求出m的取值范围：
若不存在，请说明理由.
请从如下三个条件选择一个条件补充到上面的横线上：
①充分不必要；②必要不充分；③充要.
【解析】（1）因为 即 ，所以 ，
.
（2）若选择①，即 是 的充分不必要条件，
则 且 （两个等号不同时成立），
解得 ，故实数m的取值范围是 ．
若选择②，即 是 的必要不充分条件．
当 时， ，解得 ．
当 时， 且 （两个等号不同时成立），
解得 ．
综上，实数m的取值范围是 ．
若选择③，即 是 的充要条件，
则 ，即 此方程组无解，
则不存在实数m，使 是 的充要条件．
20．设 证明: 的充要条件是 .
【解析】证明:(1)充分性:如果 ,那么 ,
.
(2)必要性:如果 ,那么 ,, .
由(1)(2)知, 的充要条件是 .
21．设命题p：方程 有两个不相等的正根；
命题q：方程 无实根．
(1)若 为真，求实数m的取值范围；
(2)若 为真， 为假，求实数m的取值范围．
【解析】 (1)设方程 的两根分别为 ， ，由 ，
得 ，所以命题p为真时： ．
由方程 无实根，可知 ，得
，所以命题q为真时： ．
由 为真，则 ．
(2)由 为真， 为假，可知命题p，q一真一假，
当p真q假时， ，此时 ；
当p假q真时， ，此时 ，
所以所求实数m的取值范围是 ．
22．p：“实数a满足 ”，q：“方程 表示焦点在
y轴上的椭圆”．
(1)若m＝3，且命题“ ”为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【解析】 (1)当 时，若 为真命题
则 变为：
所以 ，解得 ，若 为真命题，则有
所以 为假命题且 为假命题时，解得 ，
故“ ”为真命题时，
(2)对命题 ： 转化为： ，所以
，对命题 因为p是q的充分不必要条件，所以 ，等号不同时取解得： .所以 的取值范围是 .
