[讲义答案]第14讲三角函数方程-e123e6cb54e8_学而思高一全套_2019秋季高一1_2019秋高一数学筑梦班（全国）李昊伟_2019秋高一数学筑梦班（全国）李昊伟_讲义

答 案
B
解析
解：由公式
，
知，原式
，选B．
答 案
解析
解：设
，
， 
由
，可得
，且
， 
则
，由
，可得
，且
， 
所以
， 
又
，所以
．故答案为
．
答 案
解析
解：定义域决定于
， 
解得
． 
模块1：反三角函数
：反三角函数
1
2
1
例题1
arcsinx + arccos x =
 2
π
arctanx + arccot x =
 2
π
=  π 
 4
π
arccos
−
 
=
(
5
3 )
x
arctan7 = y
arccos
−
 
=
(
5
3 )
x
cos x = −
 5
3
x ∈
 , π
( 2
π
)
tanx = −
 3
4
arctan7 = y
y ∈
0,
 
(
2
π )
tany = 7
tan x −y =
(
)
 =
1 + −
 × 7
(
3
4)
−
 −7
3
4
1
x −y ∈0, π
(
)
x −y =
 4
π
 4
π
例题2
−
 ,
 
[
2
 6
2
 6 ]
0,
 
[
3
2x]
−1 ⩽x −
2
 ⩽
2
1
1
−
 ⩽
2
 6
x ⩽
 
2
 6
又
， 
所以
．
答 案
D
解析
解：
，且
单调递减， 
； 
． 
故选D．
答 案
B
解析
解：因为
， 
所以
，
． 
因为
， 
所以
， 
故选B．
答 案
解析
解：原不等式即
． 
于是
． 
即
． 
所以
，即
．
2
1
1
x −
2
 ∈
2
1
−
 , 1
[
2
1
]
y ∈0,
 
[
3
2π ]
x ∈−1, 1
[
]
f x
( )
f x
 =
( ) ∣max
f −1 =
(
)
π +
 ×
2
1
 =
4
3π
 
8
11π
f x
 =
( ) ∣min
f 1 =
( )
0 +
 ×
2
1
 =
4
π
 8
π
例题3
 <
2
π
 <
3
 
3
2π
tan
 <
3
0
sin
 =
3
sin π −
 >
(
3)
sin
 =
3
π
 
2
 3
arctan
 =
3
 >
3
π
1
tan
 <
3
 <
3
 3
sin
 <
3
arctan
 3
例题4
1 < x ⩽2
log
 arcsin
 <
 6
π
2
x
log
 
 
 6
x 6
π
 ⩾
2
π
arcsin
 >
2
x
 6
π
arcsin1 ⩾arcsin
 >
2
x
arcsin
 2
1
1 ⩾
 >
2
x
 2
1
1 < x ⩽2
答 案
解析
解：设
，则
，
． 
，
， 
． 
原不等式为
， 
，
． 
．
答 案
，
解析
解：
，
，又
， 
由
得
，且
，
， 
即
，故所求的反函数为
，
．
答 案
A
解析
当
，
，
， 
则有
； 
当
时， 
则有
． 
故选A．
2
1
1
1
−1 ⩽x <
 2
1
arcsinx = θ
sinθ = x
cos
 −θ
=
( 2
π
)
x
∵−
 ⩽
2
π
θ ⩽
 2
π
∴0 ⩽
 −
2
π
θ ⩽π
∴arccos x =
 −
2
π
θ
∴
2θ + 3
 −θ
>
( 2
π
)
 
3
4π
∴θ <
 6
π
∴arcsinx <
 6
π
∴−1 ⩽x <
 2
1
例题5
y = arccos 1 −x −
(
)
π
x ∈0, 2
[
]
∵−π ⩽x ⩽0
∴0 ⩽x + π ⩽π
cos π + x =
(
)
−cos x
∴
y = cos x + 1
cos π + x =
(
)
1 −y
y ∈0, 2
[
]
∴π + x = arccos 1 −y
(
)
x = arccos 1 −y −
(
)
π
y = arccos 1 −x −
(
)
π
x ∈0, 2
[
]
例题6
−
 ⩽
2
π
x ⩽0
0 ⩽cos x ⩽1
0 ⩽−x ⩽
 2
π
y = arccos cos x =
(
)
arccos cos −x
=
[
(
)]
−x
0 ⩽x ⩽
 2
π
y = arccos cos x =
(
)
x
例题7
答 案
解析
不妨设
为钝角，则原式为
．
答 案
D
解析
解：由图知，应选D(注意是一个负的锐角)． 
答 案
C
解析
解：
． 
由
知，
或
． 
所以
．选C．
答 案
B
解析
解：根据函数
和函数
的图象，可得原方程解的个数为个．
模块2：三角函数方程
：三角函数方程
1
2
1  54%
 ,
 
( 2
π
2
3π )
A
A −
 
+
(
2
π )
 −B
+
( 2
π
)
 −C
=
( 2
π
)
2A −
 ∈
2
π
 ,
 
( 2
π
2
3π )
例题8
θ
cos π cos x =
(
)
0 ⇒π cos x = kπ +
 k ∈Z ⇒
2
π (
)
cos x = k +
 k ∈Z
2
1 (
)
cos x ⩽
∣
∣
1
k = −1
0 ⇒cos x = ±
 2
1
x = kπ ±
 k ∈Z
3
π (
)
例题9
y = cos x
y = arcsinx
1
答 案
C
解析
解：如图，作出函数
和
的图象，可见，在定义域
内，不等式
恒成立， 
所以原不等式的解是
，选C． 
答 案
解析
解：图象法．
答 案
解析
解：首先证明一个小定理：
． 
证：设
，
，、
．则： 
，
． 
故
， 
故
，得证． 
回到该题目， 
易知
 
考法：0
1
2
1
例题10
y = arcsin x −1
(
)
y = x
0, 2
[
]
arcsin x −1 <
(
)
x
0, 2
[
]
−1, −
 
∪
[
2
 2 )
 , 1
( 2
 2
]
例题11
 5
π
arctanx + arctany = arctan
 xy=
 1
1 −xy
x + y (
/ )
a = arctanx
b = arctany
a
b ∈
−
 ,
 
(
2
π
2
π )
tana = x
tanb = y
tan a + b =
(
)
 =
1 −tana tanb
tana + tanb
 xy=
 1
1 −xy
x + y (
/ )
a + b = arctan
 
1 −xy
x + y
tan arctanx
 + arctanx
 =
(
1
2)
 
1 −cos
 
5
3π
sin
 
5
3π
 
， 
注意到
，
，故
(不妨设
，
)， 
则
，从而
．
答 案
见解析
解析
解：
，所以
． 
欲使原不等式恒成立，要使
．所以
．
答 案
见解析
解析
解：当
时，
， 
， 
因为
是偶函数， 
所以
时，
， 
在
上是减函数， 
因为
是钝角三角形，
是钝角， 
所以
， 
所以
， 
所以
．
答 案
见解析
1
考法：0
1
2
=
 
2sin
 
2
10
3π
2 ⋅sin
 ⋅cos
 
10
3π
10
3π
= cot
 π =
10
3
tan
 5
π
x
 +
1
x
 =
2
sin
 >
5
3π
0
x
 x
 =
1
2
cos
 <
5
3π
0
x
 >
1
−x
 >
2
0
x
 >
1
0
x
 <
2
0
arctanx
 +
1
arctanx
 ∈
2
0,
 
(
2
π )
arctanx
 +
1
arctanx
 =
2
 5
π
例题12
 =
x + x +
 
2
4
13
 ⩾
x +
 
+ 3
(
2
1 )
2
 3
arctan
 ⩾
x + x +
 
2
4
13
 3
π
 ⩾
3
π
 −
3
π
a
a ⩾0
例题13
x ∈−1, 0
(
)
x −2012 ∈−2013, −2012
(
)
f x =
( )
f x −2012 =
(
)
cos
 x −2012 =
2
π (
)
cos
 x
2
π
f x
( )
x ∈0, 1
(
)
f x =
( )
cos
 x
2
π
f x
( )
0, 1
(
)
△ABC
C
0 < A <
 −
2
π
B <
 2
π
0 < sinA < cos B < 1
f sinA >
(
)
f cos B
(
)
解析
当
时，
， 
，
， 
若
的值域是
，则
，
． 
方程
的解集是
．
x ∈−1, 0 ∪
(
)
0, 1
(
)
f x =
( )
cos
 x ∈
2
π
0, 1
(
)
f 0 =
( )
f −2012 =
(
)
a
f −1 =
(
)
f 1 =
( )
f −2013 =
(
)
b
f x
( )
a, b
[
]
a = 0
b = 1
f x =
( )
b
x∣x = 2k + 1, k ∈Z
{
}