高一数学
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等
生
突破重难点
高一黄金阶段，专题突破与焦虑浮躁说再见
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⊚命题规律揭迷
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O
x
y
目录
专题1 - 1 集合与常用逻辑用语重难点题型专练1
【题型1】结合元素的互异性求参数(分类讨论) 1
【题型2】集合关系的辨析2
【题型3】利用集合相等求参数3
【题型4】利用集合中元素的个数求参数4
【题型5】由集合间包含的关系求参数的范围5
热考题型1 求参数的值(互异性分类讨论)6
热考题型2 方程型(判别式与根的讨论)6
热考题型3 不等式型(注意讨论空集)7
【题型6】容斥原理8
【题型7】集合中的新定义问题11
【题型8】根据集合的交并补运算结果求参数12
热考题型1 分类讨论求参数的值(互异性) 12
热考题型2 求参数范围(讨论空集)13
【题型9】根据集合混合运算的结果确定参数的范围14
【题型10】逆否条件的性质15
【题型11】根据充要条件求参数值16
【题型12】根据充分条件求参数取值范围17
【题型13】根据必要条件求参数取值范围17
【题型14】根据全称量词命题求参数范围(恒成立) 18
【题型15】根据特称量词命题求参数范围(能成立) 19
【题型16】命题与集合20
专题2 - 1 等式性质与不等式性质22
模块一重难点题型突破22
【题型1】用不等式(组) 表示不等式关系22
【题型2】利用不等式的性质判断命题真假23
【题型3】作差法比较两数(式) 的大小25
【题型4】作商法比较两数(式) 的大小26
【题型5】其它方法比大小27
【题型6】不等式性质的实际应用(设计方案) 28
模块二中档题突破30
【题型7】糖水不等式的证明及应用30
【题型8】不等式的证明及不等式判断综合32
【题型9】利用不等式性质求代数式取值范围(待定系数法) 35
模块三【课后作业】36
专题2 - 2 基本不等式(1) 41
模块一知识点与重点题型梳理41
【题型1】直接使用基本不等式和常用不等式41
【题型2】凑配法求最值42
【题型3】分离常数法求最值44
【题型4】“1”的妙用：乘“1”法45
模块二解题技巧突破47
【题型5】“1”的妙用(2)：“1”的代换47
【题型6】二次比一次型换元法求最值48
【题型7】分母换元法(1)：单换元49
【题型8】分母换元法(2)：双换元+ 配凑51
【题型9】和，积，平方和之间的转化52
模块三【课后作业】53
专题2 - 3 基本不等式(2)：中档题梳理与进阶训练57
模块一中档题梳理57
【题型1】判断不等式是否能成立57
【题型2】基本不等式与几何图形结合58
【题型3】基本不等式的实际应用问题61
【题型4】基本不等式恒成立问题64
【题型5】基本不等式能成立问题65
【题型6】消元法求最值66
【题型7】因式分解型68
【题型8】含有根式的配凑(根式平方和为定值型) 70
【题型9】同除型(构造齐次式) 70
【题型10】运用基本不等式证明不等式71
模块二技巧进阶72
【题型11】权方和不等式72
【题型12】二维柯西不等式73
【题型13】万能“k”法75
模块三【课后作业】76
专题2 - 4 二次函数与一元二次方程，不等式综合81
模块一重点题型梳理81
【题型1】三个“二次”关系的应用81
【题型2】一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式82
【题型3】由一元二次不等式的解集求参数85
【题型4】简单的含参一元二次不等式的解集87
【题型5】实数集上的含参一元二次不等式恒成立问题：判别式法87
【题型6】一元二次不等式的实际问题89
模块二中档题突破90
【题型7】有范围限制的含参一元二次不等式恒成立问题(2)：参变分离法90
【题型8】一元二次不等式与基本不等式结合92
【题型9】一元二次不等式与集合、逻辑用语综合92
【题型10】解含参一元二次不等式95
【题型11】含参一元二次不等式恒成立问题(3)：变更主元法解96
【题型12】一元二次不等式的整数解问题97
【题型13】一元二次方程根的分布98
模块三【课后训练】102
专题3 - 1 函数的概念及其表示106
模块一重点题型梳理106
【题型1】函数的概念106
【题型2】给出解析式求函数的定义域108
【题型3】函数图像的判断109
【题型4】相同函数的判断110
【题型5】已知定义域求参数111
【题型6】求函数值或由函数值求参111
【题型7】已知函数类型求函数的解析式(待定系数法求解析式) 112
模块二中档题突破113
【题型8】抽象函数求定义域113
【题型9】建立方程组求解析式(方程思想) 114
【题型10】求嵌套函数的解析式(换元或配凑) 115
【题型11】分离常数法求值域116
【题型12】换元法求函数的值域118
【题型13】分段函数的求值求参119
【题型14】函数的实际应用120
模块三【课后训练】122
专题3 - 2 函数的单调性与最值125
【题型1】单调性的概念与判断125
【题型2】利用解析式或函数图像得出函数的单调区间127
【题型3】定义法讨论函数的单调性127
【题型4】利用单调性比较大小129
【题型5】求函数的最值或值域130
【题型6】利用单调性解不等式131
【题型7】在某区间上单调求参数范围132
【题型8】分段函数单调性问题134
【题型9】根据函数的最值或值域求参数135
【题型10】分段函数值域问题136
【题型11】复合函数单调性137
【题型12】不等式恒成立问题139
【课后作业】139
专题3 - 3 函数的奇偶性与对称性142
模块一重难点题型142
【题型1】判断函数的奇偶性142
【题型2】利用奇偶性求值143
【题型3】利用奇偶性求参数144
【题型4】利用奇偶性求解析式145
【题型5】利用函数奇偶性识别图像146
【题型6】利用奇偶性与单调性比大小148
【题型7】利用单调性解奇函数不等式149
模块二中档题型150
【题型8】利用单调性解偶函数不等式150
【题型9】已知f(x) = 奇函数+M 151
【题型10】函数中心对称的抽象表达式及应用152
【题型11】函数轴对称的抽象表达式及应用153
【题型12】构造新函数解不等式153
模块三【课后作业】154
专题4 - 1 幂函数与指数函数13 类题型总结157
【题型1】分数型指数幂的取值范围问题157
【题型2】二重根式的化简158
【题型3】求函数解析式159
【题型4】分数型指数幂的化简与计算求值160
【题型5】大致图象的判断及利用图形性质求参数范围163
【题型6】指数幂比大小169
【题型7】指数幂结合基本不等式求最值172
【题型8】指数函数的实际应用173
【题型9】指数型函数的奇偶函数模型177
【题型10】指数型函数的值域问题179
【题型11】解指数型函数不等式与恒成立问题181
【题型12】指数型复合函数单调性184
【题型13】指数型复合函数的奇偶性问题与函数不等式综合187
专题4 - 2 对数与对数函数15 类题型汇总191
【题型1】对数运算191
【题型2】指数式与对数式的相互转化192
【题型3】换底公式的应用194
热考题型1 用已知对数表示其他对数194
热考题型2 利用换底公式证明等式恒等195
【题型4】对数函数函数的概念与图象196
热考题型1 对数函数的概念196
热考题型2 对数函数过定点问题197
热考题型3 对数函数的图象性质198
【题型5】解对数方程200
热考题型1 常规对数方程200
热考题型2 对数型嵌套函数方程201
【题型6】对数型复合函数的奇偶性问题202
【题型7】对数相关函数图像的识别205
【题型8】对数型复合函数的值域问题207
热考题型1 已知对数型复合函数的解析式求值域207
热考题型2 已知对数型复合函数的值域求参数范围208
【题型9】比较大小209
热考题型1 找中间数比较大小210
热考题型2 结合单调性比大小210
热考题型3 去“1”法比大小211
热考题型4 指对互化，换底公式比大小212
热考题型5 结合函数图形比大小214
热考题型6 结合函数单调性与奇偶性比大小215
【题型10】对数型复合函数的单调性216
热考题型1 已知对数型复合函数的解析式求单调区间217
热考题型2 根据对数型复合函数的单调性求参数范围218
【题型11】解对数不等式219
热考题型1 解对数型不等式220
热考题型2 结合函数性质解不等式221
【题型12】对数函数模型的实际应用222
【题型13】反函数对称性质的运用226
【题型14】等高线问题228
【题型15】对数函数的综合问题231
专题4 - 3 函数与方程零点问题综合234
【题型1】零点存在定理235
【题型2】二分法236
【题型3】零点个数问题237
【题型4】比较零点的大小238
【题型5】由零点个数求参数范围239
【题型6】求零点的和241
【题型7】由二次函数零点分布求参数范围243
【题型8】等值线问题245
【题型9】函数零点和指数式与对数式的互化247
【题型10】嵌套函数零点问题248
【题型11】关于f(x) 的方程af(x)2+ bf(x) + c = 0 解的个数问题249
专题5 - 1 任意角与弧度制251
【题型1】任意角的概念251
【题型2】弧度制与角度制的互化251
【题型3】终边相同的角252
【题型4】象限角与轴线角253
【题型5】区域角的表示254
【题型6】关于某条线对称的2 个角的表示256
【题型7】n 等分角的象限问题257
【题型8】扇形的弧长及面积公式258
【题型9】扇形中的最值问题260
专题5 - 2 三角函数的概念262
【题型1】利用三角函数的定义求值(3 种类型) 263
【题型2】三角函数的符号与所在象限判断264
【题型3】求任意角的三角函数值265
【题型4】单位圆上的动点与旋转点266
【题型5】对sinα，cosα，tanα 的知一求二问题267
【题型6】正、余弦齐次式的计算268
【题型7】sinα ± cosα、sinαcosα 关系应用269
【题型8】利用同角关系化简求值271
【题型9】证明三角恒等式273
专题5 - 3 诱导公式275
【题型1】利用诱导公式求解给角求值275
【题型2】利用诱导公式求解给值求值问题276
【题型3】利用诱导公式化简与求值277
【题型4】利用诱导公式证明恒等式278
【题型5】诱导公式在三角形中的应用279
【题型6】利用隐藏的互余互补关系整体带入或换元求值(重点题型) 280
【题型7】诱导公式与同角三角函数的综合运用281
专题5 - 4 三角函数的图像与性质283
【题型1】五点作图法283
【题型2】含绝对值的三角函数问题286
【题型3】解三角函数不等式287
【题型4】三角函数相关图像的识别288
【题型5】三角函数图像与其他函数交点个数问题290
【题型6】求单调区间(3 种类型) 291
热考题型1 整体法求单调区间291
热考题型2 括号内有符号的情况292
热考题型3 复合函数且有定义域限制292
【题型7】求值域与最值293
热考题型1 y = Asin(ωx + φ) + B 293
热考题型2 二次函数型y = asin2x + bsinx + c 293
热考题型3 已知值域求参数294
热考题型4 嵌套函数值域问题294
【题型8】周期性，奇偶性与对称性问题295
【题型9】利用三角函数性质比大小298
【题型10】与零点有关的问题299
热考题型1 由交点个数求参数范围299
热考题型2 关于零点的运算求值299
【题型11】三角函数对称性的综合应用300
热考题型1 由解析式得出对称中心300
热考题型2 由称性求交点横(纵) 坐标值的和300
热考题型3 称性的综合运算300
【题型12】求ω 范围问题初步302
热考题型1 由零点个数求ω 的范围302
热考题型2 由值域求ω 的范围302
热考题型3 由对称轴(中心) 个数求ω 的范围302
热考题型4 在某区间上单调增(减) 求ω 的范围302
【题型13】三角函数性质综合304
专题5 - 5 三角恒等变换及其应用306
【题型1】和差公式及其逆用306
【题型2】二倍角公式的简单应用307
【题型3】二倍角公式与诱导公式结合(换元与凑角) 308
【题型4】二倍角与齐次式化简309
【题型5】给值求值(角) 问题(不拆括号) 310
【题型6】辅助角公式及其应用311
【题型7】和差公式与二倍角公式结合313
【题型8】三角形中的恒等变换314
【题型9】给式子求角(值) 问题315
【题型10】扩角降幂与缩角升幂317
【题型11】利用三角恒等变换化简求值318
【题型12】化为同名函数320
【题型13】积化和差、和差化积公式321
【题型14】恒等变形的综合应用324
专题5 - 6 三角函数：y = Asin(ωx +φ) 的图像及性质326
【题型1】五点法作y = Asin(ωx + φ) 图像及其应用326
【题型2】三角函数图像的平移与伸缩变换328
热考题型1 函数名不改变329
热考题型2 函数名改变(结合诱导公式)329
热考题型3 由平移前后函数性质求参数330
热考题型4 利用函数图像求交点个数330
【题型3】由图像识别函数解析式332
【题型4】单调性问题334
热考题型1 求单调区间334
热考题型2 复合函数型335
热考题型3 由单调性求参数范围335
【题型5】最值与值域问题(4 种类型) 336
热考题型1 求指定区间上的值域336
热考题型2 化为二次函数型336
热考题型3 设t = sinx ± cosx 336
热考题型4 已知值域求参数范围337
【题型6】对称性与周期339
【题型7】三角函数性质辨析341
【题型8】由三角函数性质求参数的值344
【题型9】三角函数新定义问题346
【题型10】三角图像性质综合348
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
1
专题1 - 1 集合与常用逻辑用语重难点题型专练
【题型
【题型1】结合元素的互异性求参数
】结合元素的互异性求参数(分类讨论
分类讨论)
解题|技巧
互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现
的．简记为“互异性”．
注意：通过互异性求参数要检验看集合中的所有元素是否有重复的情况
1
已知集合P 有三个元素-1，2a + 1，a2- 1．若0 ∈P，则实数a 的值为
(
)
A. - 1
2
B. 1
C. - 1
2 或1
D. 0 或1
2
(高一上·四川德阳·期末)若1 ∈0,m,m2-2m+1
，则m =
．
1
已知集合M = 1,m,m2+3
，且4 ∈M，则m 取值构成的集合为
(
)
A.
1,4
B.
-1,4
C.
-1,1,4
D. ∅
2
已知集合A = {12，a2+ 4a，a - 2}，且-3 ∈A，则a =
(
)
A. - 1
B. - 3 或-1
C. 3
D. - 3
１
2
【题型
【题型2】集合关系的辨析
】集合关系的辨析
1
(24-25·云南·月考)设集合M = x
x=k+ 1
3 ,k∈Z
，N = x
x= k
3 +1,k∈Z
，则
(
)
A. N ⊆M
B. M ⊆N
C. M ∩N = ∅
D. N ∩∁RM
= ∅
2
若A、B、C 为三个集合，A ∪B = B ∩C，则一定有
(
)
A. A ⊆C
B. C ⊆A
C. A ≠C
D. A = ⌀
1
(24 - 25 高一上·四川自贡·月考) 已知集合A = x x=3t+1,t∈Z
，B = x x=3t-2,t∈Z
则“x
∈A”是“x ∈B”的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2
( 24 - 25 高一上· 河北石家庄· 月考) 已知集合M =
x x=m+ 1
6 ,m∈Z
，N =
x x= n
2 - 1
3 ,n∈Z
，P = x x= p
2 + 1
6 ,p∈Z
，则M，N，P 的关系为
(
)
A. M = N ⊆P
B. M ⊆N = P
C. M = P ⊆N
D. N ⊆P ⊆M
２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
3
3
(多选) 设a，b ∈A = x∣x=3m+1,m∈Z
，c ∈B = x∣x=3k-1,k∈Z
，则
(
)
A. a + b ∈A
B. ab ∈A
C. a + b ∈B
D. ac ∈B
4
(24 - 25 高一上·四川达州·期中) (多选) 若集合M，N 满足M ⊆N ⊆U，则下列结论正确的是
(
)
A. M ∪N = N
B. N ⊆(M ∩N)
C.
∁UM
⊆∁UN
D. ∁U(M ∪N) ⊆∁UM
【题型
【题型3】利用集合相等求参数
】利用集合相等求参数
集合相等：两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。
集合A 与集合B 相等记作A = B．
【注意】(1) 两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等；(2) 两个集合是否相等，不能只从集合的形
式上看，比如0 < x < 5，x ∈N 构成的集合与1，2，3，4，构成的集合相等．
1
设a，b ∈R，若集合{1 , a + b , a} = 0, b
a ,b
，则a2- b =
．
2
含有三个实数的集合可表示为a, b
a ,1
，也可以示为a2,a+b,0
，则a2023+ b2024的值为
．
３
4
1
(24 - 25 高一上·安徽·期中) 若1,a, b-1
a
= 0, 1
a ,b
，则b - a =
．
2
设集合A = 1,a,b
，B = a,a2,ab
，若A = B，则a2023- b2023的值为
(
)
A. - 2
B. 2
C. - 1
D. 1
3
含有三个实数的集合可表示为a, b
a ,1
，也可表示为a2,a+b,0
，求a2025+ b2026的值．
4
已知M = a-3,2a-1,a2+1
，N = -2,4a-3,3a-1
，若M = N，则实数a 的值为
．
【题型
【题型4】利用集合中元素的个数求参数
】利用集合中元素的个数求参数
利用集合中元素的个数求参数的问题往往以含参不等式的整数解个数或一元二次方程解的个数问题为背
景，注意平方项的系数是否可以去取0，以及验证是否能取等
1
若集合A = {x ∈Z ∣m < x < 4} 中有5 个元素，则实数m 的取值范围为
(
)
A. [-1 , 0)
B. (-1 , 0]
C. (-1 , 0)
D. [-2 ,-1)
４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
5
2
已知集合A = x ax2-3x+2=0,x∈R,a∈R
．
(1) 若A 中没有元素，求a 的取值范围；
(2) 若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A；
(3) 若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．
1
(高一·浙江·期末) 已知集合A = {x ∈N ∣1 < x < k}，集合A 中至少有3 个元素，则
(
)
A. k > 3
B. k ≥3
C. k > 4
D. k ≥4
2
若集合x mx2+2x-1=0
有且仅有2 个子集，则满足条件的实数m 组成的集合是
(
)
A.
-1
B.
-1,0
C. {m|m ≤-1 或m = 0}
D.
m m≤-1
3
设集合A = x ax2+3x+1=0
．
(1) 若A 中只有一个元素，求实数a 的值；
(2) 若A 中至多只有一个元素，求实数a 的取值范围．
【题型
【题型5】由集合间包含的关系求参数的范围
】由集合间包含的关系求参数的范围
解题|技巧
由集合间关系求解参数的三部曲
第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；
第二步：看集合中是否含有参数，若A ⊆B，且A 中含参数时应考虑参数使该集合为空集的情形；
５
6
第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组) 或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围常采用数
形结合的思想，借助数轴解答．
【注意】(1) 确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；
(2) 千万不要忘记考虑空集．
热考题型1 求参数的值(互异性分类讨论)
1
已知集合A = {1，3，
a}，B = {1 , a}，若B ⊆A，则a =
(
)
A. 1
B. 0 或1 或3
C. 0 或3
D. 3
1
若集合A = 1,x,4
，B = 1,x2
，且B ⊆A，则实数x 的值可以是()．
A. 2
B. 2，-2
C. 2，-2，0
D. 2，-2，0，1
热考题型2 方程型(判别式与根的讨论)
1
已知M =
x x2-2x-3=0
，N =
x x2+ax+1=0,a∈R
，且N ⊊M ，则a 的取值范围为
．
1
设集合A = x∣x2+5x+6=0
，B = x∣mx+1=0
，若B 是A 的真子集，则m 的取值集合为
(
)
A.
- 1
2 ,- 1
3
B.
0, 1
2 , 1
3
C.
0,- 1
2 ,- 1
3
D.
1
2 , 1
3
2
已知集合P = x|x2+x-6=0
，Q = {x|ax + 1 = 0}，且满足Q ⊆P，求实数a 可能取的一切值．
６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
7
3
已知A = x
(m-1)x+1=0
，B = x
x2-2x-3=0
，若A ⊆B，求m 的值．
4
(多选) 已知集合A = x∣x2-6x+5=0
，B = x∣ax2-2ax-1=0
，且B ⊆A，则实数a 可能的
取值是
(
)
A. - 1
5
B. 0
C. - 1
D.
1
15
热考题型3 不等式型(注意讨论空集)
1
已知集合A =
x
-2≤x≤5
，若B ⊆A，B = {x m+1≤x≤2m-1,m
为常数}，求实数m 的取
值范围．
2
已知集合A = x 1≤x<7
，B = x a<x≤2a+3
，若B ⊆A，求满足条件的a 的取值范围．
1
已知集合A = x|1<x<2024
，B = x|x<a
，若A ⊆B，则实数a 的取值范围是
(
)
A. (2024 ,+∞)
B. [2024 ,+∞)
C. (-∞, 2024]
D. (-∞, 2024)
７
8
2
若A = {x|2a + 1 ≤x < 3a - 2}，B = {x|x2 - 11x + 10 < 0}，且A ⊆B，则实数a 的取值范围是
．
3
集合A = x 2a-1≤x<1-a
，B = x x2-4x-5<0
，若A ⊆B，则实数a 的取值范围是
．
4
已知集合A = x
-1<x≤2
，B = x
2m-5<x<-m+3
．
(1) 若A ⊆B，求m 的取值范围．(2) 若B ⊆A，求m 的取值范围．
【题型
【题型6】容斥原理
】容斥原理
1
(多选)某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其
中共有12 名同学参加拔河、4 人足球、羽毛球三个项目，其中有8 人参加“拔河”，有7 人参加
“4 人足球”，有5 人参加“羽毛球”，“拔河和4 人足球”都参加的有4 人，“拔河和羽毛球”
都参加的有3 人，“4 人足球和羽毛球”都参加的有3 人，则
(
)
A. 三项都参加的有1 人
B. 只参加拔河的有3 人
C. 只参加4 人足球的有2 人
D. 只参加羽毛球的有4 人
８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
9
2
某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63 人，参加唱歌
课外活动的有89 人，参加体育课外活动的有47 人，三种课外活动都参加的有24 人，选择两种课
外活动参加的有46 人，不参加其中任何一种课外活动的有15 人．则接受调查的小学生共有
(
)
A. 120 人
B. 144 人
C. 177 人
D. 192 人
1
(24 - 25 高一上·重庆·月考) 为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪
崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方．调查发现该班共有55 名同学，其中31 个同学去了洪崖
洞，21 个同学去了南山一棵树，30 个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10 人，
同时去了南山一棵树和磁器口的有7 人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则
只去了一个地方的有(
) 人
A. 24
B. 26
C. 28
D. 30
2
(24 - 25 高一上·天津滨海新·期末)1 学校举办运动会时，高一(1) 班共有28 名同学参加比赛，有
15 人参加趣味益智类比赛．有8 人参加田径比赛，有14 人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比
赛和田径比赛的有3 人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3 人，没有人同时参加三项比
赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为
；同时参加田径和球类比赛的人数为
９
10
3
(24 - 25 高一上·重庆·期中) 国庆节期间，重庆复旦中学全体学生进行了选修课报名，据统计，高
一某班共45 名同学在语文类、数学类和物理类三类选修课具有报名意向，其中有21 人想报名语
文类选修课，有29 人想报名数学类选修课，有28 人想报名物理类选修课，同时想报名语文和数
学选修课的有10 人，同时想报名数学和物理选修课的有15 人，没有三类选修课都想报名的同学，
则只想报名物理选修课的同学有
人．
4
(24 - 25 高一上·湖北·期中) 学校举办运动会时，高一(1) 班共有36 名同学参加比赛，有26 人参加
游泳比赛，有15 人参加田径比赛，有13 人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有6
人，同时参加田径比赛和球类比赛的有4 人，没有人同时参加三项比赛．同时参加游泳和球类比
赛的有
人．
5
(24 - 25 高一上·重庆·月考) 高一某班共有54 人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、
政治这六门课程中选择3 门进行学习．已知选择物理的有36 人，选择化学的有24 人，选择生物的
有20 人，其中选择了物理和化学的有18 人，选择了化学和生物的有10 人，选择了物理和生物的
有16 人．那么班上选择物理或化学或生物的学生最多有
人．
6
(24 - 25 高一上·湖北荆州·月考) 高一某班共有54 人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地
理、政治这六门课程中选择3 门进行学习．已知选择物理的有32 人，选择化学的有24 人，选择生
物的有22 人，其中选择了物理和化学的有18 人，选择了化学和生物的有10 人，选择了物理和生
物的有16 人．那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有
人．
１０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
11
【题型
【题型7】集合中的新定义问题
】集合中的新定义问题
1
若x ∈A 且1
x ∈A 就称A 是伙伴关系集合，集合M = -1,0, 1
3 , 1
2 ,1,2,3,4
的所有非空子集
中，具有伙伴关系的集合个数为
(
)
A. 15
B. 16
C. 64
D. 128
2
(24-25 高一上·重庆·月考)含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按
从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如4,6,9
的“交替和”是9 - 6
+ 4 = 7；而5
的交替和是5，则集合M = x∈Z∣-5≤x≤4
的所有非空子集的“交替和”的总
和为
(
)
A. 2048
B. 2024
C. 1024
D. 512
1
(多选) 对任意A，B ⊆R，记A ⊕B = {x|x ∈A ∪B，x ∉A ∩B}，则称A ⊕B 为集合A，B 的对
称差．例如，若A = 1，2，3
，B = 2，3，4
，则A ⊕B = 1，4
，下列命题中，为真命题的
是
(
)
A. 若A，B ⊆R 且A ⊕B = B，则A = ⌀
B. 若A，B ⊆R 且A ⊕B = ∅，则A = B
C. 若A，B ⊆R 且A ⊕B ⊆A，则A ⊆B
D. 存在A，B ⊆R，使得A ⊕B = ∁RA ⊕∁RB
2
( 高一上· 江苏盐城· 月考) 设集合A =
1,2,3
，B =
0,1,2,4
，定义集合S =
(a,b)|a∈A,b∈B,a+b>ab
，则集合S 中元素的个数是
(
)
A. 5
B. 6
C. 8
D. 9
１１
12
【题型
【题型8】根据集合的交并补运算结果求参数
】根据集合的交并补运算结果求参数
1、基本方法
方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围方法
二：(1) 化简所给集合；
(2) 用数轴表示所给集合；
(3) 根据集合端点间关系列出不等式(组)；
(4) 解不等式(组)；
(5) 检验
2、易错点
(1) 确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；
(2) 千万不要忘记考虑空集，
3、集合基本运算的一些结论
若A ∩B = A，则A ⊆B，反之也成立
若A ∪B = B，则A ⊆B，反之也成立
若x ∈(A ∩B)，则x ∈A 且x ∈B
若x ∈(A ∪B)，则x ∈A，或x ∈B
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与
“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn
图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．
热考题型1 分类讨论求参数的值(互异性)
1
已知集合A = 2a2,1-2a,-2
，B = {1 - a , 2 - a ,-5}，且A ∩B = {-2}，则
(
)
A. A = {-5 ,-2 , 18}
B. B = {-5 ,-2 ,-1}
C. a = 4 或a = 3
D. A ∪B = {-7 ,-5 ,-3 ,-2 , 32}
2
(24-25 高一上·浙江·期中)已知集合A = 1,3,m2
，B = 1,m+2
，若A ∪B = A，则实数m
的值为
．
１２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
13
1
(24 - 25 高一上·江苏南京·月考) 已知集合A = 2a-1,a2,0
，B = 1-a,a-5,9
，若A ∩B =
9
，则实数a 的值为
(
)
A. 5 或-3
B. ± 3
C. 5
D. - 3
2
(24 - 25 高二上·云南曲靖·期末) 已知集合P = 1,x
，Q = 1,-x2,2x-1
，若P ∪Q = Q，则x
的取值集合是
．
3
(24 - 25 高一上·湖北襄阳·期中) 已知集合A = {1，3，a2}，B = {1 , |a + 2|}，若A ∪B = A，则
实数a =
．
4
( 24 - 25 高三上· 江西南昌· 开学考试) 已知集合A =
x,y
∣y=x2-1
，B =
x,y
∣x=my+1,m∈R
，A ∩B = C 若C 为单元素集合时，则
(
)
A. m = 1
2
B. m = 2
C. m = 0 或m = 1
2
D. m = 0 或m = 2
热考题型2 求参数范围(讨论空集)
1
已知集合A = x 4≤x<8
，B = x 2≤x≤10
，C = x x<2a
，若A ∩C ≠∅，求a 的取值范
围．
１３
14
2
已知集合A = {x|2a - 1 < x < a + 2}，B = {x|0 < x ≤2}，U = R，若A ∩B = ∅，求实数a 的取
值范围．
1
已知集合A = x -2<x≤1
，集合B = x 2a-1≤x≤a+1
，若A ∩B = ∅，则实数a 的取值范
围为
．
2
已知集合A = x x2+8x+15≤0
，B = x 3m-2<x<2m+2
．
(1) 若A ∪B = B，求实数m 的取值范围；(2) 若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围；
【题型
【题型9】根据集合混合运算的结果确定参数的范围
】根据集合混合运算的结果确定参数的范围
1
已知集合A = {x| -2 ≤x ≤7}，B = {x|m + 1 ≤x ≤m + 3，m ∈R}，若A ∩∁RB = A，求m 的取
值范围．
2
(高一上·山东青岛·期中)设集合A = x|x+m≥0
，B = x|-1<x<5
，全集U = R，且∁UA
∩B ≠∅，则实数m 的取值范围为
；
3
设集合A = x x+m≥0
，B = x -2<x<4
，全集U = R，且∁UA
∩B = ∅，求实数m 的取
值范围．
１４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
15
1
(高一·广东珠海·期中) 已知集合A = x -2<x<7
，B = x a≤x≤3a-2
，若A ∪∁RB = R，求
实数a 的取值范围．
2
(高一·浙江·期中) 已知全集U = R，集合A = x 2a≤x≤a+3
，B = x -1≤x≤1
，若A ∪∁UB
= R，求实数a 的取值范围．
3
已知全集U = R，集合A =
x
-2≤x≤5
，B =
x
a≤x≤2-a
，若A ∪∁UB
= R，求实数a
的取值范围．
4
(高一上·浙江金华·月考) 已知集合A = x|-2≤x≤5
，B = x|m+1≤x≤2m-1
．．U = R．
(1) 若A ∩B = ∅，求实数m 的取值范围：(2) 若A ∪∁UB = U，求实数m 的取值范围．
【题型
【题型10
10】逆否条件的性质
】逆否条件的性质
1 “其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语• 子路》．意思是：领导者自身品行端正
时，即使不发布命令，人们也会自觉遵行；自身行为不端时，即使发布命令，人们也不会听从．
根据上述材料，“身正”是“令行”的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
１５
16
1 《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，
必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”
是“天将降大任于斯人也”的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2
(24 - 25 高一上·江苏南通·月考) 有网友将王之涣的《凉州词》中的名句“羌笛何须怨杨柳，春风
不度玉门关”调侃改写成“奈何羌笛怨杨柳，春风不度玉门关”，意思是“羌笛怨杨柳，导致春
风不度玉门关(羌笛不怨杨柳，春风度不度玉门关就不知道了)”，照此网友的说法推断，“春风
度玉门关”是“羌笛不怨杨柳”的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
【题型
【题型11
11】根据充要条件求参数值
】根据充要条件求参数值
解题|技巧
若A = B，则p 是q 的充要条件
1
已知集合A = x x-3
>x-3
，集合B = {x ∣x < a}，若命题“x ∈A”是命题“x ∈B”的充要
条件，则实数a 的值是
．
1
(2024·高一·广东佛山·期中) 若命题p：x < 1 为命题q：x < 2m - 1，m ∈R 的充要条件，则m 的
值是
．
2
若“-1 < x < 1”是“1 <-2x + m < 5”的充要条件，则实数m 的取值是
．
１６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
17
【题型
【题型12
12】根据充分条件求参数取值范围
】根据充分条件求参数取值范围
解题|技巧
若元素x ∈A 是x ∈B 的充分条件，则A ⊆B；
1
已知集合A = x|a-2<x<2a+1
，B = x|0<x<7
．若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求实数a
的取值范围．
1
集合M = x -2<x<4
，N = x -3<x<a
，若x ∈N 的充分条件是x ∈M ，则实数a 的取值
范围是
(
)
A.
-2,4
B.
4,+∞
C.
-3,4
D.
-∞,4
2
集合A = x|1≤x≤5
，集合B = x|2-a≤x≤1+2a
，其中a ∈R．若“x ∈A”是“x ∈B”的
充分条件，求a 的取值范围．
【题型
【题型13
13】根据必要条件求参数取值范围
】根据必要条件求参数取值范围
解题|技巧
若元素x ∈A 是x ∈B 的必要条件，则B ⊆A．
1
(高一上·广东韶关·月考) (多选) 设A = {x|x2 - 8x + 15 = 0}，B = {x|ax - 1 = 0}，B 是A 的充
分不必要条件，则实数a 的值可以为
(
)
A. 1
5
B. 0
C. 3
D. 1
3
１７
18
1
已知p : x <-2 或x > 0，q : x > a，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是
(
)
A. a ≤-2
B. a ≤0
C. a > 0
D. a ≥0
2
已知命题p : 2 ≤x ≤10，命题q : x < a 或x > 2a + 1，其中a > 0．若p 是q 成立的充分不必要条
件，求a 的取值范围．
【题型
【题型14
14】根据全称量词命题求参数范围
】根据全称量词命题求参数范围(恒成立
恒成立)
解题|技巧
若对于某区间内任意x，使得a < f(x)，则a < f(x) 的最小值；若对于某区间内任意x，
使得a > f(x) 的，则a > f(x) 的最大值．
1
已知命题“∃x ∈R，使4x2+ (a - 2)x + 1
4 = 0”是假命题，则实数a 的取值范围是
(
)
A. {a|a < 0}
B.
a|0≤a≤4
C.
a|a≥4
D. {a|0 < a < 4}
2
已知命题P :∀x ∈x∣1
2 ≤x≤1
，1
x - a ≥0 是真命题，则a 的取值范围是
．
1
已知命题p：“∃x ∈R，2kx2+ kx - 3
8 ≥0”是假命题，则实数k 的取值范围是
．
１８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
19
2
若命题“∃x < 2024，x > a”是假命题，则实数a 的取值范围是
．
3
命题“∃x ∈[1 , 3]，x2- a > 0”为假命题的一个充分不必要条件是
(
)
A. a ≥9
B. a ≤9
C. a ≥10
D. a ≤10
4
若命题“∀x ∈R，ax2- 2ax + 12 > 0”是真命题，则a 的取值范围为
(
)
A.
-∞,0
∪12,+∞
B.
-∞,0
∪12,+∞
C.
0,12
D.
0,12
【题型
【题型15
15】根据特称量词命题求参数范围
】根据特称量词命题求参数范围(能成立
能成立)
解题|技巧
若某区间内存在x，使得a < f(x)，则a < f(x) 的最大值；若某区间内存在x，使得a >
f(x)，则a > f(x) 的最小值
1
已知“∃x ∈R，a > x2- 1”为真命题，则实数a 的取值范围为
(
)
A. a >-1
B. a > 1
C. a <-1
D. a < 1
2
(多选)已知命题p :∀x ∈R，x2+ 2x - a > 0．若p 为假命题，则实数a 的值可以是
(
)
A. - 2
B. - 1
C. 0
D. - 3
１９
20
1
已知“∃x ∈R，a > x2+ 1”为真命题，则实数a 的取值范围为
2
命题“∃x ∈R，x2- 2x + m = 0”为真命题，则m 取值范围为
．
3
(多选) 命题“∃x ∈-1,2
，使x2- m ≤0”是真命题的一个充分不必要条件是
(
)
A. m < 0
B. m = 4
C. m ≥0
D. m > 4
【题型
【题型16
16】命题与集合
】命题与集合
命题
集合
∀x ∈A，x ∈B 是真命题，则
A ⊆B(即集合A 是集合B 的子集)
∃x ∈A，x ∈B 是真命题，则
A ∩B ≠∅
1
已知集合A = x -2≤x≤5
，B = x m+1≤x≤2m-
1
，且B ≠∅．
(1) 若命题p：“∀x ∈B，x ∈A”是真命题，求实数m 的取值范围；
(2) 若命题q：“q :∃x ∈A，x ∈B”是真命题，求实数m 的取值范围。
２０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
21
2
已知集合A = x -3≤x<4
，B = x 2m-1≤x≤m+1
(1) 若A ∪B ≠A，求实数m 的取值范围．
(2) 命题q：“q :∃x ∈A，使得x ∈B”是真命题，求实数m 的取值范围．
1
(24 - 25 高一上·湖南衡阳·月考) 已知集合A = x|1≤x≤7
，B = x|-3m+1≤x≤m-1
，且B
≠∅．
(1) 若命题p :∀x ∈A，x ∈B 是真命题，求实数m 的取值范围；
(2) 若命题q :∀x ∈B，x ∉A 是假命题，求实数m 的取值范围．
2
已知集合A = x -3≤x≤10
，B = x 2m+1≤x≤3m-2
，且B ≠∅．
(1) 若命题p：“∀x ∈B，x ∈A”是真命题，求实数m 的取值范围；
(2) 若命题q：“q :∃x ∈A，x ∈B”是真命题，求实数m 的取值范围．
3
已知集合A = x
-3≤x<1
，B = x
2m-1≤x≤m+1
，且B ≠∅
(1) 命题p：x ∈A，命题q：x ∈B，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
(2) 命题“r：q :∃x ∈A，使得x ∈B”是真命题，求实数m 的取值范围．
２１
22
专题2 - 1 等式性质与不等式性质
模块一
重难点题型突破
【题型
【题型1】用不等式
】用不等式(组) 表示不等式关系
表示不等式关系
知识点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意x ∈R，则x > 0(x 为正数)、x = 0 或x < 0(x 为负数) 三种情况有且只有一种成立．
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：a > 0，b > 0 ⇒a + b > 0；
a < 0，b < 0 ⇒a + b < 0
②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：a > 0，b > 0 ⇒ab > 0；
a < 0，b < 0 ⇒ab > 0
③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：a > 0，b < 0 ⇒ab < 0
④任何实数的平方为非负数，0 的平方为0
符号语言：x ∈R ⇒x2≥0，x = 0 ⇔x2= 0．
1
(高一·广东深圳·月考)公司运输一批木材，总重600 吨，车队有两种货车，A 型货车载重量30
吨，B 型货车载重量24 吨，设派出A 型货车x 辆，B 型货车y 辆，则运输方案应满足的关系式是
(
)
A. 5x + 4y < 100
B. 5x + 4y ≥100
C. 5x + 4y > 100
D. 5x + 4y ≤100
２２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
23
1
下列说法正确的是
(
)
A. 某人的月收入x 元不高于2000 元可表示为“x < 2000”
B. 小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x > y”
C. 变量x 不小于a 可表示为“x ≥a”
D. 变量y 不超过a 可表示为“y ≥a”
2
持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-
共40km，其中靠近灭火前线5km 的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在
可用汽车运送的路段，运送的平均速度为60km h，设需摩托车运送的路段平均速度为xkm h，为
使物资能在1 小时内到达灭火前线，则x 应该满足的不等式为()．
A.
40
60+x > 1
B.
40
60+x < 1
C. 35
60 + 5
x > 1
D. 35
60 + 5
x < 1
【题型
【题型2】利用不等式的性质判断命题真假
】利用不等式的性质判断命题真假
不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
(1) 对称性：a > b ⇔b < a
(2) 传递性：a > b，b > c ⇒a > c
(3) 可加性：a > b ⇔a + c > b + c(c ∈R)
(4) 可乘性：a > b，
c>0⇒ac>bc
c=0⇒ac=bc
c<0⇒ac<bc
运算性质有：
(1) 可加法则：a > b，c > d ⇒a + c > b + d．
(2) 可乘法则：a > b > 0，c > d > 0 ⇒a ⋅c > b ⋅d > 0
２３
24
(3) 可乘方性：a > b > 0，n ∈N *⇒an> bn> 0
知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据．
1
(24-25 高一上·广东清远·期中) (多选) 下列“若p，则q”形式的命题中，p 是q 的充分不必要
条件的是
(
)
A. 若a > b，则ac2> bc2
B. 若ac2> bc2，则a > b
C. 若a < b < 0，则1
a > 1
b
D. 若1
a > 1
b ，则a < b < 0
2
(高一·广东深圳·期末)已知a，b，c ∈R，a > b，则下列一定成立的是
(
)
A. 1
a < 1
b
B. ab > b2
C. b+c
a+c > b
a
D. a c2+1
> b c2+1
1
(24 - 25 高一上·广西南宁·月考) 若a，b，c，d ∈R，则下列说法正确的是
(
)
A. 若a + c > b + d，c > d，则a > b
B. 若a > b > 0 > c > d，则c
a - d
b > 0
C. 若a < b，c < d，则ac < bd
D. 若a < b，则ac2< bc2
2
下列说法中，错误的是
(
)
A．若a > b > 0，c < d < 0，则一定有a
c > b
d
B．若a
c2 > b
c2 ，则a > b
C．若b > a > 0，m > 0，则a+m
b+m > a
b
D．若a > b，c < d，则a - c > b - d
２４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
25
3
(24 - 25 高二下·江西·期末) 已知a > b > c，则下列式子一定成立的是
(
)
A. ac2> bc2
B. a2> b2
C.
1
a-c <
1
b-c
D. a + c > b - c
4
(多选) 若实数a，b，c 满足a > b b≠0
且a > 0，c > 0，则下列不等式正确的是
(
)
A. 1
a < 1
b
B. - ac <-bc
C. b+c
a+c > b
a
D. b2
a2 + a2
b2 > 2
【题型
【题型3】作差法比较两数
】作差法比较两数(式) 的大小
的大小
作差比较两个实数大小的法则：作差、变形、判断差的符号、得出结论．
对任意两个实数a、b
①a - b > 0 ⇔a > b；②a - b < 0 ⇔a < b；③a - b = 0 ⇔a = b．
对于任意实数a、b，a > b，a = b，a < b 三种关系有且只有一种成立．
知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明
不等式与解不等式的主要依据．
1
已知x ∈R，则x2+ 3
2x．(填“<”，“>”，或“=”)
2
(24-25 高一上·四川达州·月考) (1) 设x > y > 0，试比较x2+y2
x-y
与x2-y2
x+y
的大
小．
(2) 已知a、b、x、y ∈0,+∞
且1
a > 1
b ，x > y，求证：
x
x+a >
y
y+b ．
２５
26
1
比较下列两式大小：
(1) x+5
x+7
与x+6
2
(2)x2+ y2+ 1 与2 x+y-1
2
已知a + b > 0，试比较a
b2 + b
a2 与1
a + 1
b 的大小．
3
比较下列各题中两个代数式值的大小．
(1) x2+1
2与x4+ x2+ 1；
(2) a2-b2
a2+b2 与a-b
a+b a>b>0
．
【题型
【题型4】作商法比较两数
】作商法比较两数(式) 的大小
的大小
作商法：作商法的步骤：作商、变形、判断商与1 的大小、得出结论
任意两个值为正的代数式a、b，可以作商a ÷ b 后比较a
b 与1 的关系，进一步比较a 与b 的大小．
①a
b > 1 ⇔a > b；②a
b < 1 ⇔a < b；③a
b = 1 ⇔a = b．
1
设a =
7，b = 3 -
3，则a
b(填入“>”或“<”)．
2
已知a > 0，b > 0，试比较
a +
b 与a
b +
b
a 的大小；
２６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
27
1
设a > b > 0，比较a2-b2
a2+b2 与a-b
a+b 的大小
2
P = a2+ a + 1，Q =
1
a2-a+1 ，(a ∈R)，则P，Q 的大小关系为
．
3
已知a ≥1，试比较M =
a+1 -
a 和N =
a -
a-1 的大小．
【题型
【题型5】其它方法比大小
】其它方法比大小
1、中间量法：也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：
若a > b，b > c，则a > c；若a < b，b < c，那么a < c．其中b 是介于a 与c 之间的值，
此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．
2、平方法：对两式先平方，再比较大小．
1
比大小：2 -
3
5 - 2．
2
若a =
3 -
2，b =
6 -
5，则a、b 的大小关系是
．
２７
28
1
比较大小：
7 +
5
2 6．(用>，< 或= 填空)
2
已知a > 0，b > 0，M =
a+b，N =
a +
b，则M 与N 的大小关系为
(
)
A．M > N
B．M < N
C．M ≤N
D．M，N 大小关系不确定
3
设m =
6 -
5，n =
7 -
6，则m
n(填入“<”或“>”)
【题型
【题型6】不等式性质的实际应用
】不等式性质的实际应用(设计方案
设计方案)
常见文字语言与符号语言之间的对应关系
文字语言
大于、高于、超过
小于、低于、少于
大于或等于、
至少、不低于
小于或等于、至多、
不多于、不超过
符号语言
>
<
≥
≤
1
体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实
现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500 元的资
金购买单价分别为120 元的篮球和140 元的足球．已知该校至少要购买8 个篮球，且至少购买2 个
足球，则不同的选购方式有
(
)
A. 6 种
B. 7 种
C. 8 种
D. 5 种
２８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
29
2
(24-25 高一上·江苏连云港·期中)火车站有某公司待运的甲种货物1530t，乙种货物1150t．现
计划用A，B 两种型号的货厢共50 节运送这批货物．已知35t 甲种货物和15t 乙种货物可装满一
节A 型货厢，25t 甲种货物和35t 乙种货物可装满一节B 型货厢．
(1) 据此安排A，B 两种货厢的节数，共有几种方案？
(2) 若每节A 型货厢的运费是0.5 万元，每节B 型货厢的运费是0.8 万元，哪种方案的运费较少？
1
火车站有某公司待运的甲种货物1530 吨，乙种货物1150 吨．现计划用A，B 两种型号的货箱共
50 节运送这批货物．已知35 吨甲种货物和15 吨乙种货物可装满一节A 型货箱，25 吨甲种货物和
35 吨乙种货物可装满一节B 型货箱，据此安排A，B 两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：
(
)
A. A 货箱28 节，B 货箱22 节
B. A 货箱29 节，B 货箱21 节
C. A 货箱31 节，B 货箱19 节
D. A 货箱30 节，B 货箱20 节
2
火车站有某公司待运的甲种货物1530 吨，乙种货物1150 吨．现计划用A，B 两种型号的货箱共
50 节运送这批货物．已知35 吨甲种货物和15 吨乙种货物可装满一节A 型货箱，25 吨甲种货物和
35 吨乙种货物可装满一节B 型货箱，据此安排A，B 两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：
(
)
A. A 货箱28 节，B 货箱22 节
B. A 货箱29 节，B 货箱21 节
C. A 货箱31 节，B 货箱19 节
D. A 货箱30 节，B 货箱20 节
２９
30
3
(24 - 25 高一上·福建福州·月考) 甲、乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在A、B、C、
D 四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者为胜，甲先取两个容器，余下的两个容器给乙，
已知容器A、B 的底面积均为x2，高分别为x，y，容器C，D 底面积均为y2，高分别为x，y(其
中x ≠y)．
(1) 写出A，B，C，D 四个长方体容器的体积VA、VB、VC、VD；
(2) 列举出甲同学从四个容器中取出两个不同容器的所有可能结果(先取A 再取B 与先取B 再取A 视
为相同的取法)；
(3) 在未能确定x 与y 大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案(即指出甲取哪两个容器一定可以获
胜)，并说明此方案必胜的理由．
模块二
中档题突破
【题型
【题型7】糖水不等式的证明及应用
】糖水不等式的证明及应用
糖水不等式是一个基于生活常识的数学不等式，常用于分式放缩。
其核心表述为：若b > a > 0(代表原有糖水浓度a
b < 1，且m > 0) (代表加入的糖量)，则必有：
a
b < a+m
b+m < 1
含义解释：
(1) 左边不等号a
b < a+m
b+m ：在糖水(溶质a，溶液b) 中加入纯糖(m) 后，新糖水的浓度a+m
b+m 一定比原
来的浓度a
b 更甜(更大)．
(2) 右边不等号a+m
b+m < 1：加入糖后，浓度依然小于1(即仍是糖水，不可能变成纯糖)．
关键点：
前提：原分数是真分数
a
b <1
，且加入的量m 是正数．
结论：分子分母加上同一个正数后，分数值变大(更接近1)，但仍小于1．
应用：该不等式简洁有力，在证明涉及分式的不等式、比较大小或进行放缩时非常有用，体现了“加糖
变甜”的直观思想在数学中的精确表达。
３０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
31
1
(高一上·浙江嘉兴·月考)下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？
(1) 如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2) 把原来的糖水(淡) 与加糖后的糖水(浓) 混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡．
2
(24 - 25 高一上·黑龙江黑河·月考) 已知b 克糖水中有a 克糖(b > a > 0)，往糖水中加入m 克糖
m>0
，(假设全部溶解) 糖水更甜了．
(1) 请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；
(2) 利用(1) 的结论比较M = 20192020
20232024 ，N = 20192017
20232021 的大小；
(3) 证明命题：设x > 0，y > 0，z > 0，证明：1 <
x
x+y +
y
y+z +
z
z+x < 2．
1
(24 - 25 高二下·浙江宁波·期中) 已知a > b > 0，则“ a
b > a+m
b+m ”是“m > 0”的
(
)
A. 充要条件
B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件
D. 必要不充分条件
３１
32
2
(24 - 25 高一上·四川成都·月考) 如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水
不等式：y
x < y+m
x+m (x > y > 0 , m > 0)．
(1) 证明糖水不等式；
(2) 已知a，b，c 是三角形的三边，求证：1 <
a
b+c +
b
a+c +
c
a+b < 2．
3
下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？写出式子并证明．
(1) 如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2) 把原来的糖水(淡) 与加糖后的糖水(浓) 混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；
(3) 如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了．
【题型
【题型8】不等式的证明及不等式判断综合
】不等式的证明及不等式判断综合
常用不等式的证明方法
1、作差法：任意两个代数式a、b，可以作差a - b 后比较a - b 与0 的关系，进一步比较a 与b 的大小．
2、作商法：任意两个值为正的代数式a、b，可以作商a ÷ b 后比较a
b 与1 的关系，进一步比较a 与b 的
大小．
3、中间量法：若a > b 且b > c，则a > c(实质是不等式的传递性)．一般选择0 或1 为中间量．
4、平方法：对两式先平方，再比较大小．
5、利用平方公式的非负性
３２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
33
1
(高一上·河北保定·月考)设a，b，c ∈R，a + b + c = 0，abc = 1．
(1) 证明：ab + bc + ca < 0；
(2) 若a > b，证明a3> b3．
2
今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a 元/ 斤、b 元
/ 斤a≠b
，王大妈每周购买10 元的白菜，李阿姨每周购买8 斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白
菜的平均价格分别记为m1，m2，则m1与m2的大小关系为
(
)
A. m1= m2
B. m1> m2
C. m1< m2
D. 无法确定
3
(24-25 高二下·湖北武汉·期末)已知正实数a，b 满足b-1
a-1 > 1，则下列不等式一定成立的是
(
)
A. b > a > 0
B. a + b > 2
C. a + b > ab + 1
D. b2+ 2a > a2+ 2b
1
证明：已知a > b > c，且a + b + c = 0，求证：
c
a-c >
c
b-c ．
2
(24 - 25 高一上·山西·期末) (多选) 已知a > b > 0，则下列不等式中正确的是
(
)
A. |a - 1| > |b - 1|
B. a + 2
b > b + 2
a
C. a - 2
b > b - 2
a
D. a2(a - 3b) > b2(b - 3a)
３３
34
3
两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为p1，p2，甲策略是每次购
买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则
种购物策略比较
经济．(填“甲”或“乙”)
4
(24 - 25 高一上·浙江杭州·期中) (多选) 已知实数a，b，c 满足a < b < c，则下列说法正确的是
(
)
A.
1
c-a <
1
b-a
B. b
a > b+c
a+c
C.
1
a b-a
>
1
b c-a
D. ab + c2> ac + bc
5
(1) 已知b > a > 0，证明：a
b <
2a
b+a ；
(2) 若a，b，c 为三角形的三边长，则
a
b+c +
b
a+c +
c
a+b < 2．
6
(24 - 25 高一上·湖北武汉·月考) (1) 已知-3 < a < 4，2 < b < 5，求2a + b，a - b 及a
b 的取值范
围．
(2) 设x、y 均为正实数，试比较
x
1+x 和
y
1+y 的大小．
【题型
【题型9】利用不等式性质求代数式取值范围
】利用不等式性质求代数式取值范围(待定系数法
待定系数法)
例题：已知-1 < x + y < 4，且2 < x - y < 3，求2x - 3y 和xy 的取值范围．
第一步：令2x - 3y = m(x + y) + n(x - y)，并化简该式
３４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
35
第二步：列方程组，求出m，n 的值．
第三步：分别求出m(x + y)，n(x - y) 的取值范围．
第四步：合并第三步的结果，即得2x - 3y 的取值范围
第五步：将-1 < x + y < 4 和2 < x - y < 3 平方作差即可得出xy 的取值范围
解析：(1) 设2x - 3y = m(x + y) + n(x - y) = (m + n)x + (m - n)y，则m+n=2,
m-n=-3,
解得
m=- 1
2 ,
n= 5
2 ,
由已知得-2 <- 1
2 (x + y) < 1
2 ，5 < 5
2 (x - y) < 15
2 ，则3 <- 1
2 (x + y) + 5
2 (x - y) < 8，
即3 < 2x - 3y < 8．
(2) 因为-1<x+y<4
2<x-y<3
，所以1< x+y
2<16
4< x-y
2<9
，即1<x2+2xy+y2<16
4<x2-2xy+y2<9
，
所以1<x2+2xy+y2<16
-9<-x2+2xy-y2<-4
，则-8 < 4xy < 12，所以-2 < xy < 3．
1
已知2 < a < 3，-2 < b <-1，则2a - b 的取值范围是
(
)
A.
6,7
B.
2,5
C.
4,7
D.
5,8
2
(高一上·河北石家庄·期中)已知1 ≤a + b ≤4，-1 ≤a - b ≤2，则4a - 2b 的取值范围是(
)
A.
x
-4<x<10
B.
x
-3<x<6
C.
x
-2<x<14
D.
x
-2≤x≤10
3
(24-25 高一上·广东汕尾·期末)已知3 < a + b < 4，1 < a - b < 2，则2ab 的取值范围是(
)
A.
4,18
B.
2,9
C.
5,15
D.
5
2 , 15
2
３５
36
1
已知2 < x < 3，2 < y < 3，则下列代数式的范围错误的是
(
)
A. 6 < 2x + y < 9
B. - 1 ≤x - y < 1
C. 2 < 2x - y < 3
D. 4 < xy < 9
2
(24 - 25 高一上·江苏苏州·月考) 已知1 ≤a - b ≤2，3 ≤a + b ≤4 则9a + 3b 的取值范围为
．
3
(高一上·河北张家口·期末) 已知1 ≤a - b ≤2，3 ≤a + b ≤4，则ab 的最大值为
(
)
A. 15
4
B. 9
2
C. 3
D. 4
4
(多选) 若实数a、b 满足：1≤a+b≤5
-1≤a-b≤3
，则下列叙述正确的是
(
)
A. a 的取值范围是0 ≤a ≤4
B. b 的取值范围是-1 ≤b ≤3
C. 3a - 2b 的范围是-2 ≤3a - 2b ≤10
D. 3a - 2b 的范围是-6 ≤3a - 2b ≤14
模块三
【课后作业】
1
(24 - 25 高一上·浙江嘉兴·月考) 已知a，b ∈R，且-5 < a < 2，1 < b < 4，则a - b 的取
值范围是
．
３６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
37
2 将一根长为5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为xm，若两段绳子长度之差不小
于1m，则x 所满足的不等关系为
(
)
A.
2x-5>0
0<x<5
B. 2x - 5 ≥1 或5 - 2x ≥1
C.
5-2x≥1
0<x<5
D.
2x-5
≥1
0<x<5
3 (24 - 25 高一上·贵州贵阳·期末) (多选) 下列命题正确的是
(
)
A. 若a > b，则1
a < 1
b
B. 若a > b > 0，则ac2≥bc2
C. 若a > b > 0，则b+1
a+1 > b
a
D. 若1 < a < 3，2 < b < 5，则1 < b - a < 2
4 (24 - 25 高一上·广东惠州·期中) 已知-1 < a < 4，1 < b < 2，则2a - b 的取值范围是
．
5 下列说法正确的是
(
)
A. 若a > b，则ac2> bc2
B. 若a
c2 > b
c2 ，则a > b
C. 若a > b，c > d，则ac > bd
D. 若b > a > 0，则a+c
b+c > a
b
6 已知实数a，b，则下列选项中正确的是
(
)
A. 若a > b，则a2> b2
B. 若a
> b，则a2> b2
C. 若a > b
，则a2> b2
D. 若a > b，则1
a < 1
b
３７
38
7 设M = 2a2+ 5a + 4，N = (a + 1) (a + 3)，则M 与N 的大小关系为
(
)
A. M > N
B. M = N
C. M < N
D. 无法确定
8 已知-1 < a < 5，-3 < b < 1，则以下错误的是
(
)
A. -15<ab<5
B. - 4 < a + b < 6
C. - 2 < a - b < 8
D. - 5
3 < a
b < 5
9 已知-1 ≤x + y ≤1，1 ≤x - y ≤3，则3x - 2y 的取值范围是
(
)
A. 2 ≤3x - 2y ≤8
B. 3 ≤3x - 2y ≤8
C. 2 ≤3x - 2y ≤7
D. 5 ≤3x - 2y ≤10
10 (24 - 25 高一上·江苏徐州·月考) 已知实数x，y 满足0 ≤2x + y ≤3，-2 ≤x - y ≤1，则
x 的取值范围是
，4x + 5y 的取值范围是
．
11 已知-1 ≤a + b ≤1，1 ≤a - 2b ≤3，则a + 3b 的范围是
．
３８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
39
12 (高一上·山东菏泽·期中) “双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户
面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180 平方米的民宿需要同时增加窗户和
地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2 倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，
则改造前的窗户面积最大为
平方米．
13 (24 - 25 高一上·宁夏银川·月考) (1)bc - ad ≥0，bd > 0，求证：a+b
b
≤c+d
d
；
(2) 已知-1 < 2a + b < 2，3 < a - b < 4，求5a + b 的取值范围．
14 (25 - 26 高一上·全国·课后作业) 已知a > b > c，且a + b + c = 0．
(1) 求证：
c
a-c >
c
b-c ；
(2) 求证：-2 < c
a < 0．
15 (24 - 25 高一上·广西来宾·月考) 从下列三组式子中选择一组比较大小：
(1) 设x > 1，M =
x -
x-1，N =
x+1 -
x，比较M，N 的大小；
(2) 设a，b 均为正实数，M = a3+ b3，N = a2b + ab2，比较M，N 的大小；
(3) 设a > b > 0，M = a2-b2
a2+b2 ，N = a-b
a+b ，比较M，N 的大小．
16 不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见．例如．已知b 克糖水中含有a
克糖(b > a > 0)，再添加m 克糖(m > 0) (假设全部溶解)，糖水变甜了．
(1) 请将这一事实表示为一个不等式．并证明这个不等式成立：
(2) 利用(1) 中的结论证明：若a，b，c 为三角形的三边长，则
a
b+c +
b
a+c +
c
a+b < 2．
３９
40
17 (高一上·贵州六盘水·期中) 从下列三组式子中选择一组比较大小：
①设x > 1，M =
x -
x-1，N =
x+1 -
x，比较M，N 的大小；
②设M = x+3
x+4
，N = x+2
x+5
，比较M，N 的大小；
③设a > b > 0，M = a2-b2
a2+b2 ，N = a-b
a+b ，比较M，N 的大小．
注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分．
４０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
41
专题2 - 2 基本不等式(1)
基本不等式是开学后第一次月考的重难点题型
高一学生初见它，笑容就渐渐消失，直呼：“这是基本不懂式”；
高二学生再见它，小小眼睛装大大的疑惑：“啊？这道题还得用它啊。”
高三学生刷到它相关的题，人生若只如初见：“我们高一高二的时候学过这个？”
模块一
知识点与重点题型梳理
【题型
【题型1】直接使用基本不等式和常用不等式
】直接使用基本不等式和常用不等式
如果a > 0，b > 0，那么
ab ≤a+b
2
，当且仅当a = b 时，等号成立．其中，a+b
2
叫作a，b 的算术平
均数，
ab 叫作a，b 的几何平均数．即正数a，b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式：若a，b ∈R+，则a+b
2
≥
ab(或a + b ≥2 ab)，当且仅当a = b 时取等号
常用不等式：若a，b ∈R，则ab ≤
a+b
2
4
≤a2+b2
2
，当且仅当a = b 时取等号；
方法技巧总结：和与积的最值问题，直接使用基本不等式即可；和与平方和的问题需要用常用不等式来
求最值
1
已知x > 0，y > 0，且x + 2y = 2，则xy
(
)
A. 有最大值为1
B. 有最小值为1
C. 有最大值为1
2
D. 有最小值为1
2
2
已知a > 0，b > 0，a + b = 3，则ab 的最大值为
．
3
已知正数a，b 满足a2+ 4b2= 16，则ab 的最大值为
．
４１
42
4
若
，1
x + 4
y = 10，则xy 的最小值为
．
1
(24 - 25 高一上·江苏连云港·期末) 若x > 0，y > 0，且xy = 4，则1
x + 4
y 的最小值为
．
2
若a > 0，b > 0，且a + 4b = 1，则a2+ 16b2的最小值是
3
若x > 0，则2 + x + 1
x 的最小值是
；此时x 的值为
．
4
已知x > 0，y > 0，且x + 2y = 1，则2x+ 4y 的最小值是
【题型
【题型2】凑配法求最值
】凑配法求最值
配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积) 为定值，然后利用基本不等式求解．
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
常见的配凑法求最值模型
４２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
43
(1) 模型一：mx + n
x ≥2 mn(m > 0 , n > 0)，当且仅当x =
n
m 时等号成立；
(2) 模型二：mx +
n
x-a = m(x - a) +
n
x-a + ma ≥2 mn + ma(m > 0 , n > 0)，当且仅当x - a =
n
m 时等号成立
1
若x >-2，则x +
1
x+2 的最小值为
．
2
已知a > 2，则2a +
8
a-2 的最小值是
(
)
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
3
(24-25 高一上·湖南湘潭·期末)已知x ∈(0 , 5)，则
16
5-x - x 的最小值为
(
)
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
1
(24 - 25 高一上·广东茂名·期末) 当x2+
1
x2+1 取得最小值时，x =
(
)
A. 0
B. 1
C. - 1
D. ± 1
2
已知实数x > 3，则4x +
9
x-3 的最小值是
(
)
A．24
B．12
C．6
D．3
４３
44
3
3x + 2 +
4
x+1 (x > 0) 的最小值为
．
【题型
【题型3】分离常数法求最值
】分离常数法求最值
方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数
例1：y = x + 2x+1
x
= x + 2x
x + 1
x = x + 1
x + 2 ≥4(x > 0)
例2：y = 2x +
2x
x-1 = 2 x-1
+ 2x-2
x-1 +
2
x-1 = 2 x+1
+ 2 +
2
x-1
1
若x > 1，则函数y = x + 2x+2
x-1 的最小值为
(
)
A. 4
B. 5
C. 7
D. 9
2
x2+4
x2+1
的最小值是
．
1
已知x >-2，y > 0，2x + y = 3，则x+2y+2
x+2
+ 7
y 的最小值为
(
)
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
４４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
45
2
已知t > 0，则3t+3
2t+1 + t 的最小值为
．
3
已知a ∈R，则a2+2
a2+1
的最小值是
，此时a =
．
【题型
【题型4】“1”的妙用：乘
的妙用：乘“1”法
方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用
基本不等式的条件，即积为定值．
主要解决形如“ 已知x + y = t ( t 为常数) ，求
的最值” 的问题，先将
转化为
，再用基本不等式求最值
注意：验证取得条件．
1
(广东广雅中学校考)若正实数a，b 满足a + 2b = 1，则1
a + 2
b 的最小值是
2
已知x > 0，y > 0 且x + 2y = xy，则x + 2y 的最小值是
．
3
(24-25 广东东莞·月考)已知x > 0，y > 0，且1
x + 2y = 1，则2x + 1
y 的最小值为
(
)
A. 4
B. 4 2 - 1
C. 6
D. 8
４５
46
4
已知a > 0，b > 0，且a + b = ab，则2ab - a + 7b 的最小值是
(
)
A. 6
B. 9
C. 16
D. 19
1
已知x > 0，y > 0，且x + 2y = 1
2 ，则2
x + 1
y 的最小值为
．
2
(24 - 25 高一下·湖南娄底·期中) 已知x，y ∈0,+∞
，且x + 2y = 2，则x+4y
xy
的最小值是
．
3
(24 - 25 高一下·辽宁朝阳·月考) 已知正数x，y 满足3
x + 2y = 1，则2x + 3
y 的最小值为
(
)
A. 36
B. 24
C. 18
D. 12
4
(24 - 25 高一上·安徽合肥·期末) 已知x + y = 3，且x > 0，y > 0，则1
x +
1
y+1 的最小值是
(
)
A. 1
B. 2
C. 1
2
D. 2 2
４６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
47
5
(24 - 25 高一上·贵州毕节·期末) 已知a > 0，b > 0，且3
a + 2b = 2，则2a + 3
b 的最小值是
．
模块二
解题技巧突破
【题型
【题型5】“1”的妙用
的妙用(2)：“1”的代换
的代换
方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目
的．
1
已知a > 0，b > 0，a + b = 1，则1
a + a
b 的最小值为
．
2
已知实数x，
满足x + y = 1，则
的最小值为
(
)
A. 6
B.
C.
D. 8
1
若a > 0，b > 0，且a + 4b = 1，则1
a + a
b 有最小是
４７
48
2
正实数x，y 满足x + y = 1，则1+y
x
+ 1
y 的最小值是
(
)
A. 3 + 2 2
B. 2 + 2 2
C. 5
D. 11
2
3
(2024·安徽·三模) 已知x > 0，y > 0，且2x + y = 1，则y2+x
xy
的最小值为
(
)
A. 4
B. 4 2
C. 4 2 + 1
D. 2 2 + 1
【题型
【题型6】二次比一次型换元法求最值
】二次比一次型换元法求最值
基本模型：
x
ax2+bx+c =
1
ax+b+ c
x
≤
1
2 ac+b (a > 0 , c > 0)，当且仅当x =
c
a 时等号成立
1
已知x > 0，则x2-x+4
x
的最小值为
(
)
A. 5
B. 3
C. - 5
D. - 5 或3
2
函数y = x2+x+3
x-2
x>2
的最小值为
．
3
已知a > 1，则a2-3a+11
a-1
的最小值为
．
４８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
49
1
(2024·高一·江西南昌·期末) 当x >-2 时，函数y = x2+4x+6
x+2
的最小值为
．
2
若x > 1，则函数y = x2-x+1
x-1
的最小值为
．
3
求y = x2+7x+10
x+1
x>-1
的最小值
．
【题型
【题型7】分母换元法
】分母换元法(1)：单换元
：单换元
对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑
整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值．
单分母换元：把其中一个分母进行换元
1
已知0 < a < 1
2 ，则1
2a +
4
1-2a 的最小值是
2
(24-25 高一上·湖南衡阳·期末)已知m > 2n > 0，则
m
m-2n + m
n 的最小值为
(
)
A. 3 - 2 2
B. 3 + 2 2
C. 2 + 3 2
D. 3 2 - 2
４９
50
3
已知a + b + c = 1，其中a，b，c > 0，则1
a +
9
b+c 的最小值为
．
1
若0 < a < 4，则2
a +
8
4-a 的最小值是
．
2
若a > 0，b > 0，c > 0，a + b + c = 2，则
4
a+b + a+b
c
的最小值为
．
3
已知x ∈0，1
3
，则1
x +
1
1-3x 的最小值是
．
4
(24 - 25 高一下·河北保定·期中) 已知x，y 都是正数．若
1
x-y + 1
2y = 2，且x > y，则x + y 的
最小值为
．
5
(24 - 25 高一下·浙江衢州·期末) 已知实数x > 0，x > y，则
2y
x-y - y
x 的最小值为
(
)
A.
3 - 2
B. 2 2 - 3
C. 0
D. 2 - 2 2
５０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
51
【题型
【题型8】分母换元法
】分母换元法(2)：双换元
：双换元+ 配凑
配凑
双分母换元：可以把2 个分母都换元
1
若正实数a，b 满足a + b = 1，则
1
a+2b +
1
2a+b 最小值为
2
(24-25 高一上·湖北荆州·月考)设正数a，b 满足2a + b = 1，则
a
2-2a +
b
2-b 的最小值为
(
)
A. 2 2 - 2
B. - 1
2 + 2
3
2
C. 2 2 + 2
D. - 1
2 - 2
3
2
1
已知a，b > 0 且a + b = 3，则
9
a+1 +
1
b+1 的最小值为
．
2
已知实数a > 0，b > 2，且
1
a+1 +
2
b-2 = 1
3 ，则2a + b 的最小值是
．
3
设x，y 是正实数，且x + y = 1，则
x
x+2 +
y
y+1 的最大值是
．
4
(24 - 25·江苏南京·月考) 已知x ≥0，y ≥0，且x + y = 1，则
2
x+3 +
1
2y+1 的最小值为
．
５１
52
【题型
【题型9】和，积，平方和之间的转化
】和，积，平方和之间的转化
涉及和，积，平方和的最值问题时利用基本不等式变形求解
常用不等式链：ab ≤
a+b
2
4
≤a2+b2
2
(主要用于和积转换)
1
已知a2+ b2= ab + 4，则a + b 的最大值为
(
)
A. 2
B. 4
C. 8
D. 2 2
2
(湖南长沙·高一长郡中学校考)已知a，b > 0 且ab = a + b + 3，则a + b 的取值范围为
．
3
(24-25 高一上·贵州·期中)已知a，b > 0，且ab = a + b + 5
4 ，则下列关系正确的是
(
)
A. a + b ≥5
B. a + b ≤1
C. ab ≥10
D. ab ≤1
2
1
(高一上·天津河北·期中) 若a > 0，b > 0，且ab = a + b + 3，则ab 的取值范围是
(
)
A.
9,+∞
B.
3,+∞
C.
0,3
D.
3,9
2
若a > 0，b > 0，2ab + a + 2b = 3，则a + 2b 的最小值是
(
)
A.
2
2
B. 1
C. 2
D. 3 2
2
５２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
53
3
已知实数a，b 满足a2+ 4b2- ab = 1，则a2+ 4b2的最大值为
4
(多选题) 已知正数x，y 满足x2+ xy + y2= 9，则
(
)
A. xy ≤2
B. x2+ y2≥6
C. x + y ≤2 3
D. x + y ≥6
5
(24 - 25 高一上·四川宜宾·期末) (多选) 若a，b > 0，且3ab = a + b + 1，则
(
)
A. ab ≥1
B. ab < 1
C. a + b ≥2
D. a2+ b2≥2
6
(24 - 25 高一上·湖南长沙·月考) (1) 已知0 < x < 1，求x 4-3x
的最大值；
(2) 若x > 1，求4x +
1
x-1 的最小值；
(3) 已知a，b 为正实数，2a + 8b - ab = 0，求a + b 的最小值．
模块三
【课后作业】
1
已知a > 0，b > 0，4a + b = ab，则ab 的最小值是
．
５３
54
2 (24 - 25 高一上·湖南长沙·月考) (1) 已知0 < x < 1，求x 4-3x
的最大值；
(2) 若x > 1，求4x +
1
x-1 的最小值；
(3) 已知a，b 为正实数，2a + 8b - ab = 0，求a + b 的最小值．
3 已知a > 0，b > 0，且a + b = 1，证明：
(1)2a2+ 2b2≥1；(2) 1
a + 9
b ≥16．
4 (24 - 25 高一上·江苏南京·月考) (多选) 若a > 0，b > 0，且1
a + 2
b = 1，则下列说法正确
的有
(
)
A. ab 的最小值是8
B. a + b 的最大值是3 + 2 2
C.
1
a2 + 4
b2 的最小值是1
2
D. a(b - 1) 的最小值是3 + 2 2
5 若x > 0，y > 0，且x + y = 6，则4
x + 1
y 的最小值为
．
6 设a，b 为正实数，且a + b = 10ab，则a + 9b 的最小值为
7 (2025·上海·高考真题) 设a，b > 0，a + 1
b = 1，则b + 1
a 的最小值为
．
５４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
55
8 (江苏南通·二模) 设x > 0，y > 0，1
x + 2y = 2，则x + 1
y 的最小值为
(
)
A. 3
2
B. 2 2
C. 3
2 +
2
D. 3
9 y = x + 2x+2
x-1 的最小值为
(
)
A. 4
B. 5
C. 7
D. 9
10 (24 - 25 高一上·江苏扬州·期末) (多选) 已知实数a，b 满足a > 0，b > 0 且a + 2b = 1，则
下列说法正确的有
(
)
A. 若a > b，则对任意实数c，ac2> bc2
B. 若a > b，则b+1
a+1 > b
a
C. 1
a + 1
b 的最小值是3 + 2 2
D. a2+ 4b2的最小值是1
2
11 (24 - 25 高一下·河北保定·月考) 已知a > 2，b > 1，且
1
a-2 +
2
b-1 = 1，则a + 2b 的最
小值为
．
12 已知正数a，b 满足a + b = 2，则
a
a+1 +
4b
b+1 的最大值是
(
)
A. 9
2
B. 11
4
C. 1
D. 7
3
13 已知x >-1，则函数y = x2+x+4
x+1
的最小值是
．
５５
56
14 若0 < a < 4，则2
a +
8
4-a 的最小值为
．
15 正实数x，y 满足x + y = 1，则1+y
x
+ 1
y 的最小值是
16 正实数a，b 满足a + 3b - 6 = 0，则
1
a+1 +
4
3b+2 的最小值为
．
17 已知a ∈R，则a2+5
a2+1
的最小值是
，此时a =
．
18 (2024·高一·江苏苏州·期末) 已知正数a，b 满足4
a + b = 1，则a + 1
b 的最小值为
．
19 (1) 已知正数x、y 满足x + y = 1，求1
x +
4
1+y 的最小值；
(2) 求函数y = x2+7x+10
x+1
(x >-1) 的最小值．
20 利用不等式求最值
(1) 已知x，y ∈R+，且4x + y - xy = 0，求x + y 的最小值．
(2) 已知x，y ∈R+，且4x + y - xy = 0，求xy 的最小值．
５６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
57
专题2 - 3 基本不等式(2)：中档题梳理与进阶训练
模块一
中档题梳理
【题型
【题型1】判断不等式是否能成立
】判断不等式是否能成立
(1) 基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或
积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．
(2) 连续使用不等式要注意取得一致．
1
(多选)下列函数中，最小值为2 的是
(
)
A.
B.
C.
D.
2
(多选)已知x > 0，y > 0，且x + 2y = 1，下列结论中正确的是
(
)
A. xy 的最大值是1
8
B. 2x+ 4y 的最小值是2 2
C. 1
x + 2
y 的最小值是8
D. x2+ 4y2的最小值是1
2
1
(多选) 下列命题中，真命题的是
(
)
A.
，都有x2- x ≥x - 1
B.
，使得x +
4
x-1 = 6
C. 任意非零实数
，都有b
a + a
b ≥2
D. 若x ∈2,+∞
，则
x2+1 +
4
x2+1
的最小值为4
2
(多选) 若实数m，n > 0，满足2m + n = 1，以下选项中正确的有
(
)
A. mn 的最大值为1
8
B.
1
m + 1
n 的最小值为4 2
C.
2
m+1 +
9
n+2 的最小值为5
D. 4m2+ n2最小值为1
2
５７
58
3
(多选) 下列说法正确的是
(
)
A. x + 1
x (x > 0) 的最小值是2
B.
x2+5
x2+4
的最小值是2
C.
x
x2+x+1 (x < 0) 的最小值是-1
D. 若x > 0，则2 - 3x - 4
x 的最大值是2 - 4 3
4
(多选) 已知a > 0，b > 0，且a + b = 1，则
(
)
A. ab 的最小值是1
4
B. 2a2+ b2最小值为2
3
C.
a +
b 的最大值是
2
D. 1
a + 2a
b 的最小值是1 +
2
【题型
【题型2】基本不等式与几何图形结合
】基本不等式与几何图形结合
基本不等式链的无字证明：
2
1
a + 1
b
≤
ab ≤a+b
2
≤
a2+b2
2
如图，在C 是以AB 为直径的半圆上一点，CD ⊥AB，DE ⊥CO，记AD = a，BD = b，则有CE <
CD < CO
(1) 证明：a+b
2
≥
ab
由射影定理可得：CD =
ab(几何平均数)，OC = a+b
2
(算术平均数)，显然OC ≥CD，即a+b
2
≥
ab
(2) 证明：
2
1
a + 1
b
≤a+b
2
由三角函数可得：cos∠OCD = CD
CO = CE
CD ⇒CE = CD2
CO =
ab
a+b
2
=
2
1
a + 1
b
，显然CE ≤CD
５８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
59
(3) 对于a+b
2
≤
a2+b2
2
，若通过以上图形来解会有些复杂，可以结合完全平方公式来证明会更方便
1
设a > 0，b > 0，称2ab
a+b 为a、b 的调和平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且AC = a，CB
= b，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D，连接OD、AD、
BD．过点C 作OD 的垂线，垂足为E．则图中线段OD 的长度是a、b 的算术平均数，线段
的长度是a、b 的几何平均数．
2
数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三
角形△ABC 中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD = a，
BD = b，用该图形能证明的不等式为()．
A. a+b
2
≥
ab a>0,b>0
B.
2ab
a+b ≤
ab a>0,b>0
C. a+b
2
≤
a2+b2
2
a>0,b>0
D. a2+ b2≥2 ab a>0,b>0
５９
60
1 《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题) 成了后世西方数学家处理问题的重要依
据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，因此这种方法也被称之为
“无字证明”．如图所示，AB 是半圆O 的直径，点C 是AB 上一点(不同于A，B，O)，点D
在半圆O 上，且CD ⊥AB，CE ⊥OD 于点E，设AC = a，BC = b，则该图形可以完成的“无
字证明”为
(
)
A.
ab ≤a+b
2
(a > 0，b > 0)
B. a+b
2
< 2ab
a+b (a > 0，b > 0，a ≠b)
C.
2ab
a+b ≤
ab(a > 0，b > 0)
D.
2ab
a+b <
ab < a+b
2
(a > 0，b > 0，a ≠b)
2
如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在
AN 上，且对角线MN 过点C，已知AB = 4，AD = 3，那么当BM =
时，矩形花坛的
AMPN 面积最小，最小面积为
．
3
(24 - 25 高一上·湖北·期中) 用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为300 3m2 的等腰梯形菜园，如
图所示，用墙的一部分做下底AD，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60°，当等腰梯形的腰长为
多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．
６０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
61
4
(多选) 《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题) 成为了后世数学家处理问题的重
要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明．如图，在AB 上取一
点C，使得AC = a，BC = b，过点C 作CD ⊥AB 交半圆周于点D，连接OD．作CE ⊥OD 交
OD 于点E．下面不能由CD ≥DE 直接证明的不等式为
(
)
A.
ab ≤a+b
2
(a > 0 , b > 0)
B.
ab ≥2ab
a+b (a > 0 , b > 0)
C. a2+ b2≥2ab(a > 0 , b > 0)
D. a+b
2
≤a2+b2
2
(a > 0 , b > 0)
5
(高一上·江西南昌·期中) 图1 的弦图是由我国三国时期的数学家赵爽提出的，故称赵爽弦图，利用
这个弦图，我们可以给基本不等式一个非常形象的几何解释．数学探究课上，同学们对赵爽弦图
从边长、周长、面积、角度等方面进行了探究，得出了很多优美的结论．如图2，某探究小组将
赵爽弦图中的直角△ABC 的直角边AC 延长交另一个直角三角形的斜边为点D，记△ABC 的周长
为l，面积为S，则
l S
AC⋅AD 的最大值为
(
)
A. 2 2
3
B.
2
C. 2 3
3
D.
2+1
2
【题型
【题型3】基本不等式的实际应用问题
】基本不等式的实际应用问题
不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的
解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素养．
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数：
若a，b ∈R+，则
2
1
a + 1
b
≤
ab ≤a+b
2
≤
a2+b2
2
(当且仅当a = b 时取“=”)
６１
62
其中，
2
1
a + 1
b
= 2ab
a+b 为a，b 的调和平均值反应了平均速度
1
(24-25 高一上·广东广州·期末)某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深
为3m．如果池底每平方米的造价为100 元，池壁每平方米的造价为80 元，那么贮水池的最低总
造价是
(
)
A. 160000 元
B. 179200 元
C. 198400 元
D. 297600 元
2
两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降(假设第一次价格为x1，第二次价格为x2，x1 ≠x2)
可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定；第二种是每次购买这种物品所花
的钱数一定，哪种购物方式比较经济
(
)
A. 第一种
B. 第二种
C. 都一样
D. 不确定
3
(24-25 高一上·浙江宁波·期末)设矩形ABCD(AB > AD) 的周长为12，把△ABC 沿AC 向
△ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P，则△ADP 的最大面积是
．
4
(2024·高一·广东深圳·期末)某公司为了提高生产效率，决定投入160 万元买一套生产设备，预
计使用该设备后，前n n∈N *
年的支出成本为10n2-2n
万元，每年的销售收入98 万元．使用
若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20 万元的价
格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30 万元的价格处理．哪种方案较为合
理？并说明理由．(注：年平均盈利额= 总盈利额
年度
)
６２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
63
1
小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为b(a > b > 0)，他往返甲乙两地的
平均速度为v，则
(
)
A. v = a+b
2
B. v =
ab
C.
ab < v < a+b
2
D. b < v <
ab
2
如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形ABCD(AB > AD) 的周长为4，沿AC 折
叠使点B 到点B位置，AB交DC 于点P．研究发现当△ADP 的面积最大时用电最少，则用电最
少时，AB 的长度为
(
)
A. 5
4
B.
2
C. 3
2
D.
3
3
(高一上·江苏连云港·月考) 某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800m3，深度为3m．
如果池底每平方米的造价为100 元，池壁每平方米的造价为80 元，怎样设计水池能使总造价最
低？最低总造价为多少元？
4
某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3 米，底面为24 平方米，且背面靠墙的
长方体形状的校园警务室，由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，工程队给出的报价为：屋
子前面新建墙体的报价为每平方米400 元，左、右两面新建墙体报价为每平方米300 元，屋顶和
地面以及其他报价共计14400 元，设屋子的左，右两面墙的长度均为x 米2≤x≤6
，房屋的造价
为y．
(1) 写出y 关于x 的表达式．
(2) 当左、右两面墙的长度x 为多少时，工程队报价最低？并求出最低报价．
６３
64
【题型
【题型4】基本不等式恒成立问题
】基本不等式恒成立问题
∀x ∈M，使得f(x) ≥a ，等价于f(x)min ≥a ，∀x ∈M，使得f(x) ≤a ，等价于f(x)max ≤a
参变分离法：如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x 的关系，
那么a > y 恒成立⇔a > ymax；a < y 恒成立⇔a < ymin
1
(24-25 高一上·河南漯河·期末)已知x > 0，不等式x2 + mx + 1 > 0 恒成立，则实数m 的取值范
围是
．
2
(24-25 高一上·四川达州·期中)已知a > 0，b > 0，若不等式
m
a+b ≤4a+9b
ab
恒成立，则实数
m 的最大值为
(
)
A. 64
B. 25
C. 13
D. 12
3
(24-25 高一上·湖南湘潭·期中)已知a > 0，b > 0，且a + 2b = 2，若3t2 - t ≤b
a + 2
b 恒成立，
则实数t 的取值范围是
．
1
若对于任意x ∈1,+∞
，关于x 的不等式x +
4
x-1 - a > 0 恒成立，则实数a 的取值范围是
．
６４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
65
2
若不等式1
x +
1
1-4x - m ≥0 对x ∈0, 1
4
恒成立，则实数m 的最大值为
(
)
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
3
已知x > 0，y > 0，且
1
x+2 + 1
y = 2
7 ，若x + 2 + y > m2+ 5m 恒成立，则实数m 的取值范围是
(
)
A.
-4,7
B.
-2,7
C.
-4,2
D.
-7,2
4
(24 - 25 高一上·安徽亳州·月考) 对一切x，y > 0，都有5x + 12 xy ≤a x+y
，则实数a 的最小
值是
(
)
A. 8
B. 9
C. 10
D. 前3 个答案都不对
【题型
【题型5】基本不等式能成立问题
】基本不等式能成立问题
能成立问题又称有解问题
∃x ∈M，使得f(x) ≥a ，等价于f(x)max ≥a ，∃x ∈M，使得f(x) ≤a ，等价于f(x)min ≤a
1
若正实数x，y 满足x + y = 1，且不等式
4
x+1 + 1
y < m2 + 3
2 m 有解，则实数m 的取值范围
．
６５
66
1
若两个正实数
满足x + 2y = xy，且存在这样的
使不等式2x + y < m2 + 8m 有解，则实数
的取值范围是
(
)
A.
-1,9
B.
-9,1
C.
D.
2
若存在x ∈1,3
，使不等式x2- 2ax + a + 2 ≤0 成立，则a 的取值范围为
．
【题型
【题型6】消元法求最值
】消元法求最值
消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为
常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值．
1
(24-25 高一下·浙江·开学考试)已知x > 0，y > 0，x + 2
y = 1，则2
x + xy - 2
xy 的最小值为
(
)
A. 17
3
B. 5
C. 2 + 2 2
D. 2 +
2
2
已知x > 0，y > 0，xy + 2x - y = 10，则x + y 的最小值为
．
６６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
67
3
(24-25 高一上·广东深圳·期末) (多选) 已知a > 0，b > 0，且b = 1 - 1
a ，则
(
)
A. b
a 的最大值为1
4
B.
1
a2 + b2的最小值为1
4
C. a
2 - b 的最小值为
2 - 1
D. a + 1
b 的最小值为4
1
若正数x，y 满足x2- 2xy + 2 = 0，则x + y 的最小值是
(
)
A.
6
B.
6
2
C. 2 2
D. 2
2
若a > 0，b > 0，ab = 2，则a+4b+2b3
b2+1
的最小值为
．
3
(多选) 已知x > 0，y > 0，且x + y + xy - 3 = 0，则
(
)
A. xy 的取值范围是1,9
B. x + y 的取值范围是2,3
C. x + 4y 的最小值是3
D. x + 2y 的最小值是4 2 - 3
E. x + 4y > 3
６７
68
4
(24 - 25 高一下·湖南岳阳·期末) 已知x > 1，y > 2 且xy - 2x - y = 0，则x + y 的最小值为(
)
A. 4 2
B. 2 2 + 3
C. 4
D. 6
【题型
【题型7】因式分解型
】因式分解型
含有ax + by + abxy 这类结构的式子，可以考虑因式分解配凑成ax+1
by+1
的结构，再结合整体思
想来求最值
1
(2025·广东·二模)若x > 0，y > 0，且x + y = xy，则
1
x-1 +
2
y-1 的最小值为
(
)
A. 2
B. 2 2
C. 3
D. 9
2
2
(24-25 高一下·湖南常德·月考) (多选) 已知x，y 均为正数，且x + 4y = xy，则下列选项正确的
有
(
)
A. xy ≥16
B. 4x + y ≥25
C.
1
x-4 +
1
y-1 ≥1
D. x + y ≥10
3
(2025·深圳中学阶段测)若a、b、c > 0 且a(a + b + c) + bc = 4 - 2 3，则2a + b + c 的最小值为
(
)
A.
3 - 1
B.
3 + 1
C. 2 3 + 2
D. 2 3 - 2
６８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
69
1
(重庆巴蜀中学校考) 已知x > 0，y > 0，且xy + x - 2y = 4，则2x + y 的最小值是
(
)
A. 4
B. 5
C. 7
D. 9
2
(24 - 25 高一下·浙江湖州·月考) 已知正实数x，y 满足1
x - 1
y = 1，则
x
x-1 +
4y
y+1 的最大值为
．
3
已知a，b 为正实数，且a + b + ab = 3，则2a + b 的最小值为
(
)
A. 4 2 - 3
B. 3
C. 2 2
D. 4
4
(高一上·福建莆田·期中) 已知x > 2，y > 1，xy = x + 2y + 2，则x + y 的最小值是
(
)
A. 1
B. 4
C. 7
D. 3 +
17
5
(高一上·辽宁·期中) 若x > 0，y > 0 且满足x + y = xy，则
2x
x-1 +
4y
y-1 的最小值为
(
)
A. 6 + 2 6
B. 4 + 6 2
C. 2 + 4 6
D. 6 + 4 2
６９
70
【题型
【题型8】含有根式的配凑
】含有根式的配凑(根式平方和为定值型
根式平方和为定值型)
对于ax2+ by2= n，求kx 1+y2 最大值
可以设c =
1+y2，配好系数后的c2与x2可以凑出定值
1
已知a，b 是正实数，且2a2+ 3b2= 10，求a 2+b2 的最大值．
1
已知x，y 为正实数，且x2+ y2
2 = 1，求x 1+y2 的最大值
2
若x > 0，y > 0，且2x2+ y2
3 = 8，则x 6+2y2 的最大值为
．
【题型
【题型9】同除型
】同除型(构造齐次式
构造齐次式)
齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行
求解．
1
设正实数x、y、z 满足4x2- 3xy + y2- z = 0，则xy
z 的最大值为
(
)
A. 0
B. 2
C. 1
D. 3
７０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
71
1
已知正实数x，y 满足5x2+ 4xy - y2= 1，12x2+ 8xy - y2的最小值为
．
【题型
【题型10
10】运用基本不等式证明不等式
】运用基本不等式证明不等式
三元基本不等式：a+b+c
3
≥3 abc(a，b，c 均为正实数)，当且仅当a = b = c 时等号成立．
柯西不等式：若a，b，c，d ∈R，则(a2 + b2) (c2 + d2) ≥(ac + bd)2(当且仅当a
c = b
d ，即ad = bc 时取
等号)
1
已知a > 0，b > 0，a + b = 1，求证：
(1) 1
a + 1
b ≥4；
(2) 1+ 1
a
1+ 2
b
≥8 + 4 3．
2
(24-25 高一上·四川德阳·月考)已知a > 0，b > 0，c > 0，且a + b + c = 1，证明：
(1) a2
c + b2
a + c2
b ≥1；
(2) (1 + a) (1 + b) (1 + c) ≥8(1 - a) (1 - b) (1 - c)．
1
设a，b，c 均为正数，求证：a+b+c
1
a+b +
1
b+c +
1
a+c
≥9
2 ．
７１
72
2
(高一上·安徽淮南·期中) 已知a，b，c 是正实数．
(1) 证明：a + b + c ≥
ab +
bc +
ac；
(2) 若a + b + c = 2，证明：1
a + 1
b + 1
c ≥9
2 ．
(3) 已知a，b 是正数，且a + b = 1，求证：(ax + by) (bx + ay) ≥xy．
模块二
技巧进阶
【题型
【题型11
11】权方和不等式
】权方和不等式
什么是权方和不等式？
对任意的a，b，x，y ∈R+，恒有am+1
xm
+ bm+1
ym
≥
a+b
m+1
x+y
m ，当且仅当a
x = b
y 取等号
1
(24-25 高一上·浙江杭州·期末)若正实数x，y 满足：x + y = 1 则8
x2 + 1
y2 最小值是
．
2
已知a，b，c 为正实数，且满足a + 4b + 9c = 4，则
1
a+1 +
1
b+1 +
1
c+1 的最小值为
．
1
已知正数x，y 满足x + y = 6，若不等式a ≤
x2
x+1 +
y2
y+2 恒成立，则实数a 的取值范围是
．
７２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
73
2
已知a，b，c 为正实数，且满足a + 4b + 9c = 4，则
1
a+1 +
1
b+1 +
1
c+1 的最小值为
．
3
已知a > b > 0，且满足EF =
3，AF ⊥BF，则a + b 的最小值为
．
4
y =
x2-3x+2 +
2+3x-x2 的最大值为
【题型
【题型12
12】二维柯西不等式
】二维柯西不等式
高中阶段主要应用二元柯西不等式解决相应的问题，
二元柯西不等式如下：对于任意的a，b，c，d ∈R，都有(ac + bd)2≤(a2+ b2) (c2+ d2)，
对于上述形式左边或右边的代数式为定值时，往往能利用基本不等式求得另一边代数式的最值，但利用
柯西不等式求解，可以直接一步到位，快速求得最值．
而不少于三元的柯西不等式的应用往往以新定义题的形式出现．
1
已知正实数a，b 满足：2a + b = 1，求a2+ 2b2+ 8
a + 1
4b 的最小值．
７３
74
2
柯西不等式的三元形式如下：对实数a1，a2，a3 和b1，b2，b3，有a2
1+a2
2+a2
3
b2
1+b2
2+b2
3
≥
a1b1+a2b2+a3b3
2，当且仅当a1
b1
= a2
b2
= a3
b3
等号成立，已知x2 + y2 + z2 = 14，请你用柯西不等
式，求出x + 2y + 3z 的最大值是
(
)
A. 14
B. 12
C. 10
D. 8
1
(2025 江苏南通高一上联考) 已知正实数x、y、z 的和为1，则
x2
x+y +
y2
y+z +
z2
z+x 的最小值为
．
2
(2022·全国甲卷·高考真题) 已知a，b，c 均为正数，且a2+ b2+ 4c2= 3，证明：
(1)a + b + 2c ≤3；
(2) 若b = 2c，则1
a + 1
c ≥3．
3
(24 - 25 高一上·陕西西安·月考) 存在正数x，y，z，使得不等式
x +
3y +
5z ≥m x+y+z
成立，则m 的最大值是
．
７４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
75
4
(多选) (24 - 25 高一上·新疆·期中) 已知x > 0，y > 0，且不等式x x+1
2 + y y+1
2 -
m2-2m
xy ≥0 恒成立，则m 的取值可能是
(
)
A. - 4
B. - 2
C. 2
D. 4
5
我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：∀a，b ∈R，a2 + b2 ≥2ab，当且仅当a = b 时，
等号成立．我们从不等式a2 + b2 ≥2ab 出发，可以得到一个非常优美的不等式- - 柯西不等式，
柯西不等式的一般形式为：∀a1，a2，⋯，an，b1，b2，⋯，bn ∈R，且b1b2 ⋯bn ≠0，(a2
1 + a2
2
+⋯+a2
n) (b2
1 + b2
2+⋯+b2
n) ≥(a1b1+ a2b2+⋯+anbn)2，当且仅当a1
b1
= a2
b2
=⋯= an
bn
时，等号成立．
(1) 若x + 2y + 2z = 3 3，求x2+ y2+ z2的最小值；
(2) 求
x +
3x-32 +
17-x 的最大值；
(3) 若a > 3，b > 3，不等式a3+ b3- 3a2- 3b2≥m(a - 3) (b - 3) 恒成立，求m 的取值范围．
【题型
【题型13
13】万能
】万能“k”法
设k 法的三个步骤：
⑴问谁设谁：求谁，谁就是k；
⑵代入整理：整理成某个变量的一元二次方程(或不等式)；
⑶确认最值：方程有解(或不等式用均值放缩)，≥0 确定最值
1
已知实数x，y，满足x2+ xy + 3y2= 3，则x + y 的最大值为
(
)
A. 3 11
11
B. 6 11
11
C.
3+1
3
D.
3+3
3
７５
76
1
(重庆巴蜀中学校考) 已知实数a，b 满足a2+ 4b2- ab = 1，则a + b 的最小值为
2
已知正实数x、y 满足x + 2
x + 3y + 4
y = 10 则xy 的取值范围是
模块三
【课后作业】
1
(24 - 25 高一上·安徽池州·期中) 已知x > 0，y > 0，且x + y = 5，若
4
x+1 +
1
y+2 ≥2m
+ 1 恒成立，则实数m 的取值范围是
(
)
A.
-∞, 1
16
B.
-∞, 2
5
C.
-∞, 1
2
D.
-∞,4
2 (24 - 25 高一下·湖北恩施·期末) 记一个长方形的长为a，宽为b，a > b 且a，b ∈N ∗．若a
+ b = ab
4 - 1，则该长方形周长的最小值为
．
3 (24 - 25 高一上·广东深圳·期末) 已知a > 0，b > 0，且2a + b = 2，若t2 - 3t ≤a
b + 2
a 恒
成立，则实数t 的取值范围是
．
７６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
77
4 (24 - 25 高一上·山东聊城·期末) 已知0 < a < 1，若b
a +
b
1-a ≥1 恒成立，则实数b 的取
值范围为
(
)
A.
1
4 ,+∞
B.
1
2 ,+∞
C.
0, 1
2
D.
0,4
5 (高一上·四川广安·期中) (多选) 在下列函数中，最小值是2 的是()．
A. y = x + 1
x
B. y =
x2+1 +
1
x2+1
C. y = x2+2
x2+1
D. y = x2- 2x + 3
6 (多选) 已知a > 0，b > 0，且a + b = 1，则下列不等式成立的是
(
)
A. ab ≥1
4
B. 4
a + 9
b ≥25
C.
a +
b ≤
2
D. a2< a + 3b
7 (24 - 25 高一下·湖南·开学考试) 已知a > b > c，n ∈N *，且
1
a-b +
1
b-c ≥
n
a-c 恒成
立，则n 的最大值为
(
)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
8 (多选) 已知实数x，y 满足x2+ 4y2- 2xy = 1，则
(
)
A. x + 2y ≤1
B. x + 2y ≥-2
C. x2+ 4y2≤2
D. x2+ 4y2≥1
７７
78
9 两个正实数x，y 满足2x + y = 1，若不等式1
x + 2
y ≥a2 - 2a 恒成立，则实数a 的取值范
围是
．
10 若两个正实数x，y 满足4x + y = xy，且存在这样的x，y 使不等式x + y
4 < m2 + 3m 有
解，则实数m 的取值范围是
．
11 设x，y 为正实数，若2x + y + 2xy = 5
4 ，则2x + y 的最小值是
(
)
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
12 (多选) 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处
理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证
明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC = a，BC = b，O 为AB 的中点，以AB 为直径作
半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D，连接OD、AD、BD，过点C 作OD 的垂线，垂足为E．则该
图形可以完成的所有的无字证明为
(
)
A. a+b
2
≥
ab a>0,b>0
B. a2+ b2> 3ab a>0,b>0
C.
ab ≥
2
1
a + 1
b
a>0,b>0
D. a2+b2
2
≥a+b
2
a>0,b>0
７８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
79
13 原油作为“工业血液”、“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经
济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案
是每次加油40 升，第二种方案是每次加油200 元，则下列说法正确的是
(
)
A. 第一种方案更划算
B. 第二种方案更划算
C. 两种方案一样
D. 无法确定
14 (24 - 25 高一上·江苏镇江·期末) 如图，互相垂直的两条小路AM，AN 旁有一长方形花坛
ABCD，其中AB = 30m，AD = 20m．现欲经过点C 修一条直路l，l 交小路AM ，AN 分别为点P，
Q．计划准备将长方形花坛ABCD 扩建成一个更大的三角形花坛APQ．要求AP 的长不小于40m 且不大
于90m．记三角形花园APQ 的面积为Sm2
(1) 设DQ = xm，试用x 表示AP，并求x 的取值范围；
(2) 当DQ 的长度是多少时，S 取最小值？最小值是多少？
15 (24 - 25 高一上·江苏苏州·期末) 已知a、b 均为正实数，ab = a + 2b + t t∈R
．
(1) 若t = 0，求a + b 的最小值：(2) 若t = 6，求
1
a-2 +
4
b-1 的最小值．
16 天气转冷，某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动．根据前期调研，获得该产品的
销售量a 万件与投入的促销费用x 万元x≥0
满足关系式a = 8 -
k
x+1 (k 为常数)，而如果不搞促销活
动，该产品的销售量为4 万件．已知该产品每一万件需要投入成本18 万元，厂家将每件产品的销售价格
定为34+ 12
a
元，设该产品的利润为y 万元．(注：利润= 销售收入- 投入成本- 促销费用)
(1) 求出k 的值，并将y 表示为x 的函数；
(2) 促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？
７９
80
17 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表
述如下：设正数a，b，x，y，满足a2
x + b2
y ≥
a+b
2
x+y
，当且仅当a
x = b
y 时，等号成立．则函数f x
= 3
x +
16
1-3x 0<x< 1
3
的最小值为
(
)
A. 16
B. 25
C. 36
D. 49
18 柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy) 在研究数学分析中的“流数”问题时得到
的．而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式
应用到近乎完善的地步．该不等式的三元形式如下：对实数a 1，a 2，a 3 和b 1，b 2，b 3，有
a2
1+a2
2+a2
3
b2
1+b2
2+b2
3
≥a1b1+a2b2+a3b3
2 等号成立当且仅当a1
b1
= a2
b2
= a3
b3
已知x2 + y2 + z2 = 14，请
你用柯西不等式，求出x + 2y + 3z 的最大值是
(
)
A. 14
B. 12
C. 10
D. 8
８０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
81
专题2 - 4 二次函数与一元二次方程，不等式综合
模块一
重点题型梳理
【题型
【题型1】三个
】三个“二次
二次”关系的应用
关系的应用
二次函数y = ax2 + bx + c 的图象、一元二次方程ax2 + bx + c = 0 的根与一元二次不等式ax2 + bx + c > 0
与ax2+ bx + c < 0 的解集的关系，可归纳为：
若a < 0 时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．
通过以上论述，可对“三个二次”的关系有一个较为全面的了解，在解题中，我们要不失时机的渗透
“三个二次”三位一体的思维意识，实现“三个二次”之间的相互转换，能自然规范的运用函数方程思
想、数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想，提高数学解题思维水平。
知识点诠释：
(1) 一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠0) 的两根x1、x2 是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线
y = ax2+ bx + c 与x 轴的交点的横坐标；
(2) 表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项
系数为正的形式，然后讨论解决；
(3) 解集分Δ > 0，Δ = 0，Δ < 0 三种情况，得到一元二次不等式ax2 + bx + c > 0 与ax2 + bx + c < 0 的
解集．
1
(24-25 高一上·重庆·期中)已知函数f x
= ax2 + bx + c，若a > b > c，a + b + c = 0，则f x
的图象可能是
(
)
A.
B.
C.
D.
８１
82
1
(24 - 25 高一上·福建福州·月考) 不等式cx2 + ax + b > 0 的解集为x -1<x< 1
2
，则函数y =
ax2+ bx - c 的图象大致为
(
)
A.
B.
C.
D.
2
(24 - 25 高一上·河北保定·期末) 关于二次函数y = x2- kx + k - 1(k ≠0)，则下列正确的是(
)
A. 函数图象与x 轴总有两个不同的交点
B. 若函数图象与x 轴正半轴交于不同的两点，则k > 0
C. 不论k 为何值，若将函数图象向左平移1 个单位，则图象经过原点
D. 当x ≥1 时，y 随x 的增大而增大，则k < 2
3
(24 - 25 高一上·陕西渭南·月考) 已知m < n，函数y = (x - m) (x - n) + 1 与x 轴的交点横坐标为
a、b，且a < b，则
(
)
A. a < m < n < b
B. m < a < b < n
C. a < b < m < n
D. m < n < a < b
【题型
【题型2】一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式
】一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式
1、一元二次不等式的解与解集
使某一个一元二次不等式成立的x 的值，叫做这个一元二次不等式的解；
一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集；
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形
总结：一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、元二次方程求解，步骤如下：
(1) 化二次项系数为正；
(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则可得到两根x1，x2，那么“y > 0”型的解为x < x1 或
x > x2(俗称“大于取两边”)，“y < 0”型的解为x1< x < x2(俗称“小于取中间”)；
2、解绝对值不等式的常见方法
８２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
83
法一：等式两边同时平方
法二：分类讨论去绝对值
法三：利用绝对值的几何意义
3、简单的分式不等式的解法
系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”
例：
1
x+2 ≤3
策略一：同乘分母的平方
1
x+2 ≤3 ⇒x + 2 ≤3 x+2
2⇒3x2+ 11x + 10 ≥0 ⇒x ≥- 5
3 或x <-2(也可以提公因式)
策略二：也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：
同乘x + 2：
1
x+2 ≤3 ⇒x+2>0
3(x+2)≥1
或x+2<0
3(x+2)≤1
⇒
x>-2
x≥- 5
3
或
x<-2
x≤- 5
3
⇒x ≥- 5
3 或x <-2
策略三：先将一端变为0，再讨论分子分母是否同号，注意分母不能为0
1
x+2 ≤3x+6
x+2 ⇒0 ≤3x+5
x+2 ⇒3x+5
x+2
≥0 ⇒x ≥- 5
3 或x <-2
1
(24-25 高一上·天津南开·开学考试)求下列不等式的解集．
(1)0 <-2x2- 7x - 3 < 5；
(2) x+1
2x-3 ≤1
2
(24-25 高一上·安徽·月考)“1 ≤x ≤5”是“x2- 7x + 10 ≤0”的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
８３
84
3
解不等式：(1) 4x-3
> 2x + 1；(2) 4x-3
> 2x+1
；(3) x+2
2x+1 > 1 的解集为
1
解下列一元二次不等式：
(1)3x2- 7x ≤10；
(2)x2- x + 1
4 < 0．
2
不等式x+3
2-x ≥0 的解集为
．
3
(24 - 25 高一上·上海·随堂练习) 不等式
1
|1-2x| ≥3 的解集为
．
4
(24 - 25 高一上·天津·月考) 设x ∈R，则“ x-3
x+1 < 0”是“|x - 1| < 1”的
(
)
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
８４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
85
【题型
【题型3】由一元二次不等式的解集求参数
】由一元二次不等式的解集求参数
先判断开口方向，再结合图像，通过韦达定理列出参数相关的方程组
1
(高一上·江苏盐城·期中)已知不等式ax2 - 3x + 2 > 0 的解集为(-∞, 1) ∪(b ,+∞)，则a，b 的
取值分别为
(
)
A. 3，-1
B. 2，1
C. - 1，3
D. 1，2
2
(多选题) (2025·高一·江苏·专题练习) 已知关于x 的不等式ax2 + bx + c ≥0 的解集为
x
x ≤-3 或
x≥4
，则下列说法正确的是
(
)
A. a > 0
B. 不等式bx + c > 0 的解集为x x<-4
C. 不等式cx2- bx + a < 0 的解集为x x<- 1
4 或x> 1
3
D. a + b + c > 0
3
(24-25 高一上·江苏常州·月考)若关于x 的不等式0 ≤ax2+ bx + c ≤2 a>0
的解集为-1,3
，
则a - b - c 的取值范围是
．
1
(24 - 25 高一上·吉林通化·月考) (多选) 已知关于x 的不等式ax2 + bx + c < 0 的解集为
x
x<-2
或x>3
，则下列说法正确的是
(
)
A. a < 0
B. ax + c > 0 的解集为{x|x > 6}
C. 8a + 4b + 3c < 0
D. cx2+ bx + a < 0 的解集为x - 1
2 <x< 1
3
８５
86
2
(多选题) (2024·高一·山东聊城·期末) 不等式ax2 + bx + c ≥0 的解集是
x
-1≤x≤2
，则下列结
论正确的是
(
)
A. a + b = 0
B. a + b + c > 0
C. c > 0
D. b < 0
3
(多选题) 若不等式ax2- bx + c > 0 的解集是(-1 , 2)，则下列选项正确的是
(
)
A. b < 0 且c > 0
B. a - b + c > 0
C. a + b + c > 0
D. 不等式ax2+ bx + c > 0 的解集是{x| -2 < x < 1}
4
(24 - 25 高一上·江苏苏州·月考) (多选) 若关于x 的不等式0 ≤ax2 + bx + c ≤2 a>0
的解集为
x|-1≤x≤3
，则3a + b + 2c 的值可以是
(
)
A. 1
2
B. 3
2
C. 2
D. 4
5
(25 - 26 高一上·全国·单元测试) (多选) 已知关于x 的不等式ax 2 + bx + c > 0 的解集为
x -1<x<3
，则
(
)
A. y = ax2+ bx + c 有最大值
B. b =-2a
C. 6b =-5c
D. bx2+ a x
- c > 0 的解集为-∞,- 3
2
∪
3
2 ,+∞
８６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
87
【题型
【题型4】简单的含参一元二次不等式的解集
】简单的含参一元二次不等式的解集
1
(24-25 高一上·陕西渭南·月考)关于x 的不等式ax2 + 2a-1
x - 2 > 0，其中a ≤0，则该不等
式的解集不可能是
(
)
A.
-∞,-2
B.
-2, 1
a
C.
-∞,-2
∪
1
a ,+∞
D.
1
a ,-2
2
(高一上·山西朔州·月考)关于x 的一元二次不等式x-2
a-1
x+ 2-a
> 0，当0 < a < 1
时，该不等式的解集为
(
)
A.
x x>2或x< a-2
a-1
B.
x 2<x< a-2
a-1
C.
x x<2或x> a-2
a-1
D.
x a-2
a-1 <x<2
1
(24 - 25 高一上·重庆·月考) 若t > 1，则关于x 的不等式t-x
x- 1
t
> 0 的解集为
(
)
A.
t，1
t
B.
-∞，1
t
∪t，+∞
C.
1
t ，t
D.
-∞，t
∪
1
t ，+∞
2
(24 - 25 高一上·上海金山·期末) 当0 < a < 1 时，关于x 的不等式x-3
1-a
x+ a-3
< 0 的
解集为
(
)
A.
-∞, a-3
a-1
∪3,+∞
B.
-∞,3
∪
a-3
a-1 ,+∞
C.
3, a-3
a-1
D.
a-3
a-1 ,3
【题型
【题型5】实数集上的含参一元二次不等式恒成立问题：判别式法
】实数集上的含参一元二次不等式恒成立问题：判别式法
一元二次不等式在R 上的恒成立问题
与恒成立问题有关的词有：“任意”、“全体实数”、“都”、“一切实数”等．
方法是通过二次函数的图像来理解．
８７
88
(1) 若ax2+ bx + c > 0 恒成立，则
；
（2）若ax2+ bx + c < 0 恒成立，则
；
（3）若ax2+ bx + c ≠0 恒成立，则
．
1
(24-25 高一上·山东淄博·月考)若不等式a-1
x2 - a-1
x - 1 < 0 的解集为R，则实数a 的取
值范围为
(
)
A.
a|-3<a<1
B.
a|-3<a≤1
C.
a|a<-3或a≥1
D.
a|a<-3或a>1
1
(24 - 25·山东临沂·期末) 若关于x 的不等式mx2 - 5x + m ≤0 的解集为R，则实数m 的取值范围
是
(
)
A.
-∞,- 5
2
B.
-∞,- 5
2
C.
- 5
2 ,0
D.
- 5
2 ,0
2
已知函数y = (a - 2)x2 + 2(a - 2)x - 4，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a 的取值范围是
3
(高一下·湖南·月考) (多选) 下列条件中，为“关于x 的不等式mx2 - mx + 1 > 0 对∀x ∈R 恒成
立”的充分不必要条件的有
(
)
A. 0 ≤m < 4
B. 0 < m < 2
C. 1 < m < 4
D. - 1 < m < 6
８８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
89
【题型
【题型6】一元二次不等式的实际问题
】一元二次不等式的实际问题
一元二次不等式有解问题一般可以结合函数图像通过分析开口方向以及判别式正负来确定参数范围
1
(24-25 高一上·广东揭阳·期中)某种衬衫进货价为每件30 元，若以40 元一件出售，则每天能卖
出40 件；若每件提价1 元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525
元，则每件衬衫的售价的取值范围是
．
2
(24-25 高一上·江苏盐城·期中)某主播在直播平台上销售一款成本为每件24 元的商品．经调查
发现，该商品每天的销售量y(件) 与销售单价x(元) 之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1) 求该商品每天的销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；
(2) 若该主播按单价不低于成本价，且不高于50 元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利
润是多少？
(3) 若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280 元，则每天的销售量最少应为多少件？
1
某礼服租赁公司共有300 套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200 元，则所有礼服均被租出；
若将每套礼服每天的租价在200 元的基础上提高10x 元(1 ≤x ≤20，x ∈Z)，则被租出的礼服会
减少10x 套．若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24 万元，则该礼服租赁公司每套
礼服每天的租价应定为
(
)
A. 220 元
B. 240 元
C. 250 元
D. 280 元
８９
90
2
某市有块三角形荒地，如图△ABC 所示，∠A = 90°，AB = AC = 200(单位：米)，现市政府要在
荒地中开辟一块矩形绿地ADEF，其中D，E，F 点分别在线段AB，BC，CA 上，若要求绿地
的面积不少于7500 平方米，则AD 的长度(单位：米) 范围是
(
)
A.
40,160
B.
50,150
C.
55,145
D.
60,140
3
如图，在长为8m，宽为6m 的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周
的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？
模块二
中档题突破
【题型
【题型7】有范围限制的含参一元二次不等式恒成立问题
】有范围限制的含参一元二次不等式恒成立问题(2)：参变分离法
：参变分离法
含参一元二次不等式在区间上的恒成立问题一般通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问
题
参变分离法：如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x 的关系，
∀x ∈M，使得f(x) ≥a ，等价于f(x)min ≥a ，∀x ∈M，使得f(x) ≤a ，等价于f(x)max ≤a
1
(24-25 高一上·辽宁朝阳·月考)若对任意的x ∈1,+∞
，关于x 的不等式x2 + 4-a
x + 9 ≥0
恒成立，则a 的最大值为
(
)
A. 13
B. 12
C. 10
D. 9
９０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
91
2
(广东深圳·高一深圳外国语学校校考)当-4 ≤x ≤0 时，关于x 的不等式x2 + ax + 15 - a ≥0 恒
成立，则a 的取值范围是
．
1
(24 - 25 高一下·贵州·月考) 对任意x ∈-1,1
，不等式2x2 - 2x + 1 - 2m ≥0 恒成立，则实数m
的取值范围是
(
)
A.
-∞, 1
4
B.
-∞, 1
2
C.
-∞, 5
2
D.
1
2 ,+∞
2
若不等式x2 - tx + 1 > 0 在x ∈0,2
时不等式恒成立，则实数t 的取值范围为
；若不等式
x2- tx + 1 < 0 在x ∈1,2
上恒成立，则实数t 的取值范围为
．
3
(24 - 25 高一上·广东深圳·月考) 设f x
= a-1
x2 + 2-a
x + 1．若函数f x
在区间3,6
上的
图象恒位于x 轴的上方，则实数a 的取值范围是
．
4
(高一上·北京·期中) 已知存在x ∈0,1
，使得x2- 4x ≥m2- 4m 成立，则m 的取值范围是(
)
A.
0,1
B.
1,3
C.
0,4
D.
0,+∞
5
已知命题p：“∃x ∈1,2
，使得2kx2 + kx - 3
8 ≤0 成立”是真命题，则实数k 的取值范围是
．
6
若关于x 的不等式ax2- (a + 2)x + 9
4 < 0 有解，则实数a 的取值范围是
．
９１
92
【题型
【题型8】一元二次不等式与基本不等式结合
】一元二次不等式与基本不等式结合
1
已知实数x，y > 0，且2
x + 1
y = 1，若2x + y > m2- 8m 恒成立，则实数m 的取值范围为(
)
A.
-9,1
B.
-1,9
C.
-1,9
D.
-∞,-1
∪9,+∞
1
(24 - 25 高一上·广东深圳·月考) (多选) 已知关于x 的不等式x2 - 4ax + 2a2 < 0(a < 0) 的解集为
{x|x1< x < x2}，则
(
)
A. x1< a < x2
B. x1+ x2+
a
x1x2
的最小值为2 2
C. x1x2+ x1+ x2< 0 的解集为a -2<a<0
D. x1x2+ x1+ x2的最小值为-2
【题型
【题型9】一元二次不等式与集合、逻辑用语综合
】一元二次不等式与集合、逻辑用语综合
1
已知集合A = {x|x2 - 3x + 2 < 0}，B = {x|x(x - m) > 0}，若A ∩B = ∅，则实数m 的取值范围
是
(
)
A. (-∞, 0]
B. [0 , 2]
C. [2 ,+∞)
D. [0 , 1]
2
(24-25·河南商丘·期末)已知集合A = x
2x-1
x-3 ≥1
，B = x∣ax2+(1-ab)x-b<0
．
(1) 用区间表示集合A；(2) 若b < 0，A ∩B = A，求a，b 的取值范围．
９２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
93
1
( 24 - 25 高二下· 江苏常州· 月考) 设全集U = R ，集合A =
x x-4
x+1 <0
，集合B =
x x2-2ax+a2-1<0
，其中a ∈R．
(1) 当a = 4 时，求A ∩B；
(2) 若“x ∈A”是“x ∈B”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
2
(24 - 25 高一上·湖南·月考) 已知集合A = 1,2
和非空集合B =
x
x2-2ax+a=0
，C =
x
x2-mx+3≥0
．
(1) 若命题P：“∀x ∈B，都有x ∈A”为真命题，求实数a 的取值；
(2) 若“x ∈C”是“x ∈A”的必要条件，求实数m 的取值范围．
3
(高一上·广东深圳·月考) 已知p：x2+ 2x - 8 ≤0，q：x2- 2m+1
x + m2+ m ≤0．
(1) 若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；
(2) 若q 是p 的既不充分也不必要条件，求实数m 的取值范围．
4
(24 - 25 高一上·广东深圳·月考) 已知集合A = x x-3
<1
，B = x x-2a
x-5a
<0
，a ∈
R．
(1) 当a > 0 时，x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求实数a 的取值范围；
(2) 若B ⊆∁RA，求实数α 的取值范围．
９３
94
5
(江苏省南京市第一中学2024 - 2025 学年高一上学期9 月阶段性检测数学试卷) 已知命题p :∃x ∈
0,3
，a =-x2 + 2x：命题q :∀x ∈-1,2
，x2 + ax - 8 ≤0．若p 为假命题，q 为真命题，则实
数a 的取值范围为
(
)
A.
-3,1
B.
-∞,2
C.
-7,-3
∪1,2
D.
-∞,-3
∪1,2
6
(湖北武汉·期末) 设命题p :∀x ∈-1,1
，使得不等式x2 - 2x - 3 + m < 0 恒成立；命题q :∃x ∈
0,1
，不等式2x - 2 ≥m2- 3m 成立．
(1) 若p 为真命题，求实数m 的取值范围；
(2) 若命题p、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．
7
( 24 - 25 高一上· 广东深圳· 月考) 已知集合A =
x x2-4x+3≤0
，集合B =
x x2-3x+2m2+m-1≤0
．
(1) 存在x0∈R，使x2
0- 2x0+ 2m - 1 = 0 m∈N *
成立，求集合B；
(2) 若x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；
(3) 命题p :∀x ∈A，有x2+ 2ax + 1 ≥0，命题q :∃x ∈R，使得x2- 2x - 2a + 1 ≤a2成立．若命题p
为假命题，¬q 为真命题，求实数a 的取值范围．
９４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
95
【题型
【题型10
10】解含参一元二次不等式
】解含参一元二次不等式
对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不
易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏
1
解关于x 的不等式：x2- m-3
x - 3m > 0．
2
(24-25 高一下·湖北黄石·月考)解关于x 的不等式ax2+ 2a+3
x + 6 > 0(a ∈R)．
1
解不等式x2- (m + 2)x + 2m < 0
2
当a < 1 时，解关于x 的不等式(ax - 1) (x - 1) < 0．
3
解关于x 的不等式：x2- 3a-1
x + 2a2- 2a > 0．
９５
96
4
(24 - 25 高一上·江苏常州·月考) 已知a，b，c ∈R，关于x 的一元二次不等式bx2 - 4x + 3 > 0 的
解集为{x ∣x < 1 或x > c}．
(1) 求b，c 的值；(2) 解关于x 的不等式ax2- (ac + b)x + bc < 0．
5
(24 - 25 高一上·江西) 解关于x 的不等式：a-1
x2+ 2a-1
x + 2 > 0
6
(24 - 25 高一上·江苏南京·月考) 已知函数y = kx2- 4x + k + 2．
(1) 已知关于x 的不等式kx2- 4x + k + 2 ≤0 的解集为k,k+2
，若存在x ∈k,k+2
，使关于x 的不
等式mx + m + 2 > 0 有解，求实数m 的取值范围；
(2) 解关于x 的不等式kx2- 4x + k + 2 < 5 + k - k+1
x．
【题型
【题型11
11】含参一元二次不等式恒成立问题
】含参一元二次不等式恒成立问题(3)：变更主元法解
：变更主元法解
变更主元：在有几个变量的问题中，常常有一个变量处于主要地位，我们称之为主元。在解含有参数的
不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，则可以得到意想不到的效果。
1
已知∀a ∈0,2
时，不等式ax2+ a+1
x + 1 - 3
2 a < 0 恒成立，则x 的取值范围为
．
９６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
97
1
若不等式2x - 1 > m x2-1
对任意m ∈-1,1
恒成立，实数x 的取值范围是
．
2
函数f(x) = x2+ ax + 3，若a ∈4,6
，f(x) ≥0 恒成立，则实数x 的取值范围是
．
3
已知函数y = mx2- mx - 6 + m，若对于1 ≤m ≤3，y < 0 恒成立，求实数x 的取值范围．
【题型
【题型12
12】一元二次不等式的整数解问题
】一元二次不等式的整数解问题
1
(24-25 高一上·江苏南通·月考)设集合A = x∣x-2
x-a
≤0
，B = {x ∣3 < x < 7}，若A
∩B 中恰含有3 个整数，则实数a 的取值范围是
(
)
A.
5,6
B.
6,+∞
C.
6,7
D.
6,7
2
(24-25 高一上·广东深圳·月考)已知关于x 的不等式a-1
x-1 > 1 恰有四个整数解，则实数a 的取
值范围是
(
)
A.
5,6
B.
-4,-3
C.
-4,-3
∪5,6
D.
-4,-3
∪5,6
1
(24 - 25 高一上·福建·期中) 已知关于x 的不等式x2 - 1+2a
x + 2a < 0 的解集中不含有整数，则
实数a 的取值范围为
(
)
A. (0 , 1)
B.
0, 1
2
∪
1
2 ,1
C.
0, 1
2
∪
1
2 ,1
D.
0,1
９７
98
2
关于x 的不等式x2- 1+2a
x + 2a < 0 的解集中恰有2 个整数，则实数a 的取值范围是
．
3
(24 - 25 高一上·福建泉州·期中) 已知关于x 的不等式x2 - a+2
x + 2a < 0 的解集中恰有两个整
数，则正整数a 的值为
．
4
(24 - 25 高一上·江苏常州·期中) 已知集合A = {x x+2
x-2 <0
，B = {x|(3x + 7) (x + k) ≤0}，若A
∩B 中恰有两个整数，则实数k 的取值范围为
．
5
(24 - 25 高一下·江西南昌·期末) 已知函数f x
= x2 - ax - 2a2 a>0
，不等式f x
< 0 的解集中
有且仅有2 个整数，且这两个整数均为非负数，求实数a 的取值范围．
【题型
【题型13
13】一元二次方程根的分布
】一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想．一般考虑以
下几方面：
(一) 开口(若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况)．
(二) 判定给定点处函数值的正负．(开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△> 0 恒成立)
(三) 判定△符号．
(四) 判定对称轴的位置．
总之，耐心去分类讨论(分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解)，借助图象去分析就可以得
９８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
99
到结论，无需记忆．
(1) 二元二次方程在R 上根的分布情况
①方程有两个不等的实数根⇔Δ = b2- 4ac > 0；
②方程有两个相等的实数根⇔Δ = b2- 4ac = 0；
③方程没有实数根⇔Δ = b2- 4ac < 0
(2) 一元二次方程的根的“0”分布
①方程有两个不等正根x1，x2⇔
Δ=b2-4ac>0
x1+x2=- b
a >0
x1x2= c
a >0
；
②方程有两个不等负根x1，x2⇔
Δ=b2-4ac>0
x1+x2=- b
a <0
x1x2= c
a >0
③方程有一正根和一负根，设两根为x1，x2⇔x1x2= c
a < 0
(3) 一元二次方程(a > 0) 的根的“k”分布
①两根都小于k ⇔
Δ>0
- b
2a <k
f(k)>0
；
②两根都大于k ⇔
Δ>0
- b
2a >k
f(k)>0
③一根小于k，一根大于f(k) < 0
(4) 一元二次方程根(a > 0) 在区间的分布
９９
100
①两根都在(m , n) 内⇔
Δ(m)>0
f(n)>0
m<- b
2a <n
②两根都在(m , n) 外⇔
f(m)<0
f(n)<0
③两根仅有一根在(m , n) 内⇔f(m) ⋅f(n) < 0
④一根在(m , n) 内，另一根在(p , q) 内⇔
f(m)f(n)<0
f(p)f(q)<0
1
已知二次方程2m+1
x2- 2mx + m-1
= 0 有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
2
(2024·高一·山东潍坊·月考) 关于x 的方程ax2+ x + 1 = 0 至少有一个负实根，求a 的取值范围．
１００
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
101
3
已知方程x2 - 2ax + a2 - 4 = 0 的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数a 的取值范围
．
4
(24 - 25 高一上·天津·月考) 方程x2 + k-2
x + 5 - k = 0 的两根都大于2，则实数k 的取值范围为
5
(24 - 25 高一上·浙江·期中) 关于x 的方程x2 + a-2
x + 5 - a = 0 有两根，其中一根小于2，另一
根大于3，则实数a 的取值范围是
(
)
A. {a|a <-5 或a >-4}
B.
a -5<a<-4
C.
a a<-5
D.
a a>-4
6
若方程7x2 - (m + 13)x - m - 2 = 0 的一个根在区间(0 , 1) 上，另一根在区间(1 , 2) 上，则实数m
的取值范围为
．
7
已知方程x2- a2x - a + 1 = 0 的两根分别在区间(0 , 1)，(1 ,+∞) 之内，则实数a 的取值范
围为
．
8
若关于x 的一元二次方程x2+ ax - 2 = 0 有两个不相等的实根x1，x2，且x1<-1，x2> 1，
则实数a 的取值范围是
(
)
A. a <-1
B. a > 1
C. - 1 < a < 1
D. a > 2 2 或a <-2 2
9
若关于x 的一元二次方程x2 + 3a-1
x + a + 8 = 0 有两个不相等的实根x1，x2，且x1 < 1，x2 >
1．则实数a 的取值范围为
．
１０１
102
10
已知关于x 的方程ax2 + x + 2 = 0 的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a 的取值范围是
．
11
方程x2- 2ax + 1 = 0 的两根分别在(0 , 1) 与(1 , 3) 内，则实数a 的取值范围为
(
)
A. 1 < a < 5
3
B. a < 1 或a > 5
3
C. - 1 < a < 5
3
D. - 5
3 < a <-1
12
已知关于x 的方程ax2 + x + 2 = 0 的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a 的取值范围是
．
13
已知方程x2 + (1 + a)x + 4 + a = 0 的两根为x1，x2，且0 < x1 < 1 < x2，则a 的取值范围是
．
模块三
【课后训练】
1
(24 - 25 高一上·上海·月考) 求下列不等式的解集：
(1) x-1
≥4；(2) x-3
2x+1 < 0．
１０２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
103
2 (多选题) (2024·高一·山东泰安·期中) 已知关于x 的不等式ax2 + bx + c > 0 的解集为
x -3
<x<2
，则
(
)
A. a < 0
B. a + b + c > 0
C. 不等式bx + c > 0 的解集为x x
>6
D. 不等式cx2+ bx + a < 0 的解集为x - 1
3
<x< 1
2
3 (24 - 25 高一上·江苏南京·月考) 已知关于x 的不等式a-2
x2 + 2 a-2
x + 1 ≤0 的解集
是∅，则实数a 的取值范围是
(
)
A.
2,3
B.
-∞,2
∪3,+∞
C.
2,3
D.
-∞,2
∪3,+∞
4 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2 的内接矩形花园(阴影部
分)，则图中矩形花园的其中一边的边长x(单位：m) 的取值范围是
(
)
A.
x
15≤x≤20
B.
x
12≤x≤25
C.
x
10≤x≤30
D.
x
20≤x≤30
5 (24 - 25 高一上·湖北黄冈·月考) 已知命题p：a-4
a
≤0，命题q：不等式ax2 + ax + 1 ≤0
的解集为∅，则p 成立是q 成立的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6 (24 - 25 高一上·广东广州·期中) 若∀x ∈
1
2 ,2
，不等式x2 - ax + 1 < 0 恒成立，则a 的
取值范围为
．
7 (24 - 25 高一上·江苏常州·期中) 已知方程x2 + (2k - 1)x + k2 = 0，且方程有两个大于1 的
实数根，则实数k 的取值范围为
．
8 (24 - 25 高一上·四川绵阳·开学考试) 已知关于x 的一元二次不等式x2 - a+1
x + a ≤0 的
解中有且仅有3 个正整数解，则实数a 的取值范围是
．
9 若不等式x2- 2x - m < 0 在x ∈
1
2 ,2
上有解，则实数m 的取值范围是
(
)
A.
-1,+∞
B.
-1,+∞
C.
- 3
4 +∞
D.
0,+∞
１０３
104
10 已知关于x 的方程x2- ax + 3 = 0 有一根大于1，另一根小于1，则实数a 的取值范围是
(
)
A. (4 ,+∞)
B. (-∞, 4)
C. (-∞, 2)
D. (2 ,+∞)
11 关于x 的一元二次方程x2 + a2-1
x + a - 2 = 0 有一个根小于-1，另一个根大于1，则
a 的取值范围是
．
12 已知不等式ax3+ bx2+ cx < 0 的解集是-∞,-1
∪0,2
，则b+c
a
的值为
．
13 解下列关于x 的不等式：x+a
x-2a+1
< 0．
14 (高一上·江苏镇江·期中) (1) 解关于x 的不等式x2- m+1
x + m < 0．
(2) 若对任意的x ∈1,2
，x2- m+1
x + m ≤0 恒成立，求实数m 的取值范围．
15 (24 - 25 高一上·福建福州·月考) 已知不等式mx2- mx + 2 ≥0．
(1) 当x ∈R 时不等式恒成立，求实数m 的取值范围；
(2) 当3 ≤x ≤5 时不等式恒成立，求实数m 的取值范围．
16 已知1
2 ≤m ≤3，不等式x2+ mx + 4 > 2m + 4x 恒成立，求x 的取值范围
17 (24 - 25 高一下·江西南昌·期末) 已知函数f x
= x2 - ax - 2a2 a>0
，不等式f x
< 0 的
解集中有且仅有2 个整数，且这两个整数均为非负数，求实数a 的取值范围．
１０４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
105
18 解关于x 的不等式ax2- (4a + 1)x + 4 > 0．
19 ( 24 - 25 高一下· 湖南长沙· 开学考试) 已知集合A =
x∣x2-3x+2<0
，B =
x|x2-4mx-5m2<0
．
(1) 若集合B = {x ∣-1 < x < 5}，求此时实数m 的值；
(2) 已知命题p : x ∈A，命题q : x ∈B，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．
20 (高一上·江苏宿迁·月考) 已知二次函数y = x2+ 2ax + 2．
(1) 若x ∈[1 , 5] 时，不等式y > 3ax 恒成立，求实数a 的取值范围；
(2) 解关于x 的不等式(a + 1)x2+ x > y(其中a < 0)．
１０５
106
专题3 - 1 函数的概念及其表示
模块一
重点题型梳理
【题型
【题型1】函数的概念
】函数的概念
一般地，设A、B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在
集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y
= f(x)．
1
下列关系中是函数关系的是
(
)
A. 等边三角形的边长和周长关系
B. 电脑的销售额和利润的关系
C. 玉米的产量和施肥量的关系
D. 日光灯的产量和单位生产成本关系
2
(24-25 高一上·陕西渭南·月考) (多选) 下列四个曲线中，可以作为函数图象的有
(
)
A.
B.
C.
D.
3
如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为
(
)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
１０６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
107
4
(24-25 高一上·广东东莞·期中)已知A = {x ∣0 ≤x ≤2}，B = {y ∣1 ≤y ≤2}，下列图象能表示
以A 为定义域，B 为值域的函数的是
(
)
A.
B.
C.
D.
1
(24 - 25 高一上·山西大同·期中) 下列关于x，y 的关系中，y 是x 的函数的是
(
)
A. y =
x-3 +
2-x
B. y2= 9x
C. y =
2x
x≥1
1-2x
x≤1
D.
2
中国清朝数学家李善兰在1859 年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至
今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．已知集合M = 1,2,3
，N =
1,2,3
，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是
(
)
A.
B.
C.
D.
１０７
108
3
已知A = {x|0 ≤x ≤2}，B = {1 , 2}，下列图形能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是
(
)
A.
B.
C.
D.
【题型
【题型2】给出解析式求函数的定义域
】给出解析式求函数的定义域
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算) 有意义为准则，列出不等式
或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义．
1
(24-25 高一上·吉林长春·月考)函数f(x) =
x+3 - 1
x 的定义域是
(
)
A. R
B. [-3 ,+∞)
C. (-∞, 0) ∪(0 ,+∞)
D.
-3,0
∪(0 ,+∞)
2
f x
=
4-x2 +
x
2-x 的定义域为
(
)
A.
-2,+∞
B.
-2,2
C.
-2,2
D.
-∞,2
1
函数f x
=
3-x
x-1 的定义域为
(
)
A.
-∞,3
B.
1,+∞
C.
1,3
D.
-∞,1
∪3,+∞
2
函数f(x) =
2x2
1-x + (2x - 1)0的定义域为
(
)
A.
-∞, 1
2
B.
1
2 ,1
C.
- 1
2 , 1
2
D.
-∞, 1
2
∪
1
2 ,1
１０８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
109
【题型
【题型3】函数图像的判断
】函数图像的判断
1
(24-25 高一上·全国·课后作业)如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以
相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关
系，其中不正确的为()
A.
B.
C.
D.
1
(高一上·北京西城·期中) 匀速地向下部是球形、上部是圆柱形的容器(如图所示) 内注水，那么注
水时间t 与容器内水的高度h 之间的函数关系h = f t
的图象大致是图中的()
A.
B.
C.
D.
2
(高一上·江苏镇江·期中) 如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯
注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h 与注水时间t 之
间的函数关系，大致是()
１０９
110
A.
B.
C.
D.
【题型
【题型4】相同函数的判断
】相同函数的判断
两个函数相同需要满足的条件是：1．定义域相同；2．解析式相同．
1
(24-25 高一上·河北保定·期中) (多选) 下列各项中，f(x) 与g(x) 表示同一函数的是
(
)
A. f(x) = ( x)2，g(x) =
x2
B. f(x) =
1-x2，f(x) =
1-x2，g(x) =
1+x ⋅
1-x
C. f(x) = x2，g(t) = t2
D. f(x) = x-3
，g x
= x-3,
x≥3
3-x,
x<3
1
(24 - 25 高一上·河南洛阳·期中) (多选) 下列各组函数中，不是相同函数的是
(
)
A. f x
= x x
与g x
= x2，x≥0，
-x2，x<0
B. f x
= x 与g x
=
x2
C. f x
=
x
x
与g x
= x
x
D. f x
= x + 2 与g x
= x2-4
x-2
2
(多选) (高一上·重庆沙坪坝·期中) 下列各组函数是同一个函数的是
(
)
A. f(x) = x2- 2x - 1 与g(t) = t2- 2t - 1
B. f(x) = x0与g(x) = 1
C. f(x) = 1
x 与g(x) = x
x2
D. f(x) =
x+1 ⋅
x-1 与g(x) =
x2-1
１１０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
111
3
(24 - 25 高一上·江苏盐城·月考) 下列各组函数中，表示同一函数的为
(
)
A. f x
= 2x2，g x
= 2x3
x
B. f x
=
2x+2025，g x
= 2x+2025
C. f x
= x - 1
x ，g x
= x2-1
x
D. f x
= 5x，g x
=
5x2
【题型
【题型5】已知定义域求参数
】已知定义域求参数
函数定义域是研究函数的起点，常涉及到两大问题：一是求函数定义域，二是已知函数的定义域求参数．
一个带参数的函数，已知函数值域求参数的问题，这类问题就是按照求值域的思路并与已知的值域建立
联系求参数的值，本质上是已知不等式的解集求参数值，解题时从不等式的角度入手比较容易．
1
(2024·高一·天津西青·期末)若函数f x
=
ax2-2ax+4 的定义域为R，则实数a 的取值范围
是
．
2
(24-25 高一下·广东梅州·期中)已知函数f x
= 1
2 x2 - x + 5 在m,n
上的值域为4m,4n
，
则m + n =
(
)
A. 4
B. 5
C. 8
D. 10
1
若函数f(x) =
x
mx2-x+2
的定义域为R，则实数m 的取值范围是
2
(高一·浙江杭州·期中) 已知函数f(x) =
kx2-4x+3 的定义域为R，求实数k 的取值范围
．
3
已知函数f(x) =
a2-1
x2+(a+1)x+1 的定义域为R，则实数a 的取值范围为
(
)
A.
-1, 5
3
B. (-∞,-1) ∪
5
3 ,+∞
C.
5
3 ,+∞
D. (-∞,-1] ∪
5
3 ,+∞
【题型
【题型6】求函数值或由函数值求参
】求函数值或由函数值求参
1
(24-25 高一上·江西宜春·月考)已知函数f 2x+3
= x2- x + a，且f 5
= 3，则a =
(
)
A. 3
B. - 3
C. 17
D. - 17
1
(24 - 25 高一上·陕西西安·期中) 已知函数f x+1
= x2- 3x + 5，则f 3
=
(
)
A. 9
B. 7
C. 5
D. 3
１１１
112
2
(24 - 25 高一上·湖北黄冈·月考) 若函数y = f(x) 的值域是1,3
，则函数F(x) = 1 - f(x + 3) 的值
域是
(
)
A.
-8,3
B. [-5 ,-1]
C. [-2 , 0]
D.
1,3
【题型
【题型7】已知函数类型求函数的解析式
】已知函数类型求函数的解析式(待定系数法求解析式
待定系数法求解析式)
待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数) 可用待定系数法来求解．
1
(24-25 高一上·福建福州·期中)若函数f x
是二次函数，满足f 0
= 2，f x+2
- f x
= 4x，
则f x
=
(
)
A. x2+ x + 2
B. x2- 2x + 2
C. x2- x + 2
D. x2+ 2x + 2
1
已知二次函数f x
满足f x+1
= f x
- 2x + 2，且f 0
= 2．求f x
的解析式
2
已知函数f(x) =-x2- 2x + 3，则f(x + 1) =
．
3
已知函数f(x) = ax - b(a > 0)，f(f(x)) = 4x - 3，则f(2) =
．
１１２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
113
模块二
中档题突破
【题型
【题型8】抽象函数求定义域
】抽象函数求定义域
求抽象函数定义域的方法
(1) 若已知函数f(x) 的定义域为[a , b]，则复合函数f[g(x)] 的定义域可由不等式a ≤g(x) ≤b 求出．
(2) 若已知函数f[g(x)] 的定义域为[a , b]，则f(x) 的定义域为g(x) 在x ∈[a , b] 上的值域．
总结：抽象函数的定义域的方法是：整体代换法(括号内取值范围相同)．
1
函数y = f(2x - 1) 的定义域为区间0,1
，则函数y = f(1 - x) 的定义域为
．
2
函数f x
的定义域是-2,3
，则函数y = f x+1
1-x
的定义域是
．
3
(24-25 高一上·云南红河·月考)若函数f x
的定义域为1,3
，则函数g x
= f 2x-1
x-1
的定义
域是
．
1
(24 - 25 高一上·广东深圳·月考) 已知函数f x
的定义域为1,4
，则函数y = f x+2
x
的定义域
为
．
１１３
114
2
若函数f x
的定义域是[0，4]，则函数g x
= f 2x
x
的定义域是
A. [ 0，2]
B. (0，2)
C. [0，2)
D. (0，2]
3
若函数y = f x
的定义域为-2,2
，F x
= f x+ 1
3
f x- 1
3
，则F x
的定义域为
．
【题型
【题型9】建立方程组求解析式
】建立方程组求解析式(方程思想
方程思想)
已知关于f(x) 与
或f(-x) 等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过
解方程组求出f(x)．
1
(广东深圳实验校考)已知函数y = f x
满足2f x
+ f
1
x
= 2x，x ∈R 且x ≠0，则f x
=
．
2
定义在区间-1,1
上的函数f x
满足2f x
- f -x
= x2，求f x
的解析式．
1
(广东广雅中学校考) 已知f
1
x
=
x
1-x2 ，则f x
=
．
１１４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
115
2
若对任意实数x，均有f(x) - 2f(-x) = 9x + 2，求f(x)．
3
已知定义在R 上的函数f x
满足f x
+ xf -x
= x2+ x，则函数f x
的解析式f x
=
．
【题型
【题型10
10】求嵌套函数的解析式
】求嵌套函数的解析式(换元或配凑
换元或配凑)
换元法：已知复合函数f(g(x)) 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
配凑法：由已知条件f(g(x)) = F(x)，可将F(x) 改写成关于g(x) 的表达式，然后以x 替代g(x)，便得
f(x) 的表达式．
1
函数f x
满足若f g x
= 9x + 3，g x
= 3x + 1，则f x
=
(
)
A. f x
= 3x
B. f x
= 3
C. f x
= 27x + 10
D. f x
= 27x + 12
2
若函数f g x
= 6x + 3，且g x
= 2x + 1，则f x
等于
(
)
A. 12x + 9
B. 6x + 1
C. 3
D. 3x
１１５
116
1
已知函数f 1-x
= 1-x2
x2
x≠0
，则f x
=
(
)
A.
1
x-1
2 - 1 x≠0
B.
1
x-1
2 - 1 x≠1
C.
4
x-1
2 - 1 x≠0
D.
4
x-1
2 - 1 x≠1
2
已知函数f x
满足：f x- 1
x
= x2+ 1
x2 ，则f x
的解析式为
(
)
A. f x
= x2+ 2
B. f x
= x2
C. f x
= x2+ 2 x≠0
D. f x
= x2- 2 x≠0
3
(24 - 25 高一上·云南文山·期中) 已知函数f x+1
x
= 1
x2 - 2，则f x
的解析式为
(
)
A. f x
= x2- 2x - 1
B. f x
= x2- 2 x≠0
C. f x
= x2- 2x - 3 x≠1
D. f x
= x2- 2x - 1 x≠1
【题型
【题型11
11】分离常数法求值域
】分离常数法求值域
一次分式函数：分离常数法+ 图像法，形如f(x) = ax+b
cx+d (ac ≠0) 的函数
第一步：分离常数，将分子变为常数
f(x) = ax+b
cx+d =
a
c (cx+d)+b- ad
c
cx+d
= a
c +
b- ad
c
cx+d ，分离出常数a
c 和分子为常数的分式
b- ad
c
cx+d
１１６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
117
第二步：结合反比例函数y = 1
cx 的值域求函数f(x) 的值域．
1
函数y = 2x+1
x
的值域为
2
(24-25 高一上·黑龙江哈尔滨·期中)函数f x
= 2x-3
3x+1 的值域
(
)
A.
-∞, 1
3
∪
1
3 ,+∞
B.
-∞, 3
2
∪
3
2 ,+∞
C.
-∞,- 1
3
∪- 1
3 ,+∞
D.
-∞, 2
3
∪
2
3 ,+∞
1
(广西南宁三中校考) 若x ∈0,2
，则函数y = x-2
x+1 的值域为
(
)
A.
-2,0
B.
-∞,-2
∪0,+∞
C.
0,1
D.
-2,1
2
函数y = 3x+2
x-1 ．的值域为
【题型
【题型12
12】换元法求函数的值域
】换元法求函数的值域
１１７
118
求根式型函数值域：换元法
形如y = ax + b +
cx+d(ac ≠0) 的函数
第一步：把函数中的根式
cx+d 设为一个变量t，并用t 表示x，求出t 的取值范围．
第二步：将所求关于x 的函数变换为关于t 的函数．
第三步：求出y 的取值范围，即所求函数的值域．
1
函数f x
=-x + 2 x 的值域是
．
2
(高一上·江苏苏州·期中)函数y = 1 - x +
1-2x 的值域为
(
)
A.
-∞, 1
2
B.
0，+∞
C.
1
2 ,+∞
D.
1
2 ,+∞
1
(湖南长沙·高一长郡中学校考) 函数y = 2x + 4 3-x 的值域为
(
)
A. (-∞, 8]
B. (-∞,-8]
C. [2 ,+∞)
D. [4 ,+∞)
2
函数f x
= x3+ 2 8-x3 的值域为
(
)
A.
-∞,4 2
B.
-40,9
C.
-∞,9
D.
-∞,8
3
(24 - 25 高一上·湖北·月考) 已知f 2x+1
x
= x+2
x
，则f x
=
(
)
A. 2x - 3 x≠0
B. 2x - 3 x≠2
C. 2x + 3 x≠0
D. 2x + 3 x≠2
【题型
【题型13
13】分段函数的求值求参
】分段函数的求值求参
１１８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
119
1、分段求解时解决分段函数问题的基本原则；当f(x0) 的值时，要先判断x0．属于定义域中的“哪段然
后再代入相应的解析式求解．
2、已知分段函数，求参数值，往往要对含参数的自变量属于" 哪段" 进行分类讨论，然后再代入相应的
解析式，列出方程求解，当出现f f a
的形式时，应从内往外依次求值．
1
已知函数f x
=
x2-1,
x<0
2,
x=0
x-2,
x>0
，则f f f 1
=
(
)
A. 2
B. 1
C. 0
D. - 1
2
(24-25 高一上·山西太原·月考)函数f x
= x2-1,x∈-1,1
x,x∈0,2
的定义域为
(
)
A. ∅
B.
x -1≤x≤2
C.
-1,0,1,2
D.
-1,0,1
1
(24 - 25 高一上·江苏南通·月考) 设f x
=
f f x+5
,
x<10
2x-15,
x≥10
，则f 9
的值为
(
)
A. 9
B. 11
C. 28
D. 14
2
已知函数f x
= 3x+1,
x<2
x2+ax,
x≥2
．若f f
2
3
= 12．则实数a =
(
)
A. - 1
B. 1
C. - 2
D. 2
3
(2024·高一·山东济南·期中) 已知函数f x
= 2x+1,
x<1
x2,
x≥1
，则f f
1
2
=
；若f a
>
a，则a 的取值范围是
．
１１９
120
【题型
【题型14
14】函数的实际应用
】函数的实际应用
1
如图，某小区要在一个直角边长为30m 的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为
△ABC，花园为矩形DEFG．根据规划需要，花园的顶点F 在三角形的斜边BC 上，边DG 在三
角形的直角边AC 上，顶点G 到点C 的距离是顶点D 到点A 的距离的2 倍．
(1) 设花园的面积为S(单位：m2)，AD 的长为x(单位：m)，写出S 关于x 的函数解析式；
(2) 当AD 的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积．
2
(高一上·重庆·期中)某乡镇响应“绿水背山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成
“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量W(单位：千克) 与施用肥料x(单位：
千克) 满足如下关系：W(x) =
2x2+34,
0≤x≤2
50-
8
x-1 ,
2<x≤5
，且单株施用肥料及其它成本总投入为20x
元．已知这种水果的市场售价大约为10 元/ 千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润
为f x
(单位：元)．
(1) 求函数f x
的解析式；
(2) 当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
１２０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
121
1
(24 - 25 高一上·浙江宁波·月考) 学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的研究调查
中，发现其在40 分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x(单位：分钟) 之间的关系满足如图
所示的图象，当x ∈0,12
时，图象是二次函数的一部分，顶点为A，听课时间为12 分钟与听课
时间为8 分钟的注意力指数都为78，听课时间为4 分钟的注意力指数为62；当x ∈12,40
时，图
象是线段BC，其中C 40,50
．
(1) 求y 关于x 的函数解析式；
(2) 根据专家研究，当注意力指数大于62 时，学习效果最佳，要使学生学习效果最佳，教师安排核心
内容应在什么时间段？
2
(24 - 25 高一上·广东广州·期末) 某地区上年度电价为0.8 元/(kW ⋅h)，年用电量为akW ⋅h，本年
度计划将电价下降到0.55 元/(kW ⋅h) 至0.7 元/(kW ⋅h) 之间，而用户期望电价为0.4 元/(kW ⋅
h)．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为k)．该
地区的电力成本价为0.3 元/(kW ⋅h)．
(1) 写出本年度电价下调后电力部门的收益y(单价：元) 关于实际电价x(单位：元/(kW ⋅h)) 的函数解
析式；(收益= 实际电量× (实际电价- 成本价))
(2) 设k = 0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？
１２１
122
模块三
【课后训练】
1
(24 - 25 高一上·四川达州·月考) (多选) 给出以下四个判断，其中正确的是
(
)
A. f x
=
x+1
x-2
的定义域为-1,2
∪2,+∞
B. 函数y = x 与y = x2
x 是同一函数
C. 若f x
的定义域为-2,2
，则f 2x-1
的定义域为- 1
2 , 3
2
D. 若不等式ax2+ 2x + c < 0 的解集为{x ∣x <-1 或x > 2}，则a + c = 2
2 (24 - 25 高一上·江苏无锡·月考) (多选) 已知函数y = x2 - 2x + 2 的值域是1,2
，则其定义
域可能是
(
)
A.
0,1
B.
1,2
C.
1
4 ,2
D.
-1,1
3 (24 - 25 高一上·吉林通化·月考) (多选) 下列说法正确的是
(
)
A. 函数f x+1
的定义域为-2,2
，则函数f x
的定义域为-1,3
B. f x
= x2
x 和g x
= x 表示同一个函数
C. 函数y =
1
x2+3 的值域为0, 1
3
D. 定义在R 上的函数f x
满足2f x
- f -x
= x + 1，则f x
= x
3 + 1
4 (24 - 25 高一上·福建莆田·期中) (多选) 已知f 2x+1
= 4x2定义域为1,3
，则错误的是
(
)
A. f 1
= 4
B. f -1
= 4
C. f x
= x-1
2，x ∈3,7
D. 函数f x-1
的定义域为1,2
5 (24 - 25 高一上·浙江宁波·期中) (多选) 下列说法中正确的有
(
)
A. 若函数f x
的定义域为-2,2
，则函数f 2x-1
的定义域为- 1
2 , 3
2
B. 函数f x
= x2
x 和函数g x
= x 表示同一个函数
C. 函数y = 2x +
x-1 的值域为2,+∞
D. 函数f x
满足f x
- 2f -x
= 2x - 1，则f x
= 2
3 x + 1
6 (24 - 25 高一上·广东梅州·开学考试) 已知函数f(x) =
mx2+mx+1 的定义域是R，则m
的取值范围是
(
)
A. 0 < m ≤4
B. 0 ≤m < 4
C. m ≥4
D. 0 ≤m ≤4
１２２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
123
7 已知函数y = f(x) 的定义域为[-2 , 3]，则函数y = f(2x+1)
x+1
的定义域为
(
)
A.
- 3
2 ,1
B.
- 3
2 ,-1
∪(-1 , 1]
C. [-3 , 7]
D. [-3 ,-1) ∪(-1 , 7]
8 (24 - 25 高一上·福建莆田·期中) (多选) 下列说法正确的有
(
)
A. 若函数f(2x - 3) 的定义域是[-3 , 3]，则函数f(x + 2) 的定义域是0,5
B. 函数y = x+1
2-x ，x ∈[3 , 5] 的值域为-4,-2
C. 已知函数f x- 1
x
= x2+ 1
x2 ，则f(1) = 3
D. 若关于x 的不等式x2- kx + 1 > 0 对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是(-2 , 2)
9 已知函数f x
=
x+1,
x≤0
f x-6
,
x>0
，则f 1
=
．
10 已知：函数f x
= x + 4，g x
=-x2+ 2x，则f g x
=
．
11 设函数f 1+ 1
x
= 2x + 1，则f x
的表达式为
(
)
A. 1+x
1-x x≠1
B. 1+x
x-1 x≠1
C. 1-x
1+x x≠-1
D.
2x
x+1 x≠-1
12 若函数f(x) =
2x-3
ax2+ax+1
的定义域为R，则实数a 的取值范围是
．
13 (24 - 25 高一上·江苏·期中) 已知实数a ≠0，函数f x
= 2x+a，x<1，
-x-2a，x≥1
．若f 1-a
=
f 1+2a
，则a 的值为
(
)
A. 1
B. - 1
2
C. - 1
D. - 1
2 或-1
１２３
124
14 已知函数f x
=
x
2x-4x ，则函数f x-1
x+1
的定义域为
(
)
A.
-∞,1
B.
-∞,-1
C.
-∞,-1
∪-1,0
D.
-∞,-1
∪-1,1
15 求下列函数的解析式：
(1) 已知f x+2
= 2x + 3，求f x
；(2) 已知f
x+1
= x + 2 x，求f x
；
16 (1) 已知f
x+2
= x + 4 x，求函数f x
的解析式；
(2) 已知f x
是二次函数，且满足f 0
= 1，f x+1
= f x
+ 2x，求函数f x
的解析式；
(3) 已知f x
+ 2f -x
= x2- x，求函数f x
的解析式；
17 求下列函数的定义域：
(1) 已知函数f(x) 的定义域为[1，2]，求函数y = f(2x + 1) 的定义域；
(2) 已知函数y = f(2x + 1) 的定义域[1，2]，求函数f(x) 的定义域；
(3) 已知函数y = f(2x + 1) 的定义域[1，2]，求函数y = f(2x - 1) 的定义域．
18 求下列函数的值域：
(1)y =
x - 1；(2)y = 2x+1
x-3 ；(3)y = x2+8
x-1 (x > 1)；(4)y = 2x -
x-1．
１２４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
125
专题3 - 2 函数的单调性与最值
【题型
【题型1】单调性的概念与判断
】单调性的概念与判断
一、增函数、减函数的概念
一般地，设函数f x
的定义域为A，区间D ⊆A：
如果对于D 内的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 < x2 时，都有f(x1) < f(x2)，那么就说f x
在区间D
上是增函数．
如果对于D 内的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 < x2 时，都有f(x1) > f(x2)，那么就说f x
在区间D
上是减函数．
知识点诠释：
(1) 属于定义域A 内某个区间上；
(2) 任意两个自变量x1，x2且x1< x2；
(3) 都有f(x1) < f(x2) (或f(x1) > f(x2))；
(4) 图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
上升趋势
下降趋势
二、函数单调性的判断方法
(1) 定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值- 变形- 判断符号- 下结论”进行判断．
(2) 图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
(3) 直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区
间．
三、单调函数的运算性质
若函数f(x) 与g(x) 在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质：
(1)f(x) 与f(x) + C(C 为常数) 具有相同的单调性．
(2)f(x) 与-f(x) 的单调性相反．
(3) 当a > 0 时，af(x) 与f(x) 单调性相同；当a < 0 时，af(x) 与f(x) 单调性相反．
(4) 若f(x) ≥0，则f(x) 与
f(x) 具有相同的单调性．
１２５
126
(5) 若f(x) 恒为正值或恒为负值，则当a > 0 时，f(x) 与
a
f(x) 具有相反的单调性；
当a < 0 时，f(x) 与
a
f(x) 具有相同的单调性．
(6)f(x) 与g(x) 的和与差的单调性(相同区间上)：
简记为：↗+ ↗=↗；(2) ↘+ ↘=↘；(3) ↗- ↘=↗；(4) ↘- ↗=↘．
1
已知函数f x
是R 上的增函数，函数g x
是R 上的减函数，则下列函数一定是增函数的是
A. f x
+ g x
B. f x
- g x
C. g x
- f x
D. f x
g x
2
(多选)当x < a 时，函数值y 随x 的增大而增大，称函数为增函数．下列函数中，当x <-1 时是增
函数的有
(
)
A. y =-2x + 1
B. y = 2x
C. y =-
2
x+1
D. y = 2
x
1
已知函数f x
在0,+∞
上单调递增，则对实数a > 0，b > 0，“a > b”是“f a
> f b
”的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2
下列四个函数中，在x ∈0,+∞
上为增函数的是
(
)
A. f x
=-
1
x+1
B. f x
= x2- 3x
C. f x
= 3 - x
D. f x
=- x
3
已知函数f(x) 在R 上是增函数，则下列说法正确的是
(
)
A. y =-f(x) 在R 上是减函数
B. y =
1
f(x) 在R 上是减函数
C. y = [f(x)]2在R 上是增函数
D. y = af(x) (a 为实数) 在R 上是增函数
１２６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
127
【题型
【题型2】利用解析式或函数图像得出函数的单调区间
】利用解析式或函数图像得出函数的单调区间
单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数f(x) 在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数f(x) 在区间D 上具有单
调性，D 称为函数f(x) 的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
【注意】
(1) 函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，
故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2) 单调区间D ⊆定义域I．
(3) 遵循最简原则，单调区间应尽可能大；
(4) 单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；
1
函数f x
=
x
1+x 的单调递增区间为
1
函数y = x2+ 2x - 3，x ∈-2,2
的单调递减区间为
．
2
函数f x
= 4x-3
2x+3 的单调递增区间为
．
3
已知函数f x
= x2-5x+6
，则函数f x
的单调递增区间是
(
)
A.
-∞, 5
2
B.
5
2 ,+∞
C.
2, 5
2
和3,+∞
D.
-∞,2
和
5
2 ,3
【题型
【题型3】定义法讨论函数的单调性
】定义法讨论函数的单调性
证明函数单调性的步骤
(1) 取值．设x1，x2是f(x) 定义域内一个区间上的任意两个量，且x1< x2；
１２７
128
(2) 变形．作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等) 或作商变形；
(3) 定号．判断差的正负或商与1 的大小关系；
(4) 得出结论．
1
已知函数f x
= 2x2+ 1
x (x ≠0，a ∈R)，用单调性的定义证明f x
在2,+∞
上是增函数．
2
已知函数f x
= x2+ a
x (x ≠0 , a ∈R)，若f x
在2,+∞
是增函数，求实数a 的范围．
1
已知函数f x
= x2+a
x
，且f 1
= 2．
(1) 求函数f x
的解析式；(2) 用定义证明函数f x
在1，+∞
上是增函数．
2
已知函数f x
= ax -
b
x+1 a,b∈R
，图象经过点2, 5
3
，且f 1
= 1
2 ．
(1) 求a，b 的值；(2) 判断并用定义证明函数y = f x
在区间-1,+∞
上的单调性．
１２８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
129
3
已知f(x) =
x
x-a (x ≠a) ．
(1) 若a =-2，试证明f(x) 在-∞,-2
内单调递增；
(2) 若a > 0 且f(x) 在1,+∞
内单调递减，求a 的取值范围．
【题型
【题型4】利用单调性比较大小
】利用单调性比较大小
解题|技巧
单调性定义的等价形式
(1) 函数f x
在区间a,b
上是增函数：
⇔任取x1，x2∈a,b
，且x1< x2，f x1
- f x2
< 0；
⇔任取x1，x2∈a,b
，且x1≠x2，f x1
- f x2
x1-x2
> 0；
⇔任取x1，x2∈a,b
，且x1≠x2，x1-x2
f x1
- f x2
> 0；
⇔任取x1，x2∈a,b
，且x1≠x2，
x1-x2
f x1
- f x2
> 0．
(2) 函数f x
在区间a,b
上是减函数：
⇔任取x1，x2∈a,b
，且x1< x2，f x1
- f x2
> 0；
⇔任取x1，x2∈a,b
，且x1≠x2，f x1
- f x2
x1-x2
< 0；
⇔任取x1，x2∈a,b
，且x1≠x2，x1-x2
f x1
- f x2
< 0；
⇔任取x1，x2∈a,b
，且x1≠x2，
x1-x2
f x1
- f x2
< 0．
1
已知f(x) 在(0 ,+∞) 上单调递减，且x0> 0，则下列结论中一定成立的是
(
)
A. f x0+1
> f x0
B. f x0+1
< f x0
C. f x0-1
> f x0
D. f x0-1
< f x0
１２９
130
2
函数y = f x
为定义在R 上的减函数，若a ≠0，则
(
)
A. f a
> f 2a
B. f a2
> f a
C. f a2+a
< f a
D. f a2+a
> f a+1
1
函数y = f x
为定义在R 上的单调增函数，若t ≠0，则
(
)
A. f(t) > f(2t)
B. f(t2) > f(t)
C. f(t2+ t) > f(t)
D. f(t2+ t) > f(t + 1)
2
已知函数f x
= x2+1
4x
．
(1) 利用函数的单调性定义证明f x
在1,+∞
上单调递增；
(2) 若t > 1，试比较f t
，f 2- 1
t
的大小．
【题型
【题型5】求函数的最值或值域
】求函数的最值或值域
解题|技巧
利用函数的单调性求最值的常用结论
(1) 如果函数y = f x
在区间[a , b] 上单调递增，在区间[b , c] 上单调递减，那么函数y = f x
，x ∈[a ,
c] 在x = b 处有最大值f b
；
(2) 如果函数y = f x
在区间[a , b] 上单调递递减，在区间[b , c] 上单调递增，那么函数y = f x
，x ∈
[a , c] 在x = b 处有最小值f b
．
【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进
行比较，值最大(小) 者即为函数的最大(小) 值。
1
当x ∈0, 8
5
∪
8
5 ,+∞
时，则函数y =
2
8-5x 的值域为
(
)
A.
-∞,0
B.
1
4 ,+∞
C.
-∞,0
∪
1
4 ,+∞
D.
0, 1
4
１３０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
131
1
函数f(x) =-x + 1
x 在-2,- 1
3
上的最大值是
(
)
A. 3
2
B. - 8
3
C. - 2
D. 2
2
函数y = x+1
x-3 在区间2,4
上的值域为
(
)
A.
-3,5
B.
-5,3
C.
-∞,-3
∪5,+∞
D.
-∞,-3 ∪
5,+∞
【题型
【题型6】利用单调性解不等式
】利用单调性解不等式
解题|技巧
基本方法：先把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)，并注意是否有定义
域的限制
(1) 若f(x) 为增函数，则f(m) > f(n) ⇒m > n
(2) 若f(x) 为减函数，则f(m) > f(n) ⇒m < n
【简记】增函数脱“f”不变号，减函数脱“f”要变号，主要定义域限制
1
(2024·高一·青海西宁·期末)若函数y = f x
在R 上是减函数，且f m-2
> f -m
，则实数
m 的取值范围是
．
2
已知函数f(x) 是定义在区间[0 ,+∞) 上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x - 1) <
f
1
3
的x 的取值范围是
１３１
132
3
(多选)已知函数f x
满足：任意给定x ∈R，都有f x+3
= f 1-x
，且任意x1，x2 ∈2,+∞
，
f x1
- f x2
x1-x2
< 0 x1≠x2
，则下列结论正确的题号是
(
)
A. f -a2+a+1
≤f
5
4
B. 任意给定x ∈R，f x
≤f 2
C. f 0
> f 3
D. 若f m
> f -1
，则-1 < m < 5
1
已知f(x) 是定义在R 上的增函数，且f(x2- 2) < f(-x)，则x 的取值范围是
．
2
(多选) 已知函数f(x) 在R 上是减函数，且a + b > 0，则下列说法正确的是
(
)
A. f(a) + f(b) > 0
B. f(a) - f(-b) > 0
C. f(-a) - f(b) > 0
D. f(a) + f(b) < f(-a) + f(-b)
3
已知f x
是定义在-1,1
上的增函数，且f x-1
> f 1-3x
，则x 的取值范围是
．
4
已知函数f x
在R 上有定义，且f 0
= 0．若对任意给定的实数x 1，x 2 x1≠x2
，均有
x1-x2
f x1
- f x2
< 0 恒成立，则不等式x+1
f 1-2x
< 0 的解集是
．
【题型
【题型7】在某区间上单调求参数范围
】在某区间上单调求参数范围
解题|技巧
已知函数的单调性求参数范围的题，是高中数学的重点及难点，这种题型主要有以下几
个主要类型及对应方法：
(1) 直接法
(2) 数形结合
(3) 结合单调性定义的等价形式
(4) 分段函数单调性问题注意比较端点位置
(5) 注意定义域的限制
１３２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
133
1
如果函数y = x2+ 1-a
x + 2 在区间4,+∞
上单调递增．那么实数a 的取值范围是
(
)
A.
-∞,9
B.
-∞,-3
C.
5,+∞
D.
-∞,-7
2
已知函数f(x) = x2+ ax + 1 在区间[1 , 2] 上是单调函数，则实数a 的取值范围是
3
已知函数f x
=-x2+ ax + 1 在2,6
上不单调，则a 的取值范围为
(
)
A.
2,6
B.
-∞,2
∪6,+∞
C.
4,12
D.
-∞,4
∪12,+∞
1
已知函数f x
=
-x2-ax+2 在1,2
上单调递减，则a 的取值范围是
(
)
A.
-2,-1
B.
-2,-1
C.
-2,-1
D.
-2,-1
2
若函数f(x) =-x2- 2(a + 1)x + 3 的单调递增区间是(-∞, 3] ，则实数a 的值为
．
3
函数f x
=
7+2ax-x2 在区间-1,1
上单调递减，则a 的取值范围为
．
4
(2024·高一·浙江杭州·期末) 如果函数f x
= ax2 + 2x - 3 在区间(-∞, 4) 上是单调递增的，则实
数a 的取值范围
(
)
A. a >- 1
4
B. a ≥- 1
4
C. - 1
4 ≤a < 0
D. - 1
4 ≤a ≤0
１３３
134
【题型
【题型8】分段函数单调性问题
】分段函数单调性问题
解题|技巧
分段函数单调性问题的解题方法主要归纳为以下步骤：
1、明确分段点：首先确定分段函数的分段点。
2、分别判断：在每个分段内，利用单调性定义判断函数的单调性。
3、比较分段点：检查分段点处的函数值或左右极限，确定分段连接处是否影响整体单调性。
4、综合结论：综合各分段内的单调性，得出整个分段函数的单调性结论
1
已知函数f(x) =
ax+5,
x≤1
1
x ,
x>1
是R 上的减函数，则a 的范围是
(
)
A. [-4 , 0)
B. [-4 ,+∞)
C. (-∞,-4)
D. (-∞, 0)
1
已知函数f(x) =
-x2-ax-5,
x≤1
a
x ,
x>1
满足对任意x1≠x2，都有f x1
- f x2
x1-x2
> 0 成立，则a 的范
围是
(
)
A.
-3,0
B.
-3,-2
C. (-∞,-2]
D. (-∞, 0]
2
已知函数f x
=
3a-1
x,
x<1
x2-2ax+a,
x≥1
是增函数，则实数a 的取值范围为
．
１３４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
135
3
若函数f x
=
ax+ 5
2 ,x∈-∞,2
x+ a
x +2a,x∈2,+∞
在R 上单调递增，则a 的取值范围为
(
)
A.
0,4
B.
1,2
C.
1,4
D.
2,+∞
【题型
【题型9】根据函数的最值或值域求参数
】根据函数的最值或值域求参数
1、函数的最大值
(1) 定义：对于函数y = f(x) 其定义域为D，如果存在x0 ∈D，f(x) = M，使得对于任意的x ∈D，都有
f(x) ≤M，那么，我们称M 是函数y = f(x) 的最大值，即当x = x0 时，f(x0) 是函数y = f(x) 的最大值，
记作ymax = f(x0)．
(2) 几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标。
2、函数的最小值
(1) 定义：对于函数y = f(x)，其定义域为D，如果存在x0 ∈D，f(x) = M，使得对于任意的x ∈D，都
有f(x) ≥M，那么，我们称M 是函数y = f(x) 的最小值，即当x = x0 时，f(x0) 是函数y = f(x) 的最小
值，记作ymin = f(x0)．
(2) 几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标。
1
若函数f x
= ax + b a,b∈R
的定义域是1,2
，值域是2,3
，则ab =
．
1
已知函数y = 3x+2
x-1 ，x ∈(1 , m] 的最小值为8．则实数m 的值是
(
)
A. - 1
B. 1
C. 2
D. 3
１３５
136
2
已知函数f x
=-x2+ 4x，x ∈m,4
的值域是0,4
，则实数m 的取值范围是
(
)
A.
-∞,2
B.
0,2
C.
0,2
D.
2,4
【题型
【题型10
10】分段函数值域问题
】分段函数值域问题
处理分段函数问题，重点是画图分析
1
(高一上·山东聊城·期中)设函数f x
=
x+ 1
x +t,
x>0
x2+2tx+t2,
x≤0
，若f 0
是f x
的最小值，则实数
t 的取值范围是
(
)
A.
-1,2
B.
-1,0
C.
1,2
D.
0,2
2
已知函数f x
=
-x2+4x,
x≤4
a
x ,
x>4
有最大值，则实数a 的取值范围为
(
)
A. [0 , 16]
B. (-∞, 16]
C. [16 ,+∞)
D. (-∞, 0] ∪[16 ,+∞)
1
设函数f x
=
-ax+1,
x<a
x-2
2,
x≥a
，若f x
存在最小值，则a 的最大值为
(
)
A. 1
B. - 1
C.
2
2
D. -
2
2
１３６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
137
2
已知k ≥0，函数f(x) =
x+1,
x≤k
2
x ,
x>k
有最大值，则实数k 的取值范围是
．
【题型
【题型11
11】复合函数单调性
】复合函数单调性
解题|技巧
复合函数的单调性：“同增异减”
判断复合函数y = f g x
的单调性的步骤，
第一步：定义域优先，拆分前必须确定函数的定义域。
第二步：将复合函数分解成y = f(u) 与u = g(x)。
第三步：分别确定这两个函数的单调性。
第四步：用" 同增异减" 判断函数y = f g x
的单调性
“同增异减”的意思如下图：
u = g x
y = f u
y = f g x
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
1
函数y =
1
6-5x-x2 的单调增区间为
(
)
A.
- 5
2 ,+∞
B.
-6,- 5
2
C.
- 5
2 ,1
和1,+∞
D. (-∞,-6) ∪-6,- 5
2
2
函数f x
=
3+2x-x2 的单调递增区间是
．
１３７
138
1
已知f(x) = 8 + 2x - x2，若g(x) = f 2-x2
，则g(x)
(
)
A. 在区间(-1 , 0) 内是减函数
B. 在区间(0 , 1) 内是减函数
C. 在区间(-2 , 0) 内是增函数
D. 在区间(0 , 2) 内是增函数
2
函数f x
=
1
-x2+4x+5
的单调增区间是
．
3
已知f x
= x2，若g x
= f 1-x2
，则g x
(
)
A. 在区间0,1
内递减
B. 在区间-1,0
内递减
C. 在区间-∞,0
内递增
D. 在区间0,+∞
内递增
4
(多选) 已知函数f(x) 在R 上单调递增，函数g(x) 在(-∞, 0) 上单调递增，在[0 ,+∞) 上单调递
减，则
(
)
A. 函数f(f(x)) 在R 上单调递增
B. 函数f(g(x)) 在(-∞, 0) 上单调递增
C. 函数g(-g(x)) 在(-∞, 0) 上单调递减
D. 函数g(-f(x)) 在[0 ,+∞) 上单调递减
１３８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
139
【题型
【题型12
12】不等式恒成立问题
】不等式恒成立问题
1
对于0 ≤m ≤4 中的任意m，不等式x2+ mx > 4x + m - 3 恒成立，则x 的取值范围是
(
)
A. - 1 ≤x ≤3
B. x ≤-1
C. x ≥3
D. x <-1 或x > 3
2
函数f x
=-x2 + x + 1，g x
= x + a，若∃x1 ∈
1
2 ,1
，∀x2 ∈2,3
，使得f x1
≤g x2
，求
实数a 的取值范围．
1
已如函数f(x) = x2+ mx - 1，若对任意x ∈[m , m + 1] 都有f(x) < 0 成立，求m 的取值范围．
2
已知f x
=
-x2+4x,
2≤x≤3
x2+2
x
,
3<x≤4
，g x
= ax + 1，若任给x1 ∈2,4
，存在x2 ∈-2,1
．使得
f x1
= g x2
，则实数a 的取值范围是
．
【课后作业】
【课后作业】
1
已知函数y =
-x2+2x+3 的单调递增区间为
．
１３９
140
2 已知f x
关于x = 2 对称，且f x
在0,2
上单调递减，则f 1
，f
5
2
，f
7
2
的大小
顺序是
(
)
A. f
5
2
< f 1
< f
7
2
B. f 1
< f
5
2
< f
7
2
C. f
7
2
< f 1
< f
5
2
D. f
7
2
< f
5
2
< f 1
3 函数f x
=-x2+ 2 a-1
x + 2 在-∞,4
上是增函数，则实数a 的范围是
(
)
A. a ≥5
B. a ≥3
C. a ≤3
D. a ≤5
4 已知二次函数f(x) = x2- 2ax + 1 在区间(2，3) 内是单调函数，则实数a 的取值范围是
(
)
A. a ≤2 或a ≥3
B. 2 ≤a ≤3
C. a ≤-3 或a ≥2
D. - 3 ≤a ≤-2
5 函数f x
在[0 ,+∞) 上是单调递减函数，则f(1 - x2) 的单调递增区间是
6 已知函数f x
=
2a-3
x+2,
x≤1
a
x ,
x>1
是R 上的减函数，则a 的取值范围是
(
)
A. 0 < a < 3
2
B. 1 ≤a < 3
2
C. 0 < a ≤3
2
D. 1 < a < 3
2
7 已知函数y = f x
在其定义域-1,1
上是减函数，且f 1-a
< f a2-1
，则a 的取值范
围为
．
8 若函数f x
=
(2-3a)x+1,
x≤1
a
x ,
x>1
满足对任意的实数x1 ≠x2，都有f x1
- f x2
x1-x2
< 0 成
立，则实数a 的取值范围为
(
)
A.
2
3 ,+∞
B.
2
3 , 3
4
C.
2
3 ,1
D.
3
4 ,1
9 已知函数f(x) =
ax+5,
x≤1
1
x ,
x>1
(1) 若a =-4，函数f x
的值域为
(2) 若f x
是R 上的减函数，则a 的范围是
１４０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
141
10 已知：函数f (x) =
x+4,
x<a
x2-2x,
x≥a
，若函数f (x) 的值域是R，则a 的一个取值为
；a 的最小值是
．
11 证明：函数y = x - 1
x ，x ∈-∞,0
是增函数．
12 已知函数f x
= 2x+1
x+1 ．
(1) 判断f x
在区间-1,+∞
上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2) 求f x
在区间2,4
上的最大值和最小值．
１４１
142
专题3 - 3
函数的奇偶性与对称性
模块一
重难点题型
【题型
【题型1】判断函数的奇偶性
】判断函数的奇偶性
一、函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x) 的定义域内任意一个x，都有f(-x) = f(x)，
那么函数f(x) 就叫做偶函数
关于y 轴对称
奇函数
如果对于函数f(x) 的定义域内任意一个x，都有f(-x) =-f(x)，
那么函数f(x) 就叫做奇函数
关于原点对称
二、判断奇偶性技巧
(1) 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2) 奇偶函数的图象特征.
函数f(x) 是偶函数⇔函数f(x) 的图象关于y 轴对称；
函数f(x) 是奇函数⇔函数f(x) 的图象关于原点中心对称.
(3) 若奇函数y = f(x) 在x = 0 处有意义，则有f(0) = 0；
偶函数y = f(x) 必满足f(x) = f(|x|).
(4) 偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两
个区间上单调性相同.
(5) 运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个) 函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函
数，如f(x) + g(x) , f(x) - g(x) , f(x) × g(x) , f(x) ÷ g(x).
f(x)
g(x)
f(x) ± g(x)
f(x) ⋅g(x)
f(g(x))
偶
偶
偶
偶
偶
偶
奇
不确定
奇
偶
奇
偶
不确定
奇
偶
奇
奇
奇
偶
奇
【注意】在f(g(x)) 中，g(x) 的值域是f(x) 定义域的子集．
１４２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
143
1
(高一上·广东·期末) 下列函数是奇函数的是
(
)
A. f x
= x2+ 1
B. f x
= x3- 1
C. f x
= x3+ 1
x
D. f x
= x4+ 2x2
2
(高一·山东·期中) (多选) 已知f x
, g x
有相同的定义域，f x
是偶函数，g x
是奇函数，且
g x
≠0，则
(
)
A. f x
+ g x
为奇函数
B. f g x
为偶函数
C. f x
⋅g x
是偶函数
D.
f x
g x
是奇函数
1
判断下列函数的奇偶性
(1)f x
= x3+ x；
(2)f x
=
1-x2 +
x2-1；
(3)f x
= 2x2+2x
x+1
.
2
设函数f x
, g x
的定义域为R，且f x
是奇函数，g x
是偶函数，则下列结论中正确的是
(
)
A. f x
g x
是偶函数
B.
f x
g x
是奇函数
C. f x
g x
是奇函数
D.
f x
g x
是奇函数
【题型
【题型2】利用奇偶性求值
利用奇偶性求值
由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用f(-x) =-f x
或f(-x) = f x
求解
1
已知函数y = f(x) 在R 上是奇函数，且当x > 0 时，f(x) = x2- 2x，则f(-1) =
(
)
A. - 1
B. 1
C. 0
D. ± 1
1
已知f x
是偶函数，当x > 0 时，f x
= 3x - 2
x ，则f - 1
3
=
(
)
A. - 7
B. - 5
C. 7
D. 5
2
如果函数y =
2x-3,
x>0
f x
,
x<0
是奇函数，则f(-3) =
(
)
A. - 2
B. 2
C. 3
D. - 3
3
已知奇函数f x
的定义域为R，且当x <-2 时，f x
=
8
x+2 ；当0 < x ≤2 时，f x
= x2 - 2，
则f 3
+ f 0
+ f -1
=
(
)
A. 7
B. 9
C. - 7
D. - 9
１４３
144
【题型
【题型3】利用奇偶性求参数
】利用奇偶性求参数
利用函数的奇偶性求参数函数的奇偶性，题目难度不大，属于基础题。根据偶函数的定义，即可求参数
考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力
常见方法：
(1) 定义法
奇函数：f(-x) =-f(x)；偶函数：f(-x) = f(x)
(2) 特殊值法
可以取0，±1 这类比较好计算的特殊值
(3) 函数性质法
①f(|x|) 为偶函数，
②奇± 奇= 奇；偶± 偶= 偶；奇× (÷) 奇= 偶；奇× (÷) 偶= 奇；偶× (÷) 偶= 偶，结合常见函数模型
③复合函数y = f[g(x)] 的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇.
(4) 定义域对称法
若解析式中含有2 个参数时，可以考虑通过定义域对称这个限制来得出参数的值
1
已知f(x) =
x2+1
(3x+2)(x-a) 为R 上的偶函数，则a =
.
2
已知定义在a-2,a2
上的函数y = f x
是奇函数，则实数a 的值为
．
3
已知函数f x
= x+a-2
x2+a-1
为R 上的奇函数，则f a
的值是
(
)
A. 0
B. - 12
C. 12
D. 10
4
若f x
= x x+2
x-a
为奇函数，则a 的值为
(
)
A. - 1
B. 0
C. 1
D. 2
１４４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
145
1
(高一·贵州安顺·期末) 已知函数f x
= 1+x
a-x
是偶函数，则a =
.
2
(高一·江西上饶·期末) 若函数f x
= ax2 + bx + 1 是2a,1-a
上的偶函数，则a + b 的值为
.
3
若函数f x
= x2+ ax + 1 是定义在(-b , 2b - 2) 上的偶函数，则f
b
2
=
(
)
A. 1
4
B. 5
4
C. 7
4
D. 2
【题型
【题型4】利用奇偶性求解析式
】利用奇偶性求解析式
由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤
(1) 在哪个区间上求解析是，x 就设在哪个区间上；
(2) 把-x 对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得f(-x)；
（3）利用函数的奇偶性把f(-x) 改写成-f(x) 或f(x)，从而求出f(x)．
1
所函数f(x) 是R 上的偶函数，且当x > 0 时，函数的解析式为f(x) = 2
x - 1，则f(-1) =
；
当x < 0 时，函数的解析式为
.
2
函数f x
是一个偶函数，g x
是一个奇函数，且f x
+ g x
=
1
x-1 ，则f x
等于
(
)
A.
1
x2-1
B.
2x2
x2-1
C.
2
x2-1
D.
2x
x2-1
1
设f x
为奇函数，且当x ≥0 时，f x
= x3+ x，则当x < 0 时，f x
=
(
)
A. - x3+ x
B. - x3- x
C. x3- x
D. x3+ x
１４５
146
2
f x
是定义在R 上的偶函数，当x > 0 时，f x
= x2- 2x + 3，求当x < 0 时，f x
的解析式．
3
(高一上·广东韶关·期中) 如果函数f(x) = x(x-1),
x>0
g(x),
x<0
是奇函数，那么g(x) =
(
)
A. - x(x + 1)
B. x(x + 1)
C. x(x - 1)
D. - x(x - 1)
4
已知函数f(x) 为奇函数，函数g(x) 为偶函数，f(x) + g(x) = x2- x + 1，则f(2) =
(
)
A. - 2
B. - 1
C. 1
D. 2
5
(2024·高一·河南·期中) 已知f x
, g x
分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f x
- g x
= x3
+ x2+ x，则f 1
+ g 1
=
(
)
A. 1
B. 3
C. - 3
D. - 1
【题型
【题型5】利用函数奇偶性识别图像
】利用函数奇偶性识别图像
判断函数图像常用的办法是排除法
一: 判断奇偶性(依选项而判断)
二: 代入特殊点看正负
1
函数f x
= 2x2-1
x3
的部分图象大致是
(
)
A.
B.
C.
D.
１４６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
147
2
函数f x
=
x
1+x2 - 1
2 x 的图象大致为
(
)
A.
B.
C.
D.
1
函数f x
= x2-1
x
的图象大致是
(
)
A.
B.
C.
D.
2
(高一·江苏南京·期中) 我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．
在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数
的图像特征，函数y = x2-1
x2+1 在[-2，2] 上的图像大致是
(
)
A.
B.
C.
D.
１４７
148
3
(高一·重庆·期中) 函数f(x) =
2x
x2+1 的图像大致是
(
)
A.
B.
C.
D.
【题型
【题型6】利用奇偶性与单调性比大小
】利用奇偶性与单调性比大小
利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单
调性比较大小
1
已知奇函数f(x) 的定义域为-∞,0
∪0,+∞
，且不等式f(x1)- f(x2)
x1-x2
> 0 对任意两个不相等的
正实数x1，x2都成立，在下列不等式中，正确的是
(
)
A. f -5
> f 3
B. f -5
< f 3
C. f(-3) > f(-5)
D. f(-3) < f(-5)
2
设偶函数f x
的定义域为R，当x ∈0,+∞
时，f x
是增函数，则f - 7
，f π
，f -3
的
大小关系是
(
)
A. f(π) > f(-3) > f(- 7)
B. f π
> f - 7
> f -3
C. f π
< f -3
< f - 7
D. f π
< f - 7
< f -3
1
已知函数f(x) = ax2 + b 是定义在[a , a + 2] 上的偶函数，又g(x) = f(x - 2)，则g(-2) , g(3) , g(2)
的大小关系为
(
)
A. g(-2) > g(3) > g(2)
B. g(3) > g(2) > g(-2)
C. g(2) > g(-2) > g(3)
D. g(2) > g(3) > g(-2)
2
已知函数f x
在3,+∞
上单调递减，且f x
的图象关于直线x = 3 对称，则a = f 0.2
，b =
f 2
, c = f 0
的大小关系是
(
)
A. a > b > c
B. b > c > a
C. c > b > a
D. b > a > c
１４８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
149
3
(高一下·湖南长沙·月考) 已知函数f x
是定义在R 上的偶函数，函数g x
是定义在R 上的奇函
数，且f x
，g x
在0,+∞
上单调递减，则
(
)
A. f f 2
> f f 3
B. f g 2
< f g 3
C. g g 2
> g g 3
D. g f 2
< g f 3
【题型
【题型7】利用单调性解奇函数不等式
】利用单调性解奇函数不等式
先移项，再利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)，并注意是否有定义域
的限制
1
已知奇函数f x
在R 上单调递增，且f 2
= 1，则不等式f x
+ 1 < 0 的解集为
(
)
A.
-1,1
B.
-2,2
C.
-2,+∞
D.
-∞,-2
2
若定义在R 上的奇函数f x
在(-∞, 0) 单调递减，且f 2
= 0，则满足xf x
≥0 的x 的取值范围
是
(
)
A.
-2,0
∪[2 ,+∞)
B.
-2,2
C. [-∞,-2] ∪0,2
D. [-∞,-2] ∪[2 ,+∞]
1
奇函数f(x) 是定义在(-1 , 1) 上的减函数，若f(m - 1) + f(3 - 2m) < 0，求实数m 的取值范围．
2
函数f(x) = ax+b
1+x2 是定义在(-1 , 1) 上的单调递增的奇函数，且f
1
2
= 2
5 .
(1) 求函数f(x) 的解析式；(2) 求满足f(t - 1) + f(t) < 0 的t 的范围；
１４９
150
3
设函数f(x) 为奇函数，且在(-∞，0) 上是减函数，若f(-2) = 0，则xf(x) < 0 的解集为
(
)
A. (-1 , 0) ∪(2，+∞)
B. (-∞，-2) ∪(0 , 2)
C. (-∞，-2) ∪(2，+∞)
D. (-2 , 0) ∪(0 , 2)
4
设奇函数f(x) 在(0，+∞) 上为增函数，且f(1) = 0，则不等式x ⋅f(x) < 0 的解集为
A. (-1，0) ∪(1，+∞)
B. (-∞，-1) ∪(0，1)
C. (-∞，-1) ∪(1，+∞)
D. (-1，0) ∪(0，1)
模块二
中档题型
【题型
【题型8】利用单调性解偶函数不等式
】利用单调性解偶函数不等式
利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，再加上绝对值，得到绝对值不等式(组)，注意是否有定义域
的限制
1
已知函数f (x) 是定义域为R 的偶函数，且对任意x 1，x 2 ∈(-∞, 0]，当x 1 ≠x 2 时总有
f(x1)- f(x2)
x1-x2
> 0，则满足f(1 - 2x) - f - 1
3
> 0 的x 的范围是
(
)
A.
1
3 , 2
3
B.
1
3 , 2
3
C.
1
2 , 2
3
D.
1
2 , 2
3
2
已知f x
是定义在- 1
2 , 1
2
上的偶函数，且在- 1
2 ,0
上递减，则不等式f x
- f 1-2x
≥0
的解集是
．
1
已知f x
是定义在R 上的偶函数，且在区间0,+∞
单调递减，则不等式f x-1
> f 2x+1
的
解集为
(
)
A.
-∞,-2
∪0,+∞
B.
-2,0
C.
0,2
D.
-∞,0
∪2,+∞
2
已知定义在[-4 , 4] 上的偶函数f(x) 在[0 , 4] 上为减函数，且f(x + 1) > f(-2)，则实数x 的取值
范围是
(
)
A.
-3,+∞
B.
-3,3
C.
-3,1
D.
-1,3
3
已知定义在[-2 , 2] 上的偶函数f(x) = 2ax+b
x2+1 ，且f - 1
3
= 9
10 ．
(1) 求函数f(x) 的解析式；(2) 解关于m 的不等式f 1-3m
- f m-1
< 0．
１５０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
151
【题型
【题型9】已知
】已知f(x) =
) = 奇函数
奇函数+M
已知f(x) = 奇函数+M，x ∈[-a , a]，则
(1)f(-x) + f(x) = 2M
(2)f(x)max + f(x)min = 2M
1
(高一上·浙江台州·期中) 已知f(x) = ax3+ b
x + 3，f(4) = 5，则f -4
=
(
)
A. 3
B. 1
C. - 1
D. - 5
2
已知函数f x
=
x3
x2+2 + 3 在区间-2024,2024
上的最大值为M ，最小值为m，则M + m =
．
3
定义在R 上的奇函数g(x)，设函数f(x) = (x+1)2+g(x)
x2+1
的最大值为M，最小值为m，则M + m
=
．
1
(高一·浙江·期中) 已知函数f x
= ax3+ bx + 4，若f -2024
= 2，则f 2024
=
．
2
若函数f x
= 2 x+1
2
x2+1
在区间-2024,2024
上的最大值为M ，最小值为m，则M + m =
．
3
已知f(x) 与g(x) 均为奇函数，F(x) = af(x) + bg(x) + 3(a、b 为非零常数)，若F(4) =-4，则F(
-4) =
.
4
(高一上·重庆·期中) 已知函数f x
= x3+ x + 1，且f a2
+ f 3a-4
< 2，则实数a 的取值范围是
(
)
A.
-4,1
B.
-∞,-4
∪1,+∞
C.
-∞,-1
∪4,+∞
D.
-1,4
１５１
152
【题型
【题型10
10】函数中心对称的抽象表达式及应用
】函数中心对称的抽象表达式及应用
奇函数、偶函数图象对称性的推广
y = f(x) 在定义域内恒满足
y = f(x) 的图象的对称轴(中心)
f(a + x) = f(a - x)
直线x = a
f(x) = f(a - x)
直线x = a
2
f(a + x) = f(b - x)
直线x = a+b
2
f(a + x) + f(a - x) = 0
点(a , 0)
f(a + x) + f(b - x) = 0
点a+b
2
,0
f(a + x) + f(b - x) = c
点a+b
2
, c
2
1
(多选) 我们知道，函数y = f x
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y = f x
为奇函数. 有同学发现可以将其推广为函数y = f x
的图象关于点P a,b
成中心对称图形的充要
条件是函数y = f x+a
- b 为奇函数. 现已知函数f x
= ax +
1
x-1 ，g x
= x3 - 3x2 + 3，则下
列说法正确的是
(
)
A. 函数f x
对称中心为1,a
B. 函数g x
对称中心为1,1
C. 当a > 0 时，f x
在1,+∞
上单调递增
D. 若a = 1，f x
与g x
的图象共有2022 个交点，记为Ai xi,yi
, i = 1 , 2 , 3 ,⋅⋅⋅, 2022，则
x1+y1
+ x2+y2
+⋅⋅⋅x2022+y2022
的值为4044
1
我们知道函数y = f x
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y = f x
为奇函数，
有同学发现可以将其推广为: 函数y = f x
的图像关于点H a,b
成中心对称图形的充要条件是函
数y = f x+a
- b 为奇函数，则函数f x
= x +
1
x+1 的对称中心是
(
)
A.
-1,-1
B.
1,1
C.
0,0
D.
-1,1
2
已知函数f x
x∈R
满足f x
+ f -x
= 2，若y = x + 1 与y = f x
的图像有交点x1,y1
，
x2,y2
，x3,y3
，则x1+ x2+ x3+ y1+ y2+ y3=
(
)
A. - 3
B. 0
C. 3
D. 6
3
已知函数f(x) (x ∈R) 满足f(-x) = 2 - f(x)，若函数y = x+1
x
与y = f(x) 图象的交点为x1,y1
，
x2,y2
，⋯，x2020,y2020
，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为
(
)
A. 2020
B. - 2020
C. 1010
D. - 1010
１５２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
153
【题型
【题型11
11】函数轴对称的抽象表达式及应用
】函数轴对称的抽象表达式及应用
1
设函数f x
的定义域为0,4
，若f x
在0,2
上单调递减，且关于x = 2 对称，则下列结论正确
的是
(
)
A. f 1
< f
5
2
< f
7
2
B. f
7
2
< f
5
2
< f 1
C. f
5
2
< f 1
< f
7
2
D. f 1
< f
7
2
< f
5
2
1
已知函数f x
在2,+∞
上单调递减且对任意x ∈R 满足f 1+x
= f 3-x
，则不等式f 2x-3
> f 5
的解集是
(
)
A.
-∞,1
∪4,+∞
B.
-∞,4
C.
1,+∞
D.
1,4
2
已知函数f x
满足f -2-x
= f -2+x
，对任意x 1 , x 2 ∈-∞,-2
，且x 1 ≠x 2，都有
f x1
- f x2
x1-x2
> 0 成立，且f 0
= 0，则f x
> 0 的解集是
(
)
A.
-∞,-2
∪2,+∞
B.
-2,2
C.
-∞,-4
∪0,+∞
D.
-4,0
【题型
【题型12
12】构造新函数解不等式
】构造新函数解不等式
常见的构造函数模型
(1) x1f x1
-x2f x2
x1-x2
⇒g(x) = xf(x) ; (2) f x2
- f x1
x2-x1
> a ⇒g(x) = f(x) - ax
1
若函数f x
是定义域为R，且对∀x1 , x2 ∈R，且x1 < x2，有f x1
- f x2
< x2 - x1，不等式
f x
- f 2-x
+ 2x > 2 的解集为
(
)
A.
-1,+∞
B.
0,+∞
C.
1,+∞
D.
2,+∞
2
定义在0,+∞
上的函数f x
满足：对∀x1 , x2 ∈0,+∞
，且x1 ≠x2，都有x2f x1
-x1f x2
x1-x2
>
0 成立，且f 3
= 6，则不等式f x
x
> 2 的解集为
(
)
A.
3,+∞
B.
0,3
C.
0,2
D.
2,+∞
1
已知f x
为R 上的奇函数，f 2
= 2，若∀x1 , x2 ∈0,+∞
且x1 > x2，都有x1f x1
-x2f x2
x1-x2
>
0，则不等式x-1
f x-1
< 4 的解集为
(
)
A.
-∞,-1
∪3,+∞
B.
-∞,3
C.
-1,3
D.
-1,+∞
１５３
154
2
设f x
是定义在-∞,0
∪0,+∞
上的奇函数，对任意的x1 , x2 ∈0,+∞
, x1 ≠x2，满足：
x2f x2
-x1f x1
x2-x1
> 0，且f 3
= 3，则不等式f x
- 9
x > 0 的解集为
.
3
已知f x
是定义在R 上的奇函数，f -1
= 0 ，若x 1 , x 2 ∈
-∞,0
，且x 1 ≠x 2 时，
x1f x1
-x2f x2
x1-x2
< 0 恒成立，则不等式xf 2x
> 0 的解集是
.
4
定义在R 上的函数f x
满足：f x
- f -x
= 2x，且对于0,+∞
上的x1 , x2 x1≠x2
有：
f x2
- f x1
x2-x1
> 1. 则关于f x
- f 1-2x2
> 2x2+ x - 1 的不等式解集为
.
5
已知定义在R 上的函数f x
满足f 2-x
= f x
，且当x2 > x1 ≥1 时，恒有f x2
- f x1
x2-x1
< 0，
则不等式f x-1
> f 2x+1
的解集为
(
)
A.
-2,0
B.
-2, 2
3
C.
-∞,-2
∪
2
3 ,+∞
D.
-∞,-2
∪0,+∞
6
已知偶函数f x
的定义域为
x∈R
x≠0
，且有f 2x
= 8f x
，f 1
= 1，若对∀x1，x2 ∈
0,+∞
，都有x1-x2
x2
2f x1
-x2
1 f x2
> 0，则不等式f x
2x
≥x 的解集为
.
模块三
【课后作业】
1
我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，
隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来
琢磨函数的图象特征，如函数y =
ax
x2+1 (a > 0) 的图象大致为
(
)
A.
B.
C.
D.
2 已知偶函数f x
，当x > 0 时，f x
= x2+ x，则当x < 0 时，f x
=
(
)
A. - x2+ x
B. - x2- x
C. x2+ x
D. x2- x
１５４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
155
3 (多选)f x
是定义在R 上的奇函数，下列结论中，正确的是
(
)
A. f -x
+ f x
= 0
B. f -x
- f x
= 2f x
C. f -x
⋅f x
≤0
D.
f x
f -x
=-1
4 (多选题) (2024·高一·山东滨州·竞赛) 已知f x
是奇函数，g x
是偶函数，下列说法正确
的是
(
)
A. F x
= f x
+ g x
是偶函数
B. F x
= f x
g x
为奇函数
C. F x
= f g x
为偶函数
D. F x
= g f x
为偶函数
5 函数f x
= 2x2-1
x3
的部分图象大致是
(
)
A.
B.
C.
D.
6 已知f x
是R 上的奇函数，且图像关于x = 4 对称．若f -3
=-3，则f 5
+ f 16
=
(
)
A. 4
B. - 4
C. 3
D. - 3
7 已知函数f(x) 为奇函数，函数g(x) 为偶函数，f(x) + g(x) = x2- x + 1，则f(2) =
(
)
A. - 2
B. - 1
C. 1
D. 2
8 若函数f x
= ax2+ 2b+a
x - a + b 是定义在2a,2-a
上的偶函数，则a - b =
(
)
A. - 3
B. - 4
C. 3
D. 2
9 已知函数f x
为定义在R 上的奇函数，且在0,1
为减函数，在1,+∞
为增函数，f 2
= 0，则不等式xf -x
≥0 的解集为
(
)
A.
-∞,-2
∪0,2
B.
-2,0 ∪
2,+∞
C.
-∞,-2
∪0
∪2,+∞
D.
-2,2
10 已知偶函数f x
的定义域为R，且在-∞,0
上为增函数，则
(
)
①f -x
- f x
= 0；②f -x
+ f x
= 0；③f 3
> f -2
> f 1
；④f x
在0,+∞
上为减函数．
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
１５５
156
11 已知函数f x
为R 上的奇函数，g x
= f x
+ 3 , g -2
= 4，则f 2
=
.
12 知函数f x
= ax3+ bx - 3，若f -3
= 6，则f 3
=
.
13 已知y = f x
是定义域为-3,3
上的偶函数，且f x
在0,3
上为减函数，若f a-2
< f 3a-2
成立，则实数a 的范围是
14 已知函数y = f x+1
- 3 为奇函数，g x
= 3x-2
x-1 , f x
与g x
的图像有8 个交点，分
别为x1,y1
, x2,y2
⋯x8,y8
，则y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8
- x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8
=
.
15 已知函数f x
=
x
4-x2 ，x ∈-2,2
.
(1) 判断函数f x
的奇偶性；
(2) 用定义法证明：函数f x
在-2,2
上单调递增；
(3) 求不等式f t
+ f 1-2t
> 0 的解集.
１５６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
157
专题4 - 1 幂函数与指数函数13 类题型总结
【题型
【题型1】分数型指数幂的取值范围问题
】分数型指数幂的取值范围问题
一、分数指数幂的注意事项：
(1) 分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂a
m
n 不可理解为m
n 个a 相乘，它是根式的一种新的写
法．
在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．
(2) 把根式
n am 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对m
n 进行约分．
(3) 在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，
如-5
2
3 =
3 -5
2 有意义，但-5
3
4 =
4 -5
3 就没有意义．
二、分数指数幂的意义
(1) 分数指数幂的意义
正分数指数幂：规定：a
m
n =
n am a>0,m,n∈N ∗,n>1
负分数指数幂：规定：a
- m
n = 1
a
m
n =
1
n am
a>0,m,n∈N ∗,n>1
(3) 性质：0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义
1
函数y = (x+2)
1
2
(1-x)
3
4 的定义域为
．
1
函数f x
= 1-x
- 1
2 + 2x-1
0的定义域是
(
)
A.
-∞,1
B.
-∞, 1
2
∪
1
2 ,1
C.
-∞,-1
D.
1
2 ,1
１５７
158
2
函数y = x
- 2
3 的定义域为
．
【题型
【题型2】二重根式的化简
】二重根式的化简
二重根式化简，在高中的三角函数、解三角形中却频频出现！
a+
b
2= a + b + 2 ab = a + b +
4ab，要化简
A+
B ，则a+b=A
ab=4B
1
求值
7+4 3 +
7-4 3 =
．
1
化简
11+6 2 +
11-6 2 =
．
2
化简
4-2 3 -
4+2 3 =
(
)
A. 2 3
B. - 2 3
C. 2
D. - 2
3
化简下列根式：
(1) 8+4 3
(2) 7-
40
(3) 6+2 5
１５８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
159
4
化简
b-(2 b-1)(1 < b < 2) =
．
【题型
【题型3】求函数解析式
】求函数解析式
一、指数函数图象都经过点(0，1)，指数型函数y = ax+m + n 恒过定点(-m , n + 1)．
二、所有的幂函数图象都过点(1 , 1)
三、若函数f(x) 的定义域关于原点对称，则函数f(x) 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记
g(x) = 1
2 [f(x) + f(-x)]，h(x) = 1
2 [f(x) - f(-x)]，则f(x) = g(x) + h(x)．
1
已知y = f x
是指数函数，若f - 2
3
= 3 4，则f - 1
2
=
．
2
已知函数f x
= x
3
2 +k- 1
2 k2 k∈Z
，若f x
为偶函数，且在0,+∞
是增函数，求f(x) 的解析式
1
知幂函数f(x) = m2-2m-2
xm2-2在(0 ,+∞) 为减函数，则f(2) =
．
2
若奇函数f x
和偶函数g x
满足f x
+ g x
= 3x+ x3+ 2，则f 1
+ g 0
=
(
)
A. 7
3
B. 8
3
C. 19
3
D. 16
3
１５９
160
3
已知指数函数f(x) = 2a2-5a+3
ax在R 上单调递增，则a 的值为
(
)
A. 3
B. 2
C. 1
2
D. 3
2
4
如果函数f x
= 2a ⋅3x和g x
= 2x- b+3
都是指数函数，则ab=
(
)
A. 1
8
B. 1
C. 9
D. 8
5
已知函数f x
是奇函数，且当x > 0 时，f x
= 10x+ x + 1，那么当x < 0 时，f x
的解析式是
(
)
A.
1
10x + x - 1
B. - 1
10x + x - 1
C.
1
10x - x + 1
D. - 1
10x - x + 1
【题型
【题型4】分数型指数幂的化简与计算求值
】分数型指数幂的化简与计算求值
(1) 灵活运用指数的运算性质进行指数运算，根式形式需要化为分数指数幂形式去求解．
(2) 运算的最终结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有负指数又有分母．
实数指数幂的运算性质
①aman= am+n(a > 0 , r , s ∈R)．
②am
n= amn(a > 0 , r , s ∈R)．
③(ab)m = ambm(a > 0 , b > 0 , r ∈R)．
１６０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
161
1
已知a + 1
a = 7，则a
1
2 + a
- 1
2 =
．
2
(1)化简：4a
2
3 b
1
3 ÷ - 2
3 a
- 1
3 b
- 1
3
(2) 已知a + a-1= 7，分别求a
1
2 + a
- 1
2 ，a2+ a-2的值．
1
化简或求值：
(1) 1
8
- 1
3 ×
7
6
0
+ 80.25 × 4 2 +
3 2×
3
6；
(2) 0.25
- 1
2 - -2
2× 23
- 3
2 + 10 2-
3
-1- 10 × 30.5；
(3) 7+4 3
1
2 - 81
1
8 + 32
3
5 - 2 ×
1
8
- 2
3 + 3 2 × 4
- 1
3
-1；
(4) 2a
2
3 b
1
2
-6a
1
2 b
1
3
÷ -3a
1
6 b
5
6
(a > 0 且b > 0)．
2
已知x + y = 6，xy = 4，且x > y，则
x-
y
x+
y =
．
3
已知x + 1
x = 5，则x2+ 1
x2 的值为
．
１６１
162
4
已知a
1
2 + a
- 1
2 = 3，求下列各式的值．
(1)a + a-1；(2)a2+ a-2；(3) a
3
2 +a
- 3
2 +2
a2+a-2+3 ．
5
若0 < a < 1，b > 0，且ab- a-b=-2，则ab+ a-b的值为
(
)
A. 2 2
B. ± 2 2
C. - 2 2
D.
6
6
(1) 计算：
3 (-4)3 -
1
2
0
+ 0.25
1
2 ；
(2) 计算：4a
2
3 b
1
3 ÷ - 2
3 a
- 1
3 b
- 2
3
(a , b > 0)；
(3) 已知x
1
2 - x
- 1
2 = 2，求x+x-1
x2+x-2 的值．
7
已知10m + 10n= 5，10m+n= 6，求：
(1) 102m+102n
10-m+10-n ;
(2)10
3m-2n
2
．
１６２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
163
【题型
【题型5】大致图象的判断及利用图形性质求参数范围
】大致图象的判断及利用图形性质求参数范围
一、幂函数
(1) 幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y = x，y = x2，y = x3，y = x-1，y = x
1
2 的图象(如图)．
幂函数的性质
1、所有的幂函数在(0，+∞) 上都有定义，并且图象都过点(1 , 1)；
2、如果α > 0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，+∞) 上单调递增(重要)；
3、如果α < 0，那么幂函数的图象在区间(0，+∞) 上单调递减，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点
时，图象在y 轴右方无限接近y 轴，当x 从原点趋向于+∞时，图象在x 轴上方无限接近x 轴；
4、在(1，+∞) 上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y 轴．
二、指数函数的图象与性质
a > 1
0 < a < 1
图象
第1 象限底大图
高
性质
定义域
R
值域
(0 ,+∞)
过定点
(0 , 1)
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
１６３
164
奇偶性
非奇非偶函数
1
函数①y = ax；②y = bx；③y = cx；④y = dx的图象如图所示，a，b，c，d 分别是下列四个数：
5
4 ，
3，1
3 ，1
2 中的一个，则a，b，c，d 的值分别是
(
)
A. 5
4 ，
3，1
3 ，1
2
B.
3，5
4 ，1
2 ，1
3
C. 1
2 ，1
3 ，
3，5
4
D. 1
3 ，1
2 ，5
4 ，
3
1
幂函数y = xa，y = xb，y = xc，y = xd 在第一象限的图像如图所示，则a，b，c，d 的大小关系
是
(
)
A. a > b > c > d
B. d > b > c > a
C. d > c > b > a
D. b > c > d > a
2
若函数y = 2-x+1+ m 的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是
(
)
A. m ≤-2
B. m ≥-2
C. m ≤-1
D. m ≥-1
3
若函数f x
= ax+ b 的图象如图所示，且f -1
= 0，则实数a，b 的值可能为
(
)
A. a = 3，b =-3
B. a = 1
3 ，b =- 1
3
C. a = 2，b =- 1
2
D. a = 1
2 ，b =-2
１６４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
165
4
在同一坐标系内，函数y = xa(a ≠0) 和y = ax - 1
a 的图象可能是
(
)
A.
B.
C.
D.
5
(多选) 已知函数y = ax- b(a > 0 且a ≠1) 的图象如图所示，则下列结论正确的是
(
)
A. ab> 1
B. a + b > 1
C. ba> 1
D. 2b-a< 1
6
如图，曲线①②③④分别是指数函数y = ax，y = bx，y = cx，y = dx 的图像，则实数a、b、c、
d 的大小关系满足
(
)
A. a < b < c < d
B. b < a < d < c
C. d < c < b < a；
D. c < d < a < b．
１６５
166
7
图中C1、C2、C3为三个幂函数y = xα在第一象限内的图象，则解析式中指数α 的值依次可以是
(
)
A. 1
2 、3、-1
B. - 1、3、1
2
C. 1
2 、-1、3
D. - 1、1
2 、3
8
函数f(x) = ax-b的图像如图所示，其中a，b 为常数，则下列结论正确的是
(
)
A. a > 1，b < 0
B. a > 1，b > 0
C. 0 < a < 1，b > 0
D. 0 < a < 1，b < 0
9
(多选) 若函数y = ax- 2b - 1 a>0且a≠1
的图象过第一，三，四象限，则
(
)
A. 0 < a < 1
B. a > 1
C. b > 0
D. b < 0
10
(多选) 在同一直角坐标系中，函数f x
= ax-1
a>0,且a≠1
，g x
= a - x 的图象可能是
(
)
A.
B.
C.
D.
１６６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
167
【题型
【题型6】指数幂比大小
】指数幂比大小
比较指数幂的大小
常用方法有：
(1) 对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
(2) 对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
(3) 对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
1
若a =
1
2
2
3 ，b =
1
5
2
3 ，c =
1
2
1
3 ，则a、b、c 的大小关系是
(
)
A. b < a < c
B. b < c < a
C. c < a < b
D. c < b < a
1
设a =
3
5
2
5 ，b =
2
5
2
，c =
3
5
- 2
5 ，d =
2
5
2
5 ，则a，b，c，d 的大小关系是
(
)
A. c > a > b > d
B. a > c > b > d
C. c > a > d > b
D. c > d > a > b
2
已知a =
4
5
2
3 ，b =
2
3
3
4 ，c =
4
9
3
3 ，b =
2
3
3
4 ，c =
4
9
3
5 ，则a，b，c 的大小关系是
(
)
A. a > b > c
B. b > a > c
C. a > c > b
D. c > a > b
3
已知函数g x
是定义域为R 的偶函数，且在-∞,0
上单调递减，若a = g 2π
，b = g 2 3
，c
= g -1
，则a，b，c 的大小关系为()．
A. c < b < a
B. a < b < c
C. b < a < c
D. b < c < a
4
已知函数f(x) = ex- e-x，则a = f(0.40.6)，b = f(0.60.6)，c = f(0.40.4) 的大小关系为
(
)
A. b < a < c
B. a < b < c
C. c < a < b
D. a < c < b
１６７
168
5
设a = 0.1e0.2，b = 1
10 ，c = 0.2e0.1，则下列选项正确的是
(
)
A. c < b < a
B. b < a < c
C. b < c < a
D. a < c < b
6
已知a = 20.1，b = 0.33，c = 0.30.1，则a，b，c 的大小关系为
(
)
A. a < b < c
B. c < b < a
C. b < c < a
D. a < c < b
7
若a = 1.010.5，b = 1.010.6，c = 0.60.5，则
(
)
A. c > a > b
B. c > b > a
C. a > b > c
D. b > a > c
8
定义在R 上的偶函数f x
对∀x1，x2 ∈(-∞, 0) (x1 ≠x2) 都有f x1
- f x2
x1-x2
> 0，若a = 20.3，b
=
1
2
-0.5
，c = 3-0.5，则
(
)
A. f -a
> f b
> f c
B. f c
> f -b
> f a
C. f b
> f a
> f -c
D. f c
> f -a
> f -b
１６８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
169
9
已知偶函数f x
在-∞,0
上单调递增，若a = f 2
1
2
，b = f -3
1
3
，c = f 5
1
5
，则
(
)
A. a < b < c
B. b < a < c
C. a < c < b
D. b < c < a
10
已知奇函数f x
在R 上是增函数，g x
= xf x
．若a = g - 5
，b = g 20.8
，c = g 3
，则a，
b，c 的大小关系为
(
)
A. a < b < c
B. c < b < a
C. b < a < c
D. b < c < a
【题型
【题型7】指数幂结合基本不等式求最值
】指数幂结合基本不等式求最值
指数幂结合基本不等式求最值是一类常见的数学问题，通常涉及到指数函数、幂函数以及基本不等式的
应用，通过变形和转换，将指数幂表达式转化为可应用不等式的形式，从而求得表达式的最大值或最小
值。
1
已知a，b ∈R，若a + 2b = 2，则2a+ 4b的最小值为
2
(高一上·浙江温州·期中)若正数x，y 满足xy = 2，则3x⋅9y 的最小值为
(
)
A. 27
B. 81
C. 6
D. 9
１６９
170
1
已知正数m，n 满足2m × 4n= 2，则1
m + 2
n 的最小值为
(
)
A. 3
B. 5
C. 8
D. 9
2
(高一上·广东深圳·期中) 若正数x，y 满足e3x⋅ey = (ex)y，则x + 3y 的最小值为
(
)
A. 10 + 2 6
B. 10 + 2 3
C. 12
D. 16
3
已知a > 0，b > 0，a + 2b = 2，求3a+ 9b的最小值为
(
)
A.
6
B. 6
C. 6 3
D. 12
4
已知正数x，y 满足2x-3= 8y，则x + 3
y 的最小值为
．
【题型
【题型8】指数函数的实际应用
】指数函数的实际应用
1、在自然科学中，指数函数常常用于描述增长或衰减的过程，比如生物群落的增长、放射性物质的衰变
等。
2、在经济学中，指数函数也可以用来描述复利增长，即资金按比例增长的情况。
１７０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
171
指数函数在数学和现实生活中都有重要的应用，对于描述增长和衰减过程有着很好的表现能力。
1
人工放射性核素碘-131 可发射β 射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8 天，设质量为a 的碘
-131 经过x 天后剩留的质量为y，则y 关于x 的函数解析式是
(
)
A. y = a 1
2
x
8 ，x ∈N *
B. y = a 1
2
8x
，x ∈N *
C. y = a 0.5
8
x
，x ∈N *
D. y = a 0.5
x
4 ，x ∈N *
2
当生物死亡后，它机体内原有的碳14 含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约经过N 年衰减
为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14 原有初始质量为
Q，该生物体内碳14 所剩质量y 与死亡年数x 的函数关系为
(
)
A. y = Q ⋅x
N
B. y = Q 1- x
N
C. y = Q 1- 1
N
x
2
D. y = Q 1
2
x
N
1
在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25% 的增长率呈指数增长，已知经过30 天以后，该湖泊的
蓝藻数大约为原来的6 倍，那么经过60 天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的
(
)
A. 18 倍
B. 24 倍
C. 36 倍
D. 48 倍
2
某种放射性元素，每年在前一年的基础上按相同比例衰减，100 年后只剩原来的一半，现有这种
元素1 克，3 年后剩下
(
)
A. 0.015 克
B.
1-0.5%
3克
C. 0.925 克
D.
100 0.125 克
１７１
172
3
核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR
法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增过程中的靶标DNA 进行实时检测．已知被
标靶的DNA 在PCR 扩增期间，每扩增一次，DNA 的数量就增加p%．若被测标本DNA 扩增5
次后，数量变为原来的10 倍，则p 的值约为()．(参考数据：100.2 ≈1.585，10-0.2 ≈0.631)
A. 36.9
B. 41.5
C. 58.5
D. 63.1
4
友谊中学学校每周对会议室进行消毒，设在药物释放过程中，会议室空气中的含药量y(毫克/ 每
立方米) 与时间x(小时) 成正比0<x< 1
3
；药物释放完毕后(此时药物含量y = 1)，y 与x 满足
关系y = 4b-x(b 为常数，x ≥1
3 )．据测定，空气中每立方米的含药量降低到1
4 毫克以下时．会议
室才能进入使用．则工作人员至少在会议开始时提前() 分钟进行消毒工作．
A. 50
B. 60
C. 70
D. 80
5
放射性核素锶89 的质量M 会按某个衰减率衰减，设初始质量为M0，质量M 与时间t(单位：天)
的函数关系为M = M0 ⋅
1
2
t
h (其中h 为常数)，若锶89 的半衰期(质量衰减一半所用的时间) 约为
50 天，那么质量为M0的锶89 经过30 天衰减后质量大约变为() (参考数据20.6 ≈1.516)
A. 0.72M0
B. 0.70M0
C. 0.68M0
D. 0.66M0
１７２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
173
6
据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50 年内减少了5%，如果按此速度，设2022
年的冬季冰雪覆盖面积为a，从2022 年起，经过x 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y 与x 的函数
关系式是
(
)
A. y = 0.950-x⋅a
B. y = 1-0.05
x
50
⋅a
C. y = 0.95
x
50 ⋅a
D. y = 1-0.0550-x
⋅a
7
心理学家有时用函数L t
= 250 1-e-kt
来测定人们在时间t min
内能够记忆的单词量L，其中
k 表示记忆率．心理学家测定某学生在10min 内能够记忆50 个单词，则该学生在30min 从能记忆
的单词个数为
(
)
A. 150
B. 128
C. 122
D. 61
8
(高一上·浙江宁波·期末) 某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，
在相同条件下，这种植物每周以a% 的增长率生长．若经过4 周后，该植物的长度是原来的3
2 倍，
则再经过6 周，该植物的长度大约是原来的
(
)
A. 9 6
2
倍
B. 9 6
4
倍
C. 9 6
8
倍
D. 9 6
16
倍
１７３
174
9
(重庆·高一重庆巴蜀中学校考) 已知某种果蔬的有效保鲜时间y(单位：小时) 与储藏温度x(单
位：°C) 近似满足函数关系y = eax+b(a，b 为常数，e 为自然对数底数)，若该果蔬在4°C 的保鲜时
间为216 小时，在16°C 的有效保鲜时间为8 小时，那么在8°C 时，该果蔬的有效保鲜时间大约为
小时．
10
(高二下·浙江·期末) 常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称
做半衰期，记为T(单位：天)．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T1，T2．
开始记录时，这两种物质的质量相等，512 天后测量发现乙的质量为甲的质量的1
8 ，则T1，T2 满
足的关系式为
【题型
【题型9】指数型函数的奇偶函数模型
】指数型函数的奇偶函数模型
一、常见奇偶性函数模型
奇函数：函数①：f(x) = m ax+1
ax-1
(x ≠0) 或函数f(x) = m ax-1
ax+1
．
函数②：f(x) =± (ax- a-x)．
注意：关于①式，可以写成函数f(x) = m +
2m
ax-1 (x ≠0) 或函数f(x) = m -
2m
ax+1 (m ∈R)．
偶函数：函数①f(x) =± (ax+ a-x)．
函数②：f(|x|) 类型的一切函数．
③若f(x) 为奇函数，则f(x)
为偶函数
二、运算函数的奇偶性规律：
对于运算函数有如下结论：奇± 奇= 奇；偶± 偶= 偶；奇± 偶= 非奇非偶；(加减要同性)
奇× (÷) 奇= 偶；奇× (÷) 偶= 奇；偶× (÷) 偶= 偶．(同性为偶，异性为奇)
三、复合函数奇偶性
１７４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
175
y = f[g(x)] 的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
1
已知函数f(x) = 2x+m
2x+n 为定义在R 上的奇函数，求实数m，n 的值．
2
函数f(x) = x
1
2x-1 +n
为偶函数，则实数n 的值为
．
1
函数f x
= 2x-2-x
2x+2-x 的图象大致为
(
)
A.
B.
C.
D.
2
已知函数f(x) = ex-a
ex+a 是奇函数，若f(2023) > f(2024)，则实数a 的值为
(
)
A. 1
B. - 1
C. ± 1
D. 0
１７５
176
3
已知函数f x
= 2x-a⋅2-x
2x+2-x
是定义在R 上的奇函数，求实数a 的值．
4
函数f x
=
2+cosx
ex
e2x+1
的部分图像大致为
(
)
A.
B.
C.
D.
5
若f x
= 3a -
2
3x+1 为奇函数，则a =
(
)
A. 1
B. 0
C. 1
2
D. 1
3
【题型
【题型10
10】指数型函数的值域问题
】指数型函数的值域问题
解决步骤
第一步：求函数的定义域，然后将复合函数分解成两个函数．
第二步：由自变量的范围求内层函数的值域．
第三步：由内层函数的值域求外层函数的值域．
１７６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
177
1
函数f(x) = 2x2-2x，x ∈[0 , 3] 的值域是
(
)
A.
1
2 ,8
B. (-∞, 8]
C.
1
2 ,+∞
D. (0 , 8]
2
已知函数f x
= 4x- 2x+1+ 4，x ∈-1,1
，则函数y = f x
的值域为( )．
A.
3,+∞
B.
3,4
C.
3, 13
4
D.
13
4 ,4
1
若不等式m-m2
4x+ 2x+ 1 > 0 在x ∈-∞,-1
上恒成立，则实数m 的取值范围是()．
A. R
B.
-∞,-2
∪3,+∞
C.
-3,2
D.
-2,3
2
函数f(x) = 9-x+
1
3
x-1
+ 3
4 在[-1 ,+∞) 上的值域为
．
3
若对任意的x ∈-3,-2
，都有2m-1
2x≤1 恒成立，则m 的取值范围为
(
)
A.
-∞,2
B.
-∞, 5
2
C.
-∞,4
D.
-∞, 9
2
１７７
178
4
若x ∈-∞,-1
，不等式m-m2
4x+ 2x+ 1 > 0 恒成立，则实数m 的取值范围是
(
)
A. m <-2 或m > 3
B. m ≤0 或m ≥1
C. - 2 < m < 3
D. 0 ≤m ≤1
【题型
【题型11
11】解指数型函数不等式与恒成立问题
】解指数型函数不等式与恒成立问题
简单指数不等式的解法
1、形如af x
> ag x
的不等式，可借助y = ax的单调性求解
2、形如af x
> b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y = ax的单调性求解
3、形如ax> bx的不等式，可借助两函数y = ax，y = bx的图象求解
1
若x 满足不等式2x2+1≤
1
4
x-2
，则函数y = 2x的值域是
(
)
A.
1
8 ，2
B.
1
8 ，2
C.
-∞，1
8
D. [2，+∞)
2
已知不等式4x- k ⋅2x+ 1 > 0 对任意实数x 恒成立，则k 的取值范围是
．
1
已知函数f(x) = ex- e-x，则不等式f(x - 2) + f x2-4
< 0 的解集为
．
１７８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
179
2
若a+1
1
2 ≥3-2a
1
2 ，则实数a 的取值范围是
(
)
A.
2
3 ，+∞
B.
-∞，2
3
C.
2
3 ，3
2
D.
2
3 ，3
2
3
若a+1
-1
2 < 3-2a
- 1
2 ，求a 的取值范围．
4
已知函数f x
= 3 x + x + 1，若f 1-m
+ f 2m
> 2，则m 的取值范围是
(
)
A.
-1,+∞
B.
1,+∞
C.
-∞,-1
D.
-∞,1
5
已知函数f(x) =
1
2
x
，则不等式f a2-4
> f(3a) 的解集为
(
)
A. (-4 , 1)
B. (-1 , 4)
C. (1 , 4)
D. (0 , 4)
6
不等式
1
2
x2-2x-3
> 1 的解集是
．
１７９
180
7
若函数f(x) 的定义域为
1
3 ,1
，则函数f(3x) 的定义域为
(
)
A.
0,1
B.
0,1
C.
-1,0
D.
-1,0
8
已知函数f(x) = 22x- a ⋅2x+ 4，若f(x) ≥0 恒成立，则实数a 的取值范围为
(
)
A. (-∞, 4]
B. (-∞, 2]
C. [4 ,+∞)
D. [2 ,+∞)
9
若对任意的x ∈[0 , 1]，使得不等式(λ - 1)4x + λ2x + λ ≤0 恒成立，则实数λ 的取值范围为
．
10
不等式x+1
- 1
3 < 3-2x
- 1
3 的解为
(
)
A.
0,+∞
B.
- 2
3 ,+∞
C.
0, 3
2
D.
-∞,-1
∪
2
3 , 3
2
【题型
【题型12
12】指数型复合函数单调性
】指数型复合函数单调性
判断复合函数单调性的原则是“同增异减”．
解决步骤
第一步：求函数的定义域．
第二步：将函数分解成内层函数和外层函数．
第三步：判断内层函数和外层函数的单调性．
第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性．
1
函数y = 5-x2+4x-3的单调递减区间是
(
)
A. [2 ,+∞)
B. (-∞, 2]
C. (-∞, 1]
D. [1 ,+∞)
１８０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
181
2
函数y =
3-1
x+1
3-x
的单调递增区间为
1
函数f x
= 4x- 2x+1- 1 的单调递增区间是
．
2
已知函数f(x) =
1
2
x2-2x+5
在a,+∞
上单调递减，则实数a 的取值范围是
．
3
设函数f x
=
1
2
x x-a
在区间0,1
单增，则a 的取值范围是
(
)
A.
-∞,-2
B.
-2,0
C.
0,2
D.
2,+∞
4
设函数f x
= a 2x-a
(a > 0 且a ≠1) 在区间1,+∞
上单调递增，则a 的取值范围是
(
)
A.
1,2
B.
2,+∞
C.
1
2 ,1
D.
1
2 ,1
∪2,+∞
5
函数y =
1
2
2x2-3x+1
的单调递减区间为
(
)
A. (1 ,+∞)
B.
-∞, 3
4
C.
-∞,1
D.
3
4 ,+∞
6
函数f(x) =
1
2
-x2+x+1
的单调递增区间为
(
)
A.
-∞, 1
2
B.
1-
5
2
, 1
2
C.
1
2 , 1+
5
2
D.
1
2 ,+∞
7
函数f x
= 4x+1- 2x+1+ 2024 的单调递增区间是
．
１８１
182
8
设函数f x
=
1
3
x a-x
在区间-2,0
上单调递增，则a 的取值范围是
(
)
A.
-∞,-4
B.
-∞,0
C.
0,+∞
D.
-4,+∞
9
(重庆巴蜀中学高一校考) 已知函数f(x) = a ⋅4x - (a - 2)2x + 1 在(-2 ,+∞) 上单调递增，则a 的取
值范围为
(
)
A. [0 , 4]
B. (0 , 4]
C. [2 ,+∞)
D. {0} ∪[2 ,+∞)
10
设函数f x
= ax2-ax+1(a > 0 且a ≠1) 在区间0,2
上单调递减，则a 的取值范围是()．
A.
1,+∞
B.
4,+∞
C.
0,1
D.
1,4
11
(高一上·福建福州·期末) 设函数f x
= a 2x-a
(a > 0 且a ≠1) 在区间1,+∞
上单调递增，则a 的
取值范围是
(
)
A.
1,2
B.
2,+∞
C.
1
2 ,1
D.
1
2 ,1
∪2,+∞
【题型
【题型13
13】指数型复合函数的奇偶性问题与函数不等式综合
】指数型复合函数的奇偶性问题与函数不等式综合
1、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围) 问题常用的方法：
(1) 函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；
(2) 分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；
(3) 数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
再利用数形结合的方法来解决．
2、指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层是指
数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解．
１８２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
183
1
已知函数f x
= m -
2
3x+1 是R 上的奇函数．
(1) 求m 的值；
(2) 比较f(3x2- x + 2) + f(3 - x - 2x2) 与0 的大小，并说明理由．
2
已知函数f x
=
a
ex+1 + 1 为奇函数．
(1) 求a 的值，并用函数单调性的定义证明函数f x
在R 上是增函数；
(2) 求不等式f 4-x
+ f 4-5×2-x
≤0 的解集．
3
已知定义域为R 的函数f(x) =
2x
2x+a - 1
2 是奇函数．
(1) 求实数a 的值；
(2) 判断函数f(x) 的单调性，并用定义加以证明；
(3) 若对任意的x ∈1,2
，不等式f(x2- mx) + f(x2+ 4) > 0 成立，求实数m 的取值范围．
4
已知f x
，g x
分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足f x
+ g x
= 2x．若g f x
-a
≥0 恒成立，则实数a 的取值范围为
(
)
A.
-∞,1
B.
-∞,1
C.
1,+∞
D.
1,+∞
１８３
184
5
已知函数f x
= ex-2+ e-x+2，则f x-1
> f 2x
的解集为
．
6
已知定义在R 上的函数f x
= ex-1 - e1-x + (x - 1)3 + x，满足不等式f 2x-4
+ f 2-3x
≥2，
则x 的取值范围是
．
7
函数f x
= a -
2
2x+1 为奇函数．
(1) 求a 的值；(2) 判断f x
的增减性，并证明．
8
已知函数f(x) = a-3x+1
3x+b
是定义在R 上的奇函数(a > 0 , b > 0)．
(1) 求f(x) 的解析式；(2) 求当x ∈0,1
时，函数g(x) = f(x) ⋅(3x+ 1) + 9x- 1 的值域．
9
已知定义域为R 的函数f(x) = m-3x
n+3x 是奇函数．
(1) 求m，n 的值；
(2) 若存在t ∈0,4
，使f k-2t2
+ f 4t-2t2
< 0 成立，求k 的取值范围．
１８４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
185
10
已知函数f(x) = e-x- ex- 3x3- 5x + 5．若f(a) + f(a - 4) < 10，则实数a 的取值范围是(
)
A. a < 1
B. a < 2
C. a > 1
D. a > 2
11
(多选) 已知函数f(x) = 2x-1
，当a < b < c 时，有f(a) > f(c) > f(b)．给出以下命题，则正确
命题的有
(
)
A. a + c < 0
B. b + c < 0
C. 2a+ 2c > 2
D. 2b+ 2c > 2
１８５
186
专题4 - 2 对数与对数函数15 类题型汇总
【题型
【题型1】对数运算
】对数运算
1、对数计算公式
(1) 同底对数加减运算：logaM + logaN = loga(MN)；logaM - logaN = loga M
N
(2) 底数和真数是乘方数时：logambn= n
m logab
(3) 对数恒等式：alogax= x
(4) 倒数式：logab =
1
logba
1
计算：
(1)eln3 +
8
27
- 1
3 - 3 0.125：
(2) log43+log23
log32+log94
．
2
计算：
(1)eln3 + log 525 + (0.125)
- 2
3 ，
(2)lg25 + lg2lg50 + (lg2)2．
1
化简1og62
2+ log62 ⋅log63 + 2log63 - 6log62的值为
(
)
A. - log62
B. - log63
C. log63
D. - 1
2
(2log43 + log83) (log32 + log92) =
１８６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
187
3
已知函数f x
是定义在R 上的奇函数，且满足f x
+ f 2-x
= 0．若当x ∈0,1
时，f x
= 2x
- 1，则f log 1
2 6
的值为
．
4
计算：
(1) 1 9
16
0.5
+ 0.01-1+ 2 10
27
- 2
3 - 2π0+ 3
16 ；
(2)log2 4×82
+ log318 - log32 + log43 × log316．
5
求值( 3 2 ×
3)6+ 9
1
2 × 8
2
3 + lg500 - lg0.5；
6
求值
(1)log6432 ⋅log2 1
25 ⋅log3 1
8 ⋅log5 1
9
(2)lg14 - 2lg 7
3 + lg7 - lg18
(3)log2 log232+log 1
2
3
4 +log436
(4) log2125+log425+log85
log1258+log254+log52
【题型
【题型2】指数式与对数式的相互转化
】指数式与对数式的相互转化
对数运算的常用技巧
(1) 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，
１８７
188
然后用对数运算法则化简合并．
(2) 先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的
积、商、幂再运算．
(3) 指对互化：
(a > 0，且a ≠1) 是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算
中应注意互化．
1
已知2a= 5，log83 = b，则2a-3b=
．
2
已知2x= 3y = 4z = 6，则1
x + 3
y + 1
z =
．
1
若4a= 3b= 24，则3
a + 2
b =
(
)
A. 2
B.
24
log 486
C. 3
2
D.
24
log 566
2
设2a= 5b= m，且1
a + 1
b = 1
2 ，则m =
(
)
A.
10
B. 10
C. 100
D. 1000
3
若a = log32，则3a+ 3-a的值为
(
)
A. 5
2
B. 3
2
C. 1
2
D. - 5
2
4
设2x= 3y = 72，求3
x + 2
y 的值．
１８８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
189
5
已知2m = 3n= 6，则m+n
mn
=
．
6
2-x+ 1
x = 0，则log2x2- 2x- 3x + 2 的值
(
)
A. 小于0
B. 等于1
C. 大于1 且小于2
D. 等于2
【题型
【题型3】换底公式的应用
】换底公式的应用
换底公式：logab = logcb
logca (a > 0，且a ≠1；c > 0，且c ≠1；b > 0)．
热考题型1 用已知对数表示其他对数
1
已知3a= 2，3b= 5，则lg2 =
．(用a，b 表示)
2
已知7a= 3，log72 = b，则log4948 =
．(用a，b 表示)
1
已知lg2 = a，lg3 = b，则log475 =
(
)
A. a-b+2
2a
B. b-a+2
2a
C. b-2a+2
2a
D. 2a-b+2
2a
2
若ln2 = a，ln3 = b，则log818 =
(
)
A. a+3b
a3
B. a+2b
3a
C. a+2b
a3
D. a+3b
3a
１８９
190
3
设lg2 = a，lg3 = b，
(1) 用含a，b 的式子表示log518，形式为
．
(2) 用含a，b 的式子表示log630，形式为
．
4
已知log23 = m，log37 = n，则log4256 =
(
)
A. mn+3
mn+1
B.
m+n+3
2m+n+1
C.
mn+3
mn+m+1
D.
mn+3
mn-m+1
5
(1) 已知log23 = a，3b= 7，试用a，b 表示log1256；
(2) 已知log32 = a，log37 = b，试用a，b 表示
28
log
49
8 ．
热考题型2 利用换底公式证明等式恒等
1
已知2x= 3y = 6z ≠1，求证：1
x + 1
y = 1
z ．
1
已知a，b，c 均为正数，且3a= 4b= 6c，求证：2
a + 1
b = 2
c ；
2
设xa= yb= zc，且1
a + 1
b = 1
c ，求证：z = xy
１９０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
191
【题型
【题型4】对数函数函数的概念与图象
】对数函数函数的概念与图象
一、对数函数过定点(1，0)，即x = 1 时，y = 0；
函数f(x) = loga x-b
+ c 过定点b+1,c
二、对数函数的图象(底大图低)
a > 1
0 < a < 1
图象
性质
定义域
(0，+∞)
值域
R
过定点
过定点(1，0)，即x = 1 时，y = 0
函数值的变化
当0 < x < 1 时，y < 0；
当x > 1 时，y > 0
当0 < x < 1 时，y > 0；
当x > 1 时，y < 0
单调性
是(0，+∞) 上的增函数
是(0，+∞) 上的减函数
方法技巧：对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、平移、
对称等变换得到，当a > 1 时，对数函数的图像呈上升趋势；当0 < a < 1 时，对数函数的图像呈下降趋
势．
热考题型1 对数函数的概念
1
(多选)下列说法正确的有
(
)
A. 零和负数没有对数
B. 任何指数式都可以化成对数式
C. 任何对数式都可以化成指数式
D. log2(MN) = log2M + log2N
2
代数式log(5-x) x2-5x+6
有意义时，求x 的取值范围．
1
已知函数f(x) = 2m2-m
logax + m - 1 是对数函数，则m =
．
１９１
192
2
使式子log 2x-1
1
2-x 有意义的x 的取值范围是
(
)
A.
2,+∞
B.
1
2 ,2
C.
-∞,2
D.
1
2 ,1
∪1,2
热考题型2 对数函数过定点问题
1
函数y = logax + 1(a > 0 且a ≠1) 的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是
(
)
A. (0 , 1)
B. (1 , 2)
C.
1,1
D.
1,0
1
已知函数f x
= log2 ax+b
a>0,b>0
恒过定点2,0
，则b
a + 1
b 的最小值为(
)．
A. 2 2 + 1
B. 2 2
C. 3
D.
2 + 2
2
已知函数f(x) = 1 + loga(2x - 3) (a > 0 , a ≠1) 恒过定点(m , n)，则m + n =
(
)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3
已知直线y = mx + 2n 经过函数f x
= loga x-1
+ 2 图象过的定点(其中m，n 均大于0)，则
1
m + 1
n 的最小值为
(
)
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4
函数y = logax + ax-1 + 2(a > 0 且a ≠1) 的图象恒过定点k,b
，若m + n = b - k 且m > 0，n >
0，则9
m + 1
n 的最小值为
(
)
A. 9
B. 8
C. 9
2
D. 5
2
１９２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
193
热考题型3 对数函数的图象性质
1
已知函数①y = logax；②y = logbx；③y = logcx；④y = logdx 的大致图象如图所示，则下列
不等关系正确的是
(
)
A. a + c < b + a
B. a + d < b + c
C. b + c < a + d
D. b + d < a + c
1
已知函数f(x) = ln(x + a) 的图象不经过第四象限，则a 的取值范围是
(
)
A. (0，1)
B. (0，+∞)
C. (0，1]
D. [1，+∞)
2
当a > 1 时，在同一平面直角坐标系中，函数y = a-x与y = logax 的图象是()．
A.
B.
C.
D.
１９３
194
3
在同一平面直角坐标系中，函数y =
1
a
x
，y = log 1
2 x+a
(a > 0 且a ≠1) 的图象可能是
(
)
A.
B.
C.
D.
4
如图是对数函数y = logax 的图象，已知a 值取
5 ，5
3 ，4
5 ，1
8 ，则相应的C1，C2，C3，C4
的a 值依次是
(
)
A. 1
8 ，4
5 ，5
3 ，
5
B.
5，5
3 ，4
5 ，1
8
C. 5
3 ，
5，4
5 ，1
8
D.
5，5
3 ，1
8 ，4
5
5
已知函数f x
= loga x-b
(a > 0 且a ≠1，a，b 为常数) 的图象如图，则下列结论正确的是
(
)
A. a > 0，b <-1
B. a > 0，-1 < b < 0
C. 0 < a < 1，b <-1
D. 0 < a < 1，-1 < b < 0
１９４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
195
6
在同一平面直角坐标系中，函数y = ax，y = logax - a(a > 0 且a ≠1) 的图象可能是
(
)
A.
B.
C.
D.
7
已知函数f x
= loga x-b
(a > 0 且a ≠1) 的图像如图所示，则以下说法正确的是
(
)
A. a + b < 0
B. ab <-1
C. 0 < ab< 1
D. loga b
> 0
【题型
【题型5】解对数方程
】解对数方程
解题|技巧
(1) 对于形如
a
log f(x) = b 的形式，利用b =
a
log ab转化；
对于形如
a
log x + C = 0 的形式，可借助换元法转化为二次方程求解．
(2) 解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这个不等式
即可．
热考题型1 常规对数方程
1
方程log2x = 1
2 的解为
1
已知方程ln2x + (ln4 + ln3)lnx + 2ln2 ﹒ln3 = 0 的两根为x1，x2，则x1 ﹒x2 =
(
)
A. - ln12
B. 2ln2 ﹒ln3
C.
1
12
D. 12
１９５
196
2
求下列各式中的x 值：
(1)log5x = 3；(2)log2 2x+1
= 3；(3)logx 1
8 = 3；(4)log28x=-3．
热考题型2 对数型嵌套函数方程
1
方程ln log3x
= 0 的解是
(
)
A. 1
B. 2
C. e
D. 3
1
(杭州学军中学2024 - 2025 高一上期中) 已知函数f x
在定义域0,+∞
上单调，若对任意的x ∈
0,+∞
，都有f f x
-lnx
= 1 + e，则方程xf x
- 2x - 1 = 0 的解的个数为
(
)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
2
已知f x
是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x，都有f f x
+
2
2x+1
= 1
3 ，则f log23
的值为
．
１９６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
197
3
已知函数f(x) 是定义域内的单调函数，且满足f f x
-ln(x+1)
= ln3 + 2，则函数f x
的解析
式f x
=
，若不等式f x
> m - ex 对任意x ∈[0，+∞) 恒成立，则实数m 的取值范围是
．
4
已知log5 log2 4lgx
= 0，则x 的值为
．
5
已知函数f x
= log2x，则方程f x
2= 2 + log4 x
2
的解为
(
)
A. 1
2
B. 1
2 或3 4
C. 1
2 或2 2
D. 2 或
2
4
【题型
【题型6】对数型复合函数的奇偶性问题
】对数型复合函数的奇偶性问题
常见对数型函数奇偶模型
(1)y = loga x-m
x+m 或loga x+m
x-m ⇒奇，
(2)y = loga
b2x2+1±bx
⇒奇
(3)f(x) =
a
log (am + 1) + - 1
2 mx
是偶函数，如f(x) = ln(ex+ 1) - 1
2 x，g(x) = log3(9x+ 1) - x
1
(2023 年新课标全国Ⅱ卷)若f x
= x+a
ln 2x-1
2x+1 为偶函数，则a = (
)．
A. - 1
B. 0
C. 1
2
D. 1
１９７
198
2
函数f x
= log2 4x+1
- x 的部分图像大致为
(
)
A.
B.
C.
D.
1
若函数f x
= x-a
ln x-1
x+1 为偶函数，则a =
(
)
A. - 1
B. 0
C. 1
2
D. 1
2
已知函数f x
= log3 x-1
x+1 ，求函数f x
的定义域，并判断其奇偶性．
3
已知函数f(x) = log2
x2+a-x
是奇函数，则a =
．
4
已知函数f(x) =
3
log (9x+ 1) + kx(k ∈R) 是偶函数，求实数k 的值．
5
已知函数f x
= ax - ln ex+1
a∈R
为偶函数，则a =
．
6
(重庆巴蜀中学校考月考) 函数f(x) = ax - log2(8x+ 1) 为偶函数，则实数a 的值为
．
１９８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
199
7
若函数f x
= log2 16x+1
- ax 是偶函数，则a =
8
设函数
为偶函数，求k 的值
9
设a 是实数，若函数y = lg x+1
x+a 为奇函数，则a =
10
已知函数f x
= ln eax+1
ex+1
是奇函数，则实数a 的值为
．
11
函数f x
= ln
2x
1+x +a
为奇函数，则实数a =
．
12
函数g x
=
k-2x
1+k⋅2x k<0
为奇函数，则实数k 的取值为
．
13
若函数f x
= ln x+a
2-x + b 是奇函数，则a + b = ．
１９９
200
14
已知函数f(x) = ln( 1+x2 - x) + 1，f(a) = 4，则f(-a) =
．
15
若函数f x
= ln ax+1
1-x
+ b 是R 上的奇函数，则a =
，b =
．
16
(2022·全国·高考真题) 若f x
= ln a+
1
1-x
+ b 是奇函数，则a =
，b =
．
【题型
【题型7】对数相关函数图像的识别
】对数相关函数图像的识别
1、判断函数图像常用的办法是排除法
一：判断奇偶性(依选项而判断)；二：代入特殊点看正负；三：极限思想
2、判断奇偶性技巧
(1) 运算函数的奇偶性规律：
运算函数是指两个(或多个) 函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如f(x) + g(x)，f(x) -
g(x)，f(x) × g(x)，f(x) ÷ g(x)．
对于运算函数有如下结论：奇± 奇= 奇；偶± 偶= 偶；奇± 偶= 非奇非偶；
奇× (÷) 奇= 偶；奇× (÷) 偶= 奇；偶× (÷) 偶= 偶．
(2) 复合函数y = f[g(x)] 的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．
(3) 常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数f(x) = m ax+1
ax-1
(x ≠0) 或函数f(x) = m ax-1
ax+1
．
２００
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
201
②函数f(x) =± (ax- a-x)．
③函数f(x) = loga x+m
x-m = loga 1+ 2m
x-m
或函数f(x) = loga x-m
x+m = loga 1- 2m
x+m
④函数f(x) = loga( x2+1 + x) 或函数f(x) = loga( x2+1 - x)．
注意：关于①式，可以写成函数f(x) = m +
2m
ax-1 (x ≠0) 或函数f(x) = m -
2m
ax+1 (m ∈R)．
偶函数：①函数f(x) =± (ax+ a-x)．
②函数f(x) = loga(amx+ 1) - mx
2 ．
③函数f(|x|) 类型的一切函数．
④常数函数
⑤若f(x) 为奇函数，则f(x)
为偶函数
1
函数f(x) = (4 - x2)ln| -x| 的图象是
(
)
A.
B.
C.
D.
1
(多选题) 函数f x
= loga x
+ 1 0<a<1
的大致图象不可能为
(
)
A.
B.
C.
D.
２０１
202
2
函数f x
= x2log4 2+x
2-x 的大致图象是
(
)
A.
B.
C.
D.
3
函数f(x) = ln 1-x
的大致图象是
(
)
A.
B.
C.
D.
【题型
【题型8】对数型复合函数的值域问题
】对数型复合函数的值域问题
对数(型) 函数的值域和单调性问题的解题策略
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：
一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1 的大小关系；三是复合函数的构成，即它
是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．
热考题型1 已知对数型复合函数的解析式求值域
1
函数f x
= lg 4x-2x+1+11
的最小值是( )．
A. 10
B. 1
C. 11
D. lg11
1
已知函数f x
= log3 -x2+4x+a-1
的最大值为2，则a =
．
２０２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
203
2
已知函数f x
= lg x2+1
，x ∈-1,3
，则f x
的值域为
(
)
A.
0,+∞
B.
0,1
C.
lg2,1
D.
0,1
3
若函数f x
= log 1
2 ax2+x+2
的最大值为0，则实数a 的值为
．
热考题型2 已知对数型复合函数的值域求参数范围
1
函数y = lg[x2+ (m - 2)x + 1] 的值域为R．则实数m 的取值范围是
(
)
A. (0 , 4)
B. [0 , 4)
C. (-∞, 0) ∪(4 ,+∞)
D. (-∞, 0] ∪[4 ,+∞)
1
若函数y = lg x2+2x+m
的值域是R，则m 的取值范围是
(
)
A. (1 ,+∞)
B. [1 ,+∞)
C. (-∞, 1]
D. R
2
设a > 0 且a ≠1，若函数f x
= -x+7,
x≤2
3+logax,
x>2
的值域是5,+∞
，则a 的取值范围是(
)
A.
2,+∞
B.
1,
2
C.
1,
2
D.
2,+∞
3
若函数f x
=
log 1
2 x2+2a
,
x<1
1-31-x,
x≥1
存在最大值，则实数a 的取值范围为
(
)
A.
-∞, 1
4
B.
0, 1
4
C.
- 1
2 , 1
2
D.
0, 1
2
２０３
204
4
已知函数f x
= loga x2-ax+1
在区间
1
4 ,2
上有最大值或最小值，则实数a 的取值范围为
(
)
A.
1
4 ,2
B.
1
2 ,1
∪1,2
C.
1
4 ,1
∪1,4
D.
1
4 ,1
∪1,2
5
已知函数f x
= loga x+ a
x -4
在(0 ,+∞) 上的值域为R，则实数a 的取值范围是
(
)
A.
4,+∞
B.
-∞,4
C.
0,4
D.
0,1
∪1,4
6
(1) 若f x
= log 1
2 ax2+2ax+1
的定义域为R，则实数a 的取值范围为
；
(2) 若函数f x
= log2 ax2+2x+1
的值域为R，则实数a 的取值范围为
．
7
已知函数f x
= log2 2-x
的值域为-∞,1
，则函数f 2x
的定义域为
(
)
A.
0,+∞
B.
0,2
C.
0,1
D.
-∞,1
8
若函数f x
= log3ax(a > 0 且a ≠1) 在-1,2
上的值域为m,2
，则m 的值为
(
)
A. - 4 或-1
B. 0 或-2
C. - 2 或-1
D. - 4 或-2
【题型
【题型9】比较大小
】比较大小
1、常规法：比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法．
2、当底数和真数的差或倍数一样时，可以考虑拆出一个1
例1：log36 和log48(倍数一致)
简析：log36 = 1 + log32；log48 = 1 + log42，由图像可知log32 > log42
例2：log35 和log46(差一致)
简析：log35 = 1 + log3 5
3 ；log46 = 1 + log4 6
4 ，由图像可知log3 5
3 > log4 6
4
２０４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
205
热考题型1 找中间数比较大小
1
设a =
0.3
log
0.2，b = ln0.2，C = 0.30.2，则
(
)
A. a > b > c
B. c > a > b
C. a > c > b
D. c > b > a
1
已知a =
2
3
3
2 ，b =
3
2
2
3 ，c =
2
3
log
3
2 ，则a，b，c 的大小关系是
(
)
A. a < b < c
B. b < a < c
C. c < b < a
D. c < a < b
2
设a = log23，b = log0.32，c = 0.50.5，则三者大小关系为
(
)
A. a < b < c
B. c < a < b
C. b < c < a
D. b < a < c
3
已知a =
2
3
3
2 ，b =
3
2
2
3 ，c =
2
3
log
3
2 ，则a，b，c 的大小关系是
(
)
A. a < b < c
B. b < a < c
C. c < b < a
D. c < a < b
4
已知x = lnπ，y =
5
log 2，z = e
- 1
2 ，则( )。
A. x < y < z
B. z < x < y
C. z < y < x
D. y < z < x
热考题型2 结合单调性比大小
1
已知a = 21.2，b =
1
2
-0.8
，c = 2log52，则a，b，c 的大小关系为( ) ．
A. c < b < a
B. c < a < b
C. b < a < c
D. b < c < a
２０５
206
1
已知x、y、z ∈R+，且xln2 = yln3 = zln5，则
(
)
A. 2x < 3y < 5z
B. 5z < 2x < 3y
C. 3y < 5z < 2x
D. 3y < 2x < 5z
2
设a = log32，b = ln3，c = log23，则
(
)
A. c > a > b
B. b > c > a
C. a > b > c
D. c > b > a
3
已知f(x) 是定义在(1 ,+∞) 上的单调函数，g(x) 是(0 ,+∞) 上的单调减函数，且f 2x
= f 3y
=
f 5z
，则
(
)
A. g(2x) < g(3y) < g(5z)
B. g(5z) < g(2x) < g(3y)
C. g(3y) < g(5z) < g(2x)
D. g(3y) < g(2x) < g(5z)
热考题型3 去“1”法比大小
1
(重庆南开中学高一期末)设a = 0.20.3，b = log34，c = log45，则
(
)
A. a < b < c
B. b < a < c
C. c < a < b
D. a < c < b
1
已知a =
6
log 2，b =
12
log 4，c =
18
log 6，则
(
)
A. c > b > a
B. a > b > c
C. c > a > b
D. a > c > b
２０６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
207
2
已知a = log43，b = log53，c = log45，则
(
)
A. b < a < c
B. a < b < c
C. a < c < b
D. c < a < b
3
已知a = log45，b = log56，c = log67，则
(
)
A. c > b > a
B. b > a > c
C. a > c > b
D. a > b > c
热考题型4 指对互化，换底公式比大小
1
若2x= 3y = 5z > 1，则2x，3y，5z 从小到大的顺序是
A. 3y < 2x < 5z
B. 5z < 2x < 3y
C. 2x < 3y < 5z
D. 5z < 3y < 2x
1
设a =
3
log 8，b =
0.5
log
0.2，c =
4
log 24，则
(
)
A. a < b < c
B. a < c < b
C. b < a < c
D. b < c < a
2
设a > 1，且实数x，y，z 满足a2x
2
= a3y
3
= a5z
5 = 1，则
(
)
A. x < y < z
B. z < x < y
C. y < z < x
D. y < x < z
２０７
208
3
设a = logo.20.3，b = log20．3，则(
)
A. a + b < ab < 0
B. ab < a + b < 0
C. a + b < 0 < ab
D. ab < 0 < a + b
4
若t = log2x = log3y = log5z，且t <-2 则
(
)
A. 5z < 2x < 3y
B. 5z < 3y < 2x
C. 3y < 2x < 5z
D. 2x < 3y < 5z
5
若4x= 5y = 20，z = logxy，则x，y，z 的大小关系为
(
)
A. x < y < z
B. z < x < y
C. y < x < z
D. z < y < x
6
若log2x = log3y = log5z <-1，则
A. 2x < 3y < 5z
B. 5z < 3y < 2x
C. 3y < 2x < 5z
D. 5z < 2x < 3y
7
已知20a= 22，22b= 23，ac = b，则a，b，c 的大小关系为
(
)
A. c > a > b
B. b > a > c
C. a > c > b
D. a > b > c
8
设x、y、z 为正数，且2x= 3y = 5z，则
(
)
A. 2x < 3y < 5z
B. 5z < 2x < 3y
C. 3y < 5z < 2x
D. 3y < 2x < 5z
２０８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
209
热考题型5 结合函数图形比大小
1
已知正实数a，b，c，满足：
1
2
a
= log2a，
1
3
b
= log2b，c = log 1
2 c，则
(
)
A. a < b < c
B. c < b < a．
C. b < c < a
D. c < a < b
1
已知实数a、b 满足等式2015a = 2016b，下列五个关系式：①0 < b < a；②a < b < 0；③0 < a <
b；④b < a < 0；⑤a = b，其中不可能成立的关系式有
(
)
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
2
(多选) 已知实数a，b 满足等式3a= 6b，则下列可能成立的关系式为
(
)
A. a = b
B. 0 < b < a
C. a < b < 0
D. 0 < a < b
3
(多选) 已知实数a，b 满足等式2a= 3b，下列五个关系式：
①0 < b < a；②a < b < 0；③0 < a < b；④b < a < 0；⑤a = b = 0
其中有可能成立的关系式有
(
)
A. ①
B. ②⑤
C. ②③
D. ④
２０９
210
热考题型6 结合函数单调性与奇偶性比大小
1
(深圳高级中学高一校考期末)已知函数f (x) = 2|x|，记a = f
1
4
1
3
，b = f log3 7
2
，c =
f log 1
3 5
，则a，b，c 的大小关系为
(
)
A. c > b > a
B. b > a > c
C. a > b > c
D. c > a > b
1
已知定义在R 上的函数f x
为偶函数，且f x
在区间(-∞, 0] 上是增函数，记a = f log5 1
2
，
b = f log 1
2
1
5
，c = f
1
2
1
5
，则a，b，c 的大小关系是
(
)
A. a < c < b
B. b < a < c
C. b < c < a
D. c < a < b
2
(深圳科高月考) 若偶函数f(x) 在-∞，0
上单调递减，a = f 4
2
3
，b = f log4 1
5
，c = f 2
3
2
，
则a、b、c 满足
(
)
A. a < b < c
B. b < a < c
C. c < a < b
D. c < b < a
3
函数f(x) 定义在实数集上，有f(-1 + x) = f(3 - x)，且当x ≥1 时，f(x) = lnx，则有
(
)
A. f
1
3
< f(2) < f
1
2
B. f
1
2
< f(2) < f
1
3
C. f
1
2
< f
1
3
< f(2)
D. f(2) < f
1
2
< f
1
3
２１０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
211
4
已知奇函数f(x) 在R 上是增函数，g (x) = xf(x)
若a = g(-log25.1)，b = g(20.8)，c = g(3)，则a，b，c 的大小关系为(
)
A. a < b < c
B. c < b < a
C. b < a < c
D. b < c < a
5
已知奇函数f x
在R 上是增函数，g x
= xf x
，a = g -log25.1
，b = g 20.8
，c = g 3
，则
a，b，c 的大小关系为
(
)
A. b < a < c
B. c < b < a
C. a < b < c
D. b < c < a
6
已知f(x) = xh(x)，其中h(x) 是奇函数且在R 上为增函数，则
(
)
A. f log2 1
3
> f 2
- 3
2
> f 2
- 2
3
B. f 2
- 3
2
> f 2
- 2
3
> f log2 1
3
C. f log2 1
3
> f 2
- 2
3
> f 2
- 3
2
D. f 2
- 2
3
> f 2
- 3
2
> f log2 1
3
【题型
【题型10
10】对数型复合函数的单调性
】对数型复合函数的单调性
对数型复合函数的单调问题
1、模板解决思路：判断复合函数单调性的原则是“同增异减”．
2、模板解决步骤
第一步：求函数的定义域．
第二步：将函数分解成内层函数和外层函数．
２１１
212
第三步：判断内层函数和外层函数的单调性．
第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性．
热考题型1 已知对数型复合函数的解析式求单调区间
1
函数f x
= ln x2-2x-8
的单调递增区间是
(
)
A.
-∞，-2
B.
-∞，-1
C.
1，+∞
D.
4，+∞
1
函数f(x) = log 1
2 (-x2+ 3x + 4) 的单调增区间为
(
)
A.
-1, 3
2
B.
-∞,- 3
2
C.
3
2 ,4
D.
3
2 ,+∞
2
函数f x
= log 2
3 -x2+4x-3
的单调递增的区间是
(
)
A.
1,2
B.
-∞,2
C.
2,3
D.
3,+∞
3
已知函数f(x) = loga(x2+ 2x - 3)，若f(2) > 0，则此函数的单调递增区间是
．
２１２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
213
4
函数f(x) = log 1
3 (3x2- 2x - 1) 的减区间为
(
)
A. (1 ,+∞)
B.
1
3 ,+∞
C.
-∞, 1
3
D.
-∞,- 1
3
热考题型2 根据对数型复合函数的单调性求参数范围
1
若函数f x
= ln x2-ax-1
在区间1,+∞
上是单调增函数，则实数a 的取值范围是
．
1
若函数f x
= log 1
2 xlog2(ax) 在
1
4 ,+∞
上单调递减，则实数a 的取值范围是
．
2
已知f(x) = log 1
2 x2-ax+3a
在区间[2，+∞) 上为减函数，则实数a 的取值范围是
．
3
已知f(x) 是定义在R 上的偶函数，且在0,+∞
上为增函数，f
1
3
= 0，则不等式f log 1
8 x
> 0
的解集为
．
２１３
214
4 “a ≤1”是“函数f x
= lg x2-ax+ 1
2
在1,+∞
上单调递增”的(
) 条件
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
5
若函数f x
= log2 2x-ax2
(a > 0) 在区间1, 3
2
上为减函数，则a 的取值范围是
．
6
设函数f x
= log 1
2 x+ a
x
在区间1,+∞
上单调递减，则a 的取值范围是
(
)
A.
-∞,1
B.
0,1
C.
-1,1
D.
1,+∞
7
已知函数y = log2 ax2-x
在区间1,2
上单调递增，则a 的取值范围为
(
)
A.
0, 1
2
B.
1
2 ,1
C.
1
2 ,+∞
D.
1,+∞
【题型
【题型11
11】解对数不等式
】解对数不等式
解对数不等式时，首先确定对数的定义域，然后利用对数函数的单调性去掉对数，转化为代数不等式求
解。注意验证解是否符合原不等式定义域，最后写出解集。
２１４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
215
热考题型1 解对数型不等式
1
设
a
log 2
3 < 1(0 < a < 1)，则a 的取值范围是
(
)
A.
2
3 ,1
B. (0 , 1)
C.
0, 2
3
D.
0，2
3
2
若实数x 满足不等式log2 x2-2x
> log2 x+4
，则实数x 的取值范围是
．
1
已知实数a > 0，且满足不等式33a+2 > 34a+1，则不等式loga(3x + 2) < loga(8 - 5x) 的解集为
．
2
不等式log 1
2 2x+3
< log 1
8 5x-6
3的解集是
．
3
若函数f 2x-1
的定义域为-1,1
，则函数f log2x-1
的定义域为
２１５
216
热考题型2 结合函数性质解不等式
1
已知函数f x
= log3 -x2+4x+a-1
的最大值为2，则a =
．
2
设函数f x
= lg x2+1
，则使得f 3x-2
> f x-4
成立的x 的取值范围为
(
)
A.
1
3 ,1
B.
-1, 3
2
C.
-∞, 3
2
D.
-∞,-1
∪
3
2 ,+∞
1
设函数
为偶函数．
(1) 求k 的值；
(2) 写出函数
的单调性(不需证明)，并解不等式f(2x - 1) > f(x + 1)．
2
已知函数是定义在R 上的偶函数，且在区间0,+∞
上单调递减，若a ∈R+，且满足f log3a
+
f log 1
3 a
≤2f 2
，则a 的取值范围是
(
)
A.
1
9 ,9
B.
-∞, 1
9
C.
1
2 ,2
D.
0, 1
9
∪9,+∞
２１６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
217
3
已知函数f x
= x3 - ln
x2+1-x
+ 3，x ∈[-2023 , 2023] 的最大值为M，最小值为m，则M
+ m =
．
4
已知函数y = log2 4x-a⋅2x+a
的值域为R，则实数a 的取值范围是
．
5
已知函数f x
= ex+e-x
2
+ ln x
，x ∈-2,0)∪(0,2
，则满足不等式f a-2
≥f 2a+1
的实数
a 的取值范围是
．
6
已知函数f(x) = ex-e-x
2
+ ln( 1+x2 + x)，若不等式f(2x - 4x) + f(m ⋅2x - 2) < 0 对∀x ∈R 恒
成立，则实数m 的取值范围为
(
)
A. (-∞，2 2 + 1)
B. (-2 2 + 1，+∞)
C. (-2 2 + 1，2 2 - 1)
D. (-∞，2 2 - 1)
7
已知函数f x
是定义在R 上的偶函数，当x ≤0 时，f x
单调递减，则不等式f log 1
3 2x-5
>
f log38
的解集为
．
8
已知函数f x
= ex-2+ e-x+2，则f x-1
> f 2x
的解集为
．
9
函数f x
是定义在R 上的偶函数，f 0
= 1，当x > 0 时，f x
= lnx + 2x．
(1) 函数f x
的解析式；(2) 解不等式f log2 2x-5
> 2．
【题型
【题型12
12】对数函数模型的实际应用
】对数函数模型的实际应用
对数函数应用题的基本类型和求解策略
(1) 基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析
２１７
218
式，然后根据实际问题求解．
(2) 求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解
析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
1
某工厂产生的废气经过过滤后排放．已知过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L) 与时间
t(单位：h) 的关系为P = kat(k ∈R 且k ≠0，a > 0 且a ≠1)，其图象如下，则污染物减少60% 至
少需要的时间约为() (参考数据：lg2 ≈0.3010，lg3 ≈0.4771)
A. 23 小时
B. 25 小时
C. 42 小时
D. 44 小时
2
一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21 个月(假设没有捕杀与其他
损耗)．那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要(
) 年lg2≈0.3
A. 23
B. 22
C. 21
D. 20
1
把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是θ°C，空气的温度是θ0°C ，则tmin 后该物体的
温度θ°C 满足θ = θ0 + θ-θ0
e
- t
4 ．将温度分别为20°C 和40°C 的两块物体放入温度为30°C 的空
气中，要使两块物体的温度之差不超过10°C，至少要经过() (取：ln2 = 0.69 )
A. 1.38min
B. 2.76min
C. 4.14min
D. 5.52min
2
酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒
精含量达到20~79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车．
假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果停止喝酒以后，
他血液中的酒精含量会以每小时25% 的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(其中
取lg2 = 0.30，lg3 = 0.48)
(
)
A. 7 小时
B. 6 小时
C. 5 小时
D. 4 小时
２１８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
219
3
由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技
公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”，实现
芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入．若该公司计划在2024 年全年投入芯片制造研发资金
60 亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开
始超过100 亿元的年份是
．
(参考数据：lg1.09 ≈0.037，lg2 ≈0.3010，lg3 ≈0.4771)
4
中国茶文化源远流长，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用90℃的
水泡制，再等到茶水温度降至50℃时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想
到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是T0，经过tmin 后的温度
是T，则T - Tα = T0-Tα
e
- t
h e≈2.71828⋯
，其中Tα 表示环境温度，h 为常数．该研究小组经
过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是90℃，放在10℃的室温中，10min 以后茶水的温度是70℃，
在上述条件下，大约需要再放置
min 能达到最佳饮用口感．(结果精确到0.1，参考数据：
ln2 ≈0.7，ln3 ≈1.1)
5 “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保
意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染
物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2mg/cm3，若要使
该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为(参考数据：lg2 ≈0.3，lg3 ≈
0.477)
(
)
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
6
(华南师大附中高一期末) 如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将
块
这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5 倍．(参考数据：lg2 ≈0.3010，
lg3 ≈0.4771．)
２１９
220
7
把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ°
1C，空气的温度是θ°
0C，经过t 分钟后物体的
温度θ°C 可由公式：θ = θ0 + (θ1 - θ0)e-kt 求得．其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的
大于0 的常数．现有100°C 的物体，放在10°C 的空气中冷却，5 分钟以后物体的温度是40°C，则
k 约等于(
) (参考数据：ln3 ≈1.099)
A. 0.22
B. 0.27
C. 0.36
D. 0.55
8
2008 年我国人口总数为14 亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则
年我国人口将
超过20 亿．(lg2 ≈0.3010，lg3 ≈0.4771，lg7 ≈0.8451)
9
根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N
约为1080．已知0.4771 < lg3 < 0.4772，则下列各数中与M
N 最接近的是
(
)
A. 1033
B. 1053
C. 1073
D. 1093
10
当生物体死亡后，它机体内的碳14 含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730 年衰减为原来的
一半，这个时间称为“半衰期” ．2021 年3 月23 日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星
堆新发现K4 坑的部分炭屑样品使用碳14 年代检测方法进行了分析，发现碳14 含量衰减为原来的
67.90%，则该遗址距今约(
) 年．(参考数据：
2
log 0.6790 =-0.5585)
A. 3000
B. 3100
C. 3200
D. 3300
２２０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
221
11
当生物体死亡后，它机体内的碳14 含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730 年衰减为原来的
一半，这个时间称为“半衰期”．2021 年3 月23 日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆
新发现K 4 坑的炭屑样品使用碳14 年代检测方法进行了分析，发现碳14 含量衰减为原来的
68.73%，则该遗址距今约(
) 年．(参考数据：
2
log 0.6873 =-0.541)
A. 3300
B. 3200
C. 3100
D. 3000
12
为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超
过0.09mg/mL．据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到
0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%．那么此人在
开车前至少要休息(
) (参考数据：lg2 ≈0.301，lg3 ≈0.477)
A. 4.1 小时
B. 4.2 小时
C. 4.3 小时
D. 4.4 小时
13
基本再生数R0 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平
均人数，世代间隔指间隔相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指
数模型：I(t) = ert 描述累计感染病例数I(t) 随时间t(单位：天) 的规律，指数增长率与R0，T 近
似满足R0 = 1 + rT，有学者基于已有数据估计出R0 = 3.28，T = 6，据此，在新冠肺炎疫情初始
阶段累计感染病例数增加1 倍需要的时间为() (参考数据：ln2 ≈0.69)
A. 约1.8 天
B. 约2.6 天
C. 约3.5 天
D. 约6.9 天
【题型
【题型13
13】反函数对称性质的运用
】反函数对称性质的运用
指数函数
(a > 0 且a ≠1) 与对数函数
(a > 0 且a ≠1) 互为反函数
反函数是高中数学中并不太重视的一个知识点，从大的角度讲，反函数是对称这个大家族中的一员。对
称是高考考察的热点及难点之一，线的对称本质上是点的对称，利用点与点之间的对称关系去理解线与
线之间的对称关系，是学好这一块内容的最佳途径，参考题中的信息，先要找到互为反函数，且互为反
函数关于y = x 对称。可以求唯一公共点坐标、定值问题、参数问题。
1
若实数a 满足ex+ x - 2 = 0，实数b 满足lnx + x - 2 = 0，则a + b =
２２１
222
2
若x1 满足2x + 2x= 5，x2 满足2x + 2log2(x - 1) = 5，x1 + x2 =
(
)
A. 5
2
B. 3
C. 7
2
D. 4
1
设方程2x+ x + 3 = 0 和方程log2x + x + 3 = 0 的根分别为p，q，设函数f x
= x+p
x+q
，则
(
)
A. f 2
= f 0
< f 3
B. f 0
= f 3
> f 2
C. f 3
< f 2
= f 0
D. f 0
< f 3
< f 2
2
设a、b 分别是方程log2x + x + 2 = 0 与2x+ x + 2 = 0 的根，则a + b =
．
3
已知x1是函数f x
= ex+ x - 2 的零点，x2是函数g x
= e4-x- x + 2 的零点，则x1+ x2的值为
(
)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
4
已知函数y = ex和y = lnx 的图象与直线y = 2 - x 交点的横坐标分别为a，b，则
(
)
A. a > b
B. a + b < 2
C. ab > 1
D. a2+ b2> 2
5
已知函数f(x) = 2x + x + 1，g(x) = log2x + x + 1，h(x) = x3 + x + 1 的零点分别是a，b，c，则
a，b，c 的大小顺序为
(
)
A. b > c > a
B. c > a > b
C. b > a > c
D. a > b > c
２２２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
223
6
已知x1，x2分别是关于x 的方程xlnx = 2023，xex= 2023 的根，则下面为定值2023 的是(
)
A. x1+ x2
B. x1- x2
C. x1x2
D. x1
x2
E. 均不是
【题型
【题型14
14】等高线问题
】等高线问题
等值线问题
等值线本是地理学中的名词，借用到数学中来便有其特殊的含义．对于函数f(x)，若存在互不相等的实
数a，b，c，使f(a) = f(b) = f(c) = t，则称直线为函数的等高线．解决等高线问题时，要注意函数本身
的整体性，遵循分段处理的原则，首先画出分段函数的图象，充分利用形的直观性与数的精确性，挖掘
函数的性质，如对称性、不变性(如定和、定积) 等，从而有效地、快速地解决问题．这类问题由四种常
见题型．
1、求等高线对应的交点横坐标之和：利用函数的对称性
2、求等高线对应的交点横坐标之积：结合对数运算
3、求以等高线对应的交点横坐标为自变量的函数值域：注意极端位置、特殊位置
4、利用等高线的性质巧求参数的值或取值范围
1
已知函数|x2+ 5x + 4| -kx 有三个零点x1，x2，x3，则x1+ x2+ x3=
(
)
A. 7
B. 8
C. 15
D. 16
2
已知函数f x
=
log2x
,
0<x<2
2 x-3
-1,
2≤x<5
若存在实数x1 < x2 < x3 < x4，且f x1
= f x2
= f x3
=
f x4
，则
x3-2
x4-2
x1x2
的取值范围是
．
２２３
224
1
已知函数f x
=
x+2
,
x≤0
lgx
,
x>0
，若存在互不相等的实数a，b，c，d 满足a < b < c < d，f a
= f b
= f c
= f d
，则a + b + c + d
2 的最小值是
(
)
A. - 4 +
2
B. - 3
C. 4 +
2
D. 3
2
已知函数f x
= lnx
，若f x
= 1，则x =
；若0 < a < b，且f a
= f b
，则a + b 的取
值范围是
．
3
(多选) 设函数f x
=
log2x
,
0<x≤2
22-x,
x>2
，若实数a，b，c 满足0 < a < b < c，且f a
= f b
=
f c
．则下列结论恒成立的是
(
)
A. abc > 2
B. a + 2b > 3
C. f a
< f
b
2
D. f a+b
> f c+ 1
2
4
(多选) 已知函数f x
=
log2 x-1
,
1<x≤3
x2-8x+16,
x>3
，若方程y = f x
- m 有4 个不同的零点x1，
x2，x3，x4，且x1< x2< x3< x4，则
(
)
A. 0 < m < 2
B. x1+ x2= x1x2
C. x3+ x4= 6
D.
1
x1
+ 1
x2
x3+x4
= 8
２２４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
225
5
(多选) 已知函数f(x) =
x+1
,
x≤2
x2-4x+1,
x>2
，若存在x1 < x2 < x3，使得f x1
= f x2
= f x3
，则
x1+ x2+ x3的取值可以是
(
)
A.
3
B. 3
C.
5
D.
6
6
已知函数f x
=
lgx
,
x>0
x+1,
x≤0
，存在实数a < b < c 满足f a
= f b
= f c
，则abc 的取值范围
是
．
7
已知函数f x
= lgx
，若0 < a < b 且f a
= f b
，则a + 2b 的取值范围为
．
8
已知函数f(x) = x2+4x+4,
x≤0
log3x,
x>0
，若互不相等的实数x1，x2，x3 满足f x1
= f x2
= f x3
，
则x1+ x2+ x3的取值范围是
．
２２５
226
9
已知函数f x
=
lgx
,
0<x≤10
- 1
2 x+6
,
x>10
，若a，b，c，d 互不相等，且f a
= f b
= f c
=
f d
，则a + b + c + d 的取值范围为
(
)
A.
26,+∞
B.
14,+∞
C.
26, 341
10
D.
26, 221
10
10
已知函数f x
=
lg x-1
,
1<x≤11
x2-24x+144,
x>11
，若方程f x
= n 有4 个解，分别记为x1，x2，x3，
x4，且x1< x2< x3< x4，则
1
x1
+ 1
x2
x3+x4
=
．
11
(多选) 已知函数f(x) = (x+1)2,
x≤0
log4x
,
x>0
，若f(x) = a 有四个不同的解x1，x2，x3，x4 且x1 < x2
< x3< x4，则有
(
)
A. x1+ x2=-2
B. x3x4= 1
C. a ∈(0 , 1)
D. x4(x1+ x2) +
1
x3x2
4
的最小值为- 31
4
【题型
【题型15
15】对数函数的综合问题
】对数函数的综合问题
1
已知函数f(x) = loga a2x+1
+ kx(a > 0 , a ≠1) 为偶函数．
(1) 求k 的值；
(2) 设函数g(x) = 2af(x)+x- 5ax，若∀x ∈[-1 , 2]，g(x) ≤0 恒成立，求a 的取值范围．
２２６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
227
2
已知函数f x
，g x
分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f x
+ g x
= 2x．
(1) 求函数f x
，g x
的解析式；
(2) 设h x
= 2g 2x
- 4mf x
- 4，p x
= 2x-1
2x+1 ，对∀x1∈R，∃x2∈1,+∞
，使得p x1
=
h x2
，求实数m 的取值范围．
1
已知函数f(x) = log2 2x+1
+ kx(k 为常数，k ∈R)，且f(x) 是偶函数．
(1) 求k 的值；
(2) 设函数h(x) = log2 a⋅2x- 1
2 a
+ 1
2 x(a ∈R)，若方程h(x) 只有一个解，求a 的取值范围．
2
设函数f(x) = log2 1
x +a
(a ∈R)．
(1) 当a = 2 时，求不等式f(x) < 2 的解集；
(2) 当a > 0 时，若对任意t ∈
1
2 ,1
，函数f x
在区间t,t+1
上的最大值与最小值的差不超过1，
求a 的取值范围．
２２７
228
3
已知函数f(x) = log2 2x+1
+ ax 是偶函数．
(1) 求a 的值；
(2) 设g(x) = f(x) + x ，h(x) = x2- 2x + m，若对任意的x1∈0,4
，存在x2∈0,5
，使得g x1
≥
h x2
，求m 的取值范围．
4
已知函数f x
= kx + log2 4x+1
k∈R
是偶函数．
(1) 求k 的值；
(2) 设函数g x
= log2 a⋅2x-4a
，其中a > 0．若函数f x
与g x
的图象有且只有一个交点，求a 的
取值范围．
5
已知函数f x
= 2x+a
2x+b ．
(1) 当a = 4，b =-2 时，解关于x 的方程f x
= 2x
(2) 若函数f x
是定义在R 上的奇函数，求函数f x
的解析式；
(3) 在(2) 的前提下，函数g x
满足f x
⋅g x
+2
= 2x- 2-x，若对任意x ∈R 且x ≠0，不等式
g 2x
≥mg x
- 18 恒成立，求实数m 的最大值．
２２８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
229
专题4 - 3 函数与方程零点问题综合
图像的变换
(1) 平移变换
①函数y = f(x + a) (a > 0) 的图像是把函数y = f(x) 的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的；
②函数y = f(x - a) (a > 0) 的图像是把函数y = f(x) 的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的；
③函数y = f(x) + a(a > 0) 的图像是把函数y = f(x) 的图像沿y 轴向上平移a 个单位得到的；
④函数y = f(x) + a(a > 0) 的图像是把函数y = f(x) 的图像沿y 轴向下平移a 个单位得到的；
(2) 对称变换
①函数y = f(x) 与函数y = f(-x) 的图像关于y 轴对称；
函数y = f(x) 与函数的图像关于x 轴对称；
函数y = f(x) 与函数y =-f(-x) 的图像关于坐标原点(0 , 0) 对称；
②若函数f(x) 的图像关于直线x = a 对称，则对定义域内的任意x 都有
f(a - x) = f(a + x) 或f(x) = f(2a - x) (实质上是图像上关于直线x = a 对称的两点连线的中点横坐标为
a，即(a-x)+(a+x)
2
= a 为常数)；
若函数f(x) 的图像关于点(a , b) 对称，则对定义域内的任意x 都有f(x) = 2b - f(2a - x) 或f(a - x) = 2b
- f(a + x)
③y = f(x)
的图像是将函数f(x) 的图像保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折
上来得到的(如图(a) 和图(b)) 所示
④y = f
x
的图像是将函数f(x) 的图像只保留y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y 轴对称得到
函数y = f x
左边的图像即函数y = f x
是一个偶函数(如图(c) 所示)．
注：f(x)
的图像先保留f(x) 原来在x 轴上方的图像，做出x 轴下方的图像关于x 轴对称图形，然后擦
去x 轴下方的图像得到；而f
x
的图像是先保留f(x) 在y 轴右方的图像，擦去y 轴左方的图像，然后
做出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．
⑤函数y = f-1(x) 与y = f(x) 的图像关于y = x 对称．
２２９
230
【题型
【题型1】零点存在定理
】零点存在定理
零点存在定理及其推论
1、定理：如果函数f x
在区间a,b
上的图象是一条连续不断的曲线，且f a
⋅f b
< 0，
那么，函数y = f x
在区间a.b
内至少有一个零点，
即存在c ∈a.b
，使得f c
= 0，这个c 也就是方程f x
= 0 的解。
【注意】(1) 定义不能确定零点的个数；
(2) 不满足定理条件时依然可能有零点；
(3) 定理中的“连续不断”是必不可少的条件；
(4) 定理反之是不成立的．
2、重要推论：
(1) 推论1：函数f x
在区间a,b
上的图象是一条连续不断的曲线，f a
⋅f b
< 0，
且f x
具有单调性，则函数f x
在区间a.b
内只有一个零点．
(2) 推论2：函数f x
在区间a,b
上的图象是一条连续不断的曲线，
函数f x
在区间a.b
内有零点，且函数f x
具有单调性，则f a
⋅f b
< 0
1
函数f x
=
x + x - 3 的零点所在区间是
(
)
A. (0 , 1)
B. (1 , 2)
C. (2 , 3)
D. (3 , 4)
1
已知x0是函数f(x) = 2x+
1
1-x 的一个零点，若x1∈1,x0
，x2∈x0+∞
，则
(
)
A. f(x1) < 0，f x2
< 0
B. f(x1) < 0，f x2
> 0
C. f x1
> 0，f x2
< 0
D. f x1
> 0，f x2
> 0
2
(高一下·河南漯河·期末) 函数f x
= lnx + x2 + a，则“a <-1”是“函数f x
在1,e
上存在零
点”的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 充分必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
２３０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
231
3
方程2x + lnx - 5 = 0 的解所在区间为
(
)
A.
4,5
B.
3,4
C.
2,3
D.
1,2
4
已知x0是函数f x
=
1
3
x
- x + 4 的一个零点，若x1∈2,x0
，x2∈x0,+∞
，则
(
)
A. x0∈2,4
B. f x1
> f x2
C. f x1
< 0，f x2
< 0
D. f x1
> 0，f x2
> 0
【题型
【题型2】二分法
】二分法
对于在区间[a，b] 上连续不断且f(a)f(b) < 0 的函数y = f(x)，通过不断把函数f(x) 的零点所在的区间
一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
1
用二分法求方程log4x - 1
2x = 0 近似解时，所取的第一个区间可以是
(
)
A.
0,1
B.
1,2
C.
2,3
D.
3,4
1
用二分法研究函数f x
= x3 + 2x - 1 的零点时，第一次计算，得f 0
< 0，f 0.5
> 0，第二次应
计算f x1
，则x1等于
(
)
A. 1
B. - 1
C. 0.25
D. 0.75
2
已知函数f(x) = ln(x + 2) + 2x - m(m ∈R) 的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：
x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1
f(x)
-1.307
-0.084
-0.009
0.066
0.215
0.512
1.099
由二分法，方程ln(x + 1) + 2x - m = 0 的近似解(精确度0.05) 可能是
(
)
A. 0.625
B. - 0.009
C. 0.5625
D. 0.066
3
已知函数f(x) = log2x - 1
x ，在区间(1 , 2) 内存在一个零点，在利用二分法求函数f(x) 近似解的
过程中，第二次求得的区间中点值为
．
4
一块电路板的AB 线段之间有60 个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想
用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测
(
)
A. 4 次
B. 6 次
C. 8 次
D. 30 次
２３１
232
【题型
【题型3】零点个数问题
】零点个数问题
零点个数的判断方法
1、直接法：直接求零点，令f x
= 0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点．
2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间a,b
上是连续不断的曲线，且f a
⋅f b
< 0，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性) 才能确定函数有多少个零点．
3、图象法：
(1) 单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数f x
的图象，函数f x
的图象与x 轴交点的个数就
是函数f x
的零点个数；
(2) 两个函数图象：将函数f x
拆成两个函数h x
和g x
的差，根据f x
= 0 ⇔h x
= g x
，则函数
f x
的零点个数就是函数y = h x
和y = g x
的图象的交点个数
4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；
若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
1
函数f(x) = xlgx - 1 的零点个数为
(
)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
1
函数f(x) = x2- 2x的零点个数为
(
)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
2
函数f(x) =
1
2
x
- x3- 2 在定义域内的零点个数是
(
)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
3
方程
1
2
x
- log 1
2 x
= 0 的解的个数为
(
)
A. 2
B. 3
C. 4
D. 2 或3 或4
２３２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
233
4
已知函数f x
= x2+2x,x≤0,
lgx
,x>0,
则函数g x
= f x
- 3 的零点个数为
(
)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【题型
【题型4】比较零点的大小
】比较零点的大小
利用数形结合、等价转化等数学思想，将函数零点问题转化成图象交点，作出函数的图象，再根据图象
求结果．
1
(高一上·河北唐山·期末)若函数f(x) =
1
2
x
- x，g(x) = log 1
3 x - x，h(x) =
x + 0.1 - x 的零
点分别为a，b，c，则
(
)
A. a > b > c
B. c > a > b
C. a > c > b
D. c > b > a
2
(24-25 高一上·全国·课后作业)设x1，x2，x3 均为实数，且
1
3
x1 =
2
log
x1+1
，
1
3
x2 =
3
log x2，
1
3
x3=
2
log x3，
1
3
x3= log2x3，则
(
)
A. x1< x3< x2
B. x3< x2< x1
C. x1< x2< x3
D. x3< x1< x2
1
(高一上·山东日照·期末) 若aea= blnb = clgc = 1，则a，b，c 的大小关系为
(
)
A. a < b < c
B. c < b < a
C. b < c < a
D. a < c < b
2
(高一上·北京丰台·期末) 函数f x
= 2x + x，g x
= log2x + x，h x
=
x + x 的零点分别为a，
b，c，则a，b，c，的大小顺序为
(
)
A. a > b > c
B. b > a > c
C. b > c > a
D. c > a > b
3
(贵州贵阳·模拟预测) 设方程3x⋅log3x
= 1 的两根为x1，x2 x1<x2
，则
(
)
A. 0 < x1< 1，x2> 3
B. x1> 1
x2
C. 0 < x1x2< 1
D. x1+ x2> 4
２３３
234
4
(高一下·广东揭阳·期末) 已知m + em = e，n + 3n= e，则
(
)
A. 1 < n < m < e
B. 1 < m < n < e
C. 0 < n < m < 1
D. 0 < m < n < 1
5
三个函数f x
= x3 + x - 3，g x
= lnx + x - 3，h x
= ex + x - 3 的零点分别为a，b，c，则
a，b，c 之间的大小关系为
(
)
A. a < b < c
B. c < a < b
C. a < c < b
D. b < c < a
6
(高一下·河南·开学考试) 已知函数f x
= 2x + 3x + 1，g x
= log2x + 3x + 1，h x
= x3 + 3x + 1
的零点分别是a，b，c，则a，b，c 的大小关系为
(
)
A. a > c > b
B. b > c > a
C. b > a > c
D. a > b > c
7
(高一上·湖南株洲·期末)．已知函数f(x) = 2x + x，g(x) = log2x + x，h(x) = x3 + x 的零点分别为
a，b，c，则a，b，c 的大小关系为
(
)
A. c < a < b
B. a < c < b
C. b < a < c
D. c < a < b
【题型
【题型5】由零点个数求参数范围
】由零点个数求参数范围
已知函数零点个数(方程根的个数) 求参数值(取值范围) 常用的方法：
(1) 数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解；
(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3) 直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围．
1
设函数f x
=
2x+3
-1-m,
x≤0
lnx-m,
x>0
，若函数f x
恰有3 个零点，则实数m 的取值范围为
(
)
A.
-∞,-1
B.
-1,2
C.
2,+∞
D.
-1,2
2
(2018·全国·高考真题)已知函数f(x) = ex，x≤0，
lnx，x>0，
g(x) = f(x) + x + a．若g(x) 存在2 个零
点，则a 的取值范围是
A. [-1，0)
B. [0，+∞)
C. [-1，+∞)
D. [1，+∞)
２３４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
235
1
已知函数f x
= (x+1)2,x≤0,
lgx
,
x>0,
若函数g x
= f x
- b 有四个不同的零点，则实数b 的取
值范围为
(
)
A.
0,1
B.
0,1
C.
0,1
D.
1,+∞
2
已知函数f x
= 2e x-2
- 1
2 a 2x-2+22-x
- a2有唯一零点，则负实数a =
A. - 2
B. - 1
2
C. - 1
D. - 1
2 或-1
3
已知函数f x
= x+2
+ ex+2+ e-2-x+ a 有唯一零点，则实数a =
(
)
A. 1
B. - 1
C. 2
D. - 2
4
(24 - 25 高一上·福建厦门·期中) 已知f(x) 是定义在R 上的偶函数，且对∀x ∈R，都有f(2 - x) =
f (2 + x)，且当x ∈-2,0
时，f x
=
1
2
x
- 1．若在区间-2,6
内关于x 的方程f x
-
loga x+2
= 0 a>1
至少有2 个不同的实数根，至多有3 个不同的实数根，则实数a 的取值范围
是
．
5
(高一下·云南昆明·期中) 已知函数f x
=
-x2-4x+2,
x≤0
log2x
,
x>0
，若方程f(x) = a 有四个不同的解
x1，x2，x3，x4，则a 的取值范围是
．
6
(高一上·天津·期末) 已知函数f x
=
ln x-1
,
x≤0
x2-2x+2,
x>0
若函数g x
= f x
- m2
2
有三个零点，
则实数m 的取值范围
．
２３５
236
7
已知关于x 的函数f x
= bx2- 2bx + x-1
+ b2+ b - 4 有唯一零点x = a，则a + b =
(
)
A. - 1
B. 3
C. - 1 或3
D. 4
8
设c ∈R，函数f(x) = x-c,x≥0,
2x-2c,x<0.
若f(x) 恰有一个零点，则c 的取值范围是
(
)
A. (0，1)
B. {0} ∪[1，+∞)
C. (0，1
2 )
D. {0} ∪[ 1
2 ，+∞)
【题型
【题型6】求零点的和
】求零点的和
零点的和一般通过函数图像对称性来求
1
(高一上·湖南益阳·期末)已知函数f x
= 2x + x - 2，g x
= log2x + x - 2，h x
= x3 + x - 2 的
零点分别为a，b，c，则a + b + c =
．
2
函数f x
= ex x-1
- x - 1 的所有零点之和为
(
)
A. 0
B. - 1
C.
3
D. 2
1
(高一上·辽宁沈阳·期末) 已知函数f x
的定义域为R，且f x+1
是奇函数，当x > 1 时，f x
=
2-x,
1<x≤2
x2-4x+4,
x>2
，函数g x
= x-1
1
3 ，则方程f x
= g x
的所有的根之和为
(
)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
２３６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
237
2
(贵州省毕节市2023 - 2024 学年高一下学期期末联考数学试题) 已知x1 是函数f x
= ex + x - 2 的
零点，x2是函数g x
= e4-x- x + 2 的零点，则x1+ x2的值为
(
)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
3
(高一上·江苏·月考) 设x1满足ex+ x - 3 = 0，x2满足e1-x- x - 2 = 0，则ex1+x2=
．
4
已知定义在R 上的偶函数f x
满足f 2+x
= f 2-x
，当x ∈0,2
时，f x
=-x + 4．设h x
= log 1
2 x+2
+ 4，则f x
与h x
图象的所有交点的横坐标之和为
．
5
(高一上·河北石家庄·期末) 设函数f x
= 10x + x - 6 的零点为m，函数g x
= lgx + x - 6 的零点
为n，则m + n =
．
6
(湖北省鄂东南2024 - 2025 高一上期中联考) 设函数f(x) = x2-2x,
x≤2
-2x+6,
x>2
关于x 的方程f(x) =
a 有三个不等实根x1，x2，x3，且x1< x2< x3，则2x1+ 2x2+ 3x3的取值范围是
．
7
(山东省泰安市肥城市2023 - 2024 学年高一上学期11 月期中考试数学试题) 已知函数f x
= 2x -
x，方程f x
= f -x
有三个解x1，x2，x3，则f x1+x2+x3
=
(
)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
8
(广东省珠海市高一上学期11 月联考) 若x1，x2 分别是方程ex + x - 2023 = 0，lnx + x - 2023 = 0
的根，则x1+x2
2
=
(
)
A. 2023
2
B. 2023
C. 2023
4
D. 4046
２３７
238
【题型
【题型7】由二次函数零点分布求参数范围
】由二次函数零点分布求参数范围
一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想．一般考虑以
下几方面：
1、开口(若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况)．
2、判定给定点处函数值的正负．(开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△> 0 恒成立)
判定△符号．
3、判定对称轴的位置．
4、总之，耐心去分类讨论(分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解)，借助图象去分析就可以
得到结论，无需记忆．
(1) 二元二次方程在R 上根的分布情况
①方程有两个不等的实数根⇔Δ = b2- 4ac > 0；
②方程有两个相等的实数根⇔Δ = b2- 4ac = 0；
③方程没有实数根⇔Δ = b2- 4ac < 0
(2) 一元二次方程的根的“0”分布
①方程有两个不等正根x1，x2⇔
Δ=b2-4ac>0
x1+x2=- b
a >0
x1x2= c
a >0
；
②方程有两个不等负根x1，x2⇔
Δ=b2-4ac>0
x1+x2=- b
a <0
x1x2= c
a >0
③方程有一正根和一负根，设两根为x1，x2⇔x1x2= c
a < 0
(3) 一元二次方程(a > 0) 的根的“k”分布
①两根都小于k ⇔
Δ>0
- b
2a <k
f(k)>0
；
②两根都大于k ⇔
Δ>0
- b
2a >k
f(k)>0
２３８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
239
③一根小于k，一根大于f(k) < 0
(4) 一元二次方程根(a > 0) 在区间的分布
①两根都在(m , n) 内⇔
Δ(m)>0
f(n)>0
m<- b
2a <n
②两根都在(m , n) 外⇔
f(m)<0
f(n)<0
③两根仅有一根在(m , n) 内⇔f(m) ⋅f(n) < 0
④一根在(m , n) 内，另一根在(p , q) 内⇔
f(m)f(n)<0
f(p)f(q)<0
1
(24-25 高一上·全国·期中)如果函数f x
= x2 - mx + 1 的两零点分别落在区间0,1
和1,2
上，则实数m 的取值范围是
(
)
A. 1 < m < 3
B. 2 < m < 3
C. 2 < m < 5
2
D. 1 < m < 5
2
2
(高一上·江苏徐州·月考)方程x2 - 2mx + 6 - m = 0 的两个根均大于1，则实数m 的取值范围是
．
２３９
240
3
(24-25 高一上·浙江宁波·月考)若函数f x
= ax2 + 4x - 1 在-1,1
内恰有一个零点，则实数
a 的取值范围是
．
1
(24 - 25 高一上·辽宁盘锦·期中) 已知函数f x
= x2 + 2mx + 2m + 3 有一个零点在区间0,2
内，
求实数m 的取值范围是
(
)
A. m =-1
B. m =-1 或m = 3
C. m =-1 或- 3
2 < m ≤- 7
6
D. m =-1 或- 3
2 < m <- 7
6
2
(24 - 25 高一上·江苏无锡·期中) 若二次函数f x
= x2 - 2mx - 5 在区间3,4
上存在一个零点，
则m 的取值范围是
(
)
A. 2
3 < m < 11
8
B. m < 11
8
C. m > 2
3
D. m < 2
3 或m > 11
8
3
(24 - 25 高一上·辽宁·期中) 已知函数f x
= x2 + 2mx + 2m + 3 至少有一个零点在区间(0 , 2) 内，
求实数m 的取值范围是
(
)
A. m =-1
B. m =-1 或m = 3
C. - 3
2 < m ≤-1
D. m =-1 或- 3
2 < m <- 7
6
【题型
【题型8】等值线问题
】等值线问题
数形结合思想
1
(高一上·广东潮州·期末)已知函数f x
= lnx
- m 有两个零点分别为a 和b，则a + b 的取值范
围是
．
２４０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
241
2
(高一上·江苏苏州·期中)已知f x
=
x2+4x+3,
x≤0
3- 2
x
,
x>0
若x1 < x2 < x3 < x4，且f x1
= f x2
= f x3
= f x4
，则1
x1
+ 1
x2
+ 1
x3
+ 1
x4
的取值范围是
(
)
A.
-∞, 5
3
B.
-∞,2
C.
-∞, 13
3
D.
5
3 , 13
3
1
(高一上·宁夏石嘴山·期中) (多选) 已知函数f(x) =
x+1
,
x≤2
x2-4x+1,
x>2
，若存在x1 < x2 < x3，使得
f x1
= f x2
= f x3
，则x1+ x2+ x3的取值可以是
(
)
A.
3
B. 3
C.
5
D.
6
2
(24 - 25 高一上·云南昆明·期中) 已知f x
=
x+3
,
x≤0
1
3
x-1,
x>0
，若x1 < x2 < x3，且f x1
= f x2
=
f x3
，则f x3
x1+x2
的取值范围是
．
3
(高一下·广东广州·月考) 已知函数f x
= log5x-1
- k k∈R
．若k = 0，则f x
的零点为
；若函数f x
有两个零点x1，x2 x1<x2
，则25x1+ x2的最小值为
．
4
(高一上·山西阳泉·期末) 已知函数f x
=
x+2
,
x≤0
log3x
,
x>0
，若方程f(x) = a 有四个不同的解x1 <
x2< 1
x3
< 1
x4
，则x1+ x2+ 1
x3
+ 1
x4
的取值范围是
．
5
(高一上·湖南长沙·月考) 已知函数f(x) =
x+2
,
x≤0
log2x
,
x>0
，若方程f(x) = a 有四个不同的解x1，
x2，x3，x4，且x1< x2< x3< x4，则x3 x1+x2
+
1
x2
3x4
的取值范围是
．
２４１
242
6
(24 - 25 高一上·浙江宁波·期中) 已知函数f(x) =
x2-2x
,x≤3,
6-x,
x>3
，若a，b，c(a < b < c)
满足f a
= f b
= f c
> 1，记M = af a
+ bf b
+ cf c
，则M 的取值范围为
．
7
(2024 高一上·江苏·专题练习) 已知f(x) =
lnx
,
0<x≤e
2-lnx,
x>e
，若a，b，c 互不相等且a < b < c，
且f(a) = f(b) = f(c)，则a + b + e2
c 的范围是
．
【题型
【题型9】函数零点和指数式与对数式的互化
】函数零点和指数式与对数式的互化
函数零点题型常涉及求解方程根、判断函数图像与x 轴交点等。指数式与对数式互化题型则注重转换技
巧，如给定指数式求对数式表达，或利用对数定义解指数方程。两类题型均考验数学基础与逻辑转换能
力。
1
(24-25 高一上·湖南邵阳·开学考试)已知函数f x
= lnx + x - 3，g x
= ex + x - 3(其中e 为自
然对数的底数)．设m，n 分别为f x
，g x
的零点，则en+ lnm =
．
2
已知x0是函数f x
= x2ex+ lnx 的零点，则ex0⋅lnx0=
．
1
(高一上·四川南充·月考) 已知x0是函数f x
= e
1
x - x2lnx 的零点，则e
1
x0lnx0=
．
2
(高一上·湖南长沙·期末) 已知a > 1，x1，x2 分别是函数f x
= ex + x - a 与g x
= lnx + x - a 的
零点，若m = ex1+ x2，则m 的取值范围为
．
3
(高二下·山东菏泽·月考) 设x0是函数f x
= x2ex-3+ lnx - 3 的零点，则e3-x0+ lnx0=
．
２４２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
243
4
(高一下·辽宁朝阳·月考) 已知x0是函数f x
= ex+ x - 2 的零点，则
(
)
A. x0> 1
B. ln 2-x0
= x0
C. x0- e-x0> 0
D. e2-x0- e < 0
5
(高一上·江西宜春·月考) 已知f x
= ex - 1
x 的零点为x0，若ex0 + x0lnx0 > 2m，则整数m 的最大
值是
．
【题型
【题型10
10】嵌套函数零点问题
】嵌套函数零点问题
数形结合与换元法
对于嵌套型复合函数y = f[g(x)] 的零点个数问题，求解思路如下：
(1) 确定内层函数u = g(x) 和外层函数y = f(u)；
(2) 确定外层函数y = f(u) 的零点u = ui(i = 1，2，3，.
.
.
.n)；
(3) 确定直线u = ui(i = 1，2，3，.
.
.
.n) 与内层函数u = g(x) 图象的交点个数分别为，a1，a2，
a3．．．．．．．，an则函数y = f[g(x)] 的零点个数为a1+ a2+ a3．．．．．．．+an．
注意：抓住两点：(1) 转化换元；(2) 充分利用函数的图象与性质．
1
(高一上·陕西西安·月考)定义域和值域均为-a,a
(常数a > 0) 的函数y = f x
和y = g x
图象
如图所示，则方程f g x
= 0 有
个解．
2
已知函数f x
= a⋅2x，x≤0，
log2x，x>0，
若关于x 的方程f f x
= 0 有且仅有两个实数根，则实数a 的
取值范围是
(
)
A.
0,1
B.
-∞,0
∪0,1
C.
1,+∞
D.
0,1
∪1,+∞
２４３
244
3
已知函数f x
= x-a
ex，则f f x
= a 至多有
个实数解．
1
已知f x
=
lnx
+2,
x>0
3-x2,
x≤0
，若f f x
= a 只有5 个不同的实根，则实数a 的取值范围是
．
2
(高一上·浙江金华·期末) 已知函数f x
= -x2-2x,x≤0,
log2x
,x>0,
则方程f f x
= 2 的所有根之积为
．
3
(24 - 25 高一上·浙江宁波·期中) 已知函数f(x) 为R 上的奇函数，当x ≥0 时，f(x) = x2 - 2x，若
函数g(x) 满足g(x) = f(x),
x≥0
-f(x),
x<0
，且g(f(x)) - a = 0 有8 个不同的解，则实数a 的取值范围为
(
)
A. a <-1
B. - 1 < a < 0
C. 0 < a < 1
D. a > 1
4
( 24 - 25 高一上· 江苏连云港· 期中) 已知函数f
x
=
3x-1
9x2-6x+4+1
+
2x-3
4x2-12x+12+1
，则函数f x
的零点为
．
5
(24 - 25 高一上·江苏泰州·月考) 若f x
和g x
都是R 上的函数，且f g x
= x 有实数解，则
g f x
可能是
(
)
A. x2+ x - 1
5
B. x2+ x + 1
5
C. x2- 1
5
D. x2+ 1
5
【题型
【题型11
11】关于
】关于f(x) 的方程
的方程af
af(x)
2 + bfbf(x) +
) + c = 0 解的个数问题
解的个数问题
先换元再因式分解，最后数形结合
２４４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
245
1
已知f x
=
lgx
,x>0,
-x2-2x+1,x≤0,
则函数y = 4 f x
2- 8f x
+ 3 的零点个数是
．
2
(24-25 高一上·浙江·期中)已知f(x) = x2+2 3x+2,
x≤0
lnx,
x>0
，若函数g(x) = [f(x)]2 - af(x) -
1 有5 个不同的零点，则实数a 的取值范围是
．
1
(高一上·河南南阳·期末) 已知函数f x
=
log2 -x
,
x<0，
2x-2,
x≥0，
g x
= f x
2 - 2a+2
f x
+ a2
+ 2a 有3 个不同的零点x1，x2，x3 则实数a 的取值范围是
；若x3 = 1
2 ，则x1 + x2 + x3 =
．
2
已知f x
=
lgx
,
x>0
2 x
,
x≤0
，则函数y = f2 x
- 3f x
+ 2 的零点个数是
．
3
(高一下·贵州六盘水·期中) 已知函数f x
= ex-3
，关于x 的方程f x
2 + 2mf x
+ m2 - 1 = 0
恰有3 个不同的实数解，则实数m 的取值范围是
．
4
(24 - 25 高一上·吉林长春·期中) 设函数f x
= 3x-1
，若关于x 的方程4 f x
2 - 4mf x
+ 3m
- 2 = 0 恰有三个不相等的实根，则实数m 的取值范围是
．
5
(高一上·广东湛江·期中) 设f(x) = 1-2x
，若关于x 的方程f2(x) - 3tf(x) + 2t2= 0 有三个不同的实
数根，则实数t 的取值范围为
(
)
A. (0 , 1)
B.
0, 1
2
C.
1
2 ,1
D. (0 , 1]
6
(24 - 25 高一上·浙江杭州·期中) 已知函数f(x) =
-x2-6x-5,
x<0
1
2
x-1
,
x≥0
，若关于x 的方程[f(x)]2 +
(2a - 3)f(x) + a2- 3a = 0 有5 个不同的实数根，则a 的取值范围为
․
２４５
246
专题5 - 1 任意角与弧度制
【题型
【题型1】任意角的概念
】任意角的概念
任意角的概念
①角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
②角的分类
名称
定义
图示
正角
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角
一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有做任何旋转形成的角
③任意角的概念：任意角指的是不仅包括通常的0° 到360° 之间的角，还包括了正角、零角和负角。在实
际生活中，经常会遇到角的旋转量不在[0° , 360°] 这个区间的情况，为了描述这种现实状况，角的概念被
推广到了任意角
1
时钟走了3 小时20 分，则时针所转过的角的度数为
，分针转过的角的度数为
1
如图，射线OA 绕顶点O 逆时针旋转45° 到OB 位置，并在此基础上顺时针旋转120° 到达OC 位
置，则∠AOC =
．
2
时针走了1h 20min，则分针转过的角是
．
【题型
【题型2】弧度制与角度制的互化
】弧度制与角度制的互化
(1) 弧度制的概念
①弧度制定义：以弧度为单位来度量角的单位制；
②1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．(1 弧度记作1 rad)
２４６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
247
③规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，θ = l
r ，l 是以角θ 作为圆心
角时所对圆弧的长，r 为半径．
(2) 角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360° = 2πrad
2π rad = 360°
180° = πrad
π rad = 180°
1° =
π
180 rad ≈0.017 45 rad
1 rad =
π
180
° ≈57.30°
度数×
π
180 = 弧度数
弧度数×
π
180
° = 度数
1
(多选题)将下列角度与弧度进行互化正确的是
(
)
A. 511
6 π = 1530°
B. - 7π
12 =-105°
C. 10° = π
18
D. - 855° =- 19π
4
2
(高一上·浙江·月考)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则此圆弧所对的圆心角α
的弧度数为
(
)
A. π
3
B. π
2
C.
3
D. 2
1
225° 的角化成弧度制为
．
2
经过2 小时，钟表上时针转过的弧度数为
．
3
已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是
．
4
要在半径OA = 6cm 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB 的长为2πcm，则圆心角
∠AOB 的弧度数是
．
【题型
【题型3】终边相同的角
】终边相同的角
终边相同的角：所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个集合S =
β∣β=α+k⋅360°,k∈Z
，即任一与角α 终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和
1
下列各角中，与1850° 角终边相同的角是
(
)
A. 40°
B. 50°
C. 320°
D. - 400°
2
设集合M = x x=45°+ k
2 ×180°,k∈Z
，N = x x=45°+ k
4 ×180°,k∈Z
那么
(
)
A. M = N
B. N ⊆M
C. M ⊆N
D. M ∩N = ∅
1
将-885° 化为k ⋅360° +α(0° ≤α < 360° , k ∈Z) 的形式是
．
2
与-457° 角终边相同的角的集合是
．
２４７
248
3
已知集合A = {θ| θ 为锐角}，B = {θ|θ 为小于90° 的角}，C = {θ|θ 为第一象限角}，D = {θ|θ 为
小于90° 的正角}，则下列等式中成立的是
(
)
A. A = B
B. B = C
C. A = C
D. A = D
【题型
【题型4】象限角与轴线角
】象限角与轴线角
象限角：把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，
角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何
一个象限
(1) 象限角的集合表示
象限角
象限角α 的集合表示
第一象限角
{α|k·360° < α < k·360° +90°，k ∈Z}
第二象限角
{α|k·360° +90° < α < k·360° +180°，k ∈Z}
第三象限角
{α|k·360° +180° < α < k·360° +270°，k ∈Z}
第四象限角
{α|k·360° +270° < α < k·360° +360°，k ∈Z}
(2) 轴线角的集合表示
角α 终边的位置
角α 的集合表示
在x 轴的非负半轴上
{α|α = k·360°，k ∈Z}
在x 轴的非正半轴上
{α|α = k·360° +180°，k ∈Z}
在y 轴的非负半轴上
{α|α = k·360° +90°，k ∈Z}
在y 轴的非正半轴上
{α|α = k·360° +270°，k ∈Z}
在x 轴上
{α|α = k·180°，k ∈Z}
在y 轴上
{α|α = k·180° +90°，k ∈Z}
在坐标轴上
{α|α = k·90°，k ∈Z}
1
(多选)下列命题中错误的是
(
)
A. 三角形的内角必是第一、二象限角
B. 始边相同而终边不同的角一定不相等
C. 第四象限角不一定是负角
D. 钝角比第三象限角小
2
(2024·湖北黄冈·期中)若角α 满足α = 2kπ
3
+ π
6 (k ∈Z)，则α 的终边一定在
(
)
A. 第一象限或第二象限或第三象限
B. 第一象限或第二象限或第四象限
C. 第一象限或第二象限或x 轴非正半轴上
D. 第一象限或第二象限或y 轴非正半轴上
２４８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
249
3
若α 是第二象限角，则
(
)
A. - α 是第一象限角
B. α
2 是第一或第三象限角
C. 3π
2 + α 是第二象限角
D. 2α 是第三象限角或2α 是第四象限角或2α 的终边在y 轴负半轴上
1
在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于π
2 的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；
③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角．其中假命题的个数是
(
)
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
2
25π
3
是
(
)
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
3
已知α 是锐角，那么2α 是()．
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 小于180° 的正角
D. 第一或第二象限角
4
已知α 是锐角，则
(
)
A. 180° + α 是第三象限角
B. 2α 是小于180° 的正角
C. 2α 是第一或第二象限角
D. α
2 是锐角
【题型
【题型5】区域角的表示
】区域角的表示
解答此类题目应先在0°~360° 上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果
集合能化简的还要化成最简．本题还要注意实线边界与虚线边界的差异．
1
已知集合α|k⋅360°+45°≤α≤k⋅360°+90°,k∈Z
，则图中表示角α 的终边所在区域正确的是
(
)
A.
B.
C.
D.
２４９
250
2
若角α 的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α 的取值范围是
(
)
A.
π
6 , π
3
B.
2π
3 , 7π
6
C.
2π
3 +kπ, 7π
6 +kπ
(k ∈Z)
D.
2kπ+ 2π
3 ,2kπ+ 7π
6
(k ∈Z)
1
集合α kπ+ π
4 ≤α≤kπ+ π
2 ,k∈Z
中的角所表示的范围(阴影部分) 是
(
)
A.
B.
C.
D.
2
集合α∣k⋅180°≤α≤k⋅180°+60°,k∈Z
中的角所表示的范围(阴影部分) 是
(
)
A.
B.
C.
D.
3
(2024·高一·广西钦州·月考) 集合{α|k·180° ≤α ≤k·180° +45° , k ∈Z} 中角表示的范围(用阴影表示)
是图中的
(
)
A.
B.
C.
D.
２５０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
251
4
(高一上·河北承德·期末) 已知角θ 的终边落在阴影区域内(不含边界)，角α 的终边和θ 相同，则角
α 的集合为
(
)
A.
α π
6 +2kπ<α< π
3 +2kπ,k∈Z
B.
α π
6 + kπ
2 <α< π
3 + kπ
2 ,k∈Z
C.
α π
6 +kπ<α< π
3 +kπ,k∈Z
D.
α π
6 + 3kπ
2
≤α≤π
3 + 3kπ
2
,k∈Z
5
如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合
(不包括边界)．
(1)
；
(2)
【题型
【题型6】关于某条线对称的
】关于某条线对称的2 个角的表示
个角的表示
①若角α 与角β 的终边关于x 轴对称，则α 与β 的数量关系为：α + β = 2kπ，k ∈Z；
②若角α 与角β 的终边关于y 轴对称，则α 与β 的数量关系为：α + β = (2k + 1)π，k ∈Z；
③若角α 与角β 的终边在一条直线上，则α 与β 的数量关系为：α = β + kπ，k ∈Z；
④若角α 与角β 的终边关于y = x 轴对称，则α 与β 的数量关系为：α + β = 2kπ + π
2
⑤若角α 与角β 的终边关于y = x 轴对称，则α 与β 的数量关系为：α + β = 2kπ - π
2
２５１
252
1
在平面直角坐标系中，若角α 与β 的终边关于y 轴对称，则角α 与β 之间的关系满足(
)．
A. α + β = π
B. α + β = 2kπ(k ∈Z)
C. α + β = kπ(k ∈Z)
D. α + β = 2k+1
π(k ∈Z)
2
α 的终边与π
6 的终边关于直线y = x 对称，则α 的取值集合为
．
1
若角α 和β 的终边关于直线x + y = 0 对称，且α =- π
6 ，则角β 的集合是
．
2
α 是一个任意角，则α 的终边与3π - α 的终边
(
)
A. 关于坐标原点对称
B. 关于x 轴对称
C. 关于y 轴对称
D. 关于直线y = x 对称
3
直角坐标系xOy 中，以原点O 为顶点，以x 轴正半轴为始边，那么，角π - α 的终边与α 的终边
关于
对称；角π
2 - α 的终边与α 的终边关于
对称．
【题型
【题型7】n 等分角的象限问题
等分角的象限问题
如何确定角α
n (n ∈N+) 终边所在象限
法1 分类讨论法：利用已知条件写出α 的范围(用k 表示)，由此确定α
n 的范围，在对k 进行分类讨论，
从而确定α
n 所在象限。
法2 几何法：先把各象限分为n 等份，再从x 轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上1、2、3、
4 ⋯⋯则α 原来是第几象限的角，标号为几的区域即角α
n 终边所在的区域。
1
(多选)如果2θ 是第四象限角，那么θ 可能是
(
)
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
2
已知α 是第三象限角，试确定2α 终边所在位置．
２５２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
253
3
已知角α 的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：
(1) α
2 ；
(2)2α；
(3) α
3 ；
(4)3α．
1
(高一上·湖北武汉·期末) 角α 是第二象限的角，则α
2 所在的象限为
(
)
A. 第一、三象限
B. 第二、三象限
C. 第一、四象限
D. 第三、四象限
2
(高一上·河南新乡·期末) “α 是第四象限角”是“ α
2 是第二或第四象限角”的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3
角α 的终边在第三象限，那么α
3 的终边不可能在的象限是第象限
A. 一
B. 二
C. 三
D. 四
4
已知α 终边在第四象限，则2α 终边所在的象限为
．
【题型
【题型8】扇形的弧长及面积公式
】扇形的弧长及面积公式
一、扇形弧长与面积的基本公式
已知扇形的半径为R，圆心角为θ
弧长公式：l = θ ⋅R
面积公式：S = 1
2 l ⋅R = 1
2 θR2
二、应用弧度制解决问题的方法
(1) 利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2) 求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3) 在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
２５３
254
1
已知扇形的圆心角是60°，半径为2，则扇形的面积为
(
)
A. 60
B. 120
C. π
3
D. 2π
3
2
如图中，⊙O 的半径为20，则阴影部分的面积为
．
3
(高一上·湖北·期末)以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，
三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形．如图，已知中间正三角形的边长为2，则该勒洛三
角形的面积与周长之比为
．
1
(高一上·浙江嘉兴·期末) 一个扇形的弧长和面积都是2π
3 ，则这个扇形的半径为
．
2
(2024·高一·江苏扬州·期中) 已知扇形的圆心角为2rad，弧长为2cm，则该扇形的面积为
cm2．
3
(2024·高一·天津·期末) 砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、
极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得图形，已知
OA = 0.1m，AD = 0.4m，∠AOB = 125°，则该扇环形砖雕的面积为
m2．
２５４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
255
4
(高一上·江苏盐城·期末) 古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为
扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为72cm，内弧线的长为18cm，连接外弧与
内弧的两端的线段均为18cm，则该扇形的中心角的弧度数为
．
【题型
【题型9】扇形中的最值问题
】扇形中的最值问题
扇形中的最值问题一般结合基本不等式和二次函数来进行求解
相关结论及其推导：设扇形周长C，面积S，圆心角θ，半径r
1、已知扇形周长C 为定值，面积取得最大值时圆心角θ 的大小为定值θ = 2
【证明】：C = (θ + 2)r，
s = 1
2 θr2= 1
2
C
r -2r2
= 1
2 Cr - r2
由二次函数的性质可知，当r = C
4 时也即θ = 2 时，面积取最大值．
2、已知扇形面积S 为定值，当周长C 取得最小值时，半径r =
S
【证明】lr = 2S，C = 2r + l = 2r + 2S
r
≥4 S，当且仅当2r = 2S
r
⇒r =
S 时取等
1
(高一上·湖北·月考)若一个扇形的面积为4π，则当半径为
时扇形的周长最小．
2
(高一上·湖北·月考)若一个扇形的面积为4π，则当半径为
时扇形的周长最小．
3
(高一上·江苏南京·期末) (多选) 已知扇形的半径为r，弧长为l．若其周长的数值为面积的数值
的2 倍，则下列说法正确的是
(
)
A. 该扇形面积的最小值为8
B. 当扇形周长最小时，其圆心角为2
C. r + 2l 的最小值为9
D.
1
r2 + 4
l2 的最小值为1
2
２５５
256
1
(高一上·浙江宁波·期末) 炎炎夏日，古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇
形加工制作而成．如图，扇形纸叠扇完全展开后，得到的扇形ABC 面积为100π2cm2，则当该纸
叠扇的周长最小时，AB 的长度为
cm．
2
立德中学拟建一个扇环形状的花坛(如图)，该扇环面由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后可
通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环的周长为30 米，其中大圆环所在圆的半径为10 米，
设计小圆环所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度)，当θ = 4
3 时，x =
米；现要给花坛
的边缘(实线部分) 进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4 元/ 米，弧线部分的装饰费用为9 元/
米，则花坛每平方米的装饰费用M 的最小值为
元M=
总费用
花坛总面积
．
3
(高一上·浙江·月考) 如图是杭州2023 年第19 届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中
国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图是会徽的几何图形．设弧AD 的长度是l1，弧BC 的长度
是l2，几何图形ABCD 面积为S1，扇形BOC 面积为S2，扇形AOD 周长为定值L，圆心角为α，
若l1
l2
= 3，则当S1取得最大值时，圆心角为α 的值为
(
)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4
若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r 为
(
)
A. 5 -
1
sin1
B.
5sin1
2+2sin1
C.
5sin1
1+sin1
D. 5 +
5
1+sin1
２５６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
257
专题5 - 2 三角函数的概念
一、三角函数的定义
1、定义：设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P x,y
，则：
y 叫做α 的正弦函数，记作sinα．即y = sinα；
x 叫做α 的余弦函数，记作cosα．即x = cosα；
y
x 叫做α 的正切函数，记作tanα．即y
x = sinα
cosα = tanα x≠0
。
2、三角函数定义域：正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：
正弦函数：y = sinx，x ∈R
余弦函数：y = cosx，x ∈R
正切函数：y = tanx，x ≠π
2 + kπ k∈Z
3、三角函数另一种定义：设点P x,y
(不与原点重合) 为角α 终边上任意一点，点P 与原点的距离为：
r =
x2+y2，则：sinα = y
r ，cosα = x
r ，tanα = y
x ．
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关
二、三角函数值的符号及公式一
1、三角函数值的符号
【注意】(1) 由三角函数的定义可知，角的三角函数值的符号由角的终边上任意一点的坐标确定的，准确
确定角的终边的位置是判断三角函数值符号的关键；
(2) 要熟记三角函数值在各象限的符号规律，可简记为：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
2、诱导公式一：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导
公式一
sin(α + 2kπ) = sinα
cos(α + 2kπ) = cosα
tan(α + 2kπ) = tanα 其中k ∈Z
【注意】(1) 利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0~2π(或0°~360°) 范围内角的三
２５７
258
角函数值．
(2) 上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π + α) = f(α) (k ∈Z)，或f(k·360° +α) = f(α) (k ∈Z)．
三、特殊角的三角函数值
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
3π
2
sinα
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
-1
cosα
1
3
2
2
2
1
2
0
- 1
2
-
2
2
-
3
2
-1
0
tanα
0
3
3
1
3
- 3
-1
-
3
3
0
【题型
【题型1】利用三角函数的定义求值
】利用三角函数的定义求值(3 种类型
种类型)
三角函数的定义求值中常见的三种题型及解决方法
1、已知角α 的终边上一点P 的坐标，求角α 的三角函数值
方法：先求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；
2、已知角α 的一个三角函数值和终边上的点P 的横坐标或纵坐标，求与角α 有关的三角函数值
方法：先求出点P 到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知
数，从而求解问题；
3、已知角α 的终边所在的直线方程(y = kx，k ≠0)，求角α 的三角函数值
方法：先设出终边上的一点P a,ka
a≠0
，求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解(注
意α 的符号，对α 分类讨论)，结论：tanα = k
1
若角θ 的终边经过点-2,3
，则sinθ =
(
)
A. - 3
13
13
B. - 2
13
13
C.
2
13
13
D.
3
13
13
2
已知P 1,m
是角θ 的终边上一点，tanθ =-2，则sinθ =
(
)
A. - 2 5
5
B. -
5
5
C.
5
5
D. 2 5
5
3
已知角α 的终边落在直线y = 2x 上，则sinα 的值为
(
)
A. 2 5
5
B.
5
5
C. - 2 5
5
D. ± 2 5
5
２５８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
259
1
如果角α 的终边过点P 2sin60°,-2cos60°
，则cosα =
(
)
A. - 1
2
B. 1
2
C. -
3
2
D.
3
2
2
若角α 的终边经过点P(-3 , 4)，则sinα + tanα 等于
(
)
A. - 8
15
B.
8
15
C. - 29
15
D. - 11
15
3
已知角θ 的顶点为原点，起始边为x 轴非负半轴，若点P 4,y
是角θ 终边上一点，且sinθ =
- 2 5
5
，则y =
(
)
A. 8
B. - 8
C. 6
D. - 6
4
已知角α 终边经过点P x,-6
，且cosα =- 5
13 ，则x 的值为
(
)
A. ± 2
5
B. ± 5
2
C. - 5
2
D. 5
2
5
已知角α 的终边经过点P(-4m , 3m) (m ≠0)，则2sinα + cosα 的值可能为
(
)
A. 3
5
B. - 3
5
C. 2
5
D. - 2
5
6
如果角α 的终边在直线y = 2x 上，则sinα+2cosα
3sinα-cosα =
(
)
A. - 4
5
B. 4
5
C. - 5
4
D. 5
4
【题型
【题型2】三角函数的符号与所在象限判断
】三角函数的符号与所在象限判断
简记：sinα ⇒y；cosα ⇒x；tanα ⇒y
x ．
２５９
260
1
已知sinθ < 0，tanθ < 0，则角θ 的终边位于
(
)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2
已知点P cosθ,-tanθ
是第三象限的点，则θ 的终边位于
(
)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
1
已知cosθtanθ < 0，sinθ
tanθ < 0，则角θ 的终边在
(
)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2
若sinα
tanα > 0，tanα
cosα > 0，则α 是
(
)
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
3
若α 是第二象限角，则
(
)
A. cos -α
> 0
B. tan α
2 > 0
C. sin π+α
> 0
D. cos π-α
< 0
4
(多选) 若sinx
sinx + cosx
cosx + tanx
tanx =-1，则x 可能在的象限是
(
)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【题型
【题型3】求任意角的三角函数值
】求任意角的三角函数值
求任意角三角函数值的步骤
(1) “负化正”：用公式一或三来转化．
(2) “大化小”：用公式一将角化为0° 到360° 间的角．
(3) “小化锐”：用公式二或四将大于90° 的角转化为锐角．
1
sin 17π
4
的值为
(
)
A. -
3
2
B.
3
2
C. -
2
2
D.
2
2
２６０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
261
1
sin -1380o
的值为
(
)
A. - 1
2
B. 1
2
C. -
3
2
D.
3
2
2 “θ = π
4 + 2kπ k∈Z
”是“sinθ =
2
2 ”成立的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【题型
【题型4】单位圆上的动点与旋转点
】单位圆上的动点与旋转点
考虑做垂线构造特殊直角三角形，通过三边之比求坐标
1
(2024·高一·安徽合肥·月考)已知平面直角坐标系xOy，点P 在半径为2 的圆O 上，现点P 从
圆O 与y 轴非负半轴的交点A 出发按顺时针方向运动了1
6 圆周，则此时点P 的纵坐标为
．
1
在直角坐标系xOy 中，若点P 从点3,0
出发，沿圆心在原点，半径为3 的圆按逆时针方向运动
11π
6
到达点Q，则点Q 的坐标为
(
)
A.
- 3 3
2
, 3
2
B.
- 3
2 , 3 3
2
C.
3 3
2
,- 3
2
D.
3
2 ,- 3 3
2
2
(2024·高一·湖南长沙·月考) 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P、Q 从点A 1,0
出发
在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π
12 弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转11π
12 弧度，
则P、Q 两点在第1804 次相遇时，点P 的坐标是
(
)
A.
1
2 ,-
3
2
B.
1
2 ,
3
2
C.
- 1
2 ,
3
2
D.
- 1
2 , - 3
2
２６１
262
3
在直角坐标系xOy 中，一个质点在半径为2 的圆O 上，以圆O 与x 正半轴的交点P0 为起点，沿
逆时针方向匀速运动到P 点，每5s 转一圈，则2s 后P0P 的长为
(
)
A. 2sin 4π
5
B. 2cos 4π
5
C. 4sin 2π
5
D. 4cos 2π
5
【题型
【题型5】对
】对sin
sinα，cos
cosα，tan
tanα 的知一求二问题
的知一求二问题
(1) 若已知sinα 或cosα，可以先应用公式sin2α + cos2α = 1，根据角终边所在的象限，判断三角函数的符
号，求得的值，再由公式tanα = sinα
cosα 求得tanα 的值．
(2) 若已知tanα = m，可以应用公式tanα = sinα
cosα = m ⇒sinα = mcosα，再代入sin2α + cos2α = 1，根据
角终边所在的象限，判断三角函数的符号。
1
计算：
(1) 已知α ∈π, 3π
2
，tanα = 2，求cosα 的值．(2) 已知cosα =- 8
17 ，求sinα，tanα 的值
1
设θ 为第二象限角，若tanθ =- 1
2 ，则sinθ + cosθ =
．
2
若tanα =- 3
4 ，0 < α < π，则sinα + cosα =
(
)
A. 1
5
B. 1
3
C. - 1
5
D. - 1
3
3
(1) 若α 是△ABC 的一个内角，且cosα =- 12
13 ，求sinα，tanα 的值；
(2) 若sinα = 8
17 ，求tanα 的值；
２６２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
263
【题型
【题型6】正、余弦齐次式的计算
】正、余弦齐次式的计算
解题思路
(1) 对只含有sinθ，cosθ 的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只
含有正切的式子，即化弦为切，整体代入．
(2) 对于形如asinθ+bcosθ
csinθ+dcosθ 或asinθ+bcosθ
csinθ+dcosθ 的分式，分子、分母同时除以cosθ，cos2θ，将正、余弦转
化为正切，从而求值．
(3) 对于形如Asin2θ + Bsinθcosθ + Ccos2θ 的式子，将其看成分母为1 的分式，再将分母1 变形为sin2θ
+ cos2θ，转化为形如Asin2θ+Bsinθcosθ+Ccos2θ
sin2θ+cos2θ
的式子求值．
1
已知tanα =- 1
3 ，则sinα+2cosα
5cosα-sinα 的值为
(
)
A. - 1
B. 1
C.
5
16
D. 5
4
2
(高一上·湖北·期末)已知tanθ = 3，则3cos2θ + 2sinθcosθ 的值为
．
3
已知sinα - cosα =
5
5 ，则tanα =
．
1
已知tanθ = 2，则sin2θ + sinθcosθ =
(
)
A. - 2
5
B. 2
5
C. - 6
5
D. 6
5
2
已知1-2sinαcosα
cos2α-sin2α = 1
3 ，则tanα =
(
)
A. 1
3
B. 1
2
C. 1
3 或1
D. 1
2 或1
3
(高一上·江苏无锡·期末) 已知tanα 是关于x 的方程2x2 + x - 1 = 0 的一个实根，且α 是第一象限
角，求3sin2α - sinαcosα + 2cos2α 的值；
２６３
264
4
已知tanα = 2，求：(1)sin4α - cos4α；(2) 3sinαcosα-2cos2α
1-2cos2α
．
5
已知sinα + cosα = 3cosαtanα，则cos2αtanα - 1 =
(
)
A. - 3
5
B. - 4
5
C. - 2
3
D. - 1
3
6
(2024·全国甲卷·高考真题) 已知
cosα
cosα-sinα =
3，则tan α+ π
4
=
(
)
A. 2 3 + 1
B. 2 3 - 1
C.
3
2
D. 1 -
3
7
已知sinθ+cosθ
sinθ-cosθ = 2，则sinθcosθ =
(
)
A. 6
5
B. 3
5
C.
3
10
D.
3
20
【题型
【题型7】sin
sinα ± cos
cosα、sin
sinαcos
cosα 关系应用
关系应用
对于sinα + cosα，sinα - cosα，sinαcosα 这三个式子，知一可求二：sinα±cosα
2 = 1 ± 2sinαcosα 但
是要特别注意角的象限决定正负号。
1
(高一上·山东青岛·期中)已知sinθ + cosθ = 4
3 ，θ ∈
π
4 , π
2
，则sinθ - cosθ =
(
)
A.
2
3
B. -
2
3
C. 1
3
D. - 1
3
2
(高一上·广东深圳·期末)已知sinθ，cosθ 是关于x 的方程5x2 - x + 5m = 0 的两根，则实数m
=
．
２６４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
265
3
(高一上·安徽亳州·期末)已知α，β ∈0, π
2
，3sinβ - cosα =
3，sinα + 3cosβ = 2，则α - β
=
．
4
(高一上·广东佛山·期末)已知sinθ，cosθ 是方程5x2- x + m = 0 的两个实数根．
(1) 求m 的值：(2) 若θ 为第二象限角，求sinθ - cosθ 的值．
1
(高一上·四川成都·期末) (多选) 已知θ ∈- π
2 , π
2
，sinθ + cosθ = 7
13 ，则下列结论正确的有
(
)
A. θ ∈- π
2 ,0
B. cosθ = 5
13
C. tanθ =- 5
12
D. cosθ - sinθ = 17
13
2
(高一上·广东汕头·期末) (多选) 已知α 为锐角，且cosα - sinα = 1
5 ，则下列选项中正确的有
(
)
A. α ∈
π
4 , π
2
B. tanα = 4
3
C. sinαcosα = 12
25
D. sinα + cosα = 7
5
3
(高一上·江苏常州·期末) 已知α 为第二象限角，且满足sinα + cosα =- 7
13 ，则tanα =
．
２６５
266
4
(高一上·浙江·期末) 若sinθ + cosθ =
10
5
0<θ<π
，则tanθ + 2sinθcosθ 的值为
(
)
A. - 33
10
B. - 18
5
C. - 9
5
D. 12
5
5
(高一上·广东深圳·月考) 已知sinθ，cosθ 是关于x 的方程x2 - ax + a = 0 的两个根a∈R
，则
tanθ +
1
tanθ =
．
6
(高一上·广东广州·期末) 已知- π
2 < x < 0，sinx + cosx = 1
5 ．
(1) 求sinx - cosx 的值；(2) 求
1
cos2x-sin2x 的值．
7
(高一上·江苏无锡·期末) 已知sinα + cosα = 1
2 ，且α ∈0,π
，求
1
sinα -
1
cosα 的值．
8
(高一上·湖北咸宁·月考) 已知关于x 的方程2x2-
3+1
x + m = 0 的两个根分别为sinθ 和cosθ，
且θ ∈(0 , 2π)．
(1) 求
sinθ
1-
1
tanθ
+
cosθ
1-tanθ 的值；(2) 求m 的值；(3) 求方程的两根及θ 的值．
【题型
【题型8】利用同角关系化简求值
】利用同角关系化简求值
1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α + cos2α = 1 求解
２６６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
267
2、知弦求切：常通过平方关系，与对称式sinα ± cosα，sinα ⋅cosα 建立联系，注意tanα = sinα
cosα 的灵
活应用
1
已知cosθ = 1
3 ，则tanθ+
1
tanθ
⋅sinθ 的值为
．
2
化简：1+sinα+cosα+2sinαcosα
1+sinα+cosα
．
3
已知sinθ = 1-a
1+a ，cosθ = 3a-1
1+a ，且θ 是第二象限角，则实数a 的值为
．
1
(高一上·江苏盐城·期末) 若sinα = m+1
m+2 ，cosα =
m
m+2 ，则tanα =
．
2
已知sinα + cosα = 3cosαtanα，则cos2αtanα =
(
)
A. - 3
5
B. 3
5
C. - 2
5
D. 2
5
3
(高一上·江苏南通·期末) 已知x ∈
π
2 ,π
．
(1) 化简：cosx 1+tan2x；(2) 若sinx + cosx = 1
5 ，求
1
tanx - tanx 的值．
２６７
268
4
(高一上·江苏苏州·期末) 在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ 的终边经过点P 3a,-4a
，其中a
≠0．
(1) 求cosθ 的值；(2) 若θ 为第二象限角，求cosθ
1+sinθ
1-sinθ + sinθ
1+cosθ
1-cosθ 的值．
【题型
【题型9】证明三角恒等式
】证明三角恒等式
解题思路：证明三角恒等式常用的方法
①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．
②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．
③比较法：即证左边- 右边= 0 或左边
右边= 1(右边≠0)．
④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
1
证明：1-2sinαcosα
cos2α-sin2α = 1-tanα
1+tanα ．
2
证明：1-sin6x-cos6x
1-sin4x-cos4x = 3
2 ．
1
求证：1-tan2θ
1+tan2θ = cos2θ - sin2θ．
2
已知x ≠kπ ± π
4 ，k ∈Z．求证：
sin2x
sinx-cosx - sinx+cosx
tan2x-1
= sinx + cosx．
２６８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
269
3
证明：tanα⋅sinα
tanα-sinα = tanα+sinα
tanα⋅sinα ．
２６９
270
专题5 - 3 诱导公式
诱导公式
公式
终边关系
图示
公式
公式一
终边相同的角的同一三角
函数的值相等．
sin(α+k⋅2π)=sinα
cos(α+k⋅2π)=cosα
tan(α+k⋅2π)=tanα
，k ∈Z
公式二
角π + α 与角α 的终边关
于原点对称
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
公式三
角-α 与角α 的终边关于
x 轴对称
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
公式四
角π - α 与角α 的终边关
于y 轴对称
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
公式五
sin π
2 -α
=cosα
cos π
2 -α
=sinα
公式六
sin π
2 +α
=cosα
cos π
2 +α
=-sinα
记忆口诀：可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：
①“偶”当k ⋅π
2 ± α(k ∈Z) 中k 取偶数时，如-π ± α，π ± α，±α，三角函数名不变，符号由原三角函
数角所在象限决定；
②“奇”当k ⋅π
2 ± α(k ∈Z) 中k 取奇数时，如± 3π
2 ± α，± π
2 ± α，三角函数名改变，符号由原三角函
数角所在象限决定；
【题型
【题型1】利用诱导公式求解给角求值
】利用诱导公式求解给角求值
解题思路：利用诱导公式公式求任意角三角函数值的步骤
(1) “负化正”：用公式一或三来转化．
(2) “大化小”：用公式一将角化为0° 到360° 间的角．
(3) “小化锐”：用公式二或四将大于90° 的角转化为锐角．
(4) “锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
２７０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
271
1
sin - 2022π
9
=
(
)
A.
3
2
B. -
3
2
C. 1
2
D. - 1
2
1
sin390° 的值为
(
)
A.
3
2
B.
2
2
C. 1
2
D. - 1
2
2
(2024·高一·江苏扬州·期中)sin - 17π
6
的值是
(
)
A.
3
2
B. - 1
2
C. -
3
2
D. 1
2
3
(2024·高一·安徽蚌埠·期末)sin - 7π
6
=
(
)
A. -
3
2
B. - 1
2
C. 1
2
D.
3
2
4
点P sin2022°-cos2022°,sin2022°cos2022°
位于
(
)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
5
化简：
1+2sin280°⋅cos440°
sin260°+cos800°
=
．
【题型
【题型2】利用诱导公式求解给值求值问题
】利用诱导公式求解给值求值问题
利用诱导公式变形时注意“符号看象限”是看变之前的函数对应的象限符号
1
已知α 为第四象限的角，且sin π
2 +α
= 4
5 ，则tanα =
(
)
A. - 3
4
B. 3
4
C. - 4
3
D. 4
3
2
已知sin π+α
= 3
5 ，且α 是第四象限角，那么cos α-π
的值是
(
)
A. 4
5
B. - 4
5
C. ± 4
5
D. 3
5
1
已知角α 的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，若角α 的终边与2π
3 角的终边相同，
则sin(π+α)-cos(2π-α)
sin
3π
2 +α
=
(
)
A.
3 + 1
B.
3 - 1
C. -
3 + 1
D. -
3 - 1
2
已知cos30° = a，则sin240°tan150° 的值为
(
)
A.
1+a2
B.
1-a2
C. -
1-a2
D. -
1+a2
２７１
272
3
已知α 为第二象限角，若sin 2023π
2
-α
= 1
4 ，则tanα =
(
)
A. -
15
B.
15
C. -
15
15
D.
15
15
【题型
【题型3】利用诱导公式化简与求值
】利用诱导公式化简与求值
基本步骤：先用诱导公式化简去括号，再进一步化简求值
1
化简
sin 5π
2 +α
cos π-α
=
(
)
A. tanα
B. - tanα
C. 1
D. - 1
2
化简下列各式：
(1) cos π+α
cos 3π-α
tan π+α
sin π+α
cos -α-π
；
(2)sin π+α
cos -α
+ sin 2π-α
cos π-α
+ sinαcos π+α
tan -π-α
．
1
= 化简求值：
(1) 已知cosθ = 4
5 ，且θ 为第四象限的角，求tanθ 的值．
(2) 已知tanα = 1
2 ，求
13cos -α
-2cos π
2 -α
cosα-3sinα
的值．
2
已知f α
=
sin π-α
cos 2π-α
cos -α+ 3π
2
cos π
2 -α
sin -π-α
．
(1) 化简f α
；(2) 若α 为第三象限角，且cos α- 3π
2
= 1
5 ，求f α
的值．
２７２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
273
【题型
【题型4】利用诱导公式证明恒等式
】利用诱导公式证明恒等式
利用诱导公式化简后再证明等式两边相等
1
求证：当k = 2 或3 时，
tan(kπ-α)tan(kπ+α)
cos(2kπ-α)sin[(2k+1)π+α] = sinα
cos3α ．
2
求证：
cos π-θ
cosθ sin 3π
2 -θ
-1
+
cos 2π-θ
cos π+θ
sin π
2 +θ
-sin 3π
2 +θ
=
2
sin2θ ．
1
已知角α 的终边在第三象限，cos 74°+α
= 3
5 ，证明：tan α-106°
=- 4
3 ．
2
(1) 求证：tan(2π-α)sin(-2π-α)cos(6π-α)
sin α+ 3π
2
cos α+ 3π
2
=-tanα；
(2) 设tan α+ 8π
7
= m，求证
sin 15π
7 +α
+3cos α- 13π
7
sin 20π
7 -α
-cos α+ 22π
7
= m+3
m+1 ．
２７３
274
3
若k ∈Z，求证：
sin(kπ-α)cos(kπ+α)
sin[(k+1)π+α]cos[(k+1)π-α] =-1．
【题型
【题型5】诱导公式在三角形中的应用
】诱导公式在三角形中的应用
因为三角形内角和为180°，所以提供了诱导公式变形的条件
A，B，C 为△ABC 的三个内角，则有
①sin A+B
= sin π-C
= sinC，
②cos A+B
= cos π-C
=-cosC，
③若C ≠π
2 ，则tan A+B
= tan π-C
=-tanC
④若△ABC 为锐角三角形，则任意角的正弦值大于其它2 个角的余弦值
1
(多选题)在△ABC 中，下列关系式恒成立的有
(
)
A. sin A+B
= sinC
B. cos A+B
2
= sin C
2
C. sin 2A+2B
+ sin2C = 0
D. cos 2A+2B
+ cos2C = 0
2
在锐角△ABC 中，证明：sinA > cosB．(注：函数y = sinx 在第一象限递增)
1
(高一·浙江·期中) 已知A，B，C 为△ABC 的三个内角，下列各式不成立的是
(
)
A. sinA = sin B+C
B. cosB =-cos A+C
C. sin A
2 = cos B+C
2
D. cos B
2 =-sin A+C
2
２７４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
275
2
(高一上·广东深圳·期末) 已知A，B，C 是△ABC 的三个内角，下列条件是“cosAcosBcosC <
0”的一个充分不必要条件的为
(
)
A. sin A+B
> 0
B. cos A+B
> 0
C. sin A-B
< 0
D. cos A-B
< 0
3
在△ABC 中，∠C 是钝角，设x = sinB，y = sinA + sinB，z = cosA + cosB，证明：x < y <
z．(注：函数y = sinx 在第一象限递增)
【题型
【题型6】利用隐藏的互余互补关系整体带入或换元求值
】利用隐藏的互余互补关系整体带入或换元求值(重点题型
重点题型)
(1) 诱导公式用于角的变换，凡遇到2 个角的和差为π
2 的整数时都可用诱导公式．
(2) 对其中一个括号中的式子换元
(3) 利用诱导公式变形，注意若题目给了象限范围则一般需要改变函数名
1
已知sin α+ π
3
= 4
5 ，则cos α- π
6
=
(
)
A. - 4
5
B. - 3
5
C. 4
5
D. 3
5
2
若sin π
6 -α
= 1
3 ，则cos π
3 +α
等于
(
)
A. -
2
3
B.
2
3
C. - 1
3
D. 1
3
3
若α 是第四象限角，且tan π
3 +α
=- 5
12 ，cos π
6 -α
=
．
２７５
276
1
已知sin 2π
3 +x
= 3
5 ，则cos 7π
6 +x
等于
．
2
已知α ∈0, π
2
，sin α- π
10
= 1
3 ，则cos α+ 2π
5
=
(
)
A. - 2 2
3
B. 2 2
3
C. - 1
3
D. 1
3
3
已知cos x+ π
6
= 1
4 ，则cos 5π
6 -x
+ cos2 π
3 -x
的值为
；
4
已知cos π
6 -θ
= 1
3 ，则cos 5π
6 +θ
+ 2sin 5π
3 -θ
的值为
5
已知sin π
3 -α
= 1
3 ，且α 是第三象限角，求sin 7π
6 +α
的值．
6
(高一上·浙江温州·期末) 已知sinα = 1
3 ，α ∈
π
2 ,π
，则cos α+ π
6
=
7
(高一上·江苏南京·期末) 已知sin x+ π
6
= 1
3 ，则sin2 π
3 -x
的值是
．
【题型
【题型7】诱导公式与同角三角函数的综合运用
】诱导公式与同角三角函数的综合运用
1
已知sin(α + π) = 4
5 ，且sinαcosα < 0，则2sin(π-α)-3tan(3π-α)
4cos(α-π)
=
．
２７６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
277
2
在单位圆中，锐角α 的终边与单位圆相交于点P
3
2 ,m
，将射线OP 绕点O 按逆时针方向旋转
θ 后与单位圆相交于点B．
(1) 求
2cos3α+sin2 α+ π
2
-2cos -α-π
2+2cos2 9π+α
+cos -α
的值；
(2) 记点B 的横坐标为f θ
，若f θ-π
= 1
3 ，且θ ∈0, π
2
，求cos θ- π
3
+ cos θ+ 7π
6
的值．
1
如图，以Ox 为始边作角α 与β 0<β< π
2 <α<π
，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，
已知点Q 的坐标为x,
5
5
．
(1) 求2sinβ+5cosβ
3sinβ-2cosβ 的值；(2) 若OP ⊥OQ，求P 的坐标．
2
已知f(α) =
sin(π-α)cos π
2 -α
cos(2π+α)sin(-π-α)
(1) 若角α 的终边过点P 3,4
，求f(α)；(2) 若f α
= 2，求4sin2α - 3sinαcosα 的值．
２７７
278
专题5 - 4 三角函数的图像与性质
函数
y = sin x
y = cos x
y = tan x
图象
单调性
[2kπ - π
2 ，2kπ + π
2 ] 递增
[2kπ + π
2 ，2kπ + 3π
2 ] 递减
[-π + 2kπ，2kπ] 递增
[2kπ，π + 2kπ] 递减
(kπ - π
2 ，kπ + π
2 ) 递增
对称中心
(kπ，0)
(kπ + π
2 ，0)
( kπ
2 ，0)
对称轴
x = kπ + π
2
x = kπ
周期
2π
2π
π
【题型
【题型1】五点作图法
】五点作图法
五点法作y = sinx，x ∈[0 , 2π] 的简图
在函数y = sinx，x ∈[0 , 2π] 的图象上，起关键作用的点有以下五个：
(0 , 0)，
π
2 ,1
，(π , 0)，
3π
2 ,-1
，(2π , 0)，如下表：
x
0
π
2
π
3π
2
2π
y = sinx
0
1
0
-1
0
描出这五个点后，函数y = sinx，x ∈[0 , 2π] 的图象形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不高时，
我们可以先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就得到函数的简图，这种作图
的方法称为五点法作图．
作y = Asin ωx+φ
+ B 的图像时也是先描出波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这
五点连接起来，就得到曲线在一个周期内的图象．
２７８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
279
1
已知函数f x
= 1
2 cos 2x+ π
3
，填写下表，并画出f(x) 在0,π
上的图象；
2x + π
3
π
3
7π
3
x
0
π
f(x)
2
已知函数f x
= 1
2 cos 2x+ π
3
，填写下表，并用“五点法”画出f x
在0,π
上的图象；
2x + π
3
π
3
7π
3
x
0
π
f x
２７９
280
1
已知函数f x
=-2cosx + 3．完成下面表格，并用“五点法”作函数f x
在[0，2π] 上的简图：
x
0
π
2
π
3π
2
2π
f x
2
已知函数f x
= 1
2 sin 2x+ π
6
，x ∈0,π
(1) 填写下表，并用“五点法”画出f x
的图象．
2x + π
6
π
6
13π
6
x
0
π
f x
(2) 若函数f(x) 满足不等式f x
≤
3
4 ，求x 的范围．
２８０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
281
【题型
【题型2】含绝对值的三角函数问题
】含绝对值的三角函数问题
分类讨论去绝对值
1
画出函数y = 1
2 sinx + 1
2 sinx
的简图．
2
当x ∈-2π,2π
时，作出下列函数的图象，把这些图象与y = sinx 的图象进行比较，你能发现图
象变换的什么规律？
(1)y =-sinx；(2)y = sinx
；(3)y = sin x
．
1
作出函数y = 2 sinx
+ sinx，x ∈-π,π
的大致图像．
2
(高一·江苏盐城·期末) 已知函数f x
= sinx + 2 sinx
，x ∈0,2π
．
(1) 作出函数f x
的图象；(2) 求方程f x
= 3 的解．
3
作函数y = sin x+ 3π
2
的图象．
２８１
282
【题型
【题型3】解三角函数不等式
】解三角函数不等式
用三角函数图象解三角不等式的方法
1、作出相应正弦函数或余弦函数在0,2π
上的图象；
2、写出适合不等式在区间0,2π
上的解集；
3、根据公式一写出不等式的解集．
1
(24-25 高二上·广东广州·期中)若0 ≤α < 2π，且2sinα ≤1，则α 的取值范围是
(
)
A. [0 , 2π)
B.
0, π
3
∪
5π
3 ,2π
C.
π
6 , 5π
6
D.
0, π
6
∪
5π
6 ,2π
2
(24-25 高一上·全国·课后作业)在0,2π
上，函数y =
2sinx-
2 的定义域是
(
)
A.
0, π
4
B.
π
4 , 3π
4
C.
π
4 , π
2
D.
3π
4 ,π
3
设0 ≤x ≤2π，使sinx ≥1
2 且cosx <
2
2
同时成立的x 取值范围是
(
)
A.
π
6 , 5π
6
B.
π
6 , 7π
4
C.
5π
6 , 7π
4
D.
π
4 , 5π
6
4
利用正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的集合：
(1)tanx ≥
3
3 ；(2)1 + tanx ≤0．
1
(高一上·全国·单元测试) 函数y =
2cos2x+1 的定义域是
(
)
A.
x 2kπ≤x≤2kπ+ π
2 ,k∈Z
B.
x kπ≤x≤kπ+ π
2 ,k∈Z
C.
x 2kπ≤x≤kπ+ π
2 ,k∈Z
D.
x kπ- π
3 ≤x≤kπ+ π
3 ,k∈Z
２８２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
283
2
(高一上·甘肃定西·期末) 函数y = lg cosx-
3
2
的定义域为
(
)
A.
x∣2kπ- π
6 <x<2kπ,k∈Z
B.
x∣2kπ- π
6 <x<2kπ+ π
6 ,k∈Z
C.
x∣2kπ<x<2kπ+ π
6 ,k∈Z
D.
x∣2kπ- π
3 <x<2kπ+ π
3 ,k∈Z
3
不等式sin 2x+ π
3
≥1
2 的解集为
．
4
在0,2π
内，求使sinx > cosx 成立的x 的取值范围．
5
求函数f x
=
2cos2x+sinx-1 的定义域．
【题型
【题型4】三角函数相关图像的识别
】三角函数相关图像的识别
结合三角函数的奇偶性与正负来识别图像
1
函数f x
= 10sinx
2x+2-x 的大致图像为
(
)
A.
B.
C.
D.
２８３
284
2
函数y = sinx + 1
x 的大致图象是
(
)
A.
B.
C.
D.
1
图中的曲线对应的函数解析式是(
)
A. y = sinx
B. y = sin x
C. y =-sin x
D. y =- sinx
2
函数y = xsinx cosx
在-π,π
上的图像大致是
(
)
A.
B.
C.
D.
２８４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
285
3
(2024·广东深圳·月考) 函数y = x+ 1
x
sinx x∈-π,0
∪0,π
的图像是
(
)
A.
B.
C.
D.
4
(2024·高一·重庆沙坪坝·期末) 已知函数f x
= x2sinx，则f x
在-π,π
上的大致图像是
(
)
A.
B.
C.
D.
【题型
【题型5】三角函数图像与其他函数交点个数问题
】三角函数图像与其他函数交点个数问题
图象法判断零点个数方法
将函数f x
拆成两个函数h x
和g x
的差，根据f x
= 0 ⇔h x
= g x
，则函数f x
的零点个数就是
函数y = h x
和y = g x
的图象的交点个数
1
方程log9x = sin2x 的实数解的个数为
个．
2
(多选题)) 函数f x
= sinx + 2 sinx
，x ∈0,2π
的图象与直线y = k 的交点个数可能是
(
)
A. 1
B. 2
C. 4
D. 6
２８５
286
1
y = sinx 与y = x
4 交点个数为
个．
2
方程lgx - sin2x
= 0 在0,3π
内实数根的个数为
(
)
A. 11
B. 10
C. 9
D. 8
3
方程lg x
= sin x+ π
3
的实数根的个数为
(
)
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【题型
【题型6】求单调区间
】求单调区间(3 种类型
种类型)
(1) 求形如y = Asin ωx+ϕ
(其中A ≠0，ω > 0) 的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，
列不等式的原则是：
①把“ωx + ϕ (ω > 0)”视为一个“整体”；
②A > 0(A < 0) 时，所列不等式的方向与y = sinx (x ∈R)，的单调区间对应的不等式方向相同(反)．
(2) 当ω < 0 时，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为y =-Asin(-ωx - φ) 的形式，然后求其单调递
增区间，应把-ωx - φ 放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把-ωx - φ 放在正弦函数的
递增区间之内．
热考题型1
整体法求单调区间
1
已知函数f x
= 3sin 2x- π
3
，求f x
的单调递减区间．
2
函数y = 1
3 tan 2x- π
6
+ 1
2 的单调递增区间为
(
)
A.
kπ- π
6 ,kπ+ π
3
k∈Z
B.
kπ+ π
6 ,kπ+ 5π
12
k∈Z
C.
kπ
2 - π
6 , kπ
2 + π
3
k∈Z
D.
kπ
2 + π
6 , kπ
2 + 5π
12
k∈Z
２８６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
287
热考题型2
括号内有符号的情况
3
已知函数f(x) = sin 2x- π
6
，若g(x) = f
π
6 -x
，求函数g(x) 的单调递增区间
热考题型3
复合函数且有定义域限制
4
函数f x
= ln sin 2x- π
6
的单调递增区间为
(
)
A.
π
12 +kπ, π
3 +kπ
k∈Z
B.
- π
6 +kπ, π
3 +kπ
k∈Z
C.
π
3 +kπ, 7π
12 +kπ
k∈Z
D.
π
3 +kπ, 5π
6 +kπ
k∈Z
1
函数y = 3cos x+ π
2
的单调递减区间为
(
)
A.
kπ,kπ+ π
2
，k ∈Z
B.
2kπ,2kπ+π
，k ∈Z
C.
2kπ- π
2 ,2kπ+ π
2
，k ∈Z
D.
kπ- π
2 ,kπ+ π
2
，k ∈Z
2
函数y = 2sin 2x+ π
6
，x ∈[-π , 0] 单调减区间为
3
函数y = tan -3x+ π
6
的单调区间是
(
)
A.
kπ- π
3 ,kπ+ π
3
(k ∈Z)
B.
kπ- π
9 ,kπ+ 2π
9
(k ∈Z)
C.
kπ
3 - π
9 , kπ
3 + 2π
9
(k ∈Z)
D.
kπ
3 - π
9 , kπ
3 + 2π
9
(k ∈Z)
２８７
288
4
函数y = sin π
6 -2x
，x ∈0,π
的增区间是
(
)
A.
0, π
3
B.
π
12 , 7π
12
C.
π
3 , 5π
6
D.
5π
6 ,π
5
函数y =-2sin -2x- π
6
，x ∈[-π , 0] 单调减区间为
6
求函数y = logπsin x+ π
3
的单调区间．
【题型
【题型7】求值域与最值
】求值域与最值
以下归纳求值域的几种方法，不过考虑到辅助角公式还没学，所以本专题暂时仅涉及前2 种
1、形如f(x) = Asin(ωx + φ) + b(A > 0，ω > 0) 求值域：令t = ωx + ϕ，先通过不等式性质求出t 的范
围，再求值域。
2、形如y = asin2x + bsinx + c 求值域：设t = sinx，化为二次函数y = at2 + bt + c 在闭区间t ∈[-1 , 1]
上的最值求解，也可以是y = acos2x + bsinx + c；
3、形如y = asinx + bcosx + c 求值域：引入辅助角φ，化为y =
a2+b2sin(x + φ) + c(注：tanφ = b
a )
4、形如y = asinxcosx + b(sinx ± cosx) + c，求值域：t = sinx ± cosx，则t2 = 1 ± 2sinxcosx，故
sinxcosx =± t2-1
2
，故原函数化为二次函数y = a ⋅± t2-1
2
+ bt + c 在闭区间[- 2，
2] 上的最值求
解．
热考题型1
y = Asin(ωx + φ) + B
1
已知函数f x
= cos 2x- π
6
，x ∈0, π
2
．则f x
的最大值为
．
热考题型2
二次函数型y = asin2x + bsinx + c
2
函数y = sin2x + 2cosx，x ∈0, π
2
值域是
．
２８８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
289
3
函数y =-tan2x + 4tanx - 1，x ∈- π
4 , π
4
的值域为
．
热考题型3
已知值域求参数
4
已知函数f x
=
2sin 1
2 x- π
4
，若f x
在区间0,m
上的取值范围是-1,
2
，求实数m 的
最大值．
热考题型4
嵌套函数值域问题
5
函数y = tan cosx
的值域是
(
)
A.
- π
4 , π
4
B.
-
2
2 ,
2
2
C.
-tan1,tan1
D.
-1,1
1
函数y = sin 2x+ π
3
0≤x≤π
2
的值域为
(
)
A. [0 , 1]
B.
- 1
2 ,1
C.
-
3
2 ,1
D.
-
3
2 ,
3
2
2
函数f x
= cos2x - 2sinx + 3 x∈0,π
的最大值为
．
3
函数y = 3 - sinx - 2cos2x 的值域为
．
２８９
290
4
函数f(x) = 2sin 2x+ π
3
，x ∈
π
24 , π
6
，函数f(x) 的值域为[m , 2]，则m =
．
5
关于x 的不等式sinx ≥cos2x + a 对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的最大值为
．
6
函数y = tan sinx
的值域是
(
)
A.
- π
4 , π
4
B.
-
2
2 ,
2
2
C. [-tan1 , tan1]
D. [-1 , 1]
7
已知函数
，x ∈0,a
的值域为
，则实数
的取值范围为(
)
A.
π
6 , π
2
B.
π
6 , 5π
6
C.
π
6 ,π
D.
【题型
【题型8】周期性，奇偶性与对称性问题
】周期性，奇偶性与对称性问题
1、求三角函数的周期的方法
(1) 定义法：使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x + T) = f(x)．利用定义我们可采用取值进行验
证的思路，非常适合选择题；
(2) 公式法：f(x) = Asin(ωx + ϕ) 最小正周期都是T = 2π
|ω| ，
(3) 图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能
够容易画出函数草图的函数；
(4) 使用周期公式，必须先将解析式化为y = Asin(ωx + ϕ) + h 的形式；正弦余弦函数的最小正周期是T
= 2π
ϖ
2、奇偶性
２９０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
291
(1) 定义法：首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函
数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求f(-x)；最后比较f(-x) 和f(x) 的关系，如果有f(-x)
= f(x)，则函数是偶函数，如果有f(-x) =-f(x)，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数．
(2) 如何判断函数f(ωx + φ) 的奇偶性：根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数f(ωx + φ) 的奇
偶性，常见的结论如下：
(1) 若y = Asin(ωx + φ) 为偶函数，则有φ = kπ + π
2 (k ∈Z)；若为奇函数则有φ = kπ(k ∈Z)；
(2) 若y = Acos(ωx + φ) 为偶函数，则有φ = kπ(k ∈Z)；若为奇函数则有φ = kπ + π
2 (k ∈Z)；
(3) 若y = Atan(ωx + φ) 为奇函数则有φ = kπ(k ∈Z)．
3、对称性问题
(1) 函数的对称性问题，往往先将函数化成y = Asin(ωx + ϕ) + B 的形式，其图象的对称轴是直线
，凡是该图象与直线
的交点都是该图象的对称中心，关键是记住三角函
数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心．
(2) 求y = Asin ωx+φ
函数的对称轴或对称中心时，应把ωx + φ 作为整体，代入相应的公式中，解出x
的值，最后写出结果．
1
(多选)对于函数f x
= 3cos 2x- π
6
，下列说法正确的是
(
)
A. 最小正周期为π
B. 其图象关于点
π
12 ,0
对称
C. 对称轴方程为x = kπ
2 + π
12 k∈Z
D. 单调增区间2kπ- 5π
12 ,2kπ+ π
12
k∈Z
2
已知函数f x
= tan 2x- π
4
，下列说法正确的有
(
)
①函数f x
最小正周期为π
2 ；
②定义域为x x∈R,x≠kπ
2 + π
8 ,k∈Z
③f x
图象的所有对称中心为
kπ
4 + π
8 ,0
，k ∈Z；
④函数f x
的单调递增区间为
kπ
2 - π
8 , kπ
2 + 3π
8
，k ∈Z．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
２９１
292
3
(多选)已知函数f x
= sin 2x+ 2π
3
，则
(
)
A. f x
的最小正周期为π
B. f x
的图象关于直线x = 7π
12 对称
C. f x+ π
3
是偶函数
D. f x
的单调递减区间为kπ- π
12 ,kπ+ 5π
12
k∈Z
1
(2025·全国一卷·高考真题) 若点(a , 0) (a > 0) 是函数y = 2tan x- π
3
的图像的一个对称中心，
则a 的最小值为
(
)
A. π
6
B. π
3
C. π
2
D. 4π
3
2
函数f x
= sin x+ π
4
+ 1 的图象的对称轴方程为
，对称中心为
．
3
已知直线x = π
12 是函数f x
= sin 2x+φ
φ
< π
2
图象的一条对称轴，则
(
)
A. φ =- π
6
B. f x
的图象关于点
5π
6 ,0
对称
C. f x
的图象关于直线x = 13π
12 对称
D. f x
在S = 4πR2= 12π 上单调递减
4
函数y = sin π
4 -2x
的最小正周期为
．
5
若y = x-1
2+ 2ax + sin 2x+ 3π
2
为偶函数，则a =
．
6
若f(n) = tan nπ
3 ，(n ∈N *)，则f(1) + f(2) +⋅⋅⋅+f(2025) =
(
)
A. -
3
B.
3
C. 0
D. - 2 3
２９２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
293
7
已知函数f(x) = sin(ωx + φ) ω>0,0<φ< π
2
，曲线y = f(x) 的一个对称中心为
π
12 ,0
，一条
对称轴为x = π
4 ，则ω 的最小值为
．
【题型
【题型9】利用三角函数性质比大小
】利用三角函数性质比大小
结合弧度制，判断选项中各角的范围，并且角的范围尽量小，并包含特殊角，进而利用函数的单调性比
较大小
1
若实数a，b，c 满足a = 2sin π
12 ，b3= 7，3c = 10，则
(
)
A. a < b < c
B. b < c < a
C. a < c < b
D. b < a < c
2
已知a = lg3，b = 2
1
10，c = sin40°，则
(
)
A. a < c < b
B. b < a < c
C. c < b < a
D. a < b < c
3
(深圳市南山区高一上期末)已知
，则
(
)
A. c > a > b
B.
C. c > b > a
D. a > c > b
1
设a = sin 1
2 ，b = log31.74，c = 22025，则
(
)
A. a > b > c
B. c > a > b
C. c > b > a
D. a > c > b
2
(多选) 下列各式正确的是
(
)
A. sin 1
5 > sin 1
2
B. cos 3π
5 < cos 6π
7
C. tan 7π
6 < tan 7π
5
D. sin π
5 > cos 3π
5
3
(高一上·江苏镇江·期末) 下列不等关系成立的是
(
)
A. tan1 > sin1 > cos1
B. sin2 > cos2 > tan2
C. tan3 > sin3 > cos3
D. tan4 > cos4 > sin4
２９３
294
【题型
【题型10
10】与零点有关的问题
】与零点有关的问题
热考题型1
由交点个数求参数范围
1
已知函数f x
= sinx + 2 sinx
，x ∈0,2π
的图象与直线y = k 有且仅有两个不同的交点，则实
数k 的取值范围是
．
热考题型2
关于零点的运算求值
2
函数g(x) = 2sin 2x+ π
6
- 3
2 在区间0, π
2
上恰有2 个零点x1，x2(x1 < x2)，求cos x1-x2
的
值．
1
已知函数y = sin 2x- π
6
- m 在0, π
2
上有两个零点，则m 的取值范围为
．
2
(高一上·湖北·期末) 已知函数f x
= sin ωx+ π
3
ω>0
，若f x
在0, 2π
3
上有两个零点，则ω
的取值范围是
(
)
A.
5
2 ,+∞
B.
5
2 , 11
2
C.
5
2 ,4
D.
5
2 ,3
3
(高二上·浙江杭州·月考) 设ω > 0，若函数f x
= cos ωx
在0, π
2
上有且仅有2 个零点，则ω 的
取值范围是
．
4
若函数y = 2sinx - 1 - a 在
π
3 ,π
上有两个零点，则实数a 的取值范围是
．
5
(高二上·河北衡水·月考) 已知函数f x
= 2sin 2x+ π
6
，令g x
= f x
- 3
2 在区间0, π
2
上恰
有2 个零点x1，x2 x1<x2
，则x1+ x2=
，cos x1-x2
=
．
２９４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
295
【题型
【题型11
11】三角函数对称性的综合应用
】三角函数对称性的综合应用
热考题型1
由解析式得出对称中心
1
已知函数f x
= ax5+ bsinx - c，若f -8
+ f 8
= 2，则c =
(
)
A. - 1
B. 0
C. 1
D. 2
3
热考题型2
由称性求交点横(纵) 坐标值的和
2
(高一上·山东青岛·期末)当x ∈(0 , 2π) 时，函数f(x) = sinx 与g(x) = |cosx| 的图象所有交点横
坐标之和为
(
)
A. π
B. 2π
C. 3π
D. 4π
热考题型3
称性的综合运算
3
若函数f(x) = 2sin ωx+ π
3
+ m(0 < ω < 5) 满足f x+ π
3
+ f
π
3 -x
= 2，则ω + m 的值为
(
)
A. 1
B. 3
C. 4
D. 5
1
已知函数f x
= sinx + x3+ 1
x + 3，若f a
= 1，则f -a
=
．
2
函数f x
= ln x-2
x+2 + mtanx + 3，且f t
= 6，则f -t
的值为
．
3
已知函数f(x) = |sinx|，x ∈[-2π , 2π]，则方程f(x) = 1
2 的所有根的和等于
．
２９５
296
4
已知函数f(x) = sin ωx+φ
(ω > 0 , 0 < φ < π) 的图象关于点
2π
3 ,0
对称，且f 0
=
3
2 ，则ω
的最小值为
．
5
已知函数f x
= sin ωx+φ
- π
2 <φ< π
2
在
3π
8 , 7π
8
内单调递减，x = 3π
8 是函数f x
的一
条对称轴，且函数y = f x+ π
8
为奇函数，则f 7π
24
=
(
)
A. -
3
2
B.
3
2
C. - 1
2
D. 1
2
6
已知函数f x
= ln x-1
3-x + ax + 2a + bsin x-2
，则f x
图象有如下性质
(
)
A. 关于点2,2b
中心对称
B. 关于直线x = b 轴对称
C. 关于点2,4a
中心对称
D. 关于点2,2a
中心对称
7
己知函数f(x) =
4
ex+1 + sinx，则
f(-2025) + f(-2024) +⋯+f(-1) + f(0) + f(1) +⋯⋯f(2025) =
．
8
已知f x
= sin ωx+φ
ω>0, φ
< π
2
在
π
6 , 5π
12
上是单调函数，函数f x
的图象关于点
π
6 ,0
中心对称，且对任意的x ∈R，都有f x
≤f 5π
12
．
(1) 求f x
解析式；
(2) 若函数g x
= f x
- m m∈R
在x ∈0, π
2
上有两个零点x1，x2，求f x1+x2
的值．
２９６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
297
【题型
【题型12
12】求
】求ω 范围问题初步
范围问题初步
解题策略：数形结合求出区间终点在图像上对应的位置
热考题型1
由零点个数求ω 的范围
1
(高一上·广东·期末)已知函数f(x) = 2cos 2ωx+ π
3
(ω > 0) 在[0 , π] 上有且仅有2 个零点，则ω
的取值范围为
．
热考题型2
由值域求ω 的范围
2
若函数f x
= 2sin ωx- π
3
，ω>0
，x ∈0, π
2
的值域为- 3,2
，则ω 的取值范围是
(
)
A.
5
3 ,4
B.
5
6 , 10
3
C.
5
6 , 5
3
D.
5
3 , 10
3
热考题型3
由对称轴(中心) 个数求ω 的范围
3
已知函数f x
= sin ωx+ π
6
ω>0
的图象在0,π
上有且仅有两条对称轴，则ω 的取值范围为
A.
1, 3
2
B.
4
3 , 3
2
C.
4
3 , 7
3
D.
1, 7
3
热考题型4
在某区间上单调增(减) 求ω 的范围
4
已知函数f (x) = 2sin(ωx + φ) (ω > 0，φ ∈(0 , 2π)) 在区间
π
3 , 5π
6
上单调递减，f
π
3
=
-f 5π
6
= 1，则φ =
(
)
A. π
3
B. 4π
9
C. 11π
18
D. 7π
9
２９７
298
1
(2025·北京·高考真题) 设函数f x
= sinωx + cosωx(ω > 0)，若f(x + π) = f(x) 恒成立，且f(x) 在
0, π
4
上存在零点，则ω 的最小值为
(
)
A. 8
B. 6
C. 4
D. 3
2
已知函数f x
= cosωx - 1(ω > 0) 在区间0,2π
有且仅有3 个零点，则ω 的取值范围是
．
3
(2025·天津·高考真题)f(x) = sin(ωx + φ) (ω > 0 ,-π < φ < π)，在- 5π
12 , π
12
上单调递增，且x =
π
12 为它的一条对称轴，
π
3 ,0
是它的一个对称中心，当x ∈0, π
2
时，f(x) 的最小值为(
)
A. -
3
2
B. - 1
2
C. 1
D. 0
4
已知函数f x
= Asinωx A>0,ω>0
，若至少存在两个不相等的实数x1，x2 ∈π,2π
，使得
f x1
+ f x2
= 2A，则实数ω 的取值范围是
．
5
(高二上·云南大理·期中) 已知函数f x
=
2sin ωx+ π
4
(ω > 0)，若f x
在0,π
上有且仅有2
个零点，则ω 的取值范围为
(
)
A.
7
4 , 9
4
B.
7
4 , 11
4
C.
7
4 , 9
4
D.
7
4 , 11
4
6
设函数f(x) = sin ωx+ π
3
在区间(0 , π) 恰有三个对称轴、两个零点，则ω 的取值范围是
(
)
A.
5
3 , 13
6
B.
5
3 , 19
6
C.
13
6 , 8
3
D.
13
6 , 19
6
7
函数f x
= sin ωx+ π
3
(ω > 0) 的图象在区间0,1
上恰有一条对称轴和一个对称中心，则ω 的
取值范围为
(
)
A.
2
3 π, 7
6 π
B.
2
3 π, 7
6 π
C.
2
3 π, 7
6 π
D.
2
3 π, 7
6 π
２９８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
299
8
定义在0,π
上的函数y = sin ωx- π
6
(ω > 0) 有零点，且值域M ⊆- 1
2 ,1
，则ω 的取值范围是
．
9
已知f x
= sin ωx+φ
(ω > 0，φ 为常数)，若f x
在S = 4πR2 = 12π 上单调，且f
π
6
= f 7π
18
=-f
π
18
，则f x
的最小正周期是
(
)
A. π
2
B. 2π
3
C. 3π
4
D. 2π
【题型
【题型13
13】三角函数性质综合
】三角函数性质综合
1
(高一上·甘肃白银·期末) (多选) 已知函数f x
= sinx + 2 sinx
，x ∈0,2π
，则下列说法不正
确的有
(
)
A. 若f x
= 3
2 ，则x = π
6
B. 若x = π
6 ，则f x
= 3
2
C. 函数f x
的单调递增区间为0, π
2
D. 若方程f x
= m 有三个不同的解，则m = 1 或m = 0
2
设函数f x
= sin ωx- π
6
ω>0
，则下列说法正确的是
(
)
A. 若f x
的最小正周期为π，则ω = 2
B. 若ω = 1，则f x
的图象关于点
2π
3 ,0
对称
C. 若f x
在区间0, π
2
上单调递增，则0 < ω < 4
3
D. 若f x
在区间0,2π
上恰有2 个零点，则7
12 ≤ω < 13
12
1
已知函数f x
= sinx -
1
sinx ，则
(
)
A. y = f x
的图象关于原点对称
B. f x
的最小正周期为π
C. y = f x
的图象关于直线x = π
2 对称
D. f x
的值域为R
2
(高一上·山西运城·期末) (多选) 已知函数f x
= sinx
+ cosx，则
(
)
A. 2π 为函数f x
的一个周期
B. 对于任意的x ∈R，函数f x
都满足f π+x
= f π-x
C. 函数f x
在0,π
上单调递减
D. f x
的值域为-1,
2
２９９
300
3
已知函数f x
= cosx ⋅sinx
，则下列结论中正确的个数是
(
)
①f x
是周期为π 的周期函数
②- π
4 , π
4
是函数f x
的一个单调递增区间
③若f x1
f x2
=- 1
4 ，x1≠x2，则x1-x2
的最小值为π
2
④f x
的对称中心为
π
2 +kπ,0
，k ∈Z
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
4
(多选题) 已知函数f x
= tan ωx- π
6
(ω > 0)，则下列说法正确的是
(
)
A. 若f x
的最小正周期是2π，则ω = 1
2
B. 当ω = 1 时，f x
的对称中心的坐标为kπ+ π
6 ，0
k∈Z
C. 当ω = 2 时，f - π
12
> f 2π
5
D. 若f x
在区间
π
3 ，π
上单调递增，则0 < ω ≤2
3
5
(多选题) 函数f(x) = 2sin ωx- 3π
4
(ω ∈N *) 在
π
6 , π
2
上单调递增，下列命题正确的是
(
)
A. f(x) 在区间- 3π
8 ,0
上单调递减
B. f(x) 的图象有一个对称中心为
7π
8 ,0
C. x =- π
8 是f(x) 图象的一条对称轴
D. f(x) 在0, π
4
上的值域为[-2，- 2]
３００
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
301
专题5 - 5 三角恒等变换及其应用
【题型
【题型1】和差公式及其逆用
】和差公式及其逆用
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1、两角和与差的正弦：
S α+β
：sin α+β
= sinαcosβ + cosαsinβ
S α-β
：sin α-β
= sinαcosβ - cosαsinβ
2、两角和与差的余弦：
C α+β
：cos α+β
= cosαcosβ - sinαsinβ
C α-β
：cos α-β
= cosαcosβ + sinαsinβ
3、两角和与差的正切：
T α+β
：tan α+β
= tanα+tanβ
1-tanαtanβ ．
T α-β
：tan α-β
= tanα-tanβ
1+tanαtanβ ．
要注意的是：
一、tanx±1
1∓tanx = tan(x ± 45°)
二、cosx-sinx
sinx+cosx = 1-tanx
1+tanx = tan(45° -x)
1
已知a = cos72°cos12° -sin108°cos102°，则a 的值为
(
)
A. 1
2
B. - 1
2
C.
3
2
D. -
3
2
2
1-tan100°
1-tan35°
的值为
(
)
A. - 1
B. 0
C. 1
D. 2
3
tan125° +tan35° =
(
)
A. - tan20°
B. - 2tan20°
C. - tan10°
D. - 2tan10°
３０１
302
1
sin20°cos10° -cos160°sin10° =
(
)
A. 1
2
B. - 1
2
C.
3
2
D. -
3
2
2
已知sinθ =-
3
2 ，θ ∈- π
2 ,0
，则sin θ- π
6
等于
(
)
A. 1
2
B. - 2
3
C. - 1
2
D. - 1
3
(2024·新课标Ⅰ卷·高考真题) 已知cos(α + β) = m , tanαtanβ = 2，则cos(α - β) =
(
)
A. - 3m
B. - m
3
C. m
3
D. 3m
4
已知α 为第二象限角，且终边与单位圆的交点的横坐标为- 4
5 ，则cos α- 5π
4
=
(
)
A. - 7 2
10
B. 7 2
10
C. -
2
10
D.
2
10
5
tan200° +tan40° + 3tan -160°
tan40° =
(
)
A.
3
B. -
3
C. 1
D. - 1
6
若α + β = 3π
4 ，则(1 - tanα) (1 - tanβ) 的值为
(
)
A. 1
2
B. 1
C. 3
2
D. 2
7
(2024·新课标Ⅱ卷·高考真题) 已知α 为第一象限角，β 为第三象限角，tanα + tanβ = 4，
tanαtanβ =
2 + 1，则sin(α + β) =
.
8
cos π
3 +θ
sin π
6 -θ
+ cos π
6 -θ
sin π
3 +θ
的值等于
(
)
A.
3
2
B. 1
C. 0
D. 1
2
【题型
【题型2】二倍角公式的简单应用
】二倍角公式的简单应用
二倍角公式
①sin2α = 2sinαcosα；②cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α；③tan2α =
2tanα
1-tan2α ；
３０２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
303
1
已知角α 的终边过点1,-2
，则tan2α =
(
)
A. - 11
2
B. 4
3
C.
2
11
D. 11
2
2
已知sinα = 2 2
3
，则cos2α 的值为
(
)
A. 1
9
B. 7
9
C. - 1
9
D. - 7
9
1
已知cosθ =- 3
5 ，θ ∈0,π
，则tan2θ =
(
)
A. 24
7
B. 4
3
C. - 24
7
D. - 4
3
2
已知cos α- π
6
= 1
4 ，则cos 2α- π
3
=
(
)
A. 7
8
B. - 7
8
C. 3
4
D. - 1
2
3
已知角α 的终边过点-3,4
，则sin2α =
(
)
A. - 24
25
B. 24
25
C. - 7
24
D.
7
24
【题型
【题型3】二倍角公式与诱导公式结合
】二倍角公式与诱导公式结合(换元与凑角
换元与凑角)
若题目中出现了角的和差结构比如sin α±β
= t 这类条件，一般不拆括号，先尝试换元进行配凑，若能
凑出π
2 则用诱导公式，否则就用和差公式
1
若cos α+ π
6
= 3
5 ，则sin 2α+ 5π
6
=
(
)
A. - 7
25
B. - 12
25
C.
7
25
D. 12
25
2
已知sin x+ π
6
=- 1
3 ，则cos 2π
3 -2x
=
(
)
A. - 7
9
B. - 2
9
C. 2
9
D. 7
9
3
已知tan α+ π
6
= 1
2 ，tan
π
12 +β
= 1
3 ，则tan α-2β
=
３０３
304
1
已知sin
π
12 -x
=
3
4 ，则sin 2x+ π
3
=
(
)
A. - 5
8
B. 5
8
C. -
13
4
D.
13
4
2
已知cos 5π
12 + α
2
=
5
5 ，则cos π
6 -α
的值为
(
)
A. 1
3
B. - 1
3
C. 3
5
D. - 3
5
3
已知cos α+ π
6
= 1
3 ，则sin 2α- π
6
=
。
4
已知α，β ∈0,π
，tan α+ π
3
=
2
2 ，cos β+ π
6
=
6
3 ，则cos 2α-β
=
(
)
A. - 5 3
9
B. -
3
3
C. 5 3
9
D.
3
3
【题型
【题型4】二倍角与齐次式化简
】二倍角与齐次式化简
【二倍角公式变形】
完全平方式：1 ± sin2a = (sina ± cosa)2
平方差公式：cos2a = (cosa + sina) (cosa - sina)
对于二次结构：Asin2x + Bcos2x + Csinxcosx 可以通过出除“1”来化为齐次式
1
(2021·全国·统考高考真题)若tanθ =-2，则sinθ 1+sin2θ
sinθ+cosθ
=
(
)
A. - 6
5
B. - 2
5
C. 2
5
D. 6
5
2
已知角θ 的大小如图所示，则1+sin2θ
cos2θ
=
(
)
A. - 5
3
B. 5
3
C. - 4
D. 4
３０４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
305
1
(2021·全国·统考高考真题) 若α ∈0, π
2
，tan2α =
cosα
2-sinα ，则tanα =
(
)
A.
15
15
B.
5
5
C.
5
3
D.
15
3
2
若θ ∈0, π
2
，
sinθ
2cos2θ = sinθ-cosθ
1-sin2θ
，则tanθ =
．
3
已知sinθ =-2cosθ，则sinθ(1+sin2θ)
sinθ+cosθ
=
(
)
A. - 6
5
B. - 2
5
C. 2
5
D. 6
5
4
我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全
等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，记直角三角形中较大的锐角为α，大正方形的
边长为a，小正方形的边长为b，若sinα 1-sin2α
sinα-cosα
= 2
5 ，则b
a =
(
)
A.
5
5
B. 2 5
5
C. 1
2
D. 2
3
【题型
【题型5】给值求值
】给值求值(角) 问题
问题(不拆括号
不拆括号)
给角求值与给值求值拆凑角常见的配角技巧：①α = 2 ⋅α
2 ；α = (α + β) - β；②α = β - (β - α)；
③α = 1
2 [(α + β) + (α - β)]；④β = 1
2 [(α + β) - (α - β)]；⑤π
4 + α = π
2 -
π
4 -α
．⑥2α = α+β
+
α-β
，α = α+β
- β
1
已知sin π
3 -x
= 1
3 ，且0 < x < π
2 ，则sinx =
2
已知α，β 均是锐角，已知sinα = 4
5 ，cos(α + β) = 5
13 ，则sinβ =
(
)
A. - 56
65
B. 56
65
C. - 16
65
D. 16
65
３０５
306
3
已知cos(α - β) = 1
3 ，sinαsinβ =- 1
12 ，则cos2α - sin2β =
1
已知角α，β 均在0,π
内，cosα = 1
7 ，sin α+β
= 5 3
14 ，则角β 的值为
(
)
A. π
6
B. π
4
C. π
3
D. 5π
12
2
设α 为锐角，若cos α+ π
12
= 3
5 ，则sin
π
4 -α
=
(
)
A. 3 3+4
10
B. 3-4 3
10
C. 3 3-4
10
D. 3+4 3
10
3
已知π
4 < α < 3π
4 ，0 < β < π
4 ，sin α- π
4
= 2 2
3
，cos α+β
=- 3
5 ．
(1) 求sin α+ 5π
4
的值；(2) 求cos β+ π
4
的值．
4
若cos(α + β) =- 11
14 ，cosαcosβ = 1
14 ，则cos(2α - 2β) =
(
)
A. 6
7
B. 13
14
C. 71
98
D. - 7
9
【题型
【题型6】辅助角公式及其应用
】辅助角公式及其应用
一、对于形如asinx + bcosx 的式子，可变形如下：
asinx + bcosx =
a2+b2 sinx⋅
a
a2+b2 +cosx⋅
b
a2+b2
令cosϕ =
a
a2+b2 ，sinϕ =
b
a2+b2 ，
则asinx + bcosx =
a2+b2 sinxcosϕ+cosxsinϕ
=
a2+b2sin(x + ϕ)
３０６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
307
其中ϕ 角所在象限由a，b 的符号确定，φ 与a,b
在同一象限，ϕ 角的值由tanϕ = b
a 确定
二、辅助角公式的应用：研究三角函数的性质时往往需要先通过辅助角公式把解析式化成Asin ωx+φ
的形式
1
当x ∈- π
2 , π
2
时，函数f x
= sinx +
3cosx 的
(
)
A. 最大值为1，最小值为-1
B. 最大值为1，最小值为- 1
2
C. 最大值为2，最小值为-2
D. 最大值为2，最小值为-1
2
已知函数f x
=-4sinx + 3cosx 在x0处取到最大值，则sin x0- π
3
的值为
(
)
A. - 2
5 - 3 3
10
B. 2
5 - 3 3
10
C. - 2
5 + 3 3
10
D. 2
5 + 3 3
10
3
函数f x
=
3sin2x - 2cos2x 在区间0, π
2
上的最大值为
(
)
A. 1
2
B.
3 - 1
C. 1
D.
3
1
当函数y = sinx -
3cosx(0 ≤x < 2π) 取得最大值时，x =
．
2
已知cosα +
3sinα = 8
5 ，则cos α- π
3
=
．
3
若α ∈0,π
，且
3cosα - sinα = 8
5 ，则sin 2α+ π
12
的值为
(
)
A. - 31 2
50
B. 31 2
50
C. - 17 2
50
D. 17 2
50
4
(高一上·湖北孝感·期末) 已知函数f x
= 2cosxsin x- π
3
+
3
2 ，求函数f(x) 在区间0, π
2
上
的单增区间为
．
３０７
308
5
若1+2 3sinθcosθ+cos2θ
sin θ+ 3π
2
= 1
2 ，则sin 2θ- π
6
=
．
6
化简：
3
cos10° -
1
sin10°
⋅
cos15°+sin15°
cos15°-sin15°
．
7
已知函数f x
= 2 3 sinωxcosωx + 2cos2ωx 的定义域为0, π
2
，在定义域内存在唯一x0，使得
f(x0) = 3，则ω 的取值范围为
(
)
A.
1
6 , 13
6
B.
1
6 , 13
6
C.
1
3 , 7
3
D.
1
3 , 7
3
【题型
【题型7】和差公式与二倍角公式结合
】和差公式与二倍角公式结合
sin α+β
与sin α-β
相加减可以得到sinαcosβ 与cosαsinβ 有关的式子
所以以上4 个式子知二求二，而二倍角公式则可以通过配凑得出2α = α+β
+ α-β
，2β = α+β
-
α-β
1
(2025·全国二卷·高考真题) 已知0 < α < π，cos α
2 =
5
5 ，则sin α- π
4
=
(
)
A.
2
10
B.
2
5
C. 3 2
10
D. 7 2
10
2
(2023·新高考I 卷T8)已知sin α-β
= 1
3 ，cosαsinβ = 1
6 ，则cos 2α+2β
= ()．
A. 7
9
B. 1
9
C. - 1
9
D. - 7
9
3
已知α，β 均为锐角，tanα + tanβ = 2sin α+β
，且cos α+β
= 1
3 ，则cos2 α-β
=
．
1
(2024 届·广东佛山·高三统考) 已知tan α+β
= 2 tanα+tanβ
，且tanα + tanβ ≠0，cos α-β
= 3
5 ，则cos 2α+2β
=
(
)
A. - 7
25
B.
7
25
C. - 23
25
D. 23
25
３０８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
309
2
已知α，β ∈- π
4 , π
4
，cos 2α+2β
=- 7
9 ，sinαsinβ = 1
4 ，则cos α-β
=
(
)
A. - 1
6
B. 1
6
C. 1
3
D. 5
6
3
若tan 2α- π
3
= sinβ-cosβ
sinβ+cosβ ，则1 - 2cos2 2α-β
=
(
)
A. 1
2
B. - 1
2
C.
3
2
D. -
3
2
4
(重庆巴蜀中学适应性月考) (多选) 已知0 < α < π < β < 3
2 π，cos2α =- 3
5 ，cos(α + β) =-
2
10 ，
则
(
)
A. tanα =-2
B. sin(α + β) =- 7 2
10
C. β - α = 3π
4
D. cosαcosβ =-
2
5
【题型
【题型8】三角形中的恒等变换
】三角形中的恒等变换
因为三角形内角和为180°，所以提供了诱导公式变形的条件
A，B，C 为△ABC 的三个内角，则有
①sinAcosB + cosAsinB = sin A+B
= sin π-C
= sinC =，
②cos A+B
= cos π-C
=-cosC，
③若C ≠π
2 ，则tan A+B
= tan π-C
=-tanC
④正切恒等式tanAtanBtanC = tanA + tanB + tanC
由③可知：：tanA+tanB
1-tanAtanB =-tanC，
去分母得tanA + tanB =-tanC + tanAtanBtanC
移项得tanAtanBtanC = tanA + tanB + tanC
⑤在△ABC，sinA > sinB 与A > B 是等价的，结合图像可以得出这个结论
３０９
310
1
在△ABC 中，下列等式错误的是
(
)
A. sin2B - sin2A = sinB+sinA
sinB-sinA
B. sin2B - sin2A = sin B+A
sin B-A
C. tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC
D. sin A
2 = sin B+C
2
2
在△ABC 中，若sinAsinB = 1
2
1+cosC
，则△ABC 是
(
)
A. 等边三角形
B. 等腰直角三角形
C. 等腰三角形
D. 直角三角形
1
若在△ABC 中，sinBsinC = cos2 A
2 ，则△ABC 的形状为
(
)
A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰直角三角形
2
(高一上·湖北武汉·期末) 在△ABC 中，A，B，C 为它的三个内角，且满足3sinA + 4cosB = 6，
3cosA + 4sinB = 1，则C =
．
3
在△ABC 中，∠ACB = 2π
3 ，AB 边上的高CD = 1，AD = x，DB = y，则x + y 的最小值为
．
4
已知△ABC 为斜三角形．
(1) 证明：tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC；
(2) 若△ABC 为锐角三角形，sinC = 2sinAsinB，求tanA + tanB + tanC 的最小值．
【题型
【题型9】给式子求角
】给式子求角(值) 问题
问题
解题策略：
1、若题目中出现了角的和差结构比如sin α±β
，一般不拆括号，先尝试进行配凑
2、对于sin α+ π
3
= sin β- π
4
这类式子，若α + π
3 和β - π
4 在同一象限，则有α + π
3 = β - π
4 +
2kπ；
３１０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
311
若α + π
3 和β - π
4 不在同一象限，要再进行讨论，当它们分别在一，二象限时，则有α + π
3 + β - π
4 =
2kπ + π，
若是在三，四象限，则有α + π
3 + β - π
4 = 2kπ - π，所以不能直接去掉sin，要先看α + π
3 和β - π
4 之
间的关系再选择适当的等式，这个思想在之后的解三角形中模块也会用到．
3、若题目中给的角可能在两个象限中，一般需要结合其他条件，确定角最终所在象限
如：已知0 < a < π，sinα + cosa = 1
2
分析：sinα + cosa = 1
2 ⇒1 + 2sinαcosa = 1
4 ，则sinαcosa =- 3
8 ，而sinα > 0，
故cosa < 0 ⇒a ∈
π
2 ,π
1
已知
cos2θ
sin θ+ π
4
=
2
4 ，则sin2θ =
(
)
A. 15
16
B. - 15
16
C. 3
4
D. - 3
4
2
已知2cos 2α+β
- 3cosβ = 0，则tanαtan α+β
=
(
)
A. 5
B. 1
5
C. - 5
D. - 1
5
3
(深圳中学校考月考)已知α ∈- π
2 , π
2
，且2cos2α + 15sinα + 2 = 0，则tanα =
．
4
设α ∈
π
4 , π
2
，β ∈
π
4 , π
2
，且sinα + cosα =
2cosβ，则
(
)
A. α + β = π
4
B. α - β = π
4
C. α + β = π
2
D. α - β =- π
4
5
已知α，β ∈0,π
，sin α-β
= 5
6 ，tanα
tanβ =- 1
4 ，则α + β =
(
)
A. 5π
6
B. 7π
6
C. 11π
6
D. 7π
6 或11π
6
1
已知0 < a < π，sinα + cosa = 1
2 ，则cos2α 的值为
(
)
A.
7
4
B. -
7
4
C. ±
7
4
D. - 3
4
2
已知α ∈0, π
2
，且
2cos2α = sin α+ π
4
，则sin2α =
(
)
A. - 3
4
B. 3
4
C. - 1
D. 1
３１１
312
3
已知角α，β ∈0,π
，且sin α+β
+ cos α-β
= 0，sinαsinβ - 3cosαcosβ = 0，则tan α+β
=
4
已知α ∈
π
2 ,π
，且3cos2α - 4sinα = 1，则tan2α =
(
)
A. 1
3
B. 4 2
7
C. - 1
3
D. - 4 2
7
5
若sin2α =
1
tanα-tanβ ，α,β≠π
2 +kπ且α≠β±kπ,k∈Z
，则cos(2α - β) =
(
)
A. - 1
2
B. 0
C. 1
2
D. 1
6
若tanα =
2tan π
9 ，则
cos α+ 7π
18
sin α+ π
9
=
．
7
已知x ∈0, π
2
，y ∈0, π
2
，cosx+sinx
cosx-sinx = 1-cos2y
sin2y
，则下列判断正确的是
(
)
A. tan y-x
= 1
B. tan y-x
=-1
C. tan y+x
= 1
D. tan y+x
=-1
【题型
【题型10
10】扩角降幂与缩角升幂
】扩角降幂与缩角升幂
扩角降幂：
2
cos a = 1+cos2a
2
，
2
sin a = 1-cos2a
2
(可用二倍角公式推导)
缩角升幂：化为半角即缩角升幂，
(1) 当分子或分母出现1 ± cosθ 或1 ± sinθ 这类结构时可以考虑令θ = 2α
(2) 当条件出现α
2 时，可以考虑换元令α
2 = t，只要灵活运用二倍角公式就不需要记半角公式了
1
cos2 x+ π
4
+ sin2 x- π
4
= (
)
A. 1
B. 1 - sin2x
C. 1 - cos2x
D. - 1
３１２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
313
2
已知1-cosθ
sinθ
+
sinθ
1+cosθ = 4，则tanθ =
．
3
已知tan θ
2 = 2，则
sinθ
1-cosθ -
sinθ
1+cosθ 的值为
．
1
sin π
6 -α
= 1
3 ，则2cos2 π
6 + α
2
- 1，=
2
若sinα =- 3
5 ，α 是第三象限角，则
1-tan α
2
1+tan α
2
=
(
)
A. - 2
B. 2
C. - 8
3
D. 8
3
3
已知
sinθ
1-cosθ =
3，则tanθ =
(
)
A.
3
3
B. -
3
3
C.
3
D. -
3
4
已知1+sinθ+cosθ
1+sinθ-cosθ = 1
2 ，求cosθ 的值．
【题型
【题型11
11】利用三角恒等变换化简求值
】利用三角恒等变换化简求值
例：对于2 3sin20°+3sin10°
cos10°
可以考虑引入特殊角30°，变为2 3sin 30°-10°
+3sin10°
cos10°
，到达统一角
度的目的
1
计算：
2 ⋅
sin40°⋅sin80°
cos40°+cos60° =
(
)
A. -
2
2
B. - 1
2
C.
2
2
D. 1
2
３１３
314
2
化简：
sin10°
1-
3tan10°
(
)
A. 1
8
B. 1
4
C. 4
D. 8
3
计算：4 3cos80° +3tan10° =
1
2cos20°-sin10°
cos40°⋅
1-sin10°
=
(
)
A. 1
B.
2
C.
3
D.
6
2
1
2tan20° -
1
2cos10° =
(
)
A.
2
B.
3
2
C.
3
D. 2
3
若tanα =
2tan π
9 ，则
cos α+ 7π
18
sin α+ π
9
=
．
4
tan80°-tan20°
1+
1
2cos20°
的值为
．
３１４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
315
5
已知cos 40°-θ
+ cos 40°+θ
+ cos 80°-θ
= 0，则tanθ =
6
化简求值(1)
3-4sin20°+8sin320°
2sin20°sin480°
；(2)
1
cos280° -
3
cos210°
⋅
1
cos20° ．
【题型
【题型12
12】化为同名函数
】化为同名函数
统一函数名：sinα = cosβ ⇒cos α- π
2
= cos π
2 -α
= cosβ，具体是选α - π
2 还是π
2 - α 要看题目给
出的范围
1
(云南师范大学附属中学月考)设α ∈0, π
2
，β ∈0, π
2
，且tanα ⋅cosβ = 1 + sinβ，则
(
)
A. sin 3α-β
= 1
B. sin 3α+β
=-1
C. sin 2α-β
= 1
D. sin 2α+β
=-1
2
若α，β ∈
π
2 ,π
，且1-cos2α
1+sinβ
= sin2αcosβ，则下列结论正确的是
(
)
A. 2α + β = 5π
2
B. 2α - β = 3π
4
C. α + β = 7π
4
D. α - β = π
2
3
若两个锐角α，β 满足
1+cos2α
2cosα+sin2α = 1-cos2β
sin2β
，则sin π
3 -α-2β
=
．
３１５
316
1
若α，β ∈0, π
2
，且1-cos2α
1+sinβ
= sin2αcosβ，则下列结论正确的是
(
)
A. α - β = π
2
B. 2α - β = 3π
4
C. α + β = 5π
2
D. 2α + β = π
2
2
(2023·重庆市第八中月考) 已知α，β ∈0, π
2
，sin 2α+β
sinα
- 2cos α+β
=
1
tanα ，则
(
)
A. α + β = π
2
B. α + β = 3π
4
C. α - β =- π
4
D. α - β = π
4
3
若两个锐角α，β 满足
1+cos2α
2cosα+sin2α = 1-cos2β
sin2β
，则cos α+2β+ π
3
=
．
4
(广州市天河区综合测试) 若tan 2α- π
3
= sinβ-cosβ
sinβ+cosβ ，则1 - 2cos2 2α-β
=
(
)
A. 1
2
B. - 1
2
C.
3
2
D. -
3
2
【题型
【题型13
13】积化和差、和差化积公式
】积化和差、和差化积公式
1、积化和差
sinαcosβ = 1
2 [sin(α - β) + sin(α + β)]
cosαsinβ = 1
2 [sin(α + β) - sin(α - β)]
cosαcosβ = 1
2 [cos(α - β) + cos(α + β)]
sinαsinβ = 1
2 [cos(α - β) - cos(α + β)]
３１６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
317
2、和差化积
sinx + siny = 2sin x+y
2
cos x-y
2
sinx - siny = 2cos x+y
2
sin x-y
2
cosx + cosy = 2cos x+y
2
cos x-y
2
cosx - cosy =-2sin x+y
2
sin x-y
2
和差化积公式助记口诀
正加正，正在前；
正减正，余在前；
余加余，余并肩；
余减余，负正弦。
积化和差公式助记口诀1
正余余正，正加正减；
余余正正，余加负余减。
积化和差公式助记口诀2
正弦相加正在前，
正弦相减余提前，
余弦相加无正弦，
余弦相减负正弦
和差化积的应用：以2023 年新高考I 卷第8 题为例
已知sin α-β
= 1
3 ，cosαsinβ = 1
6 ，则cos 2α+2β
=
简析：由和差化积cosα ⋅sinβ = sin(α+β)-sin(α-β)
2
，可得1
6 =
sin α+β
- 1
3
2
⇒sin α+β
= 2
3 ，
cos 2α+2β
= 1 - 2sin2 α+β
= 1 - 8
9 = 1
9
1
sin α-β
+ sin α+β
= 1
2 ，cosαsinβ = 1
3 ，则tanα
tanβ =
(
)
A. 3
4
B. 4
3
C. 3
2
D. 2
3
３１７
318
2
已知对任意的角α，β，满足1
2
sinα+sinβ
= sin α+β
2
⋅cos α-β
2
，1
2
cosα+cosβ
= cos α+β
2
⋅cos α-β
2
．则当sinα + sinβ =
3
2 ，cosα + cosβ = 1
2 时，tan α+β
2
=
；若tan α+β
2
=
1，则sinα + sinβ
cosα + cosβ(填“>”“<”或“=”)．
3
求值：
2sin80°cos20°
1+4cos20°sin250° =
(
)
A.
3
3
B.
2
2
C. 1
D.
3
2
1
2sin 7π
11 sin 2π
11 - sin π
22 + cos 2π
11 =
(
)
A. 0
B. sin 2π
11
C. 2cos 2π
11
D. 2sin 2π
11
2
cos π
7 + cos 3π
7 + cos 5π
7 =
．
3
已知tan α+β
2
=
6
2 ，tanαtanβ = 13
7 ，则cos(α - β) 的值为
．
３１８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
319
4
(1)sin54° -sin18° =
；
(2)cos146° +cos94° +2cos47°cos73° =
．
【题型
【题型14
14】恒等变形的综合应用
】恒等变形的综合应用
1
已知函数f x
= 2 3sin ωx
2 cos ωx
2
- 2cos2 ωx
2
+ 1，ω > 0，x ∈R，在曲线y = f x
与直线y = 2
的交点中，若相邻交点的距离为π．
(1) 求函数f x
的解析式；
(2) 若x ∈
π
3 ,π
，解不等式f x
≥- 3；
(3) 若x ∈
π
3 ,π
，且关于x 的方程f2 x
- a+1
f x
+ a = 0 有三个不等的实根，求实数a 的取值范
围．
2
如图，已知面积为π
6 的扇形AOB，半径为1，C 是弧AB 上任意一点，作矩形CDEF 内接于该扇
形．
(1) 求扇形圆心角∠AOB 的大小；
(2) 点C 在什么位置时，矩形CDEF 的面积最大？并说明理由．
３１９
320
1
已知函数f x
= 2 3sin ωx
2 cos ωx
2
- 2cos2 ωx
2
+ 1，ω > 0，x ∈R，在曲线y = f x
与直线y =
2 的交点中，若相邻交点的距离为π．
(1) 求函数f x
的解析式；
(2) 若x ∈
π
3 ,π
，解不等式f x
≥- 3；
(3) 若x ∈
π
3 ,π
，且关于x 的方程f2 x
- a+1
f x
+ a = 0 有三个不等的实根，求实数a 的取值范
围．
2
如图是一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边CD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB =
2，AD = 1，现要将此木块锯出一个等腰三角形EFG，其底边EF ⊥AB，点E 在半圆上，点G
在线段AD 上，三角形木块选EFG 的面积记为S．
(1) ①设点G 到底边EF 的距离为x，将S 表示为x 的函数S = f x
；
②设∠EOC = θ，将S 表示为θ 的函数S = g θ
；
(2) 从(1) 中选择一个合适的函数，解决以下问题：当点E 在何处时，三角形木块EFG 的面积S 最大？
并求出该最大值．
３２０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
321
专题5 - 6 三角函数：y = Asin(ωx +φ) 的图像及性质
【题型
【题型1】五点法作
】五点法作y = Asin
sin(ωx
ωx + φ) 图像及其应用
图像及其应用
解题思路：用五点法画y = Asin(ωx + φ) 一个周期内的简图的步骤
第一步：列表；如下表所示：
x
- φ
ω
π
2ω - φ
ω
π-φ
ω
3π
2ω - φ
ω
2π-φ
ω
ωx + φ
0
π
2
π
3π
2
2π
y = Asin(ωx
+ φ)
0
A
0
-A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
1
某同学用“五点法”画函数f(x) = Asin(ωx + φ) A>0,ω>0,|φ|< π
2
在某一个周期内的图象时，
列表并填入了部分数据，如下表：
ωx + φ
0
π
2
π
3π
2
2π
x
2π
3
7π
6
5π
3
Asin(ωx + φ)
0
2
-2
0
(1) 将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并写出函数y = f(x) 的解析式；
(2) 将函数y = f(x) 图象上所有点向左平行移动π
6 个单位长度，得到函数y = g(x) 的图象，求使g(x)
≥0 成立的x 的取值集合．
３２１
322
1
某同学用“五点法”画函数f x
= Asin ωx+φ
+ k ω>0,|φ|< π
2
在某一个周期内的图象时，
列表并填入了部分数据，如下表：
ωx + φ
0
π
2
π
3π
2
2π
x
m
π
3
n
5π
6
p
Asin ωx+φ
+ k
1
6
1
-4
1
(1) 求出实数m，n，p 的值；
(2) 求出函数f x
的解析式；
(3) 将y = f x
图象向左平移t t>0
个单位，得到y = g x
的图象．若y = g x
为偶函数，求t 的最
小值．
2
(1) 利用“五点法”画出函数y = sin 1
2 x+ π
6
在长度为一个周期的闭区间的简图．
列表：
1
2 x + π
6
x
y
作图：
(2) 并说明该函数图象可由y = sinx(x ∈R) 的图象经过怎么变换得到的．
３２２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
323
3
已知函数f(x) = sin 2x- π
6
．
(1) 请用“五点法”画出函数f(x) 在一个周期上的图像(先在所给的表格中填上所需的数字，再画图)；
x
2x - π
6
f(x)
(2) 求f -x+ π
6
的单调递增区间．
【题型
【题型2】三角函数图像的平移与伸缩变换
】三角函数图像的平移与伸缩变换
平移时注意点：对于y = sinωx
(1) 确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键．
(2) 当x 的系数是1 时，左移t 个单位则y = sin x+t
．
(3) 当x 的系数是ω(ω > 0) 时，左移t 个单位则y = sin ω x+t
．
３２３
324
【例】由函数y = sinx 的图像变换为函数y = 2sin 2x+ π
3
+ 3 的图像的步骤；
方法一：先平移后伸缩x→x+ π
3 →2x+ π
3
．
y = sinx 的图像
向左平移π
3 个单位
y = sin x+ π
3
的图像
所有点的横坐标变为原来的1
2
纵坐标不变
y = sin 2x+ π
3
的图像
所有点的纵坐标变为原来的2倍
横坐标不变
y = 2sin 2x+ π
3
的图像
向上平移3个单位
y = 2sin 2x+ π
3
+ 3
方法二：先伸缩后平移x→x+ π
2 →2x+ π
3
．
y = sinx 的图像
所有点的横坐标变为原来的1
2
纵坐标不变
y = sin2x 的图像
向左平移π
6 个单位
y = sin2 x+ π
6
= sin 2x+ π
2
的图像
所有点的纵坐标变为原来的2倍
横坐标不变
y = 2sin 2x+ π
3
的图像
向上平移3个单位
y = 2sin 2x+ π
3
+ 3
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，
无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x 而言的，即图像变换要看“变量x”发生多大变化，而不
是“角ωx + φ”变化多少．
注：函数名称不一致的平移：诱导公式化同名
热考题型1
函数名不改变
1
为了得到函数y = 2sin x
3 + π
6
，x ∈R 的图象，只需把函数y = 2sinx，x ∈R 的图象上所有的点
(
)
A. 向左平移π
6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
3 倍(纵坐标不变)
B. 向右平移π
6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
3 倍(纵坐标不变)
C. 向左平移π
6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍(纵坐标不变)
D. 向右平移π
6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍(纵坐标不变)
热考题型2
函数名改变(结合诱导公式)
2
将函数y = sin 2x+ π
3
的图象平移后所得的图象对应的函数为y = cos2x，则进行的平移是
(
)
A. 向左平移π
12 个单位
B. 向右平移π
6 个单位
C. 向右平移π
12 个单位
D. 向左平移π
6 个单位
３２４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
325
热考题型3
由平移前后函数性质求参数
3
将函数f x
= cos 3x- π
4
图象上所有点的横坐标缩短为原来的3
4 ，纵坐标不变，再将所得图象
向左平移a(a > 0) 个单位长度，得到函数g x
的图象，若g -x
- g x
= 0，请写出a 的一个可
能值为
．
4
将函数f x
= cos2x - sin2x 的图象向右平移φ 0<φ< π
2
个单位后得到函数g x
的图象，且
g x
的图象关于x = π
4 对称，则φ =
(
)
A. π
4
B. π
3
C. π
2
D. π
8
热考题型4
利用函数图像求交点个数
5
(2024·新课标Ⅰ卷·高考真题) 当x ∈[0 , 2π] 时，曲线y = sinx 与y = 2sin 3x- π
6
的交点个数为
(
)
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
1
将函数f x
= sin 2x-φ
0<φ<π
的图象向左平移π
6 个单位后得到函数g x
= sin 2x+ π
6
的
图象，则φ 的值为
(
)
A. - 2π
3
B. π
6
C. π
3
D. 2π
3
2
(多选) 要得到函数y = sin 1
2 x- π
4
的图象，只需将函数y = sinx 图象上的所有点
(
)
A. 横坐标伸长到原来的2 倍，再向右平移π
2 个单位长度
B. 横坐标伸长到原来的2 倍，再向右平移π
4 个单位长度
C. 先向右平移π
4 个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2 倍
D. 先向右平移π
4 个单位长度，再把横坐标缩短到原来的1
2
3
已知函数f x
= sin ωx+ π
4
，(x ∈R , ω > 0) 的最小正周期为π，为了得到函数g(x) = cosωx 的
图像，只要将y = f(x) 的图像
(
)
A. 向左平移π
8 个单位长度
B. 向右平移π
8 个单位长度
C. 向左平移π
4 个单位长度
D. 向右平移π
4 个单位长度
３２５
326
4
已知曲线C1：y = cos x，C2：y = sin
2x+ 2π
3
，则下面结论正确的是
A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6 个单位长
度，得到曲线C2
B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12 个单位长
度，得到曲线C2
C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的1
2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6 个单位
长度，得到曲线C2
D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的1
2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12 个单位
长度，得到曲线C2
5
为得到函数
的图像，只需将函数y = sin2x 的图像
(
)
A. 向左平移5π
12 个长度单位
B. 向右平移5π
12 个长度单位
C. 向左平移
个长度单位
D. 向右平移
个长度单位
6
函数
的图象向右平移π
6 个单位得到函数g x
的图象，若g x
= g -x
，当φ
最小时，φ 的值是
(
)
A. - π
6
B. π
6
C.
D.
7
将函数
的图象沿水平方向平移φ
个单位后得到的图象关于直线x = π
4 对称
(
向左移动，
向右移动)，当φ
最小时，则
(
)
A.
B. - π
12
C. π
6
D.
8
(2025·江苏扬州·三模) 当x ∈[0 , 2π] 时，曲线y = sin2x 与y = 2sin 2x- π
4
的交点个数为(
)
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
３２６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
327
9
(24 - 25 高二下·湖南·期末) 当x ∈0,2π
时，曲线y = sinx 与y = 2sin 3x- π
6
的交点个数为
(
)
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
10
(24 - 25 高一下·山东潍坊·期中) 当x ∈0,2π
时，曲线y = cosx 与y = 3sin 2x+ π
3
的交点个数
为
(
)
A. 8
B. 6
C. 4
D. 3
【题型
【题型3】由图像识别函数解析式
】由图像识别函数解析式
确定y = Asin(ωx + φ) + B(A > 0，ω > 0) 的步骤和方法：
(1) 求A，B ：确定函数的最大值
和最小值
，则A = M-m
2
，B = M+m
2
；
(2) 求
：确定函数的周期
，则ω = 2π
T ；
(3) 求ϕ：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b 已知) 或代入图象与直线
的交点求解(此时要
注意交点是在增区间还是在减区间)．
②五点法：确定ϕ 值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．
1
(2020·新高考1 卷真题) (多选) 下图是函数y = sin(ωx + φ) 的部分图像，则sin(ωx + φ) = (
)
A. sin x+ π
3
B. sin π
3 -2x
C. cos 2x+ π
6
D. cos 5π
6 -2x
３２７
328
2
函数
在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为
．
3
如图，某地一天中6 时至14 时的温度变化曲线近似满足函数y = Asin(ωx + φ) + b(其中ω > 0，
π
2 < φ < π)，则估计中午12 时的温度近似为
℃；(精确到1℃)
1
已知函数f x
= 2cos ωx+φ
的部分图像如图所示，则f
π
2
=
．
2
已知函数f(x) = sin(ωx + φ) (
，
) 的部分图象如图所示，则f(0) =
．
３２８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
329
3
函数
是常数，
的部分图象如图所示，则
f - π
3
的值是
．
4
已知函数f(x) = 2cos ωx+ϕ
ω>0,|ϕ|< π
2
的部分图象如图所示，则f
π
2
=
．
【题型
【题型4】单调性问题
】单调性问题
函数
y = sinx
y = cosx
y = tanx
图象
单调性
在
2kπ- π
2 ,2kπ+ π
2
( k
∈Z) 上是增函数；
在2kπ+ π
2 ,2kπ+ 3π
2
(k ∈
Z) 上是减函数．
在2kπ-π,2kπ
k∈Z
上是增函数；
在2kπ,2kπ+π
k∈Z
上是减函数．
在kπ- π
2 ,kπ+ π
2
(k ∈
Z) 上是增函数．
热考题型1
求单调区间
1
函数y = 2sinxcosx - 2
2
sin x + 1，x ∈[0，π] 的单调递减区间为
π
8 , 5π
8
．
３２９
330
热考题型2
复合函数型
2
函数
的单调减区间为
(
)
A.
B.
C.
D.
热考题型3
由单调性求参数范围
3
若
在区间-t,t
上单调递增，则实数的取值范围为
(
)
A.
B.
0, π
3
C.
D.
1
函数f(x) =
3 sin x+ π
3
- cosx 的单调递减区间为
(
)
A.
π
3 +kπ, 4π
3 +kπ
，k ∈Z
B.
π
6 +kπ, 2π
3 +kπ
，k ∈Z
C.
π
3 +2kπ, 4π
3 +2kπ
，k ∈Z
D.
π
6 +2kπ, 2π
3 +2kπ
，k ∈Z
2
函数f(x) = sin -2x+ π
6
的单调增区间是
(
)
A.
nπ- π
6 ，nπ+ π
3
(n ∈Z)
B.
2nπ- π
6 ，2nπ+ π
3
(n ∈Z)
C.
nπ- 2π
3 ，nπ- π
6
(n ∈Z)
D.
2nπ- 2π
3 ，2nπ- π
6
(n ∈Z)
3
函数y = sin2x - cosx 的单调增区间为()．
A.
2kπ,2kπ+ 2π
3
k∈Z
B.
2kπ+π,2kπ+ 4π
3
k∈Z
C.
2kπ,2kπ+ 2π
3
，2kπ+π,2kπ+ 4π
3
k∈Z
D. 不存在
4
若函数f(x) = 2x + sinxcosx + acosx 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是
．
３３０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
331
【题型
【题型5】最值与值域问题
】最值与值域问题(4 种类型
种类型)
求三角函数的最值，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理．
(1)y = asinx + bcosx + c，引入辅助角φ tanφ= b
a
，化为y =
a2+b2sin(x + φ) + c
(2)y = asin2x + bsinx + c，设t = sinx，化为二次函数y = at2 + bt + c 在闭区间t ∈[-1 , 1] 上的最值求
解，也可以是y = acos2x + bsinx + c 或y = acos2x + bsinx + c 型．
(3)y = asinxcosx + b(sinx ± cosx) + c，设t = sinx ± cosx，则t2 = 1 ± 2sinxcosx，故sinxcosx =
± t2-1
2
，故原函数化为二次函数y = a ⋅± t2-1
2
+ bt + c 在闭区间[- 2，
2] 上的最值求解．
心为
π
2 +kπ-φ
ω
,b
(k ∈Z)
热考题型1
求指定区间上的值域
1
求y = sinx - cosx，x ∈[0 , π] 的值域．
热考题型2
化为二次函数型
2
(全国·高考真题)函数f x
= sin2x +
3cosx - 3
4
x∈0, π
2
的最大值是
．
热考题型3
设t = sinx ± cosx
3
(高一上·湖北武汉·期末)已知θ ∈0, π
2
，则函数y = sinθ - cosθ + 2sinθcosθ 的值域为(
)
A.
-1,1
B.
-1-
2, 5
4
C.
1, 5
4
D.
-1, 5
4
4
(高一下·云南昭通·月考) 已知f x
= sinx + cosx + 2sinxcosx，x ∈0, π
2
，则f x
的值域为
．
３３１
332
热考题型4
已知值域求参数范围
5
已知函数f(x) = sin x- π
6
的定义域为[m , n] (m < n)，值域为[0 , 1]，则n - m 的取值范围是()
A.
π
3 ,π
B.
π
3 , 2π
3
C.
π
2 , 2π
3
D.
π
2 ,π
1
求下列函数的值域．
(1)y = 1 - 3cos 2x+ π
6
，x ∈0, 5π
6
；
(2)y = cos2x + 2cosx，x ∈0, 3π
2
．
2
函数
的值域是
(
)
A.
2,10
B.
0,10
C.
2,10
D.
-10,-2
3
求y = cosx - sin2x 的值域．
4
(高一上·广东广州·期末) 函数f x
= sinx - cosx + sin2x 在区间0, π
2
上的值域是
．
5
(高三上·江苏连云港·月考) 函数y = sin x + cos x - sin xcos x 的值域为
．
３３２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
333
6
(高一上·河北沧州·月考) 已知α ∈(0 , π)．
(1) 若sinα + cosα = 2
5 ，求sinαcosα 的值；(2) 求y = sinαcosα + sinα + cosα 的值域．
7
已知y = (cosx - a)2 - 1，当cosx =-1 时，y 取最大值，当cosx = a 时，y 取最小值，则实数a
的取值范围是
(
)
A.
-∞,-1
B.
-1,0
C.
0,1
D.
1,+∞
8
已知函数
，x ∈0,a
的值域为
，则实数
的取值范围为(
)
A.
π
6 , π
2
B.
π
6 , 5π
6
C.
π
6 ,π
D.
9
(高一上·浙江杭州·月考) 已知函数y = sinα + cosα + sinα ⋅cosα 当t = sinα + cosα 时，t ∈
- 2,
2
(1) 若t =
2，求tanα 的值；(2) 求函数y = sinα + cosα + sinα ⋅cosα 的值域．
３３３
334
10
(高一下·江苏镇江·月考) (1) 求
1
sin50° +
3
cos50° 的值；
(2) 已知θ ∈0, π
2
，求函数y = sinθ - cosθ + 2sinθcosθ 的值域．
11
已知函数f(x) = sinx ⋅sin x+ π
3
- 1
4 的定义域为[m，n] (m < n)，值域为- 1
2 , 1
4
，则n
- m 的取值范围为
．
【题型
【题型6】对称性与周期
】对称性与周期
1、一般情况下，f(x) = Asin(ωx + φ) (A > 0，ω > 0) 两个点关于中心对称，则函数值互为相反数。
2、对称中心之间的距离是半个周期的整数倍。
3、周期与轴之间的距离，是四分之一周期的整数倍。
4、4 正余弦与水平线交点的中点，是函数的对称轴。
5、一般情况下，f(x) = Asin(ωx + φ) + b(A > 0，ω > 0) 的最大值或者最小值，必在对称轴处。
6、对称轴之间的距离，是半个周期的整数倍。
7、求函数f(x) = Asin(ωx + φ) + b(A > 0，ω > 0) 的对称轴的方法；令ωx + φ = π
2 + kπ(k ∈Z)，得x =
π
2 +kπ-φ
ω
(k ∈Z )；对称中心的求取方法；令ωx + φ = kπ(k ∈Z )，得x = kπ-φ
ω
，即对称中心为
kπ-φ
ω
，b
．
8、求函数y = Acos(ωx + φ) + b(w ≠0) 的对称轴的方法；令ωx + φ = kπ(k ∈Z) 得x =
π
2 +kπ-φ
ω
，即
1
已知函数f x
= 3sin ωx- π
6
(其中ω > 0) 的图象与直线y = 3 的两个相邻交点的距离等于2π，
则ω 的值为
(
)
A. 1
2
B. 2
C. 1
D. 3
３３４
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
335
2
(高一·浙江杭州·期末)将函数y = 3sin 2x+ π
4
的图象向右平移π
6 个单位长度，则平移后函数
图象的解析式为
；平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是
．
3
(高一下·浙江衢州·期末)一学生在求解以下问题“已知函数y = f x
的图象关于直线x = 2 对
称，关于3,6
中心对称，且f 2
= 4，求S = f 1
+ f 2
+⋯+f 10
的值”时，思路如下：令
f(x) = Asin(ωx + φ) + b(A > 0，0 < φ < π)，由对称轴和对称中心可求得T = 4，再由对称轴求φ，
对称中心求b，根据以上信息可得
(
)
A. φ = π
2
B. b = 6
C. S = 60
D. S = 58
1
(·广东深圳·月考) (多选) 将函数f(x) = tan2x 的图象向右平移π
6 个单位长度得到函数g(x) 的图
象，则下列结论正确的为
(
)
A. g x
的最小正周期为π
2
B. g x
的图象关于直线x = 5π
12 对称
C. g x
在区间0, π
3
上单调递减
D. f x
的图象与g x
的图象关于
π
12 ,0
对称
2
已知直线x = 5π
12 和x = 17π
12 都是函数y = f x
图象的对称轴，则f x
的解析式可能为
(
)
A. f x
= sin 2x- π
3
B. f x
= sin 2x- π
6
C. f x
= sin 4x+ π
3
D. f x
= sin x- π
6
３３５
336
3
设函数f(x) = 3sin ωx+ 2π
3
(ω > 0) 与函数g(x) = 2cos(3x + φ) φ
≤π
3
的对称轴完全相同，则
φ 的值为
．
4
函数f x
= sin ωx+ π
3
(ω > 0) 的图象在区间0,1
上恰有一条对称轴和一个对称中心，则ω 的
取值范围为
(
)
A.
2
3 π, 7
6 π
B.
2
3 π, 7
6 π
C.
2
3 π, 7
6 π
D.
2
3 π, 7
6 π
5
已知函数f n
= 2sin nπ
2 + π
4
+ 1 n∈N ∗
，则f 1
+ f 2
+ f 3
+⋯+f 2025
=
(
)
A. 2025
B. 2025 +
2
C. 2026 +
2
D. 2026 2
6
函数f x
= x-1
与函数
的图象所有交点的横坐标之和为
．
【题型
【题型7】三角函数性质辨析
】三角函数性质辨析
在多选题中经常出现三角函数性质辨析题，其常见选项有
辨析1：判断x = a 或a,0
是否为对称轴或对称中心
辨析2：在某区间上有是否单调递增(减)；
辨析3：判断在某区间上有多少个零点或对称轴
辨析4：判断在某区间上的值域
辨析5：给出限制条件辨析参数范围是否正确
３３６
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
337
1
(高一上·湖北武汉·期末)已知函数f x
= sin ωx+φ
ω>0,0<φ< π
2
的部分图象如图所示，
则下列结论正确的是
(
)
A. f x
的图象关于点- π
3 ,0
对称
B. f x+ π
6
为奇函数
C. f x
在区间-π,- π
2
上单调递增
D. f x
的图象关于直线x = π
6 对称
2
(高一上·广东深圳·期末) (多选) 函数f(x) = Asin(ωx + φ) A>0，ω>0，|φ|< π
2
的部分图象
如图所示，下列结论中正确的是
(
)
A. φ = π
3
B. 函数f(x) 的图象关于点- π
6 ,0
对称
C. 函数f(x) 在- 5π
12 , π
12
上单调递增
D. 将函数f(x) 的图象向右平移π
12 个单位得到函数g(x) = sin 2x+ π
4
的图象
1
(高一上·浙江温州·期末) (多选) 已知函数f x
= sin 2x+ 5π
6
，则下列结论正确的是
(
)
A. f x
的最小正周期为π
B. f x
的图象关于直线x = 7π
12 对称
C. f x- 5π
12
是奇函数
D. f x
的单调递减区间为kπ- π
6 ，kπ+ π
3
k∈Z
３３７
338
2
(高一上·江苏盐城·期末) (多选) 已知函数f(x) = Acos(ωx + φ) A>0，ω>0，φ
< π
2
的部分图
象如图所示，则下列结论正确的有()．
A. f(x) 的最小正周期为π
B. f x+ π
6
为偶函数
C. f(x) 在区间0, π
4
内的最小值为1
D. f(x) 的图象关于直线x =- 2π
3 对称
3
(高一上·江苏淮安·期末) 用“五点法”作函数f x
= Asin ωx+φ
+ B A>0，ω>0，φ
< π
2
在
一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数y = f x
描述正确的是
(
)
ωx + φ
0
π
2
π
3π
2
2π
x
a
π
3
b
5π
6
c
f x
1
3
1
d
1
A. 函数f x
的最小正周期是π
B. 函数f x
的图象关于点
5π
6 ,0
对称
C. 函数f x
的图象关于直线x = π
3 对称
D. 函数f x
与g x
=-2cos 2x+ π
3
+ 1 表示同一函数
4
(高一上·浙江杭州·期末) (多选) 关于函数f x
=
3 sin 2x- π
6
+ 2sin2 x- π
12
，下列结论正确
的是
(
)
A. 函数f x
的最大值是2
B. 函数f x
在- π
12 , 5π
12
单调递减
C. 函数f x
的图像可以由函数y = 2sin2x + 1 的图像向右平移π
6 个单位得到
D. 若方程f x
- m = 0 在区间
π
12 , π
2
有两个实根，则m ∈[ 3 + 1，3]
３３８
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
339
5
(高一上·江苏无锡·期末) 函数f x
=
2 sin ωx+φ
0<ω≤2,- π
2 <φ< π
2
的部分图象如图所
示，则下列说法中正确的是
(
)
A. φ = π
4
B. f x
的表达式可以写成f x
=
2cos 2x+ 5π
4
C. f x
的图象向右平移3π
8 个单位长度后得到的新函数是奇函数
D. 若方程f x
= 1 在0,m
上有且只有6 个根，则m ∈
5π
2 , 13π
4
6
(高一上·广东深圳·期末) (多选) 已知函数f(x) = sin(ωx + φ) (ω > 0，0 < φ < π)，x =- π
4 为f(x)
的零点，且在
π
6 ，π
3
上单调递减，则下列结论正确的是
(
)
A. φ = π
4 ω
B. 若f
π
6
+ f
π
3
= 0，则f
π
4
= 0
C. f x+ π
4
是偶函数
D. ω 的取值范围是
6
5 , 18
7
【题型
【题型8】由三角函数性质求参数的值
】由三角函数性质求参数的值
1
(2023·全国·统考高考真题)已知函数f(x) = sin(ωx + φ) 在区间
π
6 , 2π
3
单调递增，直线x = π
6
和x = 2π
3 为函数y = f x
的图像的两条相邻对称轴，则f - 5π
12
=
(
)
A. -
3
2
B. - 1
2
C. 1
2
D.
3
2
2
(2022·全国·统考高考真题)记函数f(x) = sin ωx+ π
4
+ b(ω > 0) 的最小正周期为T．若2π
3 <
T < π，且y = f(x) 的图象关于点
3π
2 ,2
中心对称，则f
π
2
=
(
)
A. 1
B. 3
2
C. 5
2
D. 3
３３９
340
3
已知函数
满足
恒成立，
，且
f x
在区间0,2π
上有5 个零点，则
．
1
已知函数
在区间
上单调递减，直线
和x = 2π
3 为函数y = f x
的图
象的两条相邻对称轴，则f
π
3
=
(
)
A. -
3
2
B.
C.
D.
3
2
2
(高一上·江苏南通·期末) 设函数f x
= sin ωx+ π
4
ω>0
的最小正周期为T．若2π < T < 3π，
且对任意x ∈R，f x
+ f
π
3
≥0 恒成立，则ω =
(
)
A. 2
3
B. 3
4
C. 4
5
D. 5
6
3
已知函数f x
= 2sin ωx+φ
ω>0,φ∈0,2π
在区间
π
3 , 5π
6
上单调递减，f
π
3
=-f 5π
6
= 1，则ωφ =
(
)
A. π
3
B. 5π
6
C. 11π
27
D. 7π
9
4
已知函数f(x) = sin(ωx + φ) 在区间- π
6 , π
3
单调递增，直线x =- π
6 和
为函数y = f x
的
图像的两条相邻对称轴，则
(
)
A. -
3
2
B.
C.
D.
3
2
３４０
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
341
5
已知函数
有一个零点为
为其图象的一条对称轴．且函数
f x
在区间
上单调递增，则f - π
6
=
(
)
A.
B.
C.
3
2
D. -
3
2
6
函数
满足f - π
3
= 0 ，且
恒成立，若f x
在区间
- π
3 , π
3
上有最小值而无最大值，则
．
【题型
【题型9】三角函数新定义问题
】三角函数新定义问题
1
计算器是如何计算sinx、
、
、
、
等函数值的？计算器使用的是数值计算法，如
，
，其中n! = 1 × 2 × 3 ×⋯× n，英国数学家
泰勒(B．Taylor，1685 - 1731) 发现了这些公式，可以看出，右边的项用得超多、计算得出的
sinx 和
的值也就越精确，运用上述思想，可得到
的近似值为
(
)
A.
B.
C.
D.
1
定义：正割
，余割
．已知
为正实数，且
对任意
的实数
均成立，则
的最小值为
(
)
A. 1
B. 4
C. 8
D. 9
３４１
342
2
人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视
频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本
之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间
有两个点A x1,y1
，B x2,y2
，则曼哈顿距离为：
，余弦相似度为：
，余弦距离为
(1) 若A -1,2
，
，求A，B 之间的曼哈顿距离d A,B
和余弦距离；
(2) 已知
，
，
，若
，
，
求tanαtanβ 的值
3
已知函数
，称向量p= a,b
为f x
的特征向量，f x
为
的特征函数．
(1) 设
，求g x
的特征向量；
(2) 设向量
的特征函数为f x
，求当f x
= 6
5 且
时，sinx 的值；
(3) 设向量
的特征函数为f x
，记
，若h x
在区间
上至少有40
个零点，求
的最小值．
３４２
高一秋季讲义
大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
343
【题型
【题型10
10】三角图像性质综合
】三角图像性质综合
1
已知函数f x
= sin ωx+φ
ω>0, φ
< π
2
的部分图像如图所示：
(1) 求函数y = f x
的表达式；
(2) 当x ∈- 2π
3 , π
6
时，求方程8f2 x
- 2 3 f x
- 3 = 0 的所有根的和．
2
已知函数f x
= 4sinxcos x+ π
3
+
3．
(1) 求函数f x
及其最小正周期；
(2) 求函数f x
在区间- π
4 , π
6
上的单调减区间；
(3) 将函数f x
图象向右移动π
6 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的a 0<a<1
倍
得到y = g x
的图象，若y = g x
在区间-1,1
上至少有100 个最大值，求a 的取值范围．
1
将函数f x
= 2sinx 图象上所有点的横坐标缩小为原来的1
2 ，再向右平移π
6 个单位长度，得到
函数g x
的图象，若g x
- a = 0 在0, π
2
上有两个不同的零点x1，x2，则tan x1+x2
=
(
)
A.
3
3
B. -
3
3
C.
3
D. -
3
３４３
344
2
已知函数f x
= 2sin ωx+φ
ω>0, φ
< π
2
的部分图象如下图所示，若曲线y = f x
过点
A - 3π
8 ,-2
，B 0,
2
，C x1, f x1
，D x2, f x2
，且f x1
=- f x2
=- 1
2 ，则
cos 2x1-2x2
=
(
)
A. 7
8
B. - 7
8
C. 3 7
8
D. - 3 7
8
3
已知函数f x
=
3sin ωx+φ
+ 1 - 2cos2 ωx+φ
2
ω>0, φ
< π
2
为奇函数，且f x
图象的相
邻两条对称轴间的距离为π
2 ．
(1) 求f x
的解析式与单调递减区间；
(2) 将函数f x
的图象向右平移π
6 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的1
2 (纵坐标不变)，得到函
数y = g x
的图象，当x ∈0, π
2
时，求方程2g2 x
+
3 g x
- 3 = 0 的所有根的和．
4
已知函数f(x) = sinx，将f(x) 的图象各点横坐标缩短到原来的1
2 ，纵坐标伸长到原来的2 倍，然
后再将所得函数图象向左平移π
6 个单位后得到g(x) 函数的图象．
(1) 方程g(x) - 2n + 1 = 0 在0, π
2
上有且只有一个解，求实数n 的取值范围；
(2) 实数m 满足对任意x1∈[-1 , 1]，都存在x2∈R，使得4x1+ 4-x1+ m 2x1-2-x1
- 3 < g x2
成立，
求m 的取值范围．
３４４
