[讲义答案]第7讲期中复习2-fb4b99acedbe_学而思高一全套_2019秋季高一1_2019秋高一数学筑梦班（全国）李昊伟_2019秋高一数学筑梦班（全国）李昊伟_讲义

答 案
见解析
解析
解：可能．例如
{奇数}，
{偶数}，显然满足条件，
与
，
与
都无公共元
素．
答 案
见解析
解析
证明：若
，
，则
， 
所以每个集合中均有非负元素，当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立． 
否则，设
，
，
中的最小正元素为，不妨设
，设为
，
中最小的非负元素，不
妨设
，则
． 
若
，则
，这与的取值矛盾，所以
，即
． 
任取
，因为
，则
，即
． 
所以
，同理
，所以
．故所要证的结论成立．
答 案
D
解析
A选项，
，
中没有象与之对应，所以不是映射； 
B选项，元素
在
中没有原象与之对应，所以不是一一映射； 
C选项，
,
中有个元素对应，所以不是映射； 
D选项，
中的每一个元素在
中都有唯一元素与之对应，
中的不同元素在
中的象也不同，且
模块1：集合
：集合综合
1
2
模块2：一一映射
：一一映射
1  71%
例题1
S
 =
1
S
 =
2
S
 =
3
S
 1
S
 3
S
 2
S
 3
x ∈S
 i
y ∈S
 j
y −x ∈S
 k
S
 1
S
 2
S
 3
a
a ∈S
 1
b
S
 2
S
 3
b ∈S
 2
b −a ∈S
 3
b > 0
0 ⩽b −a < b
b
b = 0
0 ∈S
 2
x ∈S
 1
0 ∈S
 2
x −0 ∈S
 3
x ∈S
 3
S
 ⊆
1
S
 3
S
 ⊆
3
S
 1
S
 =
1
S
 3
例题2
x = 4
B
−2
A
x = 1 B
2
A
B
A
B
中的元素在
中都有原象，所以是一一映射． 
故选：D．
答 案
解析
函数
的定义域为
，
恒成立，
恒成立，
恒成立，
，解得
，即的取值范围为
．
答 案
解析
函数
的定义域为
，
对
恒成立．当
时，显然满足题意；当
时，
，解得
．综上，实数的
取值范围为
．
答 案
C
解析
由条件知
， 
即
， 
要让上式成立，需要
且
， 
解得
(
不合题意，舍去)．
模块3：复合函数定
：复合函数定义域、
域、值域
1
2
3
1
B
A
例题3
−1, 0
[
]
∵
f x
( )
R
∴2
−
x −2ax−a
2
1 ⩾0
∴2
⩾
x −2ax−a
2
1
∴x −
2
2ax −a ⩾0
∴Δ = 4a +
2
4a ⩽0
−1 ⩽a ⩽0
a
−1, 0
[
]
0, 4
[
)
∵
f x =
( )
lg ax + ax + 1
(
2
)
R
∴ax +
2
ax + 1 > 0
∀x ∈R
a = 0
a=
 0
/
 
{a > 0
Δ = a −4a < 0
2
0 < a < 4
a
0, 4
[
)
ax +
2
2x + a −1 ⩽1
a x +
 
+
(
a
1 )
2
a −
 −1
⩽
(
a
1
)
1
a < 0
a −
 −
a
1
1 = 1
a = 1 −
 2 1 +
 2
例题4
答 案
或
解析
，由反比例函数的图象知，
．
答 案
解析
解：函数
， 
它的定义域是
， 
设
； 
， 
， 
当
时，
； 
当
时，
， 
， 
， 
， 
即
， 
综上，的值域为
． 
故答案为：
．
答 案
B
解析
令
，则函数
可化为
，函数
在
上递增，
，即函
数
的值域为
，故选B．
2
3
1
{y∣y=
 2}
/
(−∞，2) ∪(2，+ ∞)
y =
 =
x + 1
2x −3
2 −
 
x + 1
5
y=
 2
/
−
 , 0
[
2
1
]
∵
y =
 
x −2
 
1 −x
x x ⩽1
{ ∣
}
 =
1 −x
t t ⩾0
(
)
∴x = 1 −t2
∴y =
 =
1−t −2
2
t
 
−t −1
2
t
t = 0
y = 0
t > 0
y = −
 <
t +
 t
1
1
0
∵t +
 ⩾
t
1
2
∴
 ⩽
t +
 t
1
1
 2
1
∴−
 ⩾
t +
 t
1
1
−
 2
1
0 > y ⩾−
 2
1
y
−
 , 0
[
2
1
]
−
 , 0
[
2
1
]
2 =
x
t t > 0
(
)
y = 4 +
x
2
+
x+1
1
f t =
( )
t +
2
2t + 1 = t + 1
t > 0
(
)2 (
)
∵
f t( )
0, +∞
(
)
∴f t >
( )
1
y = 4 +
x
2
+
x+1
1
1, +∞
(
)
例题5
答 案
5
解析
解：因为
， 
所以
． 
由
，知
． 
注意到
， 
可见
， 
即
， 
所以
． 
解得
． 
又因为
，所以
，． 
即
． 
故
中所有元素之和为．
答 案
解析
解：
， 
．
答 案
解析
由
， 
所以原式
．
答 案
2
模块4：函数性
：函数性质应
质应用拓展
用拓展
1
1
−1 < x < 1
 <
2
1
2 <
x
2
 <
2
1
log
 2 <
x
2
 <
2
1
 <
lg x
lg 2
2
lg x > 0
 lg x <
2
1
lg 2 < 2 lg x
lg
 <
x
lg 2 < lg x2
 <
x
2 < x2
 <
2
x < 4
x ∈Z
x = 2
3
A ∩Z = 2, 3
{
}
A ∩Z
5
f x =
( )
x −
3
3x x ⩾2或⩽−2
(
)
∵f
x +
 
=
(
x
1 )
x +
3
 =
x3
1
x +
 
−
(
x
1 )
3
3
x +
 
(
x
1 )
∴f x =
( )
x −
3
3x x ⩾2或⩽−2
(
)
例题6
2998.5
f x +
( )
f
 
=
( x
1 )
3
= 999 × 3 +
 =
2
3
2998.5
例题7
k ⩽10
1
解析
①当
时， 
二次函数图象的对称轴为直线
， 
要使二次函数在区间
上是减函数，应有
，解得
，即
； 
②当
时，依题意，有
，解得
，即
； 
③当
时，
，显然成立． 
综上，的取值范围是
．
答 案
解析
①当
时，
在
上单调递减，有
； ②当
时，
在
上单调递减，有
；又
时，单调．综上知，
．
答 案
-10
解析
解：由
关于
对称，得
或
，
舍去，故
．
答 案
B
解析
解：由已知，函数
的图像关于
对称，于是这
个根的分布也关于该对称轴对称，即
有一个根为
，其余的根分成
对，每一对的两个根关于
对称，利用中点公式这
个根
的和为
，则所有的根和为
．
2
1  40%
2  92%
模块5：抽象函数与函数方程
：抽象函数与函数方程
k > 0
∵
x =
 k
2
∴
5, 20
[
]
 ⩾
k
2
20
k ⩽
 
10
1
0 < k ⩽
 
10
1
k < 0
 <
k
2
5
k <
 5
2
k < 0
k = 0
f x =
( )
−4x −8
k
k ⩽
 
10
1
1
{ }
x > 1
f(x) = (a −x)(x −1) = −x +
2
(a + 1)x −a
(1, +∞)
 ⩽
2
a + 1
1 ⇒a ⩽1
x < 1
f(x) = (a −x)(1 −x) = x −
2
(a + 1)x + a
(−∞, 1)
 ⩾
2
a + 1
1 ⇒a ⩾1
a = 1
a = 1
例题8
f x
( )
x = 5
5 =
∣∣
5 + t ⇒
∣
∣
t = 0
−10
t = 0
t = −10
f x
( )
x =
 2
3
101
 2
3
50
x =
 2
3
100
 ×
2
3
100 = 150
150 +
 =
2
3
 
2
303
例题9
答 案
解析
解： 设
， 
则
， 
，
， 
．
答 案
999
解析
解：取
，则
， 
所以
． 
取
，
，则
， 
因为
，所以
． 
取
，
，则
， 
所以
，
．
答 案
见解析
解析
解：令
，得
， 
，令
，得
， 
， 
是偶函数．
答 案
见解析
解析
1
2
1
2
f x =
( )
2x + 7
f x =
( )
ax + b a=
 0
( / )
3f x + 1 −
(
)
2f x −1 =
(
)
3ax + 3a + 3b −2ax + 2a −2b = ax + b + 5a = 2x + 17
∴a = 2
b = 7
∴f x =
( )
2x + 7
x = y = 0
f 0 =
( )
f 0 +
( )
2f
0
2 ( )
f 0 =
( )
0
x = 0
y = 1
f 1 =
( )
f 0 +
( )
2f
1 =
2 ( )
2f
1
2 ( )
f 1 =
 0
( ) /
f 1 =
( )
 2
1
x = n
y = 1
f n + 1 =
(
)
f n +
( )
2f
1 =
2 ( )
f n +
( )
 2
1
f n =
( )
 2
n
f 1998 =
(
)
999
例题10
x
 =
1
x
 =
2
1
f 1 =
( )
2f 1
( )
∴f 1 =
( )
0
x
 =
1
x
 =
2
−1
f −1 =
(
)
0
∴f −x =
(
)
f −1 ⋅x =
(
)
f −1 +
(
)
f x =
( )
f x
( )
∴f x
( )
解：设
，则 
, 
，
， 
，即
， 
． 
在
上是增函数．
答 案
见解析
解析
解：
， 
， 
是偶函数， 
不等式
可化为
， 
又函数在
上是增函数， 
，解得：
， 
即不等式的解集为
．
答 案
2
解析
原问题等价于：求指数函数
与二次函数
的图象的公共点个数．注意
到，二次函数的顶点
位于图象
上方，据图可知两个函数的图象公共点有个． 
3
模块6：方程的根与函数零点
：方程的根与函数零点
1
x
 >
2
x
 >
1
0
f x
 −
(
2)
f x
 =
(
1)
f
x
 ⋅
 
−
(
1
x
 1
x
 2 )
f x
 =
(
1)
f x
 +
(
1)
f
 
−
( x
 1
x
 2 )
f x
 =
(
1)
f
 
( x
 1
x
 2 )
∵x
 >
2
x
 >
1
0
∴
 >
x
 1
x
 2
1
∴f
 
>
( x
 1
x
 2 )
0
f x
 −
(
2)
f x
 >
(
1)
0
∴f x
 >
(
2)
f x
 
(
1)
∴f x
( )
0, +∞
(
)
∵f 2 =
( )
1
∴f 4 =
( )
f 2 +
( )
f 2 =
( )
2
∵f x
( )
∴
f 2x −1 <
(
2
)
2
f
 2x −1
 <
(∣∣
2
∣∣)
f 4
( )
∵
0, +∞
(
)
∴
 2x −1
 <
∣∣
2
∣∣
4
−
 <
2
 
10
x <
 
2
 
10
−
 ,
 
(
2
 
10
2
 
10 )
例题11
y = ax
y = 2a −x −1
(
)2
1, 2a
(
)
y = ax
2
答 案
见解析
解析
证明：证法一：
 
 
 
． 
显然
总有相同实根
． 
证法二：
 
， 
考虑
，
恒成立， 
所以
，即
， 
故
时，
， 
即对任意实数，方程
总有根
．
答 案
见解析
解析
由
知
时，对任意实数，
，取
，得证．
1
2
例题12
x −3x −4 a +
(
4
2
)
x + x −2x
(
4
3
2)
= x −4
x + 1 ⋅
(
2
) (
2
) a + x
x + 2
x −1
2 (
) (
)
= x + 2
x −2
x + 1 a +
(
) (
) (
2
)
x
x + 2
x −1
2 (
) (
)
= x + 2
x −2
x + 1 a + x
x −1
(
) [(
) (
2
)
2 (
)]
f x =
( )
0
x = −2
f x =
( )
1 + a x +
(
)
4
x −
3
3a + 2 x −
(
)
2
4a
= g a =
( )
x −3x −4 a +
(
4
2
)
x +
4
x −
3
2x2
a ∈R
f x =
( )
0
{x −3x −4 = 0
4
2
x + x −2x = 0
4
3
2
 
{x = ±2
x = 0, 1, −2
x = −2
f x =
( )
g a =
( )
0
a
f x =
( )
0
x = −2
1
( )
x = 2
a
f 2 =
( )
16=
 0
/
x
 =
0
2