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函数综合
Part 1 映射与函数
Part 2 定义域与值域
Part 3 函数性质综合应用
Part 4 反函数
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高一/ 数学/ 筑梦班
Part 1 映射与函数
精讲精炼
【例1】
已知a、b 为实数，集合M =
{
b
a,1
}
,N = {a,0}, f : x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x，则
a+b =
．
【例2】
下列四组函数中，为同一函数的一组是( )
A. f (x) = 1 与g(x) = x0
B. f (x) =
√
x2 与g(x) = x
C. f (x) = ( 3√x)3 与g(x) = x
D. f (x) = x2 −1
x−1 与g(x) = x+1
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第4 讲
函数综合
Part 2 定义域与值域
精讲精炼
【例3】
函数f (x) = √x−2+lg(4−x)−(3−x)0 的定义域为
．
【例4】
下列函数中，值域为R+ 的函数是( )
A. y = 3
2
x
B. y = √2x −1
C. y = √2x +1
D. y =
(
1
2
)2−x
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高一/ 数学/ 筑梦班
【例5】
（1）函数y = 2x−4√1−x 的值域为
．
（2）函数y = x+
√
4x2 +9 的值域为
．
【例6】
关于x 的方程(2−2−|x|)2 = 2+a 有实根，则实数a 的取值范围是
．
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第4 讲
函数综合
Part 3 函数性质综合应用
精讲精炼
【例7】
（1）函数f (x) = log2
(
x2 −2x+3
)
的单调区间是
，最小值是
．
（2）函数f (x) =
x
1−2x −x
2
A. 是偶函数但不是奇函数
B. 是奇函数但不是偶函数
C. 既是奇函数也是偶函数
D. 既不是奇函数也不是偶函数
【例8】
将函数f (x) = log2
(
x2 +x+1
)
(x ∈R) 表示成一个偶函数及一个奇函数的和，这个偶函数为
．
【例9】
分别根据下列条件，判断f(x) 的对称性或周期性，并指出其对称轴(中心) 或周期．
（1）f(x+2) = f(4−x)
（2）f(x−1) = f(x+3)
（3）f(6−x) = −f(x)
（4）f(x+2) = −f(x−2)
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【例10】
函数f (x) =
x
x+1 + x+1
x+2 + x+2
x+3 对称中心为( )
A. (−4,6)
B. (−2,3)
C. (−4,3)
D. (−2,6)
【例11】
（1）函数f (x) 对于任意实数x 满足：f (x+3) = −
1
f (x)，若f (0) = 2，则f (2013) =( )
A. −1
2
B. 1
2
C. 2
D. 2013
（2）已知函数f (x) 对任意x ∈R，都有f (x+2) = f (x)−1
f (x)+1，且f (1) = −2，则f (2013) =
．
【例12】
设函数f(x) = 1
x，g(x) = ax2 +bx(a,b ∈R,a̸ = 0)．若y = f(x) 的图象与y = g(x) 的图象有且仅有两个不同的公共
点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则下列判断正确的是( )
A. 当a < 0 时，x1 +x2 < 0，y1 +y2 > 0
B. 当a < 0 时，x1 +x2 > 0，y1 +y2 < 0
C. 当a > 0 时，x1 +x2 < 0，y1 +y2 < 0
D. 当a > 0 时，x1 +x2 > 0，y1 +y2 > 0
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第4 讲
函数综合
Part 4 反函数
精讲精炼
【例13】
（1）函数y =
3√
x2 −1(x ⩽0) 的反函数是
.
（2）函数y = log2
(
x2 −3x
)
，(x > 3) 的反函数是
．
【例14】
（1）若函数f (x+1) 的反函数是f −1 (x+1)，并且f (1) = 4037，则f (2018) =
．
（2）设f −1 (x) 为f (x) = 4x−2 +x−1，x ∈[0,2] 的反函数，则y = f (x)+ f −1 (x) 的最大值为
．
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高一/ 数学/ 筑梦班
【例15】
已知函数y = f −1 (x) 是y = f (x) 的反函数．定义：若对给定的实数a(a̸ = 0)，函数y = f (x+a) 与y = f −1 (x+a)
互为反函数，则称y = f (x) 满足“a 和性质”；若函数y = f (ax) 与y = f −1 (ax) 互为反函数，则称y = f (x) 满足“a
积性质”．
（1）判断函数g(x) = x2 +1(x > 0) 是否满足“1 和性质”，并说明理由．
（2）求所有满足“2 和性质”的一次函数．
（3）设函数y = f (x)(x > 0) 对任何a > 0，满足“a 积性质”，求y = f (x) 的表达式．
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第4 讲
函数综合
本讲重点：
学习心得：
课堂总结
