复数
模块1
复数的概念
3
模块2
复数的运算
5
模块3
复数的几何意义
9
枚举法与加乘原理
模块1
枚举法
15
模块2
加法原理与乘法原理
17
排列组合
模块1
排列
27
模块2
组合
31
二项式定理
模块1
二项式定理
41
模块2
二项式系数的性质
44
模块3
二项式定理的应用
46
目录
Contents
条件概率与事件的独立性
模块1
条件概率
53
模块2
事件的独立性
56
模块3
独立重复试验
59
离散型随机变量
模块1
离散型随机变量
65
模块2
离散型随机变量的期望与方差
69
典型分布列
模块1
二项分布
79
模块2
超几何分布
83
第1 讲
复数
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3
1
1
模块
1
复数的概念
知识凝炼
1
复数a+bi(a,b ∈R)
实数(b = 0)
虚数(b̸ = 0)
纯虚数(a = 0,b̸ = 0)
非纯虚数的虚数(a̸ = 0,b̸ = 0)
2
a 与b 分别叫做复数z = a+bi 的实部和虚部，分别记作Re(z) 和Im(z).
3
如果两个复数a+bi 与c+di(a,b,c,d ∈R) 的实部与虚部分别相等，则称这两个复数相等.
4
将
√
a2 +b2 称为z = a+bi 的模，记作|z|，即|z| =
√
a2 +b2.
5
对所有的实系数一元二次方程ax2 +bx+c = 0(a̸ = 0)，若∆= b2 −4ac < 0，则此方程没有实根，但有两个
虚根，且两根x = −b
2a ±
√
4ac−b2
2a
i 互为共轭复数，故实系数一元二次方程的虚根成对出现．
精讲精练
考点1: 复数的基本概念
例1
★★
若x ∈R，当x 取何值时，
(
x2 +x−2
)
+
(
x2 −3x+2
)
i 是实数？虚数？纯虚数？
高二数学·目标清北班（课改）·寒
4
1
例2
★★
已知(x−3)+
(
x2 −14x+40
)
i > 5，求实数x 的值．
达标检测1
★★★
正确率：68%
若cosθ +(m−sinθ −cosθ)i 不可能是实数，则m 的取值范围是( )
A.
(
−
√
2,
√
2
)
B.
(
−∞,−
√
2
)
∪
(√
2,+∞
)
C.
[
−
√
2,
√
2
]
D.
(
−∞,−
√
2
]
∪
[√
2,+∞
)
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5
1
2
模块
2
复数的运算
知识凝炼
1
复数的加法
定义：设z1 = a+bi(a,b ∈R)，z2 = c+di(c,d ∈R)，定义z1 +z2 = (a+c)+(b+d)i．
复数的加法运算满足交换律、结合律．
2
复数的减法：
定义：z1 −z2 = (a+bi)−(c+di) = (a−c)+(b−d)i．
3
复数的乘法
定义：z1 ·z2 = (a+bi)·(c+di) = (ac−bd)+(bc+ad)i
复数的乘法符合多项式的运算，且满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律．
4
共轭复数：
如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．
复数z 的共轭复数用z 表示，即当z = a+bi 时，z = a−bi．
一个复数与其共轭复数的乘积等于这个复数模的平方．即z· ¯z = |z|2．
5
复数的除法
(a+bi)÷(c+di) = a+bi
c+di = (a+bi)(c−di)
c2 +d2
，
1
z =
1
a+bi =
a−bi
(a+bi)(a−bi) = a−bi
a2 +b2 =
z
|z|2 ，1
z 称为复数z（z̸ = 0）的倒数．
高二数学·目标清北班（课改）·寒
6
1
精讲精练
考点2: 复数的运算
例3
★★
（1）(3−2i)−2(1+i)+(5i+1)；
（2）(1−i)2；
（3）(2+i)(3−i)；
（4）(3+4i)(4−3i)；
（5）1+i
i
；
（6）1−i
1+i；
（7）4−3i
4+3i + 4+3i
4−3i；
（8）(1+i)2 +3(1−i)
2+i
；
（9）
(
1−
√
3i
1+i
)2
．
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7
1
考点3: 复数的四则运算
例4
★★
正确率：76%
设(1+2i)(a+i) 的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =( )
A. −3
B. −2
C. 2
D. 3
例5
★★★
正确率：71%
z ∈C，若|z|−¯z = 1+2i，则
z
1+i 等于( )
A. 7
4 + 1
4i
B. 7
4 −1
4i
C. −1
4 −1
4i
D. −1
4 + 1
4i
达标检测2
★★★
正确率：87%
设a,b ∈R 且b̸ = 0，若复数(a+bi)3(i 为虚数单位) 是实数，则( )
A. b2 = 3a2
B. a2 = 3b2
C. b2 = 9a2
D. a2 = 9b2
高二数学·目标清北班（课改）·寒
8
1
考点4: 单位根的运算性质
例6
★★★
正确率：70%
集合{z|z = in +i−n,n ∈Z}，用列举法表示该集合，这个集合是( )
A. {0,2,−2}
B. {0,2}
C. {0,2,−2,2i}
D. {0,2,−2,2i,−2i}
例7
★★★★正确率：21%
已知虚数ω 为1 的一个立方根，即满足ω3 = 1，且ω 对应的点在第二象限，则1
ω + 1
ω2 + 1
ω3 =
，
1+ω +ω2 +···+ω2013 =
．
例8
★★★★正确率：32%
计算:
(
1+i
1−i
)2012
+
(
−1
2 +
√
3
2 i
)2013
=
．
达标检测3
★★★
正确率：61%
设i 是虚数单位，则−1+i−i2 +i3 −i4 +···−i20 =( )
A. 1
B. 0
C. i
D. −1
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9
1
3
模块
3
复数的几何意义
知识凝炼
1
复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．x 轴的单位是1，y 轴的单位是i．实轴与虚轴的交点叫做原点，
原点(0,0) 对应复数0．
复数z = a+bi 在复平面中可以表示为点(a,b).
2
复数的模：
从直角坐标系中看，复数的模长就是其所对应的点到原点的距离.
3
复数的运算：
复数的运算从向量角度来看，复数的加法就是向量的加法，复数的减法就是向量的减法.
4
复数的共轭
两个共轭复数在坐标系中是关于实轴对称的.
精讲精练
例9
★
在复平面内，点A，点B 所对应的复数分别为−2+i，1+5i，那么AB 的中点C 对应的复数为
．
例10 ★★
正确率：65%
若复数z 满足|z−i| ⩽
√
2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为( )
A. 2π
B. 3π
C. 4π
D. 5π
高二数学·目标清北班（课改）·寒
10
1
达标检测4
★★
满足条件|z−i|+|z+i| = 3 的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )
A. 一条直线
B. 两条直线
C. 圆
D. 椭圆
例11
★★★
正确率：60%
复数z 满足|z+3i|+|z−3i| = 6，那么|z+1+i| 的最小值是
．
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11
1
春季你会遇见
若复平面内单位圆上三点所对应的复数z1，z2，z3，满足z2
2 = z1z3 且z2 +iz3 −i = 0，求复数z1，z2，z3．
解析
设z1 = cosα +isinα，z2 = cosβ +isinβ，z3 = cosγ +isinγ，则由z2 +iz3 −i = 0，可得
cosβ −sinγ = 0,
sinβ +cosγ −1 = 0,
利用cos2β +sin2β = 1，可解得：
cosγ = 1
2,
sinγ = ±
√
3
2 ,
所以，z3 = 1±
√
3i
2
．
当z3 = 1+
√
3i
2
时，z2 = −i(z3 −1) =
√
3+i
2
，z1 = z2
2
z3
= 1；
当z3 = 1−
√
3i
2
时，z2 = −i(z3 −1) = −
√
3+i
2
，z1 = z2
2
z3
= 1．
高二数学·目标清北班（课改）·寒
12
1
随堂测试
测试1
正确率：26%
如果复数z = 2−bi
1+2i 的实部与虚部互为相反数，则3zz+z+z =( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
测试2
正确率：69%
已知i 是虚数单位，
[( √
2
1−i
)2]1008
+
(
1+i
1−i
)6
=
．
测试3
正确率：65%
已知集合A = {z|z = i+i2 +i3 +···+in,n ∈N∗}，B = {z|z = z1 ·z2,z1 ∈A,z2 ∈A}，则集合B 中的元素共
有
个．
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13
1
课堂总结
第2 讲
枚举法与加乘原
理
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15
2
1
模块
1
枚举法
知识凝炼
列举法就是指完成一件事的方法不是很多, 可以一一列举出来, 然后再一种一种地数数, 进而确定完成这
件事共有多少种方法.
字典排序法是列举法的具体实施中能够避免重复与遗漏最好的方法, 字典排序法就是把所有的字母分为
前后, 先排前面的字母, 前面的字母排完后, 再依次排后面的字母, 最后后面的字母排完, 则排列结束.
精讲精练
考点1: 枚举法
例1
★★
正确率：85%
用10 元、5 元和1 元来支付20 元钱的书款，不同的支付方法有( ) 种．
A. 3
B. 5
C. 9
D. 12
例2
★★
若x、y 均为正整数，且满足x+y ⩽7，则平面上的点(x,y) 共有( )
A. 18 个
B. 19 个
C. 20 个
D. 21 个
高二数学·目标清北班（课改）·寒
16
2
达标检测1
★★★
正确率：72%
设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A，如果k−1 /∈A 且k+1 /∈A，那么称k 是A 的一个“孤立元”，
给定S = {1,2,3,4,5,6,7,8}，则S 的3 个元素构成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合个数是
( )
A. 6
B. 15
C. 20
D. 25
例3
★★★
正确率：70%
若数列{an} 满足规律：a1 > a2 < a3 > ··· < a2n−1 > a2n < ··· 则称数列{an} 为波浪数列，将1，2，3，4，5
这五个数排列成一个无重复数字的波浪数列，则排法种数共有( )
A. 12
B. 14
C. 16
D. 18
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17
2
2
模块
2
加法原理与乘法原理
知识凝炼
1
分类加法计数原理: 做一件事, 完成它有n 类办法, 在第一类办法中有m1 种不同的方法, 在第二类办法
中有m2 种方法,……, 在第n 类办法中有mn 种不同的方法. 那么完成这件事共有N = m1 +m2 +···+mn 种不
同的方法. 又称加法原理.
2
分步乘法计数原理: 做一件事, 完成它需要分成n 个子步骤, 做第一个步骤有m1 种不同的方法, 做第二个
步骤有m2 种不同方法,……, 做第n 个步骤有mn 种不同的方法. 那么完成这件事共有N = m1 ×m2 ×···×mn
种不同的方法. 又称乘法原理.
精讲精练
考点2: 计数原理的简单应用
例4
★★
设有5 幅不同的国画，2 幅不同的油画，7 幅不同的水彩画．
（1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
（2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
（3）从这些画中选出两幅不同种的画布置房间，有几种不同的选法？
（4）用这14 幅画，布置4 个房间，有多少种布置方法？(用式子表示)
高二数学·目标清北班（课改）·寒
18
2
例5
★★
乘积(a+b+c+d)(m+n)(x+y+z) 展开后共有多少项？
变式1
★★★
乘积(a+b+c+d)(m+n)(x+y+z)2 展开并合并同类项后共有多少项？
例6
★★★
5 名学生从3 项体育项目中选择参赛，若每一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方法？
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19
2
变式2
★★★
若5 名学生争夺3 项比赛冠军(每一名学生参赛项目不限)，则冠军获得者有几种不同情况(没有并列
冠军)？
达标检测2
★★★
5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )
A. 10 种
B. 20 种
C. 25 种
D. 32 种
考点3: 计数原理的综合应用
例7
★★★
正确率：44%
从1 到300 的自然数中，完全不含有数字3 的有
个．
高二数学·目标清北班（课改）·寒
20
2
例8
★★★
满足A∪B = {1,2} 的集合A，B 共有多少组？
达标检测3
★★★
把4 件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法
有
种．(用数字作答)
例9
★★★★
在6×6 的棋盘上剪下一个由四个小方格组成的凸字形，如图，有多少种不同的剪法？
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21
2
考点4: 特元特位
例10 ★★
正确率：90%
用数字1，2，3，4，5 构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )
A. 24
B. 48
C. 60
D. 72
例11
★★★
用数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为
（结果用数值表示）．
达标检测4
★★★
从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4 个蔬菜品种中选出3 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种
植，不同的种植方法有( )
A. 24 种
B. 18 种
C. 12 种
D. 6 种
例12 ★★★★正确率：65%
某地奥运火炬接力传递路线共分6 段，传递活动分别由6 名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、
乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有
种．(用数
字作答)
高二数学·目标清北班（课改）·寒
22
2
春季你会遇见
如图，一个地区分为5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4 种颜色
可供选择，则不同的着色方法共有
种．(以数字作答)
答案
72
解析
解：首先涂A，剩下BCDE 只有3 种颜色可供选择，
若BD 不同色则CE 必同色，反之亦然．即BD 或CE 同色．
方法一：以颜色为主分类计数，按颜色的多少分两类．
①用3 种不同颜色时，区域BD 必同色，区域CE 也必同色，故共有A3
4 种；
②用4 种不同颜色时，若区域BD 同色有A4
4 种，若区域CE 同色有A4
4 种，
故用四种颜色有2A4
4 种．
由加法原理得不同的涂色方法数共有A3
4 +2A4
4 = 72 种．
方法二：以不相邻区域为主分类计数，分两类涂色．
①当区域BD 同色时，区域A 有4 种，区域B 有3 种，区域C 有2 种，区域E 有2 种，故共有
4×3×2×2 = 48 种；
②当区域BD 不同色时，区域A 有4 种，区域B 有3 种，区域D 有2 种，区域C 有1 种，区域E 有
1 种，故共有4×3×2×1×1 = 24 种；
由加法原理得不同的涂色方法数共有48+24 = 72 种．
【点石成金】此题是一道非常经典的考查染色的题目, 我们将在春季具体讲解此类问题的分析
方法, 除了染色问题之外我们还有很多计数问题的分类总结, 一起期待我们春季的学习吧！
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23
2
随堂测试
测试1 某同学从4 本不同的科普杂志,3 本不同的文摘杂志,2 本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读, 则不同
的选法共有( )
A. 24 种
B. 9 种
C. 3 种
D. 26 种
测试2 有4 位教师在同一年级的4 个班中分别担任数学老师，在数学测验时要求每位教师不能在本班监考，
则监考的方法有( )
A. 8 种
B. 9 种
C. 10 种
D. 11 种
测试3
正确率：91%
如图，从甲地到乙地有2 条路，从乙地到丁地有3 条路，从甲地到丙地有4 条路，从丙地到丁地有2 条
路．则从甲地到丁地共有
条不同的路线．
测试4 用两个1，一个2，一个0，可组成不同四位数的个数是( )
A. 18
B. 16
C. 12
D. 9
高二数学·目标清北班（课改）·寒
24
2
课堂总结
第3 讲
排列组合
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27
3
1
模块
1
排列
知识凝炼
1
排列与排列数: 一般地, 从n 个不同的元素中任取m(m ⩽n) 个元素, 按照一定的顺序排成一列, 叫做从n
个不同元素中取出m 个元素的一个排列.
所有排列的个数称为排列数, 用符号Am
n 表示.
2
排列数公式:Am
n = n(n−1)(n−2)···(n−m+1),m,n ∈N∗, 并且m ⩽n. 规定:A0
n = 1.
3
全排列: 一般地,n 个不同元素全部取出的一个排列, 叫做n 个不同元素的一个全排列.
n 的阶乘: 正整数由1 到n 的连乘积, 叫作n 的阶乘, 用n! 表示. 规定:0! = 1.
An
n = n×(n−1)×···×2×1 = n!.
利用阶乘,Am
n 可写为
n!
(n−m)!
精讲精练
考点1: 排列数的计算
例1
★
（1）正确率：69%
A1
4A1
8 =
．
（2）正确率：61%
5A3
5 +4A0
4 =
．
高二数学·目标清北班（课改）·寒
28
3
（3）正确率：69%
A4
8 −4A2
8 =
．
（4）正确率：73%
A3
10A7
7
10!
=
．
（5）正确率：82%
A8
12
A7
12
=
．
例2
★★
2017×2016×2015×2014×···×1978×1977 等于
(用排列数表示)．
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29
3
达标检测1
★★
若m ∈N∗，且m < 27，则(27−m)(28−m)···(34−m) 等于( )
A. A8
27−m
B. A27−m
34−m
C. A7
34−m
D. A8
34−m
考点2: 排列的简单应用
例3
★★
从5 名志愿者中选出3 名，分别从事布置、迎宾、策划三项不同的工作，每人承担一项工作，则不同的选
派方案有
种(用数值作答)．
例4
★★★
5 本不同的书全部送给6 人，每人至多1 本，有多少种不同的送书方法？
达标检测2
★★★
正确率：50%
在某乒乓球团体赛中，我们派了张继科、王皓、马龙、马琳4 名运动员参赛，采取三局两胜制，前两局单
打，最后一局双打，每个运动员只出场一次，则有
种出场顺序．(用数字表示)
高二数学·目标清北班（课改）·寒
30
3
例5
★★★★
将字母a，a，b，b，c，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列
方法共有
种．(用数字表示)
考点3: 特元特位的排列问题
例6
★★★
某晚会有6 个歌唱节目和5 个舞蹈节目依次表演．(用式子表示)
（1）如果某著名歌唱家排在最后作为压台戏，则可排多少种节目单？
（2）如果甲、乙两个舞蹈节目必须分别排在第一个和最后一个表演，则可排多少种节目单？
（3）如果A、B 两个歌唱节目不能在第一个和最后一个表演，则可排多少种节目单？
（4）如果6 个歌唱节目连续表演，5 个舞蹈也连续表演，则可排多少种节目单？
（5）如果歌唱节目和舞蹈节目相间表演，则可排多少种节目单？
（6）如果甲舞蹈节目给A 歌唱节目伴舞，乙舞蹈节目给B 歌唱节目伴舞，则可排多少种节目单？
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31
3
2
模块
2
组合
知识凝炼
1
组合与组合数: 一般地, 从n 个不同元素中, 任意取出m(m ⩽n) 个元素并成一组, 叫做从n 个元素中任取
m 个元素的一个组合.
所有组合的个数称为组合数, 用符号Cm
n 表示.
2
组合数公式: Cm
n =
n!
m!(n−m)! = n(n−1)(n−2)···(n−m+1)
m!
，规定:C0
n = 1.
3
组合数的性质: Cm
n = Cn−m
n
.
精讲精练
考点4: 组合数的计算
例7
★
正确率：61%
（1）5C3
5 +4C2
4 =
．
（2）C8
12
C7
12
=
．
（3）C48
50 =
．
（4）C98
99 +C97
99 =
．
高二数学·目标清北班（课改）·寒
32
3
例8
★★★
求证Cm
n = m+1
n+1 Cm+1
n+1
达标检测3
★★★
正确率：73%
若C3
n+1 = C3
n +C4
n，则n 的值是（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
考点5: 组合的简单应用
例9
★★
从3,5,7,11 这4 个质数中任取两个数相乘，可以得到多少个不相等的积？
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33
3
例10 ★★
列车从始发站到终点站中途停车8 站，单程需要制作多少种不同的火车票？
例11
★★★
从A、B、C 等12 人中选出4 人参加运动会．
（1）A 必须在内有多少种选法？
（2）A、B 中有且只有一人在内，有多少种选法？
（3）A、B、C 中至多有一人在内，有多少种选法？
（4）A、B、C 三人不全在内，有多少种选法？
高二数学·目标清北班（课改）·寒
34
3
达标检测4
★★★
正确率：60%
某中学从4 名男生和3 名女生中推荐4 人参加某高校自主招生考试，若这4 人中必须既有男生又有女
生，则不同的选法共有（ ）
A. 140 种
B. 120 种
C. 35 种
D. 34 种
考点6: 计数方法的综合应用
例12 ★★★
正确率：48%
高三年级有8 个班级，分派4 位数学老师任教，每个教师教两个班，则不同的分派方法有( ) 种
A. A2
8A2
6A2
4A2
2
B. C2
8C2
6C2
4C2
2
C. C2
8C2
6C2
4C2
2A4
4
D. C2
8C2
6C2
4C2
2
4!
例13 ★★★
正确率：73%
从7 名男队员和5 名女队员中选出4 人进行乒乓球男女混合双打，不同的组队种数是( )
A. C2
7C2
5
B. 4C2
7C2
5
C. 2C2
7C2
5
D. A2
7A2
5
例14 ★★★★正确率：69%
在11 名工人中，有5 人只能当钳工，4 人只能当车工，另外2 人能当钳工也能当车工．现从11 人中选
出4 人当钳工，4 人当车工，共有多少种不同的选法？(结果用数字表示)
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35
3
春季你会遇见
六个人站一排，甲乙必须相邻，丙丁必须相邻，且甲和丁不站两端共有
种站法．
答案
52
解析
解：甲乙捆绑为组合1，丙丁捆绑为组合2，两组合分别在两端时有2×A2
2 = 4 种，有一个组
合在两端时有C1
2 ×C1
2 ×2×2×A2
2 = 32 种，当没有组合在两端时有2×4×A2
2 = 16 种，共52 种．
高二数学·目标清北班（课改）·寒
36
3
随堂测试
测试1 若A3
m = 8C2
m，则m 等于( )
A.8
B.7
C.6
D.5
测试2
正确率：62%
从班委会5 名成员中选出3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担
任文娱委员，则不同的选法共有
种．(用数字作答)
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37
3
测试3 组合数Cr
n (n > r ⩾1,n、r ∈Z) 恒等于( )
A. r +1
n+1Cr−1
n−1
B. (n+1)(r +1)Cr−1
n−1
C. nrCr−1
n−1
D. n
r Cr−1
n−1
测试4 故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、
“明代御窖瓷器展”、
“历代青绿山水画展”、
“赵孟頫书画
展”四个展览．某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参
观方案共有( )
A.6 种
B.8 种
C.10 种
D.12 种
高二数学·目标清北班（课改）·寒
38
3
课堂总结
第4 讲
二项式定理
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41
4
1
模块
1
二项式定理
知识凝炼
1
二项式定理：
一般地，我们可以把(a+b)n 表示为
(a+b)n = C0
n an +C1
n an−1b+C2
n an−2b2 +···+Cr
n an−rbr +···+Cn
n bn(n ∈N∗)．
这个公式所表示的规律叫做二项式定理，等式右边的多项式叫做(a+b)n 的二项展开式，它一共有n + 1
项，其中各项系数Cr
n(r = 0,1,···,n) 叫做展开式的二项式系数．
2
二项式的通项：展开式中的Cr
n an−rbr 项叫做二项展开式的通项，通项是展开式的第r + 1 项，即Tr+1 =
Cr
n an−rbr（其中0 ≤r ≤n，r ∈N，n ∈N∗）．
我们把上面的公式叫做二项展开式的通项公式．
精讲精练
考点1: 二项展开式
例1
★★
求
(
3√x+ 1
√x
)4
的展开式．
高二数学·目标清北班（课改）·寒
42
4
例2
★★
有二项式
(
3√x−2
3x
)10
．
（1）求展开式第4 项的二项式系数．
（2）求展开式第4 项的系数．
（3）求第4 项．
考点2: 二项展开式的特定项
例3
★★
正确率：83%
(
1
2x−2y
)5
的展开式中x2y3 的系数是( )
A. −20
B. −5
C. 5
D. 20
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43
4
例4
★★
正确率：56%
(
2√x−1
√x
)6
的二项展开式中的常数项为
．(用数字作答)
例5
★★★
(
x3 +
1
2√x
)5
的展开式中x8 的系数是
(用数字作答)．
达标检测1
★★★
(4x +2−x)6 的展开式中的常数项是( )
A. 1
B. 6
C. 15
D. 20
高二数学·目标清北班（课改）·寒
44
4
2
模块
2
二项式系数的性质
知识凝炼
1
二项式系数的性质
(1) 对称性
在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C0
n = Cn
n，C1
n = Cn−1
n
，C2
n = Cn−2
n
，···，
Ck
n = Cn−k
n
，···，Cn
n = C0
n．
(2) 最大值
当n 是偶数时，中间的一项C
n
2n 取得最大值；
当n 是奇数时，中间的两项C
n−1
2
n
和C
n+1
2
n
相等，且同时取得最大值．
(3) 各二项式系数的和
①(a+b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0
n +C1
n +···+Ck
n +···+Cn−1
n
+Cn
n = 2n；
②二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，
即C1
n +C3
n +··· = C0
n +C2
n +··· = 2n−1．
精讲精练
考点3: 二项式系数的性质
例6
★★★
正确率：65%
已知(1+x)n 的展开式中第4 项与第8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A. 212
B. 211
C. 210
D. 29
例7
★★★
正确率：77%
若(√x+ 2
x2 )n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )
A. 180
B. 120
C. 90
D. 45
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45
4
例8 （1）★★★★
求(1+2x)7 展开式中系数最大的项；
（2）★★★★
求(1−2x)7 展开式中系数最大的项．
达标检测2
★★★★
已知
(
x−1
x
)n
的展开式中第5 项与第8 项的二项式系数相等，记展开式中系数最大的项为第k 项，则
k =( )
A. 6
B. 7
C. 6 或7
D. 5 或6
高二数学·目标清北班（课改）·寒
46
4
3
模块
3
二项式定理的应用
精讲精练
考点4: 二项式定理的应用
例9
★★★
求8912 除以11 的余数．
达标检测3
★★★
设a ∈Z，且0 ⩽a < 13，若512012 +a 能被13 整除，则a =( )
A. 0
B. 1
C. 11
D. 12
例10 ★★★★
证明：
(
1+
√
3
)2n +
(
1−
√
3
)2n (n ∈N∗) 能被2n+1 整除．
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47
4
例11
★★★
求1.028 的近似值．(精确到小数点后三位)
例12 ★★★
求证：2n ⩾2n+2(n ∈N,n ⩾3)．
高二数学·目标清北班（课改）·寒
48
4
春季你会遇见
用数字作答．
(
x
2 + 1
x +
√
2
)5
的展开式中整理后的常数项为
．
答案
63
2
√
2
解析
解：根据展开式的形成可知，展开式的常数项有三类：
五个括号全出
√
2 时为：
(√
2
)5
= 4
√
2；
五个括号两个出x
2，两个出1
x，一个出
√
2 时为：C2
5C2
3
(
x
2
)2(
1
x
)2√
2 = 15
√
2
2
；
五个括号一个出x
2，一个出1
x，三个出
√
2 时为：C1
5C1
4
x
2 · 1
x
(√
2
)3
= 20
√
2，
展开式中整理后的常数项等于：
4
√
2+ 15
√
2
2
+20
√
2 = 63
√
2
2
，
故答案为：63
√
2
2
．
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49
4
随堂测试
测试1
正确率：64%
在
(√x+ 3
x
)n
的展开式中，各二项式系数之和为64，则展开式中常数项为( )
A. 135
B. 105
C. 30
D. 15
测试2
正确率：90%
(1+3x)n（其中n ∈N 且n ⩾6）的展开式中x5 与x6 的系数相等，则n =( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
测试3 已知(1+2x)6 展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则b
a =
．
高二数学·目标清北班（课改）·寒
50
4
课堂总结
第5 讲
条件概率与事件
的独立性
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53
5
1
模块
1
条件概率
知识凝炼
1
条件概率：对于任何两个事件A 和B，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用
符号“P(B|A)”来表示．
2
把样本空间（基本事件空间）记作Ω，把事件A 与B 的交（或积），记做A∩B（或AB）．P(AB) 表示在样
本空间Ω中计算A,B 同时发生的概率.
3
条件概率的计算方法：
（1）缩减样本空间法：P(B|A) = A∩B中样本点数
ΩA中的样本点数．
（2）公式法：P(B|A) = P(AB)
P(A) ．
精讲精练
考点1: 条件概率的计算
例1
★
抛掷一枚质地均匀的骰子，所得的样本空间为S = {1,2,3,4,5,6}，令事件A = {2,3,5}，B = {1,2,4,5,6}，
求P(A)，P(B)，P(AB)，P(A|B)．
高二数学·目标清北班（课改）·寒
54
5
例2
★★
正确率：74%
夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鲟回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带
产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15 厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一
批中华鲟鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖
的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的
概率为( )
A. 0.05
B. 0.0075
C. 1
3
D. 1
6
达标检测1
★★
设某种动物自出生算起活到20 岁以上的概率为0.8，活到25 岁以上的概率为0.4．现有一只20 岁的
这种动物，则它能活到25 岁以上的概率是( )
A. 1
2
B. 1
3
C. 1
4
D. 1
5
例3
★★★
如图，四边形EFGH 是以O 为圆心，1 为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用A 表
示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形HOE（阴影部分）内”，则P(B|A) =
．
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55
5
例4
★★★
正确率：69%
小赵、小钱、小孙、小李到4 个景点旅游，每人只去一个景点, 设事件A =“4 个人去的景点不相同”，事件
B =“小赵独自去一个景点”，则P(A|B) =( )
A. 2
9
B. 1
3
C. 4
9
D. 5
9
达标检测2
★★★
抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A = 两次的点数均为偶数，B = 两次的点数之和为8，则
P(B|A) =( )
A. 1
12
B. 2
9
C. 1
3
D. 2
3
高二数学·目标清北班（课改）·寒
56
5
2
模块
2
事件的独立性
知识凝炼
1
设A,B 为两个事件，事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响, 即P(B|A) = P(B)，这时，我们称事
件A 与事件B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．一般的若A 与B 相互独立，则A 与B，A 与B，A
与B 也都相互独立．
2
由条件概率公式和相互独立事件A,B 的定义，可以得到：
P(B) = P(B|A) = P(A∩B)
P(A)
即P(AB) = P(A)P(B).
3
如果事件A1，A2，…，An 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即
P(A1 ∩A2 ∩···∩An) = P(A1)×P(A2)×···×P(An)．
精讲精练
考点2: 相互独立事件的概念
例5
★★
下列说法正确的有
(填序号)．
①对事件A 和B，若P(B|A) = P(B)，则事件A 和B 相互独立；
②若事件A,B 相互独立，则P( ¯A∩¯B) = P( ¯A)×P( ¯B)；
③如果事件A 与事件B 相互独立，则P(B|A) = P(B)；
④若事件A 与B 相互独立，则B 与¯B 相互独立．
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57
5
例6
★★★
判断下列事件是否是相互独立事件．
①掷一颗骰子一次，
“出现偶数点”与“出现3 点或6 点”；
②容器内盛有5 个白乒乓球和3 个黄乒乓球，
“从8 个球中任意取出1 个，取出的是白球”与“从剩下
的7 个球中任意取出1 个，取出的还是白球”；
③甲组3 名男生，2 名女生；乙组2 名男生，3 名女生．现从甲、乙两组中各选1 名同学参加演讲比
赛，
“从甲组中选出1 名男生”与“从乙组中选出1 名女生”．
考点3: 相互独立事件的概率计算
例7
★★★
已知A，B，C 为三个独立事件，若事件A 发生的概率是1
2，事件B 发生的概率是2
3，事件C 发生的概率
是3
4，求下列事件的概率：
（1）事件A，B，C 至少发生一个．
（2）事件A，B，C 只发生一个．
（3）事件A，B，C 只发生两个．
高二数学·目标清北班（课改）·寒
58
5
达标检测3
★★
正确率：73%
三人独立去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1
5，1
3，1
4，问三人中至少一人能将密码破译出
的概率是多少？( )
A. 47
60
B. 3
5
C. 13
30
D. 2
5
例8
★★★
正确率：78%
某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答
对的概率为（ ）
A. 0.2
B. 0.8
C. 0.4
D. 0.3
例9
★★★★
三个元件T1,T2,T3 正常工作的概率分别为0.7,0.8,0.9，将它们的某两个并联再和第三个串联接入电路，
如图甲、乙、丙所示，问哪一种接法使电路不发生故障的概率最大？
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59
5
3
模块
3
独立重复试验
知识凝炼
1
如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A，并且事件A 发生的概率p 相同．在相同的条件下，重复
地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．
2
n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为
Pn(k) = Ck
n pk(1−p)n−k(k = 0,1,2,··· ,n)．
精讲精练
考点4: 独立重复试验的概率计算
例10 ★★★
正确率：53%
某人参加一次考试，规定4 道题中解对了3 道则为及格，已知他解每一题的正确率为0.4，则他能及格
的概率约为（ ）
A. 0.18
B. 0.28
C. 0.38
D. 0.48
达标检测4
★★★
某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过三次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )
A. 81
125
B. 54
125
C. 36
125
D. 27
125
高二数学·目标清北班（课改）·寒
60
5
例11
★★★
某射手射击1 次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4 次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影
响，有下列结论，其中正确结论的序号是
．
①他第3 次没击中目标的概率是0.13；
②他恰好击中目标3 次的概率是0.93 ×0.4；
③他都没击中目标的概率是0.14；
④他第4 次没击中目标的概率是0.4．
例12 ★★★★正确率：39%
集装箱有标号为1，2，3，4，5，6 且大小相同的6 个球，从箱中一次摸出两个球，若两个号码都是偶数，则
获奖．若有4 人参与摸奖，恰好有3 人获奖的概率是( )
A. 96
625
B. 16
625
C. 384
625
D.
4
625
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61
5
春季你会遇见
甲箱的产品中有5 个正品和3 个次品，乙箱的产品中有4 个正品和3 个次品．若从甲箱中任取2 个
产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
解析
解：设事件A 为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1 为“从甲箱中取出2 个
产品都是正品”，事件B2 为“从甲箱中取出1 个正品1 个次品”，事件B3 为“从甲箱中取出2 个产
品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3 彼此互斥．
P(B1) = C2
5
C2
8
= 5
14，P(B2) = C1
5C1
3
C2
8
= 15
28，
P(B3) = C2
3
C2
8
= 3
28，
P(A|B1) = 2
3，P(A|B2) = 5
9，P(A|B3) = 4
9，
∴P(A) = P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)
= 5
14 × 2
3 + 15
28 × 5
9 + 3
28 × 4
9 = 7
12．
高二数学·目标清北班（课改）·寒
62
5
随堂测试
测试1
正确率：84%
2018 年6 月18 日是我国的传统节日端午节，这天小明的妈妈为小明煮了5 个粽子，其中两个大枣馅
三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A =“取到的两个为同一种馅”，事件B =“取到的两个都是豆沙
馅”，则P(B|A) =（ ）
A. 3
4
B. 1
4
C. 1
10
D. 3
10
测试2 ★★
正确率：87%
甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有
1 人解决这个问题的概率是( )
A. p1p2
B. p1(1−p2)+ p2(1−p1)
C. 1−p1p2
D. 1−(1−p1)(1−p2)
测试3
正确率：73%
如图，已知电路中A、B、C、D4 个开关闭合的概率都是1
2，且相互独立，则灯亮的概率为( )
A. 7
8
B. 13
16
C. 3
16
D. 1
8
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63
5
课堂总结
第6 讲
离散型随机变量
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65
6
1
模块
1
离散型随机变量
知识凝炼
1
离散型随机变量
如果在试验中，试验可能出现的结果都可以用一个确定的数字来表示，并且数字是随着试验的结果的不同
而变化的，我们把这样的随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用大写英文字母X,Y,···
或小写希腊字母ξ,η,··· 表示．
如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量，我们这里所讨论的离
散型随机变量只取有限个值．
2
离散型随机变量的分布列
我们称这个表为离散型随机变量X 的概率分布列．有时也用等式P(X = xi) = pi，i = 1,2,··· ,n 表示X 的
分布列．
3
分布列的性质：
(1) pi ⩾0，i = 1,2,3,··· ,n；
(2) p1 + p2 +···+ pn = 1．
精讲精练
考点1: 随机变量的概念
例1
★
正确率：78%
下列所述：①某座大桥一天经过的车辆数X；②某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数X；③一天之
内的温度X；④一位射击手对目标进行射击，击中目标得1 分，未击中目标得0 分，用X 表示该射击手
在一次射击中的得分．其中X 是离散型随机变量的是( )
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
高二数学·目标清北班（课改）·寒
66
6
例2
★★
正确率：71%
口袋中有编号为1，2，3，4，5，6 的小球各3 个，现在取出10 个小球，用变量ξ 表示这些小球的最大编
号，则ξ 的所有可能取值有( ) 个．
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
考点2: 分布列的性质
例3
★
正确率：86%
设离散型随机变量X 的概率分布列如下表：
则p 等于( )
A. 1
10
B. 2
10
C. 2
5
D. 1
2
达标检测1
★★
正确率：74%
若离散型随机变量X 的分布列如图，则常数c 的值为( )
A. 2
3 或1
3
B. 2
3
C. 1
3
D. 1
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67
6
例4
★★★
正确率：67%
设随机变量X 的概率分布为P(X = k) =
m
k(k +1)，k = 1，2，3，4，5，则P
(
3
2 < X < 7
2
)
=( )
A. 3
10
B. 2
5
C. 1
2
D. 5
6
考点3: 求简单的分布列
例5
★★★
8 个大小相同的球中，有2 个黑球，6 个白球，现从中任取4 个球，记取出白球的个数为X．求X 的分布
列．
高二数学·目标清北班（课改）·寒
68
6
例6
★★★
甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况，每一局甲胜的概率为2
3，乙胜
的概率为1
3，如果比赛采用“五局三胜制”(先胜三局者获胜，比赛结束)．设比赛结束时的局数为X，求随
机变量X 的分布列．
达标检测2
★★
正确率：75%
一个袋中有形状大小完全相同的3 个白球和4 个红球，从中任意摸出两个球，用0 表示两个球都是白
球，用1 表示两个球不全是白球，则满足条件X 的分布列为( )
A.
B.
C.
D.
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69
6
2
模块
2
离散型随机变量的期望与方差
知识凝炼
1
离散型随机变量的数学期望
E (X) = x1p1 +x2p2 +···+xnpn，叫做离散型随机变量X 的均值或数学期望(简称期望)．期望刻画了这个
离散型随机变量的平均取值水平．
2
离散型随机变量的方差
D(X) = (x1 −E (X))2p1 + (x2 −E (X))2p2 + ··· + (xn −E (X))2pn 叫做这个离散型随机变量X 的方差．方
差反映了离散型随机变量的平均波动的大小(离散程度)．
D(X) 的算术平方根
√
D(X) 叫做离散型随机变量X 的标准差．
精讲精练
考点4: 期望与方差的计算
例7
★★
已知随机变量ξ 的分布列为
则E (ξ) =
，D(ξ) =
，E (2ξ −3) =
，D(2ξ −3) =
．
达标检测3
★★
如果X 是离散型随机变量，E (X) = 6，D(X) = 0.5，X1 = 2X −5，那么E (X1) 和D(X1) 分别是( )
A. E (X1) = 12，D(X1) = 1
B. E (X1) = 7，D(X1) = 1
C. E (X1) = 12，D(X1) = 2
D. E (X1) = 7，D(X1) = 2
高二数学·目标清北班（课改）·寒
70
6
例8
★★
正确率：82%
设随机变量ξ 的分布列为下表所示且E (ξ) = 1.6，则a−b =( )
A. 0.2
B. 0.1
C. −0.2
D. −0.4
达标检测4
★★★
已知a，b ∈R，随机变量ξ 满足P(ξ = x) = ax+b(x = −1,0,1)．若E(ξ) = 1
3，则E2(ξ)+D(ξ) =( )
A. 1
3
B. 2
3
C. 1
D. 4
3
例9
★★★
正确率：76%
设0 < p < 1，随机变量ξ 的分布列是
则当p 在(0,1) 内增大时( )
A. D(ξ) 减小
B. D(ξ) 增大
C. D(ξ) 先减小后增大
D. D(ξ) 先增大后减小
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71
6
考点5: 期望与方差的实际应用
例10 ★★★
某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400 万元的损失．现
有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45 万元和30
万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9 和0.85．若预防方案允许甲、乙两种预防措
施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少．(总费用= 采取预防措施的费用+ 发
生突发事件损失的期望值)
高二数学·目标清北班（课改）·寒
72
6
例11
★★★★
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工
作时间不超过10 分钟，如果有一个人10 分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有
甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p1, p2, p3，假设p1, p2, p3 互不相等，且假定各人
能否完成任务的事件相互独立．
（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺
序，任务能被完成的概率是否发生变化？
（2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1,q2,q3，其中q1,q2,q3 是p1, p2, p3
的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值(数学期望)E(X)；
（3）假定1 > p1 > p2 > p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值(数学
期望) 达到最小．
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73
6
春季你会遇见
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件，并测
量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从
正态分布N
(
µ,σ2)
．
（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在(µ −3σ,µ +3σ) 之外的零
件数，求P(X ⩾1) 及X 的数学期望．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(µ −3σ，µ +3σ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①试说明上述监控生产过程方法的合理性；
②下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得x = 1
16
16
∑
i=1
xi = 9.97，s =
√
1
16
16
∑
i=1
(xi −x)2 =
√
1
16
16
∑
i=1
(
x2
i −16x2)
≈0.212，其中xi 为抽
取的第i 个零件的尺寸，i = 1,2,··· ,16．
用样本平均数x 作为µ 的估计值ˆu，用样本标准差s 作为σ 的估计值ˆσ，利用估计值判断是否
需对当天的生产过程进行检查．剔除( ˆu−3 ˆσ，ˆu+3 ˆσ) 之外的数据，用剩下的数据估计µ 和σ(精
确到0.01)．
附：若随机变量Z 服从正态分布N
(
µ,σ2)
，则P(µ −3σ < Z < µ +3σ) = 0.9974．
0.997416 ≈0.9592，
√
0.008 ≈0.09．
高二数学·目标清北班（课改）·寒
74
6
春季你会遇见
答案
（1）0.0408，0.0416
（2）详见解析
解析
（1）抽取的一个零件的尺寸在(µ −3σ，µ + 3σ) 之间的概率为0.9974，从而零件的尺寸在
(µ −3σ，µ +3σ) 之外的概率为0.0026，故X∽B(16,0.0026)．
因此P(X ⩾1) = 1−P(X = 0) = 1−0.997416 ≈0.0408．
X 的数学期望为E (X) = 16×0.0026 = 0.0416．
（2）①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(µ −3σ，µ + 3σ) 之外的概率只有0.0026，一天内抽取
的16 个零件中，出现尺寸在(µ −3σ，µ +3σ) 之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因
此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当
天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
②由x = 9.97，s ≈0.212，得µ 的估计值bµ = 9.97，σ 的估计值bσ = 0.212．由样本数据可以看出有
一个零件的尺寸在( ˆµ −3 ˆσ，ˆµ +3 ˆσ) 之外，因此需对当天的生产过程进行检查．
剔除( ˆµ −3 ˆσ，ˆµ +3 ˆσ) 之外的数据9.22，剩下数据的平均数为1
15 ×(16×9.97−9.22) = 10.02，因此
µ 的估计值为10.02．
16
∑
i=1
x2
i = 16×0.2122 +16×9.972 ≈1591.134．剔除( ˆµ −3 ˆσ，ˆµ +3 ˆσ) 之外的数据9.22，剩下数据的样
本方差为
1
15 ×
(
1591.134−9.222 −15×10.022)
≈0.008．
因此σ 的估计值为
√
0.008 ≈0.09．
【点石成金】本题是2017 年全国一卷的第19 题，虽然题号相较圆锥曲线靠前，但得分率却比圆锥曲
线要低。随着课程改革的推进，高考越来越重视数学的实际应用，因此概率统计在高考中的地位愈
加重要。在春季我们将重点攻克概率统计的典型综合题目，拒绝在概率统计上“大意失荆州”。
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75
6
随堂测试
测试1
正确率：91%
随机变量X 的取值范围为0，1，2，若P(X = 0) = 1
5，E (X) = 1，则D(X) =( )
A. 1
5
B. 2
5
C.
√
5
5
D.
√
10
5
测试2
正确率：83%
若随机变量ξ 的分布列为
其中m ∈(0,1)，则下列结果中正确的是( )
A. E (ξ) = m，D(ξ) = n3
B. E (ξ) = m，D(ξ) = n2
C. E (ξ) = 1−m，D(ξ) = m−m2
D. E (ξ) = 1−m，D(ξ) = m2
测试3
正确率：92%
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3
次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为1
3，乙每次投篮投中的概率为1
2，且各次投篮互不影响，求
投篮结束时甲的投篮次数ξ 的分布列．
高二数学·目标清北班（课改）·寒
76
6
课堂总结
第7 讲
典型分布列
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79
7
1
模块
1
二项分布
知识凝炼
1
二项分布
一般地, 在n 次独立重复试验中, 设事件A 发生的次数为ξ, 在每次试验中事件A 发生的概率为p, 那么
在n 次独立重复试验中, 事件A 恰好发生k 次的概率为P(ξ = k) = Ck
npk(1−p)n−k, 此时称随机变量ξ 服从二
项分布, 记作ξ˜B(n, p). Eξ = np, Dξ = np(1−p).
精讲精练
考点1: 二项分布的识别
例1
★★
正确率：60%
下列随机变量ξ 服从二项分布的是( )
①随机变量ξ 表示重复抛掷一枚骰子n 次中出现点数是3 的倍数的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；
③有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，ξ 表示n 次抽取中出现次品的件数
(M < N)；
④有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用不放回抽取方法，ξ 表示n 次抽取中出现次品的件数
(M < N)．
A. ②③
B. ①④
C. ③④
D. ①③
考点2: 二项分布的期望与方差
例2
★★
已知随机变量X ∼B(n, p)，E (X) = 8，D(X) = 1.6，则n 与p 的值分别是( )
A. 10 和0.8
B. 20 和0.4
C. 10 和0.2
D. 100 和0.08
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80
7
达标检测1
★★
设X 为随机变量，X ∼B
(
n, 1
3
)
，若随机变量X 的数学期望E (X) = 2，则P(X = 2) =( )
A. 80
243
B. 13
243
C.
4
243
D. 13
16
考点3: 二项分布的概率与分布列
例3
★★★
全美职业篮球联赛(NBA) 某年度总决赛在克利夫兰骑士队与金州勇士队之间角逐，比赛采用七局四胜
制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束．因两队实力相当，故每场比赛获胜的可能性相等．
据以往资料统计，第一场比赛组织者可获得门票收入2000 万美元，以后每场比赛门票收入比上一场增
加100 万美元．当两队决出胜负后，
（1）组织者在此次决赛中要获得门票收入不少于13500 万美元的概率为多少？
（2）求此次决赛所需比赛场数的概率分布列及数学期望．
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81
7
考点4: 与二项分布相关的分布列计算
例4
★★★★
如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖
直线段有一条的为第一层，有二条的为第二层，…，依此类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下
运动．若在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道，记小弹子落入第n 层第m 个竖直通道
（从左至右）的概率为P(n,m)．某研究性学习小组经探究发现小弹子落入第n 层的第m 个通道的次数
服从二项分布．设小弹子落入第6 层第m 个竖直通道得到分数为ξ，其中ξ =
4−m,1 ⩽m ⩽3
m−3,4 ⩽m ⩽6
，试
求ξ 的分布列及数学期望．
高二数学·目标清北班（课改）·寒
82
7
达标检测2
★★★
一袋中有5 个白球、3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10 次
时停止．若停止时共取了X 次球，则P(X = 12) 等于( )
A. C10
12
(
3
8
)10(
5
8
)2
B. C9
12
(
3
8
)10(
5
8
)2
C. C9
11
(
5
8
)9(
3
8
)2
D. C9
11
(
3
8
)10(
5
8
)2
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83
7
2
模块
2
超几何分布
知识凝炼
在N 个样品中有M 个不合格品. 称随机抽出的n 个样品中不合格品的数量ξ 服从超几何分布.
P(ξ = k) = Ck
MCn−k
N−M
Cn
N
.
Eξ = Mn
N .
精讲精练
考点5: 超几何分布的识别
例5
★★
正确率：63%
下列随机变量ξ 服从超几何分布的是( )
①有6 个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4 个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中
任取4 个球，X 表示取出的最大号码；
②有6 个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4 个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中
任取4 个球，η 表示取出的黑球个数；
③有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，ξ 表示n 次抽取中出现次品的件数
(M < N)；
④有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用不放回抽取方法，ξ 表示n 次抽取中出现次品的件数
(M < N)．
A. ①②
B. ③④
C. ②④
D. ①②③④
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84
7
考点6: 超几何分布的概率与分布列
例6
★★★
某批n 件产品的次品率为1%，现在从中任意地依次抽出2 件进行检验，问:
（1）当n = 100,1000,10000 时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到一件次品的概率各是多
少？（精确到0.00001）
（2）根据（1），谈谈你对超几何分布与二项分布关系的认识．
例7
★★★
正确率：79%
已知在10 件产品中可能存在次品，从中抽取2 件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ = 1) = 16
45，且该产品
的次品率不超过40%，则这10 件产品的次品率为( )
A. 10%
B. 20%
C. 30%
D. 40%
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85
7
达标检测3
★★
正确率：83%
某12 人的兴趣小组中，有5 名“三好生”，现从中任意选6 人参加竞赛，用ξ 表示这6 人中“三好生”的
人数，则下列概率中等于C3
5C3
7
C6
12
的是( )
A. P(ξ = 2)
B. P(ξ = 3)
C. P(ξ ⩽2)
D. P(ξ ⩽3)
考点7: 与超几何分布相关的分布列计算
例8
★★★
在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的
志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受
心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6 名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6 和4 名女志愿
者B1,B2,B3,B4，从中随机抽取5 人接受甲种心理暗示，另5 人接受乙种心理暗示．
（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1 但不包含B1 的概率．
（2）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望E(X)．
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86
7
例9
★★★★
一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1 个球，得到黑球的概率是2
5；
从袋中任意摸出2 个球，至少得到1 个白球的概率是7
9．
（1）若袋中共有10 个球，从袋中任意摸出3 个球，求得到白球的个数的数学期望．
（2）求证：从袋中任意摸出2 个球，至少得到1 个黑球的概率不大于7
10．并指出袋中哪种颜色的球个
数最少．
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87
7
随堂测试
测试1 若随机变量X ∼B(n, p)，且E (X) = 6，D(X) = 3，则P(X = 1) 的值为( )
A. 3×2−2
B. 2−4
C. 3×2−10
D. 2−8
测试2 从一批含有11 只正品，2 只次品的产品中，不放回地抽取3 次，每次抽取1 只，设抽得次品数为X，则
E (X) 的值为( )
A. 6
13
B. 5
13
C. 5
11
D. 6
11
高二数学·目标清北班（课改）·寒
88
7
课堂总结
1119091112529
