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CONTENTS
第13 讲
三角恒等变换1
1
第14 讲
三角恒等变换2
3
第15 讲
解三角形
5
参考答案
9
第13 讲
三角恒等变换1
1
2019 秋高一数学筑梦班复习卡片4
第13 讲
三角恒等变换1
重难点：
1. 三角函数式化简基本思路：
（1）化简要遵循“三看”原则：
一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式；
二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
三看“结构特征”，分析结构特征可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”.
（2）根式的化简常常需要升幂去根号，在化简中注意角的范围以确定三角函数值的正负；分式化
简往往要通分.
（3）化简的要求：能求出值的应求出值、函数种类尽量少、项数尽量少、分母不含三角函数、被开
方数不含三角函数
2. 三类三角函数求值基本问题：
（1）给值求值：解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示.
当“已知角”有两个时，
“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
当“已知角”有一个时，应关注“所求角”与“已知角”的和或差，进而应用诱导公式把“所求角”变成
“已知角”.
（2）给值求角：
解题一般步骤：首先求角的某一个三角函数值，确定角的范围，然后根据角的范围写出所求的角.
（3）给角求值：
对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：
①化为特殊角的三角函数值.
②化为正、负相消的项，消去求值.
③化成分子、分母出现公约数，进行约分求值.
2
2019 秋高一数学筑梦班复习卡片4
1
cos(80◦+2α)cos(65◦+2α)+sin(80◦+2α)sin(65◦+2α) 的值为( )
A.
√
2−
√
6
4
B.
√
3
2
C.
√
6+
√
2
4
D. 1
2
2 若tan(α +β) = 2
5，tan
(
β −π
4
)
= 1
4，那么1+tanα
1−tanα 的值等于( )
A. 13
16
B. 3
22
C. 13
22
D. 3
16
3 设α ∈
(
0, π
2
)
，β ∈
(
0, π
2
)
，且tanα = 1+sinβ
cosβ
，则( )
A. 3α −β = π
2
B. 2α −β = π
2
C. 3α +β = π
2
D. 2α +β = π
2
4 如果|cosx| = 1
5, 5π
2 < x < 3π，那么sin x
2 的值等于
．
5 若函数f (x) = sin2x+2cosx 在
[
−2
3π,θ
]
上的最大值为1，则θ 的值是
．
第14 讲
三角恒等变换2
3
2019 秋高一数学筑梦班复习卡片4
第14 讲
三角恒等变换2
重难点：
1. 半角公式中正负号的选取，取决于sin α
2 ，cos α
2 ，tan α
2 的正负，而不是取决于cosα 的正负，取正负
号的关键是判断出角α
2 的终边所在的象限，从而确定sin α
2 ，cos α
2 ，tan α
2 的符号，当角α
2 的范围不
明确时，在根号前要保留正负号.
2. 三角恒等式的证明：
恒等式包括有条件恒等式和无条件恒等式两种.
①无条件恒等式的证明
从角度和函数名称出发，认真分析等式两边三角函数式的特点和关系，找出差异，寻找证明的突
破口.
②有条件恒等式的证明
一般可用消去法和基本量法. 消去法即用代入、加减、平方等方法消去某些量；基本量法就是适当
地选择题中可以独立取值的量作为基本量，将其它的量都用基本量表示，从而转化为研究基本量的问
题.
4
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1
若3π < x < 4π，则
√
1+cosx
2
+
√
1−cosx
2
等于( )
A.
√
2cos
(π
4 −x
2
)
B. −
√
2cos
(π
4 −x
2
)
C.
√
2sin
(π
4 −x
2
)
D. −
√
2sin
(π
4 −x
2
)
2 若2sin
(π
4 +α
)
= sinθ +cosθ，2sin2 β = sin2θ，求证:sin2α + 1
2 cos2β = 0．
3 若tanα = 2，求1+sin4α −cos4α
1+sin4α +cos4α 的值．
第15 讲
解三角形
5
2019 秋高一数学筑梦班复习卡片4
第15 讲
解三角形
重难点：
1. 正弦定理的变形及推广：
（1）a : b : c = sinA : sinB : sinC；
（2）a = 2RsinA，b = 2RsinB，c = 2RsinC（R 为△ABC 的外接圆半径）；
（3）asinB = bsinA，csinB = bsinC，csinA = asinC；
（4）a
sinA =
b
sinB =
c
sinC =
a+b
sinA+sinB =
a+c
sinA+sinC =
b+c
sinB+sinC =
a+b+c
sinA+sinB+sinC.
2. 三角形中的三角函数关系：
在△ABC 中，∠A+∠B+∠C = 180◦，则：
（1）sinA = sin(B+C)，cosA = −cos(B+C)，tanA = −tan(B+C)；
（2）sin A
2 = cos B+C
2
，cos A
2 = sin B+C
2
；
（3）sin2A = −sin(2B+2C)，cos2A = cos(2B+2C)，tan2A = −tan(2B+2C)；
（4）sinA+sinB+sinC = 4cos A
2 cos B
2 cos C
2 ，tanA+tanB+tanC = tanAtanBtanC；
（5）sin2A+sin2B+sin2C = 4sinAsinBsinC，cos2A+cos2B+cos2C = −1−4cosAcosBcosC.
6
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1 （1）△ABC 中，三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，如果a = 8，∠B = 60◦，∠C = 75◦，那么b 等
于
．
（2）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，若a = 3，b =
√
6，A = π
3 ，则角C 的大小
为
．
2 （1）在△ABC 中，已知a = 3，b = 5，c = 7，则角C 等于
．
（2）△ABC 的内角A，B，C 对边的长分别是a，b，c，若C = π
3 ，a = 1，b = 2，则c =
．
（3）在△ABC 中，b = 7，c = 5，∠B = 2π
3 ，则a =
．
第15 讲
解三角形
7
2019 秋高一数学筑梦班复习卡片4
3 如果满足∠B = 45◦，AC = 10，BC = k 的△ABC 恰有一个，则实数k 的取值范围是
．
4 在△ABC 中，sin2 A
2 = c−b
2c (a、b、c 分别为角A、B、C 的对边)，则△ABC 的形状为( )
A. 正三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形
5 △ABC 的三边长分别为4、5、6，若将三边都减少x 后构成一个钝角三角形，则实数x 的取值范围
是
．
6 在△ABC 中，若AB = 2，AC =
√
2BC，则S△ABC 的最大值是
．
8
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7 在锐角三角形ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足b2 −a2 = ac，则
1
tanA −
1
tanB 的取值范
围为
．
8 设点P 在△ABC 的BC 边所在的直线上从左往右运动，设△ABP 与△ACP 的外接圆面积之比为λ，
当点P 不与B，C 重合时，( )
A. λ 先变小再变大
B. 当P 为线段BC 中点时，λ 最大
C. λ 先变大再变小
D. λ 是一个定值
9 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30◦的
方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75◦的方向上，仰角为30◦，则此山的高度
CD =
m．
参考答案
9
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参考答案
第13 讲
三角恒等变换1
1
C
【解析】原式= cos[(80◦+2α)−(65◦+2α)] = cos15◦= cos(45◦−30◦) =
√
6+
√
2
4
．
2 B
【解析】1+tanα
1−tanα = tan
(
α + π
4
)
= tan
[
(α +β)−
(
β −π
4
)]
=
2
5 −1
4
1+ 2
5 × 1
4
= 3
22．
3 B
【解析】sinα
cosα = 1+sinβ
cosβ
，交叉相乘，移项，得sinα cosβ −cosα sinα = cosα = sin(α −β)，∵α、β 均
为锐角，∴α +α −β = π
2 即2α −β = π
2 ，故选B．
4 −
√
15
5
【解析】结合x 的范围可知答案为sin x
2 = −
√
15
5 ．
5 −π
2
【解析】解：∵函数f (x) = sin2x+2cosx
= −cos2x+2cosx+1
= −(cosx−1)2 +2，
又∵函数f (x) = sin2x+2cosx 在
[
−2
3π,θ
]
上的最大值为1，
∴cosθ = 0，
又∵x ∈
[
−2
3π,θ
]
，
θ = −π
2 ，
故答案为：−π
2 .
10
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第14 讲
三角恒等变换2
1
C
【解析】∵3π < x < 4π，∴3π
2 < x
2 < 2π，∴
√
1+cosx
2
+
√
1−cosx
2
= |cos x
2 |+|sin x
2| = cos x
2 −sin x
2
=
√
2(
√
2
2 cos x
2 −
√
2
2 sin x
2) =
√
2cos(x
2 + π
4 ) =
√
2sin[π
2 −(x
2 + π
4 )] =
√
2sin(π
4 −x
2)．故选C．
2 见解析
【解析】由2sin
(π
4 +α
)
= sinθ + cosθ 得
√
2cosα +
√
2sinα = sinθ + cosθ，两边平方得，2 · (1 +
sin2α) = 1+sin2θ，即sin2α = 1
2(sin2θ −1)①，由2sin2 β = sin2θ 得，1−cos2β = sin2θ②，将②代
入①得: sin2α = 1
2[(1−cos2β)−1]，即sin2α = −1
2 cos2β，即sin2α + 1
2 cos2β = 0．
3 −4
3；
【解析】1+sin4α −cos4α
1+sin4α +cos4α = 2sin22α +2sin2α cos2α
2cos22α +2sin2α cos2α = sin2α (sin2α +cos2α)
cos2α (cos2α +sin2α) = tan2α．
tan2α =
2tanα
1−tan2α =
4
1−4 = −4
3．
第15 讲
解三角形
1 （1）4
√
6
【解析】解：根据三角形内角和定理可知A = 180◦−60◦−75◦= 45◦，根据正弦定理
a
sinA =
b
sinB，即
8
sin45◦=
b
sin60◦，
所以b =
8×
√
3
2
√
2
2
= 4
√
6，从而求得结果．
（2）5
12π
【解析】解：在三角形ABC 中，由正弦定理得：a
sinA =
b
sinB，即
3
sin π
3
=
√
6
sinB，
解得：sinB =
√
2
2 ，又∵b < a，∴B < A，
∴B = π
4 ，∴C = π −π
3 −π
4 = 5π
12 ，
参考答案
11
2019 秋高一数学筑梦班复习卡片4
故答案为：5π
12 ．
2 （1）2π
3
【解析】解：∵在△ABC 中，a = 3，b = 5，c = 7，
∴cosC = a2 +b2 −c2
2ab
= 9+25−49
2×3×5
= −1
2，
∵0 < C < π，
∴C = 2π
3 ．
故答案为：2π
3 ．
（2）
√
3
【解析】由余弦定理c2 = a2 +b2 −2abcosC = 1+4−2×1×2×cos π
3 = 3，
解得c =
√
3．
故答案为：
√
3．
（3）3
【解析】解：∵b = 7，c = 5，∠B = 2π
3 ，
∴由余弦定理b2 = a2 +c2 −2accosB，可得：49 = a2 +25+5a，即：a2 +5a−24 = 0，
解得：a = 3 或a = −8(舍去)．
故答案为：3．
3 0 < k ⩽10 或k = 10
√
2
【解析】解：∵△ABC 中，∠B = 45◦，AC = 10，BC = k，
∴高CD = BCsin45◦=
√
2
2 k，
当AC = CD =
√
2
2 k = 10，即k = 10
√
2 时，△ABC 只有一个；
当AC ⩾BC，
即10 ⩾k 时，
∴0 < k ⩽10 时，△ABC 只有一个；
∴满足条件的k 的取值范围是0 < k ⩽10 或k = 10
√
2．
故答案为：0 < k ⩽10 或k = 10
√
2．
12
2019 秋高一数学筑梦班复习卡片4
4 B
【解析】解：因为sin2 A
2 = c−b
2c
= 1−cosA
2
，即b
c = cosA，由余弦定理可得b
c = b2 +c2 −a2
2bc
，
可得a2 +b2 = c2，所以△ABC 是直角三角形．
故选：B．
5 (1,3)
【解析】解：根据题意，截取后三角形的三边长分别为4−x，5−x，6−x，设长为6−x 的边所对的角为
α，则α 为钝角，
∴cosα < 0，(4−x)2 +(5−x)2 −(6−x)2 < 0，
整理得：(x−1)(x−5) < 0，
解得：1 < x < 5，
又因为4−x > 0，5−x > 0，6−x > 0，且4−x+5−x > 6−x，
∴0 < x < 3，
∴x 的取值范围是1 < x < 3．
故答案为：(1,3)．
6 2
√
2
【解析】解：设BC = x，则AC =
√
2x，根据面积公式得，
S△ABC = 1
2AB·BC ·sinB = 1
2 ×2x
√
1−cos2B，①
根据余弦定理得，cosB = AB2 +BC2 −AC2
2AB·BC
=
4+x2 −
(√
2x
)2
4x
= 4−x2
4x
，
将其代入①式得，
S△ABC = x
√
1−
(4−x2
4x
)2
=
√
128−
(
x2 −12
)2
16
，
由三角形三边关系有
√
2x+x > 2
x+2 >
√
2x
，解得2
√
2−2 < x < 2
√
2+2，
故当x = 2
√
3 时，S△ABC 取得最大值2
√
2．
7
(
1, 2
√
3
3
)
【解析】解：∵b2 −a2 = ac，
∴b2 = a2 +c2 −2accosB = a2 +ac，
∴c = 2acosB+a，
∴sinC = 2sinAcosB+sinA，
∵sinC = sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB，
参考答案
13
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∴sinA = cosAsinB−sinAcosB = sin(B−A)，
∵三角形ABC 为锐角三角形，
∴A = B−A，
∴B = 2A，
∴C = π −3A，
∴
0 < 2A < π
2
0 < π −3A < π
2
∴A ∈
(π
6 , π
4
)
，B ∈
(π
3 , π
2
)
∴
1
tanA −
1
tanB = sin(B−A)
sinBsinA =
1
sinB，
∵B ∈
(π
3 , π
2
)
∴sinB ∈
(√
3
2 ,1
)
，
∴
1
sinB ∈
(
1, 2
√
3
3
)
，
∴
1
tanA −
1
tanB 的取值范围为
(
1, 2
√
3
3
)
，
故答案为：
(
1, 2
√
3
3
)
．
8 D
【解析】解：设△ABP 与△ACP 的外接圆半径分别为r1，r2，
则2r1 =
AB
sin∠APB，2r2 =
AC
sin∠APC．
∵∠APB+∠APC = 180◦，
∴sin∠APB = sin∠APC，
∴r1
r2
= AB
AC，
∴λ = r2
1
r2
2
= AB2
AC2 ．
故选：D．
14
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9 100
√
6
【解析】解：设此山高h(m)，则BC =
√
3h，
在△ABC 中，∠BAC = 30◦，∠CBA = 105◦，∠BCA = 45◦，AB = 600(m)．
根据正弦定理得
√
3h
sin30◦=
600
sin45◦，
解得h = 100
√
6(m)，
故答案为：100
√
6．
