文档文本内容
1.2 集合间的基本关系（讲义）
目录
1
知识点01 集合与集合的关系...............................................................................2
2
知识点02 真子集...................................................................................................2
3
知识点03 空集.......................................................................................................2
4
题型一、子集、真子集、非空真子集的个数....................................................3
5
题型二、集合间的包含关系................................................................................4
1
知识点01 集合与集合的关系
（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A 中任意一个元素都是集合
B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集．
记作：A⊆B(或B⊇A)
读作：A 包含于B（或B 包含A）．
图示：
（2）如果两个集合所含的元素完全相同（
），那么我们称
这两个集合相等，即A 是B 的子集，B 也是A 的子集
记作：
读作：A 等于B．
图示：
2
知识点02 真子集
若集合
，存在元素
，则称集合A 是集合B 的真子集．
记作：A⫋B（或B A）
读作：A 真包含于B（或B 真包含A）
图示：
3
知识点03 空集
空集的概念：不含有任何元素的集合称为空集，记作：
．
规定：空集是任何集合的子集．
结论：
（1）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（2）若
则
（3）一般地，一个集合元素若为n 个，则其子集数为2
n个，其真子集数为
2
n-1个，非空真子集的个数为2
n-2，特别地，空集的子集个数为1，真子集个
数为0．
4
题型一、子集、真子集、非空真子集的个数
1．一个集合有5 个元素，这个集合的子集个数共有（ ）
A．16
B．31
C．32
D．64
【答案】C
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】利用集合子集个数的公式计算作答.
【详解】有5 个元素的集合的子集个数为
.
故选：C
2．已知集合
，则集合
有几个子集，几个非空真子集（ ）
A．8；7
B．16；14
C．8；6
D．16；15
【答案】B
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】根据集合
中元素个数直接求出子集及非空真子集个数即可.
【详解】集合
中有4 个元素，
所以集合
有
个子集，有
个非空真子集.
故选：B
3．已知集合
，则
的子集个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】根据子集个数的计算公式，计算出集合
的子集个数.
【详解】因为集合
，所以集合
的子集个数为
个.
故选：D.
4．集合
的真子集个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】根据含有
个元素的集合的真子集有
个计算可得.
【详解】集合
含有
个元素，
所以集合
的真子集有
个.
故选：C
5．若集合
则
的真子集的个数为（ ）
A．32
B．31
C．25
D．24
【答案】B
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】根据真子集个数的计算公式运算即可.
【详解】集合
共有5 个元素，
所以集合
共有
个真子集.
故选：B
6．已知集合
，则集合
的非空子集个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】A
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】根据子集的概念写出集合
的所有子集，再去掉空集可得答案.
【详解】集合
所有子集为：
，
，
，
，
，
，
，
，
其中非空子集为：
，
，
，
，
，
，
，共7 个.
故选：A
7．集合{x∈N|x=5-2n，n∈N}的子集的个数是（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
【答案】B
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】根据集合的描述法，列举出集合中的元素，由子集个数
即可求解.
【详解】∵x∈N，n∈N，
∴集合{x∈N|x=5-2n，n∈N}={1，3，5}．
∴其子集的个数是23=8．
故选：B
【点睛】本题考查了求子集的个数，列举法表示集合，属于基础题.
8．集合
的真子集的个数是（ ）
A．3
B．4
C．7
D．8
【答案】A
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】化简集合
得出集合
中元素个数即可求解.
【详解】由题知
，所以集合
的真子集的个数是
．
故选：A.
9．已知
，则集合M 的真子集的个数是（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16
【答案】C
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】先求得集合
，然后求得集合
的真子集.
【详解】依题意，
，
所以集合
有
个元素，真子集的个数为
个.
故选：C
10．集合
的子集个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】先求出集合
，再由子集定义求其个数即得.
【详解】由题意得
，则集合
的子集个数为
.
故选：B.
11．已知集合
，则集合
的非空子集个数共有（
）
A．3
B．7
C．8
D．15
【答案】B
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】利用列举法表示集合
，确定集合
中元素的个数，进而可求得集合
的非空子集个数.
【详解】
，集合
中共
个元素，
因此，集合
的非空子集个数是
.
故选：B
12．集合
的真子集的个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】根据题意求得集合
，再根据集合真子集个数的计算方法，
即可求解.
【详解】∵集合
，
∴集合
，则集合
的真子集的个数是
.
故选：D.
13．设集合
，则集合A 的子集个数为（ ）
A．4
B．16
C．8
D．9
【答案】B
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、常用数集或数集关系应用
【分析】根据条件，先化简集合A，再利用子集个数的计算公式，即可求解.
【详解】由
，
则集合A 的子集个数为
.
故选：B.
14．已知集合
，则集合A 的真子集的个数为
（ ）
A．3
B．4
C．8
D．7
【答案】D
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】解不等式化简集合
，再求出其真子集个数.
【详解】集合
所以集合A 的真子集的个数为
.
故选：D
5
题型二、集合间的包含关系
1．下列结论正确的是（ ）
A．任何一个集合至少有两个子集
B．空集是任何集合的真子集
C．若
且
，则
D．若
且
，则
【答案】C
【知识点】判断元素与集合的关系、判断集合的子集（真子集）的个数、判断
两个集合的包含关系、空集的性质及应用
【分析】利用空集的性质以及子集，真子集的定义、元素与集合的属于关系、
集合与集合的包含关系对各个问题逐个判断即可求解．
【详解】解：A．空集只有一个子集，是它本身，故错误，不符合题意；
B．空集是任何非空集合的真子集，故错误，不符合题意；
C．若
且
，则
，正确，符合题意；
D．若
且
，则
不一定相等，故错误，不符合题意；
故选：C．
2．已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．A
【答案】D
【知识点】描述法表示集合、判断两个集合的包含关系
【分析】由题可化简集合A，由集合关系可判断选项正误.
【详解】由题可得
，则
，故ABC 错误，D 正确.
故选：D
3．设集合
，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
，即得：
.
【详解】因为
，
，
所以
，
故选：D
【点睛】本题考查了元素与集合，集合与集合的关系，考查学生的分析能力，
属于基础题.
4．如果集合
，那么（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系
【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系，即可判断选项.
【详解】根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系可知，
，
，
或
，其中只有D 正确.
故选：D
5．下列各式，①
；②
；③
；④
；⑤
.其中错误的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系
【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的包含关系，即得解.
【详解】由于①
；②
；③
；④
；⑤
，因此其中错误的有2 个.
故选：B
【点睛】本题考查了元素与集合，集合与集合之间的包含关系，考查了学生的
概念理解能力，属于基础题.
6．给出下列4 个关系式：①
；②
；③
；④
，其中
正确的个数为：（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系
【分析】根据常见数集的符号表示，结合属于关系与包含关系的定义、空集的
性质进行判断即可.
【详解】因为
是实数，所以①
正确；
因为所以的整数都是有理数，所以
，因此②
不正确；
因为空集中没有元素，所以③
不正确；
因为空集是任何集合的子集，所以④
正确，
因此正确的个数为
，
故选：B
7．下列Venn 图能正确表示集合
和
关系的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】判断两个集合的包含关系
【分析】确定集合
，
的关系，然后选择合适的图象即可.
【详解】
，又
，
所以
，选项B 符合，
故选：B.
8．已知集合
，
，若
，则满足集合
的个数为（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【知识点】判断两个集合的包含关系、判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A 即可得解.
【详解】因为
，
所以
可以是
共8 个，
故选：D
9．在下列选项中，能正确表示集合
和
的关系
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】判断两个集合的包含关系
【分析】先求出集合B，然后利用两个集合之间的关系进行判断即可.
【详解】由
，可得
，又
，所以
故选：B
10．已知集合
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系
【分析】首先列举法表示集合
，再判断选项.
【详解】由条件可知，
，根据元素与集合的关系，以及集合与集
合的关系，
可知，
.
故选：C
11．若集合
满足
，则
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】求集合的子集（真子集）、判断两个集合的包含关系
【分析】根据集合的包含关系写出集合
，即可得答案.
【详解】由
，则
或
.
故选：A
12．下列表达式中不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系
【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系，逐项判断得解.
【详解】对于
正确；对于
中无任何元素，而
有一个元素
错误；
对于C，
，C 正确；对于D，数对
满足
，则D 正确.
故选：B
