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CONTENTS
第1 讲
幂指对函数综合
1
第2 讲
函数最值
11
第3 讲
函数迭代
15
第4 讲
函数综合
19
参考答案
33
第1 讲
幂指对函数综合
1
2019 秋高一数学筑梦班预习手册
第1 讲
幂指对函数综合
知识梳理
指数运算与对数运算
1．整数指数幂
a·a·a······a
|
{z
}
n
= an,n ∈N∗,a0 = 1(a̸ = 0)，a−n = 1
an ．
2．分数指数幂
（1）n 次方根( n-th Root )：若存在x ∈R 使得xn = a(a ∈R,n > 1,n ∈N∗)，那么x 叫做a 的n 次
方根．
①当n = 2k −1，k ∈Z 时，正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数．记作
n√a；
②当n = 2k，k ∈Z 时，正数的n 次方根有两个，记作± n√a(a > 0)；负数无偶次方根．
其中，特别的
n√
0．
（2）分数指数与根式形式互化：
a
1
n =
n√a a
m
n = ( n√a)
m =
n√am a−m
n = 1
a
m
n 注：a > 0，m、n ∈N∗
3．无理数指数幂
（1）无理数指数幂aα(a > 0，α 为无理数) 是一个确定的数；
（2）无理数指数幂的运算法则与有理数指数幂的运算法则一致．
4．指数幂的运算法则
ar ·as = ar+s (a > 0,r,s ∈R)；
ar
as = ar−s (a > 0,r,s ∈R)；
(ar)s = ars = (as)r (a > 0,r,s ∈R)；
(a·b)r = ar ·br (a > 0,b > 0,r ∈R)；
(a
b
)r
= ar
br (a > 0,b > 0,r ∈R)．
【思考探究】下面三个等式是否成立？
①12x = 3x ·4x = 22x ·3x；②2x2 = (2x)2 = 22x = 4x；
③
( 1
16
)x
=
(1
4
)2x
=
[(1
4
)x]2
= 4−2x = (4−x)2 = 2−4x．
2
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精讲精练
1 （1）将
3√
22 化成分数指数幂为( )
A. 2
3
2
B. 2−1
2
C. 2
1
3
D. 2
2
3
（2）已知x+x−1 = 3，则x2 +x−2 的值为( )
A. 11
B. 9
C. 8
D. 7
2 （1）化简下列各式: (1)
5x−2
3 y
1
2
(
−1
4x−1y
1
2
)
−5
6x
1
3 y
−1
6
；(2)m+m−1 +2
m−1
2 +m
1
2
（2）计算：0.027−1
3 +
(√
2
√
2
) 4
3 −4×
(16
49
)−1
2
−
4√
2×80.25 +(−2011)0．
第1 讲
幂指对函数综合
3
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知识梳理
1．对数（Logarithm）的概念：一般的，如果ab = N(a > 0，且a̸ = 1)，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记
作b = logaN，其中a 叫做对数的底数（Base），N 叫做真数．
图示：
2．对数的性质：
（1）0 和负数没有对数，即N > 0；
（2）1 的对数为0，即loga 1 = 0；
（3）底的对数等于1，即loga a = 1．
3．对数恒等式：alogaN = N．
证明：若ab = N，则b = log aN，则ab = alogaN = N
要注意：对数恒等式只能解决底数一致的情况，如果底数不一致，比如要求9log32 的值，需要先借
助幂的运算法则进行变形：
9log32 =
(
32)log32 = 32log32 =
(
3log32)2 = 22 = 4．
4．特殊对数：
（1）常用对数（Commom Logarithms）：以10 为底数，通常简记为“lg”，即log10N = lgN．
（2）自然对数（Natural Logarithms）：以e 为底数，通常简记为“ln”，即loge N = lnN．其中e 称作
自然常数，e ≈2.71828．
精讲精练
3 （1）将下列指数式改写成对数式、对数式改写成指数式：
①lg10000 = 4；②ln12 = b；③10a = 32；④e3 = a．
（2）求下列各式中x 的值
log3 (lgx) = 1，则x =
；
4
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知识梳理
1．积的对数
loga (M ·N) = logaM +logaN；(积的对数等于对数的和)
推广：loga (N1 ·N2 ···Nk) = logaN1 +logaN2 +···+logaNk．
2．商的对数
loga
M
N = logaM −logaN；(商的对数等于对数的差)
3．幂的对数
logaMα = αlogaM (α ∈R)．(幂的对数等于底数的对数乘以幂指数)
精讲精练
4 计算:
（1）lg8+lg125−lg2−lg5
lg
√
10·lg0.1
；
（2）log3
√
27+lg25+lg4+7log72 +(−9.8)0．
第1 讲
幂指对函数综合
5
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知识梳理
换底公式：logbN = logaN
logab ．(a,b > 0,a,b̸ = 1,N > 0)
推论：
（1）loga blogb a = 1 ⇔loga b =
1
logb a；
（2）loganbm = m
n logab．
精讲精练
5 （1）计算(log54)·(log1625) =( )
A. 2
B. 1
C. 1
2
D. 1
4
（2）已知log189 = a，18b = 5，则log3645 =
（用a,b 表示）．
6
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知识梳理
幂指对函数图像与性质
1. 幂函数的概念
一般地，形如y = xα,α ∈R 的函数称为幂函数，其中α 为常数．
2. 幂函数的特征
（1）xα 的系数为1；
（2）xα 的底数是自变量x，指数α 为常数；
3. 幂函数的图象与性质
（1）幂函数y = xα
(
α = 1,2,3, 1
2,−1
)
的图象
（2）幂函数y = xα
(
α = 1,2,3, 1
2,−1
)
的性质
第1 讲
幂指对函数综合
7
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1. 定义：一般地，形如y = ax(a > 0 且a̸ = 1) 的函数，叫做指数函数( Exponential Function)，其中x 是自
变量，函数的定义域是R．
2. 指数函数：y = ax(a > 0 且a̸ = 1) 的图像如下．
思考：函数y = 2x，y = 3x 的图像在同一坐标系中如图(1) 所示，则两函数的图像分别对应哪支曲线？函
数y =
(1
2
)x
，y =
(1
3
)x
的图像在同一坐标系中如图(2) 所示，则两函数的图像分别对应哪支曲线？
结论：当底数a > 1 时，底数越大图像越“接近”y 轴(越陡)，当底数0 < a < 1 时，底数越大图像越“远
离”y 轴(越缓)．
精讲精练
6 下列函数：①y = x2；②y =
(1
4
)x
；③y = 5x3；④y = x2 +1；⑤y = (x−1)2；⑥y = x；⑦y = ax(a > 1,a 为常
数)．其中是幂函数的有
，是指数函数的有
(填序号)．
8
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7 （1）幂函数y = x
1
3 ，y = x
2
3 ，y = x−3
4 ，y = x−2 的图象依次大致为
．
（2）已知y1 =
(1
3
)x
，y2 = 3x，y3 = 10−x，y4 = 10x，则在同一坐标系内，它们的图象为( )
A
B
C
D
第1 讲
幂指对函数综合
9
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知识梳理
1. 对数函数的概念
一般地，我们把函数y = logax (a > 0，且a̸ = 1) 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是
(0,+∞)，值域是R.
对数函数的特征：
①logax 的系数是1（通过化解计算后的形式）；
②logax 的底数：常数，且不等于1 的正实数；
③logax 的真数：仅是自变量x，且自变量必须大于0．
2．对数函数y = logax(a > 0，且a̸ = 1) 的图象与性质
（1）图象与性质
（2）不同底数的对数函数图象比较
由图象可得b > a > 1 > d > c > 0
10
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精讲精练
8 （1）如图所示的三个对数函数的图象，则下列选项正确的是( )
A. 0 < c < b < 1 < a
B. 0 < b < c < 1 < a
C. 1 < b < c < a
D. 1 < c < b < a
（2）已知a > 0，b > 0，且ab = 1，a̸ = 1，则函数f (x) = ax 与函数g(x) = −logbx 在同一坐标系中的图
象可能是( )
9 设a =
(√
2
)1.4
，b = 3
3
2 ，c = ln 3
2，则a,b,c 的大小关系是( )
A. a > b > c
B. b > c > a
C. c > a > b
D. b > a > c
第2 讲
函数最值
11
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第2 讲
函数最值
知识梳理
二次函数区间最值问题
一、知识要点：
二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴
在区间的左边、中间、右边三种情况．
设f (x) = ax2 +bx+c(a̸ = 0)，求f (x) 在[m,n] 上的最大值与最小值．
分析：将f (x) 配方，得顶点为
(
−b
2a, 4ac−b2
4a
)
、对称轴为x = −b
2a
当a > 0 时，它的图像是开口向上的抛物线，数形结合可得到在[m,n] 上f (x) 的最值．
1．当m ⩽−b
2a ⩽n 时，f (x) 的最小值是f
(
−b
2a
)
= 4ac−b2
4a
，f (x) 的最大值是f (m)、f (n) 中的较大
者．
2．当−b
2a < m 时，由f (x) 在[m,n] 上是增函数，则f (x) 的最小值是f (m)，最大值是f (n)
3．当n < −b
2a 时，由f (x) 在[m,n] 上是减函数，则f (x) 的最小值是f (n)，最大值是f (m)．
当a < 0 时，可类比得到结论．
二、题型分析归类
1．正向型：是指已知二次函数和定义域区间，求其最值．对称轴与定义域间的相互位置关系的讨论往
往成为解决这类问题的关键．此类问题包括以下四种情况：
（1）定轴定区间；
（2）定轴动区间；
（3）动轴定区间；
（4）动轴动区间．
2．逆向型：是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值．
12
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精讲精练
1
当−2 ⩽x ⩽2 时，求函数y = x2 −2x−3 的最大值和最小值．
2 当−1 ⩽x ⩽2 时，二次函数y = (x−m)2 −m2 +1 有最小值−1，则实数m 的值为
．
第2 讲
函数最值
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知识梳理
函数值域求解常用方法
常用求函数值域方法：
观察法：运用函数单调性质或配方法求解；
图象法：作图，观察函数图像求解；
换元法：含有根式的函数求最值，换元法是常用方法；
分离常数法：分式函数求值域常使用分离常数法求解；
判别式法：二次分式型函数求值域常用判别式法求解.
精讲精练
3 求下面函数的值域：
y = −3x+1,x ∈(1,+∞)．
4 求函数y =
√
x2 +x+1 的值域．
14
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5 设函数f (x) =
m+x2,|x| ⩾1
x,|x| < 1
的图象过点(1,1)，则函数f (x) 的值域是
．
6 函数f (x) = x+√1−2x 的值域是
．
7 函数f (x) = 1−2x
x−1 的值域为
．
8 若函数f (x) = 3
4x2 −3x+4 在区间[a,b] 上的值域仍是[a,b]，则a+b 的值为( )
A. 16
3
B. 5
C. 4
D. 8
3
第3 讲
函数迭代
15
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第3 讲
函数迭代
知识梳理
复合函数
1．复合函数的概念
一般地，若y 是t 的一个函数y = f(t)，而t 又是x 的一个函数t = g(x)，记函数y = f(t) 的定义
域为A，函数t = g(x) 的值域为B，若A∩B̸ = ∅，则y 也是x 的一个函数，即y = f(t) = f[g(x)]，称为复
合函数，记作y = f[g(x)]．当x = a 时，函数y 的值记作f[g(a)]．
对于复合函数y = f[g(x)] 来讲，我们把g(x) 叫内层函数，把f(x) 叫外层函数．
精讲精练
1
已知f(x) = 2x+1，则f(f(x)) =( )
A. 4x+3
B. 2x+1
C. 2x+2
D. 4x+2
2 （1）已知f (x) = x2 −4x+3，求f (x+1)．
（2）已知f (x−1) = x2 +4x−5，则f (x) 的表达式是( )
A. x2 +6x
B. x2 +8x+7
C. x2 +2x−3
D. x2 +6x−10
16
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知识梳理
2．复合函数的定义域与值域
（1）f[g(x)] 的定义域为[a,b]，指的是x 的取值范围为[a,b]，而不是g(x) 的范围为[a,b]；
（2）已知函数f(x) 的定义域为D，求函数f[g(x)] 的定义域，只需由g(x) ∈D 解不等式，求出x；
（3）复合函数求值域问题，先根据定义域求出内层函数的取值范围，再利用外层函数求得复合函
数的值域．换元法求值域，本质上就是对复合函数求值域．
3．复合函数的单调性
内层函数和外层函数的单调性联合决定复合函数的单调性
同增异减：当内外层函数的单调性一致（相同）时，复合函数单调递增；
当内外层函数的单调性不一致（不相同）时，复合函数单调递减．
精讲精练
3 （1）已知函数y = f (x+1) 的定义域是[−2,3]，则y = f (2x−1) 的定义域为( )
A.
[
0, 5
2
]
B. [−1,4]
C. [−5,5]
D. [−3,7]
（2）已知函数f (x) 的定义域为[0,2]，则f (2x)
x
的定义域为( )
A. {x|0 < x ⩽4}
B. {x|0 ⩽x ⩽4}
C. {x|0 ⩽x ⩽1}
D. {x|0 < x ⩽1}
第3 讲
函数迭代
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4 （1）函数f (x) = √1−2x 的值域是
．
（2）函数y = log1
2
(
−x2 +2x+3
)
的单调递减区间是
．
知识梳理
抽象函数求值与性质
抽象函数因为并没有解析式，所以涉及到求值问题往往需要代数去尝试，按照题干给出的条件进
行计算，我们把这种方法称之为赋值法．
精讲精练
5 定义域为(0,+∞) 的函数f (x) 满足f (xy) = f (x)+ f (y)，若f (4) = 2，则f
(√
2
)
的值为
．
18
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知识梳理
抽象函数因为并没有解析式，我们无法通过单调性的四则运算与复合函数性质等等以往学过的
快速判断单调性的方法来确定函数的单调性，所以唯一能选择的方法就是定义法．
精讲精练
6 已知定义在(0,+∞) 上的函数f (x) 满足f (xy) = f (x)+ f (y)，当x > 1 时，f (x) < 0．判断f (x) 在定
义域上的单调性为( )
A. 单调增函数
B. 单调减函数
C. 先增再减函数
D. 先减再增函数
7 设函数f (x) 的定义域为R，对任意x，y ∈R，恒有f (x+y) = f (x)+ f (y) 成立，则f (x) 是( )
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 既奇又偶函数
D. 非奇非偶函数
8 已知f (x) 是定义在[2b,1−b] 上的奇函数，且在[2b,0] 上为增函数，则f (x−1) ⩽f (2x) 的解集为
( )
A.
[
−1, 2
3
]
B.
[
−1, 1
3
]
C. [−1,1]
D.
[1
3,1
]
第4 讲
函数综合
19
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第4 讲
函数综合
知识梳理
映射与函数
1．映射的概念：一般地，设A、B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中的任何一
个元素x，在集合B 中都存在唯一的一个元素y 与之对应，那么，这种对应关系f 叫做从集合A 到集
合B 的一个映射(Mapping)，记作f：A →B 或x →f (x)．
【注意】
①“A 到B”：映射是有序的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射；
②“任意”：对应法则f 作用于集合A 中每一个元素；
③“唯一”：对应法则f 作用的结果唯一.
2．象与原象(Image and Inverse Image)：y 是x 在映射f 作用下的象，记作f (x)，x 称作y 的原象．
3．一一映射：如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任一元素在集合A 中都有
且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并称这个映射为从集合A 到
集合B 的一一映射．
【注意】
①集合A 中每一个元素在集合B 中都有唯一的象与之对应；
②集合A 中的不同元素的象不同；
③集合B 中的每一个元素都有原象；
④“当且仅当”、
“有且只有”和“存在唯一”的含义相同．
【举例】生活中，有很多一一映射的例子，例如，设集合A =x|x 是某场电影票上的号码，B =x|x 是某电
影院的座位号，对应关系f：电影票的号码对应于电影院的座位号，那么对应f：A →B 是一个一一映
射；中国的一夫一妻制，映射中国的法律．
20
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精讲精练
1
已知f : A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射，A = B = {(x,y)|x ∈R,y ∈R}，f : (x,y) →(x+y,x−y)，
若A 中元素(1,a) 的象是(b,4)，则实数a,b 的值分别为( )
A. −2,3
B. −2,−3
C. −3,−2
D. 1,4
2 下面的哪些对应是从A 到B 的一一映射( )
A. A = {1,2,3,4}，B = {3,5,7}，对应关系：f (x) = 2x+1,x ∈A．
B. A = R，B = R，对应关系；f (x) = x2 −1,x ∈A．
C. A = {1,4,9}，B = {−1,1,−2,2,−3,3}，对应关系：A 中的元素开平方．
D. A = R，B = R，对应关系：f (x) = x3,x ∈A．
第4 讲
函数综合
21
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知识梳理
1．函数的概念
设集合D 是非空的实数集，对于D 中的任意实数x，按照确定的对应法则f 都有唯一确定的实
数值y 与它对应，则这种对应关系叫做集合D 上的一个函数(Function)．记作y = f (x)，x ∈D．
【思考探究】函数的概念和映射的概念有何区别？
【答案】非空集合（映射）→非空数集（函数）．
【注意】
（1）函数两个本质属性：任意与唯一．
①“任意”指的是不能一对空，即集合D 中的每个实数都必须存在函数值，否则不能构成函数．
②“唯一”指的是不允许一对多，即集合D 中每个值的象唯一．
（2）函数的记号：y = f (x)，
其中f 是对应法则，f (x) 表示：在对应法则f 下，自变量x 对应的函数值．
（3）字母都是浮云：表示函数可以是f (x)，g(x)，h(x)，变量是x,a,b,t 都可以．
2．函数的三要素
①定义域(Domain)：自变量的取值范围(集合)；
②值域(Range)：因变量的取值范围(集合)；
③对应法则(Mapping)．
接下来我们用图示和更加专业的名词来表达这三要素
3．函数相同
当两个函数的定义域与对应法则相同时，则两个函数相同．
【思考探究】函数f (x) = x2，x ∈{0,1} 和g(x) = √x，x ∈{0,1} 相同吗？
【答案】它们的解析式不同，但它们的对应法则是完全一致的．所以它们为同一函数．
22
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精讲精练
3 函数f (x) = √x−3+log0.5 (7−x) 的定义域是
．
4 已知函数y = f (x) 的值域为{1,9}，解析式为f (x) = x2，这样的函数的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 9
5 下列函数与y = x 是相同函数的是( )
A. y =
√
x2
B. y = (√x)
2
C. y = lnex
D. y = elnx
第4 讲
函数综合
23
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知识梳理
4．函数的表示方法
（1）解析法：如果在函数y = f(x)(x ∈A) 中，f (x) 是用代数式(解析式) 来表达的，则这种表示函
数的方法叫做解析法．例如h(t) = 130t −t2，y =
1
x−1 等．
（2）图像法：用函数图像来表达函数自变量与因变量之间关系的方法．
如：某日某支股票的走势图．
（3）列表法：通过表格的方式表示两个变量之间的对应关系
我们去市场买肉市场上猪肉的价格是9.6 元/斤，很不好计算金额，但销售阿姨总能脱口说出金额，
原来她记住了下列的表格：
【思考探究】函数的三种表示方法的优势分别是什么？
【答案】
解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个
自变量的值所对应的函数值．中学阶段所研究的主要是能够用解析式表示的函数．
图像法优点是直观形象地表示了随着自变量的变化，相应函数值的变化趋势，有利于我们通过图
像来研究函数的某些性质．图像法在生产和生活中有许多应用，例如企业生产图，股市走势图等等．
列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，表格法在实际生产
和生活中也有广泛的应用．如银行利率表，列车时刻表等．
24
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精讲精练
6 （1）下列图象中可作为函数y = f (x) 图象的是( )
（2）已知函数f (x) =
x+1(x < 1)
−x+3(x ⩾1)
，则f
[
f
(5
2
)]
=( )
A. 1
2
B. 5
2
C. 9
2
D. 3
2
（3）已知函数f (x)，g(x)，分别由下表给出：
则g(1) 的值为
；当g(f (x)) = 2 时，x =
．
第4 讲
函数综合
25
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知识梳理
函数性质综合
观察函数y = x2，当自变量x 在定义域(−∞,+∞) 内变化时，它的图像的变化趋势如何？
【答案】当x ∈(−∞,0]，x 逐渐增加时，函数值y 逐渐减小；而当x ∈[0,+∞),x 逐渐增加时，函数值y 逐
渐增加．
一般地，对于给定区间I 上的函数y = f (x)：
如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值x1、x2，当x1 < x2 时，都有f (x1) < f (x2)，那么
就说函数y = f (x) 在这个区间上是单调增函数(Monotonicity Increasing Function)，简称增函数(图1)．
如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值x1、x2，当x1 < x2 时，都有f (x1) > f (x2)，那么
就说函数y = f (x) 在这个区间上是单调减函数(Monotonicity Decreasing Function)，简称减函数(图2)．
如果函数y = f (x) 在某个区间I 上是增(减) 函数，则称函数y = f (x) 具有单调性(Monotonicity)，
在区间I 上是单调函数(Monotonicity Function)．区间I 叫做函数y = f (x) 的单调区间(Monotonicity Inerval)．
26
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精讲精练
7 下列说法中正确的有( )
①若任取x1，x2 ∈I，当x1 < x2 时，f (x1) < f (x2)，则y = f (x) 在I 上是增函数；
②函数y = x2 在R 上是增函数；
③函数y = −1
x 在定义域上是增函数；
④y = 1
x 的单调递减区间是(−∞,0)∪(0,+∞)．
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
8 已知函数f (x) =
ax2,x ⩾1
(a+1)x+ a
2,x < 1
是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )
A. (−∞,0)
B. (−∞,1)
C. [−2,0)
D. [−2,−1)
9 判断函数f(x) = x+√x 在定义域上的单调性．
第4 讲
函数综合
27
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知识梳理
观察下列函数的图像，考虑函数的对称性．
1．奇偶函数定义
偶函数：一般地，若函数y = f (x) 的定义域为D，对任意实数x ∈D，有−x ∈D 且f (−x) = f (x)，
那么就把函数y = f (x) 叫做偶函数( Even Function )．
奇函数：一般地，若函数y = f (x) 的定义域为D，对任意实数x ∈D，有−x ∈D 且f (−x) = −f (x)，
那么就把函数y = f (x) 叫做奇函数(Odd Function)．
【思考探究】下列区间中哪些关于原点对称？
（1）(−1,1)；
（2）[−2,2]；
（3）(−∞,−3)∪(3,+∞)；
（4）(−1,1]；
（5）(−∞,−2)∪[2,+∞)．
【答案】（1）（2）（3）
【思考探究2】函数根据奇偶性可分为几类？
【答案】（1）奇函数（非偶）；
（2）偶函数（非奇）；
（3）既奇又偶；
（4）非奇非偶
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精讲精练
10 依次判断下列函数的奇偶性
(如“AABA”)．
①f(x) = 3x−1；②f (x) = −2
x；③f (x) = 0；④f(x) = x2 −|x|+1
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D. 既不是奇函数也不是偶函数
11 已知函数f (x) =
(
m2 −1
)
x3 +2nx2 −(3n+2)x+m−1，若函数f (x) 为偶函数，则实数m =
，
n =
．
12 已知函数f(x) 为R 上的奇函数，当x > 0 时，f (x) = x3 +2x2 −1，则函数f(x) 的解析式为
．
第4 讲
函数综合
29
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知识梳理
一般的轴对称
函数y = f (x) 的图象关于直线x = a 对称⇔f (a−x) = f (a+x) ⇔f (x) = f (2a−x)
一般的对称中心
（1）函数y = f (x) 的图象关于点(a ,b) 对称
⇔f (a+x)+ f (a−x) = 2b ⇔f (x)+ f (2a−x) = 2b．
（2）若函数y = f (x) 满足f (a+x)+ f (b−x) = c，则y = f (x) 的图象关于点
(a+b
2
, c
2
)
成中心
对称．
1．周期性
一般地，对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x+T)
= f (x)，那么函数f (x) 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．
推广：若函数f (x) 定义域内的任意实数x，都满足f (x+a) = f (x−b)，那么函数f (x) 是以a+b
为周期的周期函数．
2．最小正周期
对于一个周期函数f (x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
它的最小正周期．
3．半周期条件
若函数f (x) 定义域内的任意实数x，都满足f (x+a) = −f (x)，那么函数f (x) 是以2a 为周期的
周期函数；
若函数f (x) 定义域内的任意实数x，都满足f (x+a) =
1
f (x)，那么函数f (x) 是以2a 为周期的周
期函数．
30
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【思考探究】若函数f (x) 定义域内的任意实数x，都满足f (x+a) = −
1
f (x)，那么函数f (x) 是周期函
数吗？如果是周期是多少？
【答案】f (x+2a) = −
1
f (x+a) = f (x), 故函数f (x) 是以2a 为周期的周期函数．
精讲精练
13 若f (x−2) 是偶函数，则函数f (x) 图象的对称轴为
；
若f (x−2) 是奇函数，则函数f (x) 图象的对称中心为
．
14 已知函数f (x−1)(x ∈R) 是偶函数，且函数f (x) 的图象关于点(1,0) 成中心对称，当x ∈[−1,1] 时，
f (x) = x−1，则f (2019) =( )
A. −2
B. −1
C. 0
D. 2
15 已知函数f(x) 满足f(x−1) = −f(−x+1)，且当x ⩽0 时，f(x) = x3，若对任意的x ∈[t,t +2]，不等式
f(x+t) ⩾2
√
2f(x) 恒成立，则实数t 的取值范围是
．
第4 讲
函数综合
31
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知识梳理
函数与方程
记忆下表，理解方程与函数的关系
1. 零点的概念
一般地，如果函数y = f(x) 在实数x0 处的函数值为零，即f(x0) = 0，则x0 叫做这个函数的零点．
注意：
①函数y = f(x) 的零点就是方程f(x) = 0 的实数根；而从图象上看，函数y = f(x) 的零点就是它
的图象与x 轴交点的横坐标．
②函数的零点不是指一个点，而是指一个实数．如函数y = x−1 的零点是x = 1，而不是(1,0)．
2. 函数零点的求法
（1）代数法：求方程f(x) = 0 的实数根；
（2）几何法：画出函数y = f(x) 的图象，从图象上找出零点．
3. 零点与函数图象交点
函数F(x) = f(x)−g(x) 的零点就是方程f(x) = g(x) 的实数根，也是函数y1 = f(x) 与y2 = g(x)
的图象交点的横坐标．
精讲精练
16 函数f (x) = 2x +x−5 的零点个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
32
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17 函数y = lg|x|
x
的图象大致是( )
参考答案
33
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参考答案
第1 讲
幂指对函数综合
1 （1）D
【解析】解:
3√
22 = 2
2
3 ．故选:D．
（2）D
【解析】∵x+x−1 = 3，∴两边平方得x2 +2+x−2 = 9，即x2 +x−2 = 7．故选：D．
2 （1）见解析
【解析】(1) 原式= 24
5 ×5×x−2
3 +1−1
3 ×y
1
2 −1
2 + 1
6 = 24x0y
1
6 = 24y
1
6 ；
(2) 原式=
(
m
1
2
)2
+2m
1
2 ·m−1
2 +
(
m−1
2
)2
m
1
2 +m−1
2
=
(
m
1
2 +m−1
2
)2
m
1
2 +m−1
2
= m
1
2 +m−1
2 ．
（2）见解析
【解析】解：原式=
[( 3
10
)3]−1
3
+
( 4√
8
) 4
3 −4× 7
4 −2
1
4 ×2
3
4 +1
= 10
3 +2−7−2+1
= −8
3．
3 （1）见解析
【解析】解：①104 = 10000．
②eb = 12．
③lg32 = a．
④lna = 3．
（2）1000
【解析】log3 (lgx) = 1；可得lgx = 3，解得x = 1000．
34
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4 (1)−4；(2)13
2
【解析】(1)lg8+lg125−lg2−lg5
lg
√
10·lg0.1
= 3−1
−1
2
= −4；(2)log3
√
27 + lg25 + lg4 + 7log72 + (−9.8)0 = 3
2 + 2 +
2+1 = 13
2 ．
5 （1）B
【解析】解：(log54)·(log1625) = lg4
lg5 × lg25
lg16 = 2lg2
lg5 × 2lg5
4lg2 = 1．故选B．
（2）a+b
2−a
【解析】log3645 = log1845
log1836 =
log189+log185
2·log1818−log189 = a+b
2−a．
6 ①⑥
②⑦
【解析】幂函数是形如y = xα(α ∈R) 的函数，其结构特征为：解析式为单项式，幂指数为常数，底数为
自变量，系数为1．从以上特征我们可以判断，只有①⑥为幂函数，故填①⑥．
指数函数是形如y = ax(a > 0,a̸ = 1) 的函数，其结构特征为：指数为自变量，底数为常数且满足大于0
且不等于1，系数为1．从以上特征我们可以判断，只有②⑦为指数函数，故后面一个空填②⑦．
7 （1）B、A、D、C
【解析】
（2）A
【解析】方法一: 在第一象限内作直线x = 1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选
A．方法二: y2 = 3x 与y4 = 10x 单调递增，且y4 = 10x 的图象上升得快，故BC 不正确，y1 =
(1
3
)x
与
y2 = 3x 的图象关于y 轴对称；y3 = 10−x 与y4 = 10x 的图象关于y 轴对称，故D 不正确，故选A．
8 （1）B
【解析】解: 由y = logax 的图象可得a > 1，由y = logbx 和y = logcx 的图象可得0 < b < 1,0 < c < 1，
又x > 1 时，y = logcx 的图象比y = logbx 靠近y 轴，可得c < b，即有0 < b < c < 1 < a．故选:B．
（2）B
【解析】解：∵a > 0，b > 0，且ab = 1，a̸ = 1，
∴函数f (x) = ax 与函数g(x) = −logbx 在同一坐标系中的图象可能是下图：
故选：B．
参考答案
35
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9 D
【解析】解：∵a =
(√
2
)1.4
= 2
7
10 =
10√
128 > 1，
b = 3
3
2 = 3
15
10 =
10√
315 >
10√
128，
c = ln 3
2 < lne = 1．
∴b > a > c．
故选：D．
第2 讲
函数最值
1
见解析
【解析】解：∵y = x2 −2x−3 = (x−1)2 −4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x = 1，
∴当−2 ⩽x ⩽1 时，y 随x 的增大而减小，当x = −2 时，y 有最大值，最大值为(−2)2 +4−3 = 5，当
x = 1 时，y 有最小值，最小值为−4．
当1 ⩽x ⩽2 时，y 随x 的增大而增大，当x = 2 时，y 有最大值，最大值为−3，当x = 1 时，y 有最小值，
最小值为−4．
∴当−2 ⩽x ⩽2 时，函数y = x2 −2x−3 的最大值为5，最小值为−4．
2 −3
2 或
√
2
【解析】分类讨论
①m < −1,ymin = f (−1) = −1 ⇒m = −3
2；
②−1 ⩽m ⩽2,ymin = f (m) = −1 ⇒m = ±
√
2 ⇒m =
√
2；
③m > 2,ymin = f (2) = −1 ⇒m = 3
2(舍)．
综上m = −3
2,
√
2．
3 见解析
【解析】∵x ∈(1,+∞)，
∴3x ∈(3,+∞)，
∴−3x ∈(−∞,−3)，
∴−3x+1 ∈(−∞,−2)．
∴y = −3x+1,x ∈(1,+∞) 的值域为(−∞,−2)．
36
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4
[√
3
2 ,+∞
)
【解析】∵x2 +x+1 =
(
x+ 1
2
)2
+ 3
4 ⩾3
4，∴y ⩾
√
3
2 ，∴值域为
[√
3
2 ,+∞
)
．
5 (−1,+∞)
【解析】∵f (x) 的图象过点(1,1)，
∴m+1 = 1，即m = 0．
∴f (x) =
x2,x ⩽−1或x ⩾1
x,−1 < x < 1
．
∴f (x) 的值域为[1,+∞)∪(−1,1) = (−1,+∞)．
故答案为：(−1,+∞)．
6 (−∞,1]
【解析】解：令√1−2x = t (t ⩾0)，
则1−2x = t2，x = 1−t2
2
，
∴函数化为f(t) = −t2
2 +t + 1
2 (t ⩾0)，
由−t2
2 +t + 1
2 = −1
2(t −1)2 +1，
当t ⩾0 时，−1
2(t −1)2 +1 ⩽1，
∴函数f (x) = x+√1−2x 的值域是(−∞,1]．
故答案为：(−∞,1]．
7 (−∞,−2)∪(−2,+∞)
【解析】解：函数f (x) = 1−2x
x−1 = −1−2(x−1)
x−1
= −2−
1
x−1．
故函数f (x) = 1−2x
x−1 的值域为(−∞,−2)∪(−2,+∞)．
8 B
【解析】函数f (x) = 3
4x2 −3x + 4 的图象如图所示．∵函数f (x) 在[a,b] 上的值域仍是[a,b]，∴当
a < b ⩽2 时，
f (a) = b
f (b) = a
，即
3
4a2 −3a+4 = b
3
4b2 −3b+4 = a
，解得a = b = 4
3(舍)；当2 ⩽a < b 时，
f (a) = a
f (b) = b
，
参考答案
37
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即
3
4a2 −3a+4 = a
3
4b2 −3b+4 = b
，解得
a = 4
3
b = 4
(舍)；当a < 2 < b 时，a = f (2) = 1．若b = f (1) = 7
4，显然不
满足题意．若b = f (b)，即3
4b2 −3b+4 = b，解得b = 4
3(舍) 或b = 4．综上，a+b = 1+4 = 5．
第3 讲
函数迭代
1
A
【解析】f(f(x)) = 2(f(x))+1 = 2(2x+1)+1 = 4x+3．
2 （1）见解析
【解析】∵f (x) = x2 −4x+3，∴f (x+1) = (x+1)−4(x+1)+3 = x2 −2x
（2）A
【解析】令x−1 = t，得x = t +1．
∵f (x−1) = x2 +4x−5，
∴f (t) = (t +1)2 +4(t +1)−5 = t2 +6t，由此可得f (x) = x2 +6x，故选A．
3 （1）A
【解析】解：∵函数y = f (x+1) 的定义域为[−2,3]，
∴x ∈[−2,3]，则x+1 ∈[−1,4]，即函数f (x) 的定义域为[−1,4]，再由−1 ⩽2x−1 ⩽4，得：0 ⩽x ⩽5
2，
∴函数y = f (2x−1) 的定义域为
[
0, 5
2
]
．
故选：A．
（2）D
【解析】解：因为函数f (x) 的定义域为[0,2]，所以0 ⩽2x ⩽2，所以0 ⩽x ⩽1，所以f (2x) 的定义域为
[0,1]，则函数f (2x)
x
的定义域是(0,1]，故选：D．
38
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4 （1）[0,1)
【解析】解：∵函数f (x) = √1−2x，
∴1−2x ⩾0，
∴2x ⩽1，即x ⩽0；
当x ⩽0 时，
0 < 2x ⩽1，
∴0 ⩽1−2x < 1；即0 ⩽√1−2x < 1，
∴f (x) 的值域是[0,1)．
故答案为：[0,1)．
（2）(−1,1]
【解析】解：∵y = log1
2
(
−x2 +2x+3
)
，
∴−x2 +2x+3 > 0，
∴−1 < x < 3，设t (x) = −x2 +2x+3，对称轴x = 1，
∵1
2 < 1
∴根据复合函数的单调性判断：函数y = log1
2
(
−x2 +2x+3
)
的单调减区间为(−1,1]．
故答案为(−1,1]．
5
1
2
【解析】解：因为f (4) = f (2)+ f (2)，f (2) = f
(√
2
)
+ f
(√
2
)
，
所以f (4) = 4f
(√
2
)
，即f
(√
2
)
= 1
2．
6 B
【解析】设x1，x2 是(0,+∞) 上任意的两个变量，且x1 < x2，设x2 = tx1(t > 1)，
则f (x1)−f (x2)
= f (x1)−f (tx1)
= f (x1)−f (x1)−f (t)
= −f (t)，
∵当x > 1 时，f (x) < 0，
∴f (t) < 0，即f (x1)−f (x2) = −f (t) > 0，
∴f (x1) > f (x2)，
即y = f (x) 在(0,+∞) 上单调递减．
故选B．
参考答案
39
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7 A
【解析】解：令x = y = 0，得f (0) = f (0)+ f (0)，即f (0) = 0；
再令y = −x，得f (0) = f (x)+ f (−x)．
∴f (−x) = −f (x)，由x 的任意性知f (x) 是奇函数．故选A．
8 C
【解析】解：根据题意，函数f (x) 是定义在[2b,1−b] 上的奇函数，
则2b+(1−b) = 0，解得：b = −1，则函数的定义域为[−2,2]，
又由f (x) 在[2b,0] 即[−2,0] 上为增函数，则f (x) 在[−2,2] 上为增函数，
f (x−1) ⩽f (2x) ⇒−2 ⩽x−1 ⩽2x ⩽2，
解得：−1 ⩽x ⩽1，
即不等式的解集为[−1,1]，
故选：C．
第4 讲
函数综合
1
C
【解析】∵A = B = {(x,y)|x ∈R,y ∈R}, f (x,y) →(x +y,x −y)．∴A 中元素(1,a) 的象是1 +a,1 −a，
∵A 中元素(1,a) 的象是(b,4)，∴
1+a = b
1−a = 4
，∴a = −3,b = −2．故选C．
2 D
【解析】A 选项，x = 4，B 中没有象与之对应，所以不是映射；
B 选项，元素−2 在A 中没有原象与之对应，所以不是一一映射；
C 选项，x = 1,B 中有2 个元素对应，所以不是映射；
D 选项，A 中的每一个元素在B 中都有唯一元素与之对应，A 中的不同元素在B 中的象也不同，且B
中的元素在A 中都有原象，所以是一一映射．
故选：D．
3 [3,7)
【解析】解：由
x−3 ⩾0
7−x > 0
，得3 ⩽x < 7．
∴函数f (x) = √x−3+log0.5 (7−x) 的定义域是[3,7)，
故答案为：[3,7)．
40
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4 D
【解析】解：由x2 = 1，得x = 1 或x = −1，
由x2 = 9，得x = 3 或x = −3，
若函数的值域是{1,9}，
则x = 1 或x = −1 至少有一个，x = 3 或x = −3 至少有一个，
共有3×3 = 9 种，
故选：D．
5 C
【解析】解：对于A，y =
√
x2 = |x|，与y = x(x ∈R) 的对应关系不同，不是同一函数；
对于B，定义域满足x ⩾0，与y = x(x ∈R) 的定义域不同，不是同一函数；
对于C，y = lnex = x(x ∈R) ，与y = x(x ∈R) 的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于D，定义域满足x > 0，与y = x(x ∈R) 的定义域不同，不是同一函数．
故选：C．
6 （1）C
【解析】解：∵函数要求对应定义域P 中任意一个x 都有唯一的y 值与之相对应，
也就是说函数的图象与任意直线x = c(c ∈P) 都只有一个交点；
选项A、B、D 中均存在直线x = c(c ∈P)，与图象有两个交点，故不能构成函数．
故选：C．
（2）D
【解析】解：∵函数f (x) =
x+1(x < 1)
−x+3(x ⩾1)
，
∴f
(5
2
)
= −5
2 +3 = 1
2
∴f
[
f
(5
2
)]
= f
(1
2
)
= 1
2 +1 = 3
2，
故选：D．
（3）3
1
【解析】解：由已知中的表格得：
g(1) = 3，
若g(f (x)) = 2，则f (x) = 2，
即x = 1，
故答案为：3，1．
参考答案
41
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7 B
【解析】解：①若任取x1，x2 ∈I，当x1 < x2 时f (x1) < f (x2)，则y = f (x) 在I 上是上增函数，这是增
函数的定义，故①正确；
②函数y = x2 在(−∞,0) 上是减函数，在(0,+∞) 上是增函数，故②错误；
③函数y = −1
x 在(−∞,0) 上是增函数，在(0,+∞) 上是增函数，f (−1) = 1 > f (1) = −1，在定义域上
不是增函数，故③错误；
④y = 1
x 的单调递减区间是(−∞,0)，(0,+∞)，故④错误．
故选：B．
8 D
【解析】∵函数f (x) 是R 上的减函数，∴
a < 0
a+1 < 0
a+1+ a
2 ⩾a
，解得−2 ⩽a < −1，即实数a 的取值范围
是[−2,−1)，故选D．
9 见解析
【解析】函数f(x) 的定义域为[0,+∞)，其中y = x 在[0,+∞) 上单调递增，y = √x 在[0,+∞) 上单调
递增，所以函数f(x) = x+√x 在[0,+∞) 上是增函数．
10 DACB
【解析】①既不是奇函数也不是偶函数；②奇函数；
③既是奇函数又是偶函数；④偶函数．
故填DACB．
11 ±1
−2
3
【解析】∵函数f (x) 为偶函数，
∴f (−x) = f (x)，
∴
(
m2 −1
)
(−x)3 +2n(−x)2 −(3n+2)(−x)+m−1 =
(
m2 −1
)
x3 +2nx2 −(3n+2)x+m−1，
∴
−
(
m2 −1
)
= m2 −1
3n+2 = −(3n+2)
，
解得
m = ±1
n = −2
3
．
42
2019 秋高一数学筑梦班预习手册
12 f (x) =
x3 +2x2 −1,x > 0
0,x = 0
x3 −2x2 +1,x < 0
【解析】∵函数f (x) 为R 上的奇函数，∴f (0) = 0．设x < 0，则−x > 0，∵当x > 0 时，f (x) = x3+2x2−1，
∴f (−x) = (−x)3 + 2(−x)2 −1 = −x3 + 2x2 −1，∵f (−x) = −f (x)，∴f (x) = x3 −2x2 + 1．综上，函数
f (x) =
x3 +2x2 −1,x > 0
0,x = 0
x3 −2x2 +1,x < 0
．
13 x = −2
(−2,0)
【解析】解：因为函数f (x−2) 图象是由函数f (x) 图象向右平移2 个单位得到的，又因为函数
f (x−2) 是偶函数，即关于y 轴对称，所以函数f (x) 图象的对称轴应为x = −2．
因为f (x−2) 是奇函数，所以f (x−2) 关于(0,0) 对称，函数f (x) 的图象可由f (x−2) 的图象向左平
移2 个单位得到，所以函数f (x) 的图象的对称中心为(−2,0)．
14 D
【解析】解：根据题意知，函数f (x−1)(x ∈R) 是偶函数，则函数f (x) 的对称轴为直线x = −1，
则f (x) = f (−2−x)，
又由函数f (x) 的图象关于点(1,0) 成中心对称，得f (x) = −f (2−x)，
则f (−2−x) = −f (2−x)，即f (x+4) = −f (x)，
变形可得f (x+8) = f (x)，则函数f (x) 是周期为8 的周期函数，
f (2019) = f (3+252×8) = f (3) = −f (−1) = −(−1−1) = 2，
故选：D．
15 [
√
2,+∞)
【解析】解: 由f(x −1) = −f(−x +1)，即f(−x + 1) = −f(x −1)，即f[−(x +1) +1] = −f(x +1 −1)，
即f(−x) = −f(x)，即函数f(x) 是奇函数，若x > 0，则−x < 0，则f(−x) = −x3 = −f(x)，即f(x) = x3，
(x > 0)，综上f(x) = x3，则不等式f(x+t) ⩾2
√
2f(x) 等价为不等式f(x+t) ⩾f(
√
2x)，∵f(x) = x3 为
增函数，∴不等式等价为x+t ⩾
√
2x 在x ∈[t,t +2] 恒成立，即:t ⩾(
√
2−1)x，在x ∈[t,t +2] 恒成立，即
t ⩾(
√
2−1)(t +2)，即(2−
√
2)t ⩾2(
√
2−1)，则t ⩾2(
√
2−1)
2−
√
2
=
√
2，故实数t 的取值范围[
√
2,+∞)，
故答案为:[
√
2,+∞)．
参考答案
43
2019 秋高一数学筑梦班预习手册
16 A
【解析】解：画出函数y = 2x 与函数y = −x+5 的图象如图，
由图可知，函数y = 2x 与函数y = −x+5 的图象有1 个交点，
则函数f (x) = 2x +x−5 的零点有1 个，
故选：A．
17 D
【解析】解：∵f (−x) = −f (x) 是奇函数，
所以排除A，B，
当x = 1 时，f (x) = 0 排除C，
故选：D．
