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三角函数最值
Part 1 三角函数最值问题
Part 2 解三角形中的最值
问题
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高一/ 数学/ 筑梦班
Part 1 三角函数最值问题
知识点睛
求解三角函数最值常见的函数形式及解法：
1. 由辅助角公式，y = asinx+bcosx =
√
a2 +b2 sin(x+φ)，其中cosφ =
a
√
a2 +b2 ，sinφ =
b
√
a2 +b2 (a̸ = 0, b̸ = 0).
2.y = asin2 x + bcos2 x + csinxcosx(a̸ = 0, b̸ = 0) 型函数，通过降次、整理后转化为y = Asin2x + Bcos2x +C =
√
A2 +B2 sin(2x+φ)+C 的形式，其中tanφ = B
A.
3.y = asin2 x+bcosx+c(a̸ = 0, b̸ = 0) 型函数可转化为关于cosx 的二次函数式.
4.y = asinx+
c
bsinx(a, b, c > 0) 型函数，令sinx = t，则转化为求y = at + c
bt (−1 ≤t ≤1, t̸ = 0) 函数的最值，可结
合应用对勾函数图象求解.
5.y = a(sinx+cosx)+bsinx·cosx+c(a̸ = 0, b̸ = 0) 型函数，常使用换元法求解，即令t = sinx+cosx，|t| ≤2，则有
sinxcosx = t2 −1
2
，并分别代入后转化为代数问题求解.
精讲精炼
【例1】
（1）已知π
4 ⩽x ⩽3π
4 ，求函数y = sin2x+cosx 的值域.
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第13 讲
三角函数最值
（2）求函数y = sin2x+acosx+ 5
8a−3
2 (0 ⩽x ⩽π
2 ) 的最大值．
【例2】
（1）已知函数y = sinx 的定义域为
[
5π
6 ,b
]
，值域为
[
−1, 1
2
]
，则b−5π
6 的值不可能是( )
A. 5π
6
B. 7π
6
C. 4π
3
D. 3π
2
（2）已知函数y = 2sinx 的定义域为[a,b]，值域为[−2,1]，则b−a 的值不可能是（ ）
A. 5π
6
B. π
C. 2π
D. 7π
6
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【例3】
（1）已知函数f (x) = sin(πx+φ)(0 < φ < 2π) 在x = 2 时取得最大值，则φ =
．
（2）为了使函数y = 2sinωx(ω > 0) 在区间[0,1] 上至少出现50 次最大值，则ω 最小的是
．
【例4】
将偶函数f (x) =
√
3sin(2x+θ)+cos(2x+θ)(0 < θ < π) 的图象向右平移θ 个单位得到函数g(x) 的图象，则g(x)
在[−π
4 , π
6 ] 上的最小值是( )
A. −2
B. −1
C. −
√
3
D. −1
2
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第13 讲
三角函数最值
【例5】
（1）若函数f(x) = |sinx−cosx|+sinx+cosx ，x ∈[0,2π] ，则函数的最小值是( )
A. −2
B. −
√
2
C.
√
2
D. 0
（2）函数y =
sinxcosx
1+sinx−cosx 的值域为
．
【例6】
函数y = sin5x
sinx 的值域是
．
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【例7】
已知函数f (x) =
√
3cos
(
π
2 −ωx
)
+cos(2π −ωx)，其中x ∈R，ω > 0，且此函数的最小正周期等于π．
（1）求ω 的值，并写出此函数的单调递增区间．
（2）求此函数在x ∈
[
0, π
2
]
的最大值和最小值．
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第13 讲
三角函数最值
Part 2 解三角形中的最值问题
精讲精炼
【例8】
（1）钝角△ABC 中，若A = 3π
4 ，|BC| = 1，则2
√
2|AB|+3|AC| 的最大值为
．
（2）已知△ABC 中的内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，若a = 1，C −B = π
2 ，则c−b 的取值范围是
．
【例9】
（1）在△ABC 中，角A、B、C 所对的边分别为a,b,c，且BC 边上的高为
√
3
6 a，则c
b + b
c 的最大值是（ ）
A. 8
B. 6
C. 3
√
2
D. 4
（2）在△ABC 中，角A，B，C 所对边长分别为a，b，c，若a2 +b2 = 2c2，求cosC 的最小值．
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【例10】
在△ABC 中，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，且2cosAcosC(tanAtanC −1) = 1．
（1）求B 的大小．
（2）若D 为AC 的中点，且BD = 1，求△ABC 面积最大值．
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三角函数最值
【例11】
如图，在△ABC 中，已知B = π
3 ,AC = 4
√
3，D 为BC 边上一点．
（1）若AD = 2,S△DAC = 2
√
3，求DC 的长．
（2）若AB = AD，试求△ADC 的周长的最大值．
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【例12】
在△ABC 中，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，且满足2a−b
c
= cosB
cosC，
（1）求角C 的大小；
（2）设函数f (x) = 2sinxcosxcosC +2sin2xsinC −
√
3
2 ，求函数f (x) 在区间[0, π
2 ] 上的值域．
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第13 讲
三角函数最值
本讲重点：
学习心得：
课堂总结
