第
1
讲
第
2
讲
第
3
讲
第
4
讲
目录
Contents
集合重难点专题
模块1
集合的概念与表示
3
模块2
集合间的基本关系与运算
5
常用逻辑用语
模块1
充分条件与必要条件
17
模块2
全称量词与存在量词
20
模块3
命题的否定
22
基本不等式
模块1
基本不等式
29
模块2
利用基本不等式求最值
30
函数三要素专题
模块1
定义域问题
39
模块2
值域问题
41
模块3
求函数解析式问题
44
第
5
讲
第
6
讲
第
7
讲
函数的单调性
模块1
单调性的判断
51
模块2
单调性的应用
55
函数的奇偶性
模块1
奇偶性的判断
63
模块2
单调性与奇偶性综合
69
抽象函数
模块1
抽象函数定义域问题
75
模块2
抽象函数求值问题
76
模块3
抽象函数综合
78
第1 讲
集合重难点专题
直击课堂
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2
学习目标
1. 进一步掌握集合的概念与表示，在集合的表示中一定要注意集合中元素的互异性.
2. 理解集合之间包含、真包含与相等的含义，会判断离散数集的关系；能用韦恩图表示集合的关系；会通过集合
之间的包含关系，处理含参问题.
3. 会计算给定集合子集、真子集的个数.
考情分析
第1 讲
集合重难点专题
3
1
模块
1
集合的概念与表示
知识凝炼
1
集合的概念
（1）集合概念
一般的，把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合
（或集）. 构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．集合通常用英文大写字母A,B,C,··· 来表示，
元素通常用英文小写字母a,b,c,··· 来表示．
（2）集合中元素的特性
确定性、互异性、无序性.
（3）元素与集合的关系
如果a 是集合A 的元素，记作a ∈A．
如果a 不是集合A 的元素，记作a /∈A．
（4）常见数集
数学中一些常用的数集及其记法：
（5）集合的分类
有限集、无限集.
特殊集合：空集，记作∅.
2
集合的表示方法
集合的表示方法有列举法、描述法、图示法、区间法.
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4
精讲精练
考点1: 集合中元素的互异性
例1 （1）★★
已知x ∈{1，2，x2}，则实数x =
．
（2）★★★
已知(x−a)
(
x2 −ax+a−1
)
= 0 的根组成一个集合，该集合各元素之和等于3，则实数a 的值为
( ).
A. 3
2
B. 3
2 或2
C. 3
2 或3
D. 3
2 或1
达标测试1
★★★
含有三个实数的集合可表示为a，b
a ，1，也可以表示为{a2,a+b,0}，则a2018 +b2018 的值为( ).
A. −1
B. 1
C. 0
D. ±1
进阶1
★★★★
已知集合A = {m,m+d,m+2d}，B = {m,mq,mq2}，其中m̸ = 0，且A = B，则q =
．
第1 讲
集合重难点专题
5
2
模块
2
集合间的基本关系与运算
知识凝炼
1
集合间的基本关系
2
集合间的运算
（1）交集：A∩B = {x|x ∈A且x ∈B}
（2）并集：A∪B =
{
x|x ∈A或x ∈B
}
（3）补集：∁UA = {x|x ∈U且x /∈A}
图示法分别为：
（1）交集
（2）并集
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6
（3）补集
3
集合关系的转化
①A∩B = A ⇔A ⊆B
②A∪B = A ⇔B ⊆A
精讲精练
考点2: 离散数集关系判断
例2 （1）★★★
正确率：52%
设S = {x|x = 2n,n ∈Z}，P = {x|x = 4n+2,n ∈Z}，则下列关系正确的是( ).
A. S ⊆P
B. S = P
C. S ⫌P
D. S ⫋P
（2）★★★
正确率：61%
设集合M =
{
x
x = k
2 + 1
4,k ∈Z
}
，N =
{
x
x = k
4 + 1
2,k ∈Z
}
，则( ).
A. M = N
B. M ⫋N
C. M ⫌N
D. M ∩N = ∅
进阶2 （1）★★★★
设集合M = {x|x = 6k +1,k ∈Z}，N = {x|x = 6k +4,k ∈Z}，P = {x|x = 3k−2,k ∈Z}，则下列说法正
确的是
．
①M = N；②M̸ = N；③M ⊆P；④N ⫋P
第1 讲
集合重难点专题
7
（2）★★★★正确率：51%
已知集合M =
{
x|x = m+ 1
6,m ∈Z
}
，N =
{
x|x = n
2 −1
3,n ∈Z
}
，P =
{
x|x = p
2 + 1
6, p ∈Z
}
，则M，
N，P 的关系是( ).
A. M ⫋N = P
B. M = N ⫋P
C. M ⫋N ⫋P
D. N ⫋P ⫋M
达标测试2
★★★
集合P = {x|x = 2k,k ∈Z}，Q = {x|x = 2k +1,k ∈Z}，M = {x|x = 4k +1,k ∈Z}，且a ∈P，b ∈Q，则有
( ).
A. a+b ∈P
B. a+b ∈Q
C. a+b ∈M
D. a+b 不属于P，Q，M 中的任意一个
学
霸
笔
记
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8
考点3: 韦恩图
例3 （1）★★
正确率：86%
如图所示的韦恩图中，阴影部分对应的集合是( ).
A. A∩B
B. ∁U (A∩B)
C. A∩
(
∁UB
)
D.
(
∁UA
)
∩B
（2）★★
正确率：86%
如图I 是全集，M，P，S 是I 的3 个子集，则阴影部分所表示的集合是( ).
A. (M ∩P)∩S
B. (M ∩P)∪S
C. (M ∩P)∩∁IS
D. (M ∩P)∪∁IS
（3）★★★
若U = {1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A，B 为U 的子集，且∁UA ∩B = {1，9}，A ∩B = {2}，∁UA ∩∁UB =
{4，6，8}，则A =
，B =
．
第1 讲
集合重难点专题
9
进阶3 ★★★
如图所示，M，P，S 是V 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( ).
A. (M ∩P)∩S
B. (M ∩P)∪S
C. (M ∩S)∩∁VP
D. (M ∩P)∪∁VS
考点4: 含参问题的处理
例4 （1）★★★
设A =
{
x|x2 −2x−3 = 0
}
，B = {x|ax = 1}，若A∪B = A，则实数a 的取值集合为
．
（2）★★★
已知A =
{
x
x2 +4x = 0
}
，B =
{
x
x2 +2(a+1)x+a2 −1 = 0
}
，其中a ∈R，如果B ⫋A，则实数a 的
取值范围是
．
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10
达标测试3
★★★
若集合A =
{
x
x2 +x−6 = 0
}
，B =
{
x
x2 +x+a = 0
}
，且B ⊆A，则实数a 的取值范围为( ).
A.
{
a
a > 1
4
}
B.
{
a
a > 1
4或a = −6
}
C.
{
a
a ⩾1
4或a = −6
}
D.
{
a
a ⩾1
4
}
例5 （1）★★★
设A = {x|4x−3 ⩽1}，B = {x|a ⩽x ⩽a+1}，若A∩B = B，则实数a 的取值范围是
．
（2）★★★
设集合A = {x|a ⩽x ⩽2a+1}，B = {x|2a−1 ⩽x ⩽5a+1}，若A∪B = B，则实数a 的取值范围是
．
第1 讲
集合重难点专题
11
达标测试4
★★★
已知集合A = {x|−2 ⩽x ⩽7}，B = {x|m+1 < x < 2m−1}，若A∪B = A，则实数m 的取值范围是( ).
A. −3 ⩽m ⩽4
B. −3 < m < 4
C. 2 < m < 4
D. m ⩽4
进阶4 ★★★
正确率：82%
已知集合A = {x ∈R||x−4| ⩽2}，非空集合B = {x ∈R|2a ⩽x ⩽a+3}，若B ⊆A，则实数a 的取值范
围是( ).
A. (3,+∞)
B. [1,+∞)
C. (1,3)
D. [1,3]
学
霸
笔
记
高一数学课改腾飞班·秋·上册
12
知识凝炼
若集合A 中有n 个元素（n ∈N*），则集合A 的子集有2n 个，真子集有2n −1 个，非空真子集有2n −2 个．
精讲精练
考点5: 子集个数
例6 （1）★★★
正确率：34%
符合{a} ⊆P ⊆{a,b,c,d} 的集合P 的个数是
；
符合{a} ⫋P ⊆{a,b,c,d} 的集合P 的个数是
；
符合{a} ⫋P ⫋{a,b,c,d} 的集合P 的个数是
．
（2）★★★★正确率：28%
已知A = {1,2,3,··· ,10}，B = {1,2,3,4,5}，若C 是A 的子集，且B∩C̸ = ∅，则子集C 共有
个．
达标测试5
★★★
若{1,2} ⫋A ⊆{1,2,3,4,5}，则满足条件的集合A 的个数是( ).
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
第1 讲
集合重难点专题
13
课堂总结
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14
直击高考
考题
（2018 北京8）
设集合A = {(x,y)|x−y ⩾1,ax+y > 4,x−ay ⩽2}，则( ).
A. 对任意实数a，(2,1) ∈A
B. 对任意实数a，(2,1) /∈A
C. 当且仅当a < 0 时，(2,1) /∈A
D. 当且仅当a ⩽3
2 时，(2,1) /∈A
答案
D
解析
当a = −1 时，集合A = {(x,y)|x−y ⩾1,ax+y > 4,x−ay ⩽2} = {(x,y)|x−y ⩾1,−x+y > 4,x+y ⩽2}，
显然(2,1) 不满足−x+y > 4，x+y ⩽2，所以A 不正确；
当a = 4 时，集合A = {(x,y)|x−y ⩾1,ax+y > 4,x−ay ⩽2} = {(x,y)|x−y ⩾1,4x+y > 4,x−4y ⩽2}，
显然(2,1) 在可行域内，满足不等式，所以B 不正确；
当a = 1 时，集合A = {(x,y)|x−y ⩾1,ax+y > 4,x−ay ⩽2} = {(x,y)|x−y ⩾1,x+y > 4,x−y ⩽2}，
显然(2,1) /∈A，所以C 不正确；
故选：D．
第2 讲
常用逻辑用语
直击课堂
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16
学习目标
1．了解命题的概念，学会判断简单命题的真假.
2．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；能正确地判断、论证两个条件之间的充分性与必要性．
3．理解全称量词与存在量词的意义．
4．通过数学实例，理解命题的否定，会写出简单命题的否定；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
考情分析
第2 讲
常用逻辑用语
17
1
模块
1
充分条件与必要条件
知识凝炼
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.
判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.
中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”
“如果p，那么q”等形式，其中p 称为命题的条件，q 称为命
题的结论.
1
充分条件与必要条件
当命题“如果p，则q”，经过推理证明断定是真命题时，我们就说由p 可以推出q，记作p ⇒q，读作“p 推
出q”. 此时称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.
>> 注意<<
⑴充分条件与必要条件是一种相互关系，只能说谁是谁的充分或必要条件，不能直接说谁是充分或必
要条件.
⑵以下的四个说法:①“若p，则q”为真命题；②p ⇒q；③p 是q 的充分条件；④q 是p 的必要条件. 它
们表示的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已.
2
充要条件
如果p ⇒q，且q ⇒p，则称p 是q 的充分且必要条件，简称p 是q 的充要条件，记作p ⇔q. 显然，如果
p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件.p 是q 的充要条件，又常说成: q 当且仅当p，或p 与q 等价.
>> 注意<<
p 与q 之间的四种关系与相应结论
高一数学课改腾飞班·秋·上册
18
精讲精练
考点1: 充分性与必要性的判断
例1 （1）★★★
用“充分不必要”
“必要不充分”
“充要”和“既不充分也不必要”填空．
①在同一平面内，
“同位角相等”是“两直线平行”的
条件；
②设a ∈R，则“a > 1”是“a2 > 1”的
条件；
③设a，b ∈R，则“a+b > 4”是“a > 2 且b > 2”的
条件；
④“x > 1”是“1
x < 1”的
条件；
⑤若A，B 是两个集合，则“A∩B̸ = ∅”是“A ⊆B”的
条件；
⑥已知x，y ∈R，
“(x−1)2 +(y−2)2 = 0”是“(x−1)(y−2) = 0”的
条件．
（2）★★★
正确率：56%
设全集为U，在下列条件中，哪些可以作为B ⊆A 的充要条件( ).
①A∪B = A；②
(
∁UA
)
∩B = ∅；③∁UA ⊆∁UB．
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ①②③
达标测试1
★★
“x2 > 16”是“x > 4”的( ).
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
学
霸
笔
记
第2 讲
常用逻辑用语
19
考点2: 充分条件、必要条件的含参问题
例2 （1）★★★
已知命题：p : −10 ⩽−x ⩽2，q : |x−1| ⩽m(m > 0)，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值
范围为
．
（2）★★★★
若p : x2 −2x−3 < 0，q : (x−m+1)(x−m−1) ⩾0，且p 的必要不充分条件是q，求实数m 的取值
范围.
达标测试2
★★★
设实数a 为常数，则方程x2 −x+a = 0 有实数根的充要条件是( ).
A. a ⩽1
B. a > 1
C. a ⩽1
4
D. a > 1
4
进阶1
★★★
集合A =
{
x
x−1
x+1 < 0
}
，B = {x|−a < x−b < a}．若“a = 1”是“A∩B̸ = ∅”的充分条件，则实数b 的
取值范围是( ).
A. [−2,0)
B. (0,2]
C. (−2,2)
D. [−2,2]
高一数学课改腾飞班·秋·上册
20
2
模块
2
全称量词与存在量词
知识凝炼
短语“所有的”
“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. 含有全称量词的命题叫做全称
量词命题.
通常，将含有变量x 的语句用p(x),q(x),r(x),··· 表示，变量x 的取值范围用M 表示. 那么，全称量词命
题“对M 中任意一个x，p(x) 成立”可用符号简记为∀x ∈M, p(x).
短语“存在一个”
“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. 含有存在量词的命题叫做
存在量词命题.
存在量词命题“存在M 中的元素x，p(x) 成立”可用符号简记为∃x ∈M, p(x).
精讲精练
考点3: 含有量词的命题的真假判断
例3
★★★
用数学符号“∀”
“∃”表示下列命题，并判断真假．
（1）对一切整数x，3x+1 为奇数；
（2）自然数不都是正整数；
（3）有理数的平方仍为有理数；
（4）存在一对实数a,b，使a2 +2b2 −2ab+4b+5 < 0 成立．
第2 讲
常用逻辑用语
21
达标测试3
★★★
下列命题不是“∃x0 ∈R，x2
0 > 3”的表述方法的是( ).
A. 有一个x0 ∈R，使得x2
0 > 3 成立
B. 对有些x0 ∈R，使得x2
0 > 3 成立
C. 任选一个x0 ∈R，都有x2
0 > 3 成立
D. 至少有一个x0 ∈R，使得x2
0 > 3 成立
例4
★★★★
已知命题：∀x ∈[−1,1]，都有不等式x2 −x−m < 0 成立是真命题．求实数m 的取值集合B．
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22
3
模块
3
命题的否定
知识凝炼
1
命题的否定
逻辑联结词“ 非”(也称为“ 否定”) 的意义是由日常语言中的“不是”
“全盘否定”
“问题的反面”等抽象而来的．
一般地，对命题p 加以否定，就得到一个新的命题，记作¬p，读作“非p”或“p 的否定”．
2
命题¬p 的真假性
¬p 与p 不能同真或同假，其中一个为真，另一个必然为假，它们是互为否定的．即：
若p 是真命题，则¬p 必是假命题；若p 是假命题，则¬p 必是真命题．
精讲精练
考点4: 简单命题的否定
例5 （1）★★★
正确率：74%
已知全集U = R，A ⊆U，B ⊆U，如果命题p：
√
3 ∈A∪B，则命题“¬p”是( ).
A.
√
3 /∈A
B.
√
3 ∈∁UB
C.
√
3 /∈A∩B
D.
√
3 ∈
(
∁UA
)
∩
(
∁UB
)
（2）★★★
正确率：58%
条件p：|x+1| > 2，条件q：x > a，若¬p 是¬q 的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是( ).
A. [1,+∞)
B. (−∞,1]
C. [−1,+∞)
D. (−∞,−3]
第2 讲
常用逻辑用语
23
知识凝炼
3
全称量词与存在量词的否定
要否定全称命题，∀x ∈A，p(x)，只需在A 中找到一个x，使得p(x) 不成立，也就是命题，∃x ∈A，¬p(x)，成立.
要否定存在性命题，∃x ∈A，q(x)，需要验证对A 中的每一个x，均有q(x) 不成立，也就是命题，
∀x ∈A，¬q(x)，成立.
于是我们有如下结论:
（1）全称命题的否定:
全称命题p :∀x ∈A，p(x)；它的否定是¬p :∃x ∈A，¬p(x).
将全称量词变为存在量词，再否定它的性质.
（2）存在性命题的否定:
存在性命题q :∃x ∈A，q(x)；它的否定是¬q :∀x ∈A，¬q(x).
将存在量词变为全称量词，再否定它的性质.
精讲精练
考点5: 含有量词的命题的否定
例6
★★★
正确率：70%
已知命题p : ∀x ∈I,x3 −x2 +1 ⩽0，则¬p 是( ).
A. ∀x ∈I,x3 −x2 +1 > 0
B. ∀x /∈I,x3 −x2 +1 > 0
C. ∃x0 ∈I,x03 −x02 +1 > 0
D. ∃x0 /∈I,x03 −x02 +1 > 0
达标测试4
★★★
已知特称命题p : ∃x0 ∈R，2x0 +1 ⩽0．则命题p 的否定是( ).
A. ∃x0 ∈R，2x0 +1 > 0
B. ∀x ∈R，2x+1 > 0
C. ∃x0 ∈R，2x0 +1 ⩾0
D. ∀x ∈R，2x+1 ⩾0
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24
进阶2 （1）★★★★
命题“∀x ∈R，∃n ∈N∗，使得n ⩾x2”的否定是( ).
A. ∃n ∈N∗，∀n ∈N∗，使得n < x2
B. ∀x ∈R，∀n ∈N∗，使得n < x2
C. ∃x ∈R，∃n ∈N∗，使得n < x2
D. ∃x ∈R，∀n ∈N∗，使得n < x2
（2）★★★
命题“∀n ∈N∗，2n ∈N∗且2n ⩽n”的否定是( ).
A. ∀n ∈N∗，2n /∈N∗且2n > n
B. ∀n ∈N∗，2n /∈N∗或2n > n
C. ∃n0 ∈N∗，2n0 /∈N∗且2n0 > n0
D. ∃n0 ∈N∗，2n0 /∈N∗或2n0 > n0
达标测试5
★★★
设x ∈Z，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p：∀x ∈A,2x ∈B，则( ).
A. ¬p：∃x ∈A,2x ∈B
B. ¬p：∃x /∈A,2x ∈B
C. ¬p：∃x ∈A,2x /∈B
D. ¬p：∀x /∈A,2x /∈B
进阶3 ★★★★
若命题“∃x0 ∈R，使x2
0 +(a−1)x0 +1 < 0”是假命题，则实数a 的取值范围为
．
第2 讲
常用逻辑用语
25
课堂总结
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26
直击高考
考题
（2018 上海14）
已知a ∈R，则“a > 1”是“1
a < 1”的( ).
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案
A
解析
a ∈R，则“a > 1”⇒“1
a < 1”，
“1
a < 1”⇒“a > 1 或a < 0”，
∴“a > 1”是“1
a < 1”的充分不必要条件．
故选：A．
第3 讲
基本不等式
直击课堂
高一数学课改腾飞班·秋·上册
28
学习目标
1. 理解基本不等式及其使用条件.
2. 能用基本不等式解决“和定求积”、
“积定求和”型的最值问题.
3. 熟练掌握“凑定值”、
“1”的代换等技巧来解决一系列求最值问题，培养学生举一反三的推理能力以及计算能
力.
考情分析
第3 讲
基本不等式
29
1
模块
1
基本不等式
知识凝炼
1
基本不等式：如果a,b > 0，那么a+b
2
⩾
√
ab，当且仅当a = b 时，等号成立．
2
对于任意两个实数a，b，a+b
2
叫做a,b 的算术平均值，
√
ab(ab ⩾0) 叫做a,b 的几何平均值．
因此基本不等式可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．
精讲精练
考点1: 基本不等式
例1
★★★
正确率：51%
已知a，b ∈R，若ab̸ = 0，则下列不等式：
①a2 +b2
2
⩾ab；②
b
a
+
a
b
⩾2；③b
a + a
b ⩾2；④a+b ⩾2
√
ab，
其中恒成立的不等式序号是( ).
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ②④
高一数学课改腾飞班·秋·上册
30
2
模块
2
利用基本不等式求最值
知识凝炼
1
最值定理
已知a，b ∈R+，
（1）如果乘积ab 为定值P，那么当a = b 时，和a+b 有最小值2
√
P；
（2）如果和a+b 为定值S，那么当a = b 时，乘积ab 有最大值1
4S2．
2
利用基本不等式求最值的条件
利用均值不等式求最值必须满足三个条件，即“一正二定三相等”．
（1）“一正”：即求最值的两项必须都是正数．
（2）“二定”：要求和a+b 的最小值，则乘积ab 须是定值；
要求乘积ab 的最大值，则和a+b 须是定值．
特殊情况下，至少要求各项的和、积是一个可化简的定式．
（3）“三相等”：只有满足不等式中等号成立的条件，才能使式子取到最大或最小值．
精讲精练
考点2: 凑定值
例2
★★
正确率：86%
若x > 0，则6x+1+ 1
2x 的最小值为( ).
A. 2
√
3
B. 2
√
3+1
C. 5
D. 3+
√
3
第3 讲
基本不等式
31
达标测试1
★★
已知正数a，b 满足ab = 8，则2a+b 的最小值是( ).
A. 8
B. 10
C. 4
D. 16
例3
★★★
正确率：70%
已知0 < a < 1，则a(1−a) 的最大值为( ).
A. 1
2
B. 1
4
C. 1
8
D. 1
9
达标测试2
★★★
若2 < x < 6，则(x−2)(6−x) 的最大值为( ).
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
例4 （1）★★★
正确率：68%
求函数y = √x+
1
2√x+1 的最小值．
（2）★★★
若2
3 < x < 7
5，则代数式(3x−2)(7−5x) 的最大值为
．
高一数学课改腾飞班·秋·上册
32
达标测试3
★★★
已知x > 5
4，则函数y = 4x+
1
4x−5 的最小值为( ).
A. −3
B. 2
C. 5
D. 7
进阶1
★★★
若x ⩾0，y ⩾0，且x2 +y2 = 1，求x
√
1+2y2 的最大值及此时x,y 的值．
知识凝炼
已知ax+by = c，求d
x + e
y 的最小值；或者已知d
x + e
y = c，求ax+by 的最小值．
（a,b,c,d,e 为正常数，x,y > 0）
对于上述问题，我们可以转化为求(ax+by)
(
d
x + e
y
)
的最小值．
第3 讲
基本不等式
33
精讲精练
考点3:“1”的代换
例5
★★
正确率：79%
已知a，b 为正实数，且a+2b = 1，则1
a + 1
b 的最小值为( ).
A. 4
√
2
B. 6
C. 3−2
√
2
D. 3+2
√
2
达标测试4
★★★
设x,y > 0 且1
x + 9
y = 4，则x+y 的最小值为( ).
A. 4
B. 8
C. 16
D. 32
进阶2
★★★★正确率：68%
设0 < x < 1，函数y = 4
x +
1
1−x 的最小值为( ).
A. 27
2
B. 9
C. 10
D. 8
达标测试5
★★★★
若正数x,y 满足3x+y = 5xy，则4x+3y 取最小值时y 的值为( ).
A. 1
B. 3
C. 4
D. 5
高一数学课改腾飞班·秋·上册
34
考点4: 多次利用基本不等式
例6 （1）★★★★
已知a > b > 0，求a2 +
16
b(a−b) 的最小值．
（2）★★★★
若a，b ∈R，ab > 0，则a4 +4b4 +1
ab
的最小值为
．
学
霸
笔
记
第3 讲
基本不等式
35
课堂总结
高一数学课改腾飞班·秋·上册
36
直击高考
考题
（2018 天津13）
已知a，b ∈R，且a−3b+6 = 0，则2a + 1
8b 的最小值为
．
答案
1
4
解析
a，b ∈R，且a−3b+6 = 0，
可得：3b = a+6，
则2a + 1
8b = 2a +
1
2a+6 = 2a +
1
26 ·2a ⩾2
√
2a ·
1
262a = 1
4，
当且仅当2a =
1
2a+6 ，即a = −3 时取等号．
故答案为：1
4．
第4 讲
函数三要素专题
直击课堂
高一数学课改腾飞班·秋·上册
38
学习目标
1. 熟练掌握求函数定义域的基本原则.
2. 熟练掌握求函数值域的四种常见方法，并能在具体问题中选择适当的方法.
3. 掌握求解析式的两种基本方法：待定系数法与换元法.
考情分析
第4 讲
函数三要素专题
39
1
模块
1
定义域问题
知识凝炼
1
函数的概念
设集合A 是非空的数集, 对于A 中的任意实数x, 按照确定的对应法则f, 都有唯一确定的实数值y 与它
对应, 则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作y = f(x),x ∈A．也常写做函数f 或函数f (x), 其中x 叫
做自变量, x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值对应的y 值叫做函数值, 函数值的集合{ f(x)|x ∈A}
叫做函数的值域.
2
函数三要素
函数的三要素：定义域、对应法则、值域.
当两个函数的定义域与对应法则相同时，则两个函数相等.
求函数定义域的基本原则：
若f(x) = 1
□, 则□̸ = 0
若f(x) =
√
□, 则□⩾0
若f(x) = □0, 则□̸ = 0
高一数学课改腾飞班·秋·上册
40
精讲精练
考点1: 求函数定义域
达标测试1
★★
函数f(x) =
1
2−x +
√
9−x2 的定义域为( ).
A. {x|x̸ = 2}
B. {x|x < −3或x > 3}
C. {x|−3 ⩽x ⩽3}
D. {x|−3 ⩽x ⩽3且x̸ = 2}
例1
★★★
设函数f(x) = √x−1，则f
(
x
2
)
+ f
(
4
x
)
的定义域为( ).
A.
[
1
2,4
]
B. [2,4]
C. [1,+∞)
D.
[
1
4,2
]
考点2: 已知定义域反求参数取值范围
例2
★★★
正确率：55%
若函数f(x) =
√
x2 +ax+1 的定义域为实数集R，则实数a 的取值范围是( ).
A. (−2,2)
B. (−∞,−2)∪(2,+∞)
C. (−∞,−2]∪[2,+∞)
D. [−2,2]
第4 讲
函数三要素专题
41
2
模块
2
值域问题
知识凝炼
常用求函数值域的方法：观察法、换元法、图象法、分离常数法.
精讲精练
考点3: 观察法求值域
例3
★★
求y =
1
√x+1 的值域．
达标测试2
★★★
函数y =
√
−x2 +9 的值域为( ).
A. {x|x ⩽3}
B. {x|0 ⩽x ⩽3}
C. {x|x ⩾3}
D. {x|x ⩽−3}
高一数学课改腾飞班·秋·上册
42
考点4: 图象法求值域
例4
★★
设函数f (x) =
m+x2,|x| ⩾1
x,|x| < 1
的图象过点(1,1)，则函数f (x) 的值域是
．
达标测试3
★★
若记min{a,b} =
b,a ⩾b
a,a < b
，则函数f (x) = min
{
2−x2,x
}
的最大值为
．
考点5: 换元法求值域
例5
★★
函数y = 1
x2 −1
x 的值域为
．
达标测试4
★★★
函数y = 4√x+1−2x 的值域为( ).
A. (−∞,4]
B. (−∞,4)
C. (−∞,2]
D. (−∞,2)
学
霸
笔
记
第4 讲
函数三要素专题
43
考点6: 分离常数法求值域
例6
★★★
函数f (x) = 3+2x
1+x (x > 0) 的值域是( ).
A. (−∞,3)
B. (3,+∞)
C. (2,3)
D. (0,3)
进阶1
★★★★
求函数f (x) = 5x−1
4x+2 (0 < x < 1) 的值域．
学
霸
笔
记
高一数学课改腾飞班·秋·上册
44
3
模块
3
求函数解析式问题
知识凝炼
1
函数的表示方法有：列表法，图象法，解析式法．
2
求解析式的方法有：配凑法，换元法，待定系数法．
精讲精练
考点7: 待定系数法
例7 （1）★★★
已知f (x) 是一次函数，且满足3 f(x+1)−2 f (x−1) = 2x+17，求f (x)，f(x+1)．
（2）★★★
已知二次函数f (x)，且满足f (0) = 1，f(x+1)−f (x) = 2x，求函数f (x) 的解析式．
第4 讲
函数三要素专题
45
考点8: 换元法
例8
★★★
已知f (√x+1) =
x
2−√x，求f (x) 的解析式．
达标测试5
★★★
已知f (x−1) = x2 +6x，则f (x) 的表达式是( ).
A. x2 +4x−5
B. x2 +8x+7
C. x2 +2x−3
D. x2 +6x−10
进阶2
★★★★
已知f
(
1−x
1+x
)
= 1−x2
1+x2 ，则f (x) 的解析式为( ).
A.
x
1+x2
B. −
2x
1+x2
C.
2x
1+x2
D. −
x
1+x2
学
霸
笔
记
高一数学课改腾飞班·秋·上册
46
课堂总结
第4 讲
函数三要素专题
47
直击高考
考题
（2018 江苏5）
函数f (x) =
√
log2x−1 的定义域为
．
答案
[2,+∞)
解析
由题意得：log2 x ⩾1，
解得：x ⩾2，
∴函数f (x) 的定义域是[2,+∞)．
故答案为：[2,+∞)．
第5 讲
函数的单调性
直击课堂
高一数学课改腾飞班·秋·上册
50
学习目标
1. 在理解单调性的定义的基础上，掌握判断单调性的几种常见方法.
2. 会解决一些简单的含参函数单调性的问题.
3. 掌握函数单调性的一些常见应用题型.
考情分析
第5 讲
函数的单调性
51
1
模块
1
单调性的判断
知识凝炼
1
判断函数单调性的方法：
（1）定义法；
（2）图象法；
（3）简单函数单调性；
（4）单调性的四则运算：增+ 增= 增；减+ 减= 减；增−减= 增；减−增= 减；
（5）复合函数：
“ 同增异减”.
精讲精练
考点1: 复合函数的单调性
例1
判断下列函数的单调性：
（1）★★
f(x) =
1
x2 +2x+3；
（2）★★★
f(x) =
√
4x−x2；
高一数学课改腾飞班·秋·上册
52
（3）★★★
f(x) = −
1
√1−x；
（4）★★★
f(x) =
1
3−2x−x2 ．
达标测试1
★★★
函数y =
1
√
3+2x−x2 的单调递减区间是( ).
A. (1,+∞)
B. (−∞,1)
C. (−1,1)
D. (1,3)
学
霸
笔
记
第5 讲
函数的单调性
53
考点2: 含参函数的单调性
例2 （1）★★★
讨论函数y = ax2 −2x+1,x ∈[−1,1] 的单调性．
（2）★★★
讨论函数f(x) = ax+1
x+2
(
a̸ = 1
2
)
在(−2,+∞) 上的单调性．
考点3: 已知单调性求参数
例3 （1）★★★
如果函数f (x) = x2 +2(a−1)x+2 在区间(−∞,4] 上单调递减，那么实数a 的取值范围是
．
（2）★★★
已知f (x) =
(3a−1)x+4a,x < 1
−x+1,x ⩾1
是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围为( ).
A.
[
1
7,+∞
)
B.
[
1
7, 1
3
)
C.
(
−∞,−1
3
)
D.
(
−∞,−1
7
]
∪
(
1
3,+∞
)
高一数学课改腾飞班·秋·上册
54
（3）★★★
如图所示，函数y = f (x) 的图象由两条射线和三条线段组成，若对任意的x ∈R，f (x) > f (x−1)，则
正实数a 的取值范围为
．
达标测试2
★★★
函数f (x) = |x−m|+4 在区间[−2,3] 上为单调函数，则实数m 的取值范围是( ).
A. (−∞,−2)
B. (3,+∞)
C. (−∞,−2)∪(3,+∞)
D. (−∞,−2]∪[3,+∞)
进阶1
★★★★正确率：70%
已知函数f (x) =
ax+2,x < 1
x2 −ax+2,x ⩾1
在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为
．
第5 讲
函数的单调性
55
2
模块
2
单调性的应用
精讲精练
考点4: 利用函数单调性比较大小
达标测试3
★★★
已知f (x) 在R 上是减函数，比较f(3) 与f
(
a2 −2a+9
)
的大小( ).
A. f(3) ⩾f
(
a2 −2a+9
)
B. f(3) > f
(
a2 −2a+9
)
C. f(3) < f
(
a2 −2a+9
)
D. 不能确定
例4
★★★
正确率：56%
已知函数f (x) 在(−∞,+∞) 上是减函数，a,b ∈R，且a+b ⩽0，则一定有( ).
A. f (a)+ f (b) ⩽−f (a)−f (b)
B. f (a)+ f (b) ⩾−f (a)−f (b)
C. f (a)+ f (b) ⩽f (−a)+ f (−b)
D. f (a)+ f (b) ⩾f (−a)+ f (−b)
考点5: 利用函数单调性解不等式
例5 （1）★★★
已知函数f(x) =
x2 +4x,x ⩾0
4x−x2,x < 0
，若f(2−a2) > f(a)，则实数a 的取值范围是( ).
A. (−∞,−1)∪(2,+∞)
B. (−1,2)
C. (−2,1)
D. (−∞,−2)∪(1,+∞)
高一数学课改腾飞班·秋·上册
56
（2）★★★
已知函数f (x) = x2 +1
x
(x ∈[1,+∞))，若实数m 满足f (3m) > f (5−2m)，求m 的取值范围．
达标测试4
★★★
已知函数f (x) = 2x+1
x+1 (x ∈(−1,+∞))，若f (m−1)−f (1−2m) > 0，则实数m 的取值范围为( ).
A.
(
2
3,1
)
B.
(
2
3,+∞
)
C. (0,1)
D. (1,+∞)
学
霸
笔
记
第5 讲
函数的单调性
57
考点6: 利用函数单调性求最值
例6 （1）★★★
求函数y = 2x+√x−1 的最小值．
（2）★★★★
求y = −2x2 −4x+1
x2 +2x+3 ，x ∈[0,3] 的最值．
达标测试5
★★★★
已知函数f (x) =
x2,x ⩽1
x+ 4
x −4,x > 1
，则f (f (−2)) =
，f (x) 的最小值是
．
高一数学课改腾飞班·秋·上册
58
课堂总结
第5 讲
函数的单调性
59
直击高考
考题
（2018 北京13）
能说明“若f (x) > f (0) 对任意的x ∈(0,2] 都成立，则f (x) 在[0,2] 上是增函数”为假命题的一个函数
是
．
答案
f (x) = sinx
解析
例如f (x) = sinx，
尽管f (x) > f (0) 对任意的x ∈(0,2] 都成立，
但f (x) = sinx 在
[
0, π
2
)
上为增函数，在
(
π
2 ,2
]
上为减函数，
故答案为：f (x) = sinx．
第6 讲
函数的奇偶性
直击课堂
高一数学课改腾飞班·秋·上册
62
学习目标
1. 会判断函数的奇偶性.
2. 会利用奇偶性求解析式，并会构造奇偶函数，结合函数奇偶性求值.
3. 会结合单调性与奇偶性解决比较大小、解不等式等综合问题.
考情分析
第6 讲
函数的奇偶性
63
1
模块
1
奇偶性的判断
知识凝炼
判断函数的奇偶性，一般方法有：
（1）定义法：f (x) 定义域关于原点对称
①若f (x) = f (−x), 则f (x) 是偶函数.
②若f (x) = −f (−x), 则f (x) 是奇函数.
（2）图象法：关于坐标原点对称的函数为奇函数，关于y 轴对称的函数为偶函数.
（3）四则运算：
奇± 奇= 奇；偶± 偶= 偶；
奇× 奇= 偶；偶× 偶= 偶；奇× 偶= 奇；
奇÷ 奇= 偶；奇÷ 偶= 奇；偶÷ 偶= 偶；偶÷ 奇= 奇.
精讲精练
考点1: 判断函数的奇偶性
例1
判断下列函数的奇偶性：
（1）★★
f (x) = x4 +4x2 +3；
（2）★★
f (x) = x3 + 1
x3 ；
高一数学课改腾飞班·秋·上册
64
（3）★★
f (x) = 0,x ∈[−1,2]；
（4）★★
f (x) = x2 +x
x+1 ；
（5）★★★
f (x) = x|x|
x2 +1；
（6）★★
f(x) =
x−1,x > 0
x+1,x < 0
；
（7）★★★
f(x) =
x(x−1),x > 0
−x(x+1),x < 0
.
第6 讲
函数的奇偶性
65
例2
★★
正确率：81%
设函数f (x) 和g(x) 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ).
A. f (x)+|g(x)| 是偶函数
B. f (x)−|g(x)| 是奇函数
C. |f (x)|+g(x) 是偶函数
D. |f (x)|−g(x) 是奇函数
达标测试1
★★★
如果f (x) 是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是( ).
A. y = x−f (x)
B. y = f (x)
x2 +1
C. y = x2 + f (x)
D. y = x f (x)
考点2: 已知函数奇偶性求参数
例3 （1）★★★
已知f (x) = ax2 +2bx+a−3b 是偶函数，定义域为[a,2a+1]，则a =
，b =
．
（2）★★★
正确率：73%
已知函数f (x) =
1
x+2 +
a
x−2 是奇函数，则a =
．
高一数学课改腾飞班·秋·上册
66
（3）★★★
若函数
x
(4x+3)(x−a) 为奇函数，则a =( ).
A. 1
2
B. 2
3
C. 3
4
D. 1
达标测试2
★★★
若函数f (x) = ax3 +x−b 是定义在(−1−a,2a) 上的奇函数，则a2017 +b2017 的值是( ).
A. 1
B. 0
C. −1
D. 2
学
霸
笔
记
第6 讲
函数的奇偶性
67
精讲精练
考点3: 已知函数奇偶性求解析式
例4
★★★
已知定义在R 上的函数f (x) 是奇函数，当x > 0 时，f (x) = √x+x+1，求f (x) 的解析式．
达标测试3
★★★
若f (x) 是偶函数，且x > 0 时，f (x) = x2 −7x+3，则x < 0 时，f (x) =( ).
A. x2 +7x+3
B. x2 −7x+3
C. x2 +7x−3
D. −x2 +7x+3
学
霸
笔
记
高一数学课改腾飞班·秋·上册
68
精讲精练
考点4: 构造奇偶函数求值
例5 （1）★★★
已知函数f (x) = ax3 +bx+8，且f (−2) = 10，则f (2) 的值是( ).
A. −10
B. −6
C. 6
D. 10
（2）★★★
已知y = f (x)+x2 是奇函数，且f (1) = 1，若g(x) = f (x)+2，则g(−1) =
．
达标测试4
★★★★
已知f(x) 和g(x) 都是定义在R 上的奇函数，若F(x) = a f(x)+bg(x)+x3 +1，在(0,+∞) 上有最大值
5，则F(x) 在(−∞,0) 上的最小值为
．
第6 讲
函数的奇偶性
69
2
模块
2
单调性与奇偶性综合
精讲精练
考点5: 单调性与奇偶性综合
例6 （1）★★
设偶函数f (x) 的定义域为R，当x ∈[0,+∞) 时函数f (x) 是减函数，则f (−3), f (π), f (−3.14) 的
大小关系为( ).
A. f (π) = f (−3.14) > f (−3)
B. f (π) < f (−3.14) < f (−3)
C. f (π) > f (−3.14) > f (−3)
D. f (π) < f (−3) < f (−3.14)
（2）★★★
已知函数f (x) = x3 +x，且f (3a−2)+ f (a−1) < 0，则实数a 的取值范围是
．
进阶1
★★★★
设函数y = f (x) 是定义在[−1,1] 上的偶函数，且f (x) 在[0,1] 上单调递减，若f (1−a) < f (a)，则实
数a 的取值范围是
．
高一数学课改腾飞班·秋·上册
70
例7
★★★
奇函数f (x) 在(0,+∞) 上为增函数，且f (2) = 0，则不等式f (x)−f (−x)
x
< 0 的解集为
．
达标测试5
★★★
若函数f (x) 是定义在R 上的偶函数，在(−∞,0] 上是减函数，且f (2) = 0，则使得f (x) < 0 的x 的取
值范围是( ).
A. (−∞,2)
B. (2,+∞)
C. (−∞,−2)∪(2,+∞)
D. (−2,2)
进阶2
★★★★
设f (x) 是偶函数，且在[0,+∞) 内是减函数，又f (−2) = 0，则(x−2) f (x) < 0 的解集是( ).
A.
{
x
x < −2或0 < x < 2
}
B.
{
x
−2 < x < 0或x > 2
}
C. {x|x > −2}
D. {x|x > −2且x̸ = 2}
第6 讲
函数的奇偶性
71
课堂总结
高一数学课改腾飞班·秋·上册
72
直击高考
考题
（2017 新课标I 5）
函数f(x) 在(−∞,+∞) 上单调递减，且为奇函数．若f(1) = −1，则满足−1 ⩽f(x−2) ⩽1 的x 的取值
范围是( ).
A. [−2,2]
B. [−1,1]
C. [0,4]
D. [1,3]
答案
D
解析
因为f (x) 为奇函数且在(−∞,+∞) 上单调递减，要使−1 ⩽f (x) ⩽1 成立，则x 满足−1 ⩽x ⩽1，从而
由−1 ⩽x−2 ⩽1 得1 ⩽x ⩽3，即满足−1 ⩽f (x−2) ⩽1 的x 的取值范围为[1,3]，故选D．
第7 讲
抽象函数
直击课堂
高一数学课改腾飞班·秋·上册
74
学习目标
1. 会求抽象函数定义域, 并加深对定义域的理解.
2. 理解特殊值法，化抽象为具体，熟练用赋值法解决求值类问题.
3. 掌握判断抽象函数单调性、奇偶性的一般方法.
考情分析
第7 讲
抽象函数
75
1
模块
1
抽象函数定义域问题
知识凝炼
1
没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数.
2
求抽象函数的定义域，要注意
（1）定义域是关于x 的取值范围；
（2）对于f (x)，
（）内无论是什么，范围永远一致.
精讲精练
考点1: 抽象函数定义域问题
例1 （1）★★
已知函数f (x) 的定义域为(2,3]，则f (x−1) 的定义域为
．
（2）★★
已知函数f (x−1) 的定义域为[−2,3]，则f (x) 的定义域为
．
（3）★★★
已知函数f(x) 的定义域为(−1,9]，则函数g(x) = f(1−x)+ f(x+1) 的定义域为
．
达标测试1
★★★★
已知函数y = f (x+1) 的定义域是[−2,3]，则y = f (2x−1) 的定义域是( ).
A.
[
0, 5
2
]
B. [−1,4]
C. [−5,5]
D. [−3,7]
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76
2
模块
2
抽象函数求值问题
知识凝炼
1
对于法则只有一个描述，而不直接给出对应法则，反过来要求对应法则相关的问题，在数学中统称为函数
方程问题（是以函数的解析式为未知量，给出一些相关条件，去求解函数），也叫抽象函数问题，这是与给出解
析式的具体函数对应的．
2
抽象函数求值问题，是函数方程问题之一，这类问题的主要方法是赋值法．
精讲精练
考点2: 抽象函数求值问题
例2 （1）★★★
定义在R+ 上的函数f(x) 满足f(xy) = f(x)+ f(y)(x,y ∈R+)，已知f(8) = 3，
则f(1) =
，f(
√
2) =
．
（2）★★★
已知定义域为R 的函数f (x) 满足：f (x+y) = f (x) f (y)，且f (3) > 1．
求f (0)．
第7 讲
抽象函数
77
达标测试2
★★★
已知f (x) 的定义域为R，对任意的x、y ∈R，有f (x+y) = f (x)+ f (y) 且f (2) = 6，则f (0) =
，
f (1) =
，f (6) =
．
例3 （1）★★★
定义在R 上的函数f(x) 满足f(x+y) = f(x)+ f(y)+2xy (x,y ∈R)，f(1) = 2，
则f(3) =
，f(−3) =
．
（2）★★★★
对任意实数x,y，均满足f(x+y2) = f(x)+2[f (y)]2，且f(1)̸ = 0，则f(2015) =
．
达标测试3
★★★
已知f(x) 是定义在R 上的函数，且对定义域内的任意x，y，f(x) 都满足f(xy) = yf(x) + x f(y)，则
f(1) =
，f(−1) =
．
学
霸
笔
记
高一数学课改腾飞班·秋·上册
78
3
模块
3
抽象函数综合
精讲精练
考点3: 抽象函数奇偶性问题
例4
★★★
已知f(x) 的定义域为{x|x̸ = 0}，且对任意实数x，y 满足f(xy) = f(x)+ f(y)，则f(x) 是
函数．
达标测试4
★★★
设函数f(x) 的定义域为R，对任意x, y ∈R，恒有f(x+y) = f(x)+ f(y) 成立．则f(x) 是
函数．
例5 （1）★★★
已知f (x) 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x，y，f(x) 都满足f(xy) = yf(x)+
x f(y)，证明：f(x) 是奇函数．
第7 讲
抽象函数
79
（2）★★★★
若定义在R 上的函数f(x) 满足：对任意实数x,y，有f (x+y)+ f (x−y) = 2 f (x) f (y)，且f(0)̸ = 0，
证明：函数y = f(x) 是偶函数．
学
霸
笔
记
考点4: 抽象函数单调性问题
例6 （1）★★★
定义在R 上的函数f(x) 同时满足下列条件：
①对任意x，y ∈R 恒有f(x+y) = f(x)+ f(y)；②当x > 0 时，f(x) < 0．
求证：f(x) 在R 上为减函数．
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80
（2）★★★
已知定义域为(0,+∞) 的函数f (x) 满足：对任意的a,b ∈(0,+∞)，都有f (a·b) = f (a)+ f (b)，且对
任意x > 1，有f (x) > 0．
证明：当0 < x < 1 时，f (x) < 0，且函数y = f (x) 在(0,+∞) 上是增函数．
进阶1
★★★★
已知函数f (x) 对于任意m,n ∈R，都有f (m+n) = f (m)+ f (n)−1，并且当x > 0 时，f (x) > 1．求证：
函数f (x) 在R 上为增函数．
第7 讲
抽象函数
81
精讲精练
考点5: 抽象函数性质综合
例7
★★★
已知函数f(x) 在(−1,1) 上有定义，当且仅当0 < x < 1 时，f(x) < 0，且对任意x,y ∈(−1,1)
都有f(x)+ f(y) = f
(
x+y
1+xy
)
．
（1）证明：f (−x) = −f (x)；
（2）判断f(x) 在(−1,1) 上的增减性，并证明你的结论．
达标测试5
★★★★
已知函数f(x) 在(−1,1) 上有定义，当且仅当0 < x < 1 时，f(x) < 0，且对任意x,y ∈(−1,1) 都有
f(x)+ f(y) = f
(
x+y
1+xy
)
．不等式f(5x−4) > f(x2) 的解集为( ).
A.
{
x
x < 3
5或x > 1
}
B.
{
x
3
5 < x < 1
}
C. {x|1 < x < 4}
D.
{
x
x < 1或x > 4
}
高一数学课改腾飞班·秋·上册
82
课堂总结
第7 讲
抽象函数
83
直击高考
考题
（2016 山东9）
已知函数f (x) 的定义域为R．当x < 0 时，f (x) = x3 −1；当−1 ⩽x ⩽1 时，f (−x) = −f (x)；当x > 1
2
时，f
(
x+ 1
2
)
= f
(
x−1
2
)
．则f (6) =( ).
A. −2
B. 1
C. 0
D. 2
答案
D
解析
∵当x > 1
2 时，f
(
x+ 1
2
)
= f
(
x−1
2
)
，
∴当x > 0 时，f (x+1) = f (x)，即周期为1．
∴f (6) = f (1)，
∵当−1 ⩽x ⩽1 时，f (−x) = −f (x)，
∴f (1) = −f (−1)，
∵当x < 0 时，f (x) = x3 −1，
∴f (−1) = −2，
∴f (1) = −f (−1) = 2，
∴f (6) = 2．
故选：D．
