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1.2 常用的逻辑用语（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1.（24-25 高三上·河北石家庄·期末）在数学中，有很多“若
，则
”形式的命题，有的是真命题，有的是假
命题．例如：
①若
，则
；②若一个三角形是等边三角形，则这个三角形是等腰三角形．
这里，命题①②都是省略了量词的全称量词命题．则命题①的否定为（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
，
D．
，
【答案】D
【解析】命题①表示为全称命题为：
，
，
由全称命题的否定可知，命题①的否定为：
，
.
故选：D.
2．（2025·江苏·一模）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由
可得
，由
可得
，
所以由
推不出
，即充分性不成立；
由
也推不出
，即必要性不成立；
所以“
”是“
”的既不充分也不必要条件.
故选：D
3．（2025·山东枣庄·二模）已知向量
，则（ ）
A．
的充要条件是
B．
的充要条件是
C．
与
垂直的充要条件是
D．若
与
的夹角为锐角，则
的取值范围是
【答案】B
【解析】对于A，
，则
或
，A 错误；
对于B，
，B 正确；
对于C，
，C 错误；
对于D，由
与
的夹角为锐角，得
且
与
不共线，由选项B 知，
，D 错误.
故选：B
4．（2025·广西桂林·二模）“
，使
”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【解析】当
时，
有解；
当
时，二次函数
开口向上，所以
有解；
当
时，
有解，则
，解得
；
综上可得
；
因为
真包含于
，
所以“
，使
”的一个充分不必要条件是
.
故选：C.
5.（2024·陕西）设
；
．若p 是q 的必要不充分条件，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，得
；由
，得
．
因为p 是q 的必要不充分条件，
,所以
，解得
．故选：D
6.（2024 浙江宁波）已知函数
，使不等式
成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】D
【解析】因为函数
，
所以函数
的图象关于
对称，当
时，
单调递增，
根据对称性可知，当
时，
单调递减，
若不等式
成立，则
，
即
，可得
，解得
或
，
结合选项可知使不等式
成立的一个必要不充分条件是
或
，
故选：D
7.（2025 辽宁·阶段练习）已知命题
，命题
，
，若
是
成立的必要不充分
条件，则区间
可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】命题
，
，则
，
所以
，解得
或
，
又
是
成立的必要不充分条件，所以
，
所以区间
可以为
，
故选：B.
8.（24-25 高三下·江苏盐城·阶段练习）已知命题
为假命题，则a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得
为真命题，
令
，则
定义域为R，
，
故
为R 上的偶函数，
又
，
所以
为
的一个周期，
当
时，
，
因为
，所以
，所以
，
故
在R 上的值域为
，
所以a 的取值范围为
.
故选：C
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（2024·黑龙江·模拟预测）已知命题“
，
”为真命题，则实数m 的可能取值是（ ）
A．
B．0
C．1
D．
【答案】AB
【解析】因为命题“
，
”为真命题，
所以
，
，
令
，
，则
，
可知
为增函数，当
时，
有最小值
，
故实数m 的取值范围为
，
故选：AB.
10．（2024·辽宁·模拟预测）若
，则使“
”成立的一个充分条件可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】对于A，因为
，所以
，选项A 正确；
对于B，
满足
，选项错B 错误；
对于C，
，当
时，
，选项错C 错误；
对于D，
，
因为
，所以
，选项D 正确.
故选：AD.
11．（2025·重庆）已知函数
，则
在
有两个不同零点的充分不必要条件可以
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】因为
，
令
，则
，
令
，
则
，
注意到
，令
，解得
，
所以当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
则
，且当
趋近于
或
时，
都趋近于
，
若
在
有2 个不同零点的充要条件为函数
与
图象在第一象限有2 个交点，
所以
，即
有2 个零点的充要条件为
，
若符合题意，则对应的取值范围为
的真子集，
结合选项可知：A 错误，BCD 正确；
故选：BCD.
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2025·陕西）已知命题
：函数
在区间
上单调递增，命题
：
，若
是
的充分
不必要条件，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为函数
在区间
上单调递增，所以
，解得：
，又因为
是
的充分不必要条件，则
是
的真子集，即
的取值范围是
故答案为：
13.（2024 安徽合肥）已知函数
，
，若
，
，使
成立，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意，函数
在
为单调递减函数，可得
，
即函数
的值域构成集合
，
又由函数
在区间
上单调递增，可得
，
即函数
的值域构成集合
，
又由
，
，使
成立，即
,则满足
，解得
，
即实数
的取值范围是
.故答案为：
.
14．（2025 哈尔滨）已知
，且对
都有
成立，则实数
的范围为
【答案】
【解析】由题意，函数
，
要使得
，即
，即
对
恒成立，
即
对
恒成立，
令
，可得
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
所以函数
在
单调递减，在
单调递增，
所以
，即
，即
，当且仅当
时，等号成立，
设
，则
在
上为增函数，
而
，
，故
在
上存在零点
，
故
，当且仅当
时等号成立，
即
，所以
，
即实数
的取值范围是
.
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（24-25 高三上·江苏扬州·阶段练习）已知集合
，
．
(1)求
；
(2)已知集合
，若“
”是“
”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
或
(2)
【解析】（1）
，
，
可得
，
所以
或
．
（2）若“
”是“
”的充分不必要条件，则
，
若
，则
解得
；
若
，则
，且等号不能同时成立，解得
，
综上可知，实数m 的取值范围为
16．（2025·重庆）命题
：任意
，
成立；命题
：存在
，
+
成立.
(1)若命题
为假命题，求实数
的取值范围；
(2)若命题
和
有且只有一个为真命题，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
或
或
【解析】（1）由q 真：
，得
或
，
所以q 假：
；
（2）p 真：
推出
，
由
和
有且只有一个为真命题，
真
假，或
假
真，
或
，
或
或
.
17．（24-25 山东青岛·期中）已知函数
，
(1)求
的解析式；
(2)求函数
在
的最小值；
(3)已知
，
：当
时，不等式
恒成立；
：当
时，
是单调
函数．若
，
一真一假，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见详解
(3)
或
【解析】（1）因为
，
所以
.
（2）因为
的图象开口向上，对称轴为
，显然
，
若
，则
在
上单调递减，此时
；
若
，此时
.
（3）若
为真，不等式
，即
对任意的
恒成立，
而函数
的图象开口向上，对称轴为
，
可知
在
上单调递减，且
，则
；
函数
的图象开口向上，对称轴为
，
若
为真，即
在
内是单调函数，则
或
，解得
或
；
由p，q 一真一假，则
或
，解得
或
，
所以实数
的取值范围为
或
.
18．（2024 高三·全国·专题练习）已知幂函数
在
上单调递增，函数
．
(1)求
的值；
(2)当
时，记
的值域为集合
，
的值域为集合
，设
，
，若
是
成立的必
要条件，则实数
的取值范围为多少？
【答案】(1)0
(2)
【解析】（1）根据幂函数的定义可得：
，解得
或
，
当
时，
在
单调递减，不符合题意；
当
时，
在
单调递增，符合题意，
故
．
（2）由第（1）问可知
，
当
时，
，则
；
当
时，
，则
．
由根据题干信息，命题
是
成立的必要条件，则有
，
由此可以明确
，可列式：
解得：
由此可以得出
．
19．（24-25 高三上·上海虹口·阶段练习）已知
为实数，记
.
(1)当
时，定义在
上的奇函数
满足：当
时，
，求
的解析式；
(2)若函数
为偶函数，若对于任意
，关于
的不等式
均成立，求实数的
取值范围；
(3)求证：“
”是“存在正数
，使得函数
在
处取到最小值”的充要条件.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）当
时，
，
所以当
时，
.
所以
.
（2）当函数
为偶函数时，必有
，解得
，
经检验，此时
确为偶函数.
此时
，令
，解得
，
故当
时，
，函数
是严格减函数；
当
时，
，函数
是严格增函数，
结合函数
为偶函数，所以
等价于
.
化简得
，即
对
恒成立.
令
，
则有当
时，
为严格减函数，
当
时，
为严格增函数，
结合
，
可知
解得
.
（3）充分性：当
时，
在
上是严格增函数，
且
，
，设
在
时恒大于零，
故
在
上是严格增函数，故
，故
.
又由于
的图象是连续曲线，由零点存在性定理，可知存在
，使得
，由
在
上是严格增函数，
可知函数
有且只有一个零点
，
且当
时，
是严格减函数，
当
时，
是严格增函数，
函数
在
处取到最小值.
必要性：
当存在正数
，使得函数
在
处取到最小值，必有
，
当
时，
在
上是严格增函数，不存在最小值，故
，
所以
在
上是严格增函数，
由于
，所以
，即
，
故
.
因此，“
”是“存在正数
，使得函数
在
处取到最小值”的充要条件.
