跟踪训练02常用逻辑用语（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

跟踪训练 02 常用逻辑用语 一．选择题（共15小题） 1．已知 为非零实数，则“ ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：由 ，即 ，即 ， 解得 或 ， 所以由 可以推出 ，故充分性成立， 由 推不出 ，故必要性不成立， 所以“ ”是“ ”的充分不必要条件． 故选： ． 2．已知非零向量 ， ， ，则“ ”是“ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：非零向量 ， ， ， ①若 成立，则 一定成立， ②若 成立，只表示向量 和 在向量 上的投影相等，而 不一定成立， 是 的充分不必要条件． 故选： ． 3．设 ， ，则“ ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：由 推不出 ，比如 时，不是充分条件， 由 ，得 ，则 ，是必要条件， 故“ ”是“ ”的必要不充分条件， 故选： ． 4．“ ”是“ ”的 A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件 【解答】解：因为 ， 所以 ， 或 ， 所以 或 ， 故“ ”是“ ”的必要不充分条件． 故选： ． 5．命题“ ， ”的否定是 A． ， B． ， C． ， D． ， 【解答】解：命题“ ， ”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“ ， ”的否定是： ， ． 故选： ． 6．数列 的通项公式为 ．则“ ”是“ 为递增数列”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：由题意，若 为递增数列，则 恒成立， 即 ， 等价于 ，解得 ， 则“ ”是“ 为递增数列”的充分而不必要条件． 故选： ． 7．使命题“ ， ， ”成立的一个充分不必要条件可以是 A． B． C． D． 【解答】解：因为 ， ， ， 即 在 ， 上恒成立，只需 ， 又 ， ，所以 ，则 ， 又 ， ， ， 所以使命题“ ， ， ”成立的一个充分不必要条件可以是 ． 故选： ． 8．已知 ，则“ ”是“ ”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【解答】解：由 ，可得 ， ， “ ”是“ ”的必要不充分条件． 故选： ． 9．若x，y R，则“x＞y”的一个充分不必要条件可以是（ ） ∈A．|x|＞|y| B．x2＞y2 C． D．2x﹣y＞2 【解答】解：由|x|＞|y|，x2＞y2推不出x＞y，排除AB； 由 可得 ，解得x＞y＞0或x＜y＜0， 所以 是x＞y的既不充分也不必要条件，排除C； ，反之不成立，D正确； 故选：D． 10．命题 ， ，则 为 A． ， B． ， C． ， D． ， 【解答】解：因为对全称量词的否定用特称量词， 所以命题 ， 的否定为： ， ． 故选： ． 11．命题 ：“ ， ”，命题 ：“ ”，则 是 的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解答】解：对于命题 ：“ ， ”， △ ，得 ， 可以推出 ，但是 不能推出 ， 是 的充分不必要条件． 故选： ．12．已知函数 ，则“函数 是偶函数” 是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解： 函数 ， 即 ， 则函数 是偶函数 ， ， 即 ， ， 当 时， ． 故“函数 是偶函数”是“ ”的必要不充分条件． 故选： ． 13．若命题 ，命题 ， ，则 是 的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：当 ，则 ， 异号， 故存在两种情况 ， 或 ， ，故 无法推出 ， 当 ， ，此时 ， 故 能推出 ， 所以 是 的必要不充分条件． 故选： ． 14．给出下列四个命题，其中正确命题为A．“ ， ”的否定是“ ， ” B．“ ”是“ ”的必要不充分条件 C． ， ，使得 D．“ ”是“ ”的充分不必要条件 【解答】解： ， ， 的否定是 ， ， 错误， ，当 ， 时，满足 ，但 不成立， 错误， ，当 ， 时， 成立， 正确， ， 在 上为增函数， ， 是 的充要条件， 错误． 故选： ． 15．已知 ， 为实数，则使得“ ”成立的一个充分不必要条件为 A． B． C． D． 【解答】解：对于 ，如果 ，例如 ， ，则 ，不能推出 ， 如果 ，则必定有 ，既不是充分条件也不是必要条件，错误； 对于 ，如果 ，因为 是单调递增的函数，所以 ，不能推出 ，例 如 ， ， 对于 ，如果 ，根据对数函数的单调性可知 ， ，但不能 推出 ，例如 ， ，不是充分条件， 如 果 ， 则 ， ， 是 必 要 条 件 ， 即是 的必要不充分条件，错误； 对于 ，如果 ，则必有 ，是充分条件，如果 ，例如 ， ，则不能推出 ，所以是充分不必有条件，正确． 故选： ． 二．多选题（共5小题） 16．命题“ ， ， ”是真命题的一个必要不充分条件是 A． B． C． D． 【解答】解：依题意，命题“ ， ， ”是真命题， 所以 对任意 ， 上恒成立，所以 ， 其必要不充分条件是 或 ． 故选： ． 17．下列说法正确的是 A．命题“ ， ”的否定是“ ， ” B．已知 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件 C．函数 的单调增区间是 D． ， 【解答】解：对于 ，命题命题“ ， ”的否定是“ ， ”，故 正确； 对于 ，由 ，得 ， “ “是“ ”的必要不充分条件，故 正确；对于 ，由 ，得函数的定义域为 ， ， ， 由 的增区间为 ，故 错误； 对于 ，作出函数 和 的图象， ， 在 上， 恒成立，故 错误． 故选： ． 18．设 为正实数，且 ，已知函数 ，使得函数在 上单调 递减成立的充分不必要条件是 A． B． C． D． 【解答】解：因为 为正实数，且 ，且函数 ，使得函数在 上单调递减成立， 则 ，则 ，根据充分不必要条件的定义可知： ， ，满足题意， 故选： ． 19．以下说法正确的有 A．“ 且 ”是“ ”的充要条件 B．若 ，则 C．命题“ ，使得 ”的否定是“ ，使得 ” D．当 时， 的最小值为 【解答】解：对于 ，当 且 时，有 ；当 时， 或 ，得不出 且 ．所以，“ 且 ”是“ ”的充分不必要条件，故 错误； 对于 ，由 可知 ，由不等式的性质，可得 成立，故 正确； 对于 ，由存在量词命题的否定可知命题“ ，使得 ”的否定是“ ， 使得 ”，故 正确； 对于 ，令 ，因为 在 上单调递减，所以 ，故 错误． 故选： ． 20．下列选项中说法错误的是 A．若函数 的定义域为 ， ，则函数 的定义域为 B．函数 的单调递增区间是 ， ， C．设 ， ，则“ ”是“ ”的充要条件D．函数 的最小值为 【解答】解：因为函数 的定义域为 ， ，所以 ，所以由 解得 ，即函数 的定义域为 ，故 正确； 取 时， （1） ，故 在 ， ， 上不是增函数，故 错误； 当 时，由 推不出 ，所以“ ”不是“ ”的充要 条件，故 错误； 因为 ，当且仅当 时等号成立，显然取不到 等号，故 不是最小值，故 错误． 故选： ． 三．填空题（共5小题） 21．“ ，使得 成立”的一个充分不必要条件可以是 （答案不 唯一） （写出满足题意的一个即可） 【解答】解：“ ，使得 成立”的充要条件是： ， ， ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， “ ，使得 成立”的一个充分不必要条件可以是 ．故答案为： （答案不唯一）． 22．能说明“ ， ， ”是假命题的一个实数 的取值是 ， ． 【解答】解： ， 时， ， ，所以 时 的取值范围是 ； 所以“ ， ， ”是假命题的一个实数 的取值是 ， ． 故答案为： ， ． 23．若“ ， ”为真命题，则实数 的取值范围为 或 ． 【 解 答 】 解 ： 若 “ ， ” 为 真 命 题 ， 则 有解， 当 时，不等式可化为 ，显然有解； 当 时 ， 是 开 口 向 下 的 二 次 函 数 ， 则 有解； 当 时 ， 是 开 口 向 上 的 二 次 函 数 ， 则 “ 有 解 ” 等 价 于 △ ， 即 ，解得 或 ，结合 有： 或 ； 综上，实数 的取值范围为： 或 ． 故答案为： 或 ．24．已知命题 ， ，若 是假命题，则实数 的取值 范围是 ， ， ． 【解答】解：命题 ， ， 若命题 为假命题， 则命题 为真命题，故 ， 为真命题； 故 ， 解得 或 ，即 的取值范围为 ， ， ． 故答案为： ， ， ． 25． 是复数 为纯虚数的 必要不充分 条件．（填“充分不必要， 必要不充分，充分必要，既不充分也不必要” 【解答】解：当 时，复数 为纯虚数不一定成立， 故 是复数 为纯虚数的不充分条件 当复数 为纯虚数时， 成立 故 是复数 为纯虚数的必要条件 故 是复数 为纯虚数的必要不充分条件 故答案为：必要不充分 四．解答题（共3小题） 26．已知非空集合 ， ，全集 ． （1）当 时，求 ； （2）若“ ”是“ ”的必要条件，求实数 的取值范围．【解答】解：（1）当 时， ，而 ， ，故 故 ． （2）因为 非空，故 即 ． 因为“ ”是“ ”的必要条件，故 ， 故 ，故 ． 27．设全集 ，集合 ，集合 ． （1）若 ，求实数 的取值范围； （2）求 ； （3）有三个条件：① ，② ，③若“ ”是“ ”的必要条 件，从这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数 的取值范围． 【解答】解：（1）集合 ， 若 ，则 ， 解得 ， 所以实数 的取值范围是 ， ． （2）全集 ，集合 ， 由 ，可得 ， 化简得 ，即 ，解得 或 ， 或 ， 所以 ．（3）有三个条件：① ，② ，③若“ ”是“ ”的必要条 件， 从这三个条件中任选一个作为已知条件，都可得 ，又集合 或 ， ①若 ，由（1）可知 ，此时满足 ，符合题目要求， ②若 ，要满足 ，则 或 ， 解得 或 ， 综上所述可得实数 的取值范围是 或 ． 所以实数 的取值范围是 ， ， ． 28．设命题 ：实数 满足 ，命题 ：实数 满足 ，其中 ．若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围． 【解答】解： 是 的充分不必要条件， ， ， 则 ，解得 ， 故实数 的取值范围是 ， ．