文档内容
1.2 逻辑用语与充分、必要条件（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 全称、特称命题的否定
【例1-1】（2022·陕西咸阳·二模）已知命题 ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】由全称命题的否定知： ， .故选：C.
【例1-2】（2022·全国·东北师大附中）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】命题“ ， ”为特称量词命题，其否定为 ， ；故选：D方法总结
否定全称命题和特称命题时
一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；
二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.
【一隅三反】
1．（2022·安徽安庆·二模）命题p： ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】由题意，命题 “ ， ”可化为命题 “ ， ”根据全称命题与存在性命题
的关系得：命题 “ ， ”的否定 “ ， ”.故选：D.
2．（2022·山西长治）命题 ，则 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由特称命题的否定是全称命题，命题 ，所以 ．
故选：D．
3．（2022·陕西渭南）设命题 ，则 为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】 为 .故选：A
考点二 含有量词的参数问题
【例2-1】（2022·陕西宝鸡）若“ ， ”为假命题，则实数 的最小值为______．
【答案】3
【解析】“ ， ”的否定为“ ，都有 ”，
因为“ ， ”为假命题，所以“ ，都有 ”为真命题，
所以 在 上恒成立，所以 ，所以实数 的最小值为3，故答案为：3
【例2-2】（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学）已知命题 是真命题，那么
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时， 仅当 时成立，不符合题意；
当 时，若 成立，则 ，解之得
综上， 的取值范围是 故选：C
【一隅三反】
1．（2022·福建宁德） 不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． 或
C． D．
【答案】A【解析】 不等式 恒成立，
当 时，显然不恒成立，所以 ，解得： .故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）若命题p：“ ， ”是真命题，则k的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知 恒成立，所以 ，解得 ，故选：D
3．（2022·全国·模拟预测）设命题 ， ，若 为假命题，则实数 的取值范围是
______.
【答案】
【解析】由题得 ， 为真命题，所以 ，
又函数 在 上单调递减，所以当 时， .故只需 .故答案为：
考点三 充分、必要条件的判断
【例3-1】（2022·重庆·模拟预测）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由 ，即 ，即 ，解得 或 ，所以由 推得出 ，由 推
不出 ，故“ ”是“ ”的充分不必要条件；故选：A【例3-2】（2022·全国·模拟预测）“ ”是“直线 与直线 平行”
的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】“直线 与直线 平行”
因为 ，所以直线 ，直线 ， 与 平行，故充分条件成立；
当直线 与直线 平行时， ，解得 或 ，
当 时，直线 与直线 重合，
当 时，直线 ，直线 平行，故充要条件成立．故选：A．
方法总结
解题思路：
第一：化简条件和结论
第二：根据条件与结论范围的大小进行判断
第三：充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若 是 的必要不充分条件，则 对应集合是 对应集合的真子集；
（2） 是 的充分不必要条件， 则 对应集合是 对应集合的真子集；
（3） 是 的充分必要条件，则 对应集合与 对应集合相等；
（4） 是 的既不充分又不必要条件， 对的集合与 对应集合互不包含．
【一隅三反】
1．（2021·天津·高考真题）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意，若 ，则 ，故充分性成立；若 ，则 或 ，推不出 ，故必要性不成立；
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选：A.
2．（2020·山东·高考真题）已知 ，若集合 ， ，则“ ”是“ ”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 时，集合 ， ，可得 ，满足充分性，
若 ，则 或 ，不满足必要性，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选：A.
3．（2022·江西·临川一中模拟预测）已知直线 ，直线 ，则“
”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由 得： ，则 或 ，故 是 的充分不必要条件，即A选项
正确.故选：A
4．（2022·四川南充·二模（文））设 都是实数，则“ 且 ”是“ 且 ”的
（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分也非必要
【答案】A
【解析】由题意，若 且 ，由不等式的性质可得 且 ，故充分性成立；
反之取 满足 且 ，但 且 不成立，故必要性不成立；
故“ 且 ”是“ 且 ”的充分非必要条件故选：A
考点四 充分、必要条件的选择【例4-1】（2022·陕西·武功县普集高级中学一模）使不等式 成立的一个充分不必要条
件是（ ）
A． 且 B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，故不等式 的解集为 且 ，
故不等式 成立的一个充分不必要条件所构成的集合应是 且 的真子集，
显然，满足题意的只有 .故选：D.
【例4-2】（2022·四川·模拟预测）命题“ ”为真命题的一个充分不必要条件
可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知，命题“ ”为真命题时，
满足 ， .则当 时， ，
所以命题“ ”为真命题时， .经验证，A选项符合题意；故选：A.
【一隅三反】
1．（2022·安徽黄山·一模）命题： ， 为假命题的一个充分不必要条件是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 命题 ”为假命题，命题“ ， ”为真命题，
当 时， 成立，当 时， ，故方程 的 解得： ，
故 的取值范围是： ，要满足题意，则选项是集合 真子集，故选项B满足题意.故选：B
2．（2022·河南·新蔡县第一高级中学 ）方程 表示双曲线的一个充分不必要条件是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方程 表示双曲线，则有： ，解可得： ，
要求方程 表示双曲线的一个充分不必要条件，即要求的是 的真子集，依次分
析选项：A符合条件.故选：A.
3．（2022·湖北·一模）设 ， 为两个不同的平面，则 的一个充要条件可以是
（ ）
A． 内有无数条直线与 平行 B． ， 垂直于同一个平面
C． ， 平行于同一条直线 D． ， 垂直于同一条直线
【答案】D
【解析】对于A， 内有无数条直线与 平行不能得出 内的所有直线与 平行才能得出，故A错；
对于B、C， 垂直于同一平面或 平行于同一条直线，不能确定 的位置关系，故B、C错；
对于D， 垂直于同一条直线可以得出 ，反之当 时，若 垂于某条直线，则 也垂于该条直
线.故选：D.
考点五 充分、必要条件的判断
【例5】（2022·山西晋中·二模）已知条件 ： ， ： ，若 是 的充分不必要条件，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】因为 是 的充分不必要条件，所以 ，即 .故选：D.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知 ： ， ： ，且 是 的充分不必要条件，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 可得 ∴ ：
又p是q的充分不必要条件，且q： ，∴ ∴ 故选：A.
2．（2022·山东日照·一模）已知条件 ，条件 ，且 是 的充分不必要条件，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由不等式 ，可得 或 ，所以 ： ，又由 ： ，因为 是
的充分不必要条件，所以 ，所以实数 的取值范围为 .故选：A.
3．（2021·浙江·宁波市鄞州高级中学）设 ，若“ ”是“ ”的充分不必
要条件，则实数 的值为（ ）
A． B．1 C． 或1 D． 或
【答案】A
【解析】由题意可知， 是 的解，但不是唯一的解，
因此 ，解得 或 .
当 时， 是 唯一的解，故不满足题意；
当 时， 则 ，即 ，解得 或 ，满足题意.综上所述， .故选：A.
4．（2021·江西科技学院附属中学）若“ ”的一个充分不必要条件为“ ”，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ，由题意可得 ，
所以， ，解得 .
当 时，则有 ，合乎题意.
当 时，则有 ，合乎题意.
综上所述， .故选：C.
考点六 历史中的充分、必要条件
【例6】（2021·安徽）王安石在《游褒禅山记》中写道：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在险远，而
人之所罕至焉，故非有志者不能至也．”请问“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的______条件．
（填“充分”“必要”“充要”中的一个）
【答案】必要
【解析】因为“非有志者不能至”所以“能至是有志者”，因此“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之
观”的必要条件.故答案为：必要
【一隅三反 】
1．（2021·湖南长沙市）1943年19岁的曹火星在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌
曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》．2021年是中国
共产党建党100周年，仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产
党”是“有新中国”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B
【解析】从逻辑学角度，命题“没有共产党就没有新中国”的逆否命题是“有了新中国就有了共产党”，
因此“有共产党”是“有新中国”的必要条件，故选：B．
2．（2022·新余市第一中学）“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”是我国唐代著名诗人王昌龄的《从
军行》中的两句诗，描写了当时战事的艰苦以及戍边将士的豪情壮志，从逻辑学的角度看，最后一句中，
“破楼兰”是“终还”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】“破楼兰”不一定“终还”，但“终还”一定是“破楼兰”，
由充分条件和必要条件的定义判断可得“攻破楼兰”是“返回家乡”必要不充分条件，
故选： ．
3．（河北省石家庄市）祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题．内容为：“幂势既同，
则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积
相等，体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A、B的体积相等，q：A、B在同一高处的截面积相等．
根据祖暅原理可知，p是q的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】已知A，B为两个等高的几何体，由祖暅原理知 ，而 不能推出 ，可举反例，两个相同的
圆锥，一个正置，一个倒置，此时两个几何体等高且体积相等，但在同一高处的截面积不相等，则 是
的必要不充分条件故选：C
