目录
第8 讲 函数与方程
第6 讲 对数函数
第5 讲 指数函数
参考答案
第7 讲 幂函数
09
04
01
12
07
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1
第5 讲
指数函数
第5 讲
指数函数
本讲核心概念
重难点：
1. 无理数指数幂：
对于无理数指数幂，可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数
的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后也可得出无理数指数幂aα（α > 0, α 是无理数）是一个
确定的实数.
可以证明，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
2. 底数对指数函数图象的影响：
①当a > 1 时，a 值越大，图象向上越靠近y 轴，递增速度越快；当0 < a < 1 时，a 值越小，图象向下
越靠近x 轴，递减速度越快.
②在第一象限具有“底大图高”的特征.
3. 指数型复合函数的性质的应用：
形如y = af(x)(a > 0, a̸ = 1) 一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数y = af(x) 的定义域与f (x) 的定义域相同；
②先确定函数f (x) 的值域，再根据指数函数的单调性确定函数y = af(x) 的值域；
③当a > 1 时，函数y = a f(x) 与函数f (x) 的单调性相同；当0 < a < 1 时，函数y = af(x) 与函数f (x)
的单调性相反.
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2
第5 讲
指数函数
检测题
1 （1）下列各等式中，正确的是( )
A.
4√
a4 = ±a
B.
6√
(−2)2 =
3√−2
C. a0 = 1
D.
10
√(√
2−1
)5
=
(√
2−1
) 1
2
（2）已知x+y = 12，xy = 9 且x < y，则x
1
2 −y
1
2
x
1
2 +y
1
2 =
．
2 函数y = ax −a(a > 0,a̸ = 1) 的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
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3
第5 讲
指数函数
3 （1）解指数方程：
4x +6x = 6·9x．
（2）不等式2x2−x < 4 的解集为
．
4 已知函数f (x) = ex−2 +e2−x，若实数x1、x2 满足x1 < x2，x1 +x2 < 4 且(x1 −2)(x2 −2) < 0，则下列结
论正确的是( )
A. f (x1) = f (x2)
B. f (x1) < f (x2)
C. f (x1) > f (x2)
D. f (x1)+ f (x2) < 4
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4
第6 讲
对数函数
第6 讲
对数函数
本讲核心概念
重难点：
1. 换底公式的推论：
①loga b · logb a = 1(a > 0, a̸ = 1, b > 0, b̸ = 1)；
②loga b · logb c · logc d = loga d (a > 0, a̸ = 1, b > 0, b̸ = 1, c > 0, c̸ = 1, d > 0);
③logam bn = n
m loga b(a > 0, a̸ = 1, b > 0, m,n ∈N∗).
2. 底数对对数函数图象的影响：
设y1 = loga x，y2 = logb x，其中a > 1，b > 1（或者0 < a < 1，0 < b < 1），则：
当x > 1 时“底大图低”，即若a > b，则y1 < y2；
当0 < x < 1 时“底大图高”，即若a > b，则y1 > y2.
3. 对数函数相关的复合函数：
①函数y = loga f (x) (a > 0, a̸ = 1) 的定义域就是f (x) > 0 的解集；
②求y = loga f (x) (a > 0, a̸ = 1) 的值域时，应先确定f (x) 的值域，再根据对数函数的单调性确定
函数y = loga f (x) (a > 0, a̸ = 1) 的值域.
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5
第6 讲
对数函数
检测题
1 若a，b 分别是方程(lgx)2 −lgx2 + 1
2 = 0 的两个实根，求lg(ab)·(logab+logba) 的值．
2 （1）若logm9 < logn9 < 0，那么m，n 满足的条件是( )
A. m > n > 1
B. 0 < m < n < 1
C. n > m > 1
D. 0 < n < m < 1
（2）如果函数f (x) = logax(a > 1) 在区间[a,2a] 上的最大值是最小值的3 倍，那么实数a 的值为
( )
A.
√
2
B.
√
3
C. 2
D. 3
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6
第6 讲
对数函数
3 （1）已知lg2 = 0.3010, 则22016 的整数位数是( ) 位
A. 604
B. 605
C. 606
D. 607
（2）函数f (x) = log2
(
1+ 1
x
)
(x > 0) 的反函数f −1 (x) =( )
A.
1
2x −1(x > 0)
B.
1
2x −1(x̸ = 0)
C. 2x −1(x ∈R)
D. 2x −1(x > 0)
4 已知函数f (x) = log 1
3
[(1
3
)2x
−2·
(1
3
)x
−2
]
，则满足f (x) < 0 的x 的取值范围是( )
A. (−∞,0)
B. (0,+∞)
C. (−∞,−1)
D. (−1,+∞)
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7
第7 讲
幂函数
第7 讲
幂函数
本讲核心概念
重难点：
1. 幂函数图象规律总结：
对于幂函数y = xα，有下列性质：
（1）当α > 0 时，
①图象都过点(0, 0)，(1, 1)；
②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大；
③在第一象限内，α > 1 时，图象是向下凸的，0 < α < 1 时，图象是向上凸的；
④在第一象限内，过点(1, 1) 后，图象向右上方无限伸展.
（2）当α < 0 时，
①图象都过点(1, 1)；
②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，图象是向下凸的；
③在第一象限内，图象向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近；
④在第一象限内，过点(1, 1) 后，|α| 越大，图象下降的速度越快.
2. 幂值大小的比较方法：
①底数相同，指数不同：利用指数函数y = ax 的单调性；
②指数相同，底数不同：利用幂函数y = xa 的单调性；
③底数、指数都不同：寻找中间量.
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8
第7 讲
幂函数
检测题
1 如图的曲线是幂函数y = xa 在第一象限的图象．已知a 取±2、±1
2 四个值，则相应的曲线C1、C2、C3、
C4 的a 依次为( )
A. −2，−1
2，1
2，2
B. 2，1
2，−1
2，−2
C. −1
2，−2，2，1
2
D. 2，1
2，−2，−1
2
2 已知幂函数y = x(−1)k· n
m (k、m、n ∈N∗且m、n 互质) 的图象在一、二象限，且不过原点，则k、m、n 依次
为( )．
A. 奇数、偶数、奇数
B. 奇数、奇数、偶数
C. 偶数、奇数、偶数
D. 偶数、奇数、奇数
3 （1）已知点(m,8) 在幂函数f (x) = (m−1)xn 的图象上，设a = f
(√
3
3
)
，b = f (lnπ)，c = f
(√
2
2
)
，
则a，b，c 的大小关系为( )
A. a < c < b
B. a < b < c
C. b < c < a
D. b < a < c
（2）已知幂函数f(x) = xm2−2m−3(m ∈N∗) 的图象关于y 轴对称，且在(0,+∞) 上是减函数，则满足
(a+1)−m
3 < (3−2a)−m
3 的a 的取值范围是
．
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9
第8 讲
函数与方程
第8 讲
函数与方程
本讲核心概念
重难点：
1. 函数零点个数的判断方法：
①解方程f (x) = 0，方程f (x) = 0 的不同解的个数就是函数f (x) 零点的个数.
②直接作出函数f (x) 的图象，其图象与x 轴交点的个数就是函数f (x) 的零点的个数.
③化函数的零点个数问题为方程g(x) = h(x) 的解的个数问题，在同一坐标系下作出y = g(x) 和
y = h(x) 的图象，两函数图象的交点个数就是函数f (x) 的零点的个数.
④若证明一个函数的零点唯一，也可先由零点存在性定理判断出函数有零点，再证明该函数在定义
域内单调.
2. 已知函数有零点求参数取值范围的方法：
①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数取值范围；
②分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决；
③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后利用数形结合思
想求解.
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10
第8 讲
函数与方程
检测题
1 若函数f (x) = x2 +(m−2)x +1 的两个零点分别在区间(0,1) 和(1,2) 之内，则实数m 的取值范围
为
．
2 若函数y = f (x) 在区间[a,b] 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )
A. 若f (a) f (b) > 0，不存在实数c ∈(a,b)，使得f (c) = 0
B. 若f (a) f (b) < 0，存在且只存在一个实数c ∈(a,b)，使得f (c) = 0
C. 若f (a) f (b) > 0，有可能存在实数c ∈(a,b)，使得f (c) = 0
D. 若f (a) f (b) < 0，有可能不存在实数c ∈(a,b)，使得f (c) = 0
3 （1）已知函数f (x) = |lnx|,g(x) =
0,0 < x ⩽1
x2 −4
−2,x > 1
，则方程|f (x)+g(x)| = 1 实根的个数为
．
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11
第8 讲
函数与方程
（2）函数f (x) 的定义域为[−1,1]，图象如图1 所示，函数g(x) 的定义域为[−2,2]，图象如图2 所示，
方程f (g(x)) = 0 有m 个实数根，方程g(f (x)) = 0 有n 个实数根，则m+n =( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
4 已知a ∈R，若关于x 的方程x2 +x+
a−1
4
+|a| = 0 有实根，则a 的取值范围是
．
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12
检测题参考答案
检测题参考答案
第5 讲
指数函数
1 （1）D
【解析】解：∵
4√
a4 = |a|，A 错；
6√
(−2)2 =
3√
2，B 错；
a0 = 1 中a̸ = 0，C 错；
10
√(√
2−1
)5
=
√√
2−1 =
(√
2−1
) 1
2 ，D 正确．
故选：D．
（2）−
√
3
3
【解析】∵x+y = 12，xy = 9 且x < y，∴0 < x < y．
∵
(
x
1
2 +y
1
2
)2
= x+y+2(xy)
1
2 = 12+6 = 18，
∴x
1
2 +y
1
2 = 3
√
2，
∵
(
x
1
2 −y
1
2
)2
= x+y−2(xy)
1
2 = 12−6 = 6，
∴x
1
2 −y
1
2 = −
√
6，
∴x
1
2 −y
1
2
x
1
2 +y
1
2 = −
√
6
3
√
2
= −
√
3
3 ．
2
C
【解析】函数y = ax −a(a > 0,a̸ = 1) 的图象可以看成把函数y = ax 的图象向下平移a 个单位得
到的，当a > 1 时，函数y = ax −a 在R 上是增函数，且图象过点(1,0)，故排除A，B；当0 < a < 1
时，函数y = ax −a 在R 上是减函数，且图象过点(1,0)，故排除D，故选C．
3 （1）x = log 2
3 2
【解析】解：因为6x > 0，所以原方程的两边同除以6x，得4x
6x +1 = 6· 9x
6x ．
即
(2
3
)x
+1 = 6·
(3
2
)x
．设
(2
3
)x
= t (t > 0)，则可得t +1 = 6
t ，
即t2 +t −6 = 0，解之得t = −3(舍) 或t = 2．所以
(2
3
)x
= 2，即x = log 2
3 2．
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13
检测题参考答案
（2）(−1,2)
【解析】解：由不等式2x2−x < 4，得2x2−x < 22．
因为y = 2x 是单调递增函数，所以x2 −x < 2．
解不等式x2 −x−2 < 0，得−1 < x < 2，
故所求解集为(−1,2)．
4
C
【解析】解：根据题意，f (x) = ex−2 +e2−x，
设t = x−2，则y = et +e−t，
设g(t) = et +e−t，有g(−t) = et +e−t = et +e−t = g(t)，
则y = et +e−t 为偶函数，
当t > 0 时，et > 1，函数y = et +e−t 在(0,+∞) 上为增函数，
若实数x1、x2 满足x1 < x2，x1 +x2 < 4 且(x1 −2)(x2 −2) < 0，
即(x1 −2)(x2 −2) < 0 且(x1 −2)+(x2 −2) < 0，
则有(x1 −2) < 0 < (x2 −2)，且|x1 −2| > |x2 −2|，
即|t1| > |t2|，则有g(t1) > g(t2)，
即f (x1) > f (x2)；
故选：C．
第6 讲
对数函数
1
见解析
【解析】解：根据题意，lga，lgb 是方程t2 −2t + 1
2 = 0 的两个实根，
由韦达定理得lga+lgb = 2，lga·lgb = 1
2．
所求式子= (lga+lgb)
(lgb
lga + lga
lgb
)
= (lga+lgb) (lga+lgb)2 −2lga·lgb
lga·lgb
= 2×
22 −2× 1
2
1
2
= 12．
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14
检测题参考答案
2 （1）D
【解析】解：logm9 < logn9 < 0，∴lg9
lgm < lg9
lgn < 0，
∴lgn < lgm < 0，
∴0 < n < m < 1．
故选：D．
（2）A
【解析】因为a > 1，所以函数f(x) = logax 在区间[a,2a] 上单调递增，所以f(2a) = 3 f(a)，即
loga2a = 3logaa = 3，所以a3 = 2a，所以a =
√
2．故选A．
3 （1）D
【解析】令22016 = t, 所以lgt = 2016lg2 = 606.816, 所以22016 的整数位数是607 位, 故选D.
（2）A
【解析】∵x > 0，∴1
x > 0，∴1 + 1
x > 1，∴log2
(
1+ 1
x
)
> 0．∵y = log2
(
1+ 1
x
)
，∴1 + 1
x = 2y，
∴x =
1
2y −1，∴f −1 (x) =
1
2x −1(x > 0)．
4
C
【解析】解：f (x) = log 1
3
[(1
3
)2x
−2·
(1
3
)x
−2
]
< 0，
则log 1
3
[(1
3
)2x
−2·
(1
3
)x
−2
]
< log 1
3 1，
则
[(1
3
)2x
−2·
(1
3
)x
−2
]
> 1．
设
(1
3
)x
= t > 0，
则t2 −2t −3 > 0，
解得t > 3 或t < −1（舍去），
故
(1
3
)x
> 3，
解得x < −1．
故不等式的解集为(−∞,−1)．
故选：C．
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15
检测题参考答案
第7 讲
幂函数
1
C
【解析】解：根据幂函数在第一象限内的图象可知：
在点(1,1) 右边，图象越高，指数a 越大．
故选：C．
2
B
【解析】由于图象不过原点，知x 的指数为负数，故k 为奇数；由正整数m、n 互质知，m、n 中一奇
一偶．若分母是偶数，n 是奇数，则x<0 是无意义的，故选B．
3 （1）A
【解析】解：点(m,8) 在幂函数f (x) = (m−1)xn 的图象上，
可得m−1 = 1，即m = 2，
2n = 8，可得n = 3，
则f (x) = x3，且f (x) 在R 上递增，
由a = f
(√
3
3
)
，b = f (lnπ)，c = f
(√
2
2
)
，
0 <
√
3
3 <
√
2
2 < 1，lnπ > 1，
可得a < c < b，
故选：A．
（2）(−∞,−1)∪(2
3, 3
2)
【解析】解:∵f(x) = xm2−2m−3(m ∈N∗) 在(0,+∞) 上是减函数，∴m2 −2m−3 < 0，解得−1 < m < 3，
∵m ∈N∗，∴m = 1，或m = 2．又∵f(x) = xm2−2m−3(m ∈N∗) 的图象关于y 轴对称，∴m2 −2m −3
是偶数，∴m = 1，∵g(x) = x−1
3 在(−∞,0) 上是减函数，在(0,+∞) 上是减函数，且当x < 0 时，
g(x) < 0，当x > 0 时，g(x) > 0，∵(a+1)−m
3 < (3−2a)−m
3 ，∴0 > a+1 > 3−2a，或a+1 > 3−2a > 0，
或a+1 < 0 < 3−2a，解得2
3 < a < 3
2 或a < −1．故答案为(−∞,−1)∪(2
3, 3
2)．
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16
检测题参考答案
第8 讲
函数与方程
1
−1
2 < m < 0
【解析】∵函数f (x) = x2+(m−2)x+1 的两个零点分别在区间(0,1) 和(1,2) 之内，∴
f (0) > 0
f (1) < 0
f (2) > 0
，
即
1 > 0
1+m−2+1 < 0
4+2(m−2)+1 > 0
，解得−1
2 < m < 0．
故答案为−1
2 < m < 0．
2
C
【解析】解：由零点存在性定理可知选项D 不正确；
对于选项B，可通过反例“f (x) = x(x−1)(x+1) 在区间[−2,2] 上满足f (−2) f (2) < 0，但其存在
三个零解{−1,0,1}”推翻；
同时选项A 可通过反例“f (x) = (x−1)(x+1) 在区间[−2,2] 上满足f (−2) f (2) > 0，但其存在两
个零解{−1,1}”推翻．
故选：C．
3 （1）4
【解析】由题意得：求函数y = f(x) 与y = 1−g(x) 交点个数以及函数y = f(x) 与y = −1−g(x) 交
点个数之和，因为y = 1−g(x) =
1,0 < x ⩽1
7−x2,x ⩾2
x2 −1,1 < x < 2
，所以函数y = f(x) 与y = 1−g(x) 有两个交
点，又y = −1−g(x) =
−1,0 < x ⩽1
5−x2,x ⩾2
x2 −3,1 < x < 2
，所以函数y = f(x) 与y = −1−g(x) 有两个交点，因此
共有4 个交点．
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17
检测题参考答案
（2）C
【解析】注意到f (−1) = f (0) = f (1) = 0，g(x) = −1 有2 个根，g(x) = 0 有3 个根，
g(x) = 1 有2 个根，故m = 7．
注意到g
(
−3
2
)
= g(0) = g
(3
2
)
= 0，−1 ⩽f (x) ⩽1，
f (x) = 0 有3 个根，故n = 3，
所以m+n = 10．
4
[
0, 1
4
]
【解析】解：由∆= 1−4
( a−1
4
+|a|
)
⩾0，
得
a−1
4
+|a| ⩽1
4，
又因为
a−1
4
+|a| ⩾1
4，
所以
a−1
4
+|a| = 1
4，
即0 ⩽a ⩽1
4．
