文档文本内容
圆周运动与传动模型
模块1
圆周运动的描述
4
模块2
传动装置
7
向心加速度与向心力
模块1
向心加速度
18
模块2
向心力
21
向心力的应用
模块1
生活中的圆周运动
32
模块2
开普勒定律
37
万有引力定律
模块1
万有引力推导
46
模块2
万有引力
49
模块3
万有引力与重力
51
目录
Contents
万有引力与航天
模块1
卫星的环绕
60
模块2
近地卫星与同步卫星
63
模块3
宇宙速度
66
功和功率
模块1
功
76
模块2
功率
80
动能定理与机车启动
模块1
机车启动
90
模块2
动能、动能定理
93
第1 讲
圆周运动与传动
模型
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3
1
知识引航
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，上面挂在轮边缘的是供乘客乘搭的座舱。乘客坐在摩天轮慢慢
的往上转，可以从高处俯瞰四周景色。作为一种游乐场机动游戏，与云霄飞车、旋转木马合称是“乐园三宝”。但
摩天轮也经常单独存在于其他的场合，通常作为活动的观景台使用。
无辐式摩天轮是摩天轮的一种。传统的摩天轮都是中间有轴，绕轴转动，而无辐式摩天轮就是像一枚漂亮
的戒指，中间没有任何支撑。世界上最大的无辐式摩天轮是潍坊白浪河大桥核心景观“渤海之眼”摩天轮。无轴
的摩天轮本身并不转动，转动的是沿轨道旋转的游艺仓。
想一想，当摩天轮运行时，乘坐摩天轮的乘客是在做匀速运动吗？
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·寒
4
1
1
模块
1
圆周运动的描述
知识凝炼
1
定义：圆周运动就是轨迹为圆的运动。
2
圆周运动的描述
(1) 线速度：圆周运动的快慢可以用物体通过的弧长与所用时间的比值来度量。
如图，物体沿圆弧由M 向N 运动，某时刻t 经过A 点。为了描述物体经过A 点附近时运动的快慢，可以
从此时刻开始取一段很短的时间∆t，通过的弧长为∆s。则A 点线速度为v = ∆s
∆t 。
当∆t →0 时，弧AB 与线段AB 几乎没有差别，此时的弧长∆s 就是物体的位移∆l。此时的线速度即为A
点的瞬时速度，其方向与半径OA 垂直，即速度方向与轨迹相切。
(2) 匀速圆周运动：物体做圆周运动，并且线速度的大小处处相等。
(3) 角速度：圆周运动的快慢还可以用它与圆心连线扫过角度的快慢来描述。
做圆周运动的物体，在很短的时间∆t 内转过的角为∆θ，则角速度为ω = ∆θ
∆t 。角速度的单位为“rad/s”(弧
度/秒)。
(4) 周期：做匀速圆周运动的物体，转过一周所用的时间。
周期用T 表示，单位是秒(s)。
(5) 转速：转速是指做匀速圆周运动的物体，单位时间内转过的圈数。
技术中常用转速来描述转动物体上质点做圆周运动的快慢。
转速用n 表示，单位是转/秒(r/s)，或转/分(r/min)。
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5
1
(6) 几个物理量之间的关系：
如图，设圆周运动半径为r，由A 到B 的时间为∆t，AB 弧长为∆l，AB 弧对应的圆心角为∆θ。当∆θ 以弧
度为单位时，∆θ = ∆l
r 。由于∆l = v∆t，∆θ = ω∆t，所以有v = ωr。
精讲精练
例1
★★
质点做匀速圆周运动，则（ ）
A. 在任何相等的时间里，质点的位移都相等
B. 在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
C. 在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
D. 在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
达标检测1
★★★
正确率：71%
甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3 : 1，线速度之比为2 : 3，那么下列说法中正确
的是（ ）
A. 它们的半径之比是2 : 9
B. 它们的半径之比是1 : 2
C. 它们的周期之比是2 : 3
D. 它们的周期之比是1 : 3
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·寒
6
1
例2
★★★★正确率：65%
如图所示，一水平放置的圆筒正在以中轴线为轴匀速转动，圆筒底部的半径为R，筒侧壁上有一小孔，当
小孔转到筒的最上方时，在孔正上方h 处由静止开始下落的小球恰好由小孔进入圆筒。已知圆孔半径
足够大，以使小球穿过时不受阻碍，如果圆筒的转速满足一定的值，则小球可以从圆筒中间穿落，要使小
球穿筒下落，圆筒的转速为（ ）
A. n =
(
k + 1
2
)√g
√
2h+2R−
√
2h
(k = 0，1，2，3，··· )
B. n =
(
k + 1
2
)√g
√
2h+4R−
√
2h
(k = 0，1，2，3，··· )
C. n =
k√g
√
2h+2R−
√
2h
(k = 0，1，2，3，··· )
D. n =
k√g
√
2h+4R−
√
2h
(k = 0，1，2，3，··· )
达标检测2
★★★★正确率：40%
如图所示，直径为d 的圆形纸筒以角速度ω 绕轴心O 匀速转动。一子弹沿直径射入圆筒，子弹在圆筒
上先后留下a、b 两个弹孔，且∠aOb = θ，则子弹的速度为（ ）
A. v =
dω
2nπ +θ (n = 0，1，2，3，···)
B. v =
dω
2nπ −θ (n = 0，1，2，3，···)
C. v =
dω
2nπ +π +θ (n = 0，1，2，3，···)
D. v =
dω
2nπ +π −θ (n = 0，1，2，3，···)
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7
1
2
模块
2
传动装置
知识凝炼
传动装置中各物理量之间的关系：
在分析传动装置的各物理量时，要抓住不等量和相等量的关系，表现为：
①同转动轴的各点角速度ω 相等，而线速度v = ωr 与半径r 成正比。
②当皮带不打滑时，与传动皮带连接的两轮边缘的各点线速度大小相等，而角速度ω = v
r 与半径r 成反
比。
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8
1
精讲精练
例3
★★
正确率：69%
如图所示，两个小球固定在一根长为L 的杆的两端，绕杆上的O 点做圆周运动。当小球A 的速度为v1
时，小球B 的速度为v2，则转轴O 到小球B 的距离是（ ）
A.
Lv1
v1 +v2
B.
Lv2
v1 +v2
C. L(v1 +v2)
v1
D. L(v1 +v2)
v2
达标检测3
★★★
正确率：56%
如图所示的齿轮传动装置中，主动轮的齿数z1 = 24，从动轮的齿数z2 = 8，当主动轮以角速度ω 顺时针
转动时，从动轮的运动情况是（ ）
A. 顺时针转动，周期为2π
3ω
B. 逆时针转动，周期为2π
3ω
C. 顺时针转动，周期为6π
ω
D. 逆时针转动，周期为6π
ω
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9
1
例4
★★★★
图示为锥形齿轮的传动示意图，大齿轮带动小齿轮转动，大、小齿轮的角速度大小分别为ω1、ω2，两齿轮
边缘处的线速度大小分别为v1、v2，则（ ）
A. ω1 < ω2，v1 = v2
B. ω1 > ω2，v1 = v2
C. ω1 = ω2，v1 > v2
D. ω1 = ω2，v1 < v2
例5
★★★
如图所示，B、C 两轮固定在一起，绕同一转轴转动。A、B 两轮用皮带传动，三轮半径关系为rA = rC = 2rB。
若皮带不打滑，求A、B、C 三轮边缘的a、b、c 三点的角速度之比和线速度之比。
例6
★★★
一部机器由电动机带动，机器上的皮带轮的半径是电动机皮带轮半径的3 倍，皮带与两轮之间不发生滑
动，求电动机皮带轮与机器皮带轮的角速度之比ω1 : ω2 等于多少。
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10
1
例7
★★★
如图所示，A、B 两个齿轮的齿数分别是z1、z2，各自固定在过O1、O2 的轴上，其中过O1 的轴与电动机
相连接，此轴转速为n1，求：
（1）B 齿轮的转速n2；
（2）A、B 两齿轮的半径之比r1 : r2；
（3）在时间t 内，A、B 两齿轮转过的角度之比以及B 齿轮外缘上一点通过的路程。（B 齿轮半径R2 为
已知量）
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11
1
春季你会遇见
如图所示为某一皮带传动装置，M 是主动轮，其半径为r1，M′ 半径也为r1，M′ 和N 在同一轴上，N
和N′ 的半径都为r2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑，则下列说法正
确的是（ ）
A. N′ 轮做的是逆时针转动
B. N′ 轮做的是顺时针转动
C. N′ 轮的转速为
(
r1
r2
)2
n
D. N′ 轮的转速为
(
r2
r1
)2
n
答案
B,C
解析
根据皮带传动关系可以看出，N 轮和M 轮转动方向相反，N′ 轮和N 轮的转动方向相反，因
此N′ 轮的转动方向为顺时针，故A 错误，B 正确；
皮带与轮边缘接触处的线速度相等，所以2πnr1 = 2πn2r2，得N(或M′) 轮的转速为n2 = nr1
r2
，同理
2πn2r1 = 2n2′πr2，可得N′ 轮转速n2′ =
(
r1
r2
)2
n，故C 正确，D 错误。
所以BC 正确，AD 错误。
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12
1
直击高考
考题
风速仪结构如图(a) 所示，光源发出的光经光纤传输，被探测器接收，当风轮旋转时，通过齿轮带动凸
轮圆盘旋转，当圆盘上的凸轮经过透镜系统时光被挡住。已知风轮叶片转动半径为r，每转动n 圈带动
凸轮圆盘转动一圈。若某段时间∆t 内探测器接收到的光强随时间变化关系如图(b) 所示，则该时间段
内风轮叶片（ ）
A. 转速逐渐减小，平均速率为4πnr
∆t
B. 转速逐渐减小，平均速率为8πnr
∆t
C. 转速逐渐增大，平均速率为4πnr
∆t
D. 转速逐渐增大，平均速率为8πnr
∆t
答案
B
解析
据题意，从(b) 图可以看出，在∆t 时间内，探测器接收到光的时间在增长，圆盘凸轮的挡光时间也在增
长，可以确定圆盘凸轮的转动速度在减小；还可以从图看出在∆t 时间内有4 次挡光，即圆盘转动4 周，
则风轮叶片转动了4n 周，风轮叶片转过的弧长为l = 4n×2πr，叶片转动平均速率为：v = 8nπr
∆t ，故选
项B 正确。
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13
1
随堂测试
测试1 如图所示，两个半径不同的轮子依靠摩擦传动不打滑，则具有相同角速度的两点是（ ）
A. A 和B
B. C 和B
C. A 和D
D. A 和C
测试2 如图所示，在风力发电机的叶片上有A、B、C 三点，其中A、C 在叶片的端点，B 在叶片的中点。当叶片
转动时，这三点（ ）
A. 线速度大小都相等
B. 线速度方向都相同
C. 角速度大小都相等
D. 周期都相等
测试3 如图所示，地球绕OO′ 轴自转，则下列正确的是（ ）
A. A、B 两点的角速度相等
B. A、B 两点线速度相等
C. A、B 两点的转动半径相同
D. A、B 两点的转动周期不相同
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14
1
课堂总结
第2 讲
向心加速度与向
心力
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17
2
知识引航
用洗衣机给衣物脱水时，滚筒内的衣物因为受到滚筒内壁的压力（指向滚筒内）而随之高速旋转，而衣物
对水的附着力远不能提供高速转动的水所需的向心力，从而使水被“甩”了出去，达到脱水的效果。
想一想，使用洗衣机脱水功能时，如果衣物放置不均匀，为什么会出现“敲缸”现象？骑自行车转弯时，人为
什么要向转弯的一侧倾斜？
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18
2
1
模块
1
向心加速度
知识凝炼
向心加速度的大小
如图丁，当∆t 很小时，有∆v
v = ∆l
r ，所以a = ∆v
∆t = v∆l
r∆t = v2
r = ω2r。
精讲精练
达标检测1
★★
关于向心加速度，下列说法正确的是（ ）
A. 向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B. 向心加速度的方向保持不变
C. 物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D. 物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
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19
2
例1
★★★
图为质点P、Q 做匀速圆周运动时向心加速度an 随半径r 变化的图像，其中表示质点P 的图像是双曲
线的一支，表示质点Q 的图像是过原点的一条直线，由图像可知（ ）
A. 质点P 的线速度大小不变
B. 质点P 的角速度大小不变
C. 质点Q 的角速度随半径变化
D. 质点Q 的线速度大小不变
达标检测2
★★★
A、B 两个质点分别做匀速圆周运动，在相等时间内通过的弧长之比为sA : sB = 4 : 3，转过的圆心角之比
θA : θB = 3 : 2，则下列说法中正确的是（ ）
A. 它们的线速度之比vA : vB = 4 : 3
B. 它们的角速度之比ωA : ωB = 2 : 3
C. 它们的周期之比TA : TB = 3 : 2
D. 它们的向心加速度之比aA : aB = 3 : 2
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20
2
例2
★★★
一部机器由电动机带动，机器上的皮带轮的半径是电动机皮带轮半径的3 倍，皮带与两轮之间不发生滑
动。已知机器皮带轮边缘上一点的向心加速度为0.1m/s2。
（1）电动机皮带轮与机器皮带轮的角速度之比ω1 : ω2 等于多少？
（2）机器皮带轮上A 点到转轴的距离为轮半径的一半，A 点的向心加速度是多少？
（3）电动机皮带轮边缘上的B 点的向心加速度是多少？
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21
2
2
模块
2
向心力
知识凝炼
1
向心力的大小
由牛顿第二定律，F = ma = mv2
r = mω2r。
向心力是做匀速圆周运动的物体所受的合力，是按效果命名的力。它的方向时刻在改变，因此向心力是变
力。
2
向心力的来源及分析
⑴向心力的来源；
①向心力是按力的作用效果命名的，它可以由某种性质的力来充当，如重力、弹力等；
②向心力可以是几个力的合力或某个力的分力。
⑵分析向心力的一般步骤
①首先确定圆周运动的轨道所在的平面；
②其次找出轨道圆心的位置；
③最后分析做圆周运动的物体所受的力，作出受力图，找出这些力指向圆心方向的合外力就是向心力。
精讲精练
例3
★★★
正确率：76%
如图所示，物块P 置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c 沿半径指向圆心，a 与c 垂直，下列说法正
确的是（ ）
A. 当转盘匀速转动时，P 受摩擦力方向可能为a 方向
B. 当转盘加速转动时，P 受摩擦力方向可能为b 方向
C. 当转盘加速转动时，P 受摩擦力方向可能为c 方向
D. 当转盘减速转动时，P 受摩擦力方向可能为d 方向
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2
例4
★★★★
如图所示，在水平转台上放一个质量M = 2kg 的木块，它与转台间最大静摩擦力Ffmax = 6.0N，绳的一
端系在木块上，穿过转台的中心孔O(孔光滑)，另一端悬挂一个质量m = 1.0kg 的物体，当转台以角速度
ω = 5rad/s 匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O 点的距离可以是(g 取10m/s2，M、m 均视为质
点)（ ）
A. 0.04m
B. 0.08m
C. 0.16m
D. 0.50m
达标检测3
★★★
正确率：59%
在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，且m1 = 2m2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好
能与杆保持无相对滑动，如图所示，此时两小球到转轴的距离r1 与r2 之比为（ ）
A. 1 : 2
B. 1 :
√
2
C. 2 : 1
D. 1 : 1
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23
2
例5
★★★★
如图所示是“用圆锥摆粗略验证向心力的表达式”的实验，细线下面悬挂一个钢球，细线上端固定。将画
着几个同心圆的白纸置于水平桌面上，使钢球静止时恰好位于圆心。现设法使钢球沿纸上的某个圆周
运动。实验步骤如下：
(1) 用秒表记下钢球运动n 圈的时间t。
(2) 通过纸上的圆测出钢球做匀速圆周运动的半径r，并用天平测出钢球的质量m。
（1）测出悬点到球心的竖直高度h，用上述测得的量分别表示钢球所需要向心力的表达式F1 =
，钢球所受合力的表达式F2 =
。下面是一次实验得到的数据，代入上式计算结
果F1 =
N，F2 =
N，图中细线与竖直方向的夹角θ 比较小，可认为tanθ ≈sinθ。
(g = 9.80m/s2，π2 ≈9.86，计算结果保留三位小数)
（2）在误差允许的范围内，可认为F1
F2(填“=”
“>”或“<”)，证明向心力的表达式正确。
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2
例6
★★★
飞机由俯冲转为拉起的一段轨迹可看作一段圆弧，如图所示，飞机做俯冲拉起运动时，在最低点附近做
半径为r = 180m 的圆周运动，如果飞行员的质量m = 70kg，飞机经过最低点P 时的速度v = 360km/h，
则这时飞行员对座椅的压力是多少？(g 取10m/s2)
达标检测4
★★★★正确率：70%
一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同
半径的小圆弧来代替。如图1 所示，曲线上的A 点的曲率圆定义为：通过A 点和曲线上紧邻A 点两
侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A 点的曲率圆，其半径ρ 叫做A 点的曲率半径。现将
一物体沿与水平面成α 角的方向以速度v0 抛出，如图2 所示，则在其轨迹最高点P 处的曲率半径是
（ ）
A. v02
g
B. v02sin2α
g
C. v02cos2α
g
D. v02cos2α
gsinα
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25
2
例7
★★★★
如图所示，在光滑的水平面上有两个质量相等的小球A 和B，两球用轻绳连接，再用同样长度的轻绳连
接A 球，C 为绳的自由端，设运动中水平拉直的AC 和AB 两段绳所受拉力分别为T1 和T2，下列说法正
确的是（ ）
A. 若用力水平向左拉着C 端使两球运动，则T1 = T2
B. 若用力水平向左拉着C 端使两球运动，则T1 = 2T2
C. 若以C 为圆心，使两球以相同角速度沿水平面做匀速圆周运动，则T1 = T2
D. 若以C 为圆心，使两球以相同角速度沿水平面做匀速圆周运动，则T1 = 1.5T2
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2
春季你会遇见
如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O 点，设法让两
个小球均在水平面上做匀速圆周运动。已知L1 跟竖直方向的夹角为60◦，L2 跟竖直方向的夹角为
30◦，下列说法正确的是（ ）
A. 细线L1 和细线L2 所受的拉力大小之比为3 : 1
B. 小球m1 和m2 的角速度大小之比为3 : 1
C. 小球m1 和m2 的向心力大小之比为3 : 1
D. 小球m1 和m2 的线速度大小之比为3
√
3 : 1
答案
C
解析
A、对任一小球研究，设细线与竖直方向的夹角为θ，竖直方向受力平衡，则T cosθ = mg，解
得T = mg
cosθ ，所以细线L1 和细线L2 所受的拉力大小之比T1
T2
= cos30◦
cos60◦=
√
3
1 ，故A 错误；
B、小球所受合力的大小为mgtanθ，根据牛顿第二定律得mgtanθ = mLsinθω2，得ω2 =
g
Lcosθ ，两
小球L 相等，所以角速度ω1
ω2
=
√
cos30◦
cos60◦=
4√
3
1 ，故B 错误；
C、小球所受合力提供向心力，则向心力F = mgtanθ，小球m1 和m2 的向心力大小之比：
F1
F2
= tan60◦
tan30◦= 3
1，故C 正确；
D、小球由合外力提供向心力，有F = mgtanθ = m
v2
Lsinθ ，则小球m1 和m2 的线速度大小之比为
v1
v2
=
√
tan60◦sin60◦
tan30◦sin30◦=
4√
27
1 ，故D 错误。
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2
直击高考
考题
未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航
天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示。当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆
柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。为达到上述目的，下列说法正确的是
（ ）
A. 旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大
B. 旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小
C. 宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大
D. 宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小
答案
B
解析
旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，受到的旋转舱的支持力提供其圆周
运动所需的向心力，且等于重力，所以FN = mω2r = mg，所以有g = ω2r，旋转舱的角速度与宇航员的
质量无关；旋转舱的半径越大，转动的角速度ω 就应越小。
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2
随堂测试
测试1 关于向心加速度，下面说法正确的是（ ）
A. 向心加速度是描述线速度变化的物理量
B. 向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C. 向心加速度大小恒定，方向时刻改变
D. 物体做非匀速圆周运动时，向心加速度的大小也可用an = v2
r 来计算
测试2 如图所示，将完全相同的两个小球A、B，用长L = 0.8m 的细绳悬于以v0 = 4m/s 向右匀速运动的小车
的顶部，两球恰与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止运动，此时悬线的拉力之比FA : FB 为
(g = 10m/s2)（ ）
A. 1 : 4
B. 1 : 3
C. 3 : 1
D. 1 : 1
测试3 在水平路面上安全转弯的汽车，提供向心力是（ ）
A. 重力和支持力的合力
B. 重力、支持力和牵引力的合力
C. 汽车与路面间的静摩擦力
D. 汽车与路面间的滑动摩擦力
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2
课堂总结
第3 讲
向心力的应用
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31
3
知识引航
火星是太阳系八大行星之一，是太阳系由内往外数的第四颗行星，属于类地行星，直径约为地球的53%，质
量为地球的11%。自转轴倾角、自转周期均与地球相近，公转一周约为地球公转时间的两倍。橘红色外表是地
表的赤铁矿(氧化铁)。
多数的时间，火星在地球上空的视相运动是一个方向，缓慢而稳定的在遥远的背景星前面移动。然而，大约
每两年的时间，地球就会在绕日的轨道上领先于火星，同时火星也在天空上倒着走，这个现象称做火星逆行。
想一想，火星真的是在逆行吗？
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32
3
1
模块
1
生活中的圆周运动
知识凝炼
生活中的圆周运动实例分析
1
火车转弯问题
火车转弯时实际是在做圆周运动，如果铁路弯道的内外轨是一样高的，那么火车转弯时外侧车轮的轮缘将
挤压外轨，外轨对轮缘的弹力提供火车转弯的向心力。但是火车的质量太大，靠这种方法得到向心力，轮缘与外
轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损。因此，修筑铁路时，通常根据弯道的半径和规定的行驶速度，适
当选择内外轨的高度差，使火车转弯时所需的向心力几乎完全由重力G 和地面支持力FN 的合力来提供，以减
小对铁轨的挤压(如图所示)。
分析：
F合= mgtanθ = m
v2
规定
R
，
2
汽车过拱桥
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33
3
⑴汽车过桥时的运动也可以看作圆周运动。设汽车的质量为m，在拱形桥上以速度v 前进，桥面的圆弧
半径为R。则汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供汽车运动的向心力
汽车对桥的压力FN = G−mv2
R
⑵汽车通过凹形桥时最低点汽车对桥的压力，
FN′ = G+mv2
R
精讲精练
例1
★★★
正确率：80%
火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定。若在某转弯处规定行驶速度
为v，则下列说法中正确的是（ ）
A. 当以速度v 通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和内轨对轮缘弹力的合力提供向心力
B. 当以速度v 通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力
C. 当速度大于v 时，轮缘挤压外轨
D. 当速度小于v 时，轮缘挤压外轨
达标检测1
★★★
正确率：62%
铁路弯道的内外侧铁轨不在同一水平面上。质量为M 的火车，以恒定的速率v 在水平面内沿一段半径
为r 的圆弧轨道转弯，重力加速度为g，则轨道对火车作用力的大小等于（ ）
A. M
√
g2 +
(
v2
r
)2
B. M v2
r
C. M
√(
v
r
)2
−g2
D. Mg
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34
3
例2
★★★★★
铁路转弯处的弯道半径r 是根据地形决定的。弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h 的设计不
仅与r 有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率。下列表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r
与对应的轨道高度差h。
（1）根据表中数据，试导出h 和r 关系的表达式，并求出当r = 440m 时，h 的设计值。
（2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我
国铁路内外轨的间距设计值为L = 1435mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v(以km/h 为
单位，结果取整数。路轨倾角θ 很小时，tanθ ≈sinθ；g 取10m/s2)。
（3）为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速，这就要求火车转弯速率也需要提高。请根据上述计
算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施。
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35
3
例3
★★★
正确率：62%
如图所示，质量为m 的赛车在比赛中要通过一段凹凸起伏的路面，若圆弧半径都是R，汽车的速率恒为
v = √gR，则下列说法正确的是（ ）
A. 在凸起的圆弧路面的顶部，赛车对路面的压力为零
B. 在凹下的圆弧路面的底部，赛车对路面的压力为3mg
C. 在凸起的圆弧路面的顶部，赛车的向心力为0
D. 在凹下的圆弧路面的底部，赛车的向心力为mg
达标检测2
★★★
正确率：87%
汽车通过拱形桥时的运动可以看作圆周运动，如图所示。质量为m 的汽车以速度v 通过半径为R 的拱
形桥最高点时，下列说法正确的是（ ）(重力加速度大小为g)
A. 桥对汽车的支持力小于汽车对桥的压力
B. 汽车对桥的压力大小为mg
C. 桥对汽车的支持力大小为mg−mv2
R
D. 无论汽车的速度有多大，汽车对桥始终有压力
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36
3
例4
★★★
洗衣机的甩干筒在转动时有一衣物附着在筒壁上，此时：
①衣服受重力、筒壁的弹力和摩擦力
②衣服随筒壁做圆周运动的向心力是摩擦力
③筒壁的弹力随筒的转速的增大而增大
④筒壁对衣服的摩擦力随转速的增大而增大
以上说法正确的是（ ）
A. ①②
B. ①③
C. ②④
D. ③④
例5
★★★★正确率：74%
有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁做匀速圆周运动。图中
粗线圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h，下列说法中正确的是（ ）
A. h 越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B. h 越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
C. h 越高，摩托车做圆周运动的周期将越小
D. h 越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
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37
3
2
模块
2
开普勒定律
知识凝炼
开普勒的行星运动规律
1
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。(轨道定律)
2
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。(面积定律)
3
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。即a3
T 2 = k 其中a 代表椭圆
轨道的半长轴，T 代表公转周期，k 是一个对所有行星都相同的常量。(周期定律)
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38
3
精讲精练
达标检测3
★★★
下列说法中正确的是( )
A. 所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B. 行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的中心处
C. 离太阳越远的行星公转周期越长
D. 离太阳越远的行星自转周期越长
例6
★★★
正确率：87%
某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示，F1 和F2 是椭圆轨道的两个焦点，行星在A 点的速率比在B 点
的大，则太阳位于（ ）
A. F2
B. A
C. F1
D. B
例7
★★★
正确率：89%
理论和实践证明，开普勒定律不仅适用于太阳系中的天体运动，而且对一切天体(包括卫星绕行星的运
动) 都适用，关于开普勒第三定律的公式a3
T 2 = k，下列说法中正确的是（ ）
A. 公式只适用于轨道是椭圆的运动
B. 式中的k 值，对于所有的行星和卫星都是相等的
C. 式中的k 值，只与中心天体有关，与绕中心天体运动的行星(或卫星) 无关
D. 若已知月球到地球之间的距离，根据公式可求出地球与太阳之间的距离
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39
3
达标检测4
★★★
2018 年2 月6 日，马斯克的“SpaceX 猎鹰”重型火箭将一辆樱红色特斯拉跑车发射到太空。图是特斯拉
跑车和Starman(宇航员模型) 的最后一张照片，它们正在远离地球，处于一个环绕太阳的椭圆形轨道。远
日点超过火星轨道，距离太阳大约为3.9 亿公里，已知日、地的平均距离约为1.5 亿公里。则特斯拉跑车
环绕太阳的周期约为(可能用到的数据：
√
5 = 2.236，3√
15 = 2.47)（ ）
A. 18 个月
B. 29 个月
C. 36 个月
D. 40 个月
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40
3
春季你会遇见
如图所示，小球m 可以在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的是（ ）
A. 小球通过最高点的最小速度为v = √gR
B. 小球通过最高点的最小速度可以为0
C. 小球在水平线ab 以下管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D. 小球在水平线ab 以上管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力
答案
B,C,D
解析
试题分析：在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0 时，
内管对小球产生弹力，大小为mg，故最小速度为0。故A 错误，B 正确;
小球在水平线ab 以下管道中运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，所以外侧管壁
对小球一定有作用力，内侧管壁没有力的作用。故C 正确；
小球在水平线ab 以上管道中运动时，当速度v > √gR 时，内侧管壁对小球没有作用力，此时外侧管
壁对小球有作用力。当速度v < √gR 时，内侧管壁对小球有作用力。故D 正确。
故选BCD。
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41
3
直击高考
考题
太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，当地球恰好运行到某地外行星和太阳
之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。据报道，2014 年各行星冲日时间分别
是：1 月6 日木星冲日，4 月9 日火星冲日，5 月11 日土星冲日，8 月29 日海王星冲日，10 月8 日天王
星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是（ ）
A. 各地外行星每年都会出现冲日现象
B. 在2015 年内一定会出现木星冲日
C. 天王星相邻两次的冲日的时间间隔是土星的一半
D. 地外行星中，海王星相邻两次冲日时间间隔最短
答案
B,D
解析
设某行星相邻两次冲日的时间间隔为t，地球绕太阳运动的周期为T地，某行星绕太阳运动的周期为T行，
则2π
T地
t −2π
T行
t = 2π ，可得t =
T地
1−T地
T行
；而根据开普勒定律可得T 2
地
T 2
行
= R3
地
R3
行
，联立可得t =
T地
1−
√
R3
地
R3
行
，
代入相关数据可得t火≈2.195T，t木≈1.092T，t土≈1.035T，t天王≈1.012T，t海王≈1.006T。根据上述数
据可知，各地外行星并不是每年都会出现冲日现象，选项A 错误；
木星在2014 年1 月6 日出现了木星冲日现象，再经1.092T 将再次出现木星冲日现象，所以在2015 年
内一定会出现木星冲日，选项B 正确；
根据上述数据，天王星相邻两次冲日的时间间隔不是土星的一半，选项C 错误；
根据上述数据可知，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短，选项D 正确。根据物理规律可以计算得出
两次行星冲日的时间间隔t，以木星冲日为例，2014 年1 月6 日出现了木星冲日，再过1.092T 将再次
出现木星冲日现象，即每年木星冲日的时间会向后推迟1 个多月。
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42
3
随堂测试
测试1 全国铁路大面积提速后，京哈、京沪、京广、胶济等提速干线的部分区段时速可达300km/h，我们从济南
到青岛乘“和谐号”列车就可以体验时速300km/h 的追风感觉。火车转弯可以看成是在水平面内做匀速
圆周运动，火车速度提高会使外轨受损。为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，以下措施可行的是
（ ）
A. 适当减小内、外轨的高度差
B. 适当增加内、外轨的高度差
C. 适当减小弯道半径
D. 适当增大弯道半径
测试2 地球绕太阳运行到图中A、B、C、D 四个位置时，分别为春分、夏至、秋分和冬至，以下说法错误的是
（ ）
A. 地球由夏至运行到秋分的过程中速率逐渐增大
B. 地球由春分运行到夏至的过程中加速度逐渐减小
C. 地球由春分运行到秋分的时间比由秋分运行到春分的时间长
D. 地球由春分运行到秋分的时间比由秋分运行到春分的时间短
测试3 关于开普勒第三定律的公式R3
T 2 = k，下列说法中正确的是（ ）
A. 公式只适用于绕太阳做椭圆轨道运行的行星
B. 式中的R 只能为做圆周轨道运行的半径
C. 公式适用于宇宙中所有围绕星球运行的行星或卫星
D. 围绕不同星球运行的行星或卫星，其k 值相同
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43
3
课堂总结
第4 讲
万有引力定律
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45
4
知识引航
天宫二号，即天宫二号空间实验室，是继天宫一号后中国自主研发的第二个空间实验室，也是中国第一个
真正意义上的空间实验室。它搭载了空间冷原子钟等14 项应用载荷，以及失重心血管研究等航天医学实验设
备，配备在轨维修技术验证装置、机械臂操作终端在轨维修试验设备，开展空间科学及技术试(实) 验。
天宫二号将成为中国最忙碌的空间实验室，各类计划的实验项目达到了史无前例的14 项，涉及微重力基
础物理、空间材料科学、空间生命科学等多个领域，其中两项有驻留30 天的航天员直接参与操作，一项为国际
合作。这些项目中，大多是当前世界最前沿的探索领域。
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46
4
1
模块
1
万有引力推导
知识凝炼
1
科学家对行星运动原因的猜想
⑴开普勒：行星的运动是由于太阳磁力吸引的缘故，磁力与距离成反比；
⑵伽利略：行星的运动与地面物体的运动遵从不同的规律，行星运动是由“惯性”自行维持的；
⑶笛卡尔：宇宙由不停旋转着的微粒所组成，微粒的运动形成漩涡。太阳和行星在各自的漩涡中心。行星
漩涡带动卫星运动，太阳的漩涡带动行星和卫星一起运动；
⑷胡克：行星的运动是太阳引力的缘故，并且力的大小与到太阳距离的平方成反比，重力是由地球引力产
生的；
⑸牛顿：以任何方式改变速度(包括方向) 都需要力，因此，使行星沿圆或椭圆运动，需要指向圆心或椭圆
焦点的力，这个力应该是太阳对它的引力。
2
太阳与行星间的引力
我们把行星的轨道当做圆来处理，简要回顾牛顿对天体的思考过程。
⑴太阳对行星的引力
①牛顿在前人对惯性研究的基础上，开始思考“物体怎样才会不沿直线运动”这一问题。他的答案是：以
任何方式改变速度(包括改变速度的方向) 都需要力。所以行星做圆周运动，必定是受到了太阳的引力。
②设行星质量是m，速度是v，行星到太阳的距离是r，则行星受到太阳的引力F = mv2
r
③天文观测难以观测行星运行的速度，但可观测其公转周期T。将v = 2π r
T
代入，将会
F = 4π 2mr
T 2
④将开普勒第三定律r3
T 2 = k 代入，有
F = 4π 2k m
r2
其中k 与行星无关。
⑵行星对太阳的引力
①根据相互性，行星对太阳的引力应该有
F′ = 4π 2k′ M
r2
其中k′ 与太阳无关。M 是太阳的质量。
②根据牛顿第三定律，有F = F′。这就是说，太阳与行星之间的这个引力，既要与M 成正比，又要与m
成正比，还要与r 的平方成反比。
F = GMm
r2
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47
4
G 与太阳、行星均无关，是一个常量。引力的方向沿着二者的连线。从纷繁的数据到开普勒行星运动定律，
再到一个公式，形式越来越简单，但意义却越来越深刻。
3
万有引力定律的月—地检验
①牛顿的思路：地球绕太阳运动是因为受到太阳的引力，人起跳后又能落回地球是因为人受到地球的引
力，这些力是否是同一性质的力？是否遵循相同的规律？由于当时条件有限，自然想到通过月球来验证。
②月—地检验：如果重力和星体间的引力是同一性质的力，由于引力与距离的二次方成反比的关系，那么
月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度就应该是地面重力加速度的
1
3600，因为月心到地心的距离是地球半
径的60 倍。
③牛顿根据月球的周期和轨道半径，计算出月球围绕地球做圆周运动的向心加速度
a = 4π 2r
T 2
= 2.74×10−3m/s2
④一个物体在地面上的重力加速度为g = 9.8m/s2，若把这个物体移到月球轨道的高度，根据开普勒第三
定律，得a =
1
602 g = 2.72×10−3m/s2。
⑤检测结果：月球围绕地做近似圆周运动的向心加速度接近地球地面重力加速度的1/3600，即地球对地
面物体的引力与天体间的引力，本质上是同一性质的力，遵循统一规律。
精讲精练
例1
★★★
在探究太阳与行星间的引力的思考中，属于牛顿的猜想的是（ ）
A. 使行星沿圆轨道运动，需要一个指向圆心的向心力，这个力就是太阳对行星的吸引力
B. 行星运动的半径越大，其做圆周运动的运动周期越大
C. 行星运动的轨道是一个椭圆
D. 任何两个物体之间都存在太阳和行星之间存在的这种类型的引力
达标检测1
★★★
下列说法正确的是（ ）
A. 在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式F = mv2
r ，这个关系式实际上是牛顿第二定律，是
可以在实验室中得到验证的
B. 在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式v = 2πr
T ，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一
个公式，它是由速度的定义得来的
C. 在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式r3
T 2 = k，这个关系式是开普勒第三定律，是可以在
实验室中得到验证的
D. 在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式都是可以在实验室中得到验证的
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48
4
例2
★★★★
牛顿利用行星围绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，借助开普勒三定律推导出两物体间的引力与它们
之间的质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。牛顿思考月球绕地球运行的原因时，苹果的
偶然落地引起了他的遐想：拉住月球使它围绕地球运动的力与拉着苹果下落的力，是否都与太阳吸引行
星的力性质相同，遵循着统一的规律——平方反比规律？因此，牛顿开始了著名的“月-地检验”。
（1）将月球绕地球运动看作匀速圆周运动。已知月球质量为m，月球半径为r，地球质量为M，地球半径
为R，地球和月球质心间的距离为L，月球绕地球做匀速圆周运动的线速度为v，求地球和月球之间
的相互作用力F。
（2）行星围绕太阳的运动看作匀速圆周运动，在牛顿的时代，月球与地球的距离r′、月球绕地球公转的
周期T ′ 等都能比较精确地测定，请你据此写出计算月球公转的向心加速度a 的表达式；已知r′ ≈
3.84×108m、T ′ ≈2.36×106s，地面附近的重力加速度g = 9.80m/s2，请你根据这些数据估算比值a
g。
（3）已知月球与地球的距离约为地球半径的60 倍，如果牛顿的猜想正确，请你据此计算月球公转的向
心加速度a 和苹果下落的加速度g 的比值a
g，并与(2) 中的结果相比较，你能得出什么结论？
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49
4
2
模块
2
万有引力
知识凝炼
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m1 和m2 的乘积成正比，与它们之间距离r
的二次方成反比，即
F = Gm1m2
r2
G 叫做引力常量，适用于任何两个物体，是自然界中少数几个最重要的物理量之一，它的大小最先由英国
物理学家卡文迪许通过几个铅球之间的万有引力测得，G = 6.67×10−11N·m2/kg2。
公式的适用条件
⑴当两个物体间的距离远远大于每个物体的尺寸时，物体可以看成质点，它们之间的引力可直接使用万
有引力定律公式计算。
⑵通过严格的理论分析得到，质量分布均匀的球体，它们之间的引力也可直接使用公式计算，这时r 是两
球心间的距离。
精讲精练
例3
★★★
正确率：69%
对于万有引力定律的表达式F = Gm1m2
r2
，下列说法中正确的是（ ）
A. 只要m1 和m2 是球体，就可用上式求解万有引力
B. 当r 趋于零时，万有引力趋于无限大
C. 两物体间的引力总是大小相等的，而与m1、m2 是否相等无关
D. 两物体间的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
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50
4
例4
★★★
关于太阳与行星间的引力F = GMm
r2 ，下列说法正确的是（ ）
A. 公式中G 为比例系数，与太阳、行星有关
B. 太阳、行星彼此受到的引力总是大小相等，是一对相互作用力
C. 太阳、行星彼此受到的引力是一对平衡力，合力为零，M、m 都处于平衡状态
D. 检验这一规律是否适用于其他天体的方法是比较观测结果与由此得到的推理结果的吻合性
达标检测2
★★★
要使两物体间的万有引力减小到原来的1
4，下列办法不可采用的是（ ）
A. 使两物体的质量各减少一半，距离不变
B. 使其中一个物体的质量减小到原来的1
4，距离不变
C. 使两物体间的距离增为原来的2 倍，质量不变
D. 使两物体间的距离和两物体的质量都减为原来的1
4
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51
4
3
模块
3
万有引力与重力
知识凝炼
1
重力和万有引力
重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的；万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力的
合力。
如图所示，F引产生两个效果：一是提供物体随地球自转所需的向心力；二是产生物体的重力。由于
F向= mω2r，随纬度的增大而减小，所以物体的重力随纬度的增大而增大，即重力加速度从赤道到两极逐渐
增大。但F向一般很小，在一般情况下可认为重力和万有引力近似相等，即GMm
R2 = mg，得g = G M
R2 。
在赤道处，物体的F引分解的两个分力F向和mg 刚好在一条直线上，则有F引= F向+mg。
2
重力与纬度关系
①. 除在赤道和两极外，重力的方向并不指向地心。
②. 重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而增大。
在赤道上:GMm
R2 = mω2R+mg。
在两极：GMm
R2 = mg
在其他位置：重力的大小mg < GMm
R2 。
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4
精讲精练
例5
★★★★正确率：64%
假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0、在赤道的大小为
g，地球自转的周期为T。则地球的半径为（ ）
A.
4π2
(g0 −g)T 2
B. (g0 −g)T 2
4π2
C. g0T 2
4π2
D. (g0 +g)T 2
4π2
达标检测3
★★★★正确率：71%
设地球自转周期为T，质量为M。引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R。同
一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为（ ）
A.
GMT 2
GMT 2 −4π2R3
B.
GMT 2
GMT 2 +4π2R3
C. GMT 2 −4π2R3
GMT 2
D. GMT 2 +4π2R3
GMT 2
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53
4
例6
★★★★
据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4 倍。已知一个在地球表面
质量为50kg 的人在这个行星表面的重量约为800N，地球表面处的重力加速度为10m/s2。
（1）该行星的半径与地球的半径之比约为多少？
（2）若在该行星上距行星表面2m 高处，以10m/s 的水平初速度抛出一只小球(不计任何阻力)，则小球
的水平射程是多大？
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54
4
春季你会遇见
如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面启动后，以加速度g
2 向上做匀加速运动，升到某
一高度时，测试仪对平台的压力为启动前压力的17
18。已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高
度。
（g 为地面附近重力加速度）
答案
火箭此时离地面的高度H = R
2 。
解析
在地面附近的物体，所受重力近似等于物体所受到的万有引力。取测试仪为研究对象，其先
后受力如图甲、乙所示，根据物体的平衡条件有FN1 = mg1，g1 = g，所以FN1 = mg。根据牛顿第二定
律有FN2 −mg2 = mg
2，所以FN2 = mg
2 +mg2 = 17
18 ×mg，所以g2 = 4
9g。由于mg ≈GMm
R2 ，设火箭距
地面高度为H，所以mg2 = G·
Mm
(R+H)2 。所以4
9g =
gR2
(R+H)2 ，所以H = R
2 。
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55
4
直击高考
考题
2017 年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子
星合并前约100s 时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12 圈。将两颗中子星都看作是
质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子
星（ ）
A. 质量之积
B. 质量之和
C. 速率之和
D. 各自的自转角速度
答案
B,C
解析
AB、设两颗中子星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，相距L = 400km = 4×105m，
根据万有引力提供向心力可知：Gm1m2
L2
= m1r1ω2，Gm1m2
L2
= m2r2ω2，
整理可得：G(m1 +m2)
L2
= (r1 +r2) 4π2
T 2 = 4π2L
T 2 ，解得质量之和(m1 +m2) = 4π2L3
GT 2 ，其中周期T = 1
12s，
故A 错误，B 正确；
CD、由于T = 1
12s，则角速度为：ω = 2π
T = 24πrad/s，这是公转角速度，不是自转角速度。根据v = rω 可
知：v1 = r1ω，v2 = r2ω，
解得：v1 +v2 = (r1 +r2)ω = Lω = 9.6π ×106m/s，故C 正确，D 错误。
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·寒
56
4
随堂测试
测试1 均匀小球A、B 的质量分别为m、5m，球心相距为R，引力常量为G，则A 球受到B 球的万有引力大小
是（ ）
A. 5Gm2
R2
B. 5Gm2
R
C. Gm2
R2
D. Gm2
R
测试2 地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体
“飘”起来，则地球转动的角速度应为原来的多少倍（ ）
A. a
g
B.
√
g+a
a
C.
√
g−a
a
D.
√g
a
测试3 关于重力和万有引力的关系，下列认识正确的是（ ）
A. 地面附近物体所受到重力就是万有引力
B. 重力是由于地面附近的物体受到地球吸引而产生的
C. 在不太精确的计算中，可以认为其重力等于万有引力
D. 严格说来重力并不等于万有引力，除两极处物体的重力等于万有引力外，在地球其他各处的重力都
略小于万有引力
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57
4
课堂总结
第5 讲
万有引力与航天
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59
5
知识引航
牛顿大炮
牛顿曾研究过这样一个问题：他发现人掷出去的石头，非竖直向下抛出，总会偏离掷出方向落回地面，于是
牛顿提出了一个“大炮”的设想，他画的“大炮”草图——在地球的一座高山上架起一只水平大炮，以不同的速度
将炮弹平射出去，射出速度越大，炮弹落地点就离山脚越远。他推想：当射出速度足够大时，炮弹将会如何运动
呢？牛顿通过科学的推理得出了一个重要的结论。这就是著名的“牛顿大炮”的故事，故事中牛顿实际也用到了
理想实验的研究方法。
研究中牛顿基于的可靠事实是：人掷出去的石头，非竖直向下抛出，总会偏离掷出方向落回地面。根据以上
资料和牛顿的“大炮”草图，推测牛顿当年的重要结论是当抛出物体的速度足够大时，物体将离开地球，绕地球
旋转，做圆周运动。
如今牛顿当年的推测已变成了现实，人们应用他的推论，利用现代科技制成了用于发射卫星的火箭。
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60
5
1
模块
1
卫星的环绕
知识凝炼
卫星的速度、加速度、周期和卫星轨道的关系：天体运动近似看成匀速圆周运动，其向心力都来源于万有引
力，即GMm
r2 = mv2
r = mω2r = m
(
2π
T
)2
r = ma。由此得出：
v =
√
GM
r ，即线速度v ∝
√
1
r ；
ω =
√
GM
r3 ，即角速度ω ∝
√
1
r3 ；
T =
√
4π 2r3
GM ，即周期T ∝
√
r3；
a = GM
r2 ，即向心加速度a ∝1
r2 。
精讲精练
达标检测1
★★★
质量为m 的人造地球卫星，在半径为r 的圆轨道上绕地球运行时，其线速度为v，角速度为ω，取地球
质量为M，当这颗人造地球卫星在轨道半径为2r 的圆轨道上绕地球运行时，则（ ）
A. 根据公式v =
√
GM
r ，可知卫星运动的线速度将减小到
v
√
2
B. 根据公式F = mv2
r ，可知卫星所需的向心力将减小到原来的1
2
C. 根据公式ω = v
r ，可知卫星的角速度将减小到ω
2
D. 根据F = GMm
r2 ，可知卫星的向心力将减小为原来的1
4
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61
5
例1
★★★★正确率：66%
已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零。科学家设想在赤道正上方高d 处和正下方深为d
处各修建一环形轨道，轨道面与赤道面共面。现有A、B 两物体分别在上述两轨道中做匀速圆周运动，若
地球半径为R，轨道对它们均无作用力，则两物体运动的向心加速度大小、线速度大小、角速度、周期之
比为（ ）
A. aA
aB
=
(
R−d
R+d
)2
B. TA
TB
=
√
(R+d)3
R3
C. ωA
ωB
=
√
(R−d)3
(R+d)3
D. vA
vB
=
√
R−d
R+d
达标检测2
★★★
如图所示，在地球轨道外侧有一小行星带。假设行星带中的小行星都只受到太阳的引力，并绕太阳做匀
速圆周运动。下列说法正确的是（ ）
A. 各小行星绕太阳运动的周期大于一年
B. 与太阳距离相等的每一颗小行星，受到太阳的引力大小都相等
C. 小行星带内侧行星的加速度小于外侧行星的加速度
D. 小行星带内各行星绕太阳公转的线速度均小于地球公转的线速度
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62
5
例2
★★★★★
2017 年10 月16 日，美国激光干涉引力波天文台等机构联合宣布首次发现双中子星并合引力波事件。
两颗中子星在运动过程中不断发射引力波而失去能量，会逐渐相互靠近。在中学物理学习中，通常认为
双星系统A、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图所示。已知A、B 的总质量为M，A、B 间距为
L，运动周期为T。则关于双星系统A、B 的下列说法正确的是（ ）
A. A 的质量小于B 的质量
B. A 的线速度大于B 的线速度
C. L 一定，M 越大，T 越大
D. M 一定，L 越大，T 越大
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63
5
2
模块
2
近地卫星与同步卫星
知识凝炼
1
近地卫星
近地卫星是指轨道在地球表面附近的卫星，计算时轨道半径可近似取地球半径。近地卫星具有：
⑴最大的环绕速度v =
√
GM
R
≈7.9km/s
⑵最短的周期T = 2π
√
R3
GM ≈84min
2
地球同步卫星
同步卫星是指在赤道平面内，以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运动的卫星，同步卫星又叫同步通
信卫星。同步卫星有以下几个特点：
⑴周期一定：同步卫星在赤道上空相对地球静止，它绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于
地球自转的周期，即T = 24h。
⑵角速度一定：同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度。
⑶轨道一定：
①因提供向心力的万有引力指向圆心，所有同步卫星的轨道必在赤道平面内。
②由于所有同步卫星的周期都相同，由r =
3
√
GMT 2
4π 2
知，所有同步卫星的轨道半径都相同，即同一轨道
运动，其确定的高度约为3.59×104 km。
⑷环绕速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是3.08km/s。环绕方向与地
球自转方向相同。
⑸向心加速度大小一定：所有同步卫星由于到地心距离相同，所以，它们绕地球运动的向心加速度大小都
相同，约为0.23m/s2。
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64
5
精讲精练
例3
★★★
正确率：40%
已知地球赤道上的物体随地球自转的线速度大小为v1、向心加速度大小为a1，近地卫星线速度大小为
v2、向心加速度大小为a2，地球同步卫星线速度大小为v3、向心加速度大小为a3。设近地卫星距地面高
度不计，同步卫星距地面高度约为地球半径的6 倍。则以下结论正确的是（ ）
A. v1
v2
= 1
7
B. v2
v3
= 1
√
7
C. a1
a3
= 1
7
D. a2
a3
= 49
1
达标检测3
★★★
正确率：80%
2017 年12 月23 日12 时14 分，我国在酒泉卫星发射中心用长征二号丁运载火箭，成功将陆地勘查卫
星二号发射升空，该卫星进入预定轨道后，每天绕地球转动16 圈。已知地球半径R，地球同步卫星距离
地面的高度为h。则该卫星在预定轨道上绕地球做圆周运动过程中离地面的高度为（ ）
A. 3
√
1
256 (R+h)−R
B. 3
√
1
16 (R+h)−R
C. h
16
D. h+R
16
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65
5
例4
★★★★
如图所示，a 是地球赤道上的一点，某时刻在a 的正上方有三颗轨道位于赤道平面的卫星b、c、d，各卫
星的运行方向均与地球自转方向相同，图中已标出，其中d 是地球同步卫星。从该时刻起，经过一段时
间t(已知在t 时间内三颗卫星都还没有运行一周)，各卫星相对a 的位置最接近实际的是图中的（ ）
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66
5
3
模块
3
宇宙速度
知识凝炼
1
第一宇宙速度
人造卫星围绕地球运动，则有GMm
r2
= mv2
r ，当物体在地球表面附近环绕地球运转时，由rmin ≈R，则
GMm
R2 = mv2
R ，得v =
√
GM
R =√gR ≈7.9km/s ，这便是地球表面附近卫星的运行速度，称为第一宇宙速度。
2
第二宇宙速度
在地面附近发射人造卫星，如果发射速度大于7.9km/s，而小于11.2km/s，那么它绕地球运行的轨迹将是椭
圆。当发射速度等于或大于11.2km/s 时，卫星会克服地球的引力而永远离开地球，我们把11.2km/s 叫做第二宇
宙速度。
3
第三宇宙速度
达到第二宇宙速度的人造卫星还受到太阳的引力。在地面附近发射一颗人造卫星，要使它挣脱太阳引力的
束缚，飞到太阳系外，必须使其速度等于或大于16.7km/s，这个速度叫做第三宇宙速度。
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67
5
精讲精练
达标检测4
★★★
使物体脱离行星的引力束缚，不再绕该行星运行，从行星表面发射所需的最小速度称为第二宇宙速度，
行星的第二宇宙速度v2 与第一宇宙速度v1 的关系是v2 =
√
2v1。已知某行星的半径为地球半径的三
倍，即r = 3R，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度的1
6。不计其他行星的影响，已知地球的第
一宇宙速度为8km/s，则该行星的第二宇宙速度为（ ）
A. 8km/s
B. 4km/s
C. 8
√
2km/s
D. 4
√
2km/s
例5
★★★★
假设宇宙中有两颗相距无限远的行星A 和B，半径分别为RA 和RB。两颗行星周围卫星的轨道半径的
三次方
(
r3)
与运行周期的平方
(
T 2)
的关系如图所示；T0 为卫星环绕行星表面运行的周期。则（ ）
A. 行星A 的质量大于行星B 的质量
B. 行星A 的密度小于行星B 的密度
C. 行星A 的第一宇宙速度等于行星B 的第一宇宙速度
D. 当两行星的卫星轨道半径相同时，行星A 的卫星向心加速度大于行星B 的卫星向心加速度
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·寒
68
5
例6
★★★★
2014 年10 月8 日，月全食带来的“红月亮”亮相天空，引起人们对月球的关注。我国发射的“嫦娥三号”
探月卫星在环月圆轨道绕行n 圈所用时间为t，如图所示。已知月球半径为R，月球表面处重力加速度
为g月，引力常量为G。试求：
（1）月球的质量M。
（2）月球的第一宇宙速度v1。
（3）“嫦娥三号”卫星离月球表面高度h。
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69
5
春季你会遇见
2016 年12 月17 日是我国发射“悟空”探测卫星二周年纪念日，一年来的观测使人类对暗物质的研
究又进了一步。宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中心转动时，理论计算的周期与实际观测
周期不符，且T理论
T观测
= k(k > 1)；因此，科学家认为，在两星球之间存在暗物质。假设以两星球球心连
线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，两星球的质量均为m；那么，暗物质质量为（ ）
A. k2 −1
4
m
B. k2 −2
8
m
C.
(
k2 −1
)
m
D.
(
2k2 −1
)
m
答案
A
解析
双星均绕它们的连线的中点做圆周运动，设它们之间的距离为L，万有引力提供向心力得：
Gm2
L2 = m 4π2
T理论2 · L
2
解得：T理论= πL
√
2L
Gm。
根据观测结果，星体的运动周期T理论
T观测
= k
这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一
质量等于球内暗物质的总质量m′，位于中点O 处的质点的作用相同。
则有：Gm2
L2 +G mm′
(
L
2
)2 = m 4π2
T观测2 · L
2
解得：T观测= πL
√
2L
G(m+4m′)
所以：m′ = k2 −1
4
m。故A 正确，B、C、D 错误。
故选：A。
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·寒
70
5
直击高考
考题
我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。今年5 月9 日发射的“高分五号”轨道高度约为
705km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36000km，它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相
比，下列物理量中“高分五号”较小的是（ ）
A. 周期
B. 角速度
C. 线速度
D. 向心加速度
答案
A
解析
设卫星的质量为m，轨道半径为r，地球的质量为M，卫星绕地球做匀速圆周运动，由地球的万有引力
提供向心力，则得：
GMm
r2 = m4π2
T 2 r = mω2r = mv2
r = ma
得：T = 2π
√
r3
GM ，ω =
√
GM
r3 ，v =
√
GM
r ，a = GM
r2
可知，卫星的轨道半径越小，周期越小，而角速度、线速度和向心加速度越大，
“高分五号”的轨道半径比
“高分四号”的小，所以“高分五号”较小的是周期，故A 正确，BCD 错误。
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71
5
随堂测试
测试1 我国已成功发射首艘空间实验室“天宫二号”和首个硬X 射线调制望远镜卫星“慧眼”，它们均可近似看
作绕地球做匀速圆周运动。已知“天宫二号”和“慧眼”距地面的高度分别为h1 和h2，地球半径为R，则
“天宫二号”与“慧眼”的（ ）
A. 加速度之比为h22 : h12
B. 周期之比为
√
(R+h2)3 :
√
(R+h1)3
C. 线速度之比为√R+h2 : √R+h1
D. 角速度之比为
√
(R+h1)3 :
√
(R+h2)3
测试2 地球同步卫星离地心的距离为r，运行速度为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加
速度为a2，地球的第一宇宙速度为v2，半径为R，则下列比例关系中正确的是（ ）
A. a1
a2
= r
R
B. a1
a2
=
(
r
R
)2
C. v1
v2
= r
R
D. v1
v2
=
√
R
r
测试3 在2013 年的下半年，我国实施“嫦娥三号”的发射和落月任务，进一步获取月球的相关数据。如果该卫
星在月球上空绕月做匀速圆周运动，经过时间t，卫星行程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是1
弧度，引力常量为G，根据以上数据估算月球的质量是（ ）
A.
t2
Gs3
B. s3
Gt2
C. Gt2
s3
D. Gs3
t2
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72
5
课堂总结
第6 讲
功和功率
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75
6
知识引航
永动机的想法起源于印度，公元1200 年前后，这种思想从印度传到了伊斯兰教世界，并从这里传到了西
方。
文艺复兴时期意大利的达·芬奇(Leonardo da Vinci，1452 −1519) 也造了一个类似的装置，他设计时认为，
右边的重球比左边的重球离轮心更远些，在两边不均衡的作用下会使轮子沿箭头方向转动不息，但实验结果却
是否定的。达·芬奇敏锐地由此得出结论：永动机是不可能实现的。事实上，由杠杆平衡原理可知，上面两个设
计中，右边每个重物施加于轮子的旋转作用虽然较大，但是重物的个数却较少。精确的计算可以证明，总会有一
个适当的位置，使左右两侧重物施加于轮子的相反方向的旋转作用(力矩) 恰好相等，互相抵消，使轮子达到平
衡而静止下来。
通过不断的实践和尝试，人们逐渐认识到：任何机器对外界做功，都要消耗能量。不消耗能量，机器是无法
做功的。这时的一些著名科学家斯台文、惠更斯等都开始认识到了用力学方法不可能制成永动机。
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·寒
76
6
1
模块
1
功
知识凝炼
1
功
如果有力作用在物体上，而且物体在力的方向上发生位移，我们就说力对物体做了功。力和物体在力的方
向上的位移，是做功的两个不可缺少的要素。功是描述力在空间位移上累积作用的物理量，是能量转化的量度。
2
功的计算
如图，当拉力F 方向与位移s 的方向成θ 角时，我们可以将F 分解为与位移方向一致的分力F1，与位移
垂直的分力F2。根据功的定义，只有F1 做功，W = Fscos θ；F2 的方向与位移s 方向垂直，物体在F2 方向上没
有位移，做功为零。
所以得到一般情况下功的计算式：W = Fscos θ。
3
功的正负
我们学习了功的计算式，可以判断上面三种情况力做功的情况。
①功的正负的判断：A. 当0◦⩽θ < 90◦时，cosθ > 0，W > 0，表示力对物体做正功；B. 当θ = 90◦时，
cosθ = 0，W = 0，表示力的方向与位移的方向垂直，力不做功；C. 当90◦< θ ⩽180◦时，cosθ < 0，W < 0，表示
力对物体做负功，或者说物体克服力做了功。
②功的正负的物理意义：
虽然功有正负，但是功是标量，只有大小没有方向。功的正负的物理含义是：如果力对物体做正功，则这个
力对物体而言是动力，力对物体提供能量，即受力物体获得了能量；若力对物体做负功，则这个力对物体而言是
阻力，物体克服外力做功，消耗自身能量向外输出能量。
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77
6
4
总功计算
求多个力对物体做的总功，有两种方法。第一种是求合力的功，即先把合力F 合求出来，再根据公式
W = Fscos θ 计算合力所做的功；第二种是求各个力功的代数和，即先把每个力所做的功求出来，再求它们的代
数和。
精讲精练
例1
★★★
正确率：74%
A、B 两物体叠放在粗糙的水平桌面上，mA = 1kg，mB = 2kg，如图所示。在B 上作用一个3N 的水平拉力
后，A、B 一起匀速前进了4m，则在这个过程中，B 对A 做的功为（ ）
A. 4J
B. 0J
C. 12J
D. −4J
达标检测1
★★★
如图所示，一个物体放在水平面上，在跟竖直方向成θ 角的斜向上的拉力F 的作用下沿水平面移动了
距离s，若物体的质量为m，物体与水平面之间的摩擦力大小为f，则在此过程中（ ）
A. 摩擦力做的功为fs
B. 力F 做的功为Fscosθ
C. 力F 做的功为Fssinθ
D. 重力做的功为0
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·寒
78
6
例2
★★★
如图所示，木块相对斜面静止，并一起沿水平方向向右匀速运动。运动过程中，斜面对木块支持力和摩
擦力的做功情况是（ ）
A. 支持力不做功
B. 支持力做负功
C. 摩擦力做负功
D. 摩擦力做正功
达标检测2
★★★
如图所示，木板绕固定的水平轴O 从水平位置OA 缓慢转到OB 位置，木板上的物块始终相对于木板
静止，分别用FN 和Ff 表示物块受到的支持力和摩擦力，在此过程中，以下判断正确的是（ ）
A. FN 和Ff 对物块都不做功
B. FN 对物块做正功，Ff 对物块做负功
C. FN 对物块做正功，Ff 对物块不做功
D. FN 对物块不做功，Ff 对物块做正功
例3
★★★★
如图所示，同一物体分别沿斜面AD 和BD 自顶点由静止开始下滑，该物体与斜面间的动摩擦因数相
同。在滑行过程中克服摩擦力做的功分别为WA 和WB，则（ ）
A. WA > WB
B. WA = WB
C. WA < WB
D. 无法确定
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79
6
达标检测3
★★★
正确率：50%
如图所示，两个互相垂直的力F1 和F2 作用在同一物体上，使物体运动，物体发生一段位移后，力F1 对
物体做功为4J，力F2 对物体做功为3J，则力F1 与F2 的合力对物体做功为（ ）
A. 7J
B. 5J
C. 3.5J
D. 1J
例4
★★★★
某人从10m 深的水井中将质量为10kg 的装满水的水桶匀速提上来，由于水桶漏水，每升高1m，漏水
0.2kg，则人要做的功为多少焦耳？(g 取10m/s2)
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80
6
2
模块
2
功率
知识凝炼
功率是反映物体做功快慢的物理量。一个力做功的功率P 为所做的功W 跟完成这些功所用时间t 的比
值，即P = W
t ，此公式不仅适用于恒力也适用于变力做功求功率。由功率的定义式可知，功率的单位是W，
1W = 1J/s 。
1
平均功率
平均功率表示在一段时间内力做功的平均快慢程度，大小等于功除以所用的时间或者力乘以平均速度。
平均功率的计算可以用定义式P = W
t ，也可以用表达式P = Fvcosθ(v 是平均速度)。
2
瞬时功率
瞬时功率表示力在一段极短时间内的做功快慢。在公式P = Fvcosθ 中，若时间很短暂时，v 可以表示某一
时刻的瞬时速度，则可以求出对应该时刻的瞬时功率。
精讲精练
达标检测4
★★★
正确率：78%
质量为0.5kg 的物体从高处自由下落，在下落的前2s 内重力对物体做的功是
J，这2s 内重力
对物体做功的平均功率是
W，2s 末重力对物体做功的瞬时功率是
W。(g = 10m/s2)
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81
6
例5
★★★★
一个小孩站在船头，按图两种情况用同样大小的力拉绳，经过相同的时间t(船未碰撞)，小孩所做的功
W1、W2 及在时间t 内小孩拉绳的功率P1、P2 的关系为（ ）
A. W1 < W2，P1 < P2
B. W1 > W2，P1 = P2
C. W1 = W2，P1 = P2
D. W1 < W2，P1 = P2
例6
★★★★
神舟号宇航员在进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，如图所示。在到达竖直状态的过程
中，宇航员所受重力的瞬时功率的变化情况是（ ）
A. 一直增大
B. 一直减少
C. 先增大后减小
D. 先减小后增大
例7
★★★★正确率：57%
如图所示，在倾角为α 的固定光滑斜面上，有一用绳子拴着的长木板，木板上站着一只猫，当绳子突然
断开时，猫立即沿着木板向上跑，以保持其相对斜面的位置不变，下面四个图象中能正确反映这段时间
内，猫对木板做功的功率随时间变化关系的图象是（ ）
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82
6
例8
★★★★
某机械在每次匀速吊起货物时所能提供的功率P 与所吊货物质量m 的关系如图所示。现用该机械将
30 个货箱吊上离地12m 高的平台，每个货箱的质量为5kg（忽略机械从平台返回地面和装箱的时间，g
取10m/s2），所需最短时间约为（ ）
A. 360s
B. 720s
C. 1440s
D. 2400s
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83
6
春季你会遇见
随着我国人口老龄化日益严重，关爱老年人需要我们全社会的努力，高血压是危害老年人健康的一
种疾病，现已查明，血管内径变细是其诱因之一。现在我们研究这一问题对人身体的影响，做以下假
设：设液体通过一根一定长度的管子时受到的阻力f 与流速v 成正比，即f = kv（为简便，设k 与
管子粗细无关），为了维持液体匀速流动，这段管子两端需要有一定的动力做功。设血管截面积为S
时动力的功率为P。若血管截面积减少20%，为了维持在相同时间内流过同样多的液体，需要动力
的功率约为（ ）
A. 5
4P
B. 6
5P
C. 25
16P
D. 25P
答案
C
解析
血管截面积为S 时，供血动力的功率P = fv1 = kv12，流量Q = Sv1，相同时间内流过同样多
的液体，则Sv1 = S2v2，又P = kv12，P′ = kv22，由于0.8S = S2，联立得P′ = 25
16P，C 正确。
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6
直击高考
考题
如图所示，汽车在平直的路面上匀速运动，用跨过光滑定滑轮的轻绳牵引轮船，汽车与滑轮间的轻绳保
持水平。当牵引轮船的轻绳与水平方向成θ 角时，轮船速度为v，轻绳的拉力对船做功的功率为P，此
时轻绳对船的拉力为
。若汽车还受到恒定的阻力f 则汽车发动机的输出功率为
。
答案
P
vcosθ
P+ fvcosθ
解析
绳子的速度等于船的速度沿绳子方向的余弦分速度，则汽车匀速运动的速度为v1 = vcosθ。绳的拉力
对船做功的功率为P = Fv1 = Fvcosθ，解得F =
P
vcosθ 。
汽车受到恒定的阻力和绳的拉力有P出= (f +F)v1 = P+ fvcosθ。
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85
6
随堂测试
测试1 物体在两个相互垂直的力作用下运动，力F1 对物体做功6J，物体克服力F2 做功8J，则F1、F2 的合力
对物体做功为（ ）
A. −2J
B. 2J
C. 10J
D. 14J
测试2 以初速度v0 竖直向上抛出一个质量为m 的小球，上升最大高度是h。如果空气阻力f 的大小恒定，则
从抛出到落回出发点的整个过程中，空气阻力对小球做的功为（ ）
A. 0
B. −fh
C. −2 fh
D. −2mgh
测试3 在平直的公路上以一定速度(约为5m/s) 行驶的自行车所受阻力约为车和人总重力的1
50，则骑车人的
功率最接近于(车和人的总质量约为100kg)（ ）
A. 0.1kW
B. 1000kW
C. 1kW
D. 10kW
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86
6
课堂总结
第7 讲
动能定理与机车
启动
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89
7
知识引航
在17−18 世纪，由于力的概念还不能完全确定，人们常把力同现在所说的力矩、动量、功、动能等物理量相
混淆，习惯上把外加的力称为“运动的力”、把“物体的惯性”称为“物质固有的力”、
“阻抗的力”，甚至把“加速度”
称为“加速力”，并出现过把“运动的力”与碰撞、向心力相提并论。
为了从量的方面去研究机械运动，科学家们试图寻找一个普遍的物理量来作为运动的量度，于是引起了物
理学史上著名的笛卡尔学派和莱布尼茨学派关于“运动的量度”的争论。
笛卡尔提出一个原理：宇宙中运动的总量是守恒的。他从这一原理出发，认为应该把物体的质量和速度的
乘积作为“力”或“运动量”的度量，即用mv 来量度。牛顿接受了笛卡尔的主张，1687 年，牛顿在他的《自然哲学
的数学原理》中明确提出了动量的定义，并且通过他所总结的运动定律，提出在物体的相互作用中，动量这个
物理量反映着物体运动变化的客观效果。这样，把动量作为运动的量度，一度得到了科学界的普遍承认。
莱布尼茨在1686 年，对笛卡尔学派的这个量度方法提出了批评。他认为：
“力必须由它所产生的效果来衡
量，而不能用‘物体’(质量) 与速度的乘积来衡量”。他建议用mv2 而不是mv 来量度物体“运动的力”。后来根据
科里奥利的建议以1
2mv2 代替mv2，这就是后来所说的运动物体的动能。
机械运动量度的问题在欧洲大批数学家、物理学家和哲学家之间引起了持续半个多世纪的争论。后来，恩
格斯根据当时自然科学的最新成就，尤其是能量守恒与转化定律的发现，深刻地揭示了两种量度的本质区别。
恩格斯的结论是：
“机械运动确实有两种量度，每一种量度适用于某个界限十分明确的范围之内的一系列现象。
一句话，动量mv 是以机械运动来量度的机械运动；动能mv2 是以运动转化为定量的其他形式的运动的能力来
量度的机械运动。”在关于动量问题所运用的规律中，并不涉及能量转化问题，它仅是机械运动规律的反映；而
动能问题，或是在机械能范畴内存在动能与势能的转化，或是存在机械能与其他形式能转变的问题，必须从能
的角度予以分析。和动量联系的是外力的冲量，即动量的变化是外力的时间累积量，它决定物体反抗阻力能运
动多久；和动能联系的是外力的功，即动能的变化是外力的空间累积量，它决定物体反抗阻力能运动多远。
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90
7
1
模块
1
机车启动
知识凝炼
1
对机车等交通工具类问题，应明确P = F ·v 中，P 为发动机的实际功率，机车正常行驶中实际功率小于或
等于其额定功率；F 为发动机(机车) 的牵引力；v 为机车的瞬时速度。
⑴机车以恒定功率启动的运动过程。
故达到最大速度时a = 0，F = f，P = Fvm = fvm，这一启动过程的v−t 关系图象如图所示。
⑵机车以恒定加速度启动的运动过程。
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91
7
设机车保持以加速度a 做匀加速直线运动的时间为t：F ·v = P ⇒(f +ma)at = P。
这一启动过程的v−t 关系图象如图所示。
精讲精练
例1
★★★★正确率：55%
质量为m 的汽车在平直路面上启动，启动过程的速度图像如图所示，其中OA 为过原点的一条直线。从
t1 时刻起汽车的功率保持不变，整个运动过程中汽车所受阻力恒为Ff，则（ ）
A. 0 ∼t1 时间内，汽车的牵引力等于mv1
t1
B. 汽车在t1 ∼t2 时间内的功率等于t2 以后的功率
C. t1 ∼t2 时间内，汽车的功率等于
(
mv1
t1
+Ff
)
v1
D. t1 ∼t2 时间内，汽车的平均速度等于v1 +v2
2
达标检测1
★★★
有一辆质量为170kg、输出功率为1440W 的太阳能试验汽车，安装有约6m2 的太阳能电池板和蓄能电
池，该电池板在有效光照条件下单位面积输出的电功率为30W/m2。若驾驶员的质量为70kg，汽车最大
行驶速度为90km/h。假设汽车行驶时受到的空气阻力与其速度成正比，则汽车（ ）
A. 以最大速度行驶时牵引力大小为57.6N
B. 启动时的加速度大小恒为0.24m/s2
C. 保持最大速度行驶1h 至少需要有效光照8h
D. 直接用太阳能电池板提供的功率可获得3.13m/s 的最大行驶速度
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7
例2
★★★★
假设有一辆超级电容车，质量m = 1 × 103kg，额定功率P = 40kW，当超级电容车在水平路面上匀速行
驶时，速度为vm = 20m/s，(g 取10m/s2，整个过程阻力f 恒定不变)。求：
（1）超级电容车在此路面上行驶受到的阻力f 是多少？
（2）若超级电容车从静止开始，保持以2m/s2 的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？
（3）若超级电容车从静止开始，保持额定功率做加速运动，经300m 后达到最大速度，求此过程中超级电
容车所需要的时间。
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93
7
2
模块
2
动能、动能定理
知识凝炼
1
动能
⑴概念：物体由于运动而具有的能。
⑵定义式：EK = 1
2mv2，动能用Ek 表示。动能是标量，状态量，单位是焦耳，用J 表示。
2
动能定理
设质量为m 的物体，在恒力F 的作用下发生一段位移l，速度由v1 增加到v2，如图。这个过程中力F 所
做的功为W = Fl = mav2
2 −v2
1
2a
= 1
2mv2
2 −1
2mv2
1。
由上面的推导可以得到力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
即：W = 1
2mv2
2 −1
2mv2
1 或(W1 +W2 +W3 +······ = 1
2mv2
2 −1
2mv2
1 )
精讲精练
例3
★★
正确率：61%
若物体在运动过程中受到的合外力不为零，则（ ）
A. 物体的动能不可能总是不变的
B. 物体的加速度一定变化
C. 物体的速度方向一定变化
D. 物体所受合外力做的功可能为0
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7
达标检测2
★★★
正确率：81%
质量为2kg 的滑块，以4m/s 的速度在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水
平力，经过一段时间，滑块的速度方向变为向右，大小为4m/s，在这段时间里水平力所做的功为（ ）
A. 0
B. 8J
C. 16J
D. 32J
达标检测3
★★★
正确率：61%
一质量为1kg 的物体被人用手由静止向上提升1m，此时物体的速度是2m/s，下列说法中错误的（ ）
A. 提升过程中手对物体做功12J
B. 提升过程中合外力对物体做功12J
C. 提升过程中合外力对物体做功2J
D. 提升过程中物体克服重力做功10J
例4
★★★
如图所示，一个质量为m 的小球用长为l 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平力F 作用下，从平衡位置P
点缓慢地移到Q 点，则水平力F 所做的功为（ ）
A. mgl cosθ
B. Fl sinθ
C. mgl(1−cosθ)
D. Flθ
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7
例5
★★★
两个内壁光滑、半径不同的半球形碗，放在不同高度的水平面上，使两碗口处于同一水平面，如图所示，
现将质量相同的两个小球分别从两个碗的边缘处由静止释放(小球半径远小于碗的半径)，两个小球通
过碗的最低点时，下列说法不正确的是（ ）
A. 两小球速度大小不等，对碗底的压力相等
B. 两小球速度大小不等，对碗底的压力不等
C. 两小球速度大小相等，对碗底的压力相等
D. 两小球速度大小相等，对碗底的压力不等
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7
例6
★★★★
如图所示，在竖直平面内有一个粗糙的1
4 圆弧轨道，其半径R = 0.9m，轨道的最低点距地面高度h =
1.25m，一质量m = 0.4kg 的小滑块从轨道的最高点A 由静止释放，到达最低点B 时的速度大小为
v = 3.0m/s。不计空气阻力，g 取10m/s2，求：
（1）小滑块运动到圆弧轨道最低点B 时，对轨道的压力的大小。
（2）小滑块落地点C 距轨道最低点B 的水平距离x。
（3）小滑块在轨道上运动的过程中克服摩擦力所做的功。
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97
7
春季你会遇见
雨滴在空中下落时，由于空气阻力的影响，最终会以恒定的速度匀速下降，我们把这个速度叫作收尾
速度。研究表明，在无风的天气条件下，空气对下落雨滴的阻力可由公式f = 1
2CρSv2 来计算，其中
C 为空气对雨滴的阻力系数(不同空间为不同常量)，ρ 为空气的密度(不同空间密度不同)，S 为雨滴
的有效横截面积(即垂直于速度方向的横截面积)。
已知雨滴下落空间范围内的空气密度为ρ0，空气对雨滴的阻力系数为C0，雨滴下落时可视为球形，
半径均为R，每个雨滴的质量均为m，且在到达地面前均已达到收尾速度，重力加速度为g。
（1）求雨滴在无风的天气条件下沿竖直方向下落时收尾速度的大小。
（2）若根据云层高度估测出雨滴在无风的天气条件下由静止开始竖直下落的高度为h，求每个雨滴
在竖直下落过程中克服空气阻力所做的功。
答案
（1）雨滴在无风的天气条件下沿竖直方向下落时收尾速度的大小是1
R
√2mg
πC0ρ0
。
（2）每个雨滴在竖直下落过程中克服空气阻力所做的功是mg
(
h−
m
πC0ρ0R2
)
。
解析
（1）设雨滴竖直下落的收尾速度大小为v，
雨滴达到收尾速度时开始匀速下落mg = f，
又因为f = 1
2C0ρ0Sv2 = 1
2C0ρ0 ·πR2v2，
解得v = 1
R
√2mg
πC0ρ0
。（2）设雨滴在空中由静止沿竖直方向下落至地面的过程克服空气阻力所做功
为Wf，
依据动能定理有mgh−Wf = 1
2mv2，
解得Wf = mg
(
h−
m
πC0ρ0R2
)
。
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7
直击高考
考题
一汽车在平直公路上行驶，从某时刻开始计时，发动机的功率P 随时间t 的变化如图所示。假定汽车
所受阻力的大小f 恒定不变。下列描述该汽车的速度v 随时间t 变化的图象中，可能正确的是（ ）
答案
A
解析
机车启动，P = Fv ，F −f = ma，P 恒定时，加速运动，牵引力减小，加速度减小，做加速度减小的加速运
动，又vm1 = P1
f ，vm2 = P2
f ，该汽车的速度v 随时间t 变化的图象如A 图所示，故选A。
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99
7
随堂测试
测试1 一汽车以恒定功率在平直公路上由静止启动，所受阻力恒定。下列说法正确的是（ ）
A. 速度一直增大
B. 位移一直增大
C. 牵引力恒定不变
D. 加速度一直增大
测试2 飞机起飞过程中，速度从v 增大到2v 合外力做功为W1；速度从2v 增大到3v 合外力做功为W2。则W1
与W2 的比值为（ ）
A. 1 : 1
B. 1 : 3
C. 3 : 5
D. 4 : 9
测试3 在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速运动，当速度达到vm 后，立即关闭发动机直至静止，v −t 图
象如图所示，设汽车的牵引力为F，摩擦力为Ff，全程中牵引力做功为W1，克服摩擦力做功为W2，则
（ ）
A. F : Ff = 1 : 3
B. W1 : W2 = 1 : 1
C. F : Ff = 4 : 1
D. W1 : W2 = 1 : 3
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100
7
课堂总结
1119091112629
