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2020 寒
高一数学·目标竞赛班（BSGS）
期末试卷
（本试卷共二大题，满分120 分，考试时间80 分钟）
一、填空题（每题8 分）
1
已知集合A、B 为I = {0,1,··· ,9} 的子集．若A∩B = ∅，A∪B = I，则满足条件的有序集合对(A,B)
的个数为
．
2
已知定义在R 上的奇函数f (x) 满足f (x+2) = f (x)，且当x ∈[0,1) 时，f (x) = 2x −1．则
f
(
log2
1
2019
)
=
．
3
已知椭圆x2
4 +y2 = 1 的左、右焦点分别为F1、F2，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，且∠F1MF2 = 2θ，
△MF1F2 的内心为I．则|MI|cosθ =
．
4
将一个长方体切割成k 个四面体．则k 的最小值为
．
5
已知数列{an} 满足：a1 = 4，an+1 =
a2
n
2an −3．则a2019 =
．
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6
已知关于x 的三次函数y = f (x) 的两个极值点为P、Q，其中，P 为原点，Q 在曲线y = 1+
√
2x−x2
上．则曲线y = f (x) 的切线斜率的最大值的最小值为
．
7
在长方体ABCD−A1B1C1D1 中，AB = 1，AD = 5，AA1 = 2，M、N 分别为棱B1C1、A1D1 上靠近点B1、
A1 的五等分点．若E、F 分别为线段BN、CM 上的动点，G 为底面ABCD 上的动点，则EF +EG 的
最小值为
．
8
设x 为方程x3 = x+1 的实根，且满足x7 = αx2 +βx+γ(α、β、γ ∈Z)．
则∑αβγ =
．
二、解答题（第9 题16 分，第10、11 题20 分）
9
设正实数a、b、c，满足a ⩽b ⩽c，且a2 +b2 +c2 = 9．证明：abc+1 > 3a．
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10 对任意的x 和正整数n，比较nsin2x 和sinxsinnx 的大小．
11 如图，A、B 为椭圆x2 +2y2 = 1 的左、右顶点，P 为直线x = 1 上一点，D 为椭圆上一点，PD 交椭圆
于点C，直线AD、AC 分别与直线OP 交于点E、F．证明：OE = OF．
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