课改高二数学清北班总结寒假第一讲-e8e0ab33ac23_学而思高二全套_2020年寒假高二(1)_寒假目标清北班高二数学直播班（课改版）7讲王子悦完结_资料_总结

 
 
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复数 
一、复数的概念 
1、复数：所有形如𝑎+ 𝑏𝑖(𝑎, 𝑏∈𝑅)的数称为复数，复数通常用小写字母𝑧表示，
即𝑧= 𝑎+ 𝑏𝑖(𝑎, 𝑏∈𝑅)，其中𝑎叫做复数𝑧的实部，𝑏叫做复数𝑧的虚部。 
2、复数的分类：𝑧= 𝑎+ 𝑏𝑖（𝑎, 𝑏∈𝑅） 
  若𝑏= 0，则𝑧为实数； 
  若𝑏≠0，则𝑧为虚数；特别地,𝑎= 0，𝑏≠0时，𝑧称为纯虚数． 
3、如果两个复数𝑎+ 𝑏𝑖与𝑐+ 𝑑𝑖 (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑∈𝑅)的实部与虚部分别相等，则称这两
个复数相等. 
4、复数的模长：复数𝑧= 𝑎+ 𝑏𝑖的模长为√𝑎2 + 𝑏2，用符号∣𝑧∣表示.  
二、复数的运算 
1、复数的加法  
定义：设𝑧1 = 𝑎+ 𝑏𝑖(𝑎, 𝑏∈𝑅)，𝑧2 = 𝑐+ 𝑑𝑖 (𝑐, 𝑑∈𝑅)，定义𝑧1 + 𝑧2 = (𝑎+ 𝑐) +
(𝑏+ 𝑑)𝑖．  
复数的加法运算满足交换律、结合律．  
2、复数的减法：  
定义：𝑧1 −𝑧2 = (𝑎+ 𝑏𝑖) −(𝑐+ 𝑑𝑖) = (𝑎−𝑐) + (𝑏−𝑑)𝑖．  
3、复数的乘法  
定义：𝑧1 ⋅𝑧2 = (𝑎+ 𝑏𝑖) ⋅(𝑐+ 𝑑𝑖) = (𝑎𝑐−𝑏𝑑) + (𝑏𝑐+ 𝑎𝑑)𝑖  
复数的乘法符合多项式的运算，且满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律．  
4、复数的除法  
 (𝑎+ 𝑏𝑖) ÷ (𝑐+ 𝑑𝑖) =
𝑎+𝑏𝑖
𝑐+𝑑𝑖=
(𝑎+𝑏𝑖)(𝑐−𝑑𝑖)
𝑐2+𝑑2
 
  
1
𝑧=
1
𝑎+𝑏𝑖=
𝑎−𝑏𝑖
(𝑎+𝑏𝑖)(𝑎−𝑏𝑖) =
𝑎−𝑏𝑖
𝑎2+𝑏2 =
z̅
∣z∣2 ,  
1
𝑧称为复数𝑧(𝑧  ≠0)的倒数． 
5、共轭复数：  
如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．  
复数𝑧的共轭复数用𝑧̅表示，即当𝑧= 𝑎+ 𝑏𝑖时， z̅ = 𝑎−𝑏𝑖． 
一个复数与其共轭复数的乘积等于这个复数模的平方．即z ⋅z̅ =∣z ∣2． 
三、复数的几何意义 
1、 复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面． 
 
 
2
在复平面内，𝑥轴叫做实轴，𝑦轴叫做虚轴．𝑥轴的单位是1，𝑦轴的单位是𝑖．实
轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0． 
  复数𝑧= 𝑎+ 𝑏𝑖在复平面中可以表示为点(𝑎, 𝑏). 
2、复数的模： 
  从直角坐标系中看，复数的模长就是其所对应的点到原点的距离. 
3．复数的运算： 
  复数的运算从向量角度来看，复数的加法就是向量的加法，复数的减法就是
向量的减法. 
4．复数的共轭 
  两个共轭复数在坐标系中是关于实轴对称的. 
 
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