[讲义答案]第11讲正余弦定理-e287fd542740_学而思高一全套_2019秋季高一1_2019秋高一数学筑梦班（全国）李昊伟_2019秋高一数学筑梦班（全国）李昊伟_讲义

答 案
D
解析
解：由正弦定理可得：
， 
化为：
， 
， 
为锐角， 
． 
故选：D．
答 案
B
解析
，
，
．
答 案
解析
解：在
中，
，
由正弦定理得，
， 
则
，即
， 
由余弦定理得，
， 
化简得
，
 
模块1：正余弦定理
：正余弦定理
1  63%
2
考法：0
1
例题1
 =
sin60
∘
2
 3
 
sinC
2
 2
 sinC =
 
2
 2
∵c < a
∴∠C
∴∠C =
 4
π
∵cos A =
 =
2bc
b + c −a
2
2
2
 6
1
∴b +
2
 −
9
4
4 =
 b
9
2
∴b = 2
例题2
2
3
△ABC
∵A = 2C
c = 2 ∴
 =
sinA
a
 
sinC
c
 =
2 sinC cos C
a
 
sinC
2
a = 4 cos C
a = 4 ×
 =
2ab
a + b −c
2
2
2
2 ×
 
ab
a + b −4
2
2
a
b −2 =
2 (
)
2 b −4
( 2
)
①
又
，
， 
联立
解得，
或
， 
，
，
，
， 
故答案为：
．
答 案
C
解析
展开移项得
，由余弦定理，得
，
．
答 案
B
解析
解：在
中，
， 
若
， 则
，
， 
可判断“
”是“
”的必要而不充分条件． 
故选：B．
答 案
D
解析
解：
中，
，
， 
则
， 
则
 
 
 
 
， 
由于
，
， 
所以
， 
2  63%
1
2
a =
2
4b −4
②
①②
 
{a = 2
 3
b = 4
 
{a = 2
b = 2
∵A = 2C
c = 2
∴a > c = 2
∴a = 2
 3
2
3
(a + b + c)(a −b −c) = −3bc
b +
2
c −
2
a =
2
bc
cos A =
 =
2bc
b + c −a
2
2
2
 2
1
∴A = 60∘
例题3
△ABC
∠A + ∠B + ∠C = 180∘
A > 30∘
30 <
∘
A < 180∘
0 < sinA < 1
A > 30∘
sinA >
 2
1
△ABC
AB = 2
C = 6
π
2R =
 =
sinC
AB
4
AC +
 BC
3
= 4 sinB + 4
 sinA
3
= 4 sin
 −A
+
( 6
5π
)
4
 sinA
3
= 2 cos A + 6
 sinA
3
= 4
 sin A + θ
7
(
)
0 < A <
 
6
5π
0 < θ <
 2
π
0 < A + θ <
 
3
4π
所以最大值为
． 
故选：D．
答 案
2
解析
解法一：
， 
， 
， 
，
， 
． 
解法二：由射影定理，得
，故
．
答 案
解析
解：由射影定理： 
 
      
 
   
．
答 案
解析
解：由射影定理： 
 
 
， 
．
1  71%
2
3
4
7
例题4
∵b cos C + ccos B = 2b
∴sinB cos C + sinC cos B = 2 sinB
∴sin B + C =
(
)
2 sinB
∴sinA = 2 sinB
∴a = 2b
∴
 =
b
a
2
b cos C + ccos B = a = 2b
 =
b
a
2
 
3
 3
 b ⋅
3
cos A = a ⋅cos C + c ⋅cos A = b
⇓
cos A =
 
3
 3
 
2
61
2 bccos A + accos B + ab cos C
(
)
= bccos A + ba cos C +
(
)
accos B + ab cos C +
(
)
bccos A + accos B
(
)
= a +
2
b +
2
c =
2
61
∴bccos A + accos B + ab cos C =
 
2
61
例题5
答 案
见解析
解析
解：根据正弦定理，由已知得：
， 
即
， 
， 
，
， 
，从而
． 
，
．
答 案
见解析
解析
由(1)和余弦定理得
，即
， 
， 
即
(当且仅当
时等号成立)． 
所以，
周长的最大值为
．
答 案
D
解析
解：由
，
，
， 
根据余弦定理得：
，即
， 
即
，解得：
或
， 
当
时，
的面积
； 
当
时，
的面积
， 
所以
的面积等于
或
． 
故选：D．
1
2
模块2：三角形面
：三角形面积公式
公式
1  54%
sinA −2 sinB cos C +
(
)
sinC cos A = 0
sinA cos C + sinC cos A = 2 sinB cos C
∴sin A + C =
(
)
2 sinB cos C
∵A + C = π −B
∴sin A + C =
(
)
sin π −B =
(
)
sinB > 0
∴sinB = 2 sinB cos C
cos C =
 2
1
∵C ∈0, π
(
)
∴C =
 3
π
cos C =
 =
2ab
a + b −c
2
2
2
 2
1
a +
2
b −
2
12 = ab
∴a + b
−
(
)2
12 = 3ab ⩽3
 
(
2
a + b)
2
a + b
⩽
(
)2
48
a = b = 2
 3
△ABC
4
 +
3
c = 6
 3
例题6
AB =
 3
AC = 1
cos B = cos 30 =
∘
 
2
 3
AC =
2
AB +
2
BC −
2
2AB ⋅BC cos B
1 = 3 + BC −
2
3BC
BC −1
BC −2 =
(
) (
)
0
BC = 1
BC = 2
BC = 1
△ABC
S =
 AB ⋅
2
1
BC sinB =
 ×
2
1
 ×
3
1 ×
 =
2
1
 
4
 3
BC = 2
△ABC
S =
 AB ⋅
2
1
BC sinB =
 ×
2
1
 ×
3
2 ×
 =
2
1
 
2
 3
△ABC
 
4
 3
 
2
 3
答 案
B
解析
解：
， 
， 
解得：
， 
可得：
， 
， 
， 
故选：B．
答 案
D
解析
设三角形的三内角分别为
，外接圆的半径为
，由三角形内角和定理可得三内角分别为
，则由正弦定理可得
，
故
，即
，应选答案D．
答 案
解析
解：
中，
，
，
． 
又
，
， 
． 
． 
故答案为：
．
2  70%
1
2
∵S =
 a + c −b
=
4
 3 ( 2
2
2)
 acsinB
2
1
∴
 ×
4
 3
2accos B =
 acsinB
2
1
sinB −
 cos B =
3
0
tanB =
 =
cos B
sinB
 3
∵B ∈0, π
(
)
∴B =
 3
π
例题7
3x, 4x, 5x
R
A =
 , B =
4
π
 , C =
3
π
 
12
5π
a = 2Rsin A, b = 2Rsin B, c = 2Rsin C
S
 =
1
 ab sinC =
2
1
 (2R) ×
2
1
2
 ×
2
 2
 ×
2
 3
 =
4
 +
 
6
2
 R
4
3 +
 3
2
 =
S
 2
S
 1
 
4π
3 +
 3
 
4
5
 
65
△ABC
∵tanB = −
 3
4
∴sinB =
 5
4
cos B = −
 5
3
S =
 acsinB =
2
1
2c = 8
∴c = 4
∴b =
 =
a + c −2accos B
2
2
 
65
∴
 =
sinA + sinB + sinC
a + b + c
 =
sinB
b
 
4
5
 
65
 
4
5
 
65
答 案
见解析
解析
解：
， 
由正弦定理可得：
， 
， 
可得：
， 
， 
， 
， 
．
答 案
见解析
解析
，
，
， 
， 
又
， 
整理可得：
， 
又
， 
， 
联立
， 
解得
或
．
答 案
D
1
2
模块3：三角形中的三角恒等式
：三角形中的三角恒等式
1  73%
例题8
∵
 =
cos A
a
 
cos B
2c −b
∴
sinA cos B = 2 sinC cos A −sinB cos A
∴sinA cos B + sinB cos A = 2 sinC cos A
sinC = 2 sinC cos A
∵sinC=
 0
/
∴cos A =
 2
1
∵A ∈0, π
(
)
∴A =
 3
π
∵a = 2
 7
A =
 3
π
S
 =
△ABC
6
 =
3
 bcsinA =
2
1
 bc ⋅
2
1
 
2
 3
∴bc = 24
∵cos A =
 =
2bc
b + c −a
2
2
2
 =
2bc
b + c
−a −2bc
(
)2
2
 =
48
b + c
−28 −48
(
)2
 2
1
b + c
=
(
)2
100
b + c > 0
∴b + c = 10
∴
{bc = 24
b + c = 10
{b = 4
c = 6
 
{b = 6
c = 4
例题9
解析
试题分析：因为
，所以三角形为直角三角形，由
，所以
，故
．
答 案
B
解析
解：在
中，
， 
由正弦定理得，
，且
， 
， 
． 
又
， 
； 
又
， 
． 
故选：B．
答 案
C
解析
解：因为
，
是锐角三角形
的两个内角， 不妨令
，则
，A错
误； 
，B错误； 
，D错误，C正确． 故选：C．
答 案
；
解析
由条件中的等式知
， 
， 
． 
2  54%
1
2
c =
2
a +
2
b2
 sinA +
3
cos A = 2 sin A +
 
=
(
6
π )
 2
sin A +
 
=
(
6
π )
 , A =
2
 2
 −
4
π
 =
6
π
 
12
π
B =
 −
2
π
 =
12
π
 π
12
5
△ABC
a sinB cos C + csinB cos A =
 b
2
 3
sinA sinB cos C + sinC sinB cos A =
 sinB
2
 3
sinB=
 0
/
∴sinA cos C + sinC cos A =
 
2
 3
∴sin A + C =
(
)
 
2
 3
∵A + B + C = π
∴sin A + C =
(
)
sin π −B =
(
)
sinB =
 
2
 3
∵c > b
∴B =
 3
π
例题10
A
B
ABC
A = B =
 3
π
sinA = sinB
sinA > cos B
tanA tanB = 3 > 1
 ,
 
[ 3
π
2
π )
tanA > 0, tanB > 0, tanC > 0
tan B =
2
tanA tanC, tanB = −tan(A + C) =
 
tanA tanC −1
tanA + tanC
tanB = −tan(A + C) =
 
tan B −1
2
tanA + tanC
． 
．
答 案
见解析
解析
证明：因为
，所以
，从而
． 
因此
， 
即
， 
于是
， 
所以
 
 
．
1  56%
tan B −
3
tanB = tanA + tanC ⩾2
 =
tanA tanC
2 tanB
tan B ⩾
3
3 tanB, tanB > 0 ⇒tanB ⩾
 ⇒
3
B ⩾
 3
π
例题11
A < π
 <
4
A
 4
π
cos
 >
4
A
cos
 =
4
π
 ⇒
 2
1
2cos
 >
2
4
A
1
2sin
 
2cos
 −1
>
2
4
A (
2
4
A
)
0
4sin
 cos
 =
2
4
A
2
4
A
sin
 >
2
2
A
2sin
 
2
4
A
2
sin
 + sin
 + sin
 
<
(
2
4
A
2
4
B
2
4
C )
sin
 +
2
2
A
sin
 +
2
2
B
sin
 
2
2
C
cos
 +
2
A
cos
 +
2
B
cos
 =
2
C
3 −2
sin
 + sin
 + sin
 
(
2
4
A
2
4
B
2
4
C )
> 3 −
sin
 + sin
 + sin
 
(
2
2
A
2
2
B
2
2
C )
> 2