第
8
讲
第
9
讲
第
10
讲
第
11
讲
目录
Contents
指数幂运算与指数函数
模块1
指数幂运算
3
模块2
指数函数
6
对数运算与对数函数
模块1
对数运算
15
模块2
对数函数
19
函数与方程
模块1
零点区间问题
27
模块2
零点转换
31
恒成立与存在性问题
模块1
单变量恒成立与存在性问题
39
模块2
双变量恒成立与存在性问题
43
第
12
讲
第
15
讲
第
16
讲
第
13
讲
第
14
讲
三角函数基本概念与诱导公式
模块1
任意角的三角函数
49
模块2
基本公式强化
53
三角函数的图象与性质
模块1
正弦函数的图象与性质
61
模块2
正切函数的图象与性质
67
模块3
与三角相关的复合函数
69
三角公式的应用技巧
模块1
弦的和差角公式
75
模块2
弦的二倍角公式
77
模块3
正切的和差倍角公式
79
模块4
辅助角公式
80
三角恒等变换重点题型
模块1
整角代换
87
模块2
三角与二次复合型函数
90
模块3
三角综合问题
91
正弦型函数的图象与性质
模块1
正弦型函数的图象变换
97
模块2
正弦型函数的性质
100
模块3
正弦型函数性质的综合应用
104
模块4
利用图象确定解析式
105
123
第8 讲
指数幂运算与指
数函数
直击课堂
高一数学课改腾飞班·秋·下册
2
学习目标
1. 掌握指数幂运算的运算性质.
2. 掌握指数函数的图象与性质，掌握指数式比较大小的常见方法.
3. 能够解决指数型函数的相关问题.
考情分析
第8 讲
指数幂运算与指数函数
3
1
模块
1
指数幂运算
知识凝炼
1
整数指数幂
（1）整数指数幂的法则
①am ·an = am+n；②(am)n = amn；③am
an = am−n(a̸ = 0)；④(ab)m = ambm（m,n 为整数）．
（2）零指数幂和负整数指数幂规定如下
a0 = 1(a̸ = 0),a−n = 1
an (a̸ = 0,n ∈N+)．
2
分数指数幂
（1）方根概念的推广
如果存在实数x，使得xn = a(a ∈R,n > 1,n ∈N+)，那么x 叫做a 的n 次方根．求a 的n 次方根，叫做把
a 开n 次方，称作开方运算．
>> 注意<<
（1）当
n√a 有意义时，n√a 叫做根式，n 叫做根指数．
当a = 0 时：0 的任何次方根都是0，即
n√
0 = 0．
当a̸ = 0 时：n 为偶数时：①a > 0：n 次方根有两个
n√a,−n√a；②a < 0：无偶次方根．n 为奇数时：n
次方根
n√a 唯一存在，正负与a 相同．
（2）( n√a)n = a(n > 1且n ∈N+)（当n 为偶数时，必须有a ⩾0，否则没有意义）；
当n 为奇数时，n√
an = a；
当n 为偶数时，n√
an = |a|．
若加上限制条件a > 0，此时对任意n ∈N+，都有( n√a)n =
n√
an = a．
（2）正分数指数幂
a
1
n =
n√a（a > 0）；a
m
n = ( n√a)m =
n√
am（a > 0,m,n ∈N+，m，n 互质）．
（3）负分数指数幂
a−m
n = 1
a
m
n （a > 0,m,n ∈N+，m，n 互质）．
（4）有理数指数幂的运算法则(a > 0,b > 0,r,s ∈Q)
①aras = ar+s；②(as)r = ars = (ar)s；③(ab)r = arbr.
高一数学课改腾飞班·秋·下册
4
3
无理数指数幂
一般地，当a > 0，α 是无理数时，aα 都有意义，且有理指数幂的运算法则在无理数指数幂中仍然成立．
对于实数指数幂，我们有：
（1）当a > 0，α 为任意实数值时，实数指数幂aα 都有意义．
（2）有理指数幂的运算法则在实数指数幂中仍然成立．
精讲精练
考点1: 根式与分数指数幂的互化
例1 （1）★★
正确率：62%
下列各式中成立的一项是( )．
A.
(
n
m
)7
= n7m
1
7
B.
12√
(−3)4 =
3√−3
C.
4√
x3 +y3 = (x+y)
3
4
D.
√
3√
9 =
3√
3
（2）★★★
化简
√
3√
ab2 ·a3b2
3√
b·
(
a
1
6 b
1
2
)4 (a，b 为正数) 的结果是( )．
A. b
a
B. ab
C. a
b
D. a2b
（3）★★★
化简：
3√
xy2 ·
√
xy−1 ·√xy．
第8 讲
指数幂运算与指数函数
5
达标检测1
★★
将
3√
−2
√
2 化为分数指数幂的形式为( )．
A. −2
1
2
B. −2
1
3
C. −2
2
3
D. −2
5
6
考点2: 有理指数幂的化解求值
例2 （1）★★★
求值：
(
−27
8
)−2
3
+0.002−1
2 −10
(√
5−2
)−1
+
(
2−
√
3
)0．
（2）★★★
求值：(0.0081)−1
4 −
[
3×
(
7
8
)0]−1
×
[
81−0.25 +
(
33
8
)−1
3
]−1
2
−10×0.027
1
3 ．
达标检测2
★★★
计算：
(
23
5
)0
+2−2 ×
(
21
4
)−1
2
−(0.01)0.5 =( )．
A. 3
5
B. 16
15
C. 4
5
D. 1
高一数学课改腾飞班·秋·下册
6
2
模块
2
指数函数
知识凝炼
1
指数函数的概念
一般地，函数y = ax（a > 0 且a̸ = 1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R.
2
指数函数的图象与性质
精讲精练
考点3: 指数函数的图象与性质
例3 （1）★★★
已知函数g(x) = 3x+1 +t 的图象不经过第二象限，则t 的取值范围为
．
第8 讲
指数幂运算与指数函数
7
（2）★★★
若关于x 的方程2x = 3−a 有负数根，则实数a 的取值范围是
．
（3）★★★★
若函数f (x) = ax (a > 0,a̸ = 1) 在[−2,2] 上的函数值恒小于2，则实数a 的取值范围是
．
（4）★★★★
已知a > 0 且a̸ = 1，f (x) = x2 −ax，当x ∈(−1,1) 时，均有f (x) < 1
2，则实数a 的取值范围为( )．
A.
(
0, 1
2
)
∪(2,+∞)
B.
(
1
2,1
)
∪(1,2)
C.
(
0, 1
2
]
∪[2,+∞)
D.
[
1
2,1
)
∪(1,2]
达标检测3
★★★
若函数y = ax (a > 0,a̸ = 1) 在区间x ∈[0,1] 上的最大值与最小值之和为3，则实数a 的值为
．
高一数学课改腾飞班·秋·下册
8
考点4: 幂的大小比较
例4 （1）★★★
正确率：58%
设a = 0.60.6,b = 0.61.5,c = 1.50.6，则a，b，c 的大小关系为( )．
A. a < b < c
B. a < c < b
C. b < a < c
D. b < c < a
（2）★★★
正确率：80%
已知实数a，b 满足
(
1
2
)a
=
(
1
3
)b
，下列5 个关系式：
①0 < b < a；②a < b < 0；③0 < a < b；④b < a < 0；⑤a = b = 0．
其中不可能成立的有( )．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
达标检测4
★★★
若−1 < x < 0，那么下列各不等式成立的是( )．
A. 2−x < 2x < 0.2x
B. 2x < 0.2x < 2−x
C. 0.2x < 2−x < 2x
D. 2x < 2−x < 0.2x
学
霸
笔
记
第8 讲
指数幂运算与指数函数
9
精讲精练
考点5: 指数型复合函数
例5 （1）★★★
关于函数f (x) = 2x −2−x 有下列三个结论：①函数f (x) 的值域为R；②函数f (x) 是R 上的增函
数；③对任意的x ∈R，都有f (x)+ f (−x) = 0 成立．其中正确命题的序号是
．
（2）★★★
函数f(x) = a2x + 3ax −2(a > 0,a̸ = 1) 在区间x ∈[−1,1] 上的最大值为8，则它在这个区间上的最
小值是( )．
A. 2
B. −1
4
C. 1
2
D. −3
2
达标检测5
★★★
若函数f(x) =
√
2x2−2ax−a −1 的定义域为R，则实数a 的取值范围是( )．
A. (−1,0)
B. [−1,0]
C. (−∞,−1)∪(0,+∞)
D. (−∞,−1]∪[0,+∞)
高一数学课改腾飞班·秋·下册
10
例6
★★★
已知函数f (x) = 2x −1
2x +1．
（1）求f (x) 的定义域，值域；
（2）讨论f (x) 的奇偶性；
（3）讨论f (x) 的单调性．
例7
★★★★
设函数f (x) = kax −a−x (a > 0且a̸ = 1) 是奇函数．
（1）求常数k 的值；
（2）若0 < a < 1，f (x+2)+ f (3−2x) > 0，求x 的取值范围；
（3）若f (1) = 8
3，且函数g(x) = a2x +a−2x −2mf (x) 在[1,+∞) 上的最小值为−2，求m 的值．
第8 讲
指数幂运算与指数函数
11
课堂总结
高一数学课改腾飞班·秋·下册
12
直击高考
考题
（2018 新课标Ⅰ9）
已知函数f (x) =
ex,x ⩽0
lnx,x > 0
，g(x) = f (x)+x+a．若g(x) 存在2 个零点，则a 的取值范围是( )．
A. [−1,0)
B. [0,+∞)
C. [−1,+∞)
D. [1,+∞)
答案
C
解析
解：由g(x) = 0 得f (x) = −x−a，
作出函数f (x) 和y = −x−a 的图象如图：
当直线y = −x−a 的截距−a ⩽1，即a ⩾−1 时，两个函数的图象都有2 个交点，
即函数g(x) 存在2 个零点，
故实数a 的取值范围是[−1,+∞)，
故选：C．
第9 讲
对数运算与对数
函数
直击课堂
高一数学课改腾飞班·秋·下册
14
学习目标
1. 掌握积、商、幂的对数运算，熟练应用换底公式.
2. 掌握对数函数的图象与性质，会利用对数函数的图象与性质比较大小.
3. 能够解决对数型函数的相关问题.
考情分析
第9 讲
对数运算与对数函数
15
1
模块
1
对数运算
知识凝炼
1
对数的概念
如果ab = N（a > 0，且a̸ = 1），那么我们把b 叫做以a 为底N 的对数，记作b = logaN，其中a 叫做对数
的底数，N 叫做真数．
图示：
2
对数的性质
根据对数的定义，对数logaN（a > 0，且a̸ = 1）具有如下性质：
①0 和负数没有对数，即N > 0；
②1 的对数为0，即loga1 = 0；
③底的对数等于1，即logaa = 1．
3
指对互化
指数式ab = N (a > 0,a̸ = 1) 和对数式b = logaN (a > 0,a̸ = 1) 是等价的. 具体对应关系如下：
4
常用对数与自然对数
（1）以10 为底的对数叫做常用对数，为了简便，通常把底数10 略去不写，并把“log”简记为“lg”, 即
log10N = lgN．
（2）以e 为底的对数称为自然对数，为了简便，通常把底数e 略去不写，并把“log”简记为“ln”, 即
log eN = lnN．其中e ≈2.71828．
5
对数恒等式
alogaN = N
高一数学课改腾飞班·秋·下册
16
6
积、商、幂的对数
（1）积的对数
loga(M ·N) = logaM +logaN（积的对数等于对数的和）；
推广：loga(N1 ·N2 ·····Nk) = logaN1 +logaN2 +···+logaNk．
（2）商的对数
loga
M
N = logaM −logaN（商的对数等于对数的差）；
（3）幂的对数
logaMα = αlogaM(a ∈R)（幂的对数等于底数的对数乘以幂指数）．
精讲精练
考点1: 对数的运算
例1
★★★
（1）计算：lg8+lg125−lg2−lg5
lg
√
10·lg0.1
=
．
（2）计算：log256−log27+ln√e+21+log23．
第9 讲
对数运算与对数函数
17
（3）计算：lg25+ 2
3 lg8+lg5×lg20+(lg2)2．
（4）正确率：85%
计算：
lg3+ 2
5 lg9+ 3
5 lg
√
27−lg
√
3
lg81−lg27
．
达标检测1
★★★
计算：2log32−log3
32
9 +log38−3log55 =
．
知识凝炼
换底公式：
logbN = logaN
logab（a,b > 0,a,b̸ = 1,N > 0）
高一数学课改腾飞班·秋·下册
18
精讲精练
考点2: 换底公式
例2 （1）★★★
已知log23 = p，请用p 表示log1824．
（2）★★★
已知log83 = p，log35 = q，那么lg5 =
（用p，q 表示）．
例3
★★★
若3x = 4y = 36，则2
x + 1
y =
．
达标检测2
★★★
已知3m = 5n = k，且1
m + 1
n = 2，则k 的值为( )．
A.
√
15
B. 5
C.
√
5
D. 225
第9 讲
对数运算与对数函数
19
2
模块
2
对数函数
知识凝炼
1
对数函数
我们把函数y = logax(a > 0 且a̸ = 1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,+∞)，值域为
实数集R．
2
对数函数的图象和性质
高一数学课改腾飞班·秋·下册
20
精讲精练
考点3: 对数函数的图象与性质
例4 （1）★★★
函数f (x) =
1
ln(x+1) +
√
4−x2 的定义域为( )．
A. [−2,0)∪(0,2]
B. (−1,0)∪(0,2]
C. [−2,2]
D. (−1,2]
（2）★★★
正确率：82%
设a > 0 且a̸ = 1，函数f (x) = loga (2x−1)+1 的图象恒过定点P，则P 的坐标是( )．
A. (1,1)
B. (−1,1)
C. (1,−1)
D. (−1,−1)
（3）★★★
已知f(x) = ax，g(x) = logax(a > 0 且a̸ = 1)，如果f(3)·g(3) < 0，那么f(x) 与g(x) 在同一平面直角
坐标系内的图象可能是下图中的( )．
达标检测3
★★★
已知log4m (m−2) > 0，则m 的取值范围是( )．
A. (3,+∞)
B. (−∞,3)
C. (−∞,−3)
D. (2,+∞)
第9 讲
对数运算与对数函数
21
考点4: 对数的大小比较
例5
★★★
（1）比较大小(填“>”、
“<”或“=”)．
①log0.12013
log0.12014；
②log1.52014
log22014；
③log0.5
1
2014
log0.8
1
2014．
（2）设a,b,c 均为正数，且2a = log 1
2 a，
(
1
2
)b
= log 1
2 b，
(
1
2
)c
= log2c．则( )．
A. a < b < c
B. c < b < a
C. c < a < b
D. b < a < c
达标检测4
★★★
若a = lnπ，b = lg6，c = log0.28，则( )．
A. a > b > c
B. b > a > c
C. c > a > b
D. b > c > a
考点5: 对数型函数
例6 （1）★★
函数f (x) = log5 (2x+1) 的单调递增区间是
．
（2）★★
函数y = log0.5
(
x2 −2x
)
的单调递增区间是
．
（3）★★★★
函数y = −log2 (|x−2|−8) 的单调递减区间为
．
高一数学课改腾飞班·秋·下册
22
达标检测5
★★★
函数y = log3
(
−x2 +x+6
)
的单调递减区间是( )．
A.
(
−∞, 1
2
]
B.
(
0, 1
2
)
C.
[
1
2,3
)
D. (3,+∞)
例7 （1）★★★★
已知函数f (x) = lg
(
−x2 +2ax
)
在区间(1,2) 上是减函数，则实数a 的取值集合是
．
（2）★★★★
已知函数f (x) = log 1
2
ax−2
x−1 ，a 为常数．若f (x) 在区间(2,4) 上是减函数，求a 的取值范围．
例8
★★
给出下列函数：
①f (x) = lg
(
2x + 1
2x
)
；
②f (x) = |lgx|；
③f (x) = lg|x|；
④f (x) = lg(1−x)−lg(1+x)．
其中奇函数有
，偶函数有
．
达标检测6
★★★
设函数f (x) = ln(2+x)+ln(2−x)，则f (x) 是( )．
A. 奇函数，且在(0,2) 上是增函数
B. 奇函数，且在(0,2) 上是减函数
C. 偶函数，且在(0,2) 上是增函数
D. 偶函数，且在(0,2) 上是减函数
第9 讲
对数运算与对数函数
23
课堂总结
高一数学课改腾飞班·秋·下册
24
直击高考
考题
（2018 全国Ⅲ12）
设a = log0.20.3，b = log20.3，则( )．
A. a+b < ab < 0
B. ab < a+b < 0
C. a+b < 0 < ab
D. ab < 0 < a+b
答案
B
解析
解：∵a = log0.20.3 = lg0.3
−lg5，b = log20.3 = lg0.3
lg2 ，
∴a+b = lg0.3
lg2 −lg0.3
lg5 = lg0.3(lg5−lg2)
lg2lg5
=
lg0.3lg 5
2
lg2lg5 ，
ab = −lg0.3
lg2 · lg0.3
lg5 =
lg0.3·lg 10
3
lg2lg5
，
∵lg 10
3 > lg 5
2，lg0.3
lg2lg5 < 0，
∴ab < a+b < 0．
故选：B．
第10 讲
函数与方程
直击课堂
高一数学课改腾飞班·秋·下册
26
学习目标
1. 理解函数零点的定义，会求简单函数零点所在的区间及函数零点个数.
2. 了解方程的根与函数零点的关系, 会将函数零点问题转换为交点问题求解函数的零点.
考情分析
第10 讲
函数与方程
27
1
模块
1
零点区间问题
知识凝炼
1
零点的概念
一般地，如果函数y = f(x) 在实数x0 处的函数值为零，即f(x0) = 0，则x0 叫做这个函数的零点．
>> 注意<<
①函数y = f(x) 的零点就是方程f(x) = 0 的实数根；而从图象上看，函数y = f(x) 的零点就是它的图
象与x 轴交点的横坐标．
②函数的零点不是指一个点，而是指一个实数．如函数y = x−1 的零点是x = 1，而不是(1,0)．
2
函数零点的求法
（1）代数法：求方程f(x) = 0 的实数根；
（2）几何法：画出函数y = f(x) 的图象，从图象上找出零点．
3
零点与函数图象交点
函数F(x) = f(x)−g(x) 的零点就是方程f(x) = g(x) 的实数根，也是函数y1 = f(x) 与y2 = g(x) 的图象交
点的横坐标．
4
零点存在定理
若函数f(x) 在闭区间[a,b] 上的图象是一条连续不断的曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即
f(a)f(b) < 0，则在区间(a,b) 内，函数f(x) 至少有一个零点．
高一数学课改腾飞班·秋·下册
28
>> 注意<<
①此判定定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图所示：f(a)f(b) < 0，函数可以
有多个零点.
②此定理是不可逆的：若f(x) 在区间(a,b) 内存在零点，不一定推出f(a)f(b) < 0，如图所示：
5
单调函数的零点存在定理
若函数f(x) 在闭区间[a,b] 上的图象是一条连续不断的曲线，且f(x) 在(a,b) 上单调，则f(a)f(b) < 0 ⇔
函数f(x) 在区间(a,b) 内有且只有一个零点．
精讲精练
考点1: 求函数零点所在区间
例1
★★
若函数y = f (x) 在区间[a,b] 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )．
A. 若f (a) f (b) > 0，不存在实数c ∈(a,b)，使得f (c) = 0
B. 若f (a) f (b) < 0，存在且只存在一个实数c ∈(a,b)，使得f (c) = 0
C. 若f (a) f (b) > 0，有可能存在实数c ∈(a,b)，使得f (c) = 0
D. 若f (a) f (b) < 0，有可能不存在实数c ∈(a,b)，使得f (c) = 0
第10 讲
函数与方程
29
达标检测1
★★★
已知函数y = f (x) 在R 上的图象是连续不断的一条曲线，且f (−1)· f (1) > 0，则y = f (x)( )．
A. 在区间[−1,1] 上有2 个零点
B. 在区间[−1,1] 上零点个数是偶数个
C. 在区间[−1,1] 上零点个数可能为k，k ∈N
D. 在区间[−1,1] 上没有零点
例2 （1）★★
函数f (x) = √x−x+1 的零点所在的区间是( )．
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (3,4)
（2）★★★
正确率：60%
已知三个函数f (x) = 2x +x，g(x) = x−1，h(x) = log2x+x 的零点依次为a，b，c，则( )．
A. a < b < c
B. b < a < c
C. c < a < b
D. a < c < b
（3）★★★★正确率：69%
设f (x) = 1−(x−a)(x−b)(a < b)，m，n 为y = f (x) 的两个零点，且m < n，则a，b，m，n 的大小关
系是( )．
A. a < m < n < b
B. m < a < b < n
C. a < b < m < n
D. m < n < a < b
达标检测2
★★★
方程ln(x+1)−2
x = 0(x > 0) 的根存在的大致区间是( )．
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,e)
D. (3,4)
高一数学课改腾飞班·秋·下册
30
进阶1
★★★
设函数y = x3 与y = 2x +1 的图象的交点为(x0,y0)，则x0 所在的区间是( )．
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (3,4)
知识凝炼
二分法
对于在区间[a,b] 上连续不断且f(a)f(b) < 0 的函数y = f(x)，通过不断地把函数f(x) 的零点所在区间一
分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
给定精确度ε，用二分法求函数f(x) 零点近似值的步骤如下：
①确定区间[a,b]，验证f(a)f(b) < 0，给定精确度ε；
②求区间[a,b] 的中点c；
③计算f (c)；
（1）若f (c) = 0，则c 就是函数的零点；
（2）若f(a)f(c) < 0，则令b = c（此时零点x0 ∈(a,c)）；
（3）若f(c)f(b) < 0，则令a = c（此时零点x0 ∈(c,b)）.
④判断是否达到精确度ε：即若|a−b| < ε，即得到零点近似值；否则重复2 ∼4.
精讲精练
考点2: 利用二分法确定方程近似解
例3
★★
用二分法研究函数f (x) = x3 −2x−1 的零点时，若零点所在的初始区间为(1,2)，则下一个有解区间为
( )．
A. (1,2)
B. (1.75,2)
C. (1.5,2)
D. (1,1.5)
达标检测3
★★★
设f (x) = 3x + 3x −8，用二分法求方程3x + 3x −8 = 0 在x ∈(1,2) 内近似解的过程中得f (1) < 0，
f (1.5) > 0，f (1.25) < 0，则方程的根落在区间( )．
A. (1,1.25)
B. (1.25,1.5)
C. (1.5,2)
D. 不能确定
第10 讲
函数与方程
31
2
模块
2
零点转换
知识凝炼
精讲精练
考点3: 求函数零点个数
例4 （1）★★★
正确率：50%
函数f (x) = 2x +x−5 的零点个数为( )．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
（2）★★★
函数f (x) = |x−2|−lnx 在定义域内零点的个数为( )．
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
（3）★★★★正确率：77%
函数f (x) = x2 −4x+5−2lnx 的零点的个数为
．
高一数学课改腾飞班·秋·下册
32
达标检测4
★★★
函数f (x) = x
1
2 −
(
1
3
)x
的零点个数为( )．
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
考点4: 已知零点个数求参数
例5
★★★
已知函数f (x) = ax+3 在区间[0,2] 上有零点，则实数a 的取值范围是
．
达标检测5
★★★
函数f (x) = ax2 −2x + 1 在区间(−1,1) 和区间(1,2) 上分别存在一个零点，则实数a 的取值范围是
( )．
A. −3 < a < 1
B. 3
4 < a < 1
C. −3 < a < 3
4
D. a < −3 或a > 3
4
第10 讲
函数与方程
33
例6 （1）★★★
已知函数f (x) =
1+ 4
x,x ⩾4
log2x,x < 4
，若关于x 的方程f (x) = k 有两个不同的根，则实数k 的取值范
围是( )．
A. (−∞,1)
B. (−∞,2)
C. [1,2)
D. (1,2)
（2）★★★★正确率：53%
若方程|lgx|−
(
1
3
)x
+a = 0 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )．
A.
(
1
3,+∞
)
B.
(
−∞, 1
3
)
C. (1,+∞)
D. (−∞,1)
进阶2
★★★
正确率：69%
已知函数f (x) =
ax2 +2x+1(x ⩽0)
ax−3,(x > 0)
有3 个零点，则实数a 的取值范围是( )．
A. a < 1
B. a > 0
C. a ⩾1
D. 0 < a < 1
高一数学课改腾飞班·秋·下册
34
课堂总结
第10 讲
函数与方程
35
直击高考
考题
（2018 浙江15）
已知λ ∈R，函数f (x) =
x−4,x ⩾λ
x2 −4x+3,x < λ
，当λ = 2 时，不等式f (x) < 0 的解集是
．若函
数f (x) 恰有2 个零点，则λ 的取值范围是
．
答案
{x|1 < x < 4}
(1,3]∪(4,+∞)
解析
解：当λ = 2 时，函数f (x) =
x−4,x ⩾2
x2 −4x+3,x < 2
，显然
x ⩾2 时，不等式x−4 < 0 的解集为：{x|2 ⩽x < 4}；
x < 2 时，不等式f (x) < 0 化为：(x−1)(x−3) < 0，解得1 < x < 2，
综上，不等式的解集为：{x|1 < x < 4}．
函数f (x) 恰有2 个零点，
函数f (x) =
x−4,x ⩾λ
x2 −4x+3,x < λ
的草图如图：
函数f (x) 恰有2 个零点，则1 < λ ⩽3 或λ > 4．
故答案为：{x|1 < x < 4}；(1,3]∪(4,+∞)．
第11 讲
恒成立与存在性
问题
直击课堂
高一数学课改腾飞班·秋·下册
38
学习目标
1. 理解单变量的恒成立与存在性问题，掌握两种解题方法：整体分析法与分离参数法．
2. 理解双变量的恒成立与存在性问题，并能将之转化为等价的最值问题．
考情分析
第11 讲
恒成立与存在性问题
39
1
模块
1
单变量恒成立与存在性问题
知识凝炼
单变量恒成立与存在性问题核心在于下表：
精讲精练
考点1: 单变量恒成立问题
例1
★★
正确率：68%
对于任意实数x，不等式(a−2)x2 −2(a−2)x−4 < 0 恒成立，则实数a 的取值范围是( )．
A. (−∞,2)
B. (−∞,2]
C. (−2,2)
D. (−2,2]
高一数学课改腾飞班·秋·下册
40
达标检测1
★★
若不等式ax2 +2ax+1 > 0 对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )．
A. (0,1)
B. [0,1)
C. (−∞,0]
D. (1, +∞)
例2 （1）★★★
已知二次函数f(x) = x2 +x−m，若f(x) ⩾2 对x ∈[−1,1] 恒成立，则实数m 的取值范围是
．
（2）★★★
若不等式ax2 −2ax+2a+1 < 2 对于x ∈[−1,2] 恒成立，则a 的取值范围是
．
达标检测2
★★★
若不等式x2 +2(a−3)x+9 > 0 对于x ∈[1,2] 恒成立，则a 的取值范围是( )．
A.
[
−2,−1
4
]
B.
(
−∞,−1
4
)
C.
(
−1
4,+∞
)
D. (−2,+∞)
第11 讲
恒成立与存在性问题
41
进阶1
★★★★正确率：65%
已知不等式xy ⩽ax2 +2y2 对任意x ∈[1,2]，y ∈[4,5] 恒成立，则实数a 的取值范围是( )．
A. [−1,+∞)
B. [−6,+∞)
C. [−28,+∞)
D. [−45,+∞)
例3
★★★★
已知函数f (x) =
(
log2
x
8
)
·[log2 (2x)]，函数g(x) = 4x −2x+1 −3．若不等式f (x)−g(a) ⩽0 对任意实数
a ∈
[
1
2,2
]
恒成立，试求实数x 的取值范围．
达标检测3
★★★
若当x ∈
(
0, 1
2
]
时，恒有logax ⩾4x 成立，则实数a 的取值范围是( )．
A.
[√
2
2 ,1
)
B.
[√
2
2 ,+∞
)
C.
(
0,
√
2
2
]
D. (0,1)
高一数学课改腾飞班·秋·下册
42
考点2: 单变量存在性问题
例4 （1）★★
已知函数f (x) = 8x2 +16x−k，其中k 为实数．若∃x0 ∈[−3,3]，使f (x0) ⩾0 成立，求k 的取值范围．
（2）★★★
若存在x0 ∈[−1,2]，使不等式ax2 −2ax+2a+1 < 2 成立，则a 的取值范围是( )．
A. (−∞,1)
B. (0,1)
C. (1,+∞)
D. [−1,2]
达标检测4
★★★
若存在正数x，使ex (x−a) < 1 成立，则a 的取值范围是( )．
A. (−∞,1)
B. (0,1)
C. (−1,+∞)
D. [−1,2]
第11 讲
恒成立与存在性问题
43
2
模块
2
双变量恒成立与存在性问题
知识凝炼
双变量恒成立与存在性问题的解读：
精讲精练
考点3: 双变量恒成立与存在性问题
例5
★★★
已知函数f (x) = x2 −x−1 与g(x) = −x2 −5x+m．
（1）∃x1 ∈[−2,2]，使得f (x1) ⩽g(x1) 成立，求实数m 的取值范围．
（2）∃x1,x2 ∈[−2,2]，使得f (x1) > g(x2) 成立，求实数m 的取值范围．
高一数学课改腾飞班·秋·下册
44
例6
★★★★
已知函数f (x) = x2 + 4x + a −5，g(x) = m · 4x−1 −2m + 7．当a = 0 时，若对任意的x1 ∈[1,2]，总存在
x2 ∈[1,2]，使f (x1) = g(x2) 成立，求实数m 的取值范围．
达标检测5
★★★
设f (x) =
−x2,−1 ⩽x < 0
log2 (x+1),0 ⩽x ⩽3
，g(x) = ax+1，若对任意的x1 ∈[−1,3]，存在x2 ∈[−1,1]，使得
g(x2) = f (x1)，则实数a 的取值范围为( )．
A. [−1,0)∪(0,1]
B. (−∞,−1]∪[1,+∞)
C. [−2,0)∪(0,2]
D. (−∞,−2]∪[2,+∞)
第11 讲
恒成立与存在性问题
45
课堂总结
高一数学课改腾飞班·秋·下册
46
直击高考
考题
（2018 新课标Ⅰ23）
已知f (x) = |x+1|−|ax−1|．
（1）当a = 1 时，求不等式f (x) > 1 的解集．
（2）若x ∈(0,1) 时不等式f (x) > x 成立，求a 的取值范围．
答案（1）
(
1
2,+∞
)
；
（2）(0,2]
解析（1）解：当a = 1 时，f (x) = |x+1|−|x−1| =
2,x > 1
2x,−1 ⩽x ⩽1
−2,x < −1
，
由f (x) > 1，
∴
2x > 1
−1 ⩽x ⩽1
或
2 > 1
x > 1
，
解得x > 1
2，
故不等式f (x) > 1 的解集为
(
1
2,+∞
)
．
（2）当x ∈(0,1) 时不等式f (x) > x 成立，
∴|x+1|−|ax−1|−x > 0，
即x+1−|ax−1|−x > 0，
即|ax−1| < 1，
∴−1 < ax−1 < 1，
∴0 < ax < 2，
∵x ∈(0,1)，
∴a > 0，
∴0 < x < 2
a，
∴a < 2
x，
∵2
x > 2，
∴0 < a ⩽2，
故a 的取值范围为(0,2]．
第12 讲
三角函数基本概
念与诱导公式
直击课堂
高一数学课改腾飞班·秋·下册
48
学习目标
1．理解任意角的概念与弧度制的定义，并能熟练地进行角度与弧度的换算．
2．理解任意角三角函数的定义.
3．理解并掌握同角三角函数的基本关系式，并能应用其解决三角函数的化简、求值、证明等问题．
4．能够应用诱导公式实现角之间的转化．
考情分析
第12 讲
三角函数基本概念与诱导公式
49
1
模块
1
任意角的三角函数
知识凝炼
1
角的概念的推广
（1）角：一条射线绕着端点（顶点）从一个位置（始边）旋转到另一个位置（终边）所成的图形．其中顶
点、始边、终边称为角的三要素．
（2）角按其旋转方向可分为：正角（逆时针旋转），零角（没有旋转），负角（顺时针旋转）．
（3）在直角坐标系中讨论角：
①象限角：顶点在原点，始边在x 轴正半轴上，终边在第几象限就是第几象限角．
②轴线角：顶点在原点，始边在x 轴正半轴上，终边在坐标轴上，称之为轴线角．
2
终边相同的角的集合
所有与α 终边相同的角构成的集合S = {β|β = α +2kπ,k ∈Z}．
3
弧度制及其与角度制的换算
（1）1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．
在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为αrad，则|α| = l
r，这种以“弧度”作为单位来度量角的制
度叫做弧度制．
（2）弧度与角度的换算：180◦=πrad，1rad =
(
180
π
)◦
≈57.30◦= 57◦18′；
n◦= n· π
180rad，αrad =
(
180α
π
)◦
．
高一数学课改腾飞班·秋·下册
50
精讲精练
考点1: 角的概念的推广
例1 （1）★★★
写出终边在阴影内(包括边界) 的角的集合．
（2）★★★
已知α 是第二象限角，求2α，3α，α
2 ，α
3 分别是第几象限角．
第12 讲
三角函数基本概念与诱导公式
51
知识凝炼
1
三角函数的定义
在直角坐标系中，设α 是一个任意角，α 终边上任意一点P（除了原点）的坐标是(x,y)，它与原点的距离
为r（r =
√
|x|2 +|y|2 =
√
x2 +y2 > 0），那么
（1）比值y
r 叫做α 的正弦，记作sinα，即sinα = y
r ；
（2）比值x
r 叫做α 的余弦，记作cosα，即cosα = x
r ；
（3）比值y
x 叫做α 的正切，记作tanα，即tanα = y
x．
>> 注意<<
sinα，cosα 中α 的范围为R，tanα 中α 的范围为
{
α
α̸ = kπ+π
2 ,k ∈Z
}
．
2
三角函数在各象限的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
（1）正弦值y
r 对于第一、二象限为正(y > 0,r > 0)，对于第三、四象限为负(y < 0,r > 0)；
（2）余弦值x
r 对于第一、四象限为正(x > 0,r > 0)，对于第二、三象限为负(x < 0,r > 0)；
（3）正切值y
x 对于第一、三象限为正（x、y 同号），对于第二、四象限为负（x、y 异号）．
>> 注意<<
若角α 的终边落在轴线上，则可直接按照三角函数定义确定符号．
高一数学课改腾飞班·秋·下册
52
精讲精练
考点2: 三角函数的定义
例2 （1）★★
已知角α 的终边上一点P
(
−
√
3,m
)
，且sinα =
√
2m
4
，求cosα、tanα 的值．
（2）★★★
正确率：68%
如果P(tanθ,cosθ) 位于第二象限，那么角θ 所在象限是( )．
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
达标检测1
★★★
设θ 是第四象限角，则点P(sin(sinθ),cos(sinθ)) 在( )．
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
第12 讲
三角函数基本概念与诱导公式
53
2
模块
2
基本公式强化
知识凝炼
同角三角函数基本关系式：
平方关系：sin2x+cos2x = 1．
商数关系：sinx
cosx = tanx．
精讲精练
考点3: 基本关系式
例3 （1）★★★
若sinθ = −4
5，tanθ > 0，则cosθ =
；tanθ =
．
（2）★★★
已知sinα cosα = 12
25，则sinα +cosα =
．
达标检测2
★★★
若tanθ = 1
3,π< θ < 3
2π，则sinθ cosθ 的值为( )．
A. ± 3
10
B. 3
10
C.
3
√
10
D. ± 3
√
10
进阶1
★★★★
已知sinα +cosα = 3
4，则sin3α +cos3α =
．
高一数学课改腾飞班·秋·下册
54
达标检测3
★★★
已知sinα +cosα = 7
13 (0 < α <π)，则tanα =( )．
A. −5
12
B. −12
5
C. 5
12
D. −5
12 或−12
5
达标检测4
★★★
若sinθ +sin2θ = 1，则cos2θ +cos4θ =
．
例4
★★★★
化简：
√
1−2sin4cos4
cos4+
√
1−cos24
．
学
霸
笔
记
第12 讲
三角函数基本概念与诱导公式
55
知识凝炼
诱导公式
①角α 与角α +2kπ（k ∈Z），即终边相同的角的三角函数间的关系：
sin(α +2kπ) = sinα，cos(α +2kπ) = cosα，tan(α +2kπ) = tanα；
②角α 与角−α，即终边关于x 轴对称的角的三角函数间的关系：
sin(−α) = −sinα，cos(−α) = cosα，tan(−α) = −tanα；
③角α 与角π−α，即终边关于y 轴对称的角的三角函数间的关系：
sin(π−α) = sinα，cos(π−α) = −cosα，tan(π−α) = −tanα；
④角α 与角π+α，即终边关于原点对称的角的三角函数间的关系：
sin(π+α) = −sinα，cos(π+α) = −cosα，tan(π+α) = tanα；
⑤角α 与角π
2 −α，即互余的两角的三角函数间的关系：
sin(π
2 −α) = cosα，cos(π
2 −α) = sinα；
⑥角α 与角π
2 +α，即终边相互垂直的角的三角函数间的关系：
sin(π
2 +α) = cosα，cos(π
2 +α) = −sinα．
精讲精练
例5
★★
挑战三分钟(将对应选项进行填空)
A.cosα；B.sinα；C.−cosα；D.−sinα
(1)sin
(
5π
2 −α
)
=
；
(2)cos
(
3π
2 +α
)
=
；
(3)sin(3π−α) =
；
(4)sin
(
7π
2 −α
)
=
；
(5)cos
(
7π
2 +α
)
=
；
(6)sin(9π−α) =
；
(7)sin
(
−7π
2 −α
)
=
；
(8)cos
(
−7π
2 +α
)
=
；
(9)cos
(
−π
2 +α
)
=
．
高一数学课改腾飞班·秋·下册
56
例6 （1）★★★
已知sin
(
x−π
4
)
= 3
5，则cos
(
x+π
4
)
=( )．
A. 4
5
B. 3
5
C. −4
5
D. −3
5
（2）★★★
已知sin
(
α −π
3
)
= 1
2，则cos
(
α + 7π
6
)
的值为
．
达标检测5
★★★
已知sin
(
π
4 +α
)
=
√
3
2 ，则sin
(
3π
4 −α
)
的值为( )．
A. 1
2
B. −1
2
C.
√
3
2
D. −
√
3
2
第12 讲
三角函数基本概念与诱导公式
57
课堂总结
高一数学课改腾飞班·秋·下册
58
直击高考
考题
（2018 浙江18）
已知角α 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P
(
−3
5,−4
5
)
．
（1）求sin(α +π) 的值．
（2）若角β 满足sin(α +β) = 5
13，求cosβ 的值．
答案（1）4
5；
（2）−56
65 或16
65
解析（1）解：由角α 的终边过点P
(
−3
5,−4
5
)
得sinα = −4
5，
所以sin(α +π) = −sinα = 4
5．
（2）解：由角α 的终边过点P
(
−3
5,−4
5
)
得cosα = −3
5，
由sin(α +β) = 5
13 得cos(α +β) = ±12
13．
由β = (α +β)−α 得cosβ = cos(α +β)cosα +sin(α +β)sinα，
所以cosβ = −56
65 或cosβ = 16
65．
第13 讲
三角函数的图象
与性质
直击课堂
高一数学课改腾飞班·秋·下册
60
学习目标
1. 熟练掌握正弦、余弦、正切函数的图象与性质，并利用图象与性质解决相关问题．
2. 能够利用三种基本三角函数的图象与性质，解决与三角相关的复合函数的问题．
考情分析
第13 讲
三角函数的图象与性质
61
1
模块
1
正弦函数的图象与性质
知识凝炼
1
五点法作图
步骤：1. 列表 2. 描点 3. 连线
高一数学课改腾飞班·秋·下册
62
2
正弦函数与余弦函数的图象与性质
①正弦函数y = sinx．
第13 讲
三角函数的图象与性质
63
②余弦函数y = cosx．
高一数学课改腾飞班·秋·下册
64
精讲精练
考点1: 正弦、余弦函数的图象与性质
例1 （1）★★
下列区间中，函数y = cosx 为增函数的是( )．
A. [0,π]
B.
[
π
2 , 3π
2
]
C.
[
−π
2 ,π
2
]
D. [π,2π]
（2）★★
函数y = cosx
(
−π
3 < x ⩽5π
6
)
的值域为
．
达标检测1
★★★
从函数y = cosx，x ∈[0,2π) 的图象来看，使cosx = −
√
3
2
的x 有
个．
第13 讲
三角函数的图象与性质
65
例2 （1）★★★
定义运算a∗b 为a∗b =
a,a ⩽b
b,a > b
，例如1∗2 = 1，则函数f (x) = sinx∗cosx 的值域为
．
（2）★★★
正确率：72%
已知函数y = 2sinx 的定义域为[a,b]，值域为[−2,1]，则b−a 的值不可能是( )．
A. 5π
6
B. π
C. 7π
6
D. 3π
2
达标检测2
★★★
函数y = |sinx| 的一个单调增区间是( )．
A.
(
−π
4 ,π
4
)
B.
(
π
4 , 3π
4
)
C.
(
π, 3π
2
)
D.
(
3π
2 ,2π
)
高一数学课改腾飞班·秋·下册
66
进阶1
正确率：50%
（1）★★★
若函数f(x) = |sinx−cosx|+sinx+cosx,x ∈[0,2π]，函数的最小值是( )．
A. −2
B. −
√
2
C.
√
2
D. 0
（2）★★★
函数f (x) =
sin x
2 −a
在区间[0,π] 上的最大值为2，则a =
．
例3 （1）★★★
求不等式2sinx+1 ⩾0 中x 的取值范围．
（2）★★★
求不等式2cos
(
3x+π
6
)
−1 ⩽0 中x 的取值范围．
第13 讲
三角函数的图象与性质
67
2
模块
2
正切函数的图象与性质
知识凝炼
1
正切函数的图象与性质
正切函数y = tanx．
高一数学课改腾飞班·秋·下册
68
精讲精练
考点2: 正切函数的图象与性质
例4 （1）★★★
函数f (x) = tan2x
tanx 的定义域为( )．
A.
{
x
x ∈R,且x̸ = kπ
4 ,k ∈Z
}
B.
{
x
x ∈R,且x̸ = kπ+π
2 ,k ∈Z
}
C.
{
x
x ∈R,且x̸ = kπ+π
4 ,k ∈Z
}
D.
{
x
x ∈R,且x̸ =π−π
4 ,k ∈Z
}
（2）★★★
在(0,2π) 内，使tanx > 1 成立的x 的取值范围为( )．
A.
(
π
4 ,π
2
)
B.
(
5
4π, 3
2π
)
C.
(
π
4 ,π
2
)
∩
(
5
4π, 3
2π
)
D.
(
π
4 ,π
2
)
∪
(
5
4π, 3
2π
)
（3）★★★
函数y = sinx+2tanx,x ∈
[
−π
3 ,π
6
]
的值域为
．
（4）★★★
正确率：34%
函数f(x) = tanx−sinx，在x ∈
(
−π
2 ,π
2
)
的零点个数是( )．
A. 1
B. 2
C. 4
D. 3
达标检测3
★★★
函数y = lg(1−tanx) 的定义域是( )．
A.
{
x
x < kπ+π
4 ,k ∈Z
}
B.
{
x
{
kπ−π
2 < x < kπ+π
4 ,k ∈Z
}
C.
{
x
2kπ−π
2 < x < 2kπ+π
4 ,k ∈Z
}
D.
{
x
2kπ+π
4 < x < 2kπ+π
2 ,k ∈Z
}
第13 讲
三角函数的图象与性质
69
3
模块
3
与三角相关的复合函数
精讲精练
考点3: 与三角相关的复合函数
例5 （1）★★★
函数y = 2cosx−1
2cosx+1 的值域是
．
（2）★★★
求函数y = tan2x−4tanx+3，x ∈
[
π
4 ,π
3
]
的值域．
（3）★★★
正确率：76%
函数y = tan(sinx) 的值域为( )．
A.
[
−π
4 ,π
4
]
B.
[
−
√
2
2 ,
√
2
2
]
C. [−tan1,tan1]
D. 以上均不对
高一数学课改腾飞班·秋·下册
70
达标检测4
★★★
函数y = cos(sinx) 的值域是( )．
A. [0,cos1]
B. [0,1]
C. [cos1,1]
D. [−cos1,cos1]
例6
★★★
若sin2x+cosx+a = 0 有实数根，则实数a 的取值范围是
．
达标检测5
★★★
若函数f(x) = cos2x−asinx+b 的最大值为0，最小值为−4，且a > 0，则a =
，b =
．
进阶2
★★★★
设函数f (x) = (x+1)2 +sinx
x2 +1
的最大值为M，最小值为m，则M +m =
．
第13 讲
三角函数的图象与性质
71
课堂总结
高一数学课改腾飞班·秋·下册
72
直击高考
考题
（2018 江苏7）
已知函数y = sin(2x+φ)
(
−π
2 < φ < π
2
)
的图象关于直线x = π
3 对称，则φ 的值为
．
答案
−π
6
解析
解：∵y = sin(2x+φ)
(
−π
2 < φ < π
2
)
的图象关于直线x = π
3 对称，
∴2×π
3 +φ = kπ+π
2 ，k ∈Z，
即φ = kπ−π
6 ，
∵−π
2 < φ < π
2 ，
∴当k = 0 时，φ = −π
6 ，
故答案为：−π
6 ．
第14 讲
三角公式的应用
技巧
直击课堂
高一数学课改腾飞班·秋·下册
74
学习目标
1．熟练记忆和差角公式与二倍角公式，理解他们的内在联系．
2．能够灵活利用公式解决三角恒等变换的相关问题．
3．掌握辅助角公式，能利用辅助角公式将三角函数式化为正弦型函数的形式．
考情分析
第14 讲
三角公式的应用技巧
75
1
模块
1
弦的和差角公式
知识凝炼
1
余弦的和差角公式
Cα−β : cos(α −β) = cosα cosβ +sinα sinβ．
Cα+β : cos(α +β) = cosα cosβ −sinα sinβ．
2
正弦的和差角公式
Sα−β : sin(α −β) = sinα cosβ −cosα sinβ．
Sα+β : sin(α +β) = sinα cosβ +cosα sinβ．
精讲精练
考点1: 弦的和差角公式
例1 （1）★★★
已知sinα = 3
5，α ∈
(
π
2 ,π
)
，cosβ = −12
13，β 是第三象限角，求cos(α −β)，cos(α +β)，sin(α +β)，
sin(α −β) 的值．
（2）★★★
正确率：61%
cos(α −β)cosβ −sin(α −β)sinβ 可以化为( )．
A. cos(α −2β)
B. cosα
C. cosβ
D. sin(2α −β)
高一数学课改腾飞班·秋·下册
76
达标检测1
★★★
sin20◦cos10◦−cos160◦sin10◦=( )．
A. −
√
3
2
B.
√
3
2
C. −1
2
D. 1
2
例2
★★★★
已知
sinα +cosβ = 4
5
cosα −sinβ = 3
5
，则下列结论正确的是( )．
A. cos(α −β) = 1
2
B. sin(α −β) = 1
2
C. cos(α +β) = −1
2
D. sin(α −β) = −1
2
达标检测2
★★★
已知cos(α +β) = 1
5，cos(α −β) = 3
5，则2tanα ·tanβ 的值为
．
第14 讲
三角公式的应用技巧
77
2
模块
2
弦的二倍角公式
知识凝炼
弦的二倍角公式
S2α : sin2α = 2sinα cosα．
C2α : cos2α = cos2α −sin2α = 2cos2α −1 = 1−2sin2α．
降幂公式：
cos2α = 1+cos2α
2
sin2α = 1−cos2α
2
．
精讲精练
考点2: 弦的二倍角公式
例3
★★
求解以下问题：
（1）x ∈
(
−π
2 ,0
)
，cosx = 4
5，求cos2x,sin2x,tan2x．
（2）sin22.5◦cos22.5◦；
（3）cos215◦−sin215◦；
（4）2
3 + 4
3cos215◦；
（5）cos2α = −7
9，并且90◦< α < 180◦，求cosα，sinα，tanα．
高一数学课改腾飞班·秋·下册
78
达标检测3
★★★
已知sinα −cosα = 4
3，则sin2α =( )．
A. −7
9
B. −2
9
C. 2
9
D. 7
9
例4 （1）★★★
正确率：60%
2sin225◦−1
sin20◦cos20◦=( )．
A. −1
B. −2
C. 1
D. 2
（2）★★★
正确率：57%
若
cos2α
sin
(
α −π
4
) = −
√
2
2 ，则cosα +sinα 的值为( )．
A. −
√
7
2
B. −1
2
C. 1
2
D.
√
7
2
进阶1 （1）★★★★
化简：32cosθ cos2θ cos4θ cos8θ cos16θ．
（2）★★★★正确率：34%
2
√
1−sin8+√2+2cos8 等于( )．
A. 2sin4−4cos4
B. −2sin4−4cos4
C. −2sin4
D. 4cos4−2sin4
第14 讲
三角公式的应用技巧
79
3
模块
3
正切的和差倍角公式
知识凝炼
正切的和差倍角公式
Tα+β : tan(α +β) =
tanα +tanβ
1−tanα ·tanβ ．
Tα−β : tan(α −β) =
tanα −tanβ
1+tanα ·tanβ ．
T2α : tan2α =
2tanα
1−tan2α ．
精讲精练
考点3: 正切的和差倍角公式
例5
★★
正确率：60%
已知tan
(
α +π
4
)
= 2，则tan2α =( )．
A. −3
4
B. 3
4
C. 1
2
D. −3
4 或3
4
达标检测4
★★★
已知tan α +β
2
= 1
3，tanβ = −1
7，则tanα =
．
进阶2
求值：
（1）★★★
tan25◦+tan35◦+
√
3tan25◦tan35◦=
．
（2）★★★
(1+tan55◦)(1−tan10◦) =
．
（3）★★★★
计算(1+tan1◦)(1+tan2◦)···(1+tan45◦) =
．
高一数学课改腾飞班·秋·下册
80
4
模块
4
辅助角公式
知识凝炼
辅助角公式
y = asinα +bcosα =
√
a2 +b2 sin(α +φ)，其中tanφ = b
a，φ 所在的象限由a,b 的符号确定．
精讲精练
考点4: 辅助角公式
例6
★★★
化简下列式子为Asin(ωα +φ)+B 的形式：
（1）
√
3sinα +3cosα；
（2）
√
6sinα +
√
2cosα；
（3）f (α) = sin2α +sinα cosα +1；
（4）f (α) = sin
(
π
2 −α
)
sinα −
√
3cos2α．
第14 讲
三角公式的应用技巧
81
例7
★★★
正确率：50%
函数f(x) = 2cos2x+sin2x 的最小值是( )．
A. 1
B. 1+
√
3
2
C. 3
2
D. 1−
√
2
达标检测5
★★★
函数f (x) = 2cos
(
x+π
4
)
cos
(
x−π
4
)
+
√
3sin2x 的最小值是( )．
A.
√
2
B. 2
C. −
√
2
D. −2
高一数学课改腾飞班·秋·下册
82
课堂总结
第14 讲
三角公式的应用技巧
83
直击高考
考题
（2018 全国Ⅱ文15）
已知tan
(
α −5π
4
)
= 1
5，则tanα =
．
答案
3
2
解析
解：∵tan
(
α −5π
4
)
= 1
5，∴tan
(
α −π
4
)
= 1
5，
则tanα = tan
(
α −π
4 +π
4
)
=
tan
(
α −π
4
)
+tanπ
4
1−tan
(
α −π
4
)
tanπ
4
=
1
5 +1
1−1
5 ×1
= 1+5
5−1 = 6
4 = 3
2，故答案为3
2．
第15 讲
三角恒等变换重
点题型
直击课堂
高一数学课改腾飞班·秋·下册
86
学习目标
1．掌握整角代换的方法，熟练利用整角代换解决三角的化简求值问题．
2．掌握三角与二次复合型函数的处理方法．
3．结合三角函数，三角恒等变换的知识，解决三角的综合问题．
考情分析
第15 讲
三角恒等变换重点题型
87
1
模块
1
整角代换
精讲精练
考点1: 给值求值问题
例1 （1）★★
已知α 为锐角，且cos
(
α +π
6
)
= 5
13，则cosα 的值为
．
（2）★★★
若cos
(
π
4 −α
)
= 3
5，则sin2α =( )．
A. 7
25
B. 1
5
C. −1
5
D. −7
25
（3）★★★
若α 与β 是锐角，cosα = 1
7，sin(α +β) = 5
√
3
14 ，则cosβ =
．
（4）★★★
已知cosα = 1
3，cos(α +β) = −1
3，且α，β ∈
(
0,π
2
)
，则cos(α −β) 的值等于( )．
A. −1
2
B. 1
2
C. −1
3
D. 23
27
高一数学课改腾飞班·秋·下册
88
达标检测1
★★★
若α,β 为锐角，且满足cosα = 4
5，cos(α +β) = 5
13，则sinβ 的值为( )．
A. −16
65
B. 33
65
C. 56
65
D. 63
65
进阶1
★★★★正确率：42%
若0 < α < π
2 ，−π
2 < β < 0，cos
(
π
4 +α
)
= 1
3，cos
(
π
4 −β
2
)
=
√
3
3 ，则cos
(
α + β
2
)
=( )．
A.
√
3
3
B. −
√
3
3
C. 5
√
3
9
D. −
√
6
9
学
霸
笔
记
精讲精练
考点2: 给值求角问题
例2
★★★
正确率：70%
设0 < β < α < π
2 ，且cosα = 1
7，cos(α −β) = 13
14，则β =( )．
A. π
8
B. π
6
C. π
4
D. π
3
第15 讲
三角恒等变换重点题型
89
达标检测2
★★★
已知α，β 均为锐角，且sin(α −β) = 1
√
5
，cos(α +β) =
3
√
10，则2α =( )．
A. π
6
B. π
4
C. π
3
D. 5π
4
进阶2 （1）★★★★
已知α，β，γ 均为锐角，且tan(α +β) = 1
2，tan β +γ
2
= 1
5，tan β −γ
2
= −1
8，
则α +β +γ =
．
（2）★★★★
已知tan(α −β) = 1
2，tanβ = −1
7，α,β ∈(0,π)，求2α −β 的值．
学
霸
笔
记
高一数学课改腾飞班·秋·下册
90
2
模块
2
三角与二次复合型函数
精讲精练
考点3: 三角与二次复合型函数
例3 （1）★★★
函数y = cos2x+2sinx 的最大值为
．
（2）★★★
函数y = sinxcosx+sinx+cosx 的最大值为多少？
达标检测3
★★★
若关于x 的方程cos2x−sinx+a = 0 在
(
0,π
2
]
内有实数解，则a 的取值范围是( )．
A. (−1,1]
B. [−1,1]
C. (−1,1)
D.
(
−5
4,1
]
进阶3 （1）★★★
函数y = sin2x+cos4x 的值域是
．
（2）★★★★
函数y = sinx+cosx
1+sinxcosx 的值域为
．
第15 讲
三角恒等变换重点题型
91
3
模块
3
三角综合问题
精讲精练
考点4: 三角综合问题
例4
★★★
锐角三角形的内角A，B 满足tanA−
1
sin2A = tanB，则有( )．
A. sin2A−cosB = 0
B. sin2A+cosB = 0
C. sin2A−sinB = 0
D. sin2A+sinB = 0
达标检测4
★★★
设α ∈
(
0,π
2
)
，β ∈
(
0,π
2
)
且tanβ = 1+sinα
cosα
，则( )．
A. α −3β = −π
2
B. α −2β = −π
2
C. α +3β = π
2
D. α +2β = π
2
例5
★★★
已知α +β = 2π
3 ，α > 0，β > 0，当sinα +2sinβ 取最大值时α = θ，则cosθ =
．
达标检测5
★★★
在△ABC 中，sin2A+cos2B = 1，则cosA+cosB+cosC 的最大值为( )．
A.
√
5
B.
√
2
C. 1
D. 3
2
高一数学课改腾飞班·秋·下册
92
例6 （1）★★★
已知sin x
2 −2cos x
2 = 0．求tanx 的值．
（2）★★★★
求
cos2x
√
2cos
(
π
4 +x
)
·sinx
的值．
例7
★★★★
在△ABC 中，已知C = 3π
4 ，cosAcosB = 3
√
2
5 ，cos(α +A)cos(α +B)
cos2α
=
√
2
5 ，求tanα 的值．
第15 讲
三角恒等变换重点题型
93
课堂总结
高一数学课改腾飞班·秋·下册
94
直击高考
考题
（2018 全国Ⅱ理15）
已知sinα +cosβ = 1，cosα +sinβ = 0，则sin(α +β) =
．
答案
−1
2
解析
解：sinα +cosβ = 1，
两边平方可得：sin2α +2sinα cosβ +cos2β = 1……①，
cosα +sinβ = 0，
两边平方可得：cos2α +2cosα sinβ +sin2β = 0……②，
由①+②得：2+2(sinα cosβ +cosα sinβ) = 1，即2+2sin(α +β) = 1，
∴2sin(α +β) = −1．
∴sin(α +β) = −1
2．
故答案为：−1
2．
第16 讲
正弦型函数的图
象与性质
直击课堂
高一数学课改腾飞班·秋·下册
96
学习目标
1. 掌握平移与伸缩两种基本变换，并利用图象变换得到正弦型函数的图象.
2. 理解掌握正弦型函数的单调性、对称性、周期性，并利用性质解决正弦型函数的综合应用问题.
3. 能够根据正弦型函数图象特征确定函数解析式的各个参数.
考情分析
第16 讲
正弦型函数的图象与性质
97
1
模块
1
正弦型函数的图象变换
知识凝炼
1
正弦型函数y = Asin(ωx+φ)(A > 0,ω > 0)
2
三种基本的图象变换
（1）x 轴方向的平移变换：y = sinx
φ>0时向左
−−−−−−→
φ<0时向右平移|φ| 个单位得y = sin(x+φ)．
（2）x 轴方向的伸缩变换：y = sinx 的横坐标
ω>1时缩短
−−−−−−−−→
0<ω<1时伸长到原来的1
ω 倍得y = sinωx．
（3）y 轴方向的伸缩变换：y = sinx 的纵坐标
A>1时伸长
−−−−−−−−→
0<A<1时缩短到原来的A 倍得y = Asinx．
>> 注意<<
y 轴方向的伸缩变换与伸缩系数A 保持一致，但x 轴方向的伸缩变换与伸缩系数ω 恰好相反．
3
y = sinx −→y = Asin(ωx+φ) 图象变换的两种途径
（1）先平移后伸缩(x →x+φ →ωx+φ)，变换方法如下：
y = sinx 的图象
向左(φ>0)或向右(φ<0)
−−−−−−−−−−−−−−→
平移|φ|个单位长度
y = sin(x + φ) 的图象
横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
到原来的1
ω
(纵坐标不变)
y = sin(ωx + φ) 的图
象
纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
为原来的A倍(横坐标不变)
y = Asin(ωx+φ) 的图象．
（2）先伸缩后平移(x →ωx →ωx+φ)，变换方法如下：
y = sinx 的图象
横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
到原来的1
ω
(纵坐标不变)
y = sinωx 的图象
向左(φ>0)或向右(φ<0)
−−−−−−−−−−−−−−→
平移
φ
ω
个单位
y = sin(ωx+φ) 的图象
纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
为原来的A倍(横坐标不变)
y = Asinx(ωx+φ) 的图象．
高一数学课改腾飞班·秋·下册
98
精讲精练
考点1: 正弦型函数的图象变换
例1
★★
将y = sin
(
2x+ 3π
4
)
图像上所有的点向右平移π
6 个单位，再把所得的图像上各点横坐标扩大到原来
的3 倍(纵坐标不变)，这样得到的图像对应的函数解析式为
．
达标检测1
★★
将函数f (x) = sin
(
2x−π
6
)
的图象向左平移π
3 个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的2 倍，那
么所得图象的函数表达式为( )．
A. y = sinx
B. y = cosx
C. y = −cosx
D. y = sin
(
x+π
6
)
例2
★★★
正确率：56%
为了得到函数y = sin
(
2x+π
3
)
的图象，只要将y = sinx 的图象上所有的点( )．
A. 向左平移π
3 个单位长度，再把所得点的横坐标缩短到原来的1
2 倍，纵坐标不变
B. 向左平移π
3 个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变
C. 向左平移π
6 个单位长度，再把所得点的横坐标缩短到原来的1
2 倍，纵坐标不变
D. 向左平移π
6 个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变
第16 讲
正弦型函数的图象与性质
99
进阶1
★★★
正确率：43%
为了得到函数y = cos x
3 的图象，只需将函数y = sin
(
x
3 +π
6
)
的图象( )．
A. 向左平移π
2 个单位
B. 向右平移π
2 个单位
C. 向左平移π 个单位
D. 向右平移π 个单位
达标检测2
★★★
函数y = 3sinx 的图象经由下列变换可以得到函数y = 3sin
(
1
2x+π
3
)
的图象的是( )．
A. 先将图象向左平移π
3 个单位，再将图象上每一点的横坐标变为原来的一半(纵坐标不变)
B. 先将图象上每一点的横坐标变为原来的一半(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π
3 个单位
C. 先将图象向左平移π
3 个单位，再将图象上每一点的横坐标变为原来的2 倍(纵坐标不变)
D. 先将图象上每一点的横坐标变为原来的2 倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π
3 个单位
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100
2
模块
2
正弦型函数的性质
知识凝炼
1
单调性与最值问题
（1）正弦型函数y = Asin(ωx+φ)(A > 0,ω > 0) 的单调性的求法：
建立关系式ωx + φ ∈
[
−π
2 +2kπ,π
2 +2kπ
]
(k ∈Z) 解出x 的范围，所得区间即为单调增区间；同理由
ωx+φ ∈
[
π
2 +2kπ, 3π
2 +2kπ
]
(k ∈Z) 解出x 的范围，即为单调减区间．
（2）正弦型函数y = Asin(ωx+φ)(A > 0) 的最值：
①值域为[−A,A]．
②当ωx+φ = π
2 +2kπ (k ∈Z) 时，取得最大值A；
当ωx+φ = −π
2 +2kπ (k ∈Z) 时，取得最小值−A．
2
周期性
y = Asin(ωx+φ) 的周期仅与自变量的系数ω 有关，最小正周期T = 2π
|ω | ．
3
对称性
正弦型函数y = Asin(ωx+φ) 的对称性：
（1）对称轴：令ωx+φ = π
2 +kπ(k ∈Z)；
（2）对称中心：令ωx+φ = kπ (k ∈Z)．
第16 讲
正弦型函数的图象与性质
101
精讲精练
考点2: 单调性与最值问题
例3 （1）★★
求函数y = 2sin
(
2x−π
4
)
的单调增区间．
（2）★★★
求函数y = cos
(
π
3 −2x
)
的单调递减区间．
（3）★★★
已知函数f(x) = 2sin
(
2x+π
6
)
−1(x ∈R)，则f (x) 在区间
[
0,π
2
]
上的最大值与最小值分别是
( )．
A. 1,−2
B. 2,−1
C. 1,−1
D. 2,−2
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102
达标检测3
★★
函数f (x) = sin
(
2x−π
4
)
在区间
[
0,π
2
]
上的最小值是( )．
A. −1
B. −
√
2
2
C.
√
2
2
D. 0
考点3: 周期问题
例4
★★★
正确率：67%
已知函数f (x) = sin
(
ωx+π
6
)
(ω > 0) 满足：∀x1,x2 ∈R，当|f (x1)−f (x2)| = 2 时，|x1 −x2|min = π
2 ，那
么f (x) 的最小正周期是( )．
A. π
4
B. π
2
C. π
D. 2π
达标检测4
★★★
已知函数f (x) = 2sin
(
π
2 x+π
5
)
，若对任意实数x，都有f (x1) ⩽f (x) ⩽f (x2)，则|x2 −x1| 的最小值是
( )．
A. π
B. 2π
C. 2
D. 4
第16 讲
正弦型函数的图象与性质
103
考点4: 对称性问题
例5
★★
正确率：63%
函数y = sin
(
2x+π
3
)
图象的对称轴方程可能是( )．
A. x = −π
6
B. x = −π
12
C. x = π
6
D. x = π
12
达标检测5
★★★
已知函数f(x) = 2sin
(
ωx+π
6
)
(ω > 0) 的最小正周期为4π，则该函数的图象( )．
A. 关于点
(
π
3 ,0
)
对称
B. 关于点
(
5π
3 ,0
)
对称
C. 关于直线x = π
3 对称
D. 关于直线x = 5π
3
对称
高一数学课改腾飞班·秋·下册
104
3
模块
3
正弦型函数性质的综合应用
精讲精练
考点5: 正弦型函数性质的综合应用
例6
★★★★正确率：56%
已知ω > 0,0 < φ <π，直线x = π
3 和x = 4π
3 是函数f (x) = sin(ωx+φ) 的图象的两条相邻的对称轴，
则ω +φ 的值为( )．
A. 2+ 5
6π
B. 2+π
6
C. 1+ 5
6π
D. 1+π
6
进阶2 （1）★★★★
已知函数f (x) = sin
(
ωx+π
3
)
(ω > 0)，f
(
π
6
)
= f
(
π
3
)
，且f (x) 在区间
(
π
6 ,π
3
)
上有最小值，
无最大值，则ω 的值为( )．
A. −10
3
B. 14
3
C. 8
3
D. 2
3
（2）★★★★正确率：65%
已知ω > 0, 函数f (x) = sin
(
ωx+π
6
)
在
(
π
2 ,π
)
上单调递减, 则ω 的取值范围是( )．
A.
[
2
3, 4
3
]
B.
[
2
3, 3
4
]
C.
(
0, 2
3
]
D.
(
0, 3
2
]
第16 讲
正弦型函数的图象与性质
105
4
模块
4
利用图象确定解析式
精讲精练
考点6: 利用图象确定解析式
例7 （1）★★★
正确率：58%
函数f(x) = Asin(ωx + φ)(x ∈R,A > 0,ω > 0,|φ| < π
2 ) 的图象(部分) 如图所示，f(x) 的解析式是
( )．
A. f (x) = 2sin
(
πx+π
6
)
(x ∈R)
B. f (x) = sin
(
2πx+π
6
)
(x ∈R)
C. f (x) = 2sin
(
πx+π
3
)
(x ∈R)
D. f (x) = 2sin
(
2πx+π
3
)
(x ∈R)
高一数学课改腾飞班·秋·下册
106
（2）★★★
正确率：49%
设函数f (x) = Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数，A > 0,ω > 0)，且函数f (x) 的部分图象如图所示，则有
( )．
A. f
(
−3π
4
)
< f
(
5π
3
)
< f
(
7π
6
)
B. f
(
−3π
4
)
< f
(
7π
6
)
< f
(
5π
3
)
C. f
(
5π
3
)
< f
(
7π
6
)
< f
(
−3π
4
)
D. f
(
5π
3
)
< f
(
−3π
4
)
< f
(
7π
6
)
学
霸
笔
记
第16 讲
正弦型函数的图象与性质
107
课堂总结
高一数学课改腾飞班·秋·下册
108
直击高考
考题
（2018 北京理11）
设函数f (x) = cos
(
ωx−π
6
)
(ω > 0，若f (x) ⩽f
(
π
4
)
对任意的实数x 都成立，则ω 的最小值为
．
答案
2
3
解析
解：函数f (x) = cos
(
ωx−π
6
)
(ω > 0)，若f (x) ⩽f
(
π
4
)
对任意的实数x 都成立，
可得：ω ·π
4 −π
6 = 2kπ，k ∈Z，解得ω = 8k + 2
3，k ∈Z，ω > 0，
则ω 的最小值为：2
3．
故答案为：2
3．
