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§1.2 常用逻辑用语
课标要求 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性
质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确
对两种命题进行否定．
知识梳理
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的____________条件，q是p的____________条件
p是q的____________条件 p q且q p
⇒
p是q的____________条件 p q且q p
⇒ ⇏
p是q的____________条件 p q
⇏ ⇒
p是q的________________条件 p q且q p
⇔
⇏ ⇏
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号
“__________”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号
“________”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记
否定 ∃x∈M，綈p(x)
常用结论
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若p是q的充分条件，则A⊆B；
(2)若p是q的充分不必要条件，则AB；
(3)若p是q的必要不充分条件，则BA；
(4)若p是q的充要条件，则A＝B.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p与p的否定的真假性相反．自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．( )
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．( )
(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．( )
(4)命题“∃x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题．( )
2．(必修第一册P30例4(1)改编)(多选)已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是
( )
A．p是真命题
B．綈p：∀x∈R，x＋2>0
C．綈p是真命题
D．綈p：∃x∈R，x＋2>0
3．(必修第一册P22T2(5)改编)设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范
围为________________________.
题型一 充分、必要条件的判定
例1 (1)(2023·葫芦岛模拟)已知向量n为平面α的一个法向量，向量m为直线l的一个方向
向量，则m∥n是l⊥α的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)在等比数列{a}中，“a>0，且公比q>1”是“{a}为递增数列”的( )
n 1 n
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
思维升华 充分、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p是否成立进行判断．
(2)集合法：根据p⇒，q成立⇒对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必
要条件是否成立为止．
跟踪训练1 (1)(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)，则“φ＝”是“f(x)是奇函数”的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)当命题“若p，则q”为真命题，则“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是
q成立的充分条件．也可以这样说，若 q不成立，那么p一定不成立，q对p成立也是很必
要的．王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险
远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”
的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型二 充分、必要条件的应用
例2 在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈
∁R
A”是“x∈
∁R
B”的必要条件这两
个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题．
问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)若________，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
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充分不必要条件的等价形式
p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件．
典例 已知命题p：|x|≤1，q：x＜a，若綈q是綈p的充分不必要条件，则实数a的取值范
围为________________________________________________________________________．
跟踪训练2 从①“充分不必要条件”，②“必要不充分条件”这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并解答下列问题：已知集合 A＝，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，
m∈R}．
(1)若m＝3，求A∪B；
(2)若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正实数m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
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题型三 全称量词与存在量词
命题点1 含量词的命题的否定
例3 (1)(多选)下列说法正确的是( )
A．“正方形是菱形”是全称量词命题
B．∃x∈R，ex1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x≤1，使得2x＋1≤5”
(2)写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：
________________________________________________________________________.
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命题点2 含量词的命题的真假判断
例4 (多选)下列命题中的真命题是( )
A．∀x∈R,2x－1>0
B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lg x<1
D．∃x∈R，tan x＝2
命题点3 含量词的命题的应用
例5 (1)若命题“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．(－∞，2] D．(－∞，5]
(2)(多选)命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题，则实数m的取值可以是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
跟踪训练3 (1)下列命题为真命题的是( )
A．任意两个等腰三角形都相似B．所有的梯形都是等腰梯形
C．∀x∈R，x＋|x|≥0
D．∃x∈R，x2－x＋1＝0
(2)(多选)已知命题p：∀x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，命题q：∃x∈[1,3]，不等
式x2－ax＋4≤0，则下列说法正确的是( )
A．命题p的否定是“∃x∈[0,1]，不等式2x－2
