目录
第4 讲 不等式的概念
及其性质
第2 讲 平面向量基本定
理及坐标表示
第6 讲 不等式拓展
参考答案
第1 讲 平面向量的基本
概念与线性运算
第5 讲 不等式求解方法
第3 讲 平面向量的数量
积及其应用
第7 讲 数列的概念与
表示法
13
04
20
28
01
16
08
24
高一数学目标自招综评班练习册
1
第1 讲
平面向量的基本概念与线性运算
第1 讲
平面向量的基本概念与线性运算
检测题
1 下列结论中，正确的是
．
①零向量只有大小没有方向
②对任一向量−→a ，|−→a | > 0 总是成立的
③
−→
AB
=
−→
BA
④
−→
AB
与线段BA 的长度不相等
2 判断下列说法的正误：
（1）−→a = −→b 且−→b = −→c ，则−→a = −→c ．
（2）若−→a //−→b 且−→b //−→c ，则−→a //−→c ．
（3）若|−→a | >
−→b
，则−→a > −→b ．
（4）若空间向量−→a ，−→b ，满足|−→a | =
−→b
，则−→a = −→b ．
（5）与非零向量−→a 平行的单位向量只有一个．
（6）两平行非零向量所在直线平行．
（7）在平行四边形ABCD 中，−→
AB = −→
DC．
（8）−→
AB 与−→
CD 是共线向量，则A、B、C、D 四点共线．
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2
第1 讲
平面向量的基本概念与线性运算
3 根据图示填空：
−→a +−→b =
，−→e +−→d +−→b =
．
4 在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O，−→
AB+−→
AD = λ−→
AO，则λ =( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 6
5 已知向量−→a ，−→b ，−→c 中任意两个都不共线，且−→a +−→b 与−→c 共线，−→b +−→c 与−→a 共线，则向量
−→a +−→b +−→c =
．
6 若P 为△ABC 所在平面内的一点，满足−→
PA+−→
PB+−→
PC = −→
AB，则点P 的位置为( )
A. P 在△ABC 的内部
B. P 在△ABC 的外部
C. P 在AB 边所在的直线上
D. P 在AC 边所在的直线上
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3
第1 讲
平面向量的基本概念与线性运算
7 如图所示，已知△ABC 的两边AB、AC 的中点分别为M、N、在BN 的延长线上取点P，使NP = BN．
在CM 的延长线上取点Q，使MQ = CM．求证：P、A、Q 三点共线．
8 P 为△ABC 内部一点，且满足|PB| = 2|PA| = 2，∠APB = 5π
6 ，且2−→
PA+3−→
PB+4−→
PC =⃗0，则△ABC 的
面积为( )
A. 9
8
B. 4
3
C. 1
D. 6
5
9 已知两个非零向量−→a ，−→b 不共线，−→
OA = −→a +−→b ，−→
OB = −→a +2−→b ，−→
OC = −→a +3−→b ．
（1）证明A，B，C 三点共线．
（2）试确定实数k，使k−→a +−→b 与−→a +k−→b 共线．
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4
第2 讲
平面向量基本定理及坐标表示
第2 讲
平面向量基本定理及坐标表示
检测题
1 如果−→e 1，−→e 2 是平面α 内所有向量的一组基底，那么下列命题正确的是( )
A. 若实数λ1，λ2 使λ1−→e 1 +λ2−→e 2 = −→0 ，则λ1 = λ2 = 0
B. 空间内任一向量−→a 都可以表示为−→a = λ1−→e 1 +λ2−→e 2，这里λ1，λ2 是实数
C. 对实数λ1，λ2，λ1−→e 1 +λ2−→e 2 不一定在平面α 内
D. 对于平面α 内任一向量−→a ，使−→a = λ1−→e 1 +λ2−→e 2 的实数λ1，λ2 有无数组
2 在△ABC 中，点G 满足−→
GA+−→
GB+−→
GC = 0．若存在点O，使得−→
OG = 1
6
−→
BC，且−→
OA = m−→
OB+n−→
OC，则
m−n =( )
A. 2
B. −2
C. 1
D. −1
3 如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E，使得DE = CD. 若动点P 从点A 出发，沿正方形的边
按逆时针方向运动一周回到A 点，其中−→
AP = λ−→
AB+ µ−→
AE，下列判断不正确的是( )
A. 当P 在D 点时，λ + µ = 2
B. 满足λ + µ = 1 的点P 有且只有一个
C. 满足λ + µ = a(a > 0) 的点P 最多有2 个
D. λ + µ 的最大值为3
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5
第2 讲
平面向量基本定理及坐标表示
4 在△ABC 中，点P 满足−→
BP = 2−→
PC，过点P 的直线与AB，AC 所在直线分别交于点M，N，若−→
AM = m−→
AB，
−→
AN = n−→
AC(m > 0,n > 0)，则m+2n 的最小值为( )
A. 3
B. 4
C. 8
3
D. 10
3
5 已知O、A、B、C 是平面内四点，−→
OC = sin2α−→
OA+cos2α−→
OB，α 是锐角．
（1）证明：C 在线段AB 上．
（2）若α = 45◦，
−→
OA
=
−→
OB
= 1，且
−→
OA−−→
OB
=
√
2，求
−→
OC
．
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6
第2 讲
平面向量基本定理及坐标表示
6 已知平行四边形ABCD，其中A(1,1)，B(3,0)，C(5,2)．求D 点坐标．
7 已知点A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)，−→
AP = −→
AB+λ−→
AC(λ ∈R)，当点P 在第一、三象限角平分线上时，
λ =
．
8 已知向量⃗a = (−3,4)，则下列能使⃗a = λ−→
e1 + µ−→
e2 (λ,µ ∈R) 成立的一组向量−→
e1,−→
e2 是( )
A. −→
e1 = (0,0),−→
e2 = (−1,2)
B. −→
e1 = (−1,3),−→
e2 = (2,−6)
C. −→
e1 = (−1,2),−→
e2 = (3,−1)
D. −→
e1 =
(
−1
2,1
)
,−→
e2 = (1,−2)
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7
第2 讲
平面向量基本定理及坐标表示
9 若向量−→a = (1,2)，−→b = (x,4) 能构成平面上的一组基底，则实数x 的取值范围是
．
10 若三点P(1,1),A(2,−4),B(x,−9) 共线，则x =
．
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8
第3 讲
平面向量的数量积及其应用
第3 讲
平面向量的数量积及其应用
检测题
1 （1）已知向量−→a 与−→b 的夹角为60◦,|−→a | = 2,
−→b
= 5，则2−→a −−→b 在−→a 方向上的投影为( )
A. 3
2
B. 2
C. 5
2
D. 3
（2）已知平面向量−→a ，−→b 满足|−→a | = 3，
−→b
= 2
√
3，且−→a +−→b 与−→a 垂直，则−→a 与−→b 的夹角为
( )
A. π
6
B. π
3
C. 2π
3
D. 5π
6
2 （1）已知−→
e1，−→
e2 是夹角为π
3 的两个单位向量，−→a = −→
e1 −−→
e2，−→b = −→
e1 +−→
e2，则
2−→a +−→b
=
．
（2）已知−→
e1,−→
e2 是互相垂直的单位向量，若
√
3−→
e1 −−→
e2 与−→
e1 +λ−→
e2 的夹角为60◦，则实数λ 的值是
．
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9
第3 讲
平面向量的数量积及其应用
3 已知两个非零向量−→a ,−→b ，且满足|−→a +−→b | = |−→a −−→b |，则下面结论正确的是( )
A. −→a //−→b
B. −→a ⊥−→b
C. |−→a | = |−→b |
D. −→a +−→b = −→a −−→b
4 设−→a ，−→b 为非零向量，
−→b
= 2|−→a |，两组向量−→
x1，−→
x2，−→
x3，−→
x4 和−→
y1，−→
y2，−→
y3，−→
y4 均有2 个−→a 和2 个−→b
排列而成，若−→
x1 ·−→
y1 +−→
x2 ·−→
y2 +−→
x3 ·−→
y3 +−→
x4 ·−→
y4 所有可能取值中的最小值为4|−→a |
2，则−→a 与−→b 的夹角
为( )
A. 2π
3
B. π
3
C. π
6
D. 0
5 （1）已知向量−→a =(1,2)，−→b =(2,−2)，−→c =(1,λ)．若−→c //
(
2−→a +−→b
)
，则λ =
．
（2）若向量⃗a = (1,1)，⃗b = (2,5)，⃗c = (3,x) 满足条件
(
8⃗a−⃗b
)
·⃗c=30，则x =( )
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
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10
第3 讲
平面向量的数量积及其应用
6 已知向量−→a ，−→b 满足|−→a | = 1，|−→b | = 2，则
−→a +−→b
+
−→a −−→b
的最小值是
，最大值是
．
7 已知向量−→a = (2,1)，−→b = (3,m)，若
2−→a +−→b
=
2−→a −−→b
，则向量−→a 与−→a +−→b 夹角的余弦值为
．
8 已知|⃗a| = 2
⃗b
̸ = 0，且关于x 的方程x2 +|⃗a|x+⃗a·⃗b = 0 有实根，则⃗a 与⃗b 的夹角的取值范围是( )
A.
[
0, π
6
]
B.
[π
3 ,π
]
C.
[π
3 , 2π
3
]
D.
[π
6 ,π
]
9 已知向量−→a ，−→b ，|−→a | = 1，
−→b
= 2．若对任意单位向量−→e ，均有|−→a ·−→e |+
−→b ·−→e
⩽
√
7，则−→a ·−→b
的最大值是
．
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11
第3 讲
平面向量的数量积及其应用
10 在等腰直角△ABC 中，AB = AC = 3，点D 在边BC 上，且BD = 1
2DC，点P 是线段AD 上的任意一
点，则−→
AP·−→
CP 的取值范围是（ ）
A.
[
−9
20,2
]
B.
[
−9
16,0
]
C.
[ 9
16,2
]
D.
[
0, 9
20
]
11 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E，F 是AD 上的两个三等分点，−→
BA·−→
CA = 4，−→
BF ·−→
CF = −1，则
−→
BE ·−→
CE 的值是
．
12 平面直角坐标系xOy 中，已知向量−→
AB = (6,1)，−→
BC = (x,y)，−→
CD = (−2,−3)，且−→
AD//−→
BC．
（1）求x 与y 之间的关系式．
（2）若−→
AC⊥−→
BD，求四边形ABCD 的面积．
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12
第3 讲
平面向量的数量积及其应用
13 已知a，b ∈R，且a+b+1 = 0，求(a−2)2 +(b−3)2 的最小值．
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13
第4 讲
不等式的概念及其性质
第4 讲
不等式的概念及其性质
检测题
1 已知−1 < a < 0，A = 1+a2，B = 1−a2，C =
1
1+a，比较A，B，C 的大小，结果为( )
A. A < B < C
B. B < C < A
C. A < C < B
D. B < A < C
2 若a1995 < a1994 < a1996，则一定有( )
A. a > 1
B. a < −1
C. −1 < a < 0
D. 0 < a < 1
3 已知a，b ∈R，且P = a+b
2
，Q =
√
a2 +b2
2
，则P，Q 的关系是( )
A. P ⩾Q
B. P > Q
C. P ⩽Q
D. P < Q
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14
第4 讲
不等式的概念及其性质
4 已知a，b ∈R，且a < b，则下列不等式一定成立的是( )
A. a2 −b2 < 0
B. 2a −2b < 0
C. 1
a −1
b > 0
D. cosa−cosb < 0
5 （1）设x > 0，y > 0，则下列不等式中不一定成立的是( )
A. x2 +y2 ⩾(x+y)2
2
B. 1
x + 1
y ⩾
1
√xy
C. y2
x + x2
y ⩾x+y
D. 1
x + 1
y ⩾2+
2
x+y
（2）在下列函数中，最小值是2 的是( )
A. y = x
2 + 2
x
B. y = x+2
√x+1(x > 0)
C. y = sinx+
1
sinx，x ∈
(
0, π
2
)
D. y = 7x +7−x
6 设x ⩾0 , y ⩾0，x2 + y2
2 = 1，则x
√
1+y2 的最大值为
．
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15
第4 讲
不等式的概念及其性质
7 （1）设a，b，c 是正实数，满足b+c ⩾a，则b
c +
c
a+b 的最小值为
．
（2）已知正实数a，b 满足a+b = 3，则
1
1+a +
4
4+b 的最小值为( )
A. 1
B. 7
8
C. 9
8
D. 2
（3）已知x、y ∈R+，且
1
2+x +
1
3+y = 1
3，则x+y 的最小值为
．
8 若a > 0，b > 0，则( )
A. b
a3 + a
b3 ⩾1
a + 1
b
B. b
a3 + a
b3 ⩾1
a2 + 1
b2
C. b
a3 + a
b3 ⩾a+b
D. b
a3 + a
b3 ⩾a2 +b2
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16
第5 讲
不等式求解方法
第5 讲
不等式求解方法
检测题
1 设0 < b < 1+a，若关于x 的不等式(x−b)2 > (ax)2 的解集中的整数解恰有3 个，则( )
A. −1 < a < 0
B. 0 < a < 1
C. 1 < a < 3
D. 3 < a < 6
2 已知不等式ax2 −3x+2 > 0 的解集为
{
x
x < 1或x > b
}
．
（1）求a、b 的值．
（2）解不等式ax2 −(a+b)x+b < 0．
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17
第5 讲
不等式求解方法
3 不等式x2 −2x+3 ⩽a2 −2a−1 在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是
．
4 已知函数f (x) =
√
a−ax+x2．
（1）若f (x) 的定义域为R，试求a 的取值范围．
（2）若f (x) 在x ∈[2,3] 上有意义，试求a 的取值范围．
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18
第5 讲
不等式求解方法
5 对任意xy ∈R，|x−1|+|x|+|y−1|+|y+1| 的最小值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6 已知f (x) = kx+2，不等式|f (x)| < 3 的解集为(−1,5)，不等式
x
f (x) ⩾1 的解集为A．
（1）求集合A．
（2）设g(x) = log2
(
ax2 −2x+2
)
的定义域为B，若B∩A̸ = ∅，求实数a 的取值范围．
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19
第5 讲
不等式求解方法
7 不等式log 1
2
(√x+1−x
)
< 2 的解集是( )
A.
[
−1, 5
4
)
B.
(
−1, 5
4
)
C.
(
1−
√
5
2
, 1+
√
5
2
)
D.
[
−1, 1+
√
5
2
)
8 （1）解不等式(x+1)(x−1)(x+3)(x+5) > 0．
（2）不等式x2 −3x+2
x2 −2x−3 < 0 的解集为( )
A. (−∞,−1)∪(2,+∞)
B. (−1,1)∪(2,3)
C. (2,3)
D. (−1,2)∪(2,3)
9 已知函数f (x) = (m+3)(x+m+1)(x+m)，g(x) = 2x −2，若对任意x ∈R，有f (x) > 0 或g(x) > 0
成立，则实数m 的取值范围是
．
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20
第6 讲
不等式拓展
第6 讲
不等式拓展
检测题
1 已知x ∈(0,1)，a，b 为给定的正实数，则a
x +
b
1−x 的最小值为( )
A.
(√a+
√
b
)2
B. 1
2
(√a+
√
b
)2
C. a+b
D. a+b
2
2 已知0 < a < 1，求证：22a+1 > 2a2．
3 求证：√a−√a−1 < √a−2−√a−3(a ⩾3)．
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21
第6 讲
不等式拓展
4 已知x2 +y2 = a，m2 +n2 = b，求证：mx+ny ⩽
√
ab．
5 已知p3 +q3 = 2，求证：p+q ⩽2．
6 若a > 1，求证：acos2x +a2sin2x > 2．
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22
第6 讲
不等式拓展
7 当x2 +y2 ⩽1 时，求证：log2
[(1
2
)x
+
(1
2
)y]
⩾1−
√
2
2 ．
8 对一切实数x，不等式3x2 +2x+2
x2 +x+1
> k 恒成立，则正整数k =
．
9 已知x，y ∈R+，且x+y = 5，若lgx+lgy ⩽k 恒成立，则k 的最小值是
．
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23
第6 讲
不等式拓展
10 已知f (x) 是定义在R 上的偶函数，x ⩽0 时，f (x) = log2 (−x+1)．
（1）求函数f (x) 在定义域R 上的解析式．
（2）若存在x ∈[0,2] 使得不等式f
(
x2 −2x+a
)
< 2 能成立，求实数a 的取值范围．
11 现有直径为d 的圆木，要把它锯成横断面为矩形的梁，从材料力学知道，横断面为矩形的梁的强度
Q = k ·b·h2(b 为横断面宽，h 为横断面高，k 为常数)，要使强度最大，则高与宽的比是
．
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24
第7 讲
数列的概念与表示法
第7 讲
数列的概念与表示法
检测题
1 已知数列{an} 的通项公式an =
(−1)n ·n
(n+2)(n+4)．
（1）写出它的第5 项．
（2）判断1
15 是不是该数列中的项，如果是写出它是第几项．
2 下列叙述中正确的是( )
A. 数列1，3，5，7 和数列3，1，5，7 是相同的数列
B. 数列1，3，5，7，9，··· 的第五项是确定的
C. 数列1，3，5，7 可表示{1,3,5,7}
D. 同一个数在数列中不可能重复出现
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25
第7 讲
数列的概念与表示法
3 已知数列{an},{bn} 满足a1 = 1
2,an +bn = 1,bn+1 =
bn
1−an2 ，则b2017 =（ ）
A. 2017
2018
B. 2018
2017
C. 2019
2018
D. 2018
2019
4 下面数列哪些是递增数列，递减数列，常数列，摆动数列？哪些是有穷数列，无穷数列？
①全体自然数组成数列：0,1,2,3,...；
②某校6 个班学生人数构成的数列：15,16,18,20,22,30；
③数列：5,−1,3,−2.6,−1.5,8；
④数列：5,5,5,5,5；
⑤数列：100,90,80,70,60,50,...．
5 以下几个数列中，哪个是递增的无穷数列？( )
A. 1,1,2,3,5,8,13,21,···
B. 1,2,3,1,2,3,1,2,3,···
C. 1
10, 1
9, 1
8, 1
7, 1
6, 1
5, 1
4, 1
3, 1
2,1
D. −1,−1
2,−1
3,−1
4,−1
5,···
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26
第7 讲
数列的概念与表示法
6 对于数列{an}，n ∈N∗，定义an =
[ n
10
]
+
[ n
102
]
+
[ n
103
]
+···+
[ n
10k
]
，其中k 是满足10k ⩽n 的最大
整数，[x] 表示不超过x 的最大整数，如[2.5] = 2，[3] = 3，则
（1）a2018 =
．
（2）满足am = 100 的最大整数m 为
．
7 已知数列{an} 中，a1 = 0，an+1 = an −
√
3
√
3an +1 (n ∈N∗)，则a2018 =( )
A. −
√
3
B. 0
C.
√
3
2
D.
√
3
8 求自然数a 的最大值，使得不等式
1
n+1 +
1
n+2 +···+
1
3n+1 > 2a−5 对一切正整数n 都成立．
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27
第7 讲
数列的概念与表示法
9 设x1 > 0，xn+1 = 3(1+xn)
3+xn
，n = 1,2,3,···，那么( )
A. 数列{xn} 是单调增数列
B. 数列{xn} 是单调减数列
C. 数列{xn} 或是单调增数列，或是单调减数列
D. 数列{xn} 既非单调增数列，也非单调减数列
10 设数列{an} 的通项公式为an = n2 +λn，且{an} 满足a1 < a2 < a3 < ··· < an < an+1 < ···，求实数λ
的取值范围．
高一数学目标自招综评班练习册
28
检测题参考答案
检测题参考答案
第1 讲
平面向量的基本概念与线性运算
1
③
【解析】解：①中，既有大小又有方向的量叫向量，
∴大小与方向是向量的两个要素，
∴①不正确；
②中，零向量的模为0，
∴②不正确；
③中，由于−→
AB 与−→
BA 方向相反大小相等，
∴③正确；
④中，
−→
AB
与线段BA 的长度相等，
∴④不正确．
故答案为：③．
2
见解析
【解析】解：(1) 正确．
(2) 当−→b 为零向量时，−→a 与−→c 可以是任意方向的向量，故错误．
(3) 向量不能比较大小，错误．
(4) 错误．
(5) 错误．
(6) 可能重合，错误．
(7) 正确．
(8) 错误．
3
−→c
−−→
m
【解析】根据向量加法的三角形法则，−→a + −→b = −→c ；根据向量加法的运算律，−→e + −→d + −→b = −→e +
−→b +−→d ，根据向量加法的多边形法则，−→e +−→b +−→d 表示的是−→
m 的相反向量，故−→e +−→b +−→d = −−→
m．
高一数学目标自招综评班练习册
29
检测题参考答案
4
B
【解析】根据向量加法的运算法则可知，−→
AB+−→
AD = −→
AC = 2−→
AO，故λ = 2．
5
−→0
【解析】解：∵−→a +−→b 与−→c 共线，−→b +−→c 与−→a 共线，
∴存在实数λ，µ 使得−→a +−→b = λ−→c ，−→b +−→c = µ−→a ．
∴−→b = λ−→c −−→a = µ−→a −−→c ．
∵向量−→a ，−→b ，−→c 中任意两个都不共线，
∴µ = −1，λ = −1．
∴向量−→a +−→b +−→c = −→0 ．
故答案为：−→0 ．
6
D
【解析】∵−→
PA+−→
PB+−→
PC = −→
AB，∴−→
PA+−→
PB+−→
PC = −→
PB−−→
PA，∴−→
PC = −2−→
PA = 2−→
AP，
∴P 是AC 边的一个三等分点．故选D．
7
见解析
【解析】设−→
AN = −→e 1，−→
AM = −→e 2，则−→
NP = −→
BN = −→
AN −−→
AB = −→
AN −2−→
AM = −→e 1 −2−→e 2，
−−→
MQ = −→
CM = −→
AM−−→
AC = −→
AM−2−→
AN = −→e 2−2−→e 1，所以−→
AP = −→
AN+−→
NP = −→e 1+−→e 1−2−→e 2 = 2−→e 1−2−→e 2，
−→
AQ = −→
AM +−−→
MQ = −→e 2 +−→e 2 −2−→e 1 = 2−→e 1 −2−→e 1．
则−→
AP = −−→
AQ．所以P、A、Q 三点共线．
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30
检测题参考答案
8
A
【解析】解：如图，
延长PA 到D，使PD = 2PA，延长PB 到F，使PE = 3PB，连接DE，取DE 中点F，并连接PF，设
交AB 于O，连接AF，则：
AF//PE，且AF = 1
2PE = 3
2PB；
∴AF
PB = 3
2 = FO
PO ；
∴FO = 3
2PO，∴PF = 5
2PO；
∵2−→
PA+3−→
PB = 2−→
PF；
∴2−→
PF +4−→
PC =⃗0；
∴PF = 2PC；
∴5
2PO = 2PC，即PC = 5
4PO；
∴CO = 9
4PO；
∴S△ABC = 9
4S△PAB；
∵S△PAB = 1
2 ·1·2·sin 5π
6 = 1
2；
∴S△ABC = 9
8．
故选：A．
9 （1）见解析
【解析】证明：∵−→
OA = −→a +−→b ，−→
OB = −→a +2−→b ，−→
OC = −→a +3−→b ，
∴−→
AB = −→
OB−−→
OA =
(−→a +2−→b
)
−
(−→a +−→b
)
= −→b ，
−→
BC = −→
OC −−→
OB =
(−→a +3−→b
)
−
(−→a +2−→b
)
= −→b = −→
AB，
∴A，B，C 三点共线．
（2）见解析
【解析】解：∵k−→a +−→b 与−→a +k−→b 共线，
∴存在实数λ，使得k−→a +−→b = λ
(−→a +k−→b
)
，
∴
k = λ
1 = λk
，
解得k = ±1．
高一数学目标自招综评班练习册
31
检测题参考答案
第2 讲
平面向量基本定理及坐标表示
1
A
【解析】因为平面内任意向量都能用基底−→e 1，−→e 2 唯一线性表示，所以λ1−→
e1 + λ2−→e 2 = −→0 =
0 · −→e 1 + 0 · −→e 2；∴λ1 = λ2 = 0；选项B 中应是“平面内任一向量”而非“空间内任一向量”；显然
C、D 项都不对．
2
D
【解析】解：−→
OA = −→
OG+−→
GA = −→
OG−−→
GB−−→
GC = −→
OG+−→
BG+−→
CG = 3−→
OG−−→
OB−−→
OC
= 3× 1
6
−→
BC −−→
OB−−→
OC
= 1
2
(−→
OC −−→
OB
)
−−→
OB−−→
OC
= −1
2
−→
OC −3
2
−→
OB．
∴m = −3
2，n = −1
2，∴m−n = −3
2 + 1
2 = −1．
故选：D．
3
B
【解析】解: 连接BE，过P 的运动路径上的点作BE 的平行线，平行线上的各点满足λ + µ 为定值．
A.P 在D 点处时，−→
AP = −→
AB+−→
BD = −→
AB+−→
AE ，λ + µ = 2 ；
B.λ + µ = 1 时，P 在直线BE 与运动路径的交点处，有B、AD 的中点两个位置；
C.BE 的平行线与运动路径最多有2 个交点；
D. 平行线过C 时，平行线与BE 在A 的同侧，且距离最远，故P 在C 处时，λ + µ 最大，此时
−→
AC = −→
AE +−→
EC = −→
AE +2−→
AB，λ + µ = 3．
故选B.
4
A
【解析】解：如图所示，
−→
BP = −→
BA+−→
AP，
−→
PC = −→
PA+−→
AC，
又−→
BP = 2−→
PC，
∴−−→
AB+−→
AP = 2
(−→
AC −−→
AP
)
，
高一数学目标自招综评班练习册
32
检测题参考答案
∴−→
AP = 1
3
−→
AB+ 2
3
−→
AC = 1
3m
−→
AM + 2
3n
−→
AN；
又P、M、N 三点共线，
∴1
3m + 2
3n = 1，
∴m+2n = (m+2n)·
( 1
3m + 2
3n
)
=
(1
3 + 4
3
)
+
( 2n
3m + 2m
3n
)
⩾5
3 + 2
3 ·2
√n
m · m
n = 3，
当且仅当m = n = 1 时取“=”，
∴m+2n 的最小值是3．
故选：A．
5 （1）见解析
【解析】证明：∵sin2α +cos2α = 1，−→
OC = sin2α−→
OA+cos2α−→
OB，
∴A、B、C 共线，且C 在线段AB 上．
（2）见解析
【解析】解：由题意，知C 是AB 的中点，
∵
−→
OA
=
−→
OB
= 1，且
−→
OA−−→
OB
=
√
2，
∴OA⊥OB，
∴
−→
OC
= 1
2
−→
BA
=
√
2
2 ．
6
见解析
【解析】解：由平行四边形的性质可得：−→
AD = −→
BC，可得−→
OD = −→
OA+−→
OC−−→
OB = (1,1)+(5,2)−(3,0) =
(3,3)．
∴D(3,3)．
高一数学目标自招综评班练习册
33
检测题参考答案
7
1
2
【解析】解：设P(x,y)．
∵A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)，
∴−→
AP = (x−2,y−3)，−→
AB = (3,1)，−→
AC = (5,7)，
∵−→
AP = −→
AB+λ−→
AC，
∴
x−2 = 3+5λ
y−3 = 1+7λ
，解得
x = 5λ +5
y = 7λ +4
，
∵点P 在第一、三象限角平分线上，∴y = x，
即5λ +5 = 7λ +4，解得λ = 1
2．
8
C
【解析】解：作为基底不共线即可，
−→
e1 = (0,0),−→
e2 = (−1,2) 共线，
−→
e1 = (−1,3),−→
e2 = (2,−6) 共线，
−→
e1 = (−1,2),−→
e2 = (3,−1) 不共线，
−→
e1 =
(
−1
2,1
)
,−→
e2 = (1,−2) 共线，
故选：C．
9
(−∞,2)∪(2,+∞)
【解析】解：∵向量−→a = (1,2)，−→b = (x,4) 能构成平面上的一组基底，
∴−→a 与−→b 不是平行向量，
∵−→a = (1,2)，−→b = (x,4)，
∴x
1̸ = 4
2，解得x̸ = 2，即实数x 的取值范围是(−∞,2)∪(2,+∞)．
10 3
【解析】解：三点P(1,1),A(2,−4),B(x,−9) 共线⇒−→
PA//−→
PB，
−→
PA = (1,−5),−→
PB = (x−1,−10)，
⇒1×(−10) = −5(x−1) ⇒x = 3
故答案为3．
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34
检测题参考答案
第3 讲
平面向量的数量积及其应用
1 （1）A
【解析】投影为
(
2−→a −−→b
)
·−→a
|−→a |
=
2|−→a |
2 −|−→a |
−→b
cos60◦
|−→a |
= 8−5
2
= 3
2．
（2）D
【解析】解：设−→a 与−→b 的夹角为θ，θ ∈[0,π]，∵|−→a | = 3，
−→b
= 2
√
3，且−→a +−→b 与−→a 垂直，
∴
(−→a +−→b
)
·−→a = −→a
2 +−→a ·−→b = 9+3×2
√
3×cosθ = 0，
求得cosθ = −
√
3
2 ，∴θ = 5π
6 ，
故选：D．
2 （1）
√
7
【解析】解：∵−→
e1，−→
e2 是夹角为π
3 的两个单位向量，
∴−→
e1 ·−→
e2 = 1
2，−→
e1
2 = −→
e2
2 = 1，
∵2−→a +−→b = 2(−→
e1 −−→
e2)+−→
e1 +−→
e2 = 3−→
e1 −−→
e2，
∴
(
2−→a +−→b
)2
= (3−→
e1 −−→
e2)
2 = 9−→
e1
2 −6−→
e1 ·−→
e2 +−→
e2
2 = 9−3+1 = 7，
∴
2−→a +−→b
=
√
7．
故答案为
√
7．
（2）
√
3
3
【解析】解：
【方法一】由题意，设−→
e1 = (1,0)，−→
e2 = (0,1)，
则
√
3−→
e1 −−→
e2 = (
√
3,−1)，
−→
e1 +λ−→
e2 = (1,λ)，
又两向量的夹角为60◦，
∴(
√
3−→
e1 −−→
e2)·(−→
e1 +λ−→
e2) =
√
3−λ = 2×
√
1+λ 2 ×cos60◦，
即
√
3−λ =
√
1+λ 2，
解得λ =
√
3
3 ．
【方法二】∵−→
e1,−→
e2 是互相垂直的单位向量，
∴|−→
e1| = |−→
e2| = 1，且−→
e1 ·−→
e2 = 0，
又
√
3−→
e1 −−→
e2 与−→
e1 +λ−→
e2 的夹角为60◦，
∴(
√
3−→
e1 −−→
e2)·(−→
e1 +λ−→
e2) = |
√
3−→
e1 −−→
e2|×|−→
e1 +λ−→
e2|×cos60◦，
即
√
3−→
e1
2 +(
√
3λ −1)−→
e1 ·−→
e2 −λ−→
e2
2 =
√
3−→
e1
2 −2
√
3−→
e1 ·−→
e2 +−→
e2
2 ×
√
−→
e1
2 +2λ−→
e1 ·−→
e2 +λ 2−→
e2
2 × 1
2，
高一数学目标自招综评班练习册
35
检测题参考答案
化简得
√
3−λ = √3+1×
√
1+λ 2 × 1
2，
即
√
3−λ =
√
1+λ 2，
解得λ =
√
3
3 ．
故答案为：
√
3
3 ．
3
B
【解析】通过对两边平方来求解．由|−→a +−→b | = |−→a −−→b |，两边平方并化简得−→a ·−→b = 0，又−→a ,−→b
都是非零向量，所以−→a ⊥−→b ．
4
B
【解析】解：记S = −→
x1 ·−→
y1 +−→
x2 ·−→
y2 +−→
x3 ·−→
y3 +−→
x4 ·−→
y4，则S 所有可能取值情况为：①两个|−→a |
2，此时
S = 2|−→a |
2 +2
−→b
2
，∵
−→b
= 2|−→a |，∴S = 6|−→a |
2 > 4|−→a |
2，∴此时S 不可能为最小值；②一个|−→a |
2，
此时S = |−→a |
2 +
−→b
2
+ 2−→a · −→b ，∵
−→b
= 2|−→a |，∴S = 5|−→a |
2 + 4|−→a |
2 cos⟨−→a ,−→b ⟩；③无|−→a |
2，此时
S = 4−→a ·−→b ，∵
−→b
= 2|−→a |，∴S = 8|−→a |
2 cos⟨−→a ,−→b ⟩．∵5|−→a |
2 +4|−→a |
2 cos⟨−→a ,−→b ⟩−8|−→a |
2 cos⟨−→a ,−→b ⟩=
5|−→a |
2 −4|−→a |
2 cos⟨−→a ,−→b ⟩= |−→a |
2 + 4|−→a |
2 (
1−cos⟨−→a ,−→b ⟩
)
⩾0，∴Smin = 8|−→a |
2 cos⟨−→a ,−→b ⟩= 4|−→a |
2，
∴cos⟨−→a ,−→b ⟩= 1
2，∵⟨−→a ,−→b ⟩∈[0,π]，∴⟨−→a ,−→b ⟩= π
3 ，即−→a 与−→b 的夹角为π
3 ．
故选：B．
5 （1）1
2
【解析】解：由−→a = (1,2)，−→b = (2,−2),
有：2−→a +−→b = (2+2,4−2) = (4,2)，而−→c = (1,λ)，−→c //
(
2−→a +−→b
)
，则1
λ = 4
2，解得λ = 1
2，
故答案为：1
2．
（2）C
【解析】解：∵向量⃗a = (1,1)，⃗b = (2,5)，
∴8⃗a−⃗b = (8,8)−(2,5) = (6,3)
∴
(
8⃗a−⃗b
)
·⃗c = 6×3+3x = 30
∴x = 4．
故选：C．
高一数学目标自招综评班练习册
36
检测题参考答案
6
4
2
√
5
【解析】解：法一 记待求表达式为M，不妨设−→a = (1,0)，−→b = (2cosα,2sinα)，α ∈R．则
M2 = 2
(
|−→a |
2 +
−→b
2)
+2
−→a +−→b
·
−→a −−→b
= 10+2
√[
(1+2cosα)2 +4sin2α
]
·
[
(1−2cosα)2 +4sin2α
]
= 10+2
√
25−16·cos2α
由于α ∈R，所以M 的取值范围为
[
4,2
√
5
]
，故M 的最小值是4，最大值为2
√
5．
法二 向量三角不等式 基本不等式 记待求表达式为M，由向量三角不等式可知
−→a +−→b
+
−→a −−→b
⩾
(−→a +−→b
)
−
(−→a −−→b
) = 2
−→b
= 4．
上述不等式当且仅当−→a +−→b 与−→a −−→b 方向相反，即−→b = ±2−→a 时等号成立，所以M 的最小值为
4．又M ⩽
√
2
( −→a +−→b
2
+
−→a −−→b
2)
= 2
√
5．
上述不等式当
−→a +−→b
=
−→a −−→b
，也即−→a ⊥−→b 时取等．综上可知M 的最小值为4，最大值为2
√
5．
7
√
10
10
【解析】∵
2−→a +−→b
=
2−→a −−→b
，∴−→a ·−→b = 0，得m = −6，故−→a +−→b = (5,−5)，
cos
⟨−→a ,−→a +−→b
⟩
=
−→a ·
(−→a +−→b
)
|−→a |
−→a +−→b
=
5
√
5·5
√
2
=
√
10
10 ．
8
B
【解析】解：∵关于x 的方程x2 +|⃗a|x+⃗a·⃗b = 0 有实根，
∴|⃗a|2 −4⃗a·⃗b ⩾0，
∴⃗a·⃗b ⩽|⃗a|2
4 ，
∴cos
⟨⃗
a,⃗b
⟩
=⃗a·⃗b
|⃗a|
⃗b
⩽
|⃗a|2
4|⃗a|
⃗b
= 1
2，
又0 ⩽
⟨⃗
a,⃗b
⟩
⩽π，
∴π
3 ⩽
⟨⃗
a,⃗b
⟩
⩽π．
故选：B．
高一数学目标自招综评班练习册
37
检测题参考答案
9
1
【解析】∵
(−→a +−→b
)
·−→e
=
−→a ·−→e +−→b ·−→e
⩽|−→a ·−→e | +
−→b ·−→e
⩽
√
7，且|−→e | = 1，∴
−→a +−→b
⩽
√
7，∴|−→a |
2+
−→b
2
+2−→a ·−→b ⩽7，∵|−→a | = 1，
−→b
= 2，∴5+2−→a ·−→b ⩽7，∴−→a ·−→b ⩽1，∴
(−→a ·−→b
)
max = 1．
10 A
【解析】若以−→
AB 方向为x 轴正方向，−→
AC 方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，则有A(0,0)，
B(3,0)，C(0,3)．因为点D 在边BC 上，且BD = 1
2DC，所以D(2,1)，设−→
AP = λ−→
AD = (2λ,λ)，则
P(2λ,λ)(0 ⩽λ ⩽1)，所以−→
CP = (2λ,λ −3)，所以−→
AP · −→
CP = 5λ 2 −3λ = 5
(
λ −3
10
)2
−9
20．所以
−→
AP·−→
CP ∈
[
−9
20,2
]
，故选A．
11 7
8
【解析】解：∵D 是BC 的中点，E，F 是AD 上的两个三等分点，
∴−→
BF = −→
BD+−→
DF,−→
CF = −−→
BD+−→
DF，
−→
BA = −→
BD+3−→
DF,−→
CA = −−→
BD+3−→
DF，
∴−→
BF ·−→
CF = −→
DF2 −−→
BD2 = −1，
−→
BA·−→
CA = 9−→
DF2 −−→
BD2 = 4，
∴−→
DF2 = 5
8,−→
BD2 = 13
8 ，
又∵−→
BE = −→
BD+2−→
DF,−→
CE = −−→
BD+2−→
DF，
∴−→
BE ·−→
CE = 4−→
DF2 −−→
BD2 = 7
8，
故答案为：7
8
12 （1）见解析
【解析】解：由题意得−→
AD = −→
AB+−→
BC +−→
CD = (x+4,y−2)，−→
BC = (x,y)，
因为−→
AD//−→
BC，
所以(x+4)y−(y−2)x = 0，即x+2y = 0．①
（2）见解析
【解析】解：由题意得−→
AC = −→
AB+−→
BC = (x+6,y+1)，−→
BD = −→
BC +−→
CD = (x−2,y−3)，
因为−→
AC⊥−→
BD，
所以(x+6)(x−2)+(y+1)(y−3) = 0，即x2 +y2 +4x−2y−15 = 0，②
高一数学目标自招综评班练习册
38
检测题参考答案
由①②得
x = 2
y = −1
或
x = −6
y = 3
．
当
x = 2
y = −1
时，−→
AC = (8,0)，−→
BD = (0,−4)，
则S四边形ABCD = 1
2
−→
AC
−→
BD
= 16．
当
x = −6
y = 3
时，−→
AC = (0,4),−→
BD = (−8,0)，
则S四边形ABCD = 1
2
−→
AC
−→
BD
= 16．
所以四边形ABCD 的面积为16．
13 18
【解析】解：令−→
m = (1,1)，−→n = (a−2,b−3)，则−→
m ·−→n = a−2+b−3 = −6，
由|−→
m|
2 ·|−→n |
2 ⩾|−→
m ·−→n |
2，得2
[
(a−2)2 +(b−3)2]
⩾36，
即(a−2)2 +(b−3)2 ⩾18，
当且仅当−→
m = λ−→n (λ > 0)，
即a−2 = b−3，a = −1，b = 0 时，等号成立．
第4 讲
不等式的概念及其性质
1
D
【解析】解：∵−1 < a < 0，
∴0 < 1+a < 1，
A−B =
(
1+a2)
−
(
1−a2)
= 2a2 > 0，得到A > B，
C −A =
1
1+a −1−a2 = −a
(
a2 +a+1
)
1+a
> 0，得到C > A，
∴B < A < C，
故选：D．
高一数学目标自招综评班练习册
39
检测题参考答案
2
B
【解析】a1995 < a1994，即a1994 (a−1) < 0，故a < 1． ①
a1994 < a1996，即a1994 (
1−a2)
< 0，故a < −1 或a > 1． ②
由①、②，知a < −1，选B．
3
C
【解析】因为a，b ∈R，且P = a+b
2
，Q =
√
a2 +b2
2
，
所以P2 = a2 +b2 +2ab
4
，Q2 = a2 +b2
2
，
则P2 −Q2 = a2 +b2 +2ab
4
−a2 +b2
2
= 2ab−a2 −b2
4
= −(a−b)2
4
⩽0 ，
当且仅当a = b 时取等成立，
所以P2 −Q2 ⩽0，即P2 ⩽Q2，所以P ⩽Q，
故选：C．
4
B
【解析】a，b ∈R，且a < b，
a2 −b2 = (a+b)(a−b)，若a < 0，b < 0，则a+b < 0，a−b < 0，a2 −b2 > 0，A 不一定成立；
函数y = 2x 在R 上递增，且a < b，
∴2a < 2b，即2a −2b < 0，B 正确；
若a < 0，b > 0，则1
a < 1
b，C 不一定成立；
若a = 0，b = 2π，则cos2π = cos0 = 1，D 不一定成立；
故选：B．
5 （1）D
【解析】∵x2 + y2 ⩾(x+y)2
2
⇔x2 + y2 ⩾2xy ⇔(x−y)2 ⩾0，故A 正确．∵
√y
√x +
√x
√y ⩾2 ⩾1，
∴1
x + 1
y ⩾
1
√xy，故B 正确．∵y2
x +x+ x2
y +y ⩾2x+2y，∴y2
x + x2
y ⩾x+y，故C 正确．当x = y = 1
时，1
x + 1
y = 2 < 2+
2
x+y = 3，故D 错误．
高一数学目标自招综评班练习册
40
检测题参考答案
（2）D
【解析】解：选项A，x 正负不定，不能满足最小值是2，故错误；
选项B，y = x+2
√x+1 = x+1+1
√x+1 = √x+1+
1
√x+1 ⩾2，
当且仅当√x+1 =
1
√x+1，
即x = 0 时取等号，但x > 0，
故错误；
选项C，∵x ∈
(
0, π
2
)
，
∴sinx ∈(0,1)，
∴y = sinx+
1
sinx ⩾2，
当且仅当sinx =
1
sinx，
即sinx = 1 时取等号，
但sinx ∈(0,1)，取不到1，
故错误；
选项D，y = 7x +7−x = 7x + 1
7x ⩾2，
当且仅当7x = 1
7x 即x = 0 时取等号，
故正确．
故选：D．
6
3
√
2
4
【解析】x
√
1+y2 = x
√
1+2−2x2 =
√
2
√
x2
(3
2 −x2
)
⩽
√
2·
x2 + 3
2 −x2
2
= 3
√
2
4 ，当且仅当x =
√
3
2
取到最大值．
7 （1）
√
2−1
2
【解析】解：∵a，b，c 是正实数，满足b+c ⩾a
∴b
c +
c
a+b
⩾b
c +
c
2b+c
= b
c +
1
2b
c +1
高一数学目标自招综评班练习册
41
检测题参考答案
= 1
2
(2b
c +1
)
+
1
2b
c +1
−1
2
⩾
√
2−1
2(当且仅当b+c = a 且b
c =
√
2−1
2
时取等号)
故答案为：
√
2−1
2．
（2）C
【解析】解：∵a+b = 3，
∴
1
1+a +
4
4+b =
a
3 + b
3
1+a +
4a
3 + 4b
3
4+b
=
a
3 + b
3
4a
3 + b
3
+
4a
3 + 4b
3
4a
3 + 7b
3
=
1
8
(4a
3 + b
3
)
+ 1
8
(4a
3 + 7b
3
)
4a
3 + b
3
+
1
2
(4a
3 + b
3
)
+ 1
2
(4a
3 + 7b
3
)
4a
3 + 7b
3
= 1
8 + 1
2 +
1
8
(4a
3 + 7b
3
)
4a
3 + b
3
+
1
2
(4a
3 + b
3
)
4a
3 + 7b
3
⩾5
8 +2
√
1
8 × 1
2 = 5
8 + 1
2 = 9
8．
当且仅当
(4a
3 + 7b
3
)
= 2
(4a
3 + b
3
)
，即a = 5
3，b = 4
3 时等号成立．
故选：C．
（3）7
【解析】∵x、y ∈R+，且
1
2+x +
1
3+y = 1
3，∴x+y = (2+x+3+y)−5 = 3(2+x+3+y)
(
1
2+x +
1
3+y
)
−
5 = 6+3
(3+y
2+x + 2+x
3+y
)
−5 ⩾6+1 = 7，当且仅当3+y
2+x = 2+x
3+y，当且仅当
x = 4
y = 3
时，等号成
立，∴(x+y)min = 7．
8
B
【解析】
b
a3 + a
b3 + a
b3 + a
b3
4
⩾
4
√
b
a3 ·
( a
b3
)3
= 1
b2 ．
同理，
a
b3 + b
a3 + b
a3 + b
a3
4
⩾1
a2 ．
相加即可知，选B．
高一数学目标自招综评班练习册
42
检测题参考答案
第5 讲
不等式求解方法
1
C
【解析】解：关于x 的不等式(x−b)2 > (ax)2 即
(
a2 −1
)
x2 +2bx−b2 < 0，∵0 < b < 1+a，
[(a+1)x−b]·[(a−1)x+b] < 0 的解集中的整数恰有3 个，∴a > 1，
∴不等式的解集为
−b
a−1 < x <
b
a+1 < 1，所以解集里的整数是−2，−1，0 三个．
∴−3 ⩽−
b
a−1 < −2，
∴2 <
b
a−1 ⩽3，2a−2 < b ⩽3a−3，
∵b < 1+a，
∴2a−2 < 1+a，
∴a < 3，
综上，1 < a < 3，
故选：C．
2 （1）见解析
【解析】解：不等式ax2 −3x+2 > 0 的解集为{x|x < 1或x > b}．
方程ax2 −3x+2 = 0 的实数根是1 和b，
由根与系数的关系知，
1+b = 3
a
1×b = 2
a
，
解得a = 1，b = 2；
（2）见解析
【解析】解：不等式ax2 −(a+b)x+b < 0 化为x2 −3x+2 < 0，
解得1 < x < 2；
∴不等式的解集为{x|1 < x < 2}．
3
{a|−1 < a < 3}
【解析】解：由x2 −2x + 3 ⩽a2 −2a −1 移项得：x2 −2x + 3 −a2 + 2a + 1 ⩽0，因为不等式的解集
为∅，所以∆= 4−4(3−a2 +2a+1) < 0，即a2 −2a−3 < 0，分解因式得：(a−3)(a+1) < 0，解得：
−1 < a < 3，则实数a 的取值范围是：{a|−1 < a < 3}．故答案为：{a|−1 < a < 3}
高一数学目标自招综评班练习册
43
检测题参考答案
4 （1）见解析
【解析】解：f (x) 的定义域为R，相当于任意实数x，
使a−ax+x2 ⩾0 恒成立，即∆⩽0 成立，解得0 ⩽a ⩽4；
（2）见解析
【解析】解：f (x) 在区间[2,3] 上有意义，
等价于λ (x) = a−ax+x2 ⩾0 在[2,3] 上恒成立，
则
a
2 ⩽2
λ (2) ⩾0
，解得：a ⩽4，或
2 < a
2 < 3
∆⩽0
，无解，或
a
2 ⩾3
λ (3) ⩾0
，无解；
总之，a ⩽4．
5
C
【解析】∵|x−1|+|x| ⩾|(x−1)−x| = 1，
|y−1|+|y+1| ⩾|(y−1)−(y+1)|=2，
∴|x−1|+|x|+|y−1|+|y+1| ⩾3．
当且仅当x ∈[0,1]，y ∈[−1,1] 时，|x−1|+|x|+|y−1|+|y+1|
取到最小值3．故选C．
6 （1）A = [1,2)
【解析】解：因为不等式|f (x)| < 3 的解集为(−1,5)，
所以|f (−1)| = 3 且|f (5)| = 3，
即|−k +2| = |5 k +2| = 3，
解得k = −1，f (x) = −x+2，
不等式
x
f (x) ⩾1 可写成x−1
x−2 ⩽0，
解得x ∈[1,2)，即A = [1,2)．
（2）(0,+∞)
【解析】解：∵函数g(x) = log2
(
ax2 −2x+2
)
的定义域为B，
且A∩B̸ = ∅，
∴问题等价转化为：
不等式ax2 −2x+2 > 0 在[1,2) 上有解，
分离参数得到，a > 2
(
−1
x2 + 1
x
)
，
高一数学目标自招综评班练习册
44
检测题参考答案
其中1
x ∈
(1
2,1
]
，
所以，a >
[
2
(
−1
x2 + 1
x
)]
min
，
由于−1
x2 + 1
x = −
(1
x −1
2
)2
+ 1
4 ∈
[
0, 1
4
)
，
所以，a > 0，
故实数a 的取值范围为：(0,+∞)．
7
A
【解析】原不等式等价于
x+1 ⩾0
√x+1−x > 1
4
，
解得−1 ⩽x < 5
4，选A．
8 （1）
{
x
x < −5或−3 < x < −1或x > 1
}
【解析】不等式左边是多项式，它的根是：−5，−3，−1，1．
以这些根为分界点，分出若干个区间，得到此多项式的值在各区间内的符号(如下表)．
由此得到函数y = (x+1)(x−1)(x+3)(x+5) 的值在各区间的符号图．
故原不等式的解集为
{x|x < −5或−3 < x < −1或x > 1}．
（2）B
【解析】x2 −3x+2
x2 −2x−3 < 0 等价于(x−1)(x−2)
(x+1)(x−3) < 0，等价于(x+1)(x−1)(x−2)(x−3) < 0，解得
x ∈(−1,1)∪(2,3)，故选B．
高一数学目标自招综评班练习册
45
检测题参考答案
9
(−3,−2)
【解析】解：由g(x) = 2x −2 > 0，得x > 1，故对x ⩽1 时，g(x) > 0 不成立，
从而对任意x ⩽1，f (x) = (m+3)(x+m+1)(x+m) > 0 恒成立，
则必满足
m+3 > 0
−m−1 > 1
−m > 1
，
解得−3 < m < −2．
则实数m 的取值范围是(−3,−2)．
故答案为：(−3,−2)
第6 讲
不等式拓展
1
A
【解析】当x = sin2θ
(
0 < θ < π
2
)
时，则
a
x +
b
1−x = acsc2θ +bsec2θ = a+b+acot2θ +btan2θ
⩾a+b+2
√
ab =
(√a+
√
b
)2
，
所以a
x +
b
1−x 的最小值为
(√a+
√
b
)2
，选A．
2
见解析
【解析】证明：因为22a+1
2a2
= 22a+1−a2 = 2−(a−1)2+2，
由0 < a < 1，得−(a−1)2 +2 > 0，
即2−(a−1)2+2 > 1．
因此22a+1 > 2a2．
3
见解析
【解析】证明：构造如图所示的直角三角形，
在Rt△ABC 中，
AB = √a，BD = √a−2，BC = 1，
则有AC = √a−1，CD = √a−3．
高一数学目标自招综评班练习册
46
检测题参考答案
在△ABD 中，AD+BD > AB，即
(√a−1−√a−3
)
+√a−2 > √a，
故√a−√a−1 < √a−2−√a−3(a ⩾3)．
4
见解析
【解析】证明：构造向量−→p = (x,y)，−→q = (m,n)，
根据平面向量的数量积，得−→p ·−→q = mx+ny，
又|−→p ||−→q | =
√
x2 +y2 ·
√
m2 +n2 =
√
ab，
根据平面向量数量积的性质−→p ·−→q ⩽|−→p ||−→q |，得
mx+ny ⩽
√
ab．
5
见解析
【解析】证明：设p+q = t，则有
(p+q)
(
p2 +q2 −pq
)
= 2，pq = 1
3t2 −2
3t ．
构造方程x2 −tx+ 1
3t2 −2
3t = 0，则p，q 为此方程的两实根，
所以∆x = t2 −4
(1
3t2 −2
3t
)
⩾0，即t ⩽2．
故p+q ⩽2．
6
见解析
【解析】证明：设a2sin2x = t，则有1 ⩽t ⩽a2，
acos2x +a2sin2x −2 = at−1 +t −2． ①
因为对于f (x) = x2 −2x+a(a > 1)，有
∆x = 4−4a < 0，
所以当a > 1 时，
高一数学目标自招综评班练习册
47
检测题参考答案
f (x) = x2 −2x+a > 0 对于任意实数x 恒成立．
又t2 −2t +a > 0
(
1 ⩽t ⩽a2)
，即
t +at−1 −2 > 0． ②
由①、②，得acos2x +a2sin2x −2 > 0，即
acos2x +a2sin2x > 2 对a > 1 恒成立．
7
见解析
【解析】证明：log2
[(1
2
)x
+
(1
2
)y]
⩾log22
−x+y
2
+1 = 1−x+y
2
，
当且仅当x = y 时等号成立．
−(x+y) 在条件x2 +y2 ⩽1 下取得最小值的点，恰是函数x +y 取得最大值的点，故可知函数的最
小值是1−
√
2
2 ．
8
1
【解析】不等式3x2 +2x+2
x2 +x+1
> k 可等价变形为
(3−k)x2 +(2−k)x+2−k > 0． (∗)
要使不等式(∗) 对一切x ∈R 成立，应有
3−k > 0
(2−k)2 −4(3−k)(2−k) < 0
，
解得k < 2．
由k 为正整数，得k = 1．
9
lg 25
4
【解析】解：lgx+lgy = lg(xy) ⩽lg
(x+y
2
)2
= lg 25
4 ，
故只需k ⩾lg 25
4 即可，所以k 的最小值是lg 25
4 ．
高一数学目标自招综评班练习册
48
检测题参考答案
10（1）见解析
【解析】解：根据题意，设x ⩾0，则−x ⩽0，
则f (−x) = log2 [−(−x)+1] = log2 (x+1)，
又由函数f (x) 为偶函数，则f (−x) = f (x)，
则f (x) = log2 (x+1)，
则f (x) =
log2 (x+1),x > 0
log2 (−x+1),x ⩽0
．
（2）见解析
【解析】解：由(1) 知，f (3) = log2 (3+1) = log24，
又由函数f (x) 为偶函数，则f
(
x2 −2x+a
)
< 2 ⇒f
( x2 −2x+a
)
< f (3)，
x ⩾0 时，f (x) = log2 (x+1)，则f (x) 在[0,+∞) 上为增函数，
则f
( x2 −2x+a
)
< f (3) ⇒
x2 −2x+a
< 3 ⇒−3 < x2 −2x+a < 3，
若存在x ∈[0,2] 使得不等式f
(
x2 −2x+a
)
< 2 能成立，必有
(
−x2 +2x−3
)
min < a <
(
−x2 +2x+3
)
max，
解可得：−3 < a < 4；
故实数a 的取值范围为(−3,4)．
11
√
2
【解析】如图，设∠CAB = θ，则
b = d cosθ，h = d sinθ，
Q = kd3 ·cosθ ·sin2θ
= kd3
√
2
√
2cos2θ ·sin2θ ·sin2θ
⩽kd3
√
2
(2
3
)3
2 = 2
√
3
9 kd3．
当且仅当2cos2θ = sin2θ 时，Q 的值最大．此时，
tanθ =
√
2，即h : b =
√
2．
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49
检测题参考答案
第7 讲
数列的概念与表示法
1 （1）见解析
【解析】a5 = (−1)5 ×5
7×9
= −5
63．
（2）见解析
【解析】令an =
(−1)n ·n
(n+2)(n+4) = 1
15，解得n = 8，故1
15 是该数列中的第8 项．
2
B
【解析】根据数列的定义，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列，
故A 错误；
数列1，3，5，7，9，··· 的第五项是9，是确定的，故B 正确；
数列1，3，5，7 与由实数1，3，5，7 组成的集合{1,3,5,7} 是两个不同的概念，故C 错误；
同一个数在数列中可能重复出现，如2，2，2，··· 表示由实数2 构成的常数列，故D 错误．
故选：B．
3
A
【解析】∵数列{an},{bn} 满足a1 = 1
2,an +bn = 1,bn+1 =
bn
1−an2 ，∴b1 = 1−1
2 = 1
2，b2 =
1
2
1−(1
2)
2 =
2
3,a2 = 1−2
3 = 1
3，b3 =
2
3
1−(1
3)
2 = 3
4,a3 = 1−3
4 = 1
4，b4 =
3
4
1−(1
4)
2 = 4
5,a4 = 1−4
5 = 1
5，由此猜想
bn =
n
n+1，∴b2017 = 2017
2018．故选：A．
4
①递增数列，无穷数列②递增数列，有穷数列③摆动数列，有穷数列④常数列，有穷数列，递减
数列，无穷数列
【解析】略
高一数学目标自招综评班练习册
50
检测题参考答案
5
D
【解析】A．由观察得，由a1 = a2，所以不是递增数列，故A 错；
B. 由a3 > a4，可知，该数列不递增，故B 错；
C. 数列一共有10 项，所以是有穷数列，故C 错；
D. 观察得，该数列满足an = −1
n，满足递增，无穷两个条件，故D 正确．
6 （1）223
【解析】解：由10k ⩽2018，则k = 3，
得a2018 =
[ n
10
]
+
[ n
102
]
+···+
[ n
10k
]
=
[2018
10
]
+
[2018
100
]
+
[2018
1000
]
= [201.8]+[20.18]+[2.018] = 201+20+2 = 223．
（2）919
【解析】当m = 1000 时，k = 3，此时a1000 =
[ n
10
]
+
[ n
102
]
+···+
[ n
10k
]
= [100]+[10]+[1] = 111 >
100，
∴m < 1000，即k = 2，设三位数为m = a×100+b×10+c，
则am = 10a+b+a = 11a+b = 100，
则当a = 9 时，b = 1，此时m = 900+10+c = 910+c，
故当c = 9 时，m 取得最大值为910+9 = 919．故答案为：919．
7
A
【解析】解：数列{an} 中，a1 = 0，an+1 = an −
√
3
√
3an +1 (n ∈N∗)，
可得a2 = a1 −
√
3
√
3a1 +1 = −
√
3，
a3 = −
√
3−
√
3
−3+1
=
√
3，
a4 = 0，a5 = −
√
3，···，
可得数列{an} 为最小正周期为3 的数列，
则a2018 = a3×672+2 = a2 = −
√
3，
故选：A．
高一数学目标自招综评班练习册
51
检测题参考答案
8
见解析
【解析】解：记S(n) =
1
n+1 +
1
n+2 +···+
1
3n+1，则S(n) 是关于n 的函数，
当且仅当2a−5 < S(n)min 成立时，S(n) > 2a−5 对一切正整数n 都成立，
由于S(n+1)−S(n)
=
1
3n+2 +
1
3n+3 +
1
3n+4 −
1
n+1
=
1
3n+2 +
1
3n+4 −
2
3(n+1)
=
(
1
3n+2 −
1
3n+3
)
+
(
1
3n+4 −
1
3n+3
)
=
1
(3n+2)(3n+3) −
1
(3n+3)(3n+4)
=
2
(3n+2)(3n+3)(3n+4) > 0，故S(n) 单调递增，于是S(n)min = S(1) = 1
2 + 1
3 + 1
4 = 13
12，因此，当
且仅当S(1) > 2a−5 成立时，S(n) > 2a−5 对一切正整数n 都成立，解得a < 73
24，
故自然数a 的最大值为3．
9
D
【解析】解：xn+1 −xn = 3(1+xn)
3+xn
−xn = 3−x2
n
3+xn
，
令xn+1 −xn = 0，得xn =
√
3，
所以当x1 =
√
3 时，数列{xn} 是常数列，
所以数列{xn} 既不是单调增数列，也不是单调减数列．
10 (−3,+∞)
【解析】解法一：an = n2 +λn，其图象的对称轴为n = −λ
2 ，
显然，当−λ
2 ⩽1，即λ⩾−2 时，数列{an} 是单调递增数列.
高一数学目标自招综评班练习册
52
检测题参考答案
如图所示，当1 < −λ
2 < 3
2 时，数列{an} 也是单调递增的，
此时−3 < λ < −2，
故实数λ 的取值范围为[−2,+∞)∪(−3,−2)，即实数λ 的取值范围是(−3,+∞)．
解法二：直接根据定义来处理．
因为数列{an} 是单调递增数列，
所以an+1 −an > 0，又an = n2 +λn，
所以(n+1)2 +λ (n+1)−n2 −λn > 0，
所以2n+1+λ > 0，
λ > −(2n+1)，
又n ∈N∗，所以λ > −3，
即实数λ 的取值范围是(−3,+∞)．
1219092614249
