文档文本内容
圆周运动与传动模型
模块1
圆周运动的描述
4
模块2
传动装置
7
向心加速度与向心力
模块1
向心加速度
16
模块2
向心力
19
开普勒定律
模块1
生活中的圆周运动
28
模块2
开普勒定律
33
万有引力定律
模块1
万有引力推导
40
模块2
万有引力
43
模块3
万有引力与重力
45
目录
Contents
万有引力与航天
模块1
卫星的环绕
52
模块2
近地卫星与同步卫星
55
模块3
宇宙速度
57
功和功率
模块1
功
64
模块2
功率
68
动能定理
模块1
机车启动
76
模块2
动能、动能定理
79
第1 讲
圆周运动与传动
模型
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3
1
知识引航
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，上面挂在轮边缘的是供乘客乘搭的座舱。乘客坐在摩天轮慢慢
的往上转，可以从高处俯瞰四周景色。作为一种游乐场机动游戏，与云霄飞车、旋转木马合称是“乐园三宝”。但
摩天轮也经常单独存在于其他的场合，通常作为活动的观景台使用。
无辐式摩天轮是摩天轮的一种。传统的摩天轮都是中间有轴，绕轴转动，而无辐式摩天轮就是像一枚漂亮
的戒指，中间没有任何支撑。世界上最大的无辐式摩天轮是潍坊白浪河大桥核心景观“渤海之眼”摩天轮。无轴
的摩天轮本身并不转动，转动的是沿轨道旋转的游艺仓。
想一想，当摩天轮运行时，乘坐摩天轮的乘客是在做匀速运动吗？
高一物理·目标985 班（必修2+ 电场）·寒
4
1
1
模块
1
圆周运动的描述
知识凝炼
1
定义：圆周运动就是轨迹为圆的运动。
2
圆周运动的描述
(1) 线速度：圆周运动的快慢可以用物体通过的弧长与所用时间的比值来度量。
如图，物体沿圆弧由M 向N 运动，某时刻t 经过A 点。为了描述物体经过A 点附近时运动的快慢，可以
从此时刻开始取一段很短的时间∆t，通过的弧长为∆s。则A 点线速度为v = ∆s
∆t 。
当∆t →0 时，弧AB 与线段AB 几乎没有差别，此时的弧长∆s 就是物体的位移∆l。此时的线速度即为A
点的瞬时速度，其方向与半径OA 垂直，即速度方向与轨迹相切。
(2) 匀速圆周运动：物体做圆周运动，并且线速度的大小处处相等。
(3) 角速度：圆周运动的快慢还可以用它与圆心连线扫过角度的快慢来描述。
做圆周运动的物体，在很短的时间∆t 内转过的角为∆θ，则角速度为ω = ∆θ
∆t 。角速度的单位为“rad/s”(弧
度/秒)。
(4) 周期：做匀速圆周运动的物体，转过一周所用的时间。
周期用T 表示，单位是秒(s)。
(5) 转速：转速是指做匀速圆周运动的物体，单位时间内转过的圈数。
技术中常用转速来描述转动物体上质点做圆周运动的快慢。
转速用n 表示，单位是转/秒(r/s)，或转/分(r/min)。
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5
1
(6) 几个物理量之间的关系：
如图，设圆周运动半径为r，由A 到B 的时间为∆t，AB 弧长为∆l，AB 弧对应的圆心角为∆θ。当∆θ 以弧
度为单位时，∆θ = ∆l
r 。由于∆l = v∆t，∆θ = ω∆t，所以有v = ωr。
精讲精练
达标检测1
★★
质点做匀速圆周运动，则（ ）
A. 在任何相等的时间里，质点的位移都相等
B. 在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
C. 在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
D. 在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
例1
★★
由“嫦娥奔月”到“万户飞天”，由“东方红”乐曲响彻寰宇到航天员杨利伟遨游太空，中华民族载人航天的
梦想已变成现实。
“神舟五号”飞船升空后，先运行在近地点高度200 千米、远地点高度350 千米的椭圆
轨道上，实施变轨后，进入343 千米的圆轨道。假设“神舟五号”实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了
n 周，起始时刻为t1，结束时刻为t2，运行速度为v，半径为r，则计算其运行周期可用（ ）
A. T = t2 −t1
n
B. T = t1 −t2
n
C. T = 2πr
v
D. T = 2πv
r
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6
1
例2
★★★
正确率：71%
甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3 : 1，线速度之比为2 : 3，那么下列说法中正确
的是（ ）
A. 它们的半径之比是2 : 9
B. 它们的半径之比是1 : 2
C. 它们的周期之比是2 : 3
D. 它们的周期之比是1 : 3
达标检测2
★★★
正确率：69%
机械手表中的分针与秒针可视为匀速运动，分针与秒针两次重合所经历的时间为（ ）
A. 1min
B. 59
60 min
C. 60
59 min
D. 61
60 min
例3
★★★★正确率：40%
如图所示，直径为d 的圆形纸筒以角速度ω 绕轴心O 匀速转动。一子弹沿直径射入圆筒，子弹在圆筒
上先后留下a、b 两个弹孔，且∠aOb = θ，则子弹的速度为（ ）
A. v =
dω
2nπ +θ (n = 0，1，2，3，···)
B. v =
dω
2nπ −θ (n = 0，1，2，3，···)
C. v =
dω
2nπ +π +θ (n = 0，1，2，3，···)
D. v =
dω
2nπ +π −θ (n = 0，1，2，3，···)
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7
1
2
模块
2
传动装置
知识凝炼
传动装置中各物理量之间的关系：
在分析传动装置的各物理量时，要抓住不等量和相等量的关系，表现为：
①同转动轴的各点角速度ω 相等，而线速度v = ωr 与半径r 成正比。
②当皮带不打滑时，与传动皮带连接的两轮边缘的各点线速度大小相等，而角速度ω = v
r 与半径r 成反
比。
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8
1
精讲精练
例4
★★★
正确率：73%
两个小球固定在一根长为1m 的杆的两端，杆绕O 点逆时针旋转，如图所示，当小球A 的速度为3m/s
时，小球B 的速度为12m/s。则小球B 到转轴O 的距离是（ ）
A. 0.2m
B. 0.3m
C. 0.6m
D. 0.8m
达标检测3
★★
如图所示，转动的跷跷板上A、B 两点线速度大小分别为vA 和vB，角速度大小分别为ωA 和ωB，则
（ ）
A. vA = vB，ωA = ωB
B. vA = vB，ωA̸ = ωB
C. vA̸ = vB，ωA = ωB
D. vA̸ = vB，ωA̸ = ωB
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9
1
例5
★★★
如图所示，A、B 两个齿轮的齿数分别是z1、z2，各自固定在过O1、O2 的轴上，其中过O1 的轴与电动机
相连接，此轴转速为n1，求：
（1）B 齿轮的转速n2；
（2）A、B 两齿轮的半径之比r1 : r2；
（3）在时间t 内，A、B 两齿轮转过的角度之比以及B 齿轮外缘上一点通过的路程。（B 齿轮半径R2 为
已知量）
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10
1
达标检测4
★★★★
图示为锥形齿轮的传动示意图，大齿轮带动小齿轮转动，大、小齿轮的角速度大小分别为ω1、ω2，两齿轮
边缘处的线速度大小分别为v1、v2，则（ ）
A. ω1 < ω2，v1 = v2
B. ω1 > ω2，v1 = v2
C. ω1 = ω2，v1 > v2
D. ω1 = ω2，v1 < v2
例6
★★★
一部机器由电动机带动，机器上的皮带轮的半径是电动机皮带轮半径的3 倍，皮带与两轮之间不发生滑
动，求电动机皮带轮与机器皮带轮的角速度之比ω1 : ω2 等于多少。
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11
1
春季你会遇见
如图所示为某一皮带传动装置，M 是主动轮，其半径为r1，M′ 半径也为r1，M′ 和N 在同一轴上，N
和N′ 的半径都为r2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑，则下列说法正
确的是（ ）
A. N′ 轮做的是逆时针转动
B. N′ 轮做的是顺时针转动
C. N′ 轮的转速为
(
r1
r2
)2
n
D. N′ 轮的转速为
(
r2
r1
)2
n
答案
BC
解析
解：根据皮带传动关系可以看出，N 轮和M 轮转动方向相反，N′ 轮和N 轮的转动方向相反，
因此N′ 轮的转动方向为顺时针，故A 错误，B 正确；
皮带与轮边缘接触处的线速度相等，所以2πnr1 = 2πn2r2，得N(或M′) 轮的转速为n2 = nr1
r2
，同理
2πn2r1 = 2n2′πr2，可得N′ 轮转速n2′ =
(
r1
r2
)2
n，故C 正确，D 错误。
所以BC 正确，AD 错误。
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12
1
随堂测试
测试1
正确率：71%
如图所示，两个半径不同的轮子依靠摩擦传动不打滑，则具有相同角速度的两点是（ ）
A. A 和B
B. C 和B
C. A 和D
D. A 和C
测试2
正确率：56%
如图所示，在风力发电机的叶片上有A、B、C 三点，其中A、C 在叶片的端点，B 在叶片的中点。当叶片
转动时，这三点（ ）
A. 线速度大小都相等
B. 线速度方向都相同
C. 角速度大小都相等
D. 周期都相等
测试3
正确率：80%
如图所示，当正方形薄板绕着过其中心O 并与板垂直的转轴转动时，板上A、B 两点的（ ）
A. 角速度之比ωA : ωB = 1 : 1
B. 角速度之比ωA : ωB = 1 :
√
2
C. 线速度之比vA : vB =
√
2 : 1
D. 线速度之比vA : vB = 1 : 1
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13
1
课堂总结
第2 讲
向心加速度与向
心力
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15
2
知识引航
用洗衣机给衣物脱水时，滚筒内的衣物因为受到滚筒内壁的压力（指向滚筒内）而随之高速旋转，而衣物
对水的附着力远不能提供高速转动的水所需的向心力，从而使水被“甩”了出去，达到脱水的效果。
想一想，使用洗衣机脱水功能时，如果衣物放置不均匀，为什么会出现“敲缸”现象？骑自行车转弯时，人为
什么要向转弯的一侧倾斜？
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16
2
1
模块
1
向心加速度
知识凝炼
向心加速度的大小
如图丁，当∆t 很小时，有∆v
v = ∆l
r ，所以a = ∆v
∆t = v∆l
r∆t = v2
r = ω2r。
精讲精练
达标检测1
★★
关于向心加速度，下列说法正确的是（ ）
A. 向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B. 向心加速度的方向保持不变
C. 物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D. 物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
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17
2
例1
★★
正确率：30%
关于向心加速度，下面说法正确的是（ ）
A. 向心加速度是描述线速度变化的物理量
B. 向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C. 向心加速度大小恒定，方向时刻改变
D. 物体做非匀速圆周运动时，向心加速度的大小也可用an = v2
r 来计算
例2
★★★
图为质点P、Q 做匀速圆周运动时向心加速度an 随半径r 变化的图像，其中表示质点P 的图像是双曲
线的一支，表示质点Q 的图像是过原点的一条直线，由图像可知（ ）
A. 质点P 的线速度大小不变
B. 质点P 的角速度大小不变
C. 质点Q 的角速度随半径变化
D. 质点Q 的线速度大小不变
达标检测2
★★★
A、B 两个质点分别做匀速圆周运动，在相等时间内通过的弧长之比为sA : sB = 4 : 3，转过的圆心角之比
θA : θB = 3 : 2，则下列说法中正确的是（ ）
A. 它们的线速度之比vA : vB = 4 : 3
B. 它们的角速度之比ωA : ωB = 2 : 3
C. 它们的周期之比TA : TB = 3 : 2
D. 它们的向心加速度之比aA : aB = 3 : 2
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18
2
例3
★★★
如图所示，质量为m 的小球用长度为l 的悬绳悬挂于O 点，在O 点正下方l
3 处有一颗光滑的钉子。把
悬绳拉直，与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，则小球从右向左摆的过程中，悬绳碰到钉子前后小
球的向心加速度大小之比为
。
例4
★★★
一部机器由电动机带动，机器上的皮带轮的半径是电动机皮带轮半径的3 倍，皮带与两轮之间不发生滑
动。已知机器皮带轮边缘上一点的向心加速度为0.1m/s2。
（1）电动机皮带轮与机器皮带轮的角速度之比ω1 : ω2 等于多少？
（2）机器皮带轮上A 点到转轴的距离为轮半径的一半，A 点的向心加速度是多少？
（3）电动机皮带轮边缘上的B 点的向心加速度是多少？
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19
2
2
模块
2
向心力
知识凝炼
1
向心力的大小
由牛顿第二定律，F = ma = mv2
r = mω2r。
向心力是做匀速圆周运动的物体所受的合力，是按效果命名的力。它的方向时刻在改变，因此向心力是变
力。
2
向心力的来源及分析
⑴向心力的来源；
①向心力是按力的作用效果命名的，它可以由某种性质的力来充当，如重力、弹力等；
②向心力可以是几个力的合力或某个力的分力。
⑵分析向心力的一般步骤
①首先确定圆周运动的轨道所在的平面；
②其次找出轨道圆心的位置；
③最后分析做圆周运动的物体所受的力，作出受力图，找出这些力指向圆心方向的合外力就是向心力。
精讲精练
达标检测3
★★
正确率：73%
关于向心力的说法中错误的是（ ）
A. 向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，向心力是一个恒力
B. 向心力是沿着半径指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果命名的
C. 向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是其中某个力的分力
D. 向心力只改变物体线速度的方向，不可能改变物体线速度的大小
高一物理·目标985 班（必修2+ 电场）·寒
20
2
达标检测4
★★★
正确率：89%
如图所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为r 处的P 点不动，关于小
强的受力，下列说法正确的是（ ）
A. 小强在P 点不动，因此不受摩擦力作用
B. 小强随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力充当向心力
C. 小强随圆盘做匀速圆周运动，盘对他的摩擦力充当向心力
D. 若使圆盘以较小的转速转动时，小强在P 点受到的摩擦力不变
例5
★★★
在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，且m1 = 2m2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好
能与杆保持无相对滑动，如图所示，此时两小球到转轴的距离r1 与r2 之比为（ ）
A. 1 : 2
B. 1 :
√
2
C. 2 : 1
D. 1 : 1
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21
2
例6
★★★★
如图所示是“用圆锥摆粗略验证向心力的表达式”的实验，细线下面悬挂一个钢球，细线上端固定。将画
着几个同心圆的白纸置于水平桌面上，使钢球静止时恰好位于圆心。现设法使钢球沿纸上的某个圆周
运动。实验步骤如下：
①用秒表记下钢球运动n 圈的时间t。
②通过纸上的圆测出钢球做匀速圆周运动的半径r，并用天平测出钢球的质量m。
（1）测出悬点到球心的竖直高度h，用上述测得的量分别表示钢球所需要向心力的表达式F1 =
，
钢球所受合力的表达式F2 =
。下面是一次实验得到的数据，代入上式计算结果F1 =
N，F2 =
N，图中细线与竖直方向的夹角θ 比较小，可认为tanθ ≈sinθ。(g = 9.80m/s2，
π2 ≈9.86，计算结果保留三位小数)
（2）在误差允许的范围内，可认为F1
F2(填“=”
“>”或“<”)，证明向心力的表达式正确。
例7
★★★★
如图所示，在光滑的水平面上有两个质量相等的小球A 和B，两球用轻绳连接，再用同样长度的轻绳连
接A 球，C 为绳的自由端，设运动中水平拉直的AC 和AB 两段绳所受拉力分别为T1 和T2，下列说法正
确的是（ ）
A. 若用力水平向左拉着C 端使两球运动，则T1 = T2
B. 若用力水平向左拉着C 端使两球运动，则T1 = 2T2
C. 若以C 为圆心，使两球以相同角速度沿水平面做匀速圆周运动，则T1 = T2
D. 若以C 为圆心，使两球以相同角速度沿水平面做匀速圆周运动，则T1 = 1.5T2
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22
2
春季你会遇见
如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O 点，设法让两
个小球均在水平面上做匀速圆周运动。已知L1 跟竖直方向的夹角为60◦，L2 跟竖直方向的夹角为
30◦，下列说法正确的是（ ）
A. 细线L1 和细线L2 所受的拉力大小之比为3 : 1
B. 小球m1 和m2 的角速度大小之比为3 : 1
C. 小球m1 和m2 的向心力大小之比为3 : 1
D. 小球m1 和m2 的线速度大小之比为3
√
3 : 1
答案
C
解析
解：A、对任一小球研究，设细线与竖直方向的夹角为θ，竖直方向受力平衡，则T cosθ = mg，
解得T = mg
cosθ ，所以细线L1 和细线L2 所受的拉力大小之比T1
T2
= cos30◦
cos60◦=
√
3
1 ，故A 错误；
B、小球所受合力的大小为mgtanθ，根据牛顿第二定律得mgtanθ = mLsinθω2，得ω2 =
g
Lcosθ ，两
小球L 相等，所以角速度ω1
ω2
=
√
cos30◦
cos60◦=
4√
3
1 ，故B 错误；
C、小球所受合力提供向心力，则向心力F = mgtanθ，小球m1 和m2 的向心力大小之比：F1
F2
= tan60◦
tan30◦
= 3
1，故C 正确；
D、小球由合外力提供向心力，有F = mgtanθ = m
v2
Lsinθ ，则小球m1 和m2 的线速度大小之比为
v1
v2
=
√
tan60◦sin60◦
tan30◦sin30◦=
4√
27
1 ，故D 错误。
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23
2
随堂测试
测试1 下列关于向心加速度的说法中，正确的是（ ）
A. 向心加速度的方向始终与速度的方向垂直
B. 向心加速度的方向可能与速度方向不垂直
C. 向心加速度的方向保持不变
D. 向心加速度的方向与速度的方向平行
测试2
正确率：33%
在水平路面上安全转弯的汽车，提供向心力是（ ）
A. 重力和支持力的合力
B. 重力、支持力和牵引力的合力
C. 汽车与路面间的静摩擦力
D. 汽车与路面间的滑动摩擦力
测试3
正确率：59%
如图所示是用来说明向心力、质量、半径之间关系的仪器。球P 和Q 可以在光滑杆上无摩擦滑动，两
球之间用一条轻绳连接，已知mP = 2mQ，当整个装置以角速度ω 匀速转动时，两球离转轴的距离不变，
则此时（ ）
A. 两球受的向心力大小相等
B. P 球受的向心力比Q 球受的向心力大
C. rQ 一定是rP 的2 倍
D. 当ω 增大时，P 球将向外运动
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24
2
课堂总结
第3 讲
开普勒定律
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27
3
知识引航
火星是太阳系八大行星之一，是太阳系由内往外数的第四颗行星，属于类地行星，直径约为地球的53%，质
量为地球的11%。自转轴倾角、自转周期均与地球相近，公转一周约为地球公转时间的两倍。橘红色外表是地
表的赤铁矿(氧化铁)。
多数的时间，火星在地球上空的视相运动是一个方向，缓慢而稳定的在遥远的背景星前面移动。然而，大约
每两年的时间，地球就会在绕日的轨道上领先于火星，同时火星也在天空上倒着走，这个现象称做火星逆行。
想一想，火星真的是在逆行吗？
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3
1
模块
1
生活中的圆周运动
知识凝炼
生活中的圆周运动实例分析
1
火车转弯问题
火车转弯时实际是在做圆周运动，如果铁路弯道的内外轨是一样高的，那么火车转弯时外侧车轮的轮缘将
挤压外轨，外轨对轮缘的弹力提供火车转弯的向心力。但是火车的质量太大，靠这种方法得到向心力，轮缘与外
轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损。因此，修筑铁路时，通常根据弯道的半径和规定的行驶速度，适
当选择内外轨的高度差，使火车转弯时所需的向心力几乎完全由重力G 和地面支持力FN 的合力来提供，以减
小对铁轨的挤压(如图所示)。
分析：
F合= mgtanθ = mv2
规定
R
。
2
汽车过拱桥
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29
3
⑴汽车过桥时的运动也可以看作圆周运动。设汽车的质量为m，在拱形桥上以速度v 前进，桥面的圆弧半
径为R。则汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供汽车运动的向心力
汽车对桥的压力FN = G−mv2
R
⑵汽车通过凹形桥时最低点汽车对桥的压力，FN′ = G+mv2
R
精讲精练
达标检测1
★★★
正确率：67%
铁路转弯处的弯道半径r 是由地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h 的设计不仅
与r 有关，还与火车在弯道上的行驶速度v 有关。下列说法正确的是（ ）
A. 速率v 一定时，r 越小，要求h 越大
B. 速率v 一定时，r 越大，要求h 越大
C. 半径r 一定时，v 越小，要求h 越大
D. 半径r 一定时，v 越大，要求h 越大
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30
3
例1
★★★★★
铁路转弯处的弯道半径r 是根据地形决定的。弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h 的设计不
仅与r 有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率。下列表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r
与对应的轨道高度差h。
（1）根据表中数据，试导出h 和r 关系的表达式，并求出当r = 440m 时，h 的设计值。
（2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我
国铁路内外轨的间距设计值为L = 1435mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v(以km/h 为
单位，结果取整数。路轨倾角θ 很小时，tanθ ≈sinθ；g 取10m/s2)。
（3）为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速，这就要求火车转弯速率也需要提高。请根据上述计
算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施。
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31
3
例2
★★★
正确率：62%
如图所示，质量为m 的赛车在比赛中要通过一段凹凸起伏的路面，若圆弧半径都是R，汽车的速率恒为
v = √gR，则下列说法正确的是（ ）
A. 在凸起的圆弧路面的顶部，赛车对路面的压力为零
B. 在凹下的圆弧路面的底部，赛车对路面的压力为3mg
C. 在凸起的圆弧路面的顶部，赛车的向心力为0
D. 在凹下的圆弧路面的底部，赛车的向心力为mg
例3
★★★★正确率：74%
有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁做匀速圆周运动。图中
粗线圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h，下列说法中正确的是（ ）
A. h 越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B. h 越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
C. h 越高，摩托车做圆周运动的周期将越小
D. h 越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
达标检测2
★★★★正确率：52%
公园里的“飞天秋千”游戏开始前，座椅由钢丝绳竖直悬吊在半空。秋千匀速转动时，绳与竖直方向成某
一角度θ，其简化模型如图所示。若保持运动周期不变，要使夹角θ 变大，可将（ ）
A. 钢丝绳变长
B. 钢丝绳变短
C. 座椅质量增大
D. 座椅质量减小
高一物理·目标985 班（必修2+ 电场）·寒
32
3
例4
★★★
洗衣机的脱水筒采用带动衣物旋转的方式脱水，下列说法中错误的是（ ）
A. 脱水过程中，衣物是紧贴筒壁的
B. 加大脱水筒转动的角速度，脱水效果会更好
C. 水会从筒中甩出是因为水滴受到向心力很大的缘故
D. 靠近中心的衣物脱水效果不如四周的衣物脱水效果好
达标检测3
★★★★正确率：56%
有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（ ）
A. 如图a，汽车通过拱桥的最高点处于超重状态
B. 如图b 所示是一圆锥摆，增大θ，但保持圆锥的高不变，则圆锥摆的角速度不变
C. 如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B 位置先后分别做匀速圆周运动，则在A、B 两位置
小球的角速度及所受筒壁的支持力大小相等
D. 如图d，火车转弯超过规定速度行驶时，外轨对轮缘会有挤压作用
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33
3
2
模块
2
开普勒定律
知识凝炼
开普勒的行星运动规律
1
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。(轨道定律)
2
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。(面积定律)
3
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。即a3
T 2 = k 其中a 代表椭圆
轨道的半长轴，T 代表公转周期，k 是一个对所有行星都相同的常量。(周期定律)
高一物理·目标985 班（必修2+ 电场）·寒
34
3
精讲精练
达标检测4
★★★
下列说法中正确的是( )
A. 所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B. 行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的中心处
C. 离太阳越远的行星公转周期越长
D. 离太阳越远的行星自转周期越长
例5
★★★
正确率：87%
某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示，F1 和F2 是椭圆轨道的两个焦点，行星在A 点的速率比在B 点
的大，则太阳位于（ ）
A. F2
B. A
C. F1
D. B
例6
★★★
正确率：89%
理论和实践证明，开普勒定律不仅适用于太阳系中的天体运动，而且对一切天体(包括卫星绕行星的运
动) 都适用，关于开普勒第三定律的公式a3
T 2 = k，下列说法中正确的是（ ）
A. 公式只适用于轨道是椭圆的运动
B. 式中的k 值，对于所有的行星和卫星都是相等的
C. 式中的k 值，只与中心天体有关，与绕中心天体运动的行星(或卫星) 无关
D. 若已知月球到地球之间的距离，根据公式可求出地球与太阳之间的距离
达标检测5
★★★
将火星和地球绕太阳的运动近似看成是同一平面内的同方向绕行的匀速圆周运动，已知火星的轨道半
径r1 = 2.3×1011m，地球的轨道半径为r2 = 1.5×1011m，根据你所掌握的物理和天文知识，估算出火星
与地球相邻两次距离最小的时间间隔约为（ ）
A. 1 年
B. 2 年
C. 3 年
D. 4 年
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35
3
春季你会遇见
如图所示，小球m 可以在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的是（ ）
A. 小球通过最高点的最小速度为v = √gR
B. 小球通过最高点的最小速度可以为0
C. 小球在水平线ab 以下管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D. 小球在水平线ab 以上管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力
答案
B,C,D
解析
试题分析：在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0 时，
内管对小球产生弹力，大小为mg，故最小速度为0。故A 错误，B 正确;
小球在水平线ab 以下管道中运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，所以外侧管壁
对小球一定有作用力，内侧管壁没有力的作用。故C 正确；
小球在水平线ab 以上管道中运动时，当速度v > √gR 时，内侧管壁对小球没有作用力，此时外侧管
壁对小球有作用力。当速度v < √gR 时，内侧管壁对小球有作用力。故D 正确。
故选BCD。
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36
3
随堂测试
测试1 全国铁路大面积提速后，京哈、京沪、京广、胶济等提速干线的部分区段时速可达300km/h，我们从济南
到青岛乘“和谐号”列车就可以体验时速300km/h 的追风感觉。火车转弯可以看成是在水平面内做匀速
圆周运动，火车速度提高会使外轨受损。为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，以下措施可行的是
（ ）
A. 适当减小内、外轨的高度差
B. 适当增加内、外轨的高度差
C. 适当减小弯道半径
D. 适当增大弯道半径
测试2 地球绕太阳运行到图中A、B、C、D 四个位置时，分别为春分、夏至、秋分和冬至，以下说法错误的是
（ ）
A. 地球由夏至运行到秋分的过程中速率逐渐增大
B. 地球由春分运行到夏至的过程中加速度逐渐减小
C. 地球由春分运行到秋分的时间比由秋分运行到春分的时间长
D. 地球由春分运行到秋分的时间比由秋分运行到春分的时间短
测试3
正确率：78%
长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1 = 19600km，公转周期
T1 = 6.39 天。2006 年3 月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r2 =
48000km，则它的公转周期T2 最接近于（ ）
A. 15 天
B. 25 天
C. 35 天
D. 45 天
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37
3
课堂总结
第4 讲
万有引力定律
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39
4
知识引航
天宫二号，即天宫二号空间实验室，是继天宫一号后中国自主研发的第二个空间实验室，也是中国第一个
真正意义上的空间实验室。它搭载了空间冷原子钟等14 项应用载荷，以及失重心血管研究等航天医学实验设
备，配备在轨维修技术验证装置、机械臂操作终端在轨维修试验设备，开展空间科学及技术试(实) 验。
天宫二号将成为中国最忙碌的空间实验室，各类计划的实验项目达到了史无前例的14 项，涉及微重力基
础物理、空间材料科学、空间生命科学等多个领域，其中两项有驻留30 天的航天员直接参与操作，一项为国际
合作。这些项目中，大多是当前世界最前沿的探索领域。
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40
4
1
模块
1
万有引力推导
知识凝炼
1
科学家对行星运动原因的猜想
⑴开普勒：行星的运动是由于太阳磁力吸引的缘故，磁力与距离成反比；
⑵伽利略：行星的运动与地面物体的运动遵从不同的规律，行星运动是由“惯性”自行维持的；
⑶笛卡尔：宇宙由不停旋转着的微粒所组成，微粒的运动形成漩涡。太阳和行星在各自的漩涡中心。行星
漩涡带动卫星运动，太阳的漩涡带动行星和卫星一起运动；
⑷胡克：行星的运动是太阳引力的缘故，并且力的大小与到太阳距离的平方成反比，重力是由地球引力产
生的；
⑸牛顿：以任何方式改变速度(包括方向) 都需要力，因此，使行星沿圆或椭圆运动，需要指向圆心或椭圆
焦点的力，这个力应该是太阳对它的引力。
2
太阳与行星间的引力
我们把行星的轨道当做圆来处理，简要回顾牛顿对天体的思考过程。
⑴太阳对行星的引力
①牛顿在前人对惯性研究的基础上，开始思考“物体怎样才会不沿直线运动”这一问题。他的答案是：以任
何方式改变速度(包括改变速度的方向) 都需要力。所以行星做圆周运动，必定是受到了太阳的引力。
②设行星质量是m，速度是v，行星到太阳的距离是r，则行星受到太阳的引力F = mv2
r
③天文观测难以观测行星运行的速度，但可观测其公转周期T。将v = 2π r
T
代入，将会
F = 4π 2mr
T 2
④将开普勒第三定律r3
T 2 = k 代入，有
F = 4π 2k m
r2
其中k 与行星无关。
⑵行星对太阳的引力
①根据相互性，行星对太阳的引力应该有
F′ = 4π 2k′ M
r2
其中k′ 与太阳无关。M 是太阳的质量。
②根据牛顿第三定律，有F = F′。这就是说，太阳与行星之间的这个引力，既要与M 成正比，又要与m 成
正比，还要与r 的平方成反比。
F = GMm
r2
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41
4
G 与太阳、行星均无关，是一个常量。引力的方向沿着二者的连线。从纷繁的数据到开普勒行星运动定律，
再到一个公式，形式越来越简单，但意义却越来越深刻。
3
万有引力定律的月—地检验
①牛顿的思路：地球绕太阳运动是因为受到太阳的引力，人起跳后又能落回地球是因为人受到地球的引
力，这些力是否是同一性质的力？是否遵循相同的规律？由于当时条件有限，自然想到通过月球来验证。
②月—地检验：如果重力和星体间的引力是同一性质的力，由于引力与距离的二次方成反比的关系，那么
月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度就应该是地面重力加速度的
1
3600，因为月心到地心的距离是地球半
径的60 倍。
③牛顿根据月球的周期和轨道半径，计算出月球围绕地球做圆周运动的向心加速度
a = 4π 2r
T 2
= 2.74×10−3m/s2
④一个物体在地面上的重力加速度为g = 9.8m/s2，若把这个物体移到月球轨道的高度，根据开普勒第三
定律，得a =
1
602 g = 2.72×10−3m/s2。
⑤检测结果：月球围绕地做近似圆周运动的向心加速度接近地球地面重力加速度的1/3600，即地球对地
面物体的引力与天体间的引力，本质上是同一性质的力，遵循统一规律。
精讲精练
例1
★★
在探究太阳与行星间的引力的思考中，属于牛顿的猜想的是（ ）
A. 使行星沿圆轨道运动，需要一个指向圆心的向心力，这个力就是太阳对行星的吸引力
B. 行星运动的半径越大，其做圆周运动的运动周期越大
C. 行星运动的轨道是一个椭圆
D. 任何两个物体之间都存在太阳和行星之间存在的这种类型的引力
达标检测1
★★
在推导太阳对行星引力的表达式的过程中，没有用到的规律有（ ）
A. 开普勒三定律
B. 牛顿第一定律
C. 牛顿第二定律
D. 牛顿第三定律
高一物理·目标985 班（必修2+ 电场）·寒
42
4
例2
★★★★
牛顿利用行星围绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，借助开普勒三定律推导出两物体间的引力与它们
之间的质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。牛顿思考月球绕地球运行的原因时，苹果的
偶然落地引起了他的遐想：拉住月球使它围绕地球运动的力与拉着苹果下落的力，是否都与太阳吸引行
星的力性质相同，遵循着统一的规律——平方反比规律？因此，牛顿开始了著名的“月—地检验”。
（1）将月球绕地球运动看作匀速圆周运动。已知月球质量为m，月球半径为r，地球质量为M，地球半径
为R，地球和月球质心间的距离为L，月球绕地球做匀速圆周运动的线速度为v，求地球和月球之间
的相互作用力F。
（2）行星围绕太阳的运动看作匀速圆周运动，在牛顿的时代，月球与地球的距离r′、月球绕地球公转
的周期T ′ 等都能比较精确地测定，请你据此写出计算月球公转的向心加速度a 的表达式；已知
r′ ≈3.84 ×108m、T ′ ≈2.36 ×106s，地面附近的重力加速度g = 9.80m/s2，请你根据这些数据估算比
值a
g。
（3）已知月球与地球的距离约为地球半径的60 倍，如果牛顿的猜想正确，请你据此计算月球公转的向
心加速度a 和苹果下落的加速度g 的比值a
g，并与(2) 中的结果相比较，你能得出什么结论？
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43
4
达标检测2
★★★
(Ⅰ) 由天文观测数据可知，月球绕地球运行周期为27.32 天，月球与地球间相距3.87×108m，由此可计
算出加速度为0.0027m/s2；
(Ⅱ) 地球表面的重力加速度为9.8m/s2，月球的向心加速度与地球表面重力加速度之比为1 : 3630，而地
球半径
(
6.4×106m
)
和月球与地球间距离的比值为1 : 60，这个比值的平方1 : 3600 与上面的加速度比
值非常接近。
以上结果说明（ ）
A. 地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质的力
B. 地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力不是同一种性质的力
C. 地面物体所受地球的引力只与物体质量有关，即G = mg
D. 月球所受地球的引力除与月球质量有关外，还与地球质量有关
2
模块
2
万有引力
知识凝炼
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m1 和m2 的乘积成正比，与它们之间距离r
的二次方成反比，即
F = Gm1m2
r2
G 叫做引力常量，适用于任何两个物体，是自然界中少数几个最重要的物理量之一，它的大小最先由英国
物理学家卡文迪许通过几个铅球之间的万有引力测得，G = 6.67×10−11N·m2/kg2。
公式的适用条件
⑴当两个物体间的距离远远大于每个物体的尺寸时，物体可以看成质点，它们之间的引力可直接使用万
有引力定律公式计算。
⑵通过严格的理论分析得到，质量分布均匀的球体，它们之间的引力也可直接使用公式计算，这时r 是两
球心间的距离。
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44
4
精讲精练
例3
★★★
正确率：69%
对于万有引力定律的表达式F = Gm1m2
r2
，下列说法中正确的是（ ）
A. 只要m1 和m2 是球体，就可用上式求解万有引力
B. 当r 趋于零时，万有引力趋于无限大
C. 两物体间的引力总是大小相等的，而与m1、m2 是否相等无关
D. 两物体间的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
例4
★★★
下列关于万有引力定律的说法，正确的是（ ）
A. 万有引力定律是卡文迪许发现的
B. 万有引力定律适用于自然界中的任何两个物体之间
C. 万有引力定律公式F = GMm
r2
中的G 是一个比例常数，是没有单位的
D. 万有引力定律公式表明当r 等于零时，万有引力为无穷大
达标检测3
★★★
甲、乙两个质点间的万有引力大小为F，若甲质点的质量不变，乙质点的质量增大为原来的2 倍，同时它
们间的距离减为原来的1
2，则甲、乙两个质点间的万有引力大小将变为（ ）
A. F
2
B. F
C. 4F
D. 8F
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45
4
3
模块
3
万有引力与重力
知识凝炼
1
重力和万有引力
重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的；万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力的
合力。
如图所示，F引产生两个效果：一是提供物体随地球自转所需的向心力；二是产生物体的重力。由于F向=
mω2r，随纬度的增大而减小，所以物体的重力随纬度的增大而增大，即重力加速度从赤道到两极逐渐增大。但
F向一般很小，在一般情况下可认为重力和万有引力近似相等，即GMm
R2 = mg，得g = G M
R2 。
在赤道处，物体的F引分解的两个分力F向和mg 刚好在一条直线上，则有F引= F向+mg。
2
重力与纬度关系
①除在赤道和两极外，重力的方向并不指向地心。
②重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而增大。
在赤道上:GMm
R2 = mω2R+mg。
在两极：GMm
R2 = mg
在其他位置：重力的大小mg < GMm
R2 。
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46
4
精讲精练
达标检测4
★★
正确率：85%
关于重力和万有引力的关系，下列认识正确的是（ ）
A. 地面附近物体所受到重力就是万有引力
B. 重力是由于地面附近的物体受到地球吸引而产生的
C. 在不太精确的计算中，可以认为其重力等于万有引力
D. 严格说来重力并不等于万有引力，除两极处物体的重力等于万有引力外，在地球其他各处的重力都
略小于万有引力
例5
★★★
离地面高度等于地球半径的高处，重力加速度的大小是地球表面处的（ ）
A. 2 倍
B. 4 倍
C. 1
2
D. 1
4
例6
★★★★
万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。用弹簧秤称量一个相对于
地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球的质量为M，自转周期为
T，万有引力常量为G，将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极
地面称量时，弹簧秤的读数是F0。
（1）若在北极上空高出地面h 处称量，弹簧秤读数为F1，h = 1.0%R 时，比值F1
F0
=
。
（计算结果
保留两位有效数字）
（2）若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，则比值F2
F0
的表达式为（ ）
A. F2
F0
= 1−GMT 2
4π2R3
B. F2
F0
= 1−4π2R3
GMT 2
C. F2
F0
= 1+ 4π2R3
GMT 2
D. F2
F0
= 1+ GMT 2
4π2R3
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47
4
春季你会遇见
如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面启动后，以加速度g
2 向上做匀加速运动，升到某
一高度时，测试仪对平台的压力为启动前压力的17
18。已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高
度。
（g 为地面附近重力加速度）
答案
火箭此时离地面的高度H = R
2 。
解析
在地面附近的物体，所受重力近似等于物体所受到的万有引力。取测试仪为研究对象，其先
后受力如图甲、乙所示，根据物体的平衡条件有FN1 = mg1，g1 = g，所以FN1 = mg。根据牛顿第二定
律有FN2 −mg2 = mg
2，所以FN2 = mg
2 +mg2 = 17
18 ×mg，所以g2 = 4
9g。由于mg ≈GMm
R2 ，设火箭距
地面高度为H，所以mg2 = G·
Mm
(R+H)2 。所以4
9g =
gR2
(R+H)2 ，所以H = R
2 。
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48
4
随堂测试
测试1 均匀小球A、B 的质量分别为m、5m，球心相距为R，引力常量为G，则A 球受到B 球的万有引力大小
是（ ）
A. 5Gm2
R2
B. 5Gm2
R
C. Gm2
R2
D. Gm2
R
测试2
正确率：87%
发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道。发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，如图
所示。这样选址的优点是在赤道附近（ ）
A. 地球的引力较大
B. 地球自转线速度较大
C. 重力加速度较大
D. 地球自转角速度较大
测试3
正确率：83%
地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体
“飘”起来，则地球转动的角速度应为原来的多少倍（ ）
A. a
g
B.
√
g+a
a
C.
√
g−a
a
D.
√g
a
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49
4
课堂总结
第5 讲
万有引力与航天
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51
5
知识引航
牛顿大炮
牛顿曾研究过这样一个问题：他发现人掷出去的石头，非竖直向下抛出，总会偏离掷出方向落回地面，于是
牛顿提出了一个“大炮”的设想，他画的“大炮”草图——在地球的一座高山上架起一只水平大炮，以不同的速度
将炮弹平射出去，射出速度越大，炮弹落地点就离山脚越远。他推想：当射出速度足够大时，炮弹将会如何运动
呢？牛顿通过科学的推理得出了一个重要的结论。这就是著名的“牛顿大炮”的故事，故事中牛顿实际也用到了
理想实验的研究方法。
研究中牛顿基于的可靠事实是：人掷出去的石头，非竖直向下抛出，总会偏离掷出方向落回地面。根据以上
资料和牛顿的“大炮”草图，推测牛顿当年的重要结论是当抛出物体的速度足够大时，物体将离开地球，绕地球
旋转，做圆周运动。
如今牛顿当年的推测已变成了现实，人们应用他的推论，利用现代科技制成了用于发射卫星的火箭。
高一物理·目标985 班（必修2+ 电场）·寒
52
5
1
模块
1
卫星的环绕
知识凝炼
卫星的速度、加速度、周期和卫星轨道的关系：天体运动近似看成匀速圆周运动，其向心力都来源于万有引
力，即GMm
r2 = mv2
r = mω2r = m
(
2π
T
)2
r = ma。由此得出：
v =
√
GM
r ，即线速度v ∝
√
1
r ；
ω =
√
GM
r3 ，即角速度ω ∝
√
1
r3 ；
T =
√
4π 2r3
GM ，即周期T ∝
√
r3；
a = GM
r2 ，即向心加速度a ∝1
r2 。
精讲精练
例1
★★
质量为m 的人造地球卫星，在半径为r 的圆轨道上绕地球运行时，其线速度为v，角速度为ω，取地球
质量为M，当这颗人造地球卫星在轨道半径为2r 的圆轨道上绕地球运行时，则（ ）
A. 根据公式v =
√
GM
r ，可知卫星运动的线速度将减小到
v
√
2
B. 根据公式F = mv2
r ，可知卫星所需的向心力将减小到原来的1
2
C. 根据公式ω = v
r ，可知卫星的角速度将减小到ω
2
D. 根据F = GMm
r2 ，可知卫星的向心力将减小为原来的1
4
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53
5
达标检测1
★★★
如图所示，a、b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R 和2R（R 为地
球半径）。下列说法中正确的是（ ）
A. a、b 的线速度大小之比是
√
2 : 1
B. a、b 的周期之比是1 : 2
√
2
C. a、b 的角速度大小之比是3
√
6 : 4
D. a、b 的向心加速度大小之比是9 : 4
例2
★★★
如图所示，a、b、c、d 是在地球大气层外的圆形轨道上匀速运行的四颗人造卫星。其中a、c 的轨道相交于
P，b、d 在同一个圆轨道上。某时刻b 卫星恰好处于c 卫星的正上方。下列说法中正确的是（ ）
A. b、d 存在相撞危险
B. a、c 的加速度大小相等，且大于b 的加速度
C. b、c 的角速度大小相等，且小于a 的角速度
D. a、c 的线速度大小相等，且小于d 的线速度
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54
5
例3
★★★★
“嫦娥一号”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步。已知“嫦娥一号”绕月
飞行轨道近似为圆形，距月球表面高度为H，飞行周期为T，月球的半径为R，引力常量为G。求：
（1）“嫦娥一号”绕月飞行时的线速度大小。
（2）月球的质量。
（3）若发射一颗绕月球表面做匀速圆周运动的飞船，则其绕月运行的线速度应为多大。
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55
5
2
模块
2
近地卫星与同步卫星
知识凝炼
1
近地卫星
近地卫星是指轨道在地球表面附近的卫星，计算时轨道半径可近似取地球半径。近地卫星具有：
⑴最大的环绕速度v =
√
GM
R
≈7.9km/s
⑵最短的周期T = 2π
√
R3
GM ≈84min
2
地球同步卫星
同步卫星是指在赤道平面内，以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运动的卫星，同步卫星又叫同步通
信卫星。同步卫星有以下几个特点：
⑴周期一定：同步卫星在赤道上空相对地球静止，它绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于
地球自转的周期，即T = 24h。
⑵角速度一定：同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度。
⑶轨道一定：
①因提供向心力的万有引力指向圆心，所有同步卫星的轨道必在赤道平面内。
②由于所有同步卫星的周期都相同，由r =
3
√
GMT 2
4π 2
知，所有同步卫星的轨道半径都相同，即同一轨道运
动，其确定的高度约为3.59×104 km。
⑷环绕速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是3.08km/s。环绕方向与地
球自转方向相同。
⑸向心加速度大小一定：所有同步卫星由于到地心距离相同，所以，它们绕地球运动的向心加速度大小都
相同，约为0.23m/s2。
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56
5
精讲精练
例4
★★★
已知地球质量大约是月球质量的81 倍，地球半径大约是月球半径的4 倍。不考虑地球、月球自转的影
响，由以上数据可推算出（ ）
A. 地球的平均密度与月球的平均密度之比约为81 : 64
B. 地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为9 : 4
C. 地球近地卫星的周期与月球近月卫星的周期之比约为8 : 9
D. 地球近地卫星的线速度与月球近月卫星的线速度之比约为81 : 4
例5
★★★
北斗卫星系统是我国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020 年左右，北斗卫星导航系统将形成全球
覆盖能力，如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a、b、c 三颗卫星均做匀速圆周运
动，a 是地球同步卫星，则（ ）
A. 卫星b 的周期大于24h
B. 卫星b 的周期小于c 的周期
C. 卫星a 的加速度小于b 的加速度
D. 卫星a 的角速度小于c 的角速度
达标检测2
★★★
中国北斗卫星导航系统(BDS) 是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统(GPS)、俄
罗斯格洛纳斯卫星导航系统(GLONASS) 之后第三个成熟的卫星导航系统。2017 年11 月5 日，中国第
三代导航卫星顺利升空，它标志着中国正式开始建造“北斗”全球卫星导航系统。该卫星处于地球的同
歩轨道，假设其离地高度为h，地球半径为R，地面附近重力加速度为g，则下列判断错误的是( )
A. 该卫星运行周期为24 小时
B. 该卫星所在处重力加速度是
(
R
R+h
)2
g
C. 该卫星周期与近地卫星周期之比是
(
1+ h
R
)2
3
D. 该卫星运动动能是
mgR2
2(R+h)
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57
5
3
模块
3
宇宙速度
知识凝炼
1
第一宇宙速度
人造卫星围绕地球运动，则有GMm
r2 = mv2
r ，当物体在地球表面附近环绕地球运转时，由rmin ≈R，则GMm
R2
= mv2
R ，得v =
√
GM
R =√gR ≈7.9km/s ，这便是地球表面附近卫星的运行速度，称为第一宇宙速度。
2
第二宇宙速度
在地面附近发射人造卫星，如果发射速度大于7.9km/s，而小于11.2km/s，那么它绕地球运行的轨迹将是椭
圆。当发射速度等于或大于11.2km/s 时，卫星会克服地球的引力而永远离开地球，我们把11.2km/s 叫做第二宇
宙速度。
3
第三宇宙速度
达到第二宇宙速度的人造卫星还受到太阳的引力。在地面附近发射一颗人造卫星，要使它挣脱太阳引力的
束缚，飞到太阳系外，必须使其速度等于或大于16.7km/s，这个速度叫做第三宇宙速度。
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58
5
精讲精练
达标检测3
★★
正确率：57%
下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是（ ）
A. 第一宇宙速度v1 = 7.9km/s，第二宇宙速度v2 = 11.2km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的
速度大于等于v1，小于v2
B. 美国发射的凤凰号火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度
C. 第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造小行星的最小发
射速度
D. 第一宇宙速度7.9km/s 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度
例6
★★★
2014 年4 月美国宇航局科学家宣布，在距离地球约490 光年的一个恒星系统中，发现一颗宜居行星，代
号为“开普勒−186f”。科学家发现这颗行星表面上或存在液态水，这意味着上面可能存在外星生命。假
设其半径为地球半径的a 倍，质量为地球质量的b 倍，则下列说法正确的是（ ）
A. 该行星表面由引力产生的加速度与地球表面的重力加速度之比为b
a2
B. 该行星表面由引力产生的加速度与地球表面的重力加速度之比为a
b2
C. 该行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为
√
b
a
D. 该行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为
√a
b
例7
★★★
如图所示，同步卫星离地心距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心
加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球的半径为R，则下列比值正确的是（ ）
A. a1
a2
= r
R
B. a1
a2
=
(
R
r
)2
C. v1
v2
= r
R
D. v1
v2
=
√
R
r
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59
5
春季你会遇见
2016 年12 月17 日是我国发射“悟空”探测卫星二周年纪念日，一年来的观测使人类对暗物质的研
究又进了一步。宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中心转动时，理论计算的周期与实际观测
周期不符，且T理论
T观测
= k(k > 1)；因此，科学家认为，在两星球之间存在暗物质。假设以两星球球心连
线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，两星球的质量均为m；那么，暗物质质量为（ ）
A. k2 −1
4
m
B. k2 −2
8
m
C.
(
k2 −1
)
m
D.
(
2k2 −1
)
m
答案
A
解析
解：双星均绕它们的连线的中点做圆周运动，设它们之间的距离为L，万有引力提供向心力
得：
Gm2
L2 = m 4π2
T理论2 · L
2
解得：T理论= πL
√
2L
Gm。
根据观测结果，星体的运动周期T理论
T观测
= k
这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一
质量等于球内暗物质的总质量m′，位于中点O 处的质点的作用相同。
则有：Gm2
L2 +G mm′
(
L
2
)2 = m 4π2
T观测2 · L
2
解得：T观测= πL
√
2L
G(m+4m′)
所以：m′ = k2 −1
4
m。故A 正确，B、C、D 错误。
故选：A。
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60
5
随堂测试
测试1 在2013 年的下半年，我国实施“嫦娥三号”的发射和落月任务，进一步获取月球的相关数据。如果该卫
星在月球上空绕月做匀速圆周运动，经过时间t，卫星行程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是1
弧度，引力常量为G，根据以上数据估算月球的质量是（ ）
A.
t2
Gs3
B. s3
Gt2
C. Gt2
s3
D. Gs3
t2
测试2
正确率：65%
地球卫星轨道半径分别为r1、r2，且r1 < r2。卫星在轨道r1 上运行速率为v1、周期为T1；在轨道r2 上
运行速率为v2、周期为T2，下列判断正确的是( )
A. v2 < v1、T2 < T1
B. v2 < v1、T2 > T1
C. v2 > v1、T2 < T1
D. v2 > v1、T2 > T1
测试3
正确率：66%
已知甲、乙两行星的半径之比为a，它们各自的第一宇宙速度之比为b，则下列结论正确的是（ ）
A. 甲、乙两行星的质量之比为ab2 : 1
B. 甲、乙两行星的近地卫星的向心加速度之比为b2 : a
C. 甲、乙两行星各自卫星的最小周期之比为a : b
D. 甲、乙两行星各自卫星的最大角速度之比为a : b
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61
5
课堂总结
第6 讲
功和功率
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63
6
知识引航
永动机的想法起源于印度，公元1200 年前后，这种思想从印度传到了伊斯兰教世界，并从这里传到了西
方。
文艺复兴时期意大利的达·芬奇(Leonardo da Vinci，1452 −1519) 也造了一个类似的装置，他设计时认为，
右边的重球比左边的重球离轮心更远些，在两边不均衡的作用下会使轮子沿箭头方向转动不息，但实验结果却
是否定的。达·芬奇敏锐地由此得出结论：永动机是不可能实现的。事实上，由杠杆平衡原理可知，上面两个设
计中，右边每个重物施加于轮子的旋转作用虽然较大，但是重物的个数却较少。精确的计算可以证明，总会有一
个适当的位置，使左右两侧重物施加于轮子的相反方向的旋转作用(力矩) 恰好相等，互相抵消，使轮子达到平
衡而静止下来。
通过不断的实践和尝试，人们逐渐认识到：任何机器对外界做功，都要消耗能量。不消耗能量，机器是无法
做功的。这时的一些著名科学家斯台文、惠更斯等都开始认识到了用力学方法不可能制成永动机。
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64
6
1
模块
1
功
知识凝炼
一、功
如果有力作用在物体上，而且物体在力的方向上发生位移，我们就说力对物体做了功。力和物体在力的方
向上的位移，是做功的两个不可缺少的要素。功是描述力在空间位移上累积作用的物理量，是能量转化的量度。
二、功的计算
如图，当拉力F 方向与位移s 的方向成θ 角时，我们可以将F 分解为与位移方向一致的分力F1，与位移
垂直的分力F2。根据功的定义，只有F1 做功，W = Fscos θ；F2 的方向与位移s 方向垂直，物体在F2 方向上没
有位移，做功为零。
所以得到一般情况下功的计算式：W = Fscos θ。
三、功的正负
我们学习了功的计算式，可以判断上面三种情况力做功的情况。
①功的正负的判断：A. 当0◦⩽θ < 90◦时，cosθ > 0，W > 0，表示力对物体做正功；B. 当θ = 90◦时，
cosθ = 0，W = 0，表示力的方向与位移的方向垂直，力不做功；C. 当90◦< θ ⩽180◦时，cosθ < 0，W < 0，表示
力对物体做负功，或者说物体克服力做了功。
②功的正负的物理意义：
虽然功有正负，但是功是标量，只有大小没有方向。功的正负的物理含义是：如果力对物体做正功，则这个
力对物体而言是动力，力对物体提供能量，即受力物体获得了能量；若力对物体做负功，则这个力对物体而言是
阻力，物体克服外力做功，消耗自身能量向外输出能量。
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65
6
四、总功计算
求多个力对物体做的总功，有两种方法。第一种是求合力的功，即先把合力F 合求出来，再根据公式W =
Fscos θ 计算合力所做的功；第二种是求各个力功的代数和，即先把每个力所做的功求出来，再求它们的代数
和。
精讲精练
例1
★★★
如图所示，木板放在光滑地面上，将一滑块m 用恒力F 由木板一端拉至另一端，木板分固定和不固定两
种情况，力F 做功分别为W1 和W2，则（ ）
A. W1 < W2
B. W1 = W2
C. W1 > W2
D. 无法比较
达标检测1
★★
如图所示，一物块沿水平地面向左运动，水平恒力的大小为F，物块与地面间的摩擦力大小为Ff ，在物
块向左运动位移大小为x 的过程中，水平恒力F 做功为（ ）
A. Fx
B. −Fx
C. −Ff x
D.
(
F −Ff
)
x
例2
★★★
正确率：72%
以初速度v0 竖直向上抛出一个质量为m 的小球，上升最大高度是h。如果空气阻力f 的大小恒定，则
从抛出到落回出发点的整个过程中，空气阻力对小球做的功为（ ）
A. 0
B. −fh
C. −2 fh
D. −2mgh
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66
6
达标检测2
★★★
如图所示，木板绕固定的水平轴O 从水平位置OA 缓慢转到OB 位置，木板上的物块始终相对于木板
静止，分别用FN 和Ff 表示物块受到的支持力和摩擦力，在此过程中，以下判断正确的是（ ）
A. FN 和Ff 对物块都不做功
B. FN 对物块做正功，Ff 对物块做负功
C. FN 对物块做正功，Ff 对物块不做功
D. FN 对物块不做功，Ff 对物块做正功
例3
★★★★
如图所示，同一物体分别沿斜面AD 和BD 自顶点由静止开始下滑，该物体与斜面间的动摩擦因数相
同。在滑行过程中克服摩擦力做的功分别为WA 和WB，则（ ）
A. WA > WB
B. WA = WB
C. WA < WB
D. 无法确定
例4
★★★
正确率：50%
如图所示，两个互相垂直的力F1 和F2 作用在同一物体上，使物体运动，物体发生一段位移后，力F1 对
物体做功为4J，力F2 对物体做功为3J，则力F1 与F2 的合力对物体做功为（ ）
A. 7J
B. 5J
C. 3.5J
D. 1J
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67
6
例5
★★★★
用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉
进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么第二次钉子进入木板的深度是多少？
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68
6
2
模块
2
功率
知识凝炼
功率是反映物体做功快慢的物理量。一个力做功的功率P 为所做的功W 跟完成这些功所用时间t 的比
值，即P = W
t ，此公式不仅适用于恒力也适用于变力做功求功率。由功率的定义式可知，功率的单位是W，
1W = 1J/s 。
1
平均功率
平均功率表示在一段时间内力做功的平均快慢程度，大小等于功除以所用的时间或者力乘以平均速度。
平均功率的计算可以用定义式P = W
t ，也可以用表达式P = Fvcosθ(v 是平均速度)。
2
瞬时功率
瞬时功率表示力在一段极短时间内的做功快慢。在公式P = Fvcosθ 中，若时间很短暂时，v 可以表示某一
时刻的瞬时速度，则可以求出对应该时刻的瞬时功率。
精讲精练
例6
★★
关于功率公式P = W
t
和P = Fv 的说法正确的是（ ）
A. 由P = W
t
知，只要知道W 和t 就可求出任意时刻的功率
B. 由P = Fv 既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率
C. 由P = Fv 知，随着汽车速度的增大，它的功率也可以无限制的增大
D. 由P = Fv 知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比
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69
6
达标检测3
★★★
如图，一物体在水平面上受到向右、大小为8N 的恒力F 作用，在4s 时间内，向右运动2m，则在此过程
中，力F 对物体所做的功和平均功率分别为（ ）
A. 32J，4W
B. 32J，8W
C. 16J，8W
D. 16J，4W
例7
★★★
以初速度v0 水平抛出一个质量为m 的物体，当物体的速度为v 时，重力做功的瞬时功率为（ ）
A. mgv
B. mgv0
C. mg
√
v2 −v02
D. mg(v−v0)
达标检测4
★★★★
某机械在每次匀速吊起货物时所能提供的功率P 与所吊货物质量m 的关系如图所示。现用该机械将
30 个货箱吊上离地12m 高的平台，每个货箱的质量为5kg（忽略机械从平台返回地面和装箱的时间，g
取10m/s2），所需最短时间约为（ ）
A. 360s
B. 720s
C. 1440s
D. 2400s
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70
6
例8
★★★★
质量为m = 3kg 的小物块放在水平地面上，在水平拉力F = 15N 的作用下开始运动，在0 ∼2s 的时间
内拉力F 的功率P 随时间变化的关系图象如图所示，那么，小物块与水平面间的动摩擦因数为(重力加
速度g 取10m/s2)（ ）
A. 1
5
B. 2
5
C. 1
3
D. 2
3
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71
6
春季你会遇见
随着我国人口老龄化日益严重，关爱老年人需要我们全社会的努力，高血压是危害老年人健康的一
种疾病，现已查明，血管内径变细是其诱因之一。现在我们研究这一问题对人身体的影响，做以下假
设：设液体通过一根一定长度的管子时受到的阻力f 与流速v 成正比，即f = kv（为简便，设k 与
管子粗细无关），为了维持液体匀速流动，这段管子两端需要有一定的动力做功。设血管截面积为S
时动力的功率为P。若血管截面积减少20%，为了维持在相同时间内流过同样多的液体，需要动力
的功率约为（ ）
A. 5
4P
B. 6
5P
C. 25
16P
D. 25P
答案
C
解析
血管截面积为S 时，供血动力的功率P = fv1 = kv12，流量Q = Sv1，相同时间内流过同样多
的液体，则Sv1 = S2v2，又P = kv12，P′ = kv22，由于0.8S = S2，联立得P′ = 25
16P，C 正确。
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72
6
随堂测试
测试1
正确率：64%
物体在两个相互垂直的力作用下运动，力F1 对物体做功6J，物体克服力F2 做功8J，则F1、F2 的合力
对物体做功为（ ）
A. −2J
B. 2J
C. 10J
D. 14J
测试2
正确率：74%
A、B 两物体叠放在粗糙的水平桌面上，mA = 1kg，mB = 2kg，如图所示。在B 上作用一个3N 的水平拉
力后，A、B 一起匀速前进了4m，则在这个过程中，B 对A 做的功为（ ）
A. 4J
B. 0J
C. 12J
D. −4J
测试3 飞机在飞行时受到与速度平方成正比的空气阻力，若飞机以速度v 匀速飞行时，发动机的功率为P，则
当飞机以速度nv 匀速飞行时，发动机的功率为（ ）
A. nP
B. 2nP
C. n2P
D. n3P
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73
6
课堂总结
第7 讲
动能定理
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75
7
知识引航
在17−18 世纪，由于力的概念还不能完全确定，人们常把力同现在所说的力矩、动量、功、动能等物理量相
混淆，习惯上把外加的力称为“运动的力”、把“物体的惯性”称为“物质固有的力”、
“阻抗的力”，甚至把“加速度”
称为“加速力”，并出现过把“运动的力”与碰撞、向心力相提并论。
为了从量的方面去研究机械运动，科学家们试图寻找一个普遍的物理量来作为运动的量度，于是引起了物
理学史上著名的笛卡尔学派和莱布尼茨学派关于“运动的量度”的争论。
笛卡尔提出一个原理：宇宙中运动的总量是守恒的。他从这一原理出发，认为应该把物体的质量和速度的
乘积作为“力”或“运动量”的度量，即用mv 来量度。牛顿接受了笛卡尔的主张，1687 年，牛顿在他的《自然哲学
的数学原理》中明确提出了动量的定义，并且通过他所总结的运动定律，提出在物体的相互作用中，动量这个
物理量反映着物体运动变化的客观效果。这样，把动量作为运动的量度，一度得到了科学界的普遍承认。
莱布尼茨在1686 年，对笛卡尔学派的这个量度方法提出了批评。他认为：
“力必须由它所产生的效果来衡
量，而不能用‘物体’(质量) 与速度的乘积来衡量”。他建议用mv2 而不是mv 来量度物体“运动的力”。后来根据
科里奥利的建议以1
2mv2 代替mv2，这就是后来所说的运动物体的动能。
机械运动量度的问题在欧洲大批数学家、物理学家和哲学家之间引起了持续半个多世纪的争论。后来，恩
格斯根据当时自然科学的最新成就，尤其是能量守恒与转化定律的发现，深刻地揭示了两种量度的本质区别。
恩格斯的结论是：
“机械运动确实有两种量度，每一种量度适用于某个界限十分明确的范围之内的一系列现象。
一句话，动量mv 是以机械运动来量度的机械运动；动能mv2 是以运动转化为定量的其他形式的运动的能力来
量度的机械运动。”在关于动量问题所运用的规律中，并不涉及能量转化问题，它仅是机械运动规律的反映；而
动能问题，或是在机械能范畴内存在动能与势能的转化，或是存在机械能与其他形式能转变的问题，必须从能
的角度予以分析。和动量联系的是外力的冲量，即动量的变化是外力的时间累积量，它决定物体反抗阻力能运
动多久；和动能联系的是外力的功，即动能的变化是外力的空间累积量，它决定物体反抗阻力能运动多远。
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76
7
1
模块
1
机车启动
知识凝炼
1
对机车等交通工具类问题，应明确P = F ·v 中，P 为发动机的实际功率，机车正常行驶中实际功率小于或
等于其额定功率；F 为发动机(机车) 的牵引力；v 为机车的瞬时速度。
⑴机车以恒定功率启动的运动过程。
故达到最大速度时a = 0，F = f，P = Fvm = fvm，这一启动过程的v−t 关系图象如图所示。
⑵机车以恒定加速度启动的运动过程。
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77
7
设机车保持以加速度a 做匀加速直线运动的时间为t：F ·v = P ⇒(f +ma)at = P。
这一启动过程的v−t 关系图象如图所示。
精讲精练
达标检测1
★★★
汽车以额定功率从静止开始行驶时，一定是（ ）
A. 速度变大，加速度也变大
B. 速度变小，加速度也变小
C. 速度变大，而加速度变小
D. 速度最大时，牵引力一定也最大
例1
★★★★正确率：56%
质量为m 的汽车在平直路面上启动，启动过程的速度图像如图所示，其中OA 为过原点的一条直线。从
t1 时刻起汽车的功率保持不变，整个运动过程中汽车所受阻力恒为Ff，则（ ）
A. 0 ∼t1 时间内，汽车的牵引力等于mv1
t1
B. 汽车在t1 ∼t2 时间内的功率等于t2 以后的功率
C. t1 ∼t2 时间内，汽车的功率等于
(
mv1
t1
+Ff
)
v1
D. t1 ∼t2 时间内，汽车的平均速度等于v1 +v2
2
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78
7
例2
★★★★
假设有一辆超级电容车，质量m = 1 × 103kg，额定功率P = 40kW，当超级电容车在水平路面上匀速行
驶时，速度为vm = 20m/s，(g 取10m/s2，整个过程阻力f 恒定不变)。求：
（1）超级电容车在此路面上行驶受到的阻力f 是多少？
（2）若超级电容车从静止开始，保持以2m/s2 的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？
（3）若超级电容车从静止开始，保持额定功率做加速运动，经300m 后达到最大速度，求此过程中超级电
容车所需要的时间。
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79
7
2
模块
2
动能、动能定理
知识凝炼
1
动能
⑴概念：物体由于运动而具有的能。
⑵定义式：EK = 1
2mv2，动能用Ek 表示。动能是标量，状态量，单位是焦耳，用J 表示。
2
动能定理
设质量为m 的物体，在恒力F 的作用下发生一段位移l，速度由v1 增加到v2，如图。这个过程中力F 所
做的功为W = Fl = mav2
2 −v2
1
2a
= 1
2mv2
2 −1
2mv2
1。
由上面的推导可以得到力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
即：W = 1
2mv2
2 −1
2mv2
1 或(W1 +W2 +W3 +······ = 1
2mv2
2 −1
2mv2
1 )
精讲精练
达标检测2
★★
对于质量一定的物体，下列说法中正确的是( )
A. 速度发生变化时其动能一定变化
B. 速度发生变化时其动能可能不变
C. 动能不变时其速度一定不变
D. 速度不变时其动能一定不变
例3
★★★
一人用力踢质量为0.1kg 的静止皮球，使球以20m/s 的速度飞出。假定人踢球瞬间对球的平均作用力是
200N，球在水平方向运动了20m 停止。那么人对球所做的功为（ ）
A. 5J
B. 20J
C. 50J
D. 400J
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7
例4
★★★★
如图所示，一个质量为m 的小球用长为l 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平力F 作用下，从平衡位置P
点缓慢地移到Q 点，则水平力F 所做的功为（ ）
A. mgl cosθ
B. Fl sinθ
C. mgl(1−cosθ)
D. Flθ
达标检测3
★★★
正确率：76%
如图所示，质量为m 的小球从高度H 处自由下落，进入沙坑深度h 后停止。不考虑空气阻力，则小球在
沙坑中受到的平均阻力（ ）
A. f = mg
B. f =
H
H +hmg
C. f = H +h
h
mg
D. f = H +h
H
mg
例5
★★★
在高处一点将两个质量相同的小球分别以相同速率v0 竖直上抛和竖直下抛，不计空气阻力，则下列结
论正确的是（ ）
A. 从抛出到落地，重力对两球所做的功相等
B. 从抛出到落地，两球动能的变化量相等
C. 两球刚落地时，重力的瞬时功率相等
D. 从抛出到落地过程中，重力对两球所做功的平均功率相等
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7
例6
★★★★
如图所示，在竖直平面内有一个粗糙的1
4 圆弧轨道，其半径R = 0.9m，轨道的最低点距地面高度h =
1.25m，一质量m = 0.4kg 的小滑块从轨道的最高点A 由静止释放，到达最低点B 时的速度大小为v
= 3.0m/s。不计空气阻力，g 取10m/s2，求：
（1）小滑块运动到圆弧轨道最低点B 时，对轨道的压力的大小。
（2）小滑块落地点C 距轨道最低点B 的水平距离x。
（3）小滑块在轨道上运动的过程中克服摩擦力所做的功。
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7
春季你会遇见
雨滴在空中下落时，由于空气阻力的影响，最终会以恒定的速度匀速下降，我们把这个速度叫作收尾
速度。研究表明，在无风的天气条件下，空气对下落雨滴的阻力可由公式f = 1
2CρSv2 来计算，其中
C 为空气对雨滴的阻力系数(不同空间为不同常量)，ρ 为空气的密度(不同空间密度不同)，S 为雨滴
的有效横截面积(即垂直于速度方向的横截面积)。
已知雨滴下落空间范围内的空气密度为ρ0，空气对雨滴的阻力系数为C0，雨滴下落时可视为球形，
半径均为R，每个雨滴的质量均为m，且在到达地面前均已达到收尾速度，重力加速度为g。
（1）求雨滴在无风的天气条件下沿竖直方向下落时收尾速度的大小。
（2）若根据云层高度估测出雨滴在无风的天气条件下由静止开始竖直下落的高度为h，求每个雨滴
在竖直下落过程中克服空气阻力所做的功。
答案
（1）雨滴在无风的天气条件下沿竖直方向下落时收尾速度的大小是1
R
√2mg
πC0ρ0
。
（2）每个雨滴在竖直下落过程中克服空气阻力所做的功是mg
(
h−
m
πC0ρ0R2
)
。
解析
（1）解：设雨滴竖直下落的收尾速度大小为v，
雨滴达到收尾速度时开始匀速下落mg = f，
又因为f = 1
2C0ρ0Sv2 = 1
2C0ρ0 ·πR2v2，
解得v = 1
R
√2mg
πC0ρ0
。
（2）解：设雨滴在空中由静止沿竖直方向下落至地面的过程克服空气阻力所做功为Wf，
依据动能定理有mgh−Wf = 1
2mv2，
解得Wf = mg
(
h−
m
πC0ρ0R2
)
。
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7
随堂测试
测试1 一汽车以恒定功率在平直公路上由静止启动，所受阻力恒定。下列说法正确的是（ ）
A. 速度一直增大
B. 位移一直增大
C. 牵引力恒定不变
D. 加速度一直增大
测试2 关于物体所受外力的合力做功与物体动能的变化的关系有以下四种说法：①合力做正功，物体动能增
加；②合力做正功，物体动能减少；③合力做负功，物体动能增加；④合力做负功，物体动能减少。上述
说法正确的是（ ）
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①④
测试3
正确率：65%
质量为m 的物体静止在粗糙的水平地面上，若物体受水平力F 的作用，从静止起通过位移l 时的动能
为E1，当物体受水平力2F 作用，从静止开始通过相同位移l，它的动能为E2，则（ ）
A. E2 = E1
B. E2 = 2E1
C. E2 > 2E1
D. E1 < E2 < 2E1
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课堂总结
1119091112635
