[讲义答案]第3讲函数迭代-b94ed373638d_学而思高一全套_2019秋季高一1_2019秋高一数学筑梦班（全国）李昊伟_2019秋高一数学筑梦班（全国）李昊伟_讲义

答 案
见解析
解析
 
 
 
 
 
故有
．
答 案
B
解析
解：显然
， 
，
． 
注意：这不是等价变形，定义域范围扩大了． 
自身要求
．所以
的定义域为
，即
，选
B．
模块1：函数迭代
：函数迭代
1
1
例题1
f
x =
2
( ) ( )
 =
2 −
 
2−x
1+x
1 +
 
2−x
1+x
 =
3 −3x
3
 
1 −x
1
f
x =
3
( ) ( )
f
f
x
=
(
(2) ( ))
 =
2 −
 
1−x
1
1 +
 
1−x
1
 
1 −2x
2 −x
f
x =
4
( ) ( )
f
f
x
=
(
(3) ( ))
 =
2 −
 
1−2x
2−x
1 +
 
1−2x
2−x
 =
−3x
3 −3x
 
x
x −1
f
x =
5
( ) ( )
f
f
x
=
(
(4) ( ))
 =
2 −
 
x
x−1
1 +
 
x
x−1
 
x + 1
2x −1
f
x =
6
( ) ( )
f
f
x
=
(
(5) ( ))
 =
2 −
 
x+1
2x−1
1 +
 
x+1
2x−1
 =
3
3x
x
f
x =
n
( ) ( )
 
 
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎧x n为6k型, k ∈N
(
)
 n为6k + 1型, k ∈N
2−x
1+x (
)
 n为6k + 2型, k ∈N
1−x
1 (
)
 n为6k + 3型, k ∈N
1−2x
2−x (
)
 n为6k + 4型, k ∈N
x
x−1 (
)
 n为6k + 5型, k ∈N
x+1
2x−1 (
)
例题2
A =
x x=
 −1
{ ∣/
}
f f(x) =
(
)
f
 
=
( x + 1
x −1 )
 =
 + 1
x+1
x−1
 −1
x+1
x−1
−
 x
1
x=
 0
/
f x
( )
x=
 −
/
1
f f x
( ( ))
B =
x x=
 −1, x=
 0
{ ∣/
/
}
A ⫌B
答 案
见解析
解析
解：显然
的反函数为
 
而
 
所以，
① 
又因
， 
所以
 
由①式得
 
同理可得
 
因为
， 
所以
 
故有
 
 
．
答 案
997
解析
解：记
，其中等号右端有个．那么  
  
  
  
．  
注意从
到
这个过程中，的个数减少了．同样的推理可知
．继续此过程，就有  
  
．  
因此本题答案为
．
1
1
模块2：不
：不动点及其在函数迭代中的
点及其在函数迭代中的应用
例题3
f x =
( )
 
2 −x
1 + x
f
x =
−1 ( )
 
x + 1
2x −1
f
f x
=
−1 [ ( )]
 =
 + 1
2−x
1+x
2
 −1
( 2−x
1+x)
x
f
f
x
=
−1 [
n+1
[
] ( )]
f
f f
x
=
−1 { [
n
[ ] ( )]}
f
x
n ( )
f
x =
13
[
] ( )
f
x
31
[
] ( )
f
f
x
=
−1 [
13
[
] ( )]
f
f
x
−1 [
31
[
] ( )]
f
x =
12
[
] ( )
f
x
30
[
] ( )
f
x =
11
[
] ( )
f
x , ⋯, f
x =
29
[
] ( )
1[ ] ( )
f
x
19
[
] ( )
f
f x
=
−1 [ ( )]
x
x = f
x , f
x =
18
[
] ( )
17
[
] ( )
f
x
−1 ( )
f
x =
16
[
] ( )
f
f
x
−1 [
−1 ( )]
=
 
+ 1
x+1
2x−1
2
 −1
( x+1
2x−1)
=
 
x
x −1
例题4
f
x =
n
( ) ( )
f f ⋯f x ⋯
( (
( )
))
n
f
f 84 =
(
)
f f 89
=
( (
))
⋯= f
999 =
184
(
) (
)
f
1004
185
(
) (
)
= f
1001 =
184
(
) (
)
f
998 =
183
(
) (
)
f
1003
184
(
) (
)
= f
1000 =
183
(
) (
)
f
997 =
182
(
) (
)
f
1002
183
(
) (
)
= f
(999)
182
(
)
f
999
184
(
) (
)
f
999
182
(
) (
)
f
2
f
999 =
182
(
) (
)
f
999 =
180
(
) (
)
⋯= f
999
2
( ) (
)
f
999 =
2
( ) (
)
f
1004 =
3
( ) (
)
f
1001 =
2
( ) (
)
f 998
(
)
= f
1003 =
2
( ) (
)
f 1000 =
(
)
997
997
例题5
答 案
见解析
解析
解：设一次实系数函数
，则 
． 
即有
 
故所求一次实数系函数为
． 
答 案
见解析
解析
先证存在性． 
不妨设
是
的唯一不动点，即
，令
，有
，且有
． 
由
，得
．这说明也是
的不动点． 
由于
有唯一不动点，因此
，于是
． 
这说明也是
的不动点，存在性得证． 
下证唯一性． 
设
还有另外一个不动点
，即
，则
，这说明
还有另外一个不动点
，与题设矛盾． 
所以，唯一性得证． 
综上所述，原结论成立．
答 案
0
解析
注意到，
是开口向上的二次函数，若方程
无实根，则
对任意实数恒成立．因此，
，这说明方程
无实根．
答 案
见解析
1
1
1
2
f x =
( )
ax + b a=
 1, a, b ∈R
( /
)
a
x −
 
+
3 (
1 −a
b
)
=
1 −a
b
8x + 7
 ⇒
{
a = 8
3
 = −7
1−a
a −1 b
( 3
)
 
{a = 2
b = 1
f x =
( )
2x + 1
例题6
x0
f f x
( ( ))
f f x
 
=
( (
0))
x0
f x
 =
(
0)
t
f t =
( )
x
 0
f f t
=
( ( ))
f x
 
(
0)
f x
 =
(
0)
t
f f t
=
( ( ))
t
t
f f x
( ( ))
f f x
( ( ))
x
 =
0
t
f t =
( )
t
t
f x
( )
f x
( )
t
 0
f t
 =
( 0)
t
 t=
 t
 
0 ( / 0)
f f t
 
=
( ( 0))
f t
 =
( 0)
t
 0
f f x
( ( ))
t
 0
例题7
f x =
( )
x +
2
bx + c
f x =
( )
x
f x >
( )
x
f f x
>
( ( ))
f x >
( )
x
f f x
=
( ( ))
x
解析
证明：
，得证．
答 案
见解析
解析
充分性显然成立．反证必要性．若
，因为
严格递增，所以
．同理若
，则
，均与
矛盾．所以
．
答 案
见解析
解析
求函数不动点，
，解得
，故有
．
答 案
解析
解：因为
 
令
，解得不动点值
， 
故
 
 
 
 
由此解得：
．
1
1
1
f
x =
n
( ) ( )
f f
x
>
[
n−1
(
) ( )]
f
x >
n−1
(
) ( )
f
x >
n−2
(
) ( )
⋯> f x >
( )
x
例题8
f x
 >
(
0)
x
 0
f x
( )
x
 <
0
f x
 <
(
0)
f f x
 
<
( (
0))
⋯< f
 x
 
n (
0)
f x
 <
(
0)
x
 0
x
 >
0
f
 x
 
n (
0)
f
 x
 =
n (
0)
x
 0
f x
 =
(
0)
x
 0
例题9
f x =
( )
2x + 3 = x
x = −3
f
x =
n
( ) ( )
2 (x +
n
3) −3
例题10
f
x =
n
[ ] ( )
 
−4
+ 1 x + 3 ⋅−4
+ 2
[(
)n
]
[
(
)n
]
2 ⋅−4
+ 3 x + 6 ⋅
−4
−1
[
(
)n
]
[(
)n
]
f
x =
n+1
[
] ( )
f
f
x
=
(
n
[ ] ( ))
 
f
x + 2
n
[ ] ( )
f
x + 6
n
[ ] ( )
f x =
( )
x
x
 =
1
2, x
 =
2
−3
 =
f
x + 3
n
[ ] ( )
f
x −2
n
[ ] ( )
 
 + 3
f
x +2
n−1
[
]( )
f
x +6
n−1
[
]( )
 −2
f
x +2
n−1
[
]( )
f
x +6
n−1
[
]( )
= −
 ⋅
4
1
 
f
x + 3
n−1
[
] ( )
f
x −2
n−1
[
] ( )
=
 ⋅
f
x + 3
0[ ] ( )
f
x −2
0[ ] ( )
−
 
(
4
1 )
n
=
 ⋅
x + 3
x −2
−
 
(
4
1 )
n
f
x =
n
[ ] ( )
 
−4
+ 1 x + 3 ⋅−4
+ 2
[(
)n
]
[
(
)n
]
2 ⋅−4
+ 3 x + 6 ⋅
−4
−1
[
(
)n
]
[(
)n
]
答 案
-1 0 65535
解析
解法一：令
，取
，
，
，则
 
 
 
故得
 
 
． 
故
，
，
． 
解法二：
的不动点为
和，其中
为不动点．故
，同理
．由不动点，满足
，故
，
又当
时，恒有
，故可推导出
．于是
，可化简得到
，
．
答 案
解析
解法一：由题设条件知 
， 
因此有
，故 
 
 
 
． 
解法二：令
，则 
 
， 
即
，
， 
故
， 
得
是一个周期为的周期函数． 
所以
．
1
模块3：函数
：函数递推
1
例题11
F x =
( )
x + 1
−
(
)2
1
f = x2
φ
=
−1
x −1
φ = x + 1
φ
⋅
−1
f ⋅φ = x −1 ⋅
(
) x ⋅
2
x + 1
(
)
= x −1 ⋅
(
)
x + 1
(
)2
= x + 1
−
(
)2
1 = F x
( )
F
x =
n
[ ] ( )
φ
⋅
−1
f
⋅
n
[ ] φ
= (x −1) ⋅x
⋅
2n
(x + 1)
= (x + 1)
−
2n
1
F
−1 =
n
( ) (
)
−1
F
0 =
n
( ) ( )
0
F
1 =
4
( ) ( )
2
−
24
1 = 65535
F x =
( )
x +
2
2x
−1
0
−1 = −
 
2a
b
F
−1 =
n
( ) (
)
F
−1 =
n−1
(
) (
)
⋯= F −1 =
(
)
−1
F
0 =
n
( ) ( )
0
ln
 F
x + 1
 =
∣∣∣
n
( ) ( )
∣∣∣
2 ln
 F
x + 1
 n ∈N
 
∣∣∣
n−1
(
) ( )
∣∣∣(
+)
ln
 F
1 + 1
 =
∣∣∣
n
( ) ( )
∣∣∣
2
ln4
n−1
x > 0
F x >
( )
x > 0
F
x >
n
( ) ( )
F
x >
n−1
(
) ( )
⋯> F x >
( )
x > 0
F
1 +
n
( ) ( )
1 > 0
F
1 =
n
( ) ( )
2
−
2n
1
F
1 =
4
( ) ( )
2
−
24
1 = 65535
例题12
2
+
2008
2007
f x + 2 −
(
)
f x =
( )
−f x + 4 −f x + 2
−
[ (
)
(
)]
f x + 6 −f x + 4
+
[ (
)
(
)]
f x + 6 −
[ (
)
⩾−3 ⋅2
−
x+2
3 ⋅2
+
x+4
63 ⋅2 =
x
3 ⋅2x
f x + 2 −
(
)
f x =
( )
3 ⋅2x
f 2008 =
(
)
f 2008 −
(
)
f 2006 +
(
)
f 2006 −
(
)
f 2004 +
(
)
⋯+ f 2 −
( )
f 0 +
( )
f 0
( )
= 3 ⋅2
+ 2
+ ⋯+ 2 + 1 +
( 2006
2004
2
)
f 0
( )
= 3 ⋅
 +
4 −1
4
−1
1003+1
f 0
( )
= 2
+
2008
2007
g x =
( )
f x −
( )
2x
g x + 2 −
(
)
g x =
( )
f x + 2 −
(
)
f x −
( )
2
+
x+2
2 ⩽
x
3 ⋅2 −
x
3 ⋅2 =
x
0
g x + 6 −
(
)
g x =
( )
f x + 6 −
(
)
f x −
( )
2
+
x+6
2 ⩾
x
63 ⋅2 −
x
63 ⋅2 =
x
0
g x + 2 ⩽
(
)
g x
( )
g x + 6 ⩾
(
)
g x
( )
g x ⩽
( )
g x + 6 ⩽
(
)
g x + 4 ⩽
(
)
g x + 2 ⩽
(
)
g x
( )
g x
( )
2
f 2008 =
(
)
g 2008 +
(
)
2
=
2008
g 0 +
( )
2
=
2008
2
+
2008
2007