文档文本内容
目录
第1 讲
功与功率··································1
第2 讲
动能定理·································11
第3 讲
机械能守恒定律·························23
第4 讲
万有引力定律···························35
第5 讲
万有引力与航天·························47
第6 讲
动量定理································59
第7 讲
动量守恒定律····························71
第
讲
1
1
功与功率
Part 1
功
Part 2
功率
Part 3
变力做功的计算
2
Part 1
功
知识点睛
生活中，我们经常遇到一些做功现象，小孩子使了吃奶的力气也没能搬起石头，超市里的你可以推着购物车随
意穿行，和谐号列车很快获得很大的速度，举重运动员使出浑身解数将重物举起，健身达人尽最大可能把弹簧拉
开，那么，是每种情况都有做功吗？如果做了，做了多少？下面我们就来一起探究做功。
1. 功的定义：
一个物体受到力的作用，并且在力的方向上发生了一段位移，这个力就对物体做了功。
2. 做功的两个要素：
力和物体在力的方向上发生的位移。
3. 功的大小：
(1) 如果力的方向与物体运动的方向一致，如图所示，功的大小等于力的大小与位移大小之积，即W = Fl；
(2) 如果力的方向与运动方向垂直时，如图所示，物体在力的方向上的位移为0，力F 做功的大小为W = 0；
第1 讲
3
(3) 如果力的方向与运动方向成某一角度(α̸ = π
2 ) 时，如图所示，可以把力F 分解为两个分力：与位移方向一
致的分力F1 = F cosα，与位移方向垂直的分力F2 = F sinα。则分力F1 所做的功等于F1l，物体在分力F2 的方向上
没有发生位移，F2 所做的功等于0，因此力F 所做的功等于F1l，即W = F1l = Fl cosα 。
综上，力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积，即W = Fl cosα。
在计算功时应该注意以下问题：
①式中力F 一定是恒力；
②式中的l 是力的作用点对地的位移，α 是F 方向与位移l 方向的夹角；
③力对物体做的功只与F、l、α 三者有关，与物体的运动状态等因素无关；
④功的单位是焦耳，简称焦，符号是J，1J = 1N·m。
4. 功是标量，只有大小，没有方向。
功是能量转化的量度，能量是状态量，功是过程量，不能说一个物体具有多少功。
5. 功的正负：
(1) 当α = π
2 时，cosα = 0，W = 0。这表示力F 的方向与位移l 的方向垂直时，力F 不做功。
(2) 当0 ⩽α < π
2 时，cosα > 0，W > 0。这表示力F 对物体做正功(力F 是动力)。
(3) 当π
2 < α ⩽π 时，cosα < 0，W < 0。这表示力F 对物体做负功(力F 是阻力)。
注意
不能把负功的符号理解为功是矢量，负功的方向与位移的方向相反。一个力对物体做了负功，往往说
成物体克服这个力做了功，即力F 做负功−Fs 等效于物体克服力F 做功Fs。
6. 总功：
(1) 定义：当一个物体在几个力的作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，等于各个力分别对物
体所做功的代数和，它也是这几个力的合力对物体所做的功。
(2) 公式：W = F合l cosα 或W = W1 +W2 +...+Wn 。
4
7. 重力做功的大小只与物体初末的高度差有关，与具体的运动路径无关。
重力做功的大小W = mg∆h。物体向上运动，重力做负功，物体向下运动，重力做正功。
精讲精练
【例1】
关于摩擦力做功，以下说法正确的是( )
A. 滑动摩擦力总是做负功
B. 滑动摩擦力一定做功
C. 静摩擦力对物体一定不做功
D. 静摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功
【例2】
如图所示，相同的力F 使物体发生相同的位移，则力F 所做的功( )
A. 图(4) 最多
B. 图(1) 最少
C. 一样多
D. 无法比较
第1 讲
5
【例3】
物体在两个相互垂直的力作用下运动，力F1 对物体做功6J，物体克服力F2 做功8J，则F1、F2 的合力对物体做功
为( )
A. −2J
B. 2J
C. 10J
D. 14J
【例4】
如图所示，质量为m 的物块放在一固定的斜面上，某人通过动滑轮用恒力F 拉动物块，恒力F 与斜面夹角为θ，将
物块沿斜面前进l，求人所做的功。
【例5】
如图所示，半径为R，孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度在水平面内做圆周运动，设开
始运动的一周内，小球与管壁间的摩擦力大小恒为Ff，求小球在运动的这一周内，克服摩擦力所做的功。
6
知识点睛
功的计算公式W = Fl cosα，可以理解为力做的功是其在位移方向上的投影和位移的乘积。也可以认为将一
个力正交分解后，只有平行于位移方向的分力做功，垂直于位移方向的分力不做功。
重力做功的大小只与物体初末的高度差有关，与具体的运动路径无关。重力做功的大小W = mg∆h。物体向上
运动，重力做负功，物体向下运动，重力做正功。
精讲精练
【例6】
将一个质量为m 的小球竖直向上抛出，小球上升h 后又落回地面，在整个过程中受到的空气阻力大小始终为f，重
力加速度为g，则关于这个过程中重力与空气阻力所做的功，下列说法正确的是( )
A. 重力做的功为2mgh，空气阻力做的功为−2 fh
B. 重力做的功为0，空气阻力做的功也为0
C. 重力做的功为0，空气阻力做的功为−2 fh
D. 重力做的功为2mgh，空气阻力做的功为0
【例7】
三个质量相同的小球分别从同一高度沿斜面下滑、自由落体和平抛，比较三种情况下重力做功的大小关系。
【例8】
三个质量相同的小球，从同一高度由静止释放，其中a 球自由下落，b 球沿斜面下滑，c 球沿曲面下滑，如图所示。
从释放到运动至地面的过程中，三个小球所受重力做的功分别为Wa、Wb、Wc，则( )
A. Wa > Wb > Wc
B. Wa < Wb < Wc
C. Wa < Wb = Wc
D. Wa = Wb = Wc
第1 讲
7
Part 2
功率
知识点睛
不同物体做相同的功，所用的时间往往不同，也就是说，做功的快慢并不相同。在物理学中，用功率表示做功
的快慢。
1. 功率
(1) 物理意义：功率是反应物体做功快慢的物理量。
(2) 定义：一个力所做的功W 跟完成这些功所用时间t 的比值叫做功率P，即P = W
t (此公式不仅适用于恒力
也适用于变力做功求功率)，单位是W，1W = 1J/s
2. 平均功率
(1) 定义：表示在一段时间内力做功的平均快慢程度。
(2) 公式：①P = W
t ；
②P = Fvcosα，(v 是平均速度，α 是F 与v 方向间的夹角)
3. 瞬时功率
(1) 定义：表示力在一段极短时间内做功的快慢程度。
(2) 公式：P = Fvcosα，式中v 是瞬时速度。
精讲精练
【例9】
以初速度v0 水平抛出一个质量为m 的物体，当物体的速度为v 时，重力做功的瞬时功率为( )
A. mgv
B. mgv0
C. mg
√
v2 −v02
D. mg(v−v0)
8
【例10】
如图所示，物体在恒定拉力F 的作用下沿水平面做匀速直线运动，运动速度为v，拉力F 斜向上与水平面夹角为
θ，则拉力的功率可以表示为( )
A. Fv
B. Fvcosθ
C. Fvsinθ
D.
Fv
cosθ
【例11】
在高处的某一点将两个重力相同的小球以相同速率v0 分别竖直上抛和竖直下抛，下列结论正确的是(不计空气阻
力)( )
A. 从抛出到刚着地，重力对两球所做的功相等
B. 从抛出到刚着地，重力分别对两球做的总功都是正功
C. 从抛出到刚着地，重力对两球的平均功率相等
D. 两球刚着地时，重力的瞬时功率相等
第1 讲
9
Part 3
变力做功的计算
精讲精练
【例12】
质量为m、初速度为零的物体，在不同的合外力作用下都通过位移x0。下列各种情况中合外力做功最多的是( )
【例13】
静置于光滑水平面上坐标原点O 处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动（如图甲所示），拉力F 随物
块所在位置坐标x 的变化关系（如图乙所示），图象为半圆。则小物块运动到x0 的过程中拉力F 做的功为( )
A. 0
B. 1
2Fmx0
C. π
4 Fmx02
D. π
4 Fmx0
10
专业巡礼
计算机科学与技术下设网络工程、软件工程、通信技术、网络与信息安全、计算机软件与理论、计算
机系统结构、计算机应用技术、计算机技术等方向。
网络工程方向就业前景良好，学生毕业后可以到国内外大型电信服务商、大型通信设备制造企业进
行技术开发工作，也可以到其他企事业单位从事网络工程领域的设计、维护、教育培训等工作。
软件工程方向就业前景十分广阔，学生毕业后可以到国内外众多软件企业、国家机关以及各个大、
中型企、事业单位的信息技术部门、教育部门等单位从事软件工程领域的技术开发、教学、科研及管理等
工作。也可以继续攻读计算机科学与技术类专业研究生和软件工程硕士。
通信方向学生毕业后可到信息产业、财政、金融、邮电、交通、国防、大专院校和科研机构从事通信技
术和电子技术的科研、教学和工程技术工作。
网络与信息安全方向宽口径专业，主干学科为信息安全和网络工程。学生毕业后可为政府、国防、军
队、电信、电力、金融、铁路等部门的计算机网络系统和信息安全领域进行管理和服务的高级专业工程技
术人才。并可继续攻读信息安全、通信、信息处理、计算机软件和其他相关学科的硕士学位
国内该专业排名比较靠前的院校有：北京大学、清华大学、浙江大学、国防科技大学、北京航空航天
大学、北京邮电大学、哈尔滨工业大学、上海交通大学、南京大学、华中科技大学等。
第
讲
2
11
动能定理
Part 1
动能定理
Part 2
机车启动问题
12
Part 1
动能定理
知识点睛
功是能量转化的量度。事实上，做功必然伴随着能量的变化，做功对能量的影响直观的反映在物体的运动状
态上。根据牛顿第二定律，我们将运动学公式v2 −v2
0 = 2ax 中的加速度替换为a = F
m，可以得到v2 −v2
0 = 2Fx
m ，变
形可以得到1
2mv2 −1
2mv2
0 = Fx，这个式子有何特殊含义？
1. 动能：
物体由于运动而具有的能量；
表达式：Ek = 1
2mv2
性质：
(1) 动能具有相对性：选择不同的参考系，速度会不同所以动能也不同。高中阶段以地面为参考系。
(2) 动能是状态量：是表征物体运动状态的物理量，只能说物体在某一时刻或某一位置时具有的动能。
(3) 动能是标量：物体的动能与速度大小有关，且恒为正值。
2. 动能定理：
外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。
表达式：W总= Ek −Ek0
W1 +W2 +W3 +...... = Ek −Ek0
3. 注意事项：
(1) 动能定理的表达式为标量式，计算合外力对物体所做的功时，应明确各个力所做功的正负，然后求合外力
做的功或所有外力做功的代数和；求动能变化时，应明确动能没有负值，动能的变化为末动能减去初动能。
(2) 位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面为参考系。
(3) 动能定理应用广泛，直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功、同时做功、分段做功各种情况均适用。
(4) 动能定理既适用于一个持续的过程，也适用于几个不同过程的全过程。
(5) 动能定理公式中等号的意义。
第2 讲
13
等号表明合外力做的功与物体动能的变化间的三个关系：
①数值相等，即通过计算物体动能的变化，求合外力的功，进而求得某一力的功；
②单位相同，国际单位制中都是焦耳；
③因果关系：合外力的功是物体动能变化的原因。
注意
a.“功不是动能增量”，也不是“功转变成动能”，而是“功引起动能的变化”。
b. 动能增量∆Ek = 1
2mv22 −1
2mv12；
∆Ek̸ = 1
2m(v2 −v1)2。
4. 运用动能定理解题的一般步骤
(1) 选取研究对象；
(2) 对研究对象进行受力分析；
(3) 写出该过程中合外力做的功，或分别写出各力做功的代数和；
(4) 分析运动过程，明确物体始、末状态的动能；
(5) 列方程。
精讲精练
【例1】
一个学生用100N 的力，将静止在球场上的质量为1kg 的足球以15m/s 的初速度踢出20m，则该学生对足球做的
功为( )
A. 112.5J
B. 200J
C. 180J
D. 无法确定
14
【例2】
质量为2kg 的滑块，以4m/s 的速度在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经
过一段时间，滑块的速度方向变为向右，大小为4m/s，在这段时间里水平力所做的功为( )
A. 0
B. 8J
C. 16J
D. 32J
【例3】
如图所示，一个质量为m 的物体在水平桌面上的A 点以初速度v0 被抛出(方向未知)，不计空气阻力，当它到达B
点时，其动能为( )
A. 1
2mv02 +mgH
B. 1
2mv02 +mgh
C. mgH −mgh
D. 1
2mv02 +mg(H −h)
【例4】
质量为m 的物体静止在粗糙的水平地面上，若物体受水平力F 的作用，从静止起通过位移l 时的动能为E1，当物
体受水平力2F 作用，从静止开始通过相同位移l，它的动能为E2，则( )
A. E2 = E1
B. E2 = 2E1
C. E2 > 2E1
D. E1 < E2 < 2E1
第2 讲
15
【例5】
如图所示，质量为m 的物体沿动摩擦因数为µ 的水平面以初速度v0 从A 点出发到B 点时速度变为v，设同一物
体以初速度v0 从A′ 点先经斜面A′C，后经斜面CB′ 到B′ 点时速度变为v′，两斜面在水平面上投影长度之和等于
AB 的长度，且动摩擦因数也为µ，则有( )
A. v′ > v
B. v′ = v
C. v′ < v
D. 不能确定
【例6】
从地面竖直向上抛出一只小球，小球运动一段时间后落回地面。忽略空气阻力，该过程中小球的动能Ek 与时间t
的关系图像是( )
16
【例7】
两个内壁光滑、半径不同的半球形碗，放在不同高度的水平面上，使两碗口处于同一水平面，如图所示，现将质量相
同的两个小球分别从两个碗的边缘处由静止释放(小球半径远小于碗的半径)，两个小球通过碗的最低点时，下列
说法不正确的是( )
A. 两小球速度大小不等，对碗底的压力相等
B. 两小球速度大小不等，对碗底的压力不等
C. 两小球速度大小相等，对碗底的压力相等
D. 两小球速度大小相等，对碗底的压力不等
【例8】
小球被绳系住在光滑的水平面上做匀速圆周运动，当绳子的拉力由F 增大到8F 时，圆周运动的半径从r 减小到
r
2，在这一过程中拉力所做的功是( )
A. 4Fr
B. 7
2Fr
C. 7
4Fr
D. 3
2Fr
第2 讲
17
【例9】
如图所示，两个半圆柱A、B 紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R，C 的质量为m，A、B
的质量都为m
2 ，与地面的动摩擦因数均为µ。现用水平向右的力拉A，使A 缓慢移动，直至C 恰好降到地面。整个
过程中B 保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：
（1）未拉A 时，C 受到B 作用力的大小F。
（2）动摩擦因数的最小值µmin。
（3）A 移动的整个过程中，拉力做的功W。
18
Part 2
机车启动问题
知识点睛
1. 对机车等交通工具类问题：
应明确P = F · v 中，P 为发动机的实际功率，机车正常行驶中实际功率小于或等于其额定功率；F 为发动机
(机车) 的牵引力；v 为机车的瞬时速度。
(1) 机车以恒定功率启动的运动过程。
故达到最大速度时a = 0，F = f，P = Fvm = fvm，这一启动过程的v−t 关系图象如图所示。
(2) 机车以恒定加速度启动的运动过程。
第2 讲
19
设机车保持以加速度a 做匀加速直线运动的时间为t：F ·v = P ⇒(f +ma)at = P。
这一启动过程的v−t 关系图象如图所示。
精讲精练
【例10】
质量为m 的汽车在平直路面上启动，启动过程的速度图像如图所示，其中OA 为过原点的一条直线。从t1 时刻起
汽车的功率保持不变，整个运动过程中汽车所受阻力恒为Ff，则( )
A. 0 ∼t1 时间内，汽车的牵引力等于mv1
t1
B. 汽车在t1 ∼t2 时间内的功率等于t2 以后的功率
C. t1 ∼t2 时间内，汽车的功率等于
(
mv1
t1
+Ff
)
v1
D. t1 ∼t2 时间内，汽车的平均速度等于v1 +v2
2
20
【例11】
一辆新颖电动汽车，总质量为1000kg。行驶中，该车速度在14 ∼20m/s 范围内保持恒定功率20kW 不变。一位同
学坐在驾驶员旁边观察车内里程表和速度表，记录了该车在位移120 ∼400m 范围内做直线运动时的一组数据如
下表，设汽车在上述范围内受到的阻力大小不变，则( )
A. 该汽车受到的阻力为2000N
B. 在位移120 ∼320m 过程中牵引力所做的功约为9.5×104J
C. 在位移120 ∼320m 过程中经历时间约为14.75s
D. 该车速度在14 ∼20m/s 范围内可能做匀加速直线运动
【例12】
汽车的发动机的额定输出功率为P1，它在水平路面上行驶时受到的摩擦阻力大小恒定。汽车在水平路面上由静止
开始运动，直到车速达到最大速度vm，汽车发动机的输出功率P 随时间变化的图像如图所示。若在0 ∼t1 时间内，
汽车发动机的牵引力是恒定的，则汽车受到的合力F合随时间变化的图像可能是( )
第2 讲
21
【例13】
汽车发动机的额定功率为30kW，质量为2000kg，当汽车在水平路面上行驶时受到的阻力为车重的0.1 倍，求：
(g = 10m/s2)
（1）汽车在路面上能达到的最大速度。
（2）若汽车以额定功率启动，当汽车速度为10m/s 时的加速度大小。
（3）若汽车从静止开始保持1m/s2 的匀加速直线运动，则这一过程能持续多长时间。
22
专业巡礼
材料科学与工程属于工学学科门类之中的其中一个一级学科，下设3 个二级学科，分别是：材料物
理与化学、材料学、材料加工工程。材料科学与工程专业是研究材料成分、结构、加工工艺与其性能和应
用的学科。在现代科学技术中，材料科学是国民经济发展的三大支柱之一。主要专业方向有金属材料、无
机非金属材料、高分子材料、耐磨材料、表面强化、材料加工工程等等。
学生毕业后可以到材料及高分子复合材料成型加工、高分子合成、化学纤维、新型建筑装饰材料、现
代喷涂与包装材料、陶瓷、水泥、家用电器、电子电气、汽车厂、钢铁企业、石油化工、制造企业、航天航空
等企业从事设计、新产品开发、生产管理、市场经营及贸易部门工作，也可以到高等学校、科研单位从事
科学研究与教学工作，还可以在政府经济管理部门或建设单位、设计单位、建筑施工企业、工程建设监理
单位、房地产开发企业、工程咨询公司、国际工程公司、投资与金融等单位从事工程管理等工作。
国内该专业排名比较靠前的院校有：清华大学、武汉理工大学、北京科技大学、哈尔滨工业大学、上
海交通大学、西北工业大学、北京化工大学、浙江大学、西北工业大学、西南交通大学、中南大学、华南理
工大学等。
第
讲
3
23
机械能守恒定律
Part 1
势能
Part 2
机械能守恒定律
24
Part 1
势能
知识点睛
一、重力势能
1. 重力做功
物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体的运动路径无关。如图，小球从A 点
下落到B 点，重力做功的大小等于物重跟起点高度的乘积mghA 与物重跟终点高度的乘积mghB 两者之差，即WG
= mghA −mghB 。
2. 重力势能
我们把物理量mgh 叫做物体的重力势能，用Ep 表示，物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积，即
Ep = mgh 。重力势能是标量，单位为焦耳（J）。
注意
(1) 重力势能是物体和地球所组成的系统共同具有的能量。
(2) 重力势能的大小是相对的，与参考面的选择有关的，式中的h 是物体重心到参考平面的高度。在
参考平面上，物体的重力势能为零；在参考平面上方，物体的重力势能为正；在参考平面的下方，物体的重
力势能为负。比较重力势能的大小需要比较符号。
(3) 参考平面的选取是任意的，选取不同的参考平面，物体的重力势能大小不同。
(4) 重力势能的变化是绝对的，物体从一个位置到另一个位置的过程中，重力势能的变化与参考平面
的选取无关。
3. 重力做功与重力势能改变的关系
如图，小球从A 点下落运动到B 点，重力对小球做的功为WG = mgh = mghA −mghB = EpA −EpB ；重力势能的
变化量为∆Ep = EpB −EpA，所以有WG = −∆Ep 。
第3 讲
25
当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，也就是WG > 0，∆Ep < 0 。重力势能减少的数量等
于重力做的功。
当物体由低处运动到高处时，重力做负功(物体克服重力做功)，重力势能增加，也就是WG < 0，∆Ep > 0。重力
势能增加的数量等于物体克服重力所做的功。
二、弹性势能
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫弹性势能。同一弹性物体
在一定范围内形变越大，具有的弹性势能就越多，反之，则越小。
当用外力缓慢压缩一个弹簧时，外力做的功就是弹簧弹性势能的增量。
精讲精练
【例1】
关于重力势能，下列说法中正确的是( )
A. 物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B. 物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C. 一个物体的重力势能从−5J 变化到−3J，重力势能减少了
D. 重力势能的减少量等于重力对物体做的功
【例2】
一个质量为1kg 的物体，位于离地面高1.5m 处，比天花板低2.5m。以地面为零势能位置时，物体的重力势能等
于
J；以天花板为零势能位置时，物体的重力势能等于
J。(g 取10m/s2)
26
【例3】
如图所示，质量为m 的小球，从离桌面H 高处自由下落，桌面离地面的高度为h。若以桌面为参考平面，那么小球
落地时的重力势能及整个下落过程中重力势能的变化情况分别是( )
A. mgh，减少mg(H −h)
B. mgh，增加mg(H +h)
C. −mgh，增加mg(H −h)
D. −mgh，减少mg(H +h)
【例4】
如图所示，质量为m 的均匀链条长为L，放在置于水平桌面上的光滑管内(管的内径略大于均匀链条的直径)，有1
4
的长度悬在桌边缘，松手后，链条滑离桌面，问从开始到链条刚滑离桌面过程中链条的重力势能变化了多少？
第3 讲
27
Part 2
机械能守恒定律
知识点睛
1. 机械能
弹性势能：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。
重力势能、弹性势能和动能统称为机械能。通过重力做功或弹力做功，机械能可以从一种形式转化成另一种
形式。
2. 机械能守恒定律
如图，曲面光滑，小球在某一时刻处于位置A，这时它的动能为Ek1，重力势能为Ep1，总的机械能是E1 = Ek1 +
Ep1，经过一段时间后，小球运动到B，这时它的动能为Ek2，重力势能为Ep2，总的机械能为E2 = Ek2 +Ep2。
小球从A 运动到B，根据动能定理可得重力做的功等于小球动能的增加，即W = Ek2 −Ek1 ；根据重力做功与
重力势能变化关系得W = Ep1 −Ep2；综上可知Ek2 −Ek1 = Ep1 −Ep2，移项后，有Ek2 +Ep2 = Ek1 +Ep1，即E1 = E2。
可见，在只有重力做功的物体系统内，动能与重力势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
同样可以证明，在只有弹力做功的物体系统内，动能与弹性势能可以相互转化，总的机械能保持不变。
综上，可以得出结论：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不
变，这叫做机械能守恒定律。
3. 机械能守恒定律的表达式
(1) 初状态的动能和势能之和等于末状态的动能和势能之和，即Ek2 +Ep2 = Ek1 +Ep1；
(2) 重力势能的增加(或减少) 量等于动能的减少(或增加) 量，即∆Ep = −∆Ek ；
4. 机械能守恒定律适用条件
只有系统内的重力或弹力做功，其他力不做功或做功的代数和为零。
5. 应用机械能守恒定律解题的基本步骤
(1) 明确研究对象；
(2) 分析研究对象受力情况和各个力在所研究过程中的做功情况，判断是否满足机械能守恒条件；
(3) 选取题中所关心的两个状态(一般为初、末态)，分析由状态1 到状态2，研究对象的动能和势能的增、减情况；
(4) 选择合适的机械能守恒的表达式列方程，解方程。
28
精讲精练
【例5】
关于机械能守恒，下列说法正确的是( )
A. 做自由落体运动的物体，机械能一定守恒
B. 人乘电梯加速上升的过程，机械能守恒
C. 物体必须在只受重力作用的情况下，机械能才守恒
D. 合外力对物体做功为零时，机械能一定守恒
【例6】
(多选) 如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A. 甲图中，物体将弹簧压缩的过程中，物体机械能守恒
B. 乙图中，物体在大小等于摩擦力的拉力作用下沿斜面下滑时，物体机械能守恒
C. 丙图中，斜面光滑，物体在推力F 作用下沿斜面向下运动的过程中，物体机械能守恒
D. 丁图中，斜面光滑，物体在斜面上下滑的过程中，物体机械能守恒
第3 讲
29
【例7】
如图所示，有许多相交于A 点的光滑硬杆具有不同的倾角和方向，每根光滑硬杆均套一个小环，它们的质量不相同，
设在t = 0 时，各小环都由A 点从静止开始分别沿这些光滑硬杆下滑，那么将这些下滑速率相同的各点联结起来是
一个( )
A. 水平面
B. 球面
C. 抛物面
D. 不规则曲面
【例8】
(多选) 节日燃放礼花弹时，要先将礼花弹放入一个竖直的炮筒中，然后点燃礼花弹的发射部分，通过火药剧烈燃烧
产生的高压燃气，将礼花弹由炮筒底部射向空中。若礼花弹由炮筒底部被发射到炮筒口的过程中，克服重力做功
W1，克服炮筒及空气阻力做功W2，高压燃气对礼花弹做功W3，则礼花弹在炮筒内运动的过程中(设礼花弹发射过
程中质量不变)( )
A. 礼花弹的动能变化量为W1 +W2 +W3
B. 礼花弹的动能变化量为W3 −W2 −W1
C. 礼花弹的机械能变化量为W3 −W2
D. 礼花弹的机械能变化量为W3 −W2 −W1
【例9】
一根质量为m、长为L 的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图(a) 所示。若将
一个质量为m 的小球分别拴在链条左端和右端，如图(b)、图(c) 所示。约束链条的挡板光滑，三种情况均由静止
释放，当整根链条刚离开桌面时，关于它们的速度关系，下列判断中正确的是( )
A. va = vb = vc
B. va < vb < vc
C. vc > va > vb
D. va > vb > vc
30
【例10】
如图，一半圆形碗的边缘上装有一定滑轮，滑轮两边通过一不可伸长的轻质细线挂着两个小物体，质量分别为m1、
m2，m1 > m2。现让m1 从靠近定滑轮处由静止开始沿碗内壁下滑。设碗固定不动，其内壁光滑、半径为R。则m1 滑
到碗最低点时的速度为( )
A. 2
√
(m1 −m2)gR
2m1 +m2
B.
√
2(m1 −m2)gR
m1 +m2
C.
v
u
u
t2
(
m1 −
√
2m2
)
gR
m1 +m2
D. 2
v
u
u
t
(
m1 −
√
2m2
)
gR
2m1 +m2
【例11】
荡秋千是我国民间深受广大民众喜爱的一项体育活动。在荡秋千的过程中，随着站立在秋千踏板上人不停地下蹲
和起立，秋千便可越荡越高。如果不计秋千绳索的质量，忽略空气阻力和秋千轴间摩擦的影响，以下关于一些荡秋
千的说法中正确的是( )
A. 当秋千向上摆动时人逐渐起立、向下摆动时逐渐下蹲，秋千可以越荡越高
B. 荡秋千时，在人不断地起立和下蹲的过程中，人和踏板的机械能是守恒的
C. 在秋千越荡越高的过程中，人体内的能量不断转化为人和踏板的机械能
D. 在秋千越荡越高的过程中，人所做的功等于人和踏板机械能的增加
第3 讲
31
【例12】
如图所示，光滑水平面AB 与竖直面内的半圆形轨道在B 点衔接，导轨半径为R，一个质量为m 的静止物块在A 处
压缩弹簧，在弹力的作用下获某一向右速度，当它经过B 点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7 倍，之后向上
运动恰能完成半圆周运动到达C 点，求：
（1）弹簧弹力对物块做的功。
（2）物块从B 到C 克服阻力做的功。
（3）物块离开C 点后落回水平面时动能的大小。
32
【例13】
如图所示，物块A、B、C 的质量分别为2m、2m、m，并均可视为质点，三个物块用轻绳通过轻质滑轮连接，在外力作
用下现处于静止状态，此时物块A 置于地面，物块B 与C、C 到地面的距离均是L，现将三个物块由静止释放。若C
与地面、B 与C 相碰后速度立即减为零，A 距离滑轮足够远且不计一切阻力，重力加速度为g。
（1）求刚释放时A 的加速度大小及轻绳对A 的拉力大小。
（2）求物块A 由最初位置上升的最大高度。
（3）求若改变A 的质量使系统由静止释放后物块C 能落地且物块B 与C 不相碰，则A 的质量应满足的条件。
第3 讲
33
专业巡礼
临床医学专业是一门实践性很强的应用科学专业，致力于培养具备基础医学、临床医学的基本理论
和医疗预防的基本技能；能在医疗卫生单位、医学科研等部门从事医疗及预防、医学科研等方面工作的
医学高级专门人才。临床医学专业学生主要学习医学方面的基础理论和基本知识，人类疾病的诊断、治
疗、预防方面的基本训练. 具有对人类疾病的病因、发病机制做出分类鉴别的能力。
不同于其他专业，目前我国临床医学专业的学制有以下几种：
1. 五年制
属临床本科，培养的目标是让本科生掌握基础医学的相关理论，掌握临床开学的基础理论，掌握医
疗的基本技能。
2. 六年制
临床医学六年制的课程和五年制差不多，但最明显的区别是“强化外语”。六年制的临床医学本科，
外语不再是公共基础课，而是专业课，并且是医学类外语专业课，因此，六年制的临床医学，培养目标除
了五年制包含的之外，还需要掌握很强大外语知识。
3. 八年制
八年制的临床医学，即“本硕博”连读，本科、硕士、博士一次性修完，这对于学生个人的毅力和决心
有较高的要求，八年制的临床医学专业培养目标是：具有非常扎实的医学理论基础，具有扎实的医学创
新能力和实践能力，具有熟练的临床工作能力，具有较高的临床科研能力，这就是“医学博士”。
国内该专业排名比较靠前的院校有：上海交通大学、浙江大学、北京协和医学院、复旦大学、北京大
学、首都医科大学、华中科技大学、中南大学、中山大学、四川大学等。
第
讲
4
35
万有引力定律
Part 1
开普勒三定律
Part 2
万有引力定律
Part 3
万有引力与重力
Part 4
万有引力拓展
36
Part 1
开普勒三定律
知识点睛
自文明的萌芽诞生之日，人们就从未停止过仰望星空。文艺复兴时期，西方的科学家们纷纷加入天文观测的
大军。17 世纪初期，天文学家开普勒详细分析了他的老师第谷生平的天文观测成果，经过复杂的计算，最终总结出
来三条天体运动的规律。
开普勒的行星运动规律
(1) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。（轨道定律）
(2) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。（面积定律）
(3) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即a3
T 2 = k，其中a 代表椭圆
轨道的半长轴，T 代表公转周期，k 是一个对所有行星都相同的常量。（周期定律）
这三个规律背后蕴含着非常深刻的物理意义，寒假课程中主要用到周期定律，春季会详细学习前两条规律背
后的涵义。
第4 讲
37
精讲精练
【例1】
为了探测引力波，
“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16 倍；另一地球卫星Q 的轨道半
径约为地球半径的4 倍。P 与Q 的周期之比约为( )
A. 2 : 1
B. 4 : 1
C. 8 : 1
D. 16 : 1
【例2】
某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N 年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图所示。该行
星与地球的公转半径之比为( )
A.
(
N +1
N
)2
3
B.
(
N
N −1
)2
3
C.
(
N +1
N
)3
2
D.
(
N
N −1
)3
2
【例3】
太阳系中的8 大行星的轨道均可以近似看成圆轨道，下列4 幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图
象，图中坐标系的横轴是lg T
T0
，纵轴是lg R
R0
，这里T 和R 分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0
和R0 分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，下列4 幅图中正确的是( )
38
Part 2
万有引力定律
知识点睛
我们都说是牛顿发现了万有引力定律。事实上，在牛顿之前人们已经做了大量的工作，到了牛顿这里，无数物
理学家的研究结论终于开花结果。
1. 科学家对行星运动原因的猜想
(1) 开普勒：行星的运动是由于太阳磁力吸引的缘故，磁力与距离成反比；
(2) 伽利略：行星的运动与地面物体的运动遵从不同的规律，行星运动是由“惯性”自行维持的；
(3) 笛卡尔：宇宙由不停旋转着的微粒所组成，微粒的运动形成漩涡。太阳和行星在各自的漩涡中心。行星漩
涡带动卫星运动，太阳的漩涡带动行星和卫星一起运动；
(4) 胡克：行星的运动是太阳引力的缘故，并且力的大小与到太阳距离的平方成反比，重力是由地球引力产生的；
(5) 牛顿：以任何方式改变速度(包括方向) 都需要力，因此，使行星沿圆或椭圆运动，需要指向圆心或椭圆焦
点的力，这个力应该是太阳对它的引力。
2. 太阳与行星间的引力
我们把行星的轨道当做圆来处理，简要回顾牛顿对天体运动的思考过程。
(1) 太阳对行星的引力
①牛顿在前人对惯性研究的基础上，开始思考“物体怎样才会不沿直线运动”这一问题。他的答案是：以任何
方式改变速度(包括改变速度的方向) 都需要力。所以行星做圆周运动，必定是受到了太阳的引力。
②设行星质量是m，速度是v，行星到太阳的距离是r，则行星绕太阳匀速圆周运动的向心力为F = mv2
r 。
③天文观测难以观测行星运行的速度，但可观测其公转周期T。将v = 2πr
T
代入，将会有F = 4π 2mr
T 2
。
④将开普勒第三定律r3
T 2 = k 代入，有F = 4π 2k m
r2 ，其中k 与行星无关。
(2) 行星对太阳的引力
①根据相互性，行星对太阳的引力应该有F′ = 4π 2k′ M
r2 ，其中k′ 与太阳无关，M 是太阳的质量。
②根据牛顿第三定律，有F = F′。这就是说，太阳与行星之间的这个引力，既要与M 成正比，又要与m 成正
比，还要与r 的平方成反比。F = GMm
r2 ，G 与太阳、行星均无关，是一个常量。引力的方向沿着二者的连线。从纷繁
的数据到开普勒行星运动定律，再到一个公式，形式越来越简单，但意义却越来越深刻。
第4 讲
39
(3) 月—地检验
①牛顿的思路：地球绕太阳运动是因为受到太阳的引力，人起跳后又能落回地球是因为人受到地球的引力，
这些力是否是同一性质的力？是否遵循相同的规律？由于当时条件有限，自然想到通过月球来验证。
②月—地检验：如果重力和星体间的引力是同一性质的力，由于引力与距离的二次方成反比的关系，那么月
球绕地球做近似圆周运动的向心加速度就应该是地面重力加速度的
1
3600，因为月心到地心的距离是地球半径的
60 倍。
③牛顿根据月球的周期和轨道半径，计算出月球围绕地球做圆周运动的向心加速度
a = 4π 2r
T 2
= 2.74×10−3m/s2
④一个物体在地面上的重力加速度为g = 9.8m/s2，若把这个物体移到月球轨道的高度，根据开普勒第三定
律，得a =
1
602 g = 2.72×10−3m/s2。
⑤检测结果：月球围绕地做近似圆周运动的向心加速度接近地球地面重力加速度的1/3600，即地球对地面
物体的引力与天体间的引力，本质上是同一性质的力，遵循统一规律。
3. 万有引力定律
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m1 和m2 的乘积成正比，与它们之间距离r 的
二次方成反比，即F = Gm1m2
r2
，G 叫做引力常量，适用于任何两个物体，是自然界中少数几个最重要的物理量之一，
它的大小最先由英国物理学家卡文迪许通过几个铅球之间的万有引力测得，目前使用的引力常量值为G = 6.67×
10−11N·m2/kg2。
4. 公式的适用条件
(1) 当两个物体间的距离远远大于每个物体的尺寸时，物体可以看成质点，它们之间的引力可直接使用万有
引力定律公式计算。
(2) 通过严格的理论分析得到，质量分布均匀的球体，它们之间的引力也可直接使用公式计算，这时r 是两球
心间的距离。
40
精讲精练
【例4】
对于万有引力定律的表达式F = Gm1m2
r2
，下列说法中正确的是( )
A. 只要m1 和m2 是球体，就可用上式求解万有引力
B. 当r 趋于零时，万有引力趋于无限大
C. 两物体间的引力总是大小相等的，而与m1、m2 是否相等无关
D. 两物体间的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
【例5】
关于万有引力定律的建立，下列说法中正确的是( )
A. 卡文迪许仅根据牛顿第三定律推出了行星与太阳间引力大小跟行星与太阳间距离的平方成反比的关系
B.“月−地检验”表明物体在地球上受到地球对它的引力是它在月球上受到月球对它的引力的60 倍
C.“月−地检验”表明地面物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律
D. 引力常量G 的大小是牛顿根据大量实验数据得出的
【例6】
要使两物体间的万有引力减小到原来的1
4，下列办法不可采用的是( )
A. 使两物体的质量各减少一半，距离不变
B. 使其中一个物体的质量减小到原来的1
4，距离不变
C. 使两物体间的距离增为原来的2 倍，质量不变
D. 使两物体间的距离和两物体的质量都减为原来的1
4
第4 讲
41
Part 3
万有引力与重力
知识点睛
1. 重力和万有引力
重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的；万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力的
合力。
如图所示，F引产生两个效果：一是提供物体随地球自转所需的向心力；二
是产生物体的重力。由于F向= mω2r，随纬度的增大而减小，所以物体的重力
随纬度的增大而增大，即重力加速度从赤道到两极逐渐增大。但F向一般很小，
在一般情况下可认为重力和万有引力近似相等，即GMm
R2 = mg，得g = G M
R2 。
在赤道处，物体的F引分解的两个分力F向和mg 刚好在一条直线上，则有F引= F向+mg。
2. 计算重力加速度的方法
(1) 在地球表面附近的重力加速度，在忽略地球自转的情况下，可用万有引力定律来计算。
g = G M
R2 = 6.67×10−11 ×
5.98×1024
(
6370×103)2 N/kg= 9.8N/kg = 9.8m/s2。
即在地球表面附近，物体的重力加速度g = 9.8m/s2。这一结果表明，在重力作用下，物体加速度的大小与
物体质量无关。
(2) 计算地球上空距地面h 处的重力加速度g′。由万有引力定律可得：
g′ =
GM
(R+h)2 ；又g = GM
R2 ，则g′
g =
R2
(R+h)2 ，故g′ =
(
R
R+h
)2
g。
(3) 计算任意天体表面附近的重力加速度g′。由万有引力定律可得：g′ = GM′
R′2 (M′ 为该星球的质量，R′ 为
该星球的半径)，又g地= GM地
R地
2 ，故g′
g地
= M′
M地
·
(R地
R′
)2
。
42
精讲精练
【例7】
假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0、在赤道的大小为g，地球自转
的周期为T。则地球的半径为( )
A.
4π2
(g0 −g)T 2
B. (g0 −g)T 2
4π2
C. g0T 2
4π2
D. (g0 +g)T 2
4π2
【例8】
2017 年诺贝尔物理学奖授予了三位美国科学家，以表彰他们为“激光干涉引力波天文台”(LIGO) 项目和发现引力
波所做的贡献。引力波的形成与中子星有关。通常情况下中子星的自转速度是非常快的，因此任何的微小凸起都
将造成时空的扭曲并产生连续的引力波信号，这种引力辐射过程会带走一部分能量并使中子星的自转速度逐渐下
降。现有中子星(可视为均匀球体)，它的自转周期为T0 时恰能维持星体的稳定(不因自转而瓦解)，则当中子星的
自转周期增为T = 2T0 时，某物体在该中子星“两极”所受重力与在“赤道”所受重力的比值为( )
A. 1
2
B. 2
C. 3
4
D. 4
3
【例9】
若宇航员在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度，将一个物体由静止释放，它们落地时间之比
为2 : 1，已知该行星质量是地球质量的9 倍，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，下列分析正确的是( )
A. 该行星表面的重力加速度为1
2g
B. 该行星表面的重力加速度为1
4g
C. 该行星的半径为6R
D. 该行星的密度比地球的密度大
第4 讲
43
Part 4
万有引力拓展
知识点睛
1. 空心薄球壳的万有引力
一个空心薄球壳对外部的引力，等效于一个位于球心、质量和球壳相同的质点对外部的引力；空心薄球壳内部
的引力是零。
2. 星球内部的万有引力
在一个固体行星上打一口非常深的竖井，在井底部的物体受到的万
有引力大小是多少呢？由于薄球壳内部的万有引力为零，物体在竖井底
部时，星球上比物体所在位置“高”的部分可以视为无数个薄球壳的叠
加，因此星球上比物体“高”的部分对物体的万有引力为零。物体相当于
只受到星球内部（图中绿色部分）的万有引力。设星球半径为R，质量为
M，物体质量为m；设竖井深度为R −r，则内部半径为r。内部的质量为
M
4
3πR3 · 4
3πr3 = Mr3
R3 ，则万有引力为F = G
Mr3
R3 m
r2
= GMmr
R3 。
精讲精练
【例10】
假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，
矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )
A. 1−d
R
B. 1+ d
R
C.
(
R−d
R
)2
D.
(
R
R−d
)2
44
【例11】
已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。假设月球是半径为R、质量分布均匀的球体，距离月心为r 处
的重力加速度g 与r 的关系如图所示。已知引力常量为G，月球表面的重力加速度大小为g0，由上述信息可知
( )
A. 距离月心R
2 处的重力加速度为g0
4
B. 距离月心2R 处的重力加速度为g0
4
C. 月球的质量为g0R2
G
D. 月球的平均密度为3g0
4πG
【例12】
某地区的地下发现天然气资源，如图所示，在水平地面P 点的正下方有一球形空腔区域内储藏有天然气。空腔
的体积为V，假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计。如果没有该空腔，地球
表面正常的重力加速度大小为g；已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，空腔存在时P 点的重力加速度
为( )
A. GρV
d2
B. g
C. g+ GρV
d2
D. g−GρV
d2
第4 讲
45
【例13】
一个质量为M 的匀质实心球，半径为R。如果从球上挖去一个直径为R 的球，放在相距为d 的地方，求：
（1）从球的正中心挖去，如图甲所示，两球之间的引力是多大？
（2）从与球面相切处挖去，如图乙所示，两球之间的引力是多大？
46
专业巡礼
机械制造及其自动化是一门研究机械制造理论、制造技术、自动化制造系统和先进制造模式的研究
生学科。该学科融合了各相关学科的最新发展，使制造技术、制造系统和制造模式呈现出全新的面貌。机
械制造及其自动化目标很明确，就是将机械设备与自动化通过计算机的方式结合起来，形成一系列先进
的制造技术，包括CAD（计算机辅助设计）、CAM（计算机辅助制造）、FMS（柔性制造系统）等等，最
终形成大规模计算机集成制造系统（CIMS），使传统的机械加工得到质的飞跃。具体在工业中的应用包
括数控机床、加工中心等。
本专业毕业生主要到工业生产第一线从事机械制造领域内的设计制造、科技开发、应用研究、运行
管理和经营销售等方面的工作。可在机电装备制造业，从事机械制图与计算机绘图，机械制造工艺与现
场实施，机械加工与检测，机电设备安装、调试与维护，CAD/CAM 技术运用等岗位工作。由于机械行业
的重要性和庞大规模，需要一支庞大的专业人才队伍。今后一段时间内，机械类人才仍会有较大需求。具
有开发能力的数控人才将成为各企业争夺的目标，机械设计制造与加工专业人才供需比也很高。从机械
行业发展来看，印刷机械、数控机床、发电设备、工程机械等重头产品前景仍看好。除了这些传统工业领
域，该行业将进一步向机光电一体化发展，向光加工、环保这样的新兴领域拓展。
国内该专业排名比较靠前的院校有：清华大学、哈尔滨工业大学、上海交通大学、华中科技大学、大
连理工大学、天津大学、中南大学、浙江大学、西安交通大学、吉林大学等。
第
讲
5
47
万有引力与航天
Part 1
卫星的环绕
Part 2
近地卫星与同步卫星
Part 3
天体参数推算
Part 4
变轨问题
48
Part 1
卫星的环绕
知识点睛
在高中阶段的课内部分，都是将天体运动近似看成匀速圆周运动，其向心力都来源于万有引力，即GMm
r2 =
mv2
r = mω2r = m
(
2π
T
)2
r = ma。由此得出：
v =
√
GM
r ，即线速度v ∝
√
1
r ；
ω =
√
GM
r3 ，即角速度ω ∝
√
1
r3 ；
T =
√
4π 2r3
GM ，即周期T ∝
√
r3；
a = GM
r2 ，即向心加速度a ∝1
r2 。
精讲精练
【例1】
质量为m 的人造地球卫星，在半径为r 的圆轨道上绕地球运行时，其线速度为v，角速度为ω，取地球质量为M，当
这颗人造地球卫星在轨道半径为2r 的圆轨道上绕地球运行时，则( )
A. 根据公式v =
√
GM
r ，可知卫星运动的线速度将减小到
v
√
2
B. 根据公式F = mv2
r ，可知卫星所需的向心力将减小到原来的1
2
C. 根据公式ω = v
r ，可知卫星的角速度将减小到ω
2
D. 根据F = GMm
r2 ，可知卫星的向心力将减小为原来的1
4
第5 讲
49
【例2】
如图，运行轨道在同一平面内的两颗人造卫星A、B，同方向绕地心做匀速圆周运动，此时刻A、B 连线与地心恰在
同一直线上且相距最近，已知A 的周期为T，B 的周期为2
3T，下列说法正确的是( )
A. A 的线速度大于B 的线速度
B. A 的加速度大于B 的加速度
C. A、B 与地心连线在相同时间内扫过的面积相等
D. 从此时刻到下一次A、B 相距最近的时间为2T
【例3】
(多选)O 为地球球心，半径为R 的圆为地球赤道，地球自转方向如图所示，自转周期为T，观察站A 有一观测员在
持续观察某卫星B。某时刻观测员恰能观察到卫星B 从地平线的东边落下，经T
2 的时间，再次观察到卫星B 从地
平线的西边升起。已知∠BOB′ = α，地球质量为M，引力常量为G，则( )
A. 卫星B 绕地球运动的周期为
πT
2π −α
B. 卫星B 绕地球运动的周期为
πT
2π +α
C. 卫星B 离地表的高度为
3
√
GM
4
(
T
2π −α
)2
−R
D. 卫星B 离地表的高度为
3
√
GM
4
(
T
2π +α
)2
−R
50
Part 2
近地卫星与同步卫星
知识点睛
1. 近地卫星
近地卫星是指轨道在地球表面附近的卫星，计算时轨道半径可近似取地球半径。近地卫星具有：
(1) 最大的环绕速度v =
√
GM
R
≈7.9km/s
(2) 最短的周期T = 2π
√
R3
GM ≈84min
2. 地球同步卫星
同步卫星是指在赤道平面内，以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运动的卫星，同步卫星又叫同步通信
卫星。同步卫星有以下几个特点：
(1) 周期一定：同步卫星在赤道上空相对地球静止，它绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地
球自转的周期，即T = 24h。
(2) 角速度一定：同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度。
(3) 轨道一定：
①因提供向心力的万有引力指向圆心，所有同步卫星的轨道必在赤道平面内。
②由于所有同步卫星的周期都相同，由r =
3
√
GMT 2
4π 2
知，所有同步卫星的轨道半径都相同，即同一轨道运动，
其确定的高度约为3.59×104 km。
(4) 环绕速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是3.08km/s。环绕方向与地球
自转方向相同。
(5) 向心加速度大小一定：所有同步卫星由于到地心距离相同，所以，它们绕地球运动的向心加速度大小都相
同，约为0.23m/s2。
第5 讲
51
精讲精练
【例4】
(多选) 我国是少数几个能发射地球同步卫星的国家，到目前为止，我国已有多颗地球同步卫星在轨道上运行。关于
同步卫星，下列说法正确的是( )
A. 由于同步卫星相对地面静止，所以同步卫星处于平衡状态
B. 同步卫星的加速度比静止在赤道上的物体随地球自转的加速度大
C. 若同步卫星的高度是地球半径的n 倍，则同步卫星的线速度是第一宇宙速度的
1
√n
D. 由ω = v
r 可知，在保证角速度和地球自转角速度相同的情况下，人类可通过调节同步卫星的线速度来调节同步
卫星的高度
【例5】
已知地球赤道上的物体随地球自转的线速度大小为v1、向心加速度大小为a1，近地卫星线速度大小为v2、向心加
速度大小为a2，地球同步卫星线速度大小为v3、向心加速度大小为a3。设近地卫星距地面高度不计，同步卫星距
地面高度约为地球半径的6 倍。则以下结论正确的是( )
A. v1
v2
= 1
7
B. v2
v3
= 1
√
7
C. a1
a3
= 1
7
D. a2
a3
= 49
1
52
【例6】
我国发射的第10 颗北斗导航卫星是一颗倾斜地球同步轨道卫星，该卫星的轨道平面与地球赤道平面有一定的夹
角，它的运行周期是24 小时。图中的“8”字是该卫星相对地面的运行轨迹，它主要服务区域为亚太地区。已知地球
半径为R，地球静止同步卫星的轨道距地面高度约为地球半径的6 倍，地球表面重力加速度为g。下列说法中正确
的是( )
A. 该北斗卫星的轨道半径约为7R
B. 该北斗卫星的线速度小于赤道上物体随地球自转的线速度
C. 图中“8”字交点一定在赤道正上方
D. 依题可估算出赤道上物体随地球自转的向心加速度大小约为1
73 g
【例7】
如图，已知现在地球的一颗同步通信卫星信号最多覆盖地球赤道上的经度范围为2α。假设地球的自转周期变大，
周期变大后的一颗地球同步通信卫星信号最多覆盖的赤道经度范围为2β，则前后两次同步卫星的运行周期之比
为( )
A.
√
cos3β
cos3α
B.
√
sin3β
sin3α
C.
√
cos32α
cos32β
D.
√
sin32α
sin32β
第5 讲
53
Part 3
天体参数推算
知识点睛
1. 如何计算天体的质量，下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法：
(1) 若已知地球的半径R 和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得mg =
GM地m
R2
，解得地球质量为M地= gR2
G 。
(2) 若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为r，根据万有引力等于向心力，即GM地M月
r2
=
M月
(
2π
T
)2
r，可求得地球质量M地= 4π 2r3
GT 2 。
2. 如何求天体的密度
(1) 利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度
由mg = GMm
R2 和ρ =
M
4
3 πR3
得ρ =
M
4
3πR3 =
gR2
G
4
3πR3 =
3g
4πGR，其中g 为天体表面的重力加速度，R 为天体半径。
(2) 利用天体的卫星来求天体的密度
设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程
GMm
r2 = m4π 2
T 2 r，ρ =
M
4
3 πR3 ，得ρ =
M
4
3πR3 =
4π2r3
GT 2
4
3πR3 = 3πr3
GT 2R3 。
当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 等于天体半径R，则ρ = 3π
GT 2 。
54
精讲精练
【例8】
地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a1，地球的同步卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r，向心
加速度为a2。已知引力常量为G，地球半径为R，地球赤道表面的重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A. 地球质量M = gr2
G
B. 地球质量M = a1r2
G
C. a1、a2、g 的关系是g > a2 > a1
D. 加速度之比a1
a2
= r2
R2
【例9】
随着我国登月计划的实施，我国宇航员登上月球已不是梦想：假如我国宇航员登上月球并在月球表面附近以初速
度v0 竖直向上抛出一个小球，经时间t 后回到出发点。已知月球的半径为R，万有引力常量为G，则下列说法正确
的是( )
A. 月球表面的重力加速度为v0
t
B. 月球的质量为2v0R2
Gt
C. 宇航员在月球表面获得
√
v0R
t
的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动
D. 宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为
√Rt
v0
【例10】
若银河系内每个星球贴近其表面运行的卫星的周期用T 表示，被环绕的星球的平均密度用ρ 表示。1
T 2 与ρ 的关
系图象如图所示，已知万有引力常量G = 6.67×10−11N·m2/kg2。则该图象的斜率约为( )
A. 7×10−10N·m2/kg2
B. 7×10−11N·m2/kg2
C. 7×10−12N·m2/kg2
D. 7×10−13N·m2/kg2
第5 讲
55
Part 4
变轨问题
知识点睛
1.“卫星变轨”及“对接模型”
解答这一模型的有关问题，可根据圆周运动的向心力供求平衡关系进行分析求解：
(1) 若F供= F求，供求平衡——物体做匀速圆周运动；
(2) 若F供< F求，供不应求——物体做离心运动；
(3) 若F供> F求，供过于求——物体做向心运动。
2. 关于卫星轨道的能量
设卫星变轨前速度为v0，变轨后速度为v。当卫星从半径较小的轨道过渡到半径较大的轨道时，相当于做离心
运动，F供< F求，即mv2
0
r
= GMm
r2
< mv2
r 。因此当卫星从低轨道变到高轨道的瞬间，速度增大，动能增大，势能不变，
机械能增大；相反，当卫星从高轨道变到低轨道时，动能减小，机械能减小。
精讲精练
【例11】
2016 年9 月15 日，我国的空间实验室“天宫二号”在酒泉成功发射。9 月16 日，
“天宫二号”在椭圆轨道Ⅰ的远地
点A 开始变轨，变轨后在圆轨道Ⅱ上运行，如图所示，A 点离地面高度约为380km，地球同步卫星离地面高度约为
36000km。若“天宫二号”变轨前后质量不变，则下列说法正确的是( )
A.“天宫二号”在轨道Ⅱ上运行的周期一定大于24h
B.“天宫二号”在轨道Ⅰ上运行通过近地点B 时速度最小
C.“天宫二号”在轨道Ⅰ上运行的周期可能大于在轨道Ⅱ上运行的周期
D.“天宫二号”在轨道Ⅰ上运行通过A 点时的速度一定小于在轨道Ⅱ上
运行通过A 点时的速度
56
【例12】
发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2 运行，最后再次点火，将卫星
送入同步轨道3。轨道1、2 相切于Q 点，轨道2、3 相切于P 点，如图。关于这颗卫星分别在1、2、3 轨道上正常运
行时，以下说法正确的是( )
A. 卫星在三个轨道运动的周期关系是：T1 < T3 < T2
B. 卫星在轨道3 上的角速度小于在轨道1 上的角速度
C. 卫星在轨道2 上经过Q 点时的速率大于它在轨道1 上经过Q 点时的速率
D. 卫星在轨道2 上运动时的机械能可能等于它在轨道3 上运动时的机械能
【例13】
2014 年3 月8 日凌晨马航客机失联后，西安卫星测控中心紧急调动海洋、风云、高分、遥感4 个型号近10 颗卫星，
为地面搜救提供技术支持。特别是“高分一号”突破了空间分辨率、多光谱与大覆盖面积相结合的大量关键技术。
如图为“高分一号”与北斗导航系统两颗卫星在空中某一面内运动的示意图。
“北斗”系统中两颗卫星“G1”和“G3”
以及“高分一号”均可认为绕地心O 做匀速圆周运动。卫星“G1”和“G3”的轨道半径均为r，某时刻两颗工作卫星
分别位于轨道上的A、B 两位置，
“高分一号”在C 位置。若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球
半径为R，不计卫星间的相互作用力。则以下说法正确的是( )
A. 卫星“G1”和“G3”的加速度大小相等均为R2
r g
B. 卫星“G1”由位置A 运动到位置B 所需的时间为2πr
3R
√r
g
C. 如果调动“高分一号”卫星到达卫星“G3”所在的轨道，必须对其减速
D.“高分一号”是低轨道卫星，其所在高度有稀薄气体，运行一段时间后，高度会降低，速度增大，机械能会减小，卫
星轨道高度减小，根据v =
√
GM
r ，可知卫星的速度增大
第5 讲
57
专业巡礼
电气工程及其自动化涉及电力电子技术，计算机技术，电机电器技术，信息与网络控制技术，机电一
体化技术等诸多领域，是一门综合性较强的学科，使学生获得电工电子、系统控制、电气控制、电力系统
自动化、电气自动化装置及计算机应用技术等领域的基本技能。该专业培养具有工程技术基础知识和相
应的电气工程专业知识，具有解决电气工程技术分析与控制问题基本能力的高级工程技术人才。
本专业毕业生可在电力设备制造行业从事高电压设备的设计、开发、生产和管理等工作，可在电力
系统从事高压设备的运行维护方面的技术工作和管理工作，就业于电业局，供电局，发电厂，也可在高校
和科研院所从事教学和科研工作。
国内该专业排名比较靠前的院校有：清华大学、华中科技大学、西安交通大学、浙江大学、重庆大学、
华北电力大学、哈尔滨工业大学、天津大学、西南交通大学、上海交通大学等。
第
讲
6
59
动量定理
Part 1
动量
Part 2
冲量
Part 3
动量定理
60
Part 1
动量
知识点睛
1. 动量
(1) 定义：物体的质量和速度的乘积。
(2) 表达式：p = mv，单位：千克米每秒(kg·m/s)。
(3) 动量的三性
①矢量性：方向与速度的方向相同。
②瞬时性：动量是描述物体运动状态的物理量，动量定义中的速度是瞬时速度，是针对某一时刻而言的。
③相对性：大小与参考系的选择有关，通常情况是指相对地面的动量。
(4) 动量与动能的大小关系：p = √2mEk。
2. 动量和动能的区别和联系
①动量的大小与速度大小成正比，动能的大小与速度的大小平方成正比。
②动量是矢量，而动能是标量。因此，物体的动量变化时，其动能不一定变化；而物体的动能变化时，其动量
一定变化。
③动量和动能都与物体的质量和速度有关，两者从不同的角度描述了运动物体的特性，且二者大小间存在关
系式：p = √2mEk。
3. p、∆p 的区别
(1) p = mv 是动量，既有大小又有方向，是状态量。
(2) ∆p = p′ −p，是动量变化量，也是矢量，是过程量。
第6 讲
61
精讲精练
【例1】
关于动量的概念，以下说法中正确的是( )
A. 速度大的物体动量一定大
B. 质量大的物体动量一定大
C. 两个物体的质量相等，速度大小也相等，则它们的动量一定相等
D. 两个物体的速度相等，那么质量大的物体动量一定大
【例2】
如图所示，p、p′ 分别表示物体受到作用力前后的动量，短线表示的动量大小为15kg·m/s，长线表示的动量大小为
30kg·m/s，箭头表示动量的方向。在下列所给的四种情况下，物体动量改变量相同的是( )
A. ①②
B. ①③
C. ②④
D. ③④
【例3】
在任何相等的时间内，物体动量的变化总是相等的运动可能是( )
A. 匀变速直线运动
B. 匀速圆周运动
C. 自由落体运动
D. 平抛运动
62
【例4】
一质量为m 的小球以速度v 在水平面内做匀速圆周运动，从如图中的A 点转过90◦到达B 点，小球动量的变化量
是多少？
第6 讲
63
Part 2
冲量
知识点睛
1. 冲量
(1) 定义：力和力的作用时间的乘积。
(2) 表达式：I = Ft，单位：牛秒(N·s)。
(3) 矢量性：冲量是矢量，它的方向由力的方向决定。
(4) 物理意义：表示力对时间的积累。
(5) 作用效果：使物体的动量发生变化。
2. 冲量的计算
(1) 恒力的冲量：直接用定义式计算。
(2) 变力的冲量
①力的大小随时间均匀变化，方向不变。
I = Ft = F1 +F2
2
·t。
②作出F −t 图象，图线与t 轴所夹的面积，即为变力的冲量，如图所示。
3. 对冲量的理解和计算
①时间性：冲量是力在时间上的积累，讨论冲量时一定要明确是哪个力在哪段时间上的冲量，即冲量是过程量。
②矢量性：当力F 为恒力时，I 的方向与力F 的方向相同。
③绝对性：只要有力的作用就存在冲量，恒力的冲量不会为零，合力的冲量可能为零，变力的冲量也可能为零。
64
精讲精练
【例5】
如图所示，用恒力F1 和F2 先后两次将质量为m 的物体，由静止开始，以同样的加速度沿着一粗糙固定斜面由底端
推到顶端。第一次力F1 的方向平行斜面向上，第二次力F2 的方向水平向右，两次所用时间相等。在这两个过程中
( )
A. F1 对物体的冲量大于F2
B. F1 对物体的冲量小于F2
C. 第一个过程物体所受合外力的冲量更大
D. 第二个过程物体所受合外力的冲量更大
【例6】
如图所示，两个质量相等的物体从同一高度沿倾角不同的两个光滑斜面由静止自由滑下，到达斜面底端的过程中
( )
A. 两物体所受重力冲量相同
B. 两物体所受合力冲量不同
C. 两物体到达斜面底端时动量相同
D. 两物体到达斜面底端时动量不同
第6 讲
65
【例7】
一质量为m 的铁锤，以速度v 竖直打在木桩上，经过∆t 时间而停止。则在打击时间内，铁锤对木桩的平均冲力的
大小是( )
A. mg·∆t
B. mv
∆t
C. mv
∆t +mg
D. mv
∆t −mg
【例8】
如图所示，在倾角为30◦的足够长的光滑斜面上有一质量为m 的物体，它受到沿斜面方向的力F 的作用，力F 可
按图(a)、(b)、(c)、(d) 所示的四种方式随时间变化(图中纵坐标是F 与mg 的比值，力沿斜面向上为正)。已知此物
体在t = 0 时速度为零，若用v1、v2、v3、v4 分别表示上述四种受力情况下物体在3 秒末的速率，则这四个速率中最
大的是( )
A. v1
B. v2
C. v3
D. v4
【例9】
物体在恒定的合力声F 作用下做直线运动，在∆t1 时间内速度由0 增大到v，在∆t2 时间内速度由v 增大到2v。设
F 在∆t1 时间内做的功是W1，冲量是I1；在∆t2 时间内做的功是W2，冲量是I2。那么( )
A. I1 < I2，W1 = W2
B. I1 < I2，W1 < W2
C. I1 = I2，W1 = W2
D. I1 = I2，W1 < W2
66
Part 3
动量定理
知识点睛
二、动量定理
1. 内容：
物体所受合力的冲量等于物体的动量的变化。
2. 表达式：
Ft = ∆p = p′−p。
3. 矢量性：
动量变化量的方向与冲量方向相同，还可以在某一方向上应用动量定理。
4. 对动量定理I合= Ft = ∆p = p′−p 的理解
(1) I合、Ft 是物体受到的所有外力的总冲量。
(2) 动量定理说明的是合外力的I合和动量的变化量∆p 的关系，I合与∆p 不仅大小相等，而且∆p 的方向与
I合的方向相同。
5. 用动量定理解题的基本思路
(1) 确定研究对象。
(2) 对物体进行受力分析：可以先求每个力的冲量，再求各力冲量的矢量和——合力的冲量；或先求合力，再
求其冲量。
(3) 抓住过程的初、末状态，选好正方向，确定各动量和冲量的正、负号。
(4) 根据动量定理列方程求解。
6. 对过程较复杂的运动，可分段用动量定理，也可整个过程用动量定理。
第6 讲
67
精讲精练
【例10】
一质量为m 的铁锤，以速度v 竖直打在木桩上，经过∆t 时间而停止，则在打击时间内，铁锤对木桩的平均冲力的大
小是( )
A. mg∆t
B. mv
∆t
C. mv
∆t +mg
D. mv
∆t −mg
【例11】
为估算池中睡莲叶面承受雨滴撞击产生的平均压强，小明在雨天将一圆柱形水杯置于露台，测得1 小时内杯中水
位上升了45mm，查询得知，当时雨滴竖直下落的速度约为12m/s。据此估算该压强约为(设雨滴撞击睡莲后无反
弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1×103kg/m3)( )
A. 0.15Pa
B. 0.54Pa
C. 1.5Pa
D. 5.4Pa
【例12】
高水速切割是一种高科技工艺加工技术，为完成飞机制造工程中高难度的工艺加工而特制了一台高压水切割坐标
机器人，该机器人的喷嘴直径为0.5mm，喷嘴射流速度为空气中音速的3 倍，假设水流射到工件上后的速度变为
零。已知空气中音速约为1000
3
m/s，水的密度为1×103kg/m3，高速射流在工件上产生的压力约为( )
A. 2000N
B. 200N
C. 20N
D. 2N
68
【例13】
低空跳伞是一种极限运动，一般在高楼、悬崖、高塔等固定物上起跳。人在空中降落过程中所受空气阻力随下落速
度的增大而增大，而且速度越大空气阻力增大得越快。因低空跳伞下落的高度有限，导致在空中调整姿态、打开伞
包的时间较短，所以其危险性比高空跳伞还要高。一名质量为70kg 的跳伞运动员背有质量为10kg 的伞包从某高
塔顶端跳下，且一直沿竖直方向下落，其整个运动过程的v−t 图象如图所示。已知2.0s 末的速度为18m/s，10s 末
拉开绳索开启降落伞，16.2s 时安全落地，并稳稳地站立在地面上。g 取10m/s2，请根据此图像估算：
（1）起跳后2s 内运动员(包括其随身携带的全部装备) 所受平均阻力的大小。
（2）运动员从脚触地到最后速度减为零的过程中，若不计伞的质量及此过程中的空气阻力，则运动员所需承受地
面的平均冲击力多大。
（3）开伞前空气阻力对跳伞运动员(包括其随身携带的全部装备) 所做的功(结果保留三位有效数字)。
第6 讲
69
专业巡礼
金融学是从经济学中分化出来的应用经济学科，是以融通货币和货币资金的经济活动为研究对象，
具体研究个人、机构、政府如何获取、支出以及管理资金以及其他金融资产的学科。金融学专业培养具备
金融学方面的理论知识和业务技能，能在银行、证券、投资、保险及其他经济管理部门和企业从事相关工
作的专门人才。
毕业后可以在以下几个方面就业：
（1）商业银行，包括四大行和股份制商行、城市商业银行、外资银行驻国内分支机构。
（2）证券公司，含基金管理公司；上交所、深交所、期交所。
（3）信托投资公司、金融投资控股公司、投资咨询顾问公司、大型企业财务公司。
（4）金融控股集团、四大资产管理公司、金融租赁、担保公司。
（5）国家公务员序列的政府行政机构如财政、审计、海关部门等；高等院校金融财政专业教师；研究
机构研究人员。
（6）上市股份公司证券部、财务部、证券事务代表、董事会秘书处等。
国内该专业排名比较靠前的院校有：北京大学、中国人民大学、中央财经大学、对外经贸大学、东北
财经大学、上海财经大学、厦门大学、清华大学、南开大学、复旦大学等。
第
讲
7
71
动量守恒定律
Part 1
动量守恒定律
Part 2
反冲运动
Part 3
人船模型
72
Part 1
动量守恒定律
知识点睛
对于多个物体组成的系统，若合外力为0，则合外力冲量I外= F合t = 0；由牛顿第三定律可知，系统内各物体之
间相互作用力大小相等方向相反，因此系统内作用力的冲量和I合= ∑F内·t = 0，由动量定理I合= ∆p 可知，总冲
量为0，则系统动量保持不变。
1. 动量守恒定律：
相互作用的物体系统，如果不受外力，或它们所受的外力之和为零，它们的总动量保持不变。即作用前的总动
量与作用后的总动量相等。
研究对象：相互作用的两个物体或多个物体所组成的系统
2. 动量守恒定律适用的条件
(1) 系统不受外力作用，或系统所受合外力为零；
(2) 系统所受外力远小于系统内力；
(3) 系统在某一个方向的合外力为零，则系统在该方向的动量守恒；
(4) 全过程的某一阶段系统受合外力为零，该阶段系统动量守恒。
3. 常见的表达式
(1) m1v1 +m2v2 = m1v1′ +m2v2′。
(2) ∆p1 = −∆p2，其中∆p1、∆p2 分别表示系统内两个物体初、末动量的变化量，表示两个物体组成的系统，各
自动量的增量大小相等、方向相反。
对动量守恒定律的理解
①系统性：动量守恒定律的研究对象是两个(或多个) 物体组成的系统，系统内各物体间的相互作用只能改变
每个物体的动量。即在不同时刻，单个物体的动量可以不同，但系统的总动量总是相同。
②同一性：应用此定律时所有物体的速度都是相对同一参考系而言的。
③矢量性：动量是矢量，系统的总动量不变是说系统内各个物体的动量的矢量和不变。等号的含义是说等号
的两边不仅大小相同，方向也相同。
第7 讲
73
精讲精练
【例1】
关于系统动量守恒的条件，下列说法正确的是( )
A. 只要系统内存在摩擦力，系统动量就不可能守恒
B. 只要系统中有一个物体具有加速度，系统动量就不守恒
C. 只要系统所受的合外力为零，系统动量就守恒
D. 质量一定的系统中，所有物体的加速度为零时，系统的总动量不一定守恒
【例2】
下列四幅图所反映的物理过程，系统动量守恒的是( )
74
【例3】
如图所示，质量为M 的刚性斜面体静止在光滑的水平面上，一质量为m 的子弹以速度v0 水平射到斜面体的斜面
上并被斜面体沿竖直方向弹起，求子弹竖直弹起后斜面体的速度。
【例4】
A 球的质量是m，B 球的质量是2m，它们在光滑的水平面上以相同的动量运动，B 在前，A 在后，发生正碰后，A 球
仍朝原方向运动，但其速率是原来的一半，碰后两球的速率比vA : vB 为( )
A. 1
2
B. 1
3
C. 2
D. 2
3
【例5】
如图所示，滑块M 置于光滑水平地面上，M 左侧为与水平面相切的光滑曲面，一滑块m 从静止开始沿M 的光滑曲
面下滑到底端的过程中，下列说法正确的是( )
A. 滑块与光滑曲面组成的系统动量守恒
B. m 的重力的冲量小于M 对m 的支持力的冲量
C. m 对M 做的功等于m 和M 动能的增加量的和
D. m 减小的重力势能大于M 增加的动能
第7 讲
75
Part 2
反冲运动
知识点睛
1. 反冲现象
一个静止的物体在内力的作用下分裂为两部分，一部分向某个方向运动，另一部分必然向相反方向运动，这个
现象叫作反冲运动。例如：原来静止的大炮，向前发射炮弹后，炮身就要后退；发射火箭时，火箭向下高速喷射气体，
使火箭获得向上的速度。
2. 反冲运动遵循的规律
反冲运动是系统内力作用的结果，虽然有时系统所受的合外力不为零，但由于系统内力远远大于外力，所以系
统的总动量是守恒的。
对于原来静止的整体，抛出部分具有速度时，剩余部分的反冲是相对于抛出部分来说的，两者运动方向必然相
反。在列动量守恒方程时，可任意规定某一部分的运动方向为正方向，则反方向的另一部分的速度应取负值。
质量为M 的物体以对地速度v 抛出一个质量为m 的物体，研究剩余部分(M −m) 对地反冲速度时(若抛出物
体质量m ≪M，则认为剩余部分质量仍为M，这需要题目中特殊说明)，设v 的方向为正，列出的方程式为：
mv+(M −m)v′ = 0，得v
′ = −
m
M −mv。
由于v′ 为待求速度，事先可不考虑其方向，计算结果为负值，表示剩余部分的运动方向与抛出部分速度方向
相反。
注意
在讨论反冲运动问题时，应注意速度的方向性。
3. 反冲运动的应用实例
(1) 利用有益的反冲运动。喷气式飞机是靠喷出的气流的反冲作用而获得巨大推力的。
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(2) 避免有害的反冲运动。射击时，子弹向前飞去，枪身向后发生反冲，这就会影响后续射击的准确性。
4. 爆炸
两个物体之间有一小团火药，火药爆炸后会瞬间释放出能量，把两个物体弹开。把两个物体和火药看作整体，
爆炸瞬间内力远大于外力，整体动量守恒。爆炸也是反冲运动的一种，同样遵循动量守恒定律。反冲运动中物体的
运动规律，对爆炸来说同样适用。
【想一想】
反冲或爆炸的前后，系统的总动能是增加了还是减少了？
精讲精练
【例6】
一辆小车置于光滑水平桌面上，车左端固定一水平弹簧枪，右端安一网兜。若从弹簧枪中发射一粒弹丸，恰好落在
网兜内，结果小车将( )（空气阻力不计）
A. 向左移动一段距离
B. 留在原位置
C. 向右移动一段距离
D. 做匀速直线运动
【例7】
小孩双手搭着大人的肩一起在水平冰面上以3m/s 的速度向右匀速滑行，后面的小孩突然推了一下前面的大人，结
果小孩以2m/s 的速度向左滑行，已知小孩的质量为30kg，大人的质量为60kg，则被推后大人的速度大小变为( )
A. 5.5m/s
B. 4.5m/s
C. 3.5m/s
D. 2.5m/s
第7 讲
77
【例8】
如图所示，自行火炮(炮管水平) 连同炮弹的总质量为M，在水平路面上以v1 的速度向右匀速行驶，发射一枚质量
为m 的炮弹后，自行火炮的速度变为v2，仍向右行驶，则发射炮弹后炮弹与炮筒的相对速度v0 为( )
A. M (v1 −v2)+mv2
m
B. M (v1 −v2)
m
C. M (v1 −v2)+2mv2
m
D. M (v1 −v2)−m(v1 −v2)
m
【例9】
一火箭喷气发动机每次喷出m = 200g 的气体，气体离开发动机时速度v = 1000m/s，设火箭质量M = 300kg，发
动机每秒喷气20 次，在不考虑地球引力及空气阻力的情况下，求：
（1）当第3 次气体喷出后，火箭的速度多大。
（2）运动第1s 末，火箭的速度多大。
78
Part 3
人船模型
知识点睛
如果系统是由两(或多) 个物体组成的，某一方向上合外力为零(动量守恒)，且相互作用前系统在该方向的总
动量为零，我们称之为人船模型。
如图所示，人在长为l 的船上由右端走到左端的过程中，设人和船的速度大小分别是v1、v2，由动量守恒定律，
得m1v1 = m2v2，则在任意一段时间∆t 内有m1v1∆t = m2v2∆t，可得m1s1 = m2s2。由此可知人船模型位移与质量成
反比。
由图知s1 +s2 = l，解得人和船的位移分别为s1 =
m2
m1 +m2
l，s2 =
m1
m1 +m2
l。
精讲精练
【例10】
一艘小船的质量为M，船上站着一个质量为m 的人，人和小船原处于静止状态。水对船的阻力可以忽略不计。当
人从船尾向船头方向走过距离d 时(相对于船)，小船后退的距离为( )
A. md
M
B.
md
M −m
C.
Md
M +m
D.
md
M +m
第7 讲
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【例11】
如图所示，在光滑水平地面上，有两个光滑的直角三角形木块A 和B，底边长分别为a、b，质量分别为M、m，若M =
4m，且不计任何摩擦力，当B 滑到底部时，A 向后移了多少距离？
【例12】
如图所示，两辆质量相同的平板小车a、b 成一直线排列，静止在光滑水平地面上，原来静止在a 车上的一个小孩跳
到b 车，接着又立即从b 车跳回a 车，并相对a 车保持静止，此后( )
A. a、b 两车的速率相等
B. a 车的速率大于b 车的速率
C. a 车的速率小于b 车的速率
D. a、b 两车均静止
80
【例13】
甲、乙两人做抛球游戏，如图所示，甲站在一辆平板车上，车与水平地面间摩擦不计。甲与车的总质量M = 10kg，另
有一质量m = 2kg 的球，乙站在车的对面的地上，身旁有若干质量不等的球。开始车静止，甲将球以速度v(相对于
地面) 水平抛给乙，乙接到抛来的球后，马上将另一只质量为m′ = 2m 的球以相同速度v 水平抛回给甲，甲接到后，
再以相同速度v 将此球抛给乙，这样反复进行，乙每次抛回给甲的球的质量都等于他接的球的质量的2 倍，求：
（1）甲第2 次抛出球后，车的速度大小。
（2）从第1 次算起，甲抛出多少个球后，再不能接到乙抛回来的球。
第7 讲
81
专业巡礼
土木工程是建造各类土地工程设施的科学技术的统称。它既指所应用的材料、设备和所进行的勘
测、设计、施工、保养、维修等技术活动，也指工程建设的对象。即建造在地上或地下、陆上，直接或间接为
人类生活、生产、军事、科研服务的各种工程设施，例如房屋、道路、铁路、管道、隧道、桥梁、运河、堤坝、港
口、电站、飞机场、海洋平台、给水排水以及防护工程等。土木工程是指除房屋建筑以外，为新建、改建或
扩建各类工程的建筑物、构筑物和相关配套设施等所进行的勘察、规划、设计、施工、安装和维护等各项
技术工作及其完成的工程实体。
土木工程专业大体可分为道路、桥梁工程与建筑工程两个不同的方向，在职业生涯中，这两个方向
的职位既有大体上的统一性，又有细节上的具体区别。总体来说，土木工程专业的主要就业方向有以下
几种：
工程技术方向：建筑施工企业、房地产开发企业、路桥施工企业等。
设计、规划及预算方向：工程勘察设计单位、房地产开发企业、交通或市政工程类** 机关职能部门、
工程造价咨询机构等
质量监督及工程监理方向：建筑、路桥监理公司、工程质量检测监督部门。
工程检修方向：轨道交通，铁路工务段（处）。
公务员、教学及科研方向：交通、市政管理部门、大中专院校、科研及设计单位。
国内该专业排名比较靠前的院校有：同济大学、东南大学、清华大学、北京工业大学、哈尔滨工业大
学、浙江大学、天津大学、大连理工大学、河海大学、湖南大学等。
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