目录
第1 讲
立体几何基本概念························1
第2 讲
立体几何中的位置关系··················25
第3 讲
面积与体积······························45
第4 讲
空间中的距离和角······················61
第5 讲
向量法解立体几何·······················77
第6 讲
立体几何综合···························93
第7 讲
模拟与测试·····························103
第
讲
1
1
立体几何基本概念
Part 1
空间几何体的认识
Part 2
空间几何体的平面表示
2
Part 1
空间几何体的认识
知识点睛
【知识点1】空间几何体的基本元素
1．空间中基本元素的表示及特性
(1) 点：空间中的点不考虑大小，用大写字母A，B，C…表示．
(2) 线：空间中的线无限延伸，不考虑粗细，用AB，CD，a，b，l ··· 表示．
(3) 面：空间中的面不考虑厚薄，无限延展，用平面ABCD，平面AC（平行四边形对角线），α，β ··· 表示．
2．几何体：
只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等．
3．几何体的基本元素
(1) 几何体中的面：几何体的面可能是曲面(例如球) 也可能是平面(例如正方体)，几何体中的面是有确定大小
的．
(2) 几何体中的线：几何体中相邻两个面相交能够形成一条线，几何体中的线有确定的长度．
(3) 几何体中的点：几何体中的线与线相交能够形成点，几何体中的点称为顶点．
注意
①空间当中的线面都是无限延伸的，而几何体中的线有确定的长度，面有确定的面积．
②画两个相交平面时，交线画成实线；当一个平面的一部分被另一部分遮住时，应把被遮住的部分画成虚
线或不画，以增加立体感．
第1 讲
3
精讲精练
【例1】
三个不重合的平面可把空间分成n 部分，则n 的所有可能取值为( )
A. 4
B. 4 或6
C. 4 或6 或8
D. 4 或6 或7 或8
知识点睛
【知识点1】多面体
1．多面体：
由若干个平面多边形所围成的封闭的几何体．
2．凸多面体：
把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同侧，则这样的多面体就叫做凸多
面体．
非凸多面体举例：
4
3．截面：
一个几何体和一个平面相交所得的平面图形，叫做这个几何体的截面．
欧拉公式：V (vertex，)F (face，)E (edge) 分别为顶点数，面数，棱数．对于一般的简单多面体体有V +F −E =
2，对带一个洞的多面体，有V +F −E = 0.
精讲精练
【例2】
一个多面体的每个面都是五边形，以每个顶点为端点的棱都有3 条，求它的面数、顶点数、棱数；
【例3】
一个八面体的各面均为全等的四边形，P =
{
棱的长
}
．求证：P 中至多有3 个元素．
第1 讲
5
知识点睛
【知识点2】棱柱
1．棱柱：
一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所
围成的多面体叫做棱柱．
2．棱柱的结构性质
(1) 两个底面为全等多边形，对应边互相平行；
(2) 侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等．
3．棱柱的分类
(1) 按照底面边数分类：三棱柱、四棱柱、五棱柱……；
(2) 按照侧棱与底面关系：垂直——直棱柱，不垂直——斜棱柱．
4．特殊的棱柱
(1) 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．
(2) 常见的特殊四棱柱：
6
5．棱柱的表面积以及体积
棱柱的侧面积：S侧= 每个侧面的面积之和
棱柱的全面积：S全= S侧+2S底
棱柱的体积：V = S底·h
精讲精练
【例4】
以下说法正确的有哪些，不正确的请指出原因．
（1）有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱；
（2）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；
（3）有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫做棱柱；
（4）用一个平面去截棱柱，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱柱；
第1 讲
7
知识点睛
【知识点3】棱锥
1．棱锥：
以运动的观点来看，当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．
2．正棱锥：
如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．正棱锥的各个
侧面都是全等的等腰三角形，它们底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高．各棱长都相等的正三棱锥叫做正四面体．
3．棱锥的表面积以及体积
棱锥的侧面积：S侧= 每个侧面的面积之和
棱锥的全面积：S全= S侧+S底
棱锥的体积：V = 1
3S底·h
8
精讲精练
【例5】
下面十个命题，正确的是哪些，不正确的请指出原因．
（1）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体设棱锥；
（2）各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；
（3）侧棱都相等的棱锥是正棱锥；
（4）底面是正方形的棱锥是正四棱锥；
（5）正四面体就是正四棱锥；
（6）顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是底面多边形的外心的棱锥是正棱锥；
（7）顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥；
（8）底面三角形各边都分别与相对的侧棱垂直的三棱锥是正三棱锥；
（9）底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
（10）底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥；
第1 讲
9
知识点睛
【知识点4】棱台
1．棱台：
棱锥被平行于底面的平面所截后，截面和底面之间的部分．
2．棱台的结构性质：
(1) 各侧棱延长后交于一点；
(2) 上下底面平行且对应边成比例．
3．正棱台：
由正棱锥截得的棱台．
正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．
下图为一个正三棱台，记为棱台ABC −A′B′C′，侧棱AA′，BB′，CC′ 延长后必交于一点．O′，O 为上下底面的中
心，它们的连线O′O 是棱台的高，H′H 是棱台的斜高．
4．棱台的表面积及体积
棱台的侧面积：S侧= 每个侧面的面积之和
棱台的全面积：S全= S全+S上底+S下底
棱台的体积：V = 1
3h
(
S上底+S下底+√S上底·S下底
)
10
精讲精练
【例6】
下列四个命题中，正确的是哪些，不正确的请指出原因．
（1）用一个平面取截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
（2）两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
（3）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
（4）仅有两个面互相平行的五面体是棱台；
【例7】
正六棱台的上，下底面的边长和侧棱长分别为a，b，c，则它的高和斜高分别为
．
第1 讲
11
知识点睛
【知识点1】旋转体
旋转体：我们把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．
这条定直线叫做旋转体的轴．常见旋转体有球，圆柱，圆锥，圆台．
【知识点2】圆柱
1．圆柱：
矩形绕其一边所在直线旋转一周所形成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；原矩形中平行于轴的边旋
转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，这条平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．圆柱用其轴的字
母表示，下图中的圆柱可以表示为“圆柱O′O”
注意
(1) 圆柱的母线有无数条．
(2) 我们常说的柱体包括棱柱和圆柱．
思考：用一个平面去截一个圆柱，截出的面一定是圆吗？
2．圆柱的侧面面积，全面积以及体积
用l、h 分别表示母线长、高，r 表示圆柱的底面半径，则：
(1) 圆柱的侧面面积：S侧= 2πrl；
(2) 圆柱的全面积：S全= 2πr(l +r)；
(3) 圆柱的体积：V = πr2h
12
【知识点3】圆锥
1．圆锥：
直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周所形成的旋转体叫做圆锥．圆锥用其轴的字母表示，下图中的
圆锥可以表示为“圆锥SO”．我们常说的锥体包括棱锥和圆锥．
思考：能不能类比圆柱轴，侧面，母线的概念来解释圆锥的轴，侧面以及母线呢？
2．圆锥的侧面面积，全面积以及体积
用l、h 分别表示母线长、高，r 表示圆锥的底面半径，则：
（1）圆锥的侧面面积：S侧= πrl；
（2）圆锥的全面积：S全= πr(l +r)；
（3）圆锥的体积：V = 1
3 πr2h．
【知识点4】圆台
1．圆台：
直角梯形绕其垂直于底的腰所在直线旋转一周所形成的旋转体叫做圆台．圆台用其轴的字母表示，下图中的
圆台可以表示为“圆台O′O”
思考：能不能类比圆柱轴，侧面，母线的概念来解释圆台的轴，侧面以及母线呢？
第1 讲
13
2．圆台的侧面面积，全面积以及体积
用l、h 分别表示母线长、高，r1、r2 分别表示圆台上、下底面半径．
（1）圆台的侧面面积：S侧= π (r1 +r2)l；
（2）圆台的全面积：S全= π (r1 +r2)l + π
(
r2
1 +r2
2
)
；
（3）圆台的体积：V = 1
3 πh
(
r2
1 +r1r2 +r2
2
)
．
【知识点5】球
1．球：
半圆绕其直径所在直线旋转一周所形成的旋转体叫做球．球用球心的字母表示，下图中的球可以表示为“球
O”．
2．经过球心的截面圆叫做大圆，不过球心的圆叫做小圆．
球的小圆圆心与球心连线垂直于小圆．两点间的球面距离等于经过两点的大圆在这两点间的劣弧长．
注意
①球面与球体是两个不同的概念，要注意它们的区别与联系．
②球面的概念可以用集合的观点来描述．与定点的距离等于定长的所有点的集合（轨迹）叫球面．如果
点到球心的距离小于球的半径，这样的点在球的内部，否则在外部．
③如果球面上两点的连线不是直径，则经过这两点有且只有一个大圆，如果恰为直径，则可以作无数个大
圆．
14
3．球的表面积以及体积
用R 表示球的半径．
（1）球的表面积：S = 4πR2；
（2）球的体积：V = 4
3 πR3．
精讲精练
【例8】
下列命题正确的有哪些，不正确的请指出原因
（1）以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
（2）以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
（3）圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
（4）用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；
（5）夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱；
（6）半圆绕其直径所在的直线旋转一周形成球；
【例9】
若某圆柱的体积和表面积在数值上刚好相等，则该圆柱的体积的最小可能值是
．
第1 讲
15
Part 2
空间几何体的平面表示
知识点睛
应对不熟悉的空间问题，可以考虑空间几何题的一个局部，即一个平面，将空间问题转化为平面问题。
与空间几何体有关的平面包括：截面问题、表面问题、和投影问题。
精讲精练
【例10】
一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面不可能的图形是( )
【例11】
（1）在棱长为1 的正方体内有两个球相外切又分别与正方形内切，求两球半径之和．
（2）在棱长为1 的正方体内切一个球，显然在这个正方体的一个顶点附近存在一个空间未被填充，接下来在这个
小空间内再放入一个小球，与正方体三面和大球都相切；将此过程无限重复下去，求所有球半径之和．
16
【例12】
（1）如图在长方体中，AB = 2,AD = 4,AA′ = 3，求长方体表面上连接AC′ 的诸曲线长度的最小值．
（2）如图，在侧棱长均为2
√
3 的正三棱锥V −ABC 中，∠AVB = ∠BVC = ∠CVA = 40◦，
过A 作截面AEF 分别交VB,VC 于点E,F，求截面△AEF 的周长最小值．
（3）一个正方体展开图如下，请把图中给出的点，按还原后的八个顶点分为八组，在同一个顶点的为一组．
第1 讲
17
知识点睛
平行投影和中心投影
平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影，平行投影的投影线是平行的，分为正投影和斜投
影．
中心投影：光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影，显示生活中见到的很多投影都是中心投影，如电灯
光，蜡烛灯光等点光源照射下物体的影子．
精讲精练
【例13】
（1）如图，E,F 分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1 的中心，则四边形BFD1E 在该正方体的面上的正投影有
几种？请分别画出示意图．
（2）下列命题中，正确的是哪些
A、矩形的平行投影一定是矩形
B、梯形的平行投影一定是梯形
C、两条相交直线的投影可能平行
D、正方形的投影可能是平行四边形
18
知识点睛
1．直观图
（1）用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．
（2）画法：斜二测画法和正等测画法：
斜二测画法规则：
①在已知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴Ox，Oy，再作Oz 轴，使∠xOz = 90◦，∠yOz = 90◦．
（三
维空间中）
②画直观图时，把Ox，Oy，Oz 画成对应的轴O′x′, O′y′, O′z′，使∠x′O′y′ = 45◦或135◦，∠x′O′z′ = 90◦，x′O′y′ 所
确定的平面表示水平平面．
（二维平面上）
③已知图形中，平行于x 轴，y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′ 轴，y′ 轴或z′ 轴的线段．并使
它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．
④已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．
⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．
精讲精练
【例14】
（1）如图是一个空间几何体的正、侧、俯三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．
第1 讲
19
（2）水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC 是什么三角形？
( )
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 任意三角形
（3）用斜二测画法作出一个三角形的直观图，则原三角形面积是直观图面积的( )
A. 1
2 倍
B. 2
√
2 倍
C. 2 倍
D.
√
2
4
倍
知识点睛
2．三视图
在画正投影时，常选取三个互相垂直的平面作为投射面，
一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个面内的图形叫做俯视图；
一个投射面放置在正前方，叫直立投射面，投射到此平面内的图形叫做主（正）视图；
和水平投射面、直立投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投射面的右面，投射到
这个平面内的图形叫做左（侧）视图．
将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做
空间图形的三视图．
20
精讲精练
【例15】
（1）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )
（2）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是
．
（3）某几何体的一条棱长为
√
7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为
√
6 的线段，在该几何体的侧视图
与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，求a+b 的最大值．
第1 讲
21
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：30 分钟
你的用时：
【测试1】
正多面体至少有
个面，
条棱，
个顶点( )
A. 4，6，4
B. 3，4，3
C. 4，8，6
D. 3，6，4
【测试2】
下列说法中，正确的是( )
A. 棱柱的侧面可以是三角形
B. 若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其它侧面也是矩形
C. 长方体的所有棱长可能都相等
D. 棱柱的所有棱长都相等
22
拍摄区
【测试3】
四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是( )
A. 各侧面是正三角形
B. 底面是正方形
C. 各侧面三角形的顶角为45 度
D. 顶点到底面的射影在底面对角线的交点上
【测试4】
（1）正四棱台的高为17，两底面的边长分别是4 和16，则这个棱台的侧棱长为
；
（2）已知正三棱锥SABC 的高SO = h，斜高SM = l，则经过SO 的中点且平行于底面的截面
△A′B′C′ 的面积为
；
（3）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3 倍，轴截面的面积等于392cm2，母线与底面的
夹角是45◦，则这个圆台的母线长为
．
第1 讲
23
拍摄区
【测试5】
如图，正方形O′A′B′C′ 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面
几何图形的形状，并求原图形的周长与面积．
【测试6】
某几何体的三视图如图所示，求表面积
第
讲
2
25
立体几何中的位置关系
Part 1
空间中的位置关系
Part 2
空间中位置关系的判定与
性质
26
Part 1
空间中的位置关系
知识点睛
一、平面
1. 概念：
平面是一个不加定义，只需理解的原始概念，立体几何里所说的平面是从现实生活中常见的平面中抽象出来
的，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．平面具有无限延展性，它是理想的、绝对的平
且无大小、无厚薄、不可度量．
2. 画法：
我们从适当的角度和距离观察桌面或墙面时，感到它们都很像平行四边形，因此立体几何中我们通常以斜二
测画法将平面画成锐角45◦，横边画成邻边的2 倍长的平行四边形．
公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. A ∈l，B ∈l，A ∈α，B ∈α ⇒l ⊂α．
反映了直线与平面的位置关系，既可以判定直线是否在平面内，又可用直线检验平面.
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. A，B，C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使得
A ∈α ，B ∈α，C ∈α．
可用于确定平面或用其证明点线共面问题.
推论1：直线与直线外一点确定一个平面.
推论2：两条相交直线确定一个平面.
推论3：两条平行直线确定一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ∩β ⇒
α ∩β = l，且P ∈l．
反映了平面和平面的位置关系．是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这
两个平面必相交于过这点的一条直线；还可以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共
交线，则这点在交线上.
公理4：（平行公理）平行于同一直线的两条直线平行.
第2 讲
27
精讲精练
【例1】
在空间内，可以确定一个平面的条件是
．
①两两相交的两条直线
②三条直线，其中一条与另外两条直线分别相交
③三个点
④三条直线，两两相交，但不交于同一点
⑤两条直线
【例2】
空间中，直线a，b，c 都与直线d 相交，且a//b，b//c，求证：a，b，c，d 共面.
28
知识点睛
1. 异面直线的定义：
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
2. 空间直线位置关系分类：
在同一平面内: 相交直线、平行直线.
不同在任何一个平面内：异面直线.
注意
异面直线既不相交也不平行，要注意把握异面直线的不共面性，不能把异面直线误解为分别在不同平面内
的两条直线为异面直线。
3. 异面直线所成角的定义：
直线a，b 是异面直线，经过空间一点O，分别引直线a′//a，b′//b，相交直线a′，b′ 所成的角（非钝角）叫做异面
直线a，b 所成的角．异面直线所成角的范围为
(
0, π
2
]
．
异面直线a 与b 所成角为直角时，称a⊥b；
在空间中，如果a⊥b，那么直线a 与b 可能共面，也可能异面．
与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两
条异面直线之间的距离.
第2 讲
29
精讲精练
【例3】
下列说法正确的是
①两条直线无公共点，则这两条直线平行；
②两直线若不是异面直线，则必相交或平行；
③过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线；
④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线；
【例4】
在正方体ABCD−A′B′C′D′ 中，对角线A′C′ 与AB′ 的夹角是多少？
【例5】
正方体ABCD−A1B1C1D1 的任两点连线，可以得到多少条直线，多少对异面直线？
30
知识点睛
1. 直线与平面的位置关系
相交与平行统称为直线不在平面内，符号表示为a̸ ⊂α；线在面内与相交统称为直线不平行于平面．
2. 两个平面的位置关系
第2 讲
31
精讲精练
【例6】
证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
【例7】
在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，A1C 与平面ABC1D1 交于点Q，求证B,Q,D1 三点共线．
【例8】
在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，E 为AB 的中点，F 为AA1 的中点，求证CE,D1F,DA 三线交于一点．
32
Part 2
空间中位置关系的判定与性质
知识点睛
【知识点1】线面平行
【知识点2】面面平行
第2 讲
33
注意
①如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行；
②面面平行的判定和性质常用来推导线面平行；
③使用线面平行判定定理时，注意直线在平面外；使用面面平行判定定理时，注意两条相交直线；
④线线平行、线面平行、面面平行的逻辑关系如下:
精讲精练
【例9】
（1）能保证直线与平面平行的条件是( )
A. 直线与平面内的一条直线平行
B. 直线与平面内的某条直线不相交
C. 直线与平面内的无数条直线平行
D. 直线与平面内的所有直线不相交
（2）下列条件中，能判断两个平面平行的是( )
A. 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
B. 一个平面内有两条直线平行于另一个平面
C. 一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面
D. 两个平面同时垂直于另一个平面
34
【例10】
如图，在正三棱柱ABC −A1B1C1 中，点D 是AB 的中点．求证：BC1// 平面A1CD．
【例11】
三棱锥S −ABC 中，AS = AB，过A 作AF⊥SB，垂足为F，点E,G 分别是棱SA,SC 的中点，求证平面EFG// 平面
ABC．
第2 讲
35
知识点睛
【知识点1】线面垂直
1. 线面垂直的判定定理与性质定理
2. 三垂线定理：
平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条直线垂直。
3. 线面所成角
如图所示，直线PA 与平面α 相交与点A 但不垂直，直线PA 叫做平面的斜线，A 叫做斜足．过斜线上斜足外
一点P 向平面作垂线PO，过垂足O 和斜足A 的直线AO 叫做斜线在这个平面上的射影，斜线和它在平面上的射
影所成的锐角，叫做直线和平面所成角．
特殊地，直线平行于平面，或直线在平面内时，我们说线面所成角为0；直线与平面垂直时，线面所成角为π
2 ．
所以，空间中直线与平面所成角的范围是
[
0, π
2
]
．
36
【知识点2】面面垂直
1. 面面垂直的判定定理与性质定理
2. 二面角
如图所示，从一条直线l 出发的两个半平面α,β 所组成的图形叫做二面角，这条直线l 叫做二面角的棱，这两
个半平面叫做二面角的面．二面角可以记作二面角α −l −β 或A−l −B．
在二面角α −l −β 的棱上任取一点O，以O 为垂足，在两个半平面内分别作垂直于l 的射线OA，OB，∠AOB
叫做二面角的平面角．
二面角的大小可以用它的平面角衡量，范围为[0, π]．
注意
①若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于平面内的所有直线；
②使用线面垂直判定定理时，注意直线垂直于平面内两条相交直线；
③线线垂直判定
←→
性质线面垂直判定
←→
性质面面垂直．
第2 讲
37
精讲精练
【例12】
下列说法正确的有
①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；
②一条直线和一个平面平行，他就和这个平面无交点；
③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；
④如果直线l 和平面α 平行，那么过平面α 内一点和直线l 平行的直线在α 内；
⑤若m//α,n//α, 则m//n；
⑥若m⊥α,n ⊂α, 则m⊥n；
⑦若m⊥α,m⊥n, 则n//α；
⑧若m//α,m⊥n, 则n⊥α；
【例13】
在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形ABCD 为平行四边形，∠ACB = 90◦，EF//BC，AC = BC =
√
2，AE = EC = 1．求证：AE⊥平面BCEF．
38
【例14】
一个四面体有两个底面上的高线相交，证明，它的另外底面的高线也相交.
【例15】
A，B，C，D 是空间中四点，且∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90◦，求证：四边形ABCD 是矩形．
第2 讲
39
知识点睛
直线与平面平行的常用证明方法:
（1）利用线、面平行判定定理
a//b
b ⊂α
a̸ ⊂α
⇒a//α
（2）利用面面平行性质定理
α//β
a ⊂α
⇒a//β
（3）利用面面垂直性质定理
α⊥β
a⊥β
a̸ ⊂α
⇒a//α
直线与平面垂直的常用证明方法：
（1）利用线、面垂直判定定理
a ⊂α,b ⊂α
a∩b = O
l⊥a,l⊥b
⇒l⊥α
（2）利用线、面垂直判定定理
a//b
a⊥α
⇒b⊥α
（3）利用线、面垂直性质定理
α ∩β = l
α⊥β
a ⊂α,a⊥l
⇒a⊥β
40
（4）利用面、面平行性质定理
α//β
a⊥α
⇒a⊥β
（5）利用面、面垂直性质定理
α⊥γ
β⊥γ
α ∩β = a
⇒a⊥γ
精讲精练
【例16】
顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB⊥OB，
垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA = 4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O−HPC 的体积最大时，求OB
【例17】
如图，在正四棱锥S −ABCD 中，点P，Q，R 分别在侧棱SA，SB，SD 上，且SP
PA = BQ
QS = DR
RS = 1
2．求证：SC// 平面
PQR．
第2 讲
41
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：30 分钟
你的用时：
【测试1】
下列命题正确是
．
①两条直线无公共点是这两条直线为异面直线的充分不必要条件；
②一条直线垂直于一个平面内无数条直线是这条直线垂直于这个平面的充要条件；
③空间一个角的两边分别垂直于另一个角的两边是这两个角相等或互补的充要条件；
④a,b 是这个平面外α 的两条直线，且a//α，则a//b 是b//α 的必要而不充分条件；
【测试2】
（1）在正方体ABCD−A′B′C′D′ 中，对角线A′C′ 与AB′ 的夹角是多少？
（2）已知平面α// 平面β，P 是α,β 外一点，过点P 的直线m 与α,β 交于点A,C，过点P 的直
线n 与α,β 分别交于点B,D，且PA = 6,AC = 9,PD = 8，求BD 的长．
42
拍摄区
【测试3】
如图，在三棱锥P −ABC 中，PA = 4,BC = 6,PA,BC 都平行的截面四边形EFGH 的周长为l，试
确定l 的取值范围．
【测试4】
已知正方体ABCD−A′B′C′D′ 中，对角线AB′,BC′ 上分别有两点E,F 且B′E = C′F，求证：
（1）EF// 平面ABCD．
（2）平面ACD′// 平面A′BC′．
第2 讲
43
拍摄区
【测试5】
在三棱柱ABC −A1B1C1 中，侧面BB1C1C 为菱形，B1C 的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．
（1）证明：B1C⊥AB；
（2）若AC⊥AB1,∠CBB1 = 60◦,BC = 1，求三棱柱ABC −A1B1C1 的高．
第
讲
3
45
面积与体积
Part 1
多面体的体积与面积
Part 2
旋转体的体积与面积
Part 3
最值问题
46
Part 1
多面体的体积与面积
知识点睛
多面体的表面积和体积公式
表中S 表示面积，c′、c 分别表示上、下底面周长，h 表示高，h′ 表示斜高，l 表示侧棱长．
精讲精练
【例1】
证明正四棱台体积满足台体体积通式．
第3 讲
47
【例2】
一个多面体的三视图如图，求该多面体的表面积和体积
【例3】
已知正四面体棱长为a，求四面体的高、表面积、体积、内切球半径、外接球半径．
【例4】
（1）在正方体ABCD−A′B′C′D′ 的棱AB，AD，AA′ 上分别截取一点X，Y，Z，得到三棱锥A−XYZ，设AH 是三棱锥
的高，证明：1
AX2 +
1
AY 2 +
1
AZ2 =
1
AH2 .
48
（2）若四面体四个面面积分别是3,4,12,13，求体积．(提示：注意到32 +42 +122 = 132，所以四面体是一个直角
四面体)
【例5】
如图，四面体ABCD 中，平面π 截四面体所得的截面为EFGH，且AB// 平面π，CD// 平面π，AB 到平面π 的距
离为d1，CD 到平面π 的距离为d2，d1
d2
= k，求立体图形ABEFGH 与四面体ABCD 的体积之比．(用k 表示)．
第3 讲
49
【例6】
（1）如图所示，在三棱台ABC −A′B′C′ 中，AB : A′B′ = 1 : 2，则三棱锥C −A′B′C′，B−A′B′C，A′ −ABC 的体积之比
为( )
A. 1 : 1 : 1
B. 2 : 1 : 1
C. 4 : 2 : 1
D. 4 : 4 : 1
（2）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，
“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面
的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”ABC−A1B1C1，
AC⊥BC，若AA1 = AB = 2，当“阳马”B−A1ACC1 体积最大时，则“堑堵ABC −A1B1C1 的表面积为( )
A. 4+4
√
2
B. 6+4
√
2
C. 8+4
√
2
D. 10+4
√
2
50
【例7】
如图几何体中，四边形ABCD 为矩形，AB = 3BC = 6，BF = CF = AE = DE = 2，EF = 4，EF//AB，G 为FC 的中点，
M 为线段CD 上的一点，且CM = 2．
（1）证明：AF// 面BDG．
（2）证明：面BGM⊥面BFC．
（3）求三棱锥F −BMC 的体积V．
第3 讲
51
Part 2
旋转体的体积与面积
知识点睛
旋转体的表面积和体积公式
表中l、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥的底面半径，r1、r2 分别表示圆台的上、下底面半径，R 表示球的
半径．
精讲精练
【例8】
（1）已知圆台高为3，轴截面中，母线AA1 与底面圆直径夹角为60◦，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台体积．
52
（2）如图，梯形ABCD 中，AD//BC，∠ABC = 90◦,AD = a,BC = 2a,∠DCB = 60◦，在平面ABCD 内，过点C 作l⊥CB，
将梯形以l 为轴旋转一周，求旋转体表面积．
【例9】
把三边长分别为3,4,5 的三角形绕它的最大内角的角平分线旋转一周所得的旋转体的体积等于
.
第3 讲
53
【例10】
已知点A 位于地球东经115◦、北纬60◦，点B 位于东经55◦、北纬30◦，点C 位于东经55◦、北纬60◦．求
（1）AC 两点在纬度圈上距离；
（2）BC 球面距；
（3）AB 球面距．
54
Part 3
最值问题
精讲精练
【例11】
（1）在三棱锥S−ABC 中，SA = 4,SB ⩾7,SC ⩾9,AB = 5,BC ⩽6,AC ⩽8，求三棱锥S−ABC 体积最大值．
（2）在棱长为10 的密闭正方形铝盒两个相对面上各有一个小洞，两小洞的连线与它们各自所在的面垂直，且每
小洞与它最近的两条棱的距离分别为2 和3. 不计铝盒厚度，那么这个铝盒最多能装水的体积为( ).
A. 700
B. 800
C. 880
D. 888
第3 讲
55
【例12】
四棱锥的四个侧面都是腰长为
√
7，底边长为2 的等腰三角形，那么此四棱锥的体积最大可能值为
.
【例13】
一个正三棱锥的体积为
√
2
3 ，求表面积最小值．
【例14】
（1）点P 在直径为1 的球面上，过点P 作两两垂直的三条弦．若其中一条弦是另一条弦的两倍，求三弦之和的最
大值．
56
（2）半球O 的半径为R，内接长方体ABCD−A′B′C′D′ 的一个面ABCD 在半球O 的底面上，求该长方体所有棱长
之和的最大值．
【例15】
在四面体ABCD 中，AB 与CD 垂直，设AB 长为a，AB 与平面BCD 所成角为α，二面角A−CD−B 的大小为β，则
四面体过棱AB 的截面三角形周长的最小值是
.
第3 讲
57
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：30 分钟
你的用时：
【测试1】
（1）已知ABCD −A1B1C1D1 是一个棱长为1 的正方体，O1 是底面A1B1C1D1 的中心，M 是棱
长BB1 上的点，且S∆DBM : S∆O1B1M = 2 : 3，求VO1ADM．
（2）如图，ABCD−A1B1C1D1 为单位正方体，点E、F 分别在线段AA1、B1C 上，则三棱锥D1 −EDF
的体积为
．
58
拍摄区
【测试2】
在如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为直角梯形，AB//CD，∠DAB = 90◦，四边形
ADEF 为等腰梯形，EF//AD，已知AE⊥EC，AB = AF = EF = 2，AD = CD = 4．
（1）求证:CD⊥平面ADEF．
（2）求多面体ABCDEF 的体积．
第3 讲
59
拍摄区
【测试3】
ABCD 是单位正方形，P 是AB 的中点，沿着PC 和PD 把ABCD 折叠成四面体PACD（A 与B 重
合），则四面体PACD 的体积等于( ).
A.
√
3
30
B.
√
3
24
C.
√
3
20
D.
√
3
12
【测试4】
正方体ABCD−A′B′C′D′ 的棱长为1，E 为CD 的中点，F 为AA′ 的中点，则过点E,F,B′ 的截面
面积为( ).
A. 55
√
5
192
B.
√
29
4
C. 11
√
29
48
D. 7
√
29
8
60
拍摄区
【测试5】
已知△ABC 的周长为16，那么，将该三角形绕一边旋转所得旋转体的体积最大时，三角形的三
边长为
.
第
讲
4
61
空间中的距离和角
Part 1
空间中的距离
Part 2
空间中的角
62
Part 1
空间中的距离
精讲精练
【例1】
在如图所示的棱长均为1 的正四面体ABCD 中，点M 和N 分别是边AB 和CD 的中点，则线段MN 的长度为
( )
A.
√
2
2
B.
√
2
C.
√
3
3
D. 2
知识点睛
一、点线距
①直接法：作垂直，构造直角三角形，用勾股定理；
②空间坐标计算；
二、点面距
①直接法：作垂直，构造直角三角形；
②体积法：这是用得最多的一种方法，将点面距转化为一个立方体的高，通过体积和底面积求高，从而得到点
面距；
③转化法，存在过这个点且与平面平行的直线，在直线上另找一个点. 有了这种方法，线面距就可以转化为点
面距；
④向量法
第4 讲
63
精讲精练
【例2】
已知线段AD 与平面P 平行，且到平面P 的距离等于8. 点B 是平面P 内一个动点，且满足AB = 10，若AD = 21，
则点D 与点B 距离的最小值为
.
【例3】
正方体ABCD−A′B′C′D′ 的棱长为1，M 是棱BB′ 的中点，则点M 到平面A′C′D 的距离是( ).
A. 1
B.
√
2
2
C.
√
3
2
D.
√
3−1
【例4】
在边长为3 的正三角形ABC 中，E，F，P 分别是AB，AC，BC 边上的点，满足AE
EB = CF
FA = CP
PB = 1
2，将△AEF 沿EF
折起到△A1EF 的位置，使二面角A1 −EF −B 成直二面角，连接A1B，A1P（如图）．求B 到面A1PF 的距离．
64
知识点睛
三、异面直线距离
①转化法：转化为直线到面的距离(l//α)；
②体积法：我们知道，四面体的对棱是异面直线，设一个四面体对棱为a，b，对面所成的角为α，对棱距离为d，
四面体体积为V，则V = 1
6abd sinα.
证明：我们知道，任何四面体可以补形成一个平行六面体．如图，AB，CD 为异面直线，
AB//A′B′，则V = Sd=1
2absinαd，而：
VABCD = V−(VC−ABC′ +VD−ABD′ +VA−A′CD +VB−B′CD) = 1
3V = 1
6absinα d
③向量法：−→n ⊥−→
AB，−→n ⊥−→
CD，
−→d
=
−→
CA·−→n
|−→n |
（两个向量上任各取一点即可）；
④公式法：AB⊥BF，AB⊥AE，BF = m，AE = n，d 为BF，AE 之间的距离，则：
d =
√
EF2 −(m2 +n2 −2mncosα)；
第4 讲
65
精讲精练
【例5】
在单位正方体ABCD−A′B′C′D′ 中，求对角线AC 与BC′ 的距离.
【例6】
四面体ABCD 的对棱AB，CD 相等，E，F 分别是AB 和CD 的中点，EF 与AB，CD 都垂直，并且EF = 6，AC = 10，
BC = 6
√
2，则异面直线AD 与BC 的距离是
.
【例7】
（1）已知异面直线a，b 所成的角为θ，点M，A 在直线a 上，点N，B 在直线b 上，MN 为公垂线. 若MN = d，MA = m，
NB = n，则AB 长度为
.
（2）设l 与l′ 为两条异面直线，l 上的两点A,B 到l′ 的距离分别为a,b，二面角A−l′ −B 的大小为θ ，则l 与l′ 之
间的距离为
.
66
Part 2
空间中的角
精讲精练
【例8】
二面角A−SB−C 为直二面角，∠ASB = 45◦，∠CSB = 60◦. 求∠ASC 的余弦值.
知识点睛
一、线面角
①直接法：作垂直，构造直角三角形；
②体积法：取直线上一点A，直线和平面存在交点B，设线面角为α，点A 到平面距离为h，则sinα = h
AB.
第4 讲
67
精讲精练
【例9】
正四棱柱ABCD−A′B′C′D′ 中，底面ABCD 边长为4，侧棱CC′ 长为3，又E 为CC′ 上一点，且CE = 1．
（1）求B′D 与平面BDE 所成角的正弦值；
（2）求四面体A−BED′ 体积；
68
知识点睛
二、异面直线角
①转化法：通过平行，将他们放进一个三角形中；
②体积法：V = Sd=1
2absinαd
精讲精练
【例10】
（1）正方体ABCD−A′B′C′D′ 中，E，F 分别是面ADD′A′ 和面ABCD 的中心，G 是棱CC′ 的中点，直线C′E 与AB
的夹角为x，直线GF 与AB 的夹角为y，则x+y =
.
（2）在正四棱锥P−ABCD 中，M,N 分别是PA,PB 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为
√
2，求异面直线
DM,AN 所成角．
（3）设△ABC 是边长为1 的正三角形，PA 与面ABC 垂直，且PA =
√
6
4 . 设点A 关于平面PBC 的对称点为A′，则
直线A′C 与AB 所成角的度数为
.
第4 讲
69
知识点睛
三、二面角
①三垂线定理：取α 上任意一点A，过A 作β 的垂线，交β 于B，再过B 作平面交线的垂线，交交线于C，
∠ACB 即为二面角．
②面积射影：一个图形原来的面积为S1，在一个平面上的射影图形的面积为S2，则图形原来所在平面和射影
平面的夹角α 满足cosα = S2
S1
；
③向量法：|cosα| = |−→
n1 −→
n2|
|−→
n1||−→
n2|，−→
n1，−→
n2 分别为两个平面的法向量．
④差角：转化为其他二面角处理．
精讲精练
【例11】
求正方体ABCD−A′B′C′D′ 中，二面角A−BD′ −A′ 的度数．
70
【例12】
如图，正三棱柱ABC −A′B′C′ 的底面边长为2，侧棱长为4，点P,M,N 分别在线段BC,AA′,CC′ 上，A′M = 1,PN,MN
与底面所成角均为45◦．
（1）证明A′B// 平面PMN；
（2）求平面PMN 和底面ABC 所成二面角(锐角) 的正切值．
第4 讲
71
【例13】
已知菱形ABCD 的边长为a，∠A = 60◦，将菱形ABCD 沿对角线折成二面角θ，满足60◦⩽θ ⩽120◦，则异面直线
AC 与BD 的距离l 的最大值为
.
【例14】
同底的两个正三棱锥P −ABC 和Q −ABC 内接于同一个球，若正三棱锥P −ABC 的侧面与底面所成的角为45◦，
则正三棱锥Q−ABC 的侧面和底面所成角的正切值为多少？
72
【例15】
四面体ABCD 中，AB = CD,AC = BD,AD = BC．
（1）求证：四面体四个面都是锐角三角形．
（2）设另外三个面和面BCD 所形成的二面角为α,β,γ，求cosα +cosβ +cosγ．
第4 讲
73
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：30 分钟
你的用时：
【测试1】
已知平面α⊥β，点A ∈α，点B ∈β，AB 与平面α,β 所成的角分别为π
4 , π
6 ，点A,B 在平面α,β
上的交线l 上的垂足分别为A′,B′，求线段AB 和A′B′ 的比值．
【测试2】
单位正方体ABCD−A′B′C′D′ 中，E，F 分别是面BB′C′C 和面ABCD 的中心，则异面直线EF 与
A′C′ 的距离为
．
74
拍摄区
【测试3】
在边长为3 的正方体ABCD−A′B′C′D′ 中，M 在棱CC′ 上，C′M = 1．
（1）求点B 到平面AMB′ 的距离；
（2）求BC 和平面AMB′ 所成角的正切值．
第4 讲
75
拍摄区
【测试4】
如图，在四棱锥P−ABCD 中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA = PD =
√
2，底面ABCD 为直角
梯形，其中BC//AD,AB⊥AD，AD = 2AB = 2BC = 2，O 为AD 中点．
（1）求证PO⊥平面ABCD；
（2）求异面直线PB,CD 所成角的大小；
（3）线段AD 上是否存在点Q，使得它到平面PCD 的距离为
√
3
2 ？若存在，求出AQ
QD 的值．
76
拍摄区
【测试5】
已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD 是菱形，∠DAB = π
3 ，PD⊥平面ABCD，PD = AD，点F 是PD
中点，求二面角P−AB−F 的余弦值．
第
讲
5
77
向量法解立体几何
Part 1
空间直角坐标系
Part 2
向量法解立体几何问题
78
Part 1
空间直角坐标系
知识点睛
一、空间直角坐标系
如图，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以单位正方体为载体，以O 为原点，分别以射线OA，
OC，OD′ 的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′ 的长为单位长，建立三条数轴：x，y，z．这时我们说建立了一个空间
直角坐标系O−xyz，其中点O 叫坐标原点，x，y，z 叫坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy
平面、yOz 平面、zOx 平面，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的
正方向，中指指向z 轴的正方向．
空间任意点与有序数组的对应关系：过任意一点作平面平行于平面，与轴的交点的坐标数即点的横坐标；同
理，分别为点的纵坐标、竖坐标。
空间中的坐标运算法则完全由平面中坐标的运算法则推广（除外积），如：
P1 = (x1，y1，z1)，P2 = (x2，y2，z2)，
两点距离：|P1P2| =
√
(x1 −x2)2 +(y1 −y2)2 +(z1 −z2)2；
中点：P1，P2 中点为P
(
x1 +x2
2
，y1 +y2
2
，z1 +z2
2
)
；
P(x，y，z) 关于平面xOy 对称、关于x 轴对称分别为(x，y，−z)，(x，−y，−z)；
同平面坐标系，数组P(x，y，z) 还可以表示空间中的向量，所以还有：
−→
P 1 = (x1，y1，z1)，−→
P2 = (x2，y2，z2)，
内积:−→
P 1 ·−→
P 2 = (x1x2 +y1y2 +z1z3)
* 外积:−→
P 1 ×−→
P2 = (y1z2 −z1y2，z1x2 −x1z2，x1y2 −y1x2)，
第5 讲
79
这个算法是由行列式的计算得到．平面向量中的外积，即z1 = z2 = 0 时的特殊情况情况．
外积的几何意义是，−→
P 1 ×−→
P2 为一个向量，大小为
−→
P1
−→
P2
sinθ，方向为从−→
P1
−→
P2 右手法则拇指所指方向（方向
和−→
P 1
−→
P 2 都垂直，所以也是−→
P 1
−→
P 2 所确定的平面的法向量的方向）．
由外积还可以得到空间中共起点的任意三个不共线的向量−→a ，−→b ，−→c 构成的平行六面体体积为
(−→a ×−→b
)
−→c ，
这个称为向量的混合积，记为
(−→a ，−→b ，−→c
)
.
空间中平面的标准式为Ax+By+Cz+D = 0，其中A，B，C 决定了平面在三个方向上的倾斜程度，D 决定了平
面最终的位置，即若两个平面平行，则A，B，C 相等且D 不等．
设过点Mo (x0，y0，z0) 的两个不共线向量为−→
vi = (Xi，Yi，Zi)(i = 1，2)，它们确定一个平面
则点M = (x，y，z) 属于这个平面，即−−→
MoM，−→
v1，−→
v2 共面．
即−−→
MoM = λ−→
v1 + µ−→
v2
故关于(λ,µ,1) 的方程组
x−X0 = λX1 + µX2
y−Y0 = λY1 + µY2
z−Z0 = λZ1 + µZ2
有无穷解
x−x0
y−y0
z−z0
X1
Y1
Z1
X2
Y2
Z2
= 0，按第一行展开就有Ax+By+Cz+D = 0，其中：
A =
Y1
Z1
Y2
Z2
，B =
Z1
X1
Z2
X2
，C =
X1
Y1
X2
Y2
，D = −(Ax0 +By0 +Cz0).
平面的法向量即垂直于这个平面的向量，所以平面的单位法向量有两个，且方向相反．任取平面内两条不共线
的向量−→a = (xa，ya，za)，−→b = (xb，yb，zb)，待定系数法设法向量为−→n = (A，B，C)，于是有−→n ·−→a = −→n ·−→b = 0，任意
令x，y，z 中一个为常数，即可得到法向量．
对于空间中平面Ax+By+Cz+D = 0，(A，B，C) 就是平面的法向量．
80
精讲精练
【例1】
（1）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1 中建立空间直角坐标系．已知AB = AD = 2，BB1 = 1.5，则−→
AD 的坐标为
，−−→
AC1 的坐标为
，−→
AC 的坐标为
．
（2）在空间直角坐标系O−xyz 中，点P(2,3,4) 关于yOz 面的对称点坐标为
;
关于z 轴的对称点坐标为
; 关于原点的对称点坐标为
;
点P 在xOz 面的射影的坐标为
.
【例2】
（1）已知O 是空间任一点，A、B、C、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且−→
OA = 2x−→
BO+3y−→
CO+4z−→
DO，则
2x+3y+4z=
．
（2）已知A(1，0，1)，B(4，4，6)，C(2，2，3)，D(10，14，17)，求证:A，B，C，D 共面.
第5 讲
81
【例3】
在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，下列各式中运算结果为−−→
BD1 的是( )
①
(−−−→
A1D1 −−−→
A1A
)
−−→
AB；
②
(−→
BC +−−→
BB1
)
−−−−→
D1C1；
③
(−→
AD−−→
AB
)
−−−→
DD1；
④
(−−−→
B1D1 −−−→
A1A
)
+−−→
DD1．
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①④
【例4】
已知−→
AB = (2,2,1)，−→
AC = (4,5,3)，则平面ABC 的单位法向量的坐标为
．
82
Part 2
向量法解立体几何问题
知识点睛
1. 利用向量方法证明线线、线面、面面平行、垂直关系
设直线l，m 的方向向量分别为−→a ，−→b ，平面α，β 的法向量分别为−→u ，−→v ，则：
l//m ⇔−→a //−→b ⇔−→a = k ·−→b ；
l⊥m ⇔−→a ⊥−→b ⇔−→a ·−→b = 0；
l//α ⇔−→a ⊥−→u ⇔−→a ·−→u = 0；
l⊥α ⇔−→a //−→u ⇔−→a =k ·−→u ；
异面直线所成的角
设异面直线a，b 的方向向量分别为−→a ，−→b ，其夹角为φ，则有cosθ = |cosφ| =
−→a ·−→b
|−→a |·
−→b
，其中θ 为异面直线
a，b 所成的角.
直线平面所成的角
设直线l 的方向向量为−→a ，平面α 的法向量为−→u ，直线与平面所成的角为θ，−→a 与−→u 的夹角为φ，则有
sinθ = |cosφ| = |−→a ·−→u |
|−→a |·|−→u | 或cosθ = sinφ.
二面角的平面角
设−→
n1，−→
n2 是二面角α −l −β 的两个面α，β 的法向量，则向量−→
n1，−→
n2 的夹角（或其补角）就是二面角的平面
角的大小.
点到面距离的求法
如图，BO 垂直平面α，垂足为O，则点B 到平面α 的距离就是线段BO 的长度.
第5 讲
83
若AB 是平面α 的任意一条斜线段，则在Rt∆BOA 中，
−→
BO
=
−→
BA
·cos∠ABO=
−→
BA
·
−→
BO
·cos∠ABO
−→
BO
，如果令
平面α 的法向量为−→n ，考虑到法向量的方向，可以得到B 点到平面α 的距离为
−→
BO
=
−→
AB·−→n
|−→n |
.
异面直线距离
如图，设l1，l2 是两条异面直线，−→n 是l1，l2 的公垂线段AC 的方向向量，又D，B 分别是l1，l2 上的任意两点，则
l1，l2 的距离d =
−→
AC
=
−→
BD·−→n
|−→n |
.
精讲精练
【例5】
（1）在正方体ABCD−A′B′C′D′ 中，E，F 分别为棱AA′，BB′ 的中点，G 为BC 上一点，若D′F 与FG 垂直，则直线
C′F 与直线EG 的夹角为( ).
A. π
3
B. π
2
C. 5π
6
D. 2π
3
（2）在正方形ABCD 中，E，F 分别是AB 和CD 的中点，G 是BF 的中点，将正方形沿EF 折成120◦的二面角，求
AG 和平面EBCF 所成的角.
（3）正三棱柱ABC −A1B1C1 的9 条棱长都相等，P 是CC1 的中点，二面角B−A1P−B1 = α，则sinα =
．
84
【例6】
已知正方形ABCD 和ABEF 所在的平面互相垂直，M,N 分别是两正方形对角线AC,BF 上的点，且AM = FN，求
证：无论点M 在AC 上何处，直线MN 不可能与AC,BF 都垂直．
【例7】
在棱长为1 的正方体ABCD−A′B′C′D′ 中，AP = BQ = b(0 < b < 1)，截面PQEF//A′D，截面PQGH//AD′．
（1）证明：平面PQEF 和平面PQGH 垂直；
（2）证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求值；
（3）若D′E 与平面PQEF 所成的角为45◦，求D′E 与平面PQGH 所成角的正弦值．
第5 讲
85
【例8】
已知ABCD−A′B′C′D′ 的棱长为1，E，F 分别是棱AB，BC 上的动点，且AE = BF，若A′E，C′F 所成的角θ 最小，则
( ).
A. AE = BF = 1
4
B. AE = BF = 1
3
C. AE = BF = 2
5
D. AE = BF = 1
2
【例9】
在直三棱柱A1B1C1 −ABC 中，∠BAC = π
2 ，AB = AC = AA1 = 1，已知G,E 分别为A1B1,CC1 的中点，D,F 分别为线
段AC,AB 上的动点(不包括端点)．若GD⊥EF，求线段DF 的长度的取值范围．
86
【例10】
如图，P 为△ABC 所在平面外一点，记−→
PA = −→a ,−→
PB = −→b ,−→
PC = −→c ，且PA,PB,PC 两两垂直，H 为△ABC 垂心．
（1）求证△ABC 为锐角三角形；
（2）试用−→a ,−→b ,−→c 表示−→
PH．
第5 讲
87
【例11】
已知平行六面体ABCD−A′B′C′D′ 的底面ABCD 是菱形，且∠A′AB = ∠A′AD = ∠BAD．
（1）求证：AA′⊥BD；
（2）当AA′
AB 为何值时，能使AC′⊥平面A′BD？
【例12】
过四面体PABC 的每条棱及其对棱的中点作平面，试证这些平面交于一点．
88
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：30 分钟
你的用时：
【测试1】
（1）设点O = (0,0,0)，A = (2,−1,3)，B = (−1,4,−2)，C = (3,1,λ)，若O，A，B，C 四点共面，则实
数λ 等于( )
A. 26
7
B. 27
7
C. 4
D. 29
7
（2）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，用−→
AC，−−→
AB1，−−→
AD1 作为基向量，则−−→
AC1 =
．
（3）如图，空间四边形OABC 中，M，N 分别是OA，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG = 2GN．
设−→
OG = x−→
OA+y−→
OB+z−→
OC，则x，y，z 的值分别为
第5 讲
89
拍摄区
（4）已知−→
AB = (2,2,1)，−→
AC = (4,5,3)，则下列向量中是平面ABC 的法向量的是( )
A. (1,2,−6)
B. (−2,1,1)
C. (1,−2,2)
D. (4,−2,1)
【测试2】
已知正方体ABCD−A′B′C′D′，点M 和N 分别在线段AB′ 和BC′ 上（不含端点），且AM = BN．
那么①AA′⊥MN，②A′C′//MN，③MN//A′B′C′D′，④MN 与A′C′ 异面这四个结论中，不正确的
结论个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
90
拍摄区
【测试3】
如图所示，已知长方体ABCD −A′B′C′D′，AB = 2,AA′ = 1，直线BD 与平面AA′B′B 所成的角为
30◦，AE⊥BD 于E，F 为A′B′ 的中点．
（1）求异面直线AE，BF 所成角．
（2）求平面BDF 与平面AA′B 所成二面角的大小；
（3）求点A 到平面BDF 距离．
第5 讲
91
拍摄区
【测试4】
如图，四棱锥P−ABCD 的底面ABCD 是边长为1 的菱形，∠BCD = 60◦，E 是CD 的中点，PA⊥
底面ABCD，PA = 2．
（1）证明平面PBE⊥平面PAB．
（2）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角的大小．
第
讲
6
93
立体几何综合
Part 1
立体几何综合
94
Part 1
立体几何综合
精讲精练
【例1】
正三棱柱ABC −A′B′C′ 侧面六条对角线AB′，A′B，AC′，A′C，B′C，BC′ 中，若有一对AB′⊥BC′，其余还有k 对也互相
垂直，则k 等于( ).
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【例2】
从正方体的12 条棱和各面的12 条面对角线中选出n 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n
的最大可能值为( ).
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【例3】
在长方体ABCD−A′B′C′D′ 中，欲作一对相交直线l1，l2，使得l1 与AB，DB′ 均相交，l2 与A′D′，CC′ 均相交，这样的
相交直线l1，l2 有( ) 对．
A. 0 对
B. 1 对
C. 多于1 的有限对
D. 无限对
第6 讲
95
【例4】
已知正方体ABCD−A′B′C′D′，过顶点A′ 在空间中作直线l，使得l 与直线AC 和BC′ 所成的角都等于60◦，这样的
直线l 可以作( ) 条.
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
【例5】
已知异面a,b 成60◦角，A 为空间中一点，则过A 且与a,b 都成45◦的平面有几个？
与a,b 都成45◦的直线有几条？与a,b 都成60◦,75◦,90◦的直线各有多少？
【例6】
已知四面体ABCD 的六条棱的长度分别为4，7，20，22，28 和x，则[x] 的最小值为
.
96
【例7】
空间中有4 个不共面的定点，以这四个点为顶点的平行六面体的个数是( ).
A. 20
B. 25
C. 29
D. 32
【例8】
设ABCD−A′B′C′D′ 是一个棱长为2 的正方体，点M 是棱AA′ 的中点，过点A，B′，C 三点作一个圆K，设P 是圆K
上的任意一点，求线段PM 的取值范围.
【例9】
（1）两个半径都是1 的球O1，O2 相切，且它们都与60◦的二面角α −l −β 的两个半平面相切，另有一个更大的
球O 和该二面角的两个半平面也都相切，同时与球O1 和球O2 相外切，那么球O 的半径R =
.
（2）平坦的桌面上，放有半径分别为1，2，2 的三个木球，每球与桌面相切，且与其余两球外切. 另外，在桌面上还有
一个半径小于1 的小木球在三球之间，在桌面相切，且与三木球都外切. 那么，这个小木球的半径为
．
第6 讲
97
【例10】
圆锥的母线长为l，它和底面所成的角为θ，这个圆锥的内接正方体的棱长为
(正方体有4 个顶点在圆锥
底面上，另4 个顶点在圆锥侧面上)
【例11】
三个圆柱的侧面两两相切，且它们的轴也两两互相垂直，若每个圆柱底面半径都是1，那么，与这三个圆柱侧面都
相切的最小球的半径是( ).
A.
√
2−1
B.
√
2−1
2
C. 2
√
3
3
−1
D.
√
3−1
2
【例12】
矩形B′BCC′ 中，A 是BC 中点，A′ 是B′C′ 中点，且B′BAA′ 和A′ACC′ 都是正方形. 现将图形沿AA′ 对折成直二面
角，取线段B′C 内一点P，记P 到AB 的距离为PE，P 到A′C′ 的距离为PF，则PE 与PF 的关系为( ).
A. PE > PF
B. PE = PF
C. PE < PF
D. 不能确定，与P 点位置有关
98
【例13】
（1）不共面的空间四边形ABCD 中，四个内角的和记为θ = ∠ABC +∠BCD+∠CDA+∠DAB，则( ).
A. θ > 360◦
B. θ = 360◦
C. θ < 360◦
D. 不能确定，与图形有关.
（2）若△ABC 沿三条中位线折起能拼接成一个三棱锥，则△ABC 的形状为( ).
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 以上都有可能
【例14】
（1）已知长方体ABCD−A′B′C′D′，从点A 到直线A′B，A′C，A′D 的垂线分别交直线A′B′，A′C′，A′D′ 于点M，N，P，
垂足分别为E，G，F. 求证：
①M，N，P 三点共线.
②PE，MF，AN 三线共点.
第6 讲
99
（2）设四面体ABCD 的体积为V，E 为棱AD 的中点，点F 在AB 的延长线上，且BF = AB. 过C，E，F 三点的平
面交BD 于点G，则四面体CDGE 的体积为
.
【例15】
在直角三角形ABC 中，∠C 是直角，BC = a，CA = b. 点P 在边AB 上，沿着直线PC 把三角形ABC 折成四面体
PABC，求该四面体体积的最大可能值.
100
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：30 分钟
你的用时：
【测试1】
在正方体的八个顶点中，能构成直角三角形的三个顶点的三点组的个数为( ).
A. 24
B. 36
C. 42
D. 48
【测试2】
在正四面体ABCD 的高AH 上取中点M，连结BM，CM，则∠BMC =
.
第6 讲
101
拍摄区
【测试3】
正方形ABCD 中，M，N 分别为AD，AB 中点，沿CM，CN 分别将△CDM 和△CBN 折起，使得
CB 与CD 重合. 设B 点与D 点重合于点P，DM 中点折起后变为PM 中点T，则异面直线CT
与PN 所成的角为( ).
A. 45◦
B. 60◦
C. 75◦
D. 90◦
【测试4】
已知长方体的三条面对角线的长度为4，5，x，则x 的取值范围为( )
A.
(
2,
√
41
)
B. (3,9)
C.
(
3,
√
41
)
D. (2,9)
102
拍摄区
【测试5】
一只小球放入一长方形容器内，且与长方体共点的三个面相接触，若小球上有一点到这三个面
的距离分别为1，1，2，则这只小球的半径( ).
A. 只能为1
B. 只能为2
C. 只能为3
D. 以上说法均不对
【测试6】
在棱长为1 的正方体内有一个内切球，过正方形两条互为异面直线的棱的中点作直线，该直线
被球面截在球内的线段长为( ).
A.
√
2−1
B.
√
2
2
C. 1
4
D. 1
2
第
讲
7
103
模拟与测试
Part 1
填空
Part 2
解答
104
Part 1
填空
精讲精练
【例1】
1−sin6θ −cos6θ
1−sin4θ −cos4θ =
．
【例2】
已知1 ⩽a1 ⩽a2 ⩽a3 ⩽a4 ⩽a5 ⩽a6 ⩽64．则Q = a1
a2
+ a3
a4
+ a5
a6
的最小值是
．
【例3】
已知函数y = f(x) 的反函数是φ(x)，且φ(x)· = log2θ
(
1996
x
−sin2θ
)
，θ ∈
(
0, π
2
)
．则方程f(x) = 1996 的解是
．
第7 讲
105
【例4】
a，b 是正实数，x0 = a，x1 = b，xn+1 = 1
2
(
xn−1 + 1
xn
)
，这里x ∈N．如果这序列是周期序列，则a，b 必须满足条件
．
【例5】
一个篮球运动员进行投球练习，若他投进前1 球，则投进后一球概率为2
3．若他投不进前一球，则投进后一球概率
为1
3，已知他投进第1 球概率为2
3，则他投进第4 球概率为
．
【例6】
若复数z 满足3z2 +2i·z5 −2z−3i = 0．则|z| =
．
106
【例7】
已知空间三个平面α//β//γ，β 在α 与γ 之间，α 与β 的距离为4a，β 与γ 相距离为2a，又边长为9a 的正三角形
ABC，A 在平面α 内，B 在平面β 内，C 在平面γ 内，AC 交平面β 于D．则△ABC 所在平面与这三个平面所成的锐
角是
．
【例8】
已知椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(其中a > b > 0)，点P 为其上一点，F1、F2 为椭圆的焦点，∠F1PF2 的外角平分线为l，作F1、F2
分别垂直l 于R、S．当P 跑遍整个椭圆时，R、S 形成的轨迹方程是
．
第7 讲
107
Part 2
解答
精讲精练
【例9】
已知f (x)、g(x) 和h(x) 都是关于x 的二次三项式．请你证明：方程f (g(h(x))) = 0 不能有根1,2,3,4,5,6,7,8．
【例10】
设ai > 0，i = 1,2,...,n,n ⩾2．求证：3
a1
+
5
a1 +a2
+
7
a1 +a2 +a3
+...+
2n+1
a1 +a2 +...+an
< 4
n
∑
i=1
1
ai
．
【例11】
设点P 是双曲线C：x2
a2 −y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 上任意一点，过点P 的直线与两渐近线l1：y = b
ax，l2：y = −b
ax 分别
交于点P1，P2，设λ = P1P
PP2
．求证：S△OP1P2 = (1+λ)
4+λ ab．
1119092614244
