文档内容
1.2 逻辑用语与充分、必要条件（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 充分、必要条件的判断
【例1-1】（2022·全国·模拟预测）“ ”是“直线 与直线 平行”的
（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】“直线 与直线 平行”
因为 ，所以直线 ，直线 ， 与 平行，故充分条件成立；
当直线 与直线 平行时， ，
解得 或 ，
当 时，直线 与直线 重合，
当 时，直线 ，直线 平行，故充要条件成立．故选：A．
【例1-2】（2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知函数 ，则“ ”是“函数 为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】函数 定义域为R，函数 为偶函数，
则 , ，
而 不恒为0，因此， ，解得 或 ，
所以“ ”是“函数 为偶函数”的充分不必要条件.故选：A
【一隅三反】
1．（2022·云南昆明·一模）已知圆 ： ，直线 ： ，则“ ”是“直线
与圆 相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】圆 ： ，圆心为 ，半径为 ，若直线 ： 与圆相交，则圆
心到直线的距离 ，解得 ，因为 ，所以“ ”是“直线 与圆 相
交”的充分不必要条件；故选：A
2．（2022·河南濮阳·一模）“ ”是“函数 是在 上的单调函
数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】依题意，函数 是在 上的单调函数，
由于 在 上递增，所以 在 上递增，所以 且 ，即 .
所以“ ”是“函数 是在 上的单调函数”的必要不充分条件.故
选:B
3．（2022·江苏江苏·二模）已知等差数列 的公差为 ,前 项和为 ,则“ ”是“ ”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若 ，则
， ， ， ，
则“ ”是“ ”的充要条件.故选：C.
考点二 充分、必要条件的选择
【例2-1】（2022·山东济南·一模）“ ”的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 可知， ，故 是 的而一个充分条件；
由 可得到 ，不妨取 ，推不出 ，故B错误；
由 ，比如取 ，满足 ，推不出 ，故C错误；
由 ，比如取 ，满足 ，推不出 ，故D错误；故选：A
【例2-2】．（2021·全国·模拟预测）设a，b为两条直线，α，β为两个平面，则a⊥β的一个充分条件是（）
A．α∩β=b，a⊂α，a⊥b B．b⊥α，a b，α β
C．a⊂α，b⊂β，a⊥b，α⊥β D．b⊂α，a⊥b，α β
【答案】B
【解析】对A，如图所示，记平面ABCD为平面 ，平面 为平面 ，因为平面ABCD 平面
，所以直线BC即为直线b，记直线CD为直线a，则 ，但直线a与平面 不垂直，故A
错误；
对B，因为 ，所以 ，又 ，所以 ，故B正确；
对C，如图所示，记平面ABCD为平面 ，平面 为平面 ，此时 ，设直线AC为直线a，
为直线b，此时 ，但a与 不垂直，故C错误；
A B C D
对D，记平面ABCD为平面 ，平面 1 1 1 1为平面 ，此时 ，设直线 为直线a， 为直线
b，此时 ，但a与 不垂直，故D错误.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·湖北·一模）设 ， 为两个不同的平面，则 的一个充要条件可以是（ ）
A． 内有无数条直线与 平行 B． ， 垂直于同一个平面
C． ， 平行于同一条直线 D． ， 垂直于同一条直线【答案】D
【解析】对于A， 内有无数条直线与 平行不能得出 内的所有直线与 平行才能得出，故A错；
对于B、C， 垂直于同一平面或 平行于同一条直线，不能确定 的位置关系，故B、C错；
对于D， 垂直于同一条直线可以得出 ，反之当 时，若 垂于某条直线，则 也垂于该条直
线.故选：D.
2．（2022·江西·模拟预测（理））函数 与 均单调递减的一个充分不必要条件是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 单调递减可得 及 ；
函数 单调递减可得 ，解得 ，
若函数 与 均单调递减，可得 ，
由题可得所求区间真包含于 ，结合选项，函数 与 均单调递减的一个充分不必
要条件是C.故选：C.
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校一模）已知a， ，则“ ”的一个必要条件是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A选项，当 时， ，此时 ，故 不是 的必要条件，故
错误；对于B选项，当 时， 成立，反之，不成立，故 是 的必要条件，故正确；
对于C选项，当 时， ，但此时 ，故 不是 的必要条件，故错误；
对于D选项，当 时， ，但此时 ，故故 不是 的必要条件，故错误.
故选：B
4．（2022·湖南·一模）（多选）下列选项中，与“ ”互为充要条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】 的解为 ，
对于A，因为 为 的真子集，故A不符合；
对于B，因为 等价于 ，其范围也是 ，故B符合；
对于C， 即为 ，其解为 ，故C符合；
对于D， 即 ，其解为 ，
为 的真子集，故D不符合，故选：BC.
考点三 根据充分、必要条件求参
【例3】（2021·河南·高三阶段练习）已知命题 “关于 的方程 有实根”，若非 为真命题
的充分不必要条件为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】若 为真命题，则 ，解得 ，若非 为真命题，则 ，由题意可得 ，则 ，解得 .故选：A.
【一隅三反】
1．（2022·河南河南·模拟预测）若 是 成立的一个充分不必要条件，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得 ，而
则 ，故 ，故选：D
2．（2022·江西南昌）已知 ， , ：“ ”， ：“ ”，若 是 的充分不必
要条件，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】“ ”，“x2+y2≤r2”表示的平面区域如图所示，
由p是q的必要不充分条件，则圆心O（0，0）到直线AD：x+y﹣1＝0的距离小于等于 ，
即0 ，故选A．3．（2021·云南省玉溪）设M为实数区间，a>0且 ，若“ ”是“函数 在
（0,1）上单调递减”的一个充分不必要条件，则区间M可以是
A． B．（1,2） C．（0,1） D．
【答案】B
【解析】因为 和f(x)在定义域上是减函数，所以a>1，由充分不必要条件结合选项M为（1,2），故选
B．
4．（2022·广东湛江）已知函数 ，且给定条件 “ ”，条件
“ ”，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
当 时， ，则 ，所以 ，又当 时，，若 是 的充分不必要条件，则 ，所以 ，故选择A.
考点四 命题真假的判断
【例4-1】（2021·西藏林芝·高三阶段练习）有四个关于三角函数的命题：
： x R， + = ： x，y R，
： +2kπ (k Z) ： x ，
其中真命题的是 （ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【解析】 ， ，故 错误；
：存在 ，使 ，故 正确；
：当 ， 时， ，此时 ，故 错误；
， ， ，故 正确．
故选： ．
【例4-2】（2022·全国·高三专题练习）已知 ，有下列四个命题：
： 是 的零点；
： 是 的零点；
： 的两个零点之和为1
： 有两个异号零点
若只有一个假命题，则该命题是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】由题意，若 ， 是真命题，则 ， 均为假命题，不合题意，故 ， 中必有一个假命题.
若 是假命题， ， 是真命题，则 的另一个零点为 ，此时 为真命题，符合题意；
若 是假命题， ， 是真命题，则 的另一个零点为 ，此时 为假命题，不符合题意.
故选:A.
【一隅三反】
1．（2022·全国·模拟预测（文））已知直线a、b、l和平面 、 ， ， ， ，且 ．
对于以下命题，下列判断正确的是（ ）
①若a、b异面，则a、b至少有一个与l相交；
②若a、b垂直，则a、b至少有一个与l垂直．
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①是假命题，②是假命题 D．①是真命题，②是真命题
【答案】D
【解析】对于①：倘若a、b都不与交线相交则只有一种可能即a、b均平行于交线，所以当a、b异面时，
必有一条直线与交线相交；
对于②：根据面面垂直的性质定理，若a、b垂直，则至少有 ，或者 ，故a、b中至少有一条线
垂直于交线.故选：D
2．（2022·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））下列命题为假命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ， ，则
C．若 ，则 D．若 ， ，则
【答案】D
【解析】对于A：若 ，则 ，故选项A正确；
对于B：若 ， ，则 ，所以 ，故选项B正确；
对于C：将 两边同时乘以 可得： ，
将 两边同时乘以 可得 ，所以 ，故选项C正确；
对于D：取 ， ， ， ，满足 ， ，但 ， ，不满足 ，故选项D不正确；所以选项D是假命题，
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量 ，有下列四个命题：
甲： 乙：
丙： 丁：
如果只有一个假命题，则该命题为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【解析】由于乙、丙的真假性相同，所以乙、丙都是真命题，故 ，
根据正态分布的对称性可知：丁： 为真命题，所以甲为假命题.
并且， .所以假命题的是甲.故选：A.
考点五 含有一个量词的求参
【例5-1】（2020·辽宁·沈阳二中）已知命题“ ，使 ”是假命题，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为命题“ ，使 ”是假命题，所以 恒成立，
所以 ，解得 ，故实数 的取值范围是 ．故选：B．
【例5-2】（2021·河南·罗山县教学研究室一模）设命题p： ，x 若 是真命题，则
实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．(- D．(-
【答案】B【解析】命题p： ，x 所以 ： ， ，
由 是真命题可得， ，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，所以 ，故选：B
【一隅三反】
1．（2021·山东·泰安一中模拟预测）若“ ”为假命题，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意知命题“ ”为假命题，则“ ”为真命
题，
所以 ，则 ，解得 ，所以 的取值范围为 .故选：A
2．（2021·全国·模拟预测）已知函数 ，若命题“ ， ”为假命题，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知 且 ，命题“ ， ”为真命题，
当 时， ，易知 在 上单调递减，其最小值为 ，
则由 恒成立得 ，即 ；
当 时， 恒成立，则 ，此时函数 为增函数，故 ，得 ．综上， ，
即实数 的取值范围是 ．故选：A
3．（2022·辽宁）（多选）已知命题 ，若 为真命题，则 的值可以为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．3
【答案】BCD
【解析】当 时， ， 为真命题，则 ，
当 时，若 为真命题，则 ，解得 且 ，
综上， 为真命题时， 的取值范围为 .
故选：BCD
