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§1.2 常用逻辑用语
课标要求 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性
质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确
对两种命题进行否定．
知识梳理
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
⇒
p是q的必要不充分条件 p q且q p
⇒ ⇏
p是q的充要条件 p q
⇏ ⇒
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
⇔
⇏ ⇏
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，
并用符号“∀”表示．
(2)存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为
存在量词，并用符号“∃”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 ∀ x ∈ M ， p ( x ) ∃ x ∈ M ， p ( x )
否定 ∃x∈M，綈p(x) ∀ x ∈ M ， 綈 p ( x )
常用结论
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若p是q的充分条件，则A⊆B；
(2)若p是q的充分不必要条件，则AB；
(3)若p是q的必要不充分条件，则BA；
(4)若p是q的充要条件，则A＝B.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．3．命题p与p的否定的真假性相反．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．( √ )
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．( √ )
(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．( √ )
(4)命题“∃x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题．( × )
2．(多选)已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是( )
A．p是真命题
B．綈p：∀x∈R，x＋2>0
C．綈p是真命题
D．綈p：∃x∈R，x＋2>0
答案 CD
解析 当x＝0时，x＋2≤0不成立，故p是假命题，故A错误；由含量词命题的否定可知，
p：∀x∈R，x＋2≤0的否定为綈p：∃x∈R，x＋2>0，故D正确，B错误；綈p是真命题，
故C正确．
3．设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
4．已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范
围为________．
答案 (－∞，3)
解析 由题意知，x∈A x∈B，x∈B x∈A，即AB，所以a<3.
⇒ ⇏
题型一 充分、必要条件的判定
例1 (1)(2023·葫芦岛模拟)已知向量n为平面α的一个法向量，向量m为直线l的一个方向
向量，则m∥n是l⊥α的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件答案 C
解析 当m∥n时，l⊥α，
当l⊥α时，m∥n，
综上所述，m∥n是l⊥α的充要条件．
(2)在等比数列{a}中，“a>0，且公比q>1”是“{a}为递增数列”的( )
n 1 n
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当a>0，且q>1时，有a －a ＝aqn－aqn－1＝aqn－1(q－1)>0，所以a >a(n∈N
1 n＋1 n 1 1 1 n＋1 n
)，即{a}为递增数列；当{a}为递增数列时，即对一切n∈N ，有a >a 恒成立，所以a
＋ n n ＋ n＋1 n n
－a ＝aqn－1(q－1)>0，但a<0且00，且q>1.则
＋1 n 1 1 1
“a>0，且公比q>1”是“{a}为递增数列”的充分不必要条件．
1 n
思维升华 充分、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p是否成立进行判断．
(2)集合法：根据p⇒，q成立⇒对应的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必
要条件是否成立为止．
跟踪训练1 (1)(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)，则“φ＝”是“f(x)是奇函数”的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 f(x)是奇函数等价于cos(－2x＋φ)＝－cos(2x＋φ)，
即cos(－2x＋φ)＝cos(π－2x－φ)，
故－2x＋φ＝π－2x－φ＋2kπ，k∈Z，
所以φ＝＋kπ，k∈Z.
则“φ＝”是“f(x)是奇函数”的充分不必要条件．
(2)当命题“若p，则q”为真命题，则“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是
q成立的充分条件．也可以这样说，若 q不成立，那么p一定不成立，q对p成立也是很必
要的．王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险
远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立，
所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件．
题型二 充分、必要条件的应用
例2 在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈
∁R
A”是“x∈
∁R
B”的必要条件这两
个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题．
问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)若________，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 (1)由(x＋1)(x－3)<0，
解得－10，
解不等式x2－4x＋4－m2≤0，
得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，
因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，
则有AB，
于是得或解得m>4或m≥4，即有m≥4，
所以正实数m的取值范围是m≥4.
选②，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，
解不等式x2－4x＋4－m2≤0，
得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，
因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，
则有BA，
于是得－2<2－m<2＋m≤5或－2≤2－m<2＋m<5，
解得01，都有2x＋1>5”的否定为“∃x≤1，使得2x＋1≤5”
答案 ABC
解析 对于A，“正方形是菱形”等价于“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题，故
A正确；对于B，当x＝1时，e1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x>1，使得2x＋1≤5”，故D不正确．
(2)写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：________________________.
答案 至少有一个实数是无理数
命题点2 含量词的命题的真假判断
例4 (多选)下列命题中的真命题是( )
A．∀x∈R,2x－1>0
B．∀x∈N
＋
，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lg x<1
D．∃x∈R，tan x＝2
答案 ACD
解析 指数函数的值域为(0，＋∞)，
所以∀x∈R,2x－1>0，故A正确；
当x＝1时，(x－1)2＝0，所以∀x∈N ，(x－1)2>0是假命题，故B错误；
＋
当x＝1时，lg x＝0<1，所以∃x∈R，lg x<1，故C正确；
函数y＝tan x的值域为R，所以∃x∈R，tan x＝2，故D正确．
命题点3 含量词的命题的应用
例5 (1)若命题“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．(－∞，2] D．(－∞，5]
答案 B
解析 由“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题可知，
不等式m≤x2＋1，对∀x∈[－1,2]恒成立，
因此只需m≤(x2＋1) ，x∈[－1,2]，
min
易知函数y＝x2＋1在x∈[－1,2]上的最小值为1，所以m≤1.
即实数m的取值范围是(－∞，1]．
(2)(多选)命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题，则实数m的取值可以是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 ABC
解析 若命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为真命题，
则Δ＝22－4(2－m)＝4m－4>0，解得m>1，
所以当命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题时，m≤1，
符合条件的为A，B，C选项．思维升华 含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到
一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题
求参数的范围．
跟踪训练3 (1)下列命题为真命题的是( )
A．任意两个等腰三角形都相似
B．所有的梯形都是等腰梯形
C．∀x∈R，x＋|x|≥0
D．∃x∈R，x2－x＋1＝0
答案 C
解析 对于A，任意两个等腰三角形不一定相似，故A错误；对于B，所有的梯形都是等腰
梯形是假命题，故B错误；对于C，因为∀x∈R，|x|≥－x，即x＋|x|≥0，故C正确；对于
D，因为∀x∈R，x2－x＋1＝2＋≥>0，故D错误．
(2)(多选)已知命题p：∀x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，命题q：∃x∈[1,3]，不等
式x2－ax＋4≤0，则下列说法正确的是( )
A．命题p的否定是“∃x∈[0,1]，不等式2x－20”，故B错误；若命题p为真命题，则当x∈[0,1]时，(2x
－2) ≥m2－3m，即m2－3m＋2≤0，解得1≤m≤2，故C正确；若命题q为假命题，则
min
∀x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4>0为真命题，即a0，sin x－x≤0”的否定为( )
A．∀x≤0，sin x－x>0
B．∃x>0，sin x－x≤0C．∀x>0，sin x－x>0
D．∃x≤0，sin x－x>0
答案 C
解析 由题意知命题“∃x>0，sin x－x≤0”为存在量词命题，
其否定为全称量词命题，即∀x>0，sin x－x>0.
2．下列命题中，p是q的充分条件的是( )
A．p：ab≠0，q：a≠0
B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0
C．p：x2>1，q：x>1
D．p：a>b，q：>
答案 A
解析 对于 A，ab≠0 a≠0，故 p 是 q 的充分条件；对于 B，a2＋b2≥0 ⇏a≥0 且
b≥0，故p不是q的充分⇔条⇒件；对于C，x2>1 x>1或x<－1⇏x>1，故p不是q⇔的充分条件；
对于D，当a>b时，若b，⇔故p不是q的充分条件．
3．设λ∈R，则“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行，
则3(1－λ)－λ(λ－1)＝0，解得λ＝1或λ＝－3，
经检验，当λ＝1或λ＝－3时，两直线平行．
即“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的充分不必要条件．
4．已知p：>1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是( )
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，1]
答案 C
解析 由>1可得x(x－1)<0，解得0m}，
若p是q的充分条件，
则A是B的子集，所以m≤0，
所以实数m的取值范围是(－∞，0]．
5．下列说法正确的是( )
A．“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题B．“xy>0”是“x＋y>0”的充要条件
C．命题“∃x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“∀x∈R，x2＋1<0”
D．若“10，但x＋y＝－3<0，不是充要条件，B错误；
命题“∃x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤0”，C错误；
“10对一切x∈R恒成立，q：对数函数y＝log x在(0，
(4－3a)
＋∞)上单调递减，那么p是q的( )
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若关于x的不等式x2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立，则Δ＝a2－4<0，即－20，xx ＝m<0，则方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根，满
1 2
足充分性，
所以“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根”的充要条件是“m<0”，故B正确；
对于C，若幂函数y＝ 为反比例函数，则解得m＝0，满足必要性，
当m＝0时，函数y＝x－1为幂函数，也为反比例函数，满足充分性，
所以“幂函数y＝ 为反比例函数”的充要条件是“m＝0”，故C正确；
对于D，若函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调，则11，
解得a>0，
所以a的取值范围是(0，＋∞)．
14．《墨子·经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然，体也，若有端，大故，有
之必然，若见之成见也．”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指
的是逻辑中的________________．(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条
件”或“既不充分也不必要条件”)
答案 必要不充分条件
解析 由“小故，有之不必然，无之必不然”，
知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件，
故“小故”是逻辑中的必要不充分条件．
15．已知等比数列{a}的首项为1，则“a 0，所以a ＝aq2 020>0，
1 2 021 1
所以q3>1，所以q>1；
若a 0，所以a ＝aq2 022>0，
1 2 023 1
所以q2－1>0，解得q>1或q<－1.
所以“a
