专题1.2 常用逻辑用语
1.2.1 充分条件和必要条件
知识点梳理
充分条件与必要条件和集合的联系，设p:x∈A，q:x∈B则
p 是q 的充分条件
p⇒q
A⊆B
p 是q 的必要条件
q⇒p
A⊇B
p 是q 的充要条件
p⇒q且q⇒p
A = B
p 是q 的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
A⫋B
p 是q 的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
B⫋A
p 是q 的既不充分也不必要条
件
p⇏q且q⇏p
A⊈B且B⊈A
典型例题
例1. “0<a<1,0<b<1”是“方程a x
2=1−by
2表示的曲线为椭圆”的（ ）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
解：方法一：方程a x
2=1−by
2即方程a x
2+ by
2=1，表示椭圆的充分必要条件是
a>0,b>0,a≠b.
“
显然0<a<1,0<b<1”
“
是a>0,b>0,a≠b”既不充分也不必要条件，故
“0<a<1,0<b<1”
“
是方程a x
2=1−by
2
”
表示的曲线为椭圆的既不充分也不必要条件.
方法二：当a = b=1
4
“
时，满足0<a<1,0<b<1”，此时题中方程可化为：x
2+y
2=4，表示的
曲线是圆而不是椭圆.
当a =1,b=4
“
时，不满足0<a<1,0<b<1” ，此时题中方程可化为：x
2+4y
2=1，
x
2
1
2 +y
2
(
1
2)
2 =1，表示中心在原点，半长轴为1，半短轴为1
2
“
的椭圆，故0<a<1,0<b<1”是
“
方程a x
2=1−by
2
”
表示的曲线为椭圆的既不充分也不必要条件，故选：D.
例2.设⃗a,⃗b是向量,则(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=0是“⃗a =−⃗b或⃗a =⃗b”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解：因为(⃗a+⃗b) (
⋅⃗a−⃗b)=⃗a
2−⃗b
2=0，可得⃗a
2=⃗b
2，
即|⃗a|=|⃗b|，可知(⃗a+⃗b) (
⋅⃗a−⃗b)=0等价于|⃗a|=|⃗b|，
若⃗a =⃗b或⃗a =−⃗b，可得|⃗a|=|⃗b|，即(⃗a+⃗b) (
⋅⃗a−⃗b)=0，
可知必要性成立；若(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=0，即|⃗a|=|⃗b|，无法得出⃗a =⃗b或⃗a =−⃗b，例如⃗
a =(1,0),⃗b=(0,1)，满足|⃗a|=|⃗b|，但⃗a≠⃗b且⃗a≠−⃗b，可知充分性不成立；综上所
“
述，(⃗a+⃗b) (
⋅⃗a−⃗b)=0”
“
是⃗a≠⃗b且⃗a≠−⃗b”的必要不充分条件.故选：B.
例3.设甲:sin
2α+sin
2β=1,乙: sinα+cosβ=0,则（ ）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解：当sin
2α+sin
2β=1时, 例如α=π
2 ,β=0但sinα+cosβ≠0, 即
sin
2α+sin
2β=1推不出sinα+cosβ=0;
当
sinα+cosβ=0
时
,sin
2α+sin
2β=( cos
−
β)
2+sin
2β=1,
即
sinα+cosβ=0 能推出 sin
2α+sin
2β=1.
综上可知, 甲是乙的必要不充分条件. 故选: B.
随堂演练
1.已知平面α,β,γ,α∩β=l,则“l⟂γ”是“α⟂γ且β⟂γ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解：由于α∩β=l，所以l⊂α,l⊂β.若l⟂γ，则α⟂γ,β⟂γ，故充分性成立.
若α⟂γ,β⟂γ，设α∩γ= m ,β∩γ=n，则存在直线a⊂γ，使得a⟂m，所以
a ⟂α，由于l⊂α，故a ⟂l.同理存在直线b⊂γ，使得b⟂n，所以b⟂β，由于l⊂β
，故b⟂l.由于a,b 不平行，所以a,b是平面γ内两条相交直线，所以l⟂γ，故必要性
成立.故选：C.
2.已知向量⃗a =(2,4),⃗b=(3, 1)
−
,则“k= ❑√2”是“(⃗a+k⃗b) (
⟂⃗a−k⃗b)”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解：因为⃗a =(2,4)，⃗b=(3, 1)
−
，所以⃗a+k⃗b=(2+3k,4−k)，⃗a−k⃗b=(2 3
−k,4+k)
，
当
(⃗a+k⃗b) (
⟂⃗a−k⃗b)时
，
(⃗a+k⃗b)⋅(⃗a−k⃗b)=0，
即
(2+3k)(2 3
−k)+(4−k)(4+k)=0，
解得：k=±❑√2所以“k= ❑√2”是(⃗a+k⃗b) (
⟂⃗a−k⃗b)的充分不必要条件.故选：A.
3.记Sn为数列{an}的前n项和, 设甲:{an}为等差数列; 乙:{
Sn
n )为等差数列, 则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解：甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项a1,公差为d,即Sn=na1+n(n
1)
−
2
d,
则Sn
n =a1+(n
1)
−
2
d=d
2 n+a1−d
2 , 因此{
Sn
n )为等差数列,即甲是乙的充分条件；
反之，乙：{
Sn
n )为等差数列，设Sn+1
n+1 −Sn
n = D,Sn
n =S1+(n
1)
−
D,
即Sn=nS1+n(n
1)
−
D，Sn
1
−=(n
1)
−
S1+(n
1)(
−
n
2)
−
D，
当n≥2时，上两式相减得：Sn−Sn
1
−=S1+2(n
1)
−
D，
当
n=1时
，
上
式
成
立
，
于
是
an=a1+2(n
1)
−
D，
又
an+1−an=a1+2nD
[
−a1+2(n
1)
−
D]=2D为常数，
因此{an)为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件．故选：C.
4.已知f(x)是定义在[0,1]上的函数，那么“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数
f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解：若函数f(x)在[0,1]上单调递增，则f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)，若f(x)在
[0,1]上的最大值为f(1)，比如f(x)=(x−1
3)
2
，但f(x)=(x−1
3)
2
在[0,1
3)为减函
数，在[
1
3 ,1)为增函数，故f(x)在[0,1] 上的最大值为f(1)推不出f(x)在[0,1]上单
调递增，故“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“f(x)在 [0,1]上的最大值为f(1)”
的充分不必要条件，故选：A.
5.等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲: q>0，乙: {Sn}是递增数列，则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解：由题意得：
当数列为
2,
−
−
时,
满足q>0,
但是{Sn}不是递增数列,所以甲不是乙的充分条件.
若{Sn}是递增数列,则必有an>0成立,若q>0不成立,
则会出现一正一负的情况,是矛盾的,则q>0成立,所以甲是乙的必要条件. 故选: B.
6.已知α,β∈R，则“存在 k∈Z使得α=kπ+( 1
−)
kβ”是“sinα=sinβ”的(
)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解: (1)当存在k∈Z使得α=kπ+( 1
−)
kβ 时,
若k为偶数, 则sinα=sin(kπ+β)=sinβ;
若
k为
奇
数
,
则
sinα=sin(kπ−β)=sin[(k
1)
−
π+π−β]=sin(π−β)=sinβ;
(2) 当sinα=sinβ 时, α=β+2 mπ
或α+β=π+2 mπ,
m ∈Z, 即α=kπ+( 1
−)
kβ (k=2 m)或α=kπ+( 1
−)
kβ (k=2 m +1),亦即存在k∈Z
使得α=kπ+( 1
−)
kβ.
所以, “存在k∈Z使得α=kπ+( 1
−)
kβ”
“
是sinα=sinβ”的充要条件.故选: C.
7. 设x∈R,则“sin x=1”是“cosx=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解：因为sin
2x+cos
2x=1可得:
当sin x=1时, cosx=0,充分性成立;
当cosx=0时, sin x=±1,必要性不成立;
所以当x∈R, sin x=1是cosx=0的充分不必要条件.故选: A.
8.若xy≠0,则“x+y=0”是“y
x +x
y = 2
−”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解：充分性：因为xy≠0，且x+y=0，所以x=−y，
所以x
y +y
x =−y
y
+y
−y =
1
−
−
，所以充分性成立；
必要性：因为xy≠0，且x
y +y
x = 2
−，所以x
2+y
2= 2
−xy，即x
2+y
2+2xy=0，即
(x+y)
2=0，所以x+y=0. 所以必要性成立.
“
所以x+y=0”
“
是x
y +y
x = 2
−”的充要条件.
1.2.2 全称量词命题和存在量词命题
知识点梳理
1.全称量词和存在量词
全称量词
存在量词
量词
所有的、任意一个
存在一个、至少有一个
符号
∀
∃
命题
含有全称量词的命
题是全称量词命题
含有存在量词的命题是存在量词命题
命题形
式
“对M 中任意一个x，
p(x)成立”，可用符号
简记为“∀x∈M，p(x)”
“存在M 中的元素x，p(x)成立”，
可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”
2.全称量词命题和存在量词命题的否定：
（1）全称量词命题的否定：全称量词命题∀x∈M，p(x)，否定为：∃x∈M，
p(x)。
（2）存在量词命题的否定：存在量词命题∃x∈M，p(x)，否定为：∀x∈M，
p(x)。
典型例题
例1.下列命题为真命题的是( )
A.1>0且3>4 B.1>2或4>5 C.∃x∈R,cosx>1 D.
∀x∈R,x
2≥0
解：A 项，因为4>3，所以1>0且3>4是假命题，A 错误；
B 项，根据1<2、4<5易知B 错误；
C 项，由余弦函数性质易知cosx≤1，C 错误；
D 项，x
2恒大于等于0，D 正确，故选：D。
例2.已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x
3=x,则( )
A.p和q都是真命题 B.¬ p和q都是真命题
C.p和¬ q都是真命题 D.¬ p和¬ q都是真命题
解：对于p而言，取x= 1
−，则有|x+1)=0<1，故p是假命题，¬ p是真命题，对于q而言，
取x=1，则有x
3=1
3=1=x，故q是真命题，¬ q是假命题，综上，¬ p和q都是真命题. 故选:
B.
例3.命题“∀x∈R ,∃n∈N
∗,n> x
2”的否定形式是( )
A.∀x∈R ,∀n∈N
∗,n≤x
2 B.∃x∈R ,∃n∈N
∗,n< x
2
C.∃x∈R ,∀n∈N
∗,n≤x
2 D.∃x∈R ,∀n∈N
∗,n< x
2
解：由全称量词命题与存在量词命题的否定可知:
命题“∀x∈R ,∃n∈N
∗,n> x
2”的否定形式是“∃x∈R ,∀n∈N
∗,n≤x
2”. 故
选: C.
随堂演练
1.下列命题中的假命题是( )
A.∀x∈R,(
1
2)
x
>0 B.∃x∈R,x
2>1
x
C.∀x∈R,2
|x|>1 D.∃x∈R,tan x>1
解：对于A,因为指数函数的值域为(0,+∞),所以∀x∈R,(
1
2)
x
>0，A 对;
对于B, 当x=1
4 时,x
1
2 =(
1
4)
1
2 =1
2 >1
4
，B 对;
对于C,当x=0时,2
|x|=2
0=1, C 错;
对于D,当x=π
3
时, tanx=tanπ
3
= ❑√3>1, D 对.故选: C.
2.命题 p:∀x>1,❑√x+2x
3
−>0, 命题 q:∃x∈R,2x
2
4
−x+3=0,则( )
A.p真q真 B.p假q假 C.p假q真 D.p真q假
解：对于命题p:令 t= ❑√x>1,则y=t+2t
2
3=2
−
t
2+t
3
−开口向上,对称轴为：t=−1
4
,
且y|x=1=0,则y=2t
2+t
3>0
−
,所以∀x>1, ❑√x+2x
3>0
−
,即命题p为真命题;
对于命题q:因为Δ=( 4
−
)
2
4×
−
,所以方程2x
2
4
−x+3=0无解,即命题q为假命
题.
故选: D.
3.设命题P:∃n∈N ,n
2>2
n, 则¬ P为( )
A.∀n∈N ,n
2≤2
n B.∃n∈N ,n
2≤2
n
C.∀n∈N ,n
2≤2
n D.∃n∈N ,n
2=2
n
解：存在量词命题的否定为全称量词命题,所以命题P的否命题应该为∀n∈N ,n
2≤2
n,即
本题的正确选项为C.
4.命题“∀a>1,函数f(x)=x
a在[a,+∞)上单调递增”的否定为( )
A.∃a>1,函数f(x)=x
a在[a,+∞)上单调递减 B.∃a>1,函数f(x)=x
a在[a,+∞)
上不单调递增
C.∃a≤1, 函数f(x)=x
a在[a,+∞)上单调递减 D.∃a≤1, 函数f(x)=x
a在
[a,+∞)上不单调递增
解：因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“∀a>1，函数f(x)=x
a在[a,+∞)上单调递增”
的否定为“∃a>1，函数f(x)=x
a在[a,+∞)上不单调递增”.故选：B.
5.已知命题p：∃x∈R，x2﹣ax+1＝0，命题q：∀x∈[0，3]，x2﹣ax﹣a+1≥0．若命题p 为真命
题，则a 的取值范围为 ；若p 是假命题，q 是真命题，则实数a 的取值范围为
．
解：①因为命题p：∃x∈R，x2﹣ax+1＝0 为真命题，所以Δ＝a2
4≥0
﹣
，解得a≤
2
﹣或a≥2．
故实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2] [2
∪
，+∞）．
②若p 是假命题，则﹣2＜a＜2，因为命题q：∀x∈[0，3]，x2﹣ax﹣a+1≥0 是真命题，
所以a≤x
2+1
x +1
在x∈[0，3]上恒成立．令t＝x+1，则x＝t
1
﹣，t∈[1，4]，
则x
2+1
x +1 = (t −1)
2+1
t
=t + 2
t −2≥2❑√2−2，当且仅当t = ❑√2时取等号，
所以ymin=2❑√2−2，所以a≤2❑√2−2．综上所述：−2＜a≤2❑√2−2．
故实数a 的取值范围(−2，2❑√2−2]．
6.命题p：∀x∈[1，2]，a≤x2，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，若p，q 都为真命题，求实
数a 的取值范围．
解：因为命题p：∀x∈[1，2]，a≤x2，所以a≤1；
命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，则Δ＝4a2
4
﹣（2﹣a）≥0，解得a≥1 或a≤
2
﹣，
若p，q 都为真命题，则{
a≤1
a≥1
a
或≤−2)，即a≤
2
﹣或a＝1，
故a 的范围为{a|a≤
2
﹣或a＝1}．
7.已知命题p：∀2≤x≤3，x2﹣a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2a＝0．
（1）若命题￢p 为假命题，求实数a 的取值范围；
（2）若命题p 和￢q 均为真命题，求实数a 的取值范围．
解：（1）若命题¬p 为假命题，则命题p 为真命题，
即a≤x2在x∈[2，3]恒成立，所以a≤（x2）min＝4，
即实数a 的取值范围是（﹣∞，4]．
（2）当命题q 为真命题时，因为∃x∈R，x2+2ax+2a＝0，
所以Δ＝4a2
8
﹣a≥0，解得a≤0 或a≥2，
因为¬q 为真命题，则0＜a＜2，
又由（1）可知，命题p 为真命题时a≤4，
所以a≤4 且0＜a＜2，即实数a 的取值范围是（0，2）．
8.已知命题p：“∀x∈R，使得2ax2+ax+1＞0”．
（1）写出命题p 的否定形式￢p；
（2）若命题￢p 是一个假命题，求实数a 的取值范围．
解：（1）￢p：“∃x∈R，使得2ax2+ax+1≤0”；
（2）命题￢p 为假命题，
可得命题p：“∀x∈R，使得2ax2+ax+1＞0”为真命题．
即∀x∈R，使得2ax2+ax+1＞0 恒成立．
当a＝0 时，1＞0 恒成立．
当a＞0 时，{
a＞0
Δ=a
2−8a＜0)
，得0＜a＜8，
∴实数a 的取值范围为[0，8）．
