文档文本内容
专题5-3 诱导公式
【题型1】利用诱导公式求解给角求值
【题型2】利用诱导公式求解给值求值问题
【题型3】利用诱导公式化简与求值
【题型4】利用诱导公式证明恒等式
【题型5】诱导公式在三角形中的应用
【题型6】利用隐藏的互余互补关系整体带入或换元求值（重点题型）
【题型7】诱导公式与同角三角函数的综合运用
诱导公式
公式
终边关系
图示
公式
公式一
终边相同的角的同一三角
函数的值相等.
，
公式二
角π＋α 与角α 的终边关
于原点对称
公式三
角－α 与角α 的终边关于
x 轴对称
公式四
角π－α 与角α 的终边关
于y 轴对称
公式五
公式六
题型解读
总览
知识梳理与常考题型
题型汇编
记忆口诀：可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：
①“偶”当
中k 取偶数时，如
，三角函数名不变，符号由原
三角函数角所在象限决定；
②“奇”当
中k 取奇数时，如
，三角函数名改变，符号由原三
角函数角所在象限决定；
【题型1】利用诱导公式求解给角求值
解题思路：利用诱导公式公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式一或三来转化.
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.
(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
【例题1】
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】（2024·高一·江苏扬州·期中）
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】（2024·高一·安徽蚌埠·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习4】点
位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【巩固练习5】化简：
.
【题型2】利用诱导公式求解给值求值问题
利用诱导公式变形时注意“符号看象限”是看变之前的函数对应的象限符号
【例题1】已知
为第四象限的角，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题2】已知
，且α 是第四象限角，那么
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】已知角
的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，若角
的终边与
角
的终边相同，则
( )
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】已知
为第二象限角，若
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型3】利用诱导公式化简与求值
基本步骤：先用诱导公式化简去括号，再进一步化简求值
【例题1】化简
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【例题2】化简下列各式：
(1)
；
(2)
．
【巩固练习1】（2024·高一·福建莆田·期末）化简求值：
(1)已知
，且
为第四象限的角，求
的值．
(2)已知
，求
的值．
【巩固练习2】已知
．
(1)化简
；(2)若
为第三象限角，且
，求
的值．
【题型4】利用诱导公式证明恒等式
利用诱导公式化简后再证明等式两边相等
【例题1】求证：当
或3 时，
.
【例题2】求证：
．
【巩固练习1】已知角
的终边在第三象限，
，证明：
．
【巩固练习2】（1）求证：
；
（2）设
，求证
.
【巩固练习3】若
，求证：
.
【题型5】诱导公式在三角形中的应用
因为三角形内角和为180°，所以提供了诱导公式变形的条件
A,B,C 为△ABC 的三个内角，则有
①
，
②
，
③若
，则
④若△ABC 为锐角三角形，则任意角的正弦值大于其它2 个角的余弦值
【例题1】（多选题）在△ABC 中，下列关系式恒成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题2】在锐角
中，证明：
.(注：函数
在第一象限递增)
【巩固练习1】（23-24 高一·浙江·期中）已知
为
的三个内角，下列各式不成立的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】（23-24 高一上·广东深圳·期末）已知
是
的三个内角，下列条件是“
”的一个充分不必要条件的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】在
中，
是钝角，设
证明：
.(注：函数
在第一象限递增)
【题型6】利用隐藏的互余互补关系整体带入或换元求值（重点题型）
（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到2 个角的和差为
的整数时都可用诱导公式．
（2）对其中一个括号中的式子换元
（3）利用诱导公式变形，注意若题目给了象限范围则一般需要改变函数名
【例题1】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题2】若
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题3】若
是第四象限角，且
,
．
【巩固练习1】已知
，则
等于 ．
【巩固练习2】已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】已知
，则
的值为 ；
【巩固练习4】已知
，则
的值为
【巩固练习5】已知
，且
是第三象限角，求
的值．
【巩固练习6】（23-24 高一上·浙江温州·期末）已知
，
，则
【巩固练习7】（23-24 高一上·江苏南京·期末）已知
，则
的值是
.
【题型7】诱导公式与同角三角函数的综合运用
【例题1】已知
，且
，则
＝ .
【例题2】在单位圆中，锐角
的终边与单位圆相交于点
，将射线
绕点
按逆时针方
向旋转
后与单位圆相交于点
．
(1)求
的值；
(2)记点
的横坐标为
，若
，且
，求
的值．
【巩固练习1】如图，以
为始边作角
与
，它们的终边分别与单位圆相交
于点P，Q，已知点Q 的坐标为
.
(1)求
的值；(2)若
，求P 的坐标.
【巩固练习2】已知
(1)若角
的终边过点
，求
；(2)若
，求
的值．
【巩固练习3】在单位圆中，锐角
的终边与单位圆相交于点
，连接圆心
和
得到射
线
，将射线
绕点
按逆时针方向旋转
后与单位圆相交于点
，其中
.
(1)求
的值；
(2)记点
的横坐标为
，若
，求
的值.
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