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CONTENTS
第9 讲
三角函数公式
1
第10 讲
三角函数变形
5
第11 讲
正余弦定理
8
第12 讲
解三角形综合
10
参考答案
12
第9 讲
三角函数公式
1
2019 秋高一数学筑梦班9-12 讲预习卡片
第9 讲
三角函数公式
知识梳理
和角公式与差角公式
两角和差公式
1．两角和与差的余弦公式
Cα−β : cos(α −β) = cosα cosβ +sinα sinβ .
Cα+β : cos(α +β) = cosα cosβ −sinα sinβ .
2．两角和与差的正弦公式
Sα−β : sin(α −β) = sinα cosβ −cosα sinβ .
Sα+β : sin(α +β) = sinα cosβ +cosα sinβ .
精讲精练
1 （1）计算sin43◦cos13◦−cos43◦sin13◦的结果等于( )
A. 1
2
B.
√
3
3
C.
√
2
2
D.
√
3
2
（2）已知锐角α，β 满足cosα = 4
5，cos(α +β) = −5
13，则cosβ =( )
A. 16
65
B. 33
65
C. 56
65
D. 63
65
2
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知识梳理
两角和差公式
3．两角和与差的正切公式
Tα−β : tan(α −β) = tanα −tanβ
1+tanα tanβ .
Tα+β : tan(α +β) = tanα +tanβ
1−tanα tanβ .
精讲精练
2 （1）若tan
(
α −π
4
)
= 1
6．则tanα =
．
（2）(1+tan18◦)(1+tan27◦) 的值是( )
A.
√
2
B.
√
3
C. 2
D.
√
5
第9 讲
三角函数公式
3
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知识梳理
倍角公式
由和角公式与差角公式可进一步推导出下列公式：
1．二倍角的正弦、余弦和正切
S2α : sin2α = 2sinα cosα
C2α : cos2α = cos2 α −sin2 α
= 2cos2α −1
= 1−2sin2α
T2α : tan2α =
2tanα
1−tan2 α
进一步变换后得到降幂公式：
cos2α = 1+cos2α
2
sin2α = 1−cos2α
2
2．半角公式
sin α
2 = ±
√
1−cosα
2
cos α
2 = ±
√
1+cosα
2
tan α
2 =
sinα
1+cosα = 1−cosα
sinα
= ±
√
1−cosα
1+cosα
精讲精练
3 （1）已知sinα +cosα = 2
3，则sin2α 的值为
．
（2）已知cosx = 3
5，x ∈
(
−π
2 ,0
)
，则tan2x =
．
4 已知tan
(
α + π
4
)
= 7，则tan2α =( )
A. 7
24
B. 24
7
C. −7
24
D. −24
7
4
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知识梳理
辅助角公式
辅助角公式：
y = asinα +bcosα =
√
a2 +b2 sin(α +φ)
其中sinφ =
b
√
a2 +b2 ,cosφ =
a
√
a2 +b2 ,tanφ = b
a.
利用上式可得：|asinα +bcosα| ⩽
√
a2 +b2.
精讲精练
5 化简下列式子为Asin(ωα +φ)+B 的形式：
√
3sinα +3cosα．
6 函数f (x) = 2cos2x−2
√
3sinxcosx
(
−π
2 < x < π
2
)
取得最大值时，x =( )
A. π
6
B. −π
6
C. π
3
D. −π
3
第10 讲
三角函数变形
5
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第10 讲
三角函数变形
知识梳理
和差化积与积化和差
和差化积公式：
由前面学过的和角公式与差角公式，可进一步推导得到下列和差化积公式：
sinα +sinβ = 2sin α +β
2
cos α −β
2
sinα −sinβ = 2cos α +β
2
sin α −β
2
cosα +cosβ = 2cos α +β
2
cos α −β
2
cosα −cosβ = −2sin α +β
2
sin α −β
2
精讲精练
1
下列等式错误的是( )
A. sin(A+B)+sin(A−B) = 2sinAcosB
B. sin(A+B)−sin(A−B) = 2cosAsinB
C. cos(A+B)+cos(A−B) = 2cosAcosB
D. cos(A+B)−cos(A−B) = 2sinAcosB
6
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知识梳理
积化和差公式：
可进一步推导得到积化和差公式：
sinα cosβ = 1
2 [sin(α +β)+sin(α −β)]
cosα sinβ = 1
2 [sin(α +β)−sin(α −β)]
cosα cosβ = 1
2 [cos(α +β)+cos(α −β)]
sinα sinβ = −1
2 [cos(α +β)−cos(α −β)]
精讲精练
2 （1）sin15◦sin75◦=( )
A. 1
8
B. 1
4
C. 1
2
D. 1
（2）sin37.5◦cos7.5◦=
．
3 sin70◦cos20◦−sin10◦sin50◦的值为( )
A. 3
4
B.
√
3
2
C. 1
2
D.
√
3
4
第10 讲
三角函数变形
7
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知识梳理
万能代换公式
万能代换公式：
sinα =
2tan α
2
1+tan2 α
2
cosα =
1−tan2 α
2
1+tan2 α
2
tanα =
2tan α
2
1−tan2 α
2
精讲精练
4 求证：sinα =
2tan α
2
1+tan2 α
2
，cosα =
1−tan2 α
2
1+tan2 α
2
，tanα =
2tan α
2
1−tan2 α
2
．
5 已知2sinθ +cosθ
sinθ −3cosθ = −5，求3cos2θ +4sin2θ 的值．
8
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第11 讲
正余弦定理
知识梳理
正余弦定理
1. 正弦定理：a
sinA =
b
sinB =
c
sinC = 2R，R 为外接圆半径.
2. 余弦定理：
c2 = a2 +b2 −2abcosC
b2 = a2 +c2 −2accosB
a2 = b2 +c2 −2bccosA
3. 面积公式：S = 1
2aha = 1
2 (a+b+c)r = 1
2absinC = 1
2bcsinA = 1
2acsinB. 其中r 为△ABC 内切圆半径.
精讲精练
1 （1）在△ABC 中，AB =
√
6，∠A = 75◦，∠B = 45◦，则AC =
．
（2）已知a，b，c 是△ABC 中∠A，∠B，∠C 的对边，若a = 7，c = 5，∠A = 120◦，则边长b =
．
第11 讲
正余弦定理
9
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2 在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若asinBcosC + csinBcosA = 1
2b，且a > b，则
∠B =( )
A. π
6
B. π
3
C. 2π
3
D. 5π
6
3 设在△ABC 中，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，已知A = π
4 ，tan(A+B) = 7，b = 3
√
2，则△ABC 的面
积为
．
10
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第12 讲
解三角形综合
知识梳理
解三角形的应用
解三角形的应用题在解决过程中尽量将已知量标注在图形中, 若一个三角形内有三个条件（除三
角外）, 此三角形必可解. 综合运用解三角形的工具, 尤其是正弦定理和余弦定理必可解决问题.
海伦公式：S =
√
p(p−a)(p−b)(p−c), 其中p = a+b+c
2
.
圆内接四边形面积：S =
√
(p−a)(p−b)(p−c)(p−d), 其中p = a+b+c+d
2
.
精讲精练
1
△ABC 中，a，b，c 分别是三个内角A，B，C 所对的边长，若a : b : c = 5 : 11 : 13，则该三角形的形状为
( )
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不能确定
第12 讲
解三角形综合
11
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2 在△ABC 中，若a+b = 6，C = 120◦，则△ABC 的面积S△ABC 取得最大值时，△ABC 的外接圆的半径
R 为
．
3 某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α 的四个等腰三角形，及其底边构成的正
方形所组成，则该八边形的面积为( )
A. 2sinα −2cosα +2
B. sinα −
√
3cosα +3
C. 3sinα −
√
3cosα +1
D. 2sinα −cosα +1
4 如图，已知A 船在灯塔C 北偏东80◦处，且A 到C 的距离为2km，B 船在灯塔C 北偏西40◦，A，B 两
船距离为3km，则B 船到灯塔C 的距离为( )
A.
√
19km
B.
(√
6−1
)
km
C.
(√
6+1
)
km
D.
√
7km
12
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参考答案
第9 讲
三角函数公式
1 （1）A
【解析】sin43◦cos13◦−cos43◦sin13◦= sin(43◦−13◦) = sin30◦= 1
2．
（2）A
【解析】解：∵锐角α，β 满足cosα = 4
5，
∴sinα =
√
1−cos2α = 3
5．
∵α，β 为锐角，
∴0 < α < π
2 ，0 < β < π
2 ，
∵cos(α +β) = −5
13，
∴sin(α +β) =
√
1−cos2 (α +β) = 12
13，
则cosβ = cos[(α +β)−α] = cos(α +β)cosα +sin(α +β)sinα
= −5
13 × 4
5 + 12
13 × 3
5 = 16
65，
故选：A．
2 （1）7
5
【解析】解：∵tan
(
α −π
4
)
=
tanα −tan π
4
1+tanα tan π
4
= tanα −1
tanα +1 = 1
6，
∴6tanα −6 = tanα +1，解得tanα = 7
5，故答案为：7
5．
（2）C
【解析】∵tan45◦= tan(18◦+27◦) = tan18◦+tan27◦
1−tan18◦tan27◦= 1，
∴tan18◦tan27◦+tan18◦+tan27◦= 1，
∴(1+tan18◦)(1+tan27◦) = 2．
参考答案
13
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3 （1）
−5
9
【解析】【命题立意】本题考查同角三角函数基本关系的应用，难度较小．
【解题思路】由已知得(sinα +cosα)2 = 1+sin2α = 4
9，解得sin2α = −5
9．
（2）24
7
【解析】∵x ∈
(
−π
2 ,0
)
，
∴sinx < 0，
∵cosx = 3
5，
∴sinx = −
√
1−cos2x = −
√
1−
(3
5
)2
= −4
5，
∴tanx = sinx
cosx =
−4
5
3
5
= −4
3，
∴tan2x =
2tanx
1−tan2x =
2×
(
−4
3
)
1−
(
−4
3
)2 = 24
7 ．
4 B
【解析】解：∵tan
(
α + π
4
)
= 7 = tanα +1
1−tanα ，
∴tanα = 3
4，
则tan2α =
2tanα
1−tan2α = 24
7 ，
故选：B．
5 见解析
【解析】
√
3sinα +3cosα = 2
√
3sin
(
α + π
3
)
．
6 B
【解析】∵f (x) = 2cos2x−2
√
3sinxcosx = cos2x−
√
3sin2x+1 = 2cos
(
2x+ π
3
)
+1，
∴当f (x) 取得最大值时，2x+ π
3 = 2kπ，x = kπ −π
6 ，k ∈Z，
∵−π
2 < x < π
2 ，
∴x = −π
6 ．
14
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第10 讲
三角函数变形
1
D
【解析】由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A、B、C 正确．
2 （1）B
【解析】sin15◦sin75◦= −1
2 [cos(15◦+75◦)−cos(15◦−75◦)]
= −1
2 (cos90◦−cos60◦) = −1
2
(
0−1
2
)
= 1
4．
（2）1+
√
2
4
【解析】sin37.5◦cos7.5◦= 1
2 [sin(37.5◦+7.5◦)+sin(37.5◦−7.5◦)]
= 1
2 (sin45◦+sin30◦) = 1+
√
2
4
．
3 A
【解析】sin70◦cos20◦−sin10◦sin50◦= 1
2 (sin90◦+sin50◦)+ 1
2 (cos60◦−cos40◦)
= 1
2 + 1
2 sin50◦+ 1
4 −1
2 cos40◦= 3
4．
4 见解析
【解析】证：1◦sinα = sinα
1
=
2sin α
2 cos α
2
sin2 α
2 +cos2 α
2
=
2tan α
2
1+tan2 α
2
，
2◦cosα = cosα
1
=
cos2 α
2 −sin2 α
2
sin2 α
2 +cos2 α
2
=
1−tan2 α
2
1+tan2 α
2
，
3◦tanα = sinα
cosα =
2sin α
2 cos α
2
cos2 α
2 −sin2 α
2
=
2tan α
2
1−tan2 α
2
．
5
7
5
【解析】∵2sinθ +cosθ
sinθ −3cosθ = −5，
∴cosθ̸ = 0(否则2=−5)，
∴2tanθ +1
tanθ −3 = −5，解之得：tanθ = 2．
∴原式= 3
(
1−tan2θ
)
1+tan2θ
+ 4×2tanθ
1+tan2θ = 3
(
1−22)
1+22
+ 4×2×2
1+22
= 7
5．
参考答案
15
2019 秋高一数学筑梦班9-12 讲预习卡片
第11 讲
正余弦定理
1 （1）2
【解析】解：∵∠A = 75◦，∠B = 45◦，
∴∠C = 60◦，
∵AB
sinC = AC
sinB，
∴AC = ABsinB
sinC
=
√
6sin45◦
sin60◦
= 2．
（2）3
【解析】解：∵a2 = b2 +c2 −2bccosA，
∴72 = b2 +52 −2×5bcos120◦，解得b = −8(舍) 或b = 3．
2 A
【解析】解：∵asinBcosC +csinBcosA = 1
2b，
∴sinAsinBcosC +sinCsinBcosA = 1
2 sinB，
∵sinB > 0，
∴sinAcosC +sinCcosA = 1
2，
∴sin(A+C) = 1
2，
∴sinB = 1
2，
∵a > b，
∴0 < B < π
2 ，
∴B = π
6 ．
3
21
2
【解析】解：∵tan(A+B) = 7，
∴tanC = −tan(A+B) = −7，
∵sin2C +cos2C = 1，
∴sinC =
7
5
√
2
，cosC = −1
5
√
2
，
∵A = π
4 ，
∴sinB = sin(A+C) = sinAcosC +cosAsinC =
√
2
2 ×
(
−1
5
√
2
)
+
√
2
2 ×
7
5
√
2
= 3
5，
16
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∵
a
sinA =
b
sinB，
∴a = bsinA
sinB =
3
√
2sin π
4
3
5
= 5，
∴S△ABC = 1
2absinC = 1
2 ×5×3
√
2×
7
5
√
2
= 21
2 ．
第12 讲
解三角形综合
1
C
【解析】解：∵a : b : c = 5 : 11 : 13，
∴设a = 5k，b = 11k，c = 13k，
∴cosC = a2 +b2 −c2
2ab
= (5k)2 +(11k)2 −(13k)2
2×5k ×11k
= −23
110 < 0，
∴∠C 为钝角，
∴△ABC 为钝角三角形．
2 3
【解析】解：∵a+b = 6，且ab ⩽
(a+b
2
)2
，
∴ab ⩽9，当且仅当a = b = 3 时，等号成立，
∵S△ABC = 1
2absinC ⩽9
2 sin120◦= 9
√
3
4 ，
∴当a = b = 3 时，S△ABC 取得最大值，此时A = B = 30◦，
∵
a
sinA = 2R，
∴R =
a
2sinA =
3
2sin30◦= 3．
3 A
【解析】解：S = 4× 1
2 ×12 ×sinα +12 +12 −2×1×1×cosα = 2sinα −2cosα +2．
4 B
【解析】解：∵cos∠ACB = AC2 +BC2 −AB2
2AC ×BC
，
∴cos120◦= 22 +BC2 −32
2×2BC
= −1
2，
解得BC = −
√
6−1(舍) 或BC =
√
6−1，即B 船到灯塔C 的距离为
(√
6−1
)
km．
