专题5-6 三角函数：y=Asin(ωx +φ)的图像及性质
【题型1】五点法作y＝Asin(ωx＋φ)图像及其应用
【题型2】三角函数图像的平移与伸缩变换
类型一：函数名不改变
类型二：函数名改变（结合诱导公式）
类型三：由平移前后函数性质求参数
【题型3】由图像识别函数解析式
【题型4】 单调性问题
类型一：求单调区间
类型二：复合函数型
类型三：由单调性求参数范围
【题型5】最值与值域问题（4 种类型）
类型一：求指定区间上的值域
类型二：化为二次函数型
类型三：设
类型四：已知值域求参数范围
【题型6】对称性与周期
【题型7】三角函数性质辨析
【题型8】由三角函数性质求参数的值
【题型9】三角函数新定义问题
【题型10】三角图像性质综合
【题型1】五点法作y＝Asin(ωx＋φ)图像及其应用
解题思路：用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图的步骤
第一步：列表；如下表所示：
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题型汇编
x
－
－
－
ωx＋φ
2π
y＝Asin(ωx
＋φ)
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
【例题1】某同学用“五点法”画函数
在某一个周期内的
图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
x
0
2
0
(1)将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并写出函数
的解析式；
(2)将函数
图象上所有点向左平行移动
个单位长度，得到函数
的图象，求使
成立的x 的取值集合．
【答案】(1)数据补充见解析，
；
(2)
.
【分析】（1）根据已知数据求参数可得
，进而补充表格数据；
（2）由图象平移得
，结合正弦型函数性质解不等式求解集即可.
【详解】（1）由表格知：
且
，即
，故
，
由
，则
，
所以，表格补充如下：
0
x
0
2
0
0
（2）由题设
，即
，
所以
，即
.
【巩固练习1】某同学用“五点法”画函数
在某一个周期内
的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
x
m
n
p
1
6
1
1
(1)求出实数m，n，p 的值；
(2)求出函数
的解析式；
(3)将
图象向左平移
个单位，得到
的图象．若
为偶函数，求t 的最
小值．
【答案】(1)
，
，
(2)
(3)
【分析】（1）根据表格列方程，解方程得到
，
，
；
（2）根据表格得到
，解方程得到
，然后结合（1）中结论即可得到
的解
析式；
（3）根据图象的平移变换得到
，根据
为偶函数得到
为最值，然后解方程求即可.
【巩固练习2】（1）利用“五点法”画出函数
在长度为一个周期的闭区间的简图.
列表:
x
y
作图:
（2）并说明该函数图象可由
的图象经过怎么变换得到的.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】（1）利用“五点法”作图，先列表确定五点的坐标，后描点并画图；
（2）依据三角函数图象的变换规律求解.
【详解】（1）先列表，后描点并画图.
0
x
y
0
1
0
0
（2）把
的图象上所有的点
向左平移
个单位，得到
的图象，再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2 倍
（纵坐标不变），得到
的图象.
【巩固练习3】已知函数
．
(1)请用“五点法”画出函数
在一个周期上的图像（先在所给的表格中填上所需的数字，再画
图）；
(2)求
的单调递增区间．
【答案】(1)答案见解析
(2)
，
．
【分析】（1）分别令
，
，
，
，
，列表描点连线可得函数图像；
（2）将
表示出来并化简，利用三角函数的单调性求解即可．
【详解】（1）分别令
，
，
，
，
，可得：
0
0
1
0
0
画出在一个周期的图像如图所示：
（2）
，
若求单调递增区间，需满足
，
，
，
，
则
的单调递增区间为
，
．
【题型2】三角函数图像的平移与伸缩变换
平移时注意点：对于
(1)确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键．
(2)当x 的系数是1 时，左移个单位则
．
(3)当x 的系数是ω(ω>0)时，左移个单位则
．
【例】由函数
sin
y
x
的图像变换为函数
2sin(2
)
3
3
y
x
的图像的步骤；
方法一：先平移后伸缩(
2
)
3
3
x
x
x
．
3
sin
y
x
向左平移
个单位
的图像
sin(
)
3
y
x
的图像
1
2
所有点的横坐标变为原来的
纵坐标不变
sin(2
)
3
y
x
的图像
2
所有点的纵坐标变为原来的倍
横坐标不变
2sin(2
)
3
y
x
的图像
3
向上平移个单位
2sin(2
)
3
3
y
x
方法二：先伸缩后平移(
2
)
2
3
x
x
x
．
sin
y
x
的图像
1
2
所有点的横坐标变为原来的
纵坐标不变
6
sin 2
y
x
向左平移
个单位
的图像
sin 2(
)
sin(2
)
6
2
y
x
x
的图像
2
所有点的纵坐标变为原来的倍
横坐标不变
3
2sin(2
)
3
y
x
向上平移个单位
的图像
2sin(2
)
3
3
y
x
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移在题目中也经常出现，所以必须熟练
掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x 而言的，即图像变换要看“变量x ”发生多大
变化，而不是“角
x
”变化多少．
注：函数名称不一致的平移：诱导公式化同名
类型一：函数名不改变
【例题1】为了得到函数
，
的图象，只需把函数
，
的图象上
所有的点（ ）
A．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变）
B．向右平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变）
C．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
D．向右平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
【答案】C
【分析】根据三角函数平移和伸缩变换原则依次判断各个选项即可.
【详解】记
，变换后所得函数为
，
对于A，
，A 错误；
对于B，
，B 错误；
对于C，
，C 正确；
对于D，
，D 错误.
类型二：函数名改变（结合诱导公式）
【例题2】将函数
的图象平移后所得的图象对应的函数为
，则进行的平移
是（ ）
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向右平移
个单位
D．向左平移
个单位
【答案】A
【分析】分析各选项平移后的函数解析式，由此作出判断即可.
【
详
解
】
对
于
A
：
向
左
平
移
个
单
位
可
得
到
，符合；
对于B：
向右平移
个单位可得到
，不符合；
对于C：
向右平移
个单位可得到
，
不符合；
对于D：
向左平移
个单位可得到
，
不符合
类型三：由平移前后函数性质求参数
【例题3】将函数
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变，再将所
得图象向左平移
（
）个单位长度，得到函数
的图象，若
，请写出
的
一个可能值为 .
【答案】
(答案不唯一)
【详解】将函数
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变，得到函
数
，
再将所得图象向左平移
（
）个单位长度，得到函数
的图象，
因为
，则
为偶函数，所以
，解得：
，取
，可得：
【例题4】将函数
的图象向右平移
个单位后得到函数
的图象，
且
的图象关于
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换将
化简，根据图像平移可得
，根据余弦函数的
性质可得解.
【详解】由
，
，
则函数
的对称轴为
，
，
又
的图象关于
对称，且
，
可得
.
【巩固练习1】将函数
的图象向左平移
个单位后得到函数
的图象，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先求平移后的函数解析式，再比较两个函数，即可求解
.
【详解】函数
的图象向左平移
个单位后得到函数为
，
由题意可知，
，
则
，得
，
，
当
时，
.
【巩固练习2】（多选）要得到函数
的图象，只需将函数
图象上的所有点
（ ）
A．横坐标伸长到原来的2 倍，再向右平移
个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2 倍，再向右平移
个单位长度
C．先向右平移
个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2 倍
D．先向右平移
个单位长度，再把横坐标缩短到原来的
【答案】AC
【详解】要得到函数
的图象，只需将函数
图象上的所有点先横坐标伸长到原
来的2 倍，再向右平移
个单位长度;
要得到函数
的图象，只需将函数
图象上的所有点先向右平移
个单位长度，
再把横坐标伸长到原来的2 倍即可
【巩固练习3】已知函数
的最小正周期为
，为了得到函数
的图像，只要将
的图像（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】A
【分析】根据最小正周期为
可得
，进而得到
，再根据诱导公式结合三角
函数图象平移的性质分析即可.
【详解】因为函数
的最小正周期为
，
所有
，即
，
因为
，
所以只需将函数
图象左平移
个单位长度即可得到函数
图象.
【巩固练习4】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+
)，则下面结论正确的是
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位
长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单位
长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位
长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单位
长度，得到曲线C2
【答案】D
【详解】把C1上各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，
再把得到的曲线向左平移
个单位长度，得到函数y=cos2（x+
）=cos（2x+
）=sin
（2x+
）的图象，即曲线C2，
故选D．
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，
所以也必须熟练掌握. 无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母
而言. 函数
是奇函数
；函数
是偶函数
；函数
是奇函数
；函数
是偶函数
.
【巩固练习6】为得到函数
π
cos 2
3
y
x
的图像，只需将函数
sin 2
y
x
的图像（ ）
A．向左平移
5π
12 个长度单位
B．向右平移
5π
12 个长度单位
C．向左平移
5π
6 个长度单位
D．向右平移
5π
6 个长度单位
【答案】A
【分析】设出向左平移个长度，利用诱导公式将余弦函数变为正弦函数，列出方程，求出答案.
【详解】
π
π
π
5π
cos 2
sin 2
sin 2
3
3
2
6
y
x
x
x
，
将函数
sin 2
y
x
向左平移个长度单位，得到
sin 2
2
y
x
，
故2
π
6
5
，解得
12
5π
，即向左平移
5π
12 个长度单位.
【巩固练习7】函数
sin 2
f x
x
的图象向右平移6
个单位得到函数
g x 的图象，若
g x
g
x
，当
最小时，φ 的值是（ ）
A．
6
B．6
C．
3
D．3
【答案】A
【分析】由题知
sin 2
3
g x
x
，且为偶函数，进而得
5
,
6
k
k
Z
，再讨论最小值
即可得答案.
【详解】解：因为函数
sin 2
f x
x
的图象向右平移6
个单位得到函数
g x 的图象，
所以
sin 2
3
g x
x
，
因为
g x
g
x
，即函数
g x 为偶函数，
所以
,
3
2
k
k
Z
，即
5
,
6
k
k
Z
，
所以当
1
k 时，最小，此时
6
.
【巩固练习8】将函数
2
sin 2
3
y
x
的图象沿水平方向平移个单位后得到的图象关于直线
4
x
对称（
0
向左移动，
0
向右移动），当最小时，则（ ）
A．3
B．12
C．6
D．
3
【答案】C
【分析】根据图像的平移公式先求出平移后的解析式，再根据平移后的图像关于直线
4
x
对称，
结合正弦函数的图像性质可得答案.
【详解】将函数
2
sin 2
3
y
x
的图象沿水平方向平移个单位后得到
2
sin 2
3
y
x
即
2
sin 2
2
3
y
x
由题意
2
sin 2
2
3
y
x
的图像关于直线
4
x
对称.
所以
2
2
2
,
4
3
2
k
k
Z
，即
,
2
3
k
k
Z
当
1
k 时，
6
，此时最小
【题型3】由图像识别函数解析式
确定
(
)
(
)
sin
0
0
y
A
x
B A
，
的步骤和方法:
(1)求A
B
，
：确定函数的最大值M 和最小值m ，则
2
M
m
A
，
2
M
m
B
；
(2)求：确定函数的周期T ，则
2
T
＝
；
(3)求：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A
b
，，已知)或代入图象与直线y
b
＝的交点求解(此
时要注意交点是在增区间还是在减区间)．
②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．
【例题1】（2020·新高考1 卷真题）（多选）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】首先利用周期确定
的值，然后确定
的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可
得正确结果.
【详解】由函数图像可知：
，则
，所以不选A,
不妨令
,
当
时，
，
解得：
，
即函数的解析式为：
.
而
【例题2】函数
sin
0,0
π
y
A
x
A
在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为
.
【答案】
2π
2sin 2
3
y
x
【详解】根据所给的图象，可以看出图象的振幅是2 ，得到
2
A
，看出半个周期的值，得到，
根据函数的图象过点
π ,2
12
，把点的坐标代入函数解析式，结合的取值范围求出的值，从而
得到三角函数的解析式.
【解答】由图象可知，
max
2
A
y
，
函数
sin
0,0
π
y
A
x
A
的最小正周期为
5π
π
2
π
12
12
T
，
所以，
2π
2π
2
π
T
，则函数解析式为
2sin 2
y
x
，
因为函数的图象过点
π ,2
12
，则
π
2sin
2
6
φ
，可得
π
sin
1
6
，
因为0
π
，则
π
π
5π
6
6
6
，所以，
2
π
π
6
，解得
2π
3
，
故函数解析式为
2π
2sin 2
3
y
x
.
2
2
3
6
2
T
2
2
2
T
2
2
5
3
6
2
12
x
1
y
5
3
2
2
12
2
k
k
Z
2
2
3
k
k
Z
2
sin 2
2
sin 2
cos 2
sin
2
3
6
2
6
3
y
x
k
x
x
x
5
cos 2
cos(
2 )
6
6
x
x
【例题3】如图，某地一天中6 时至14 时的温度变化曲线近似满足函数
（其中
，
），则估计中午12 时的温度近似为 ℃；（精确到
）
【答案】27
【详解】由图易得
，
，
所以
，由
，
所以
，代入
，
所以
，
即
，即
，
又
，所以
，
所以
，
当
时，
．
【巩固练习1】已知函数
的部分图像如图所示，则
.
【答案】
【分析】首先确定函数的解析式，然后求解
的值即可.
【详解】由题意可得：
，
当
时，
，
令
可得：
，
据此有：
.
【巩固练习2】已知函数
( )
sin (
)
f x
x
（
0
，
0
π
）的部分图象如图所示，则
(0)
f
．
【答案】
3
2
【分析】根据已知可推得
π
T
，
2
.然后由函数图象结合五点法以及的范围可得，
π
3
，
π
sin 2
3
f x
x
.代入
0
x
，即可得出答案.
【详解】由已知可得，
7π
π
π
12
3
4
4
T
，
所以
π
T
，
2π
2
T
，
sin 2
f x
x
.
又由函数图象结合五点法可得，
7π
3π
2
2 π,
Z
12
2
k
k
，
3
2
f
3
13
3
2
,
,
2
4
12
3
4
T
T
T
13
12
x
13
13
2
2
,
2
12
6
x
k
k
k
Z
1
k
6
5
2cos 2
,
2cos 2
2cos
3
6
2
2
6
6
f
x
x
f
所以，
π
π,
Z
k
k
2
3
.
因为0
π
，
所以
π
3
，
π
sin 2
3
f x
x
，
所以，
π
3
0
sin 3
2
f
.
【巩固练习3】函数
sin
( , ,
f x
A
x
A
是常数，
0,
0,0
2π
A
）的部分图象如图所
示，则
π
(
)
3
f -
的值是 .
【答案】
6
2
【分析】根据给定的图象，依次求出
,
,
A 即得函数
( )
f x 解析式，再求出函数值作答.
【详解】观察图象知，
2
A
，函数
( )
f x 的周期
7π
π
4(
)
π
12
3
T
，则
2π
2
T
，
由
2
7π)
12
(
f
，得
7π
3π
2
2 π,
Z
12
2
k
k
，而0
π
，于是
0
k
，
π
3
，
因此
π
( )
2sin(2
)
3
f x
x
，所以
6
(
)
2sin(
)
3
3
2
π
π
f
.
【巩固练习4】已知函数
( )
2cos
0,|
|
2
f x
x
的部分图象如图所示，则
2
f
．
【答案】
3
【分析】由图象可知余弦型函数的周期，求出 ，根据“五点作图法”知
,0
3
可看作“五点作
图法”中的第二个点，即可求，写出函数解析式，求对应函数值.
【详解】由图可知：
3
13
3
4
12
3
4
T
（T 为
f
x 的最小正周期），
即：T
，所以
2
，即
2
，
故
2cos 2
f x
x
，
点
,0
3
可看作“五点作图法”中的第二个点，
所以2
3
2
p
p
f
=
，
6
，所以
2cos 2
6
x
f x
，
所以
2cos 2
2cos
3
2
2
6
6
f
.
【题型4】 单调性问题
函数
图象
单调性
在
上是增函数；
在
上是减函数．
在
上是增函数；
在
上是减函数．
在
上是增函数．
类型一：求单调区间
【例题1】函数
2
2sin cos
2sin
1
y
x
x
x
，
[0
x
，
]
的单调递减区间为
5
[
,
]
8
8
．
【答案】[ 8
，
5 ]
8
【解答】解：
2
2sin cos
2sin
1
sin 2
cos2
2 sin(2
)
4
y
x
x
x
x
x
x
，
令2
[2
4
2
x
k
，
3
2
]
2
k
，k
Z
，则
[
8
x
k
，
5 ]
8
k
，k
Z
，
因为
[0
x
，
]
，所以
[ 8
x
，
5 ]
8
．
类型二：复合函数型
【例题2】函数
1
2
log sin 2
4
y
x
的单调减区间为（ ）
A．
,
4
k
k
k
Z
B．
,
8
8
k
k
k
Z
C．
3 ,
8
8
k
k
k
Z
D．
3
,
8
8
k
k
k
Z
【答案】B
【分析】本题首先可求出函数
1
2
log sin 2
4
y
x
的定义域，然后求出函数
sin 2
4
g x
x
的
单调性，最后根据复合函数的单调性的相关性质以及
1
2
log
y
g x
的单调性即可得出结果.
【详解】令
sin 2
4
g x
x
，则
1
2
log
y
g x
，
因为
1
2
log sin 2
4
y
x
，所以
sin 2
0
4
g x
x
，
即2
2
2
4
k
x
k
，解得
3
8
8
k
k
Z
x
k
，
函数
1
2
log sin 2
4
y
x
的定义域为
3
,
8
8
k
k
k
Z
.
当
8
8
k
x
k
时，
2
2
2
4
2
k
x
k
k
Z
，
g x 是增函数，
当
3
8
8
k
x
k
时，
2
2
2
2
4
k
k
x
k
Z
，
g x 是减函数，
因为
1
2
log
y
g x
是减函数，
所以根据复合函数的单调性的相关性质易知，
当
,
8
8
x
k
k
k
Z
时，函数
1
2
log sin 2
4
y
x
是减函数
类型三：由单调性求参数范围
【例题3】若
π
sin 2
6
f x
x
在区间
,t t
上单调递增，则实数t 的取值范围为（ ）
A．
π π
,
6 2
B．
π
0, 3
C．
π π
,
6 3
D．
π
0, 6
【答案】D
【详解】令
π
π
π
2 π
2
2 π,
2
6
2
k
x
k
k
Z ，
所以
π
π
π
π
3
6
k
x
k
，k Z
所以函数
f
x 的单调增区间为
π
π
π,
π
3
6
k
k
，k Z
又因为
f
x 在
,t t
上单调递增，
则
,t t
是
π
π
π,
π
3
6
k
k
，k Z 的一个子区间，
当
0
k
时，即
π π
,
3 6
，
若
,t t
是
π π
,
3 6
的子集，
则
π
0, 6
t
【巩固练习1】函数
( )
3sin(
)
cos
3
f x
x
x
的单调递减区间为( )
A．
4
[
,
],
3
3
k
k
k
Z
B．
2
[
,
],
6
3
k
k
k
Z
C．
4
[
2
,
2
],
3
3
k
k
k
Z
D．
2
[
2
,
2
],
6
3
k
k
k
Z
【答案】C
【
解
答
】
解
：
1
3
3
1
( )
3sin(
)
cos
3( sin
cos )
cos
sin
cos
sin(
)
3
2
2
2
2
6
f x
x
x
x
x
x
x
x
x
，
令
[2
6
2
x
k
，
3
2
]
2
k
，k
Z
，则
[2
3
x
k
，
4
2
]
3
k
，k
Z
，
所以
( )
f x 的单调递减区间为[2
3
k
，
4
2
]
3
k
，k
Z
．
【巩固练习2】函数
( )
sin( 2
)
6
f x
x
的单调增区间是( )
A．[
6
n
，
](
)
3
n
n
Z
B．[2
6
n
，2
](
)
3
n
n
Z
C．
2
[
3
n
，
](
)
6
n
n
Z
D．
2
[2
3
n
，2
](
)
6
n
n
Z
【答案】C
【解答】解：
( )
sin( 2
)
sin(2
)
6
6
f x
x
x
的单调增区间，即函数
sin(2
)
6
y
x
的单调减区
间．
令
3
2
2
2
2
6
2
k
x
k
剟
，求得
2
3
6
k
x k
剟
，k
z
，
故函数函数
sin(2
)
6
y
x
的单调减区间为
2
[
3
n
，
](
)
6
n
k
z
【巩固练习3】函数
的单调增区间为（ ）.
A．
B．
C．
D．不存在
【答案】C
【详解】
即
，
由此可知
与
同增同减即可得函数
的单调增区间，
则增区间满足
或
，
，
即
或
，
，
解得
或
，
所以函数的单调增区间为：
.
【巩固练习4】若函数
( )
2
sin cos
cos
f x
x
x
x
a
x
在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是
．
【答案】[ 1
，1]
【解答】解：函数
( )
2
sin cos
cos
f x
x
x
x
a
x
在R 上单调递增，
2
( )
3
2sin
sin
0
f
x
x
a
x
恒成立，
设
sin ( 1
1)
t
x
t
剟
，即
2
2
3 0
t
at
恒成立．
0
t
时，不等式显然成立，
当0
1
t
时，
3
2
a
t
t
，
由
3
2
y
t
t
在(0 ，1]递减，得
1
t 时，y 取最小值1，故
1
a ，
当1
0
t
时，
3
2
a
t
t
，
由
3
2
y
t
t
在[ 1
，0) 递减，得
1
t 时，y 取最大值1
，故
1
a
，
综上：a 的取值范围是[ 1
，1]
【题型5】最值与值域问题（4 种类型）
求三角函数的最值，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理．
（1）
，引入辅助角
，化为
（2）
，设
，化为二次函数
在闭区间
上的最值
求解，也可以是
或
型．
（3 ）
，设
，则
，故
，故原函数化为二次函数
在闭区间
上的最值求解．
心为
2
,
(
)
k
b
k
Z
类型一：求指定区间上的值域
【例题1】求
，
的值域.
【答案】(1)
【详解】
，令
，
则
，
，画草图，如图：
由图知
，即
时，
取最小值为
；
，即
时，
取最大值为
.
故值域为
.
类型二：化为二次函数型
【例题2】（2017·全国·高考真题）函数
（
）的最大值是
．
【答案】1
【详解】化简三角函数的解析式，可得
，由
，可得
，当
时，函数
取得最大值1．
类型三：设
【例题3】（23-24 高一上·湖北武汉·期末）已知
，则函数
的值
域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，可得出
，求出二次函数
在
上的值域即可得解.
【详解】因为
，则
，则
，
令
，
所以，
，则
，
则
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以，
，
当
时，
；当
时，
，则
.
因此，当
时，则函数
的值域为
.
【例4】（23-24 高一下·云南昭通·阶段练习）已知
，
，则
的值域为 .
【答案】
【分析】令
，再结合平方关系将
用表示，根据三角函数的性质求出的
范围，再结合二次函数的性质即可得解.
【详解】令
，
则
，故
，
因为
，所以
，所以
，
令
，则
在
单调递增，
则当
，
所以
的值域为
.
类型四：已知值域求参数范围
【例5】已知函数
的定义域为
（
），值域为[0,1]，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】当
时，
.
由题意可得
，解得
.
【巩固练习1】求下列函数的值域.
(1)
，
；
(2)
，
.
【答案】(1)
；
(2)
.
【详解】（1）因为
，所以
，
令
，
则
，
.
①当
时，y 取最大值4；
②当
或
时，y 取最小值
.
故函数
，
的值域为
.
（2）
，
.
令
，
，
则
，
，
∴当
时，y 取最小值
；
当
时，y 取最大值3.
故函数
，
的值域为
.
【巩固练习2】函数
2
sin
4cos
6
y
x
x
的值域是（ ）
A．
2,10
B．
0,10
C．
2,10
D．
10, 2
【答案】D
【分析】利用平方关系将函数写成关于cosx 的一元二次函数形式，再利用换元法求二次函数的值域
即可.
【详解】由
2
2
sin
cos
1
x
x
可得
2
2
sin
4cos
6
cos
4cos
7
y
x
x
x
x
令cosx
t
，则
1,1
t
，
2
( )
4
7
y
f t
t
t
易知，二次函数
2
( )
4
7
f t
t
t
关于
2
t 对称，且开口向上，
所以函数
2
( )
4
7
f t
t
t
在
1,1
t
为单调递增，
所以，
2
min
( 1)
1
4 ( 1)
7
10
y
f
2
max
(1)
1
4
7
2
y
f
所以，其值域为
10, 2
.
【巩固练习3】求
的值域.
【答案】
【详解】
，
令
，
，
则
，
故
时，
取最小值为
，
时，y 取最大值为1，
故其值域为
.
【巩固练习4】（23-24 高一上·广东广州·期末）函数
在区间
上的值
域是 ．
【答案】
【分析】令
，根据同角的三角函数关系式求出关于
的表达式，最后利用二次函
数
的单调性求出函数的值域.
【详解】令
，
因为
，
，所以
，
，
设
，
显然一元二次函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以
，
所以函数
的值域为
.
【巩固练习5】（23-24 高三上·江苏连云港·阶段练习）函数y＝sin x＋cos x－sin xcos x 的值域为
．
【答案】[－
，1]
【分析】根据同角三角函数基本关系化简原函数得到
，然
后利用换元法求值域即可.
【
详
解
】
，
令
，则
，
，
因为函数
在
上单调递增，
上单调递减，
所以当
时取得最大值，
，
当
时取得最小值，
，
所以函数
的值域为
.
【巩固练习6】（23-24 高一上·河北沧州·阶段练习）已知
．
(1)若
，求
的值；
(2)求
的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若
，两边同时平方，结合同角三角函数的平方关系，可求
的值；
（2 ）令
，则有
，由的取值范围结合二次函数的性质，求
的值域．
【详解】（1）
，
，
．
（2）令
，
因为
，则
，所以
，即
，
因为
，即
，所以
，
所以
，
，
由二次函数性质可知，
在
上单调递增，
所以
，即
的值域为
．
【巩固练习7】已知
，当
时，
取最大值，当
时，
取最小值，
则实数
的取值范围是（ ）
A．(−∞,−1]
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】令
，则
，
，
可知
的开口向上，对称轴为
，
原题意等价于：当
时，
取最大值，当
时，
取最小值，
结合二次函数对称性可知：
，
所以实数
的取值范围是[0,1].
【巩固练习8】已知函数
2
π
( )
4sin
4sin
2
f x
x
x
，
0,
x
a
的值域为
4,5 ，则实数a 的取值范
围为（ ）
A．
π π
,
6 2
B．
π 5π
,
6
6
C．
π ,π
6
D．
5π ,π
6
【答案】C
【分析】首先化简函数
f
x 的解析式，再利用复合函数的值域，求实数a 的取值范围.
【详解】
2
2
( )
4cos
4sin
4sin
4sin
4
f x
x
x
x
x
2
1
4 sin
5
2
x
，设
sin
t
x
，
2
1
4
5
2
g t
t
，函数的对称轴为
1
2
t
且
0
0
4
f
g
，
1
5
2
g
，1
4
g
，
因为函数
f
x 在区间
0,a 的值域为
4,5 ，所以
sin
t
x
在区间
0,a 上能取得
1
2
t
，但是t 不能小
于0，所以
π
π
6
a
.
【巩固练习9】（23-24 高一上·浙江杭州·阶段练习）已知函数
当
时，
(1)若
，求
的值；
(2)求函数
的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用辅助角公式及特殊角的三角函数值即可求解.
（2）先利用换元法由（1）可得
；再利用二次函数的单调性求出最值即可得出答案.
【详解】（1）
，
.
，解得：
.
.
（2）
，
.
，
.
则
，
.
函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增.
当
时，
.
又
当
时，
；
当
时，
.
当
时，
.
故函数
的值域为
.
【巩固练习10】（23-24 高一下·江苏镇江·阶段练习）（1）求
的值；
（2）已知
，求函数
的值域.
【答案】（1）
；（2）
【分析】（1）利用辅助角公式，结合三角函数的诱导公式即可得解；
（2）利用换元法与辅助角公式、同角的基本关系式将函数转化为关于的二次函数，从而得解.
【详解】（1）
.
（2）令
，
当
时，
，故
，即
，
又
，所以
，
故
，
又
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，
取得最大值
，当
时，函数取得最小值
，
所以
的值域为
.
【巩固练习11】已知函数
1
( )
sin
sin(
)
3
4
f x
x
x
的定义域为[m ，](
)
n m
n
，值域为
1 1
[
, ]
2 4
，
则n
m
的取值范围为
．
【答案】[ 3
，
2 ]
3
【解答】解：
1
( )
sin
sin(
)
3
4
f x
x
x
1
3
1
sin ( sin
cos )
2
2
4
x
x
x
2
1
3
1
sin
sin cos
2
2
4
x
x
x
1
3
1
(1
cos2 )
sin 2
4
4
4
x
x
1
3
1
(
sin 2
cos2 )
2
2
2
x
x
1 sin(2
)
2
6
x
，值域为
1
[ 2
，
1]
4 ，
sin(2
)
[ 1
6
x
，
1]
2 ，
所以
7
2
[2
6
6
x
k
，2
]
6
k
，
故
[
2
x
k
，
]
6
k
，k
Z
，
2
(
)
6
2
3
k
k
，
所以n
m
最大值为
2
3
；
令2
6
2
x
，得
6
x
，
令2
6
6
x
，得
6
x
，
所以n
m
的最小值为
(
)
6
6
3
，
所以n
m
的取值范围是[ 3
，
2 ]
3
．
【题型6】对称性与周期
1.一般情况下，
)
( )=
+ )
0
0
(
(
f x
Asin
x
A
，
两个点关于中心对称，则函数值互为相反数。
2.对称中心之间的距离是半个周期的整数倍。
3.周期与轴之间的距离，是四分之一周期的整数倍。
4 正余弦与水平线交点的中点，是函数的对称轴。
5.一般情况下，
+
(
)
(
( )=
+
0
0)
f x
Asin
x
b A
，
的最大值或者最小值，必在对称轴处。
6.对称轴之间的距离，是半个周期的整数倍。
7、求函数
+
(
)
(
( )=
+
0
0)
f x
Asin
x
b A
，
的对称轴的方法；令
(
)
2
x
k
k
Z
，得
2
(
)
k
x
k
Z
；对称中心的求取方法；令
(
)
x
k
k
Z
，得
k
x
，即对称中心
为
k
b
，
．
8、求函数
cos(
)
(
0)
y
A
x
b w
的对称轴的方法；令
(
)
x
k
k
Z
得
2
k
x
，即
【例题1】已知函数
（其中
）的图象与直线
的两个相邻交点的距离
等于
，则
的值为（ ）
A．
B．2
C．1
D．3
【答案】C
【详解】由函数
的图象与直线
的两个相邻交点的距离等于
，又
，
所以
，可得
．
【例题2】（高一·浙江杭州·期末）将函数
的图象向右平移
个单位长度，则平移
后函数图象的解析式为 ；平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ．
【答案】
【解析】根据三角函数的图象变换，化简得到
，再结合三角函数的性质，即可
求解.
【详解】由题意，函数
的图象向右平移
个单位长度，
可得
，
即平移后函数图象的解析式为
令
，解得
，
当
时，
；
当
时，
,
所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是
.
故答案为：
；
.
【例题3】（23-24 高一下·浙江衢州·期末）一学生在求解以下问题“已知函数
的图象关于
直线
对称，关于
中心对称，且
，求
的值”时，思路
如下：令
（
，
），由对称轴和对称中心可求得
，再由对
称轴求
，对称中心求
，根据以上信息可得（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据已知条件可求得
，结合周期的性质可求，可得结论.
【详解】因为函数
的图象关于
中心对称，所以
，
函数
的图象关于直线
对称，且
，
可得
，解得
，
又因为
的图象关于
中心对称，关于直线
对称，
可得周期
，所以
，解得
，
又
时，
，解得
，
又
，可得
，所以
，
所以
，
，
，
所以
，
.
【巩固练习1】（23-24·广东深圳·阶段练习）（多选）将函数
的图象向右平移
个单
位长度得到函数
的图象，则下列结论正确的为（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于直线
对称
C．
在区间
上单调递减
D．
的图象与
的图象关于
对称
【答案】AD
【分析】先根据左加右减得到
的解析式，A 选项，根据正切函数最小正周期公式求出A 正确；
B 选项，
无意义，B 错误；C 选项，整体法判断出函数的单调性；D 选项，计算出
，故D 正确.
【详解】由题意得
，
A 选项，
的最小正周期为
，A 正确；
B 选项，因为正切函数没有对称轴，故
不是
的对称轴，B 错误；
C 选项，当
时，
，
由于
在
上单调递增，故
在
上单调递增，C 错误；
D 选项，
，
故
的图象与
的图象关于
对称，D 正确.
【巩固练习2】已知直线x = 5π
12 和
都是函数
图象的对称轴，则
的解析式可
能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题可知，当x = 5π
12 或
时，
取得最值；
对于A：
，
，符合题意，故A 正确；
对于B：
，故B 错误；
对于C：
，故C 错误；
对于D：
，故D 错误.
【巩固练习3】设函数
与函数
的对称轴完全相
同，则
的值为 ．
【答案】
【详解】由题意，求函数
，
的对称轴，令
，解得
函数
，令
，解得
，
因为函数，
与函数
的对称轴完全相同,则周
期也相同，故
，
，所以
.
【巩固练习4】函数
的图象在区间
上恰有一条对称轴和一个对称中
心，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由x∈(0,1)，设
，则
，
由图可知直线
在线段
之间，不含点
，
所以
，得
．
【巩固练习5】已知函数
，则
（
）
A．2025
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
得
，
所以
，
所以
【巩固练习6】函数
1
f x
x
与函数
5π
2cos
1
2
g x
x
的图象所有交点的横坐标之和为
．
【答案】10
【分析】判断函数
f
x 的性质与最小值，判断函数
g x 的性质，作出函数
f
x 与
g x 的大致图
象，判断两个图象在(1,+ ∞)上的交点情况，根据对称性得结果.
【详解】因为
2
2
1
1
f
x
x
x
f x
，所以函数
f
x 的图象关于直线
1
x 对称，
且
f
x 在
,1
上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以
f
x 的最小值为f (1)=0．
5π
5π
5π
5π
2cos
1
2cos
2sin
2
2
2
2
g x
x
x
x
所以函数
g x 的图象关于直线
1
x 对称，且
g x 的最大值为2．
由于
f
x 的图象和
g x 的图象都关于直线
1
x 对称，
所以先考虑两个图象在(1,+ ∞)上的情形，
易知
g x 在
7
1, 5
上单调递减，在
7 9
,
5 5
上单调递增，在
9 11
,
5 5
上单调递减，
在
11 13
,
5
5
上单调递增，在
13,3
5
上单调递减．
易知
13
13
8
1
2
5
5
5
f
，
3
3 1
2
f
，
所以可作出函数
f
x 与
g x 的大致图象如图所示，
所以
f
x 的图象和
g x 的图象在(1,+ ∞)上有5 个交点．
根据对称性可知两函数图象共有10 个交点，且两两关于直线
1
x 对称，
因此所有交点的横坐标之和为2 5
10
．
【题型7】三角函数性质辨析
在多选题中经常出现三角函数性质辨析题，其常见选项有
辨析1：判断x
a
或
,0
a
是否为对称轴或对称中心
辨析2: 在某区间上有是否单调递增（减）；
辨析3: 判断在某区间上有多少个零点或对称轴
辨析4: 判断在某区间上的值域
辨析5：给出限制条件辨析参数范围是否正确
【例题1】（23-24 高一上·湖北武汉·期末）已知函数
的部分图
象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．f (x)的图象关于点
对称
B．
为奇函数
C．f (x)在区间
上单调递增
D．f (x)的图象关于直线
对称
【答案】D
【分析】根据函数图象求得
，然后根据三角函数的对称性、单调性、奇偶性等知识对选项进行
分析，从而确定正确答案.
【详解】由题可知
，又因
，所以
，则
，
，则
，
，所以
，
，
由于
，所以
，所以
，则
.
对A：
，故A 错误；
对B：
为偶函数，故B 错误；
对C：
，则
，函数f (x)不具有单调性，故C 错误；
对D：当
时，
，则
是函数f (x)的一条对称轴，故D 正确.
【例题2】（23-24 高一上·广东深圳·期末）（多选）函数
（
，
，
）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．函数
的图象关于点
对称
C．函数
在
上单调递增
D．将函数
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象
【答案】ABC
【分析】借助图象周期求出
、再由定点结合范围求出
，得出解析式后结合正弦型函数性质可得
A、B、C，结合函数图象的平移可得D．
【详解】对于选项A:由题意可得
，故
，
则
，
，
即
，解得
，
又
，即
，故A 正确；
对于选项B:即
，当
时，有
，
故
的图象关于点
对称，故B 正确；
对于选项C:令
，则
，
当
时，
，
而
在
单调递增，故C 正确；
对
于
选
项
D:
将
函
数
的
图
象
向
由
右
平
移
个
单
位
得
到
，故D 错误．
【巩固练习1】（23-24 高一上·浙江温州·期末）（多选）已知函数
，则下列结
论正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于直线
对称
C．
是奇函数
D．
的单调递减区间为
【答案】ACD
【分析】根据正弦型函数最小正周期的计算公式即可判断选项A；利用代入验证法即可判断选项
B；根据奇函数的定义及三角函数的诱导公式即可判断选项C；利用整体代入法及正弦函数的单调
性即可判断选项D.
【详解】对于选项A：因为
的最小正周期为
，故选项A 正确；
对于选项B：因为
，
所以
的图象不关于直线
对称，故选项B 错误；
对于选项C：因为
，定义域为
，且
，
所以
是奇函数，故选项C 正确；
对于选项D：令
,
解得：
，
所以
的单调递减区间为
，故选项D 正确.
【巩固练习2】（23-24 高一上·江苏盐城·期末）（多选）已知函数
（
，
，
）的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）.
A．
的最小正周期为
B．
为偶函数
C．
在区间
内的最小值为1
D．
的图象关于直线
对称
【答案】AC
【分析】根据给定的三角函数的图象，得到函数的解析式为
，根据余弦函数的
性质，逐项判定，即可求解.
【详解】根据函数
的部分图象，
可得
，
，可得
，
，故选项A 正确；
由
得
，又
，所以
，
所以
，所以
，
因为定义域为R，且
，所以
为奇函数，故选项B 错误；
当
，可得
，所以
，所以
，
故
在区间
内的最小值为1，选项C 正确；
当
时，可得
，所以函数y = f (x)的对称中心为
，
即函数y = f (x)的图象不关于直线
对称，所以D 错误.
【巩固练习3】（23-24 高一上·江苏淮安·期末）用“五点法”作函数
（
，
，
）在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数
描
述正确的是（ ）
0
x
a
b
c
1
3
1
d
1
A．函数
的最小正周期是
B．函数
的图象关于点
对称
C．函数
的图象关于直线
对称
D．函数
与
表示同一函数
【答案】ACD
【分析】根据表格及三角函数的图象与性质一一分析选项即可.
【详解】根据表格可知
，且
，则
，
由正弦函数的周期性可知
的最小正周期为
，故A 正确；
由已知结合正弦函数的对称性可知：
，
显然
此时取得最小值，所以
的图象不关于点
对称，故B 错误；
由已知结合正弦函数的对称性可知：
，此时
取得最大值，
所以
的图象关于直线
对称，故C 正确；
由诱导公式可知
，故D 正确.
【巩固练习4】（23-24 高一上·浙江杭州·期末）（多选）关于函数
，下列结论正确的是（ ）
A．函数
的最大值是2
B．函数
在
单调递减
C．函数
的图像可以由函数y＝2sin2x+1 的图像向右平移
个单位得到
D．若方程
在区间
有两个实根，则
【答案】BC
【分析】根据题意，化简函数
，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即
可求解.
【详解】由函数
，
对于A 中，当
时，函数
的最大值为，所以A 错误；
对于B 中，当
时，可得
，
根据正弦函数的性质，可得正弦函数单调递增，所以B 正确；
对于C 中，函数
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象，所以
C 正确；
对于D 中，令
，解得
，
所以
在
上单调递增，
令
，解得
，
所以
在
上单调递减，
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
，
所以
在区间
上有两个实根，可得
，所以 D 不正确.
【巩固练习5】（23-24 高一上·江苏无锡·期末）函数
的
部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
的表达式可以写成
C．
的图象向右平移
个单位长度后得到的新函数是奇函数
D．若方程
在(0,m)上有且只有6 个根，则
【答案】BCD
【分析】A 选项，将
代入解析式得到
，结合
求出
；B 选项，
结合
为函数的零点，得到
，得到函数解析式，并结合诱导公式得到B 正确；C 选项，先得
到平移后的解析式，从而根据函数奇偶性定义进行判断；D 选项，转化为
在
上有6 个解，数形结合得到不等式组，求出
的取值范围.
【详解】A 选项，由图象可得，函数过点
，
将
代入得
，故
，
又
，解得
，A 错误；
B 选项，
，
又
为函数的第一个正零点，故
，
故
，解得
，
因为
，故只有当
时满足要求，此时
，
故
，B 正确；
C 选项，
的图象向右平移
个单位长度后得到的新函数为
，
即
，其定义域为R，故
为奇函数，C 正确；
D 选项，令
得
，
当
时，
，
要想
在
上有6 个解，
则
，解得
，
若方程
在(0,m)上有且只有6 个根，则
，D 正确.
【巩固练习7】（23-24 高一上·广东深圳·期末）（多选）已知函数
（
，
），
为
的零点，且在
上单调递减，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．
是偶函数
D．
的取值范围是
【答案】ABD
【分析】对A，将
代入
结合题目条件可得
的值；对B，由函数
的图象是中心对
称图形，且
即可得；对C，由
无法判断奇偶性可得；对D，结合函数单调性
即可得.
【详解】对于A 选项，由
是
的零点得
，
所以
，即
，
因为
，所以
，故A 正确；
对于B 选项，函数
的图象是中心对称图形，
由
得
是函数
的对称中心，
所以
，故B 正确；
对于C 选项，
，奇偶性无法判断，故C 错误；
对于D 选项，由A 选项得
，
因为函数
在
上单调递减，
所以
，
，
解得
（
），
所以当
时，
，当
无解，
所以
，故D 正确.
【题型8】由三角函数性质求参数的值
【例题1】（2023·全国·统考高考真题）已知函数
在区间
单调递增，直线
和
为函数
的图像的两条相邻对称轴，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入
即可得到答案.
【详解】因为
在区间
单调递增，
所以
，且
，则
，
，
当
时，
取得最小值，则
，
，
则
，
，不妨取
，则
，
则
【例题2】（2022·全国·统考高考真题）记函数
的最小正周期为T．若
5π
12
x
( )
sin(
)
f x
x
π 2π
,
6
3
2π
π
π
2
3
6
2
T
0
π
T
2π
2
w
T
π
6
x
f x
π
π
2
2 π
6
2
k
Z
k
5π
2 π
6
k
Z
k
0
k
5π
sin 2
6
f
x
x
5π
5π
3
sin
12
3
2
f
，且
的图象关于点
中心对称，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．3
【答案】A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T 满足
，得
，解得
，
又因为函数图象关于点
对称，所以
，且
，
所以
，所以
，
，
所以
.
【例题3】已知函数
π
sin
0,0
2
f x
x
满足
π
6
f x
f
恒成立，
π
f x
f
x
，且
f
x
在区间
0,2π
上有5 个零点，则 .
【答案】
7
3
【分析】由
π
6
f x
f
可知
π
1
6
f
，由此可求得的值；根据函数
f
x 在区间
0,2π 零点
的个数，结合正弦函数的图象可知的取值范围；由
π
f x
f
x
可知函数的对称轴，得出
1
1
1
2
Z
3
k
k
,再结合的取值范围即可得出的值.
【详解】由题意
π
π
π
sin
sin
1
6
6
6
f
，
所以
π
π
2 π
Z
6
2
k
k
，得
π
2 π
Z
3
k
k
，
因为
π
0
2
，所以
π
3
，所以
π
sin
3
f x
x
；
因为
f
x 在区间
0,2π 上有5 个零点，
所以
π
5π
2π
6π
3
，
解得
7
17
3
6
；
因为
π
f x
f
x
，
2
3
T
2
2
3
2
3
3 ,2
2
3
,
2
4
k
k
Z
2
b
1
2 ,
6
3 k k
Z
5
2
5
( )
sin
2
2
4
f x
x
5
sin
2
1
2
4
4
f
所以函数
π
sin
3
f x
x
的图象关于直线
π
2
x
对称，
所以
1
1
π
π
π
π
,
Z
2
3
2
k
k
，得
1
1
1
2
Z
3
k
k
，所以
7
3
.
【巩固练习1】已知函数
sin
f x
x
在区间
π 2π
,
6
3
上单调递减，直线
π
6
x
和
2π
3
x
为函数
y
f x
的图象的两条相邻对称轴，则
π
3
f
（ ）
A．
3
2
B．
1
2
C．
1
2
D．
3
2
【答案】C
【分析】由题求出
2π
π
π
2
3
6
2
T
，得到
2π
π,
2
T
T
，然后根据最值得出
π
2 π
,
Z
6
k
k
，
求出
y
f x
的解析式，得出答案.
【详解】因为直线
π
6
x
和
2π
3
x
为函数
y
f x
的图象的两条相邻对称轴，
所以
2π
π
π
2
3
6
2
T
，且
0
，则
2π
π,
2
T
T
，
又
sin
f x
x
在区间
π 2π
,
6
3
上单调递减，
所以当
π
6
x
时，
f
x 取得最大值，则
π
π
2
2 π
,
Z
6
2
k
k
，
则
π
2 π
,
Z
6
k
k
，不妨取
0
k
，则
π
sin 2
6
f x
x
，则
π
5π
1
sin
3
6
2
f
【巩固练习2】（23-24 高一上·江苏南通·期末）设函数
的最小正周期为
. 若
，且对任意
，
恒成立，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
可得
，由对任意
，
恒成立，可得
，计算即可得.
【详解】由
，且
，故
，
即有
，解得
，
又
，
，故
，即
，
综上，
.
【巩固练习3】已知函数
在区间
上单调递减，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
在区间
上单调递减，
，
由
，得
①.
又
，
图象关于点
对称，
即
②. 由②-①得
，由于
，
则
，代入①，即
，
由于
，则
，则
．
【巩固练习4】已知函数
( )
sin(
)
f x
x
在区间
π π
,
6 3
单调递增，直线
π
6
x
和
π
3
x
为函数
y
f x
的图像的两条相邻对称轴，则
π
12
f
（ ）
A．
3
2
B．
1
2
C．
1
2
D．
3
2
【答案】A
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入
π
12
x
即可得到答案.
【详解】因为
sin
f x
x
在区间
π π
,
6 3
上单调递增，且直线
π
6
x
与
π
3
x
为
y
f x
相
邻的两条对称轴，
所以
π
π
π
2
3
6
2
T
，即
π
T
，且
0
，
2π
2
T
，
又
π
6
x
时取得最小值，即
π
1
6
f
，所以
π
sin
1
3
，
解得
π
2 π,
Z
6
k
k
，
π
π
π
3
sin
2 π
sin
12
3
3
2
f
k
.
【巩固练习5】已知函数
sin
0
f x
x
有一个零点为
5π
2π
,
12
3
x
为其图象的一条对称轴．
且函数
f
x 在区间
5π 2π
,
12
3
上单调递增，则
π
6
f
（ ）
A．
1
2
B．
1
2
C．
3
2
D．
3
2
【答案】A
【分析】根据题意可知
2π
5π
π
4
3
12
4
T
，利用
2π
π
T
，可求得的值，再根据
2π
1
3
f
可求得
的值，求出
f
x 的解析式后，即可求值.
【详解】由题意可知
2π
5π
π
4
3
12
4
T
，则
2π
π
T
，
故
2
，所以
sin 2
f x
x
，
又
2π
3
x
为其图象的一条对称轴，
且函数
f
x 在区间
5π 2π
,
12
3
上单调递增，则
2π
2π
4π
sin 2
sin
1
3
3
3
f
，
所以
4π
π
2 π,
3
2
k
Z
k
,
故
5π
2 π,
6
k
Z
k
，可取
5π
6
，
则
5π
sin 2
6
f x
x
，所以
π
π
5π
7π
1
sin
=sin
.
6
3
6
6
2
f
【巩固练习6】函数
sin
(
0)
f x
x
满足
π
0
3
f
，且
π
3
f x
f
恒成立，若
f
x
在区间
π π
,
3 3
上有最小值而无最大值，则 .
【答案】
9
4
【分析】由题意可得
π ,0
3
为函数的对称中心，
π
3
x
为函数的对称轴，再结合
f
x 在区间
π π
,
3 3
上有最小值而无最大值，可得
3
π
π
4
3
3
T
，即可得解.
【详解】因为
π
0
3
f
，所以
π ,0
3
为函数的对称中心，
因为
π
3
f x
f
恒成立，所以
π
1
3
f
，
所以
π
3
x
为函数的对称轴，
又因为
f
x 在区间
π π
,
3 3
上有最小值而无最大值，
所以
3
6π
π
π
4
4
3
3
T
，解得
9
4
【题型9】三角函数新定义问题
【例题1】计算器是如何计算sin x 、cos x 、ex
、ln x 、
x 等函数值的?计算器使用的是数值计算法，
如
3
5
7
sin
3
5
7
x
x
x
x
x
，
2
4
6
cos
1
2!
4!
6!
x
x
x
x
，其中! 1 2 3
n
n
，英国数学家泰
勒（B．Taylor，1685-1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得超多、计算得出的sin x 和
cos x 的值也就越精确，运用上述思想，可得到cos1的近似值为（ ）
A．0.50
B．0.52
C．0.54
D．0.56
【答案】C
【分析】取
1
x 代入公式
2
4
6
cos
1
2!
4!
6!
x
x
x
x
中，直接计算取近似值即可．
【详解】
2
4
6
1
1
1
1
1
1
cos1
1
1
2!
4!
6!
2
24
720
1 0.5
0.041 0.001
0.54
.
【巩固练习1】定义:正割
1
sec
cos
，余割
1
csc
sin
.已知m 为正实数，且
2
2
csc
tan
15
m
x
x
对任意的实数
,
2
x x
k
k
Z
均成立，则m 的最小值为（ ）
A．1
B．4
C．8
D．9
【答案】D
【分析】利用已知条件先化简，分离参数，转化恒成立求最值问题
【详解】由已知可得
2
2
2
2
2
sin
csc
tan
15
sin
cos
x
x
x
x
m
m
x
，
即
4
2
2
sin
15sin
cos x
x
x
m
.
因为
(
)
2
x
k
k
Z
，所以
2
cos
(0,1]
x
，
则
4
2
2
sin
15sin
cos
x
x
x
2
2
2
2
2
2
(1-cos
)
1
=15 1 cos
=17
+16cos
cos
cos
x
x
x
x
x
2
2
1
17
2
16cos
9
cos
x
x
，当且仅当
2
1
cos
4
x
时等号成立,故
9
m
【巩固练习2】人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算
机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为
了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若
二维空间有两个点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，则曼哈顿距离为：
1
2
1
2
,
d A B
x
x
y
y
，余弦相似
度为：
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
cos
,
x
x
y
y
A B
x
y
x
y
x
y
x
y
，余弦距离为
1 cos
,
A B
(1)若
1,2
A
，
3 4
,
5 5
B
，求A，B 之间的曼哈顿距离
,
d A B 和余弦距离；
(2)已知
sin
,cos
M
，
sin
,cos
N
，
sin
, cos
Q
，若
1
cos
,
5
M N
，
2
cos
,
5
M Q
，
求tan
tan
的值
【答案】(1)14
5 ，
5
1
5
，(2) 3
【分析】（1）根据公式直接计算即可.
（2）根据公式得到
1
sin
sin
cos
cos
5
，
2
sin
sin
cos
cos
5
，计算得到答案.
【详解】（1）
3
4
14
,
1
2
5
5
5
d A B
，
1
3
2
4
5
cos
,
5
5
5
5
5
A B
，故余弦距离等于
5
1 cos
,
1
5
A B
；
（
2
）
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
sin
cos
cos
cos
,
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
M N
1
sin
sin
cos
cos
5
；
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
sin
cos
cos
cos
,
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
M Q
2
sin
sin
cos
cos
5
故
3
sin
sin
10
，
1
cos
cos
10
，则
sin
sin
tan
tan
3
cos
cos
.
【巩固练习3】已知函数
sin
cos
f x
a
x
b
x
，称向量
,
p
a b
为
f
x
的特征向量，
f
x
为p
的
特征函数.
(1)设
3
2sin
sin 2
g x
x
x
，求
g x 的特征向量；
(2)设向量
3,1
p
的特征函数为
f
x ，求当
6
5
f x
且
,
6 3
x
时，sin x 的值；
(3)设向量
1
3
,
2
2
p
的特征函数为
f
x ，记
2
1
4
h x
f
x
，若
h x 在区间
,a b 上至少有40
个零点，求b
a
的最小值.
【答案】(1)(
)
2, 1
-
，(2) 3 3
4
10
，(3) 58
3
【分析】（1）根据诱导公式化简，再根据函数的特征向量的定义即可得解；
（2 ）根据向量的特征函数求出函数解析式，化简可得
2sin
6
f x
x
，再根据
sin
sin
6
6
x
x
结合两角差的正弦公式即可得解；
（3）根据三角恒等变换求出函数
h x 的解析式，不妨设a 为其中的一个零点，再根据三角函数的
性质即可得出答案.
【详解】（1）解：因为
3
2sin
sin
2sin
cos
2
g x
x
x
x
x
，
所以函数
g x 的特征向量
2, 1
p
；
（2）解：因为向量
3,1
p
的特征函数为
f
x ，
所以
3sin
cos
2sin
6
f x
x
x
x
，
由
6
5
f x
，得
3
sin
6
5
x
，
因为
,
6 3
x
，所以
0,
6
2
x
，
所以
4
cos
6
5
x
，
所以
3
3
4
1
3 3
4
sin
sin
6
6
5
2
5
2
10
x
x
；
（3）解：因为向量
1
3
,
2
2
p
的特征函数为
f
x ，
所以
1
3
sin
cos
cos
2
2
6
f x
x
x
x
，
则
2
2
1
1
1
1
cos
cos 2
4
6
4
2
3
4
h x
f
x
x
x
，
令
0
h x
，则
1
cos 2
3
2
x
，
则
2
2
2
3
3
x
k
或
4
2
,
Z
3
k
k
，
则
6
x
k
或
,
Z
2
k
k
，
由
h x 在区间
,a b 上至少有40 个零点，
不妨设
6
a
，
则
19
19
6
2
6
2
b
T
T
，
则
58
19
19
3
3
3
b
a
T
，
所以b
a
的最小值为
58
3
.
【题型10】三角图像性质综合
【例题1】已知函数
的部分图像如图所示：
(1)求函数y = f (x)的表达式；
(2)当
时，求方程
的所有根的和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由函数
的图象，可得
，可得
，所以
，
因为
，即
，
可得
，即
，
又因为
，可得φ =π
3 ，所以
.
（2）解：由
，可得
或
，
因为
，可得
，
当
时，
，设方程的解为
，
则
，可得
；
当
时，
，则
，可得
，
综上所述，方程
的所有根的和为
.
【例题2】已知函数
.
(1)求函数
及其最小正周期；
(2)求函数
在区间
上的单调减区间；
(3)将函数
图象向右移动
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的
倍
得到
的图象，若
在区间
上至少有100 个最大值，求a 的取值范围．
【答案】(1)
，最小正周期
；
(2)递减区间为
；
(3)
.
【分析】（1）由和角余弦公式、二倍角公式化简得
，再求出最小正周期即可；
（2）设
，结合正弦函数性质求递减区间；
（3）根据图象平移得
，再由正弦函数图象和区间最值个数列不等式求参数范围.
【详解】（1）因为
，
所以
，
所以最小正周期为
.
（2）设
，由
，可得
，
而
在
上递增，在
上递减，
所以
在
上递增，在
上递减，
故
在区间
上的单调减区间为
.
（3）由题意,可得
，
则
，则
为奇函数，
由
，可得
，
要使在区间
上至少有100 个最大值，则
上有50 个最大值，
所以
，即
；
上有50 个最大值，则
，即
，
综上，
.
【巩固练习1】将函数
图象上所有点的横坐标缩小为原来的
，再向右平移
个单位
长度，得到函数
的图象，若
在
上有两个不同的零点
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数图象的变换可得
，即可结合正弦函数的对称性得
，
进而
，即可求解.
【详解】将函数
图象上所有点的横坐标缩小为原来的
，得到
的图象，
再向右平移
个单位长度，得到
的图象．
当
时，
，令
，
，
则关于t 的方程
在
上有两个不等的实数根
，
，所以
，
即
，则
，所以
．
【巩固练习2】已知函数
的部分图象如下图所示，若曲线
y = f (x)过点
，
，
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：因为
，所以
，而
，因此
，
即
因为
，所以由“五点法”作图得：
，解得
，
由于
,解得
，故取
，则
，
因此
.
因为
，所以
，
.
因为由函数
的图象，结合“五点法”作图知：
，
，
所
以
由
和
得
：
，
，
因此
.
【巩固练习3】已知函数
为奇函数，且
图象的相邻两条对称轴间的距离为
.
(1)求
的解析式与单调递减区间；
(2)将函数
的图象向右平移
个单位长度，再把横坐标缩小为原来的
（纵坐标不变），得到
函数
的图象，当
时，求方程
的所有根的和.
【答案】(1)
，
(2)
.
【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；
（2）利用图象变换法,求得
的函数表达式，解方程求得
的值，利用换元思想，结合三
角函数的图象和性质分析求出即可.
【
详
解
】
（
1
）
由
题
意
可
得
：
因
为
图象的相邻两条对称轴间的距离为
，
所以
的最小正周期为
，即可得
，
又
为奇函数，则
，
又
，所以
，故
.
令
，得
，
所以函数
的递减区间为
.
（2）将函数
的图象向右平移
个单位长度，可得
的图象，
再把横坐标缩小为原来的
，得到函数
的图象，
又
，则
或
，
即
或
.
令
，当
时，
，
画出
的图象如图所示：
的两个根
对应的点
关于直线
对称，即
，
有
，
在
上有两个不同的根
，
所以
；
又
的根为
，
所以方程
在
内所有根的和为
.
【巩固练习4】已知函数
，将
的图象各点横坐标缩短到原来的
，纵坐标伸长到原
来的2 倍，然后再将所得函数图象向左平移
个单位后得到
函数的图象.
(1)方程
在
上有且只有一个解，求实数
的取值范围；
(2)实数
满足对任意
，都存在
，使得
成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
.
(2)
【分析】（1）将方程的解转化为函数
的图象与直线
有且只有一个交点，结合图象求
解范围即可；
（2）条件转化为
，易求
的最大值为
.求函数
在
的最大值，则利
用整体换元法，转化为二次函数轴动区间定最值问题分类讨论求解再整合即可.
【详解】（1）已知函数
，将
的图象各点横坐标缩短到原来的
得到
的图
象，
再将所得函数图象纵坐标伸长到原来的2 倍得到
的图象，
再将所得函数图象向左平移
个单位后，得到
函数的图象，
则
，
当
时，
，
方程
在
上有且只有一个解，
即函数
的图象与直线
有且只有一个交点，
由函数图象可知，
，或
，
解得
，或
，
故实数
的取值范围为
.
（2）设函数
若实数
满足对任意
，都存在
，
成立，
则
.
，则
；
由
，
令
，由
为增函数，
则
，
设
，
，图象开口向上，对称轴为
.
当
，即
时，
，
则
，解得
，则
；
当
，即
时，
，
则
，解得
，则
.
综上，
的取值范围为
.
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