目录
第1 讲
平面向量的基本概念与线性运算·········1
第2 讲
平面向量基本定理及坐标表示··········11
第3 讲
平面向量的数量积及其应用·············21
第4 讲
不等式的概念及其性质·················29
第5 讲
不等式求解方法·························37
第6 讲
不等式拓展······························47
第7 讲
数列的概念与表示法····················55
第
讲
1
1
平面向量的基本概念与线性运算
Part 1
平面向量的概念与表示
Part 2
平面向量的线性运算及其
几何意义
2
Part 1
平面向量的概念与表示
知识点睛
1．向量的概念与表示
我们把具有大小和方向的量称为向量．向量可以由有向线段来表示.
向量的表示有两种方法：
⑴几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度．
⑵字母表示法：一个单独的字母加箭头−→a 或者双大写字母−→
AB，注意起点在前，终点在后．
向量−→
AB 的大小或长度叫做向量的模，记作
−→
AB
．
注意
向量一定有大小和方向，不存在没有方向的向量．
2．零向量、单位向量
零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：−→0 ．
零向量的方向不确定，规定零向量与任意向量平行．
单位向量：长度等于1 的向量，叫做单位向量．
注意
−→0 是一个实实在在的向量，是既有大小又有方向的，只能说方向不确定，不能说没有方向．
第1 讲
3
3．向量的关系
相等向量：大小相等且方向相同的向量叫做相等向量．
相反向量：大小相等而方向相反的向量叫做相反向量，记作−−→a ．
平行（共线）向量：通过向量的直线，叫做该向量的基线. 如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量平
行或共线. 方向相同或相反的向量均叫做平行向量，向量−→a 平行于向量−→b ，记作−→a //−→b ．
如图，−→a ，−→b ，−→c 是一组平行向量，任作一条与−→a 所在直线平行的直线l，在l 上分别作出−→
OA =−→a ，−→
OB =−→b ，
−→
OC =−→c ．这就是说，任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．
精讲精练
【例1】下列说法错误的是( )
A. 零向量与所有的单位向量共线
B. 两个平行的单位向量是相等向量
C. 把同一平面内的所有单位向量的起点都平移到点O，则它们的终点构成单位圆
D. 向量−→a 的模为1，则−→a 是单位向量
【例2】下列说法正确的是( )
A. 若|−→a | =
−→b
，则−→a = −→b
B. 若−→a //−→b ，则−→a = −→b
C. 若−→a = −→b ，−→b = −→c ，则−→a = −→c
D. 若−→a //−→b ，−→b //−→c ，则−→a //−→c
【例3】设−→a 、−→b 是两个非零向量，命题甲：−→a //−→b 且|−→a | =
−→b
，命题乙：−→a = −→b ，则命题甲是命题乙的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
4
Part 2
平面向量的线性运算及其几何意义
知识点睛
1．向量的加法
⑴三角形法则
已知向量−→a 、−→b ，在平面上任取一点A，作−→
AB =−→a ，−→
BC =−→b ，再作向量−→
AC，则向量−→
AC 叫做−→a 与−→b 的和（或
和向量），记作−→a +−→b ，即−→a +−→b =−→
AB+−→
BC = −→
AC.
⑵平行四边形法则
已知两个不共线的向量−→a ，−→b ，作−→
AB =−→a ，−→
AD =−→b ，则A，B，D 三点不共线，以−→
AB，−→
AD 为邻边作平行四边形
ABCD，则对角线上的向量−→
AC =−→a +−→b .
⑶向量加法的运算律
①向量加法的交换律：−→a +−→b = −→b +−→a ；
②向量加法的结合律：
(−→a +−→b
)
+−→c = −→a +
(−→b +−→c
)
；
2．向量的减法
一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
第1 讲
5
精讲精练
【例4】
（1）如图，在矩形ABCD 中，−→
AO+−→
OB+−→
AD=( )
A. −→
AB
B. −→
AC
C. −→
AD
D. −→
BD
（2）已知正六边形ABCDEF，在下列表达式：①−→
BC +−→
CD+−→
EC；②2−→
BC +−→
DC；③−→
FE +−→
ED；④2−→
ED−−→
FA 中，与−→
AC
相等的有( )
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
6
【例5】已知A、B、C 是同一平面上不同的三点，则“−→
AB+−→
BC +−→
CA = −→0 ”是“A、B、C 三点能构成三角形”的( )
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
【例6】对任意非零向量−→a 、−→b ，求证|−→a |−
−→b
⩽
−→a ±−→b
⩽|−→a |+
−→b
．
第1 讲
7
知识点睛
1．向量的数乘
数乘向量：我们规定实数λ 和向量−→a 的乘积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ−→a ．
它的长度与方向规定如下：
(1) |λ−→a | = |λ||−→a |；
(2) 当λ > 0 时，λ−→a 与−→a 同向；当λ < 0 时，λ−→a 与−→a 反向；λ = 0 时，λ−→a 是零向量．
注意
若λ−→a = −→0 ，则λ = 0 或−→a = −→0 ．
2．向量数乘的运算律
(1) λ (µ−→a ) = (λµ)−→a ；
(2) (λ + µ)−→a = λ−→a + µ−→a ；
(3) λ
(−→a +−→b
)
= λ−→a +λ−→b ．
向量共线的条件
如果−→a = λ−→b ，则−→a //−→b ；反之，如果−→a //−→b ，且−→b̸ = −→0 ，则一定存在唯一的一个实数λ，使−→a = λ−→b ．
若点P1, P, P2 满足−→
P1P = λ−→
PP2 (λ̸ = 0, −1)，则P1, P, P2 三点共线，λ 叫做点P 分有向线段−−→
P1P2 所成的比.
精讲精练
【例7】向量−→a 与−→b 不共线，若m−→a +−→b 与−→a −2−→b 平行，则m 等于
．
8
【例8】如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.
若−→
AC= −→a ，−→
BD= −→b ，则−→
AF =( )
A. 1
4
−→a + 1
2
−→b
B. 1
3
−→a + 2
3
−→b
C. 1
2
−→a + 1
4
−→b
D. 2
3
−→a + 1
3
−→b
【例9】已知△ABC 的外接圆的圆心为O，半径为1，2−→
AO = −→
AB+−→
AC，且|−→
AO| = |−→
AB|，则−→
CA 在−→
CB 方向上的投影
为( )
A. 1
2
B. −3
2
C. −1
2
D. 3
2
【例10】已知−−→
MN = −→a +5−→b ，−→
NP = −2
(−→a −4−→b
)
，−→
PQ = 3
(−→a −−→b
)
，则( )
A. M，N，P 三点共线
B. M，N，Q 三点共线
C. M，P，Q 三点共线
D. N，P，Q 三点共线
第1 讲
9
【例11】设−→a ，−→b 是不共线的两个向量，已知−→
AB = 2−→a +k−→b ，−→
BC = −→a +−→b ，−→
CD = −→a −2−→b ，若A、B、D 三点共线，
则k 的值为
．
【例12】已知点O 为三角形ABC 内一点，−→
OA+2−→
OB+3−→
OC = −→0 ，则S△ABC
S△AOC
=
．
10
专业巡礼
计算机科学与技术下设网络工程、软件工程、通信技术、网络与信息安全、计算机软件与理论、计算
机系统结构、计算机应用技术、计算机技术等方向。
网络工程方向就业前景良好，学生毕业后可以到国内外大型电信服务商、大型通信设备制造企业进
行技术开发工作，也可以到其他企事业单位从事网络工程领域的设计、维护、教育培训等工作。
软件工程方向就业前景十分广阔，学生毕业后可以到国内外众多软件企业、国家机关以及各个大、
中型企、事业单位的信息技术部门、教育部门等单位从事软件工程领域的技术开发、教学、科研及管理等
工作。也可以继续攻读计算机科学与技术类专业研究生和软件工程硕士。
通信方向学生毕业后可到信息产业、财政、金融、邮电、交通、国防、大专院校和科研机构从事通信技
术和电子技术的科研、教学和工程技术工作。
网络与信息安全方向宽口径专业，主干学科为信息安全和网络工程。学生毕业后可为政府、国防、军
队、电信、电力、金融、铁路等部门的计算机网络系统和信息安全领域进行管理和服务的高级专业工程技
术人才。并可继续攻读信息安全、通信、信息处理、计算机软件和其他相关学科的硕士学位
国内该专业排名比较靠前的院校有：北京大学、清华大学、浙江大学、国防科技大学、北京航空航天
大学、北京邮电大学、哈尔滨工业大学、上海交通大学、南京大学、华中科技大学等。
第
讲
2
11
平面向量基本定理及坐标表示
Part 1
平面向量基本定理
Part 2
平面向量的坐标表示及运
算
12
Part 1
平面向量基本定理
知识点睛
1. 平面向量基本定理
如果−→e 1、−→e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量−→a ，有且仅有一对实数λ1、
λ2，使−→a = λ1−→e 1 +λ2−→e 2．−→e 1、−→e 2 叫做这一平面内的一组基底．
注意
(1) 基底−→e 1、−→e 2 不共线
(2) 向量分解所对应的λ1、λ2 是唯一的
2. 中点的向量表达式：
若C 是AB 的中点，则对平面内任意一点O，都有−→
OC = 1
2
(−→
OA+−→
OB
)
.
3. 定比分点的向量公式：
设P 分有向线段−−→
P1P2 所成的比为λ，O 是任意一点，则−→
OP =
1
1+λ
−−→
OP1 +
λ
1+λ
−−→
OP2.
精讲精练
【例1】下列有关平面向量分解定理的四个命题：
①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
③平面向量的基底可能互相垂直；
④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．
其中正确命题的个数是( )
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
第2 讲
13
【例2】若−→
e1 和−→
e2 是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为一组基底的是( )
A. −→
e1 +−→
e2 和−→
e1 −−→
e2
B. 3−→
e1 −2−→
e2 和4−→
e2 −6−→
e1
C. −→
e1 +2−→
e2 和−→
e2 +2−→
e1
D. −→
e2 和−→
e2 +−→
e1
【例3】在△ABC 中，H 为BC 上异于B，C 的任一点，M 为AH 的中点，若−→
AM = λ−→
AB+µ−→
AC，则λ +µ =
．
【例4】设O 是直线A0A2017 外一点，若A0，A1，A2，···，A2017 中任意相邻两点的距离相等，设−−→
OA0 = −→a ，
−−−−→
OA2017 = −→b ，用−→a ，−→b 表示−−→
OA0 +−−→
OA1 +−−→
OA2 +···+−−−−→
OA2017，其结果为
．
【例5】已知A、B、C 为直线l 上不同的三点，点O 在直线l 外，若实数x 满足x2−→
OA−2x−→
OB+−→
OC = −→0 ，则
x =
．
14
知识点睛
根据向量参数方程式, 若有−→
OC = m−→
OA+n−→
OB, 且m+n = 1⇔点C 在直线AB 上.
⑴m > 0,n > 0⇔C 在线段AB 上(不包括端点)；m = n⇔C 为线段AB 的中点；
⑵m > 0,n < 0⇔C 在以A 为端点的AB 的反向延长线上(不包括端点)；
⑶m < 0,n > 0⇔C 在以B 为端点的BA 的反向延长线上(不包括端点).
推广: 对于一般的m,n, 只要−→
OC = m−→
OA+n−→
OB, 则m+n 有明确的意义. 当m+n = 1 时, 点C 在直线AB 上；
当m+n = 1
2 时, 点C 在AB 边的中位线所在的直线上；当m+n = k 时, 在射线OA 上取一点N, 使得ON = k ·OA,
过点N 作AB 的平行线, 所有满足条件的点就在此平行线上.
等和线: 平面内一组基底−→
OA,−→
OB 及任一向量−→
OC,−→
OC = m−→
OA+n−→
OB, 点C 的轨迹为直线AB 或任意平行于AB
的直线⇔m+n 为定值. 我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线.
注意
⑴定值的范围:
①等和线为直线AB 时,k = 1；等和线过点O 时,k = 0；
②等和线在点O 与直线AB 之间时,k ∈(0,1)；
③直线AB 在点O 与等和线之间时,k ∈(1,+∞)；
④两等和线关于点O 对称, 则二者k 值互为相反数；
⑵解题步骤:
①确定等值为1 的直线；
②平移(旋转或伸缩) 该线, 结合动点的可行域, 分析何处取得最大值和最小值；
③从长度比或者点的位置两个角度, 计算最大值和最小值；
⑶表达式中的三个向量的起点必须一致, 若不一致, 本着少数服从多数的原则, 优先平移固定的向量；若
要研究两系数的线性关系, 则要变换基底向量, 使得要研究的代数式变为基底的系数和.
第2 讲
15
精讲精练
【例6】如图，在平行四边形ABCD 中，DE = 1
2EC，F 为BC 的中点，G 为EF 上的一点，且−→
AG = m−→
AB+ 2
3
−→
AD，则
实数m 的值为( )
A. 7
9
B. −2
9
C. −1
9
D. 5
9
【例7】在正六边形ABCDEF 中，令−→
AB = −→a ，−→
AF = −→b ，P 是△CDE 内含边界的动点(如图)，−→
AP = x−→a +y−→b ，则
x+y 的最大值是( )
A. 1
B. 3
C. 4
D. 5
16
Part 2
平面向量的坐标表示及运算
知识点睛
1．向量的直角坐标
如果基底−→
e1、−→
e2 互相垂直，且为单位向量，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．
2．向量的坐标表示
在直角坐标系中，一点A 的位置被平面向量−→
OA 所唯一确定．设点A 的坐标为(x,y)，由平面向量基本定理，有
−→
OA = x−→
e1 +y−→
e2 = (x,y)，此既是点A 的坐标，也是点A 相对于坐标原点的位置向量−→
OA 的坐标．
3．向量的坐标运算
⑴设−→a = (a1,a2)，−→b = (b1,b2)，则
①−→a +−→b = (a1 +b1,a2 +b2)；
②−→a −−→b = (a1 −b1,a2 −b2)；
③λ−→a = λ(a1,a2) = (λa1,λa2)；
⑵若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则向量−→
AB = −→
OB−−→
OA = (x2 −x1,y2 −y1)，即：一个向量的坐标等于向量终点的坐标
减去始点的坐标．
精讲精练
【例8】
（1）已知−→a = (−5,6)，−→b = (−3,2)，−→c = (x,y)，−→a −3−→b +2−→c = −→0 ，则−→c =( )
A. (−2,6)
B. (−4,0)
C. (7,6)
D. (−2,0)
（2）已知两点M (3,2)、N (−3,−5)，−→
MP = −2−−→
MN，则P 点坐标为( )
A. (−9,−12)
B. (12,14)
C. (9,12)
D. (15,16)
第2 讲
17
知识点睛
向量的模：|−→a | =
√
(⃗a)2 =
√
x2 +y2，
−→
AB
=
√
(x1 −x2)2 +(y1 −y2)2
向量共线条件的坐标表示：
设−→a = (x1,y1)，−→b = (x2,y2)，若−→b̸ = −→0 ，−→a //−→b 的等价条件是存在实数λ，使得−→a = λ−→b . 用坐标表示，即
(x1,y1) = λ (x2,y2)，则
x1 = λx2
y1 = λy2
. 消去λ 可得x1y2 = x2y1，若−→b = −→0 ，也满足上式.
因此，−→a //−→b 的充要条件为x1y2 = x2y1
定比分点公式的坐标表示：
设−→
P1P = λ−→
PP2 (λ̸ = 0, −1)，且P1，P，P2 的坐标分别是(x1, y1)，(x, y)，(x2, y2)，则
y = y1 +λy2
1+λ
x = x1 +λx2
1+λ
.
平移公式：
若点P(x, y) 按向量−→a = (h, k) 平移到P
′ (
x
′, y
′)
，则
x
′ = x+h
y
′ = y+k
.
精讲精练
【例9】
（1）在平面直角坐标系中，已知向量−→a = (1,2)，−→a −1
2
−→b = (3,1)，−→c = (x,3)，若
(
2−→a +−→b
)
//−→c ，则x =( )
A. −1
B. −2
C. −3
D. −4
（2）已知−→a = (1,2)，−→b = (−3,2)，如果向量k−→a +−→b 与−→a +l−→b 平行，那么k 和l 满足关系式( )
A. kl = −1
B. k +l = 0
C. l
k = −1
D. kl = 1
18
【例10】把y =
√
3cosx−sinx−3 的图象F 按向量−→a 平移，得到图象F′，F′ 对应的函数是y = −
√
3sinx−cosx+
1，则向量−→a =( )
A.
(
π
2 ,4
)
B.
(
−π
2 ,4
)
C.
(
π
2 ,−4
)
D.
(
−π
2 ,−4
)
【例11】在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,1) 和点B(−3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且
−→
OC
= 2，则
−→
OC =
．
第2 讲
19
专业巡礼
材料科学与工程属于工学学科门类之中的其中一个一级学科，下设3 个二级学科，分别是：材料物
理与化学、材料学、材料加工工程。材料科学与工程专业是研究材料成分、结构、加工工艺与其性能和应
用的学科。在现代科学技术中，材料科学是国民经济发展的三大支柱之一。主要专业方向有金属材料、无
机非金属材料、高分子材料、耐磨材料、表面强化、材料加工工程等等。
学生毕业后可以到材料及高分子复合材料成型加工、高分子合成、化学纤维、新型建筑装饰材料、现
代喷涂与包装材料、陶瓷、水泥、家用电器、电子电气、汽车厂、钢铁企业、石油化工、制造企业、航天航空
等企业从事设计、新产品开发、生产管理、市场经营及贸易部门工作，也可以到高等学校、科研单位从事
科学研究与教学工作，还可以在政府经济管理部门或建设单位、设计单位、建筑施工企业、工程建设监理
单位、房地产开发企业、工程咨询公司、国际工程公司、投资与金融等单位从事工程管理等工作。
国内该专业排名比较靠前的院校有：清华大学、武汉理工大学、北京科技大学、哈尔滨工业大学、上
海交通大学、西北工业大学、北京化工大学、浙江大学、西北工业大学、西南交通大学、中南大学、华南理
工大学等。
第
讲
3
21
平面向量的数量积及其应用
Part 1
平面向量的数量积
Part 2
平面向量综合应用
22
Part 1
平面向量的数量积
知识点睛
1．两个向量的夹角
已知两个非零向量−→a ，−→b ，作−→
OA = −→a ，−→
OB = −→b ，则∠AOB 称作向量−→a 和向量−→b 的夹角，记作< −→a ,−→b >，并
规定0 ⩽< −→a ,−→b >⩽π，并且有< −→a ,−→b >=< −→b ,−→a >．当< −→a ,−→b >= π
2 时，我们说向量−→a 和向量−→b 互相垂直，
记作−→a ⊥−→b ．
2．向量的数量积（内积）定义
（1）|−→a |
−→b
cos < −→a ,−→b > 叫做向量−→a 和−→b 的数量积（或内积），记作−→a · −→b ，即−→a · −→b = |−→a |
−→b
cos <
−→a ,−→b >
（2）向量内积的简单性质：
①若−→e 是单位向量，则−→a ·−→e = −→e ·−→a = |−→a |cos < −→a ,−→e >；
②−→a ⊥−→b ⇔−→a ·−→b = 0；
③−→a ·−→a = |−→a |2 = −→a 2，即|−→a | =
√−→a ·−→a =
√−→a 2；
④cos < −→a ,−→b >=
−→a ·−→b
|−→a |
−→b
；
⑤
−→a ·−→b
⩽|−→a |
−→b
．
注意
①数量积虽然是两个向量的运算，但得到的结果是一个实数．其符号由夹角的余弦值决定；
②当−→a 与−→b 夹角为0◦时，两向量同向，此时−→a · −→b = |−→a |
−→b
；当夹角为90◦时，两向量垂直，此时
−→a ·−→b = 0；当夹角为180◦时，两向量反向，此时−→a ·−→b = −|−→a |
−→b
；
③两个向量的数量积−→a · −→b 等于一个向量的模长|−→a | 乘以另一个向量−→b 在这个向量−→a 方向上的投影
的数量，这就是向量数量积的几何意义．
3．向量数量积的运算律：
①交换律：−→a ·−→b = −→b ·−→a ；
②对实数的结合律：λ(−→a ·−→b ) = (λ−→a )·−→b = −→a ·(λ−→b )；
③分配律：
(−→a +−→b
)
·−→c = −→a ·−→c +−→b ·−→c .
第3 讲
23
精讲精练
【例1】已知向量−→a 、−→b 、−→c 满足|−→a | = 1，−→c = −→a +−→b ，−→c ⊥−→a ，则−→a ·−→b =( )
A. −2
B. −1
C. 1
D. 2
【例2】已知⃗a，⃗b 为单位向量，且
⃗a+⃗b
=
√
2
⃗a−⃗b
，则⃗a 在⃗a+⃗b 上的投影为( )
A. 1
3
B.
√
6
3
C. −2
√
6
3
D. 2
√
2
3
【例3】设−→a ，−→b ，−→c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则:
①(−→a ·−→b )−→c −(−→c ·−→a )−→b = 0
②|−→a |−|−→b | < |−→a −−→b |
③(−→b ·−→c )−→a −(−→c ·−→a )−→b 不与−→c 垂直
④(3−→a +2−→b )·(3−→a −2−→b ) = 9|−→a |2 −4|−→b |
2 中，
真命题是( )
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ②④
【例4】已知向量−→
e1 与−→
e2 的夹角为π
4 ，−→
|e1| = 1，−→
|e2| =
√
2，若λ−→
e1 +−→
e2 与3−→
e1 +λ−→
e2 的夹角为锐角，则实数λ 的
取值范围是( )
A.
(
−5−
√
13
2
, −5+
√
13
2
)
B.
(
−5−
√
13
2
,−
√
3
)
∪
(
−
√
3, −5+
√
13
2
)
C.
(
−∞, −5−
√
13
2
)
∪
(
−5+
√
13
2
,+∞
)
D.
(
−∞, −5−
√
13
2
)
∪
(
−5+
√
13
2
,
√
3
)
∪
(√
3,+∞
)
24
知识点睛
数量积的坐标运算
1．向量内积的坐标运算：已知−→a = (a1,a2)，−→b = (b1,b2)，则−→a ·−→b = a1b1 +a2b2
2．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：−→a ⊥−→b ⇔a1b1 +a2b2 = 0
3．向量的长度公式
已知−→a = (a1,a2)，则|−→a | =
√
a12 +a22，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．
4．两点间的距离公式
如果A(x1,y1)，B(x2,y2)，则
−→
AB
=
√
(x2 −x1)2 +(y2 −y1)2．
5．已知−→a = (a1,a2)，−→b = (b1,b2)，两个向量夹角余弦的坐标表达式：cos
⟨−→a ,−→b
⟩
=
a1b1 +a2b2
√
a12 +a22√
b12 +b22
精讲精练
【例5】已知向量−→a = (2,1)，−→b = (−1,3)，若存在向量−→c ，使得−→a ·−→c = 4，−→b ·−→c = −9，则向量−→c 为( )
A. (−3,2)
B. (4,3)
C. (3,−2)
D. (2,−5)
【例6】已知向量−→a = (2cosθ,3sinθ) 和−→b = (1+cosθ,1−sinθ)，若−→a ⊥−→b ，则cot θ
2 =
．
第3 讲
25
【例7】设向量−→a = (x,y,z)，−→b = (y,z,x)，x，y，z ∈R，若|−→a | = 2，则
−→a −2−→b
的最大值与最小值的和是( )
A. 8
B. 6
C. 4
√
2
D. 2+2
√
7
【例8】若平面向量−→a 、−→b 、−→e 满足|−→e | = 1，−→a ·−→e = 1，−→b ·−→e = 2，
−→a −−→b
= 2，则−→a ·−→b 的最小值为
．
Part 2
平面向量综合应用
精讲精练
【例9】在边长为1 的正六边形A1A2A3A4A5A6 中，−−→
A1A3 ·−−→
A3A5 的值为( )
A. 3
2
B. 3
√
3
2
C. −3
2
D. −3
√
3
2
26
知识点睛
极化恒等式
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的1
4.
即：−→a ·−→b = (1
2
−→
AC + 1
2
−→
DB)(1
2
−→
AC −1
2
−→
BD) = 1
4
[
|AC|2 −|DB|2]
（平行四边形模式）
在图示三角形ABC 中（M 为BC 的中点），此恒等式可表示为：
−→
AB·−→
AC = (−→
AM + 1
2
−→
CB)(−→
AM −1
2
−→
CB) = |AM|2 −1
4|BC|2（三角形模式）
极化恒等式可以将内积的计算（向量）问题转化为线段长度（几何）的问题，因此在遇到内积时是一个非常
好用的工具.
精讲精练
【例10】
（1）在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM = 3，BC = 10，则−→
AB·−→
AC =
．
（2）在Rt△ABC 中，AC = 2，BC = 2，已知点P 是△ABC 内一点，则−→
PC ·
(−→
PA+−→
PB
)
的最小值是
．
第3 讲
27
【例11】若1
4 (x−3) = 1
3 (y−1)，则s = x2 +y2 的最小值是
．
【例12】sin80◦+cos62◦+cos82◦−sin44◦−cos26◦=
．
【例13】在一个广场上，甲、乙二人分别从相距100m 的A、B(B 在A 的正东方向) 两地(如图所示) 以2m/s 的速度
沿东偏北60◦方向运动，乙以3
√
2m/s 的速度沿西偏南45◦方向运动，t 秒后，甲、乙分别位于C、D 两地，且CD⊥AB，
则t =
s，此时甲、乙相距
m．
28
专业巡礼
临床医学专业是一门实践性很强的应用科学专业，致力于培养具备基础医学、临床医学的基本理论
和医疗预防的基本技能；能在医疗卫生单位、医学科研等部门从事医疗及预防、医学科研等方面工作的
医学高级专门人才。临床医学专业学生主要学习医学方面的基础理论和基本知识，人类疾病的诊断、治
疗、预防方面的基本训练。具有对人类疾病的病因、发病机制做出分类鉴别的能力。
不同于其他专业，目前我国临床医学专业的学制有以下几种：
1、五年制
属临床本科，培养的目标是让本科生掌握基础医学的相关理论，掌握临床开学的基础理论，掌握医
疗的基本技能。
2、六年制
临床医学六年制的课程和五年制差不多，但最明显的区别是“强化外语”。六年制的临床医学本科，
外语不再是公共基础课，而是专业课，并且是医学类外语专业课，因此，六年制的临床医学，培养目标除
了五年制包含的之外，还需要掌握很强大外语知识。
3、八年制
八年制的临床医学，即“本硕博”连读，本科、硕士、博士一次性修完，这对于学生个人的毅力和决心
有较高的要求，八年制的临床医学专业培养目标是：具有非常扎实的医学理论基础，具有扎实的医学创
新能力和实践能力，具有熟练的临床工作能力，具有较高的临床科研能力，这就是“医学博士”。
国内该专业排名比较靠前的院校有：上海交通大学、浙江大学、北京协和医学院、复旦大学、北京大
学、首都医科大学、华中科技大学、中南大学、中山大学、四川大学等。
第
讲
4
29
不等式的概念及其性质
Part 1
不等式的性质
Part 2
均值不等式
30
Part 1
不等式的性质
知识点睛
1. 不等式的概念
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的. 我们用数学符号“̸=”、
“>”、
“<”、
“≥”、
“≤”连接两个数
或代数式，以表示它们之间的不等关系. 含有这些不等号的式子，叫做不等式.
实数集与数轴上的点集之间可以建立一一对应关系，数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应
的实数大. 对于任意两个实数a 和b，在a = b, a > b, a < b 三种关系中有且仅有一种关系成立.
2. 符号法则
（1）a−b > 0 ⇔a > b;
a−b = 0 ⇔a = b;
a−b < 0 ⇔a < b.
（2）若a > 0，b > 0，则a
b > 1 ⇔a > b;
若a > 0，b > 0，则a
b < 1 ⇔a < b;
若a < 0，b < 0，则a
b > 1 ⇔a < b;
若a < 0，b < 0，则a
b < 1 ⇔a > b.
精讲精练
【例1】设实数a，b，c 满足b+c = 6−4a+3a2，c−b = 4−4a+a2，试确定a，b，c 的大小关系．
第4 讲
31
【例2】已知a > b > 0，求证：aabb ⩾(ab)
a+b
2 ⩾abba．
【例3】已知0 ⩽x ⩽1，a = arcsin(cosx)，b = cos(arcsinx)，则( )
A. a > b
B. b > a
C. a = b
D. 当0 ⩽x < π
4 时，取A；当π
4 < x ⩽1 时，取B；当x = π
4 时，取C
知识点睛
3. 不等式的性质
（1）对称性：a > b ⇔b < a；
（2）传递性：a > b, b > c ⇒a > c；
（3）可加性：a > b ⇔a+c > b+c；
（4）可乘性：a > b, c > 0 ⇒ac > bc；a > b, c < 0 ⇒ac < bc；
（5）加法法则：a > b, c > d ⇒a+c > b+d；
（6）乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ⇒ac > bd；
（7）乘方法则：a > b > 0 ⇒an > bn (n ∈N∗)；
（8）开方法则：a > b > 0 ⇒
n√a >
n√
b(n ∈N∗).
32
精讲精练
【例4】下列四个命题中，为真命题的是( )
A. 若a > b，则ac2 > bc2
B. 若a > b，c > d，则a−c > b−d
C. 若a > |b|，则a2 > b2
D. 若a > b，则1
a < 1
b
【例5】已知0 < a < b < 1，给出以下结论：
①
(
1
2
)a
>
(
1
3
)b
；②a
1
2 > b
1
3 ；③log 1
2 a > log 1
3 b；④loga
1
2 > logb
1
3．则其中正确的结论个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【例6】设a，b，c 依次是方程log 1
2 x+2 = x，log2 (x+2) = √−x，2x +x−2 = 0 的根，则a，b，c 的大小关系是( )
A. b < c < a
B. a < c < b
C. b < a < c
D. c < b < a
【例7】使不等式
√
3+
√
8 > 1+√a 成立的正整数a 的最大值是( )
A. 13
B. 12
C. 11
D. 10
第4 讲
33
Part 2
均值不等式
知识点睛
1. 对于任意的a, b ∈R，恒有a2 +b2 ≥2ab（当且仅当a = b 时等号成立）.
2. 对于任意的正数a，b，恒有a+b
2
≥
√
ab（当且仅当a = b 时等号成立）, 通常称为二元均值定理，其中a+b
2
称
为a，b 的算术平均数，
√
ab 称为a，b 的几何平均数.
3. 对于任意n 个正数a1，a2，···，an，有a1 +a2 +···+an ≥n· n√a1a2 ···an（当且仅当a1 = a2 = ··· = an 时等号成
立）.
（1）如果和a1 +a2 +···+an = S 为常数，那么当且仅当a1 = a2 = ··· = an 时，积a1a2 ···an 有最大值
(
S
n
)n
.
（2）如果积a1a2 ···an = p 为常数，那么当且仅当a1 = a2 = ··· = an 时，和a1 +a2 +···+an 有最小值n· n√p.
如果a1，a2，···，an ∈R+，记
An = a1 +a2 +···+an
n
，Gn =
n√a1a2 ···an，
Hn =
n
1
a1
+ 1
a2
+···+ 1
an
，Qn =
√
a2
1 +a2
2 +···+a2
n
n
，
则有Hn ≤Gn ≤An ≤Qn（当且仅当a1 = a2 = ··· = an 时等号成立）.
其中An、Gn、Hn、Qn 依次称为n 个数a1，a2，···，an 的算术平均数、几何平均数、调和平均数和平方平均数.
精讲精练
【例8】下列不等式不一定成立的是( )
A. a2 +b2 ⩾2ab(a,b ∈R)
B. a2 +3 ⩾2a(a ∈R)
C. x+ 1
x ⩾2(x ∈R)
D. a+b
2
⩽
√
a2 +b2
2
(a,b ∈R)
34
【例9】
（1）已知2m+n = 1，m，n > 0，则2
m + 1
n 的最小值为( )
A. 4
√
2
B. 8
C. 9
D. 12
（2）已知正实数a，b，c，若a2 +b2 +4c2 = 1，则ab+2ac+3
√
2bc 的最大值为( )
A. 1
B.
√
2
2
C.
√
2
D. 2
√
2
（3）设a > b > 0，则a2 + 1
ab +
1
a(a−b) 的最小值为( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
第4 讲
35
【例10】
（1）设x，y 为实数，满足3 ⩽xy2 ⩽8，4 ⩽x2
y ⩽9，则x2
y4 的最大值是
．
（2）设x，y ∈R 且1 ⩽x2 +y2 ⩽2，则2x2 +3xy+2y2 的值域是
．
【例11】如果a+b+c = 1，那么√3a+1+
√
3b+1+√3c+1 的最大值是
．
【例12】某工厂产值连续三年持续增长，已知年平均增长率为p，若这三年的增长率分别为x1，x2，x3，则
x1 +x2 +x3 的最小值是
．
36
专业巡礼
机械制造及其自动化是一门研究机械制造理论、制造技术、自动化制造系统和先进制造模式的研究
生学科。该学科融合了各相关学科的最新发展，使制造技术、制造系统和制造模式呈现出全新的面貌。机
械制造及其自动化目标很明确，就是将机械设备与自动化通过计算机的方式结合起来，形成一系列先进
的制造技术，包括CAD（计算机辅助设计）、CAM（计算机辅助制造）、FMS（柔性制造系统）等等，最
终形成大规模计算机集成制造系统（CIMS），使传统的机械加工得到质的飞跃。具体在工业中的应用包
括数控机床、加工中心等。
本专业毕业生主要到工业生产第一线从事机械制造领域内的设计制造、科技开发、应用研究、运行
管理和经营销售等方面的工作。可在机电装备制造业，从事机械制图与计算机绘图，机械制造工艺与现
场实施，机械加工与检测，机电设备安装、调试与维护，CAD/CAM 技术运用等岗位工作。由于机械行业
的重要性和庞大规模，需要一支庞大的专业人才队伍。今后一段时间内，机械类人才仍会有较大需求。具
有开发能力的数控人才将成为各企业争夺的目标，机械设计制造与加工专业人才供需比也很高。从机械
行业发展来看，印刷机械、数控机床、发电设备、工程机械等重头产品前景仍看好。除了这些传统工业领
域，该行业将进一步向机光电一体化发展，向光加工、环保这样的新兴领域拓展。
国内该专业排名比较靠前的院校有：清华大学、哈尔滨工业大学、上海交通大学、华中科技大学、大
连理工大学、天津大学、中南大学、浙江大学、西安交通大学、吉林大学等。
第
讲
5
37
不等式求解方法
Part 1
一元二次不等式
Part 2
其它类型不等式
38
Part 1
一元二次不等式
知识点睛
1. 一元一次不等式
ax > b ⇔
x > b
a, a > 0
∅, a = 0, b ≥0
R, a = 0, b < 0
x < b
a, a < 0
精讲精练
【例1】关于x 的不等式(2a−b)x+a−5b > 0 的解集是
(
−∞, 10
7
)
，则关于x 的不等式ax > b 的解集是( )
A.
(
3
5,+∞
)
B.
(
−∞, 3
5
)
C.
(
−3
5,+∞
)
D.
(
−∞,−3
5
)
知识点睛
2. 一元二次不等式
一般形式是：ax2 +bx+c > 0 或ax2 +bx+c < 0(a̸ = 0).
（1）若∆> 0，
当a > 0 时，ax2 + bx + c > 0 的解在方程ax2 + bx + c = 0 的两根之外，设两根为x1，x2 且x1 < x2，解集即为
{x|x > x2 或x < x1}.
当a < 0 时，ax2 + bx + c > 0 的解在方程ax2 + bx + c = 0 的两根之间，设两根为x1，x2 且x1 < x2，解集即为
{x|x1 < x < x2}.
第5 讲
39
（2）若∆= 0，
当a > 0 时，ax2 +bx+c > 0 的解集为{x|x̸ = −b
2a}；ax2 +bx+c < 0 的解集为空集.
（3）若∆< 0，
当a > 0 时，ax2 +bx+c > 0 的解集为R；ax2 +bx+c < 0 的解集为空集.
精讲精练
【例2】不等式ax2 +bx+c < 0 的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)，则不等式cx2 +bx+a > 0 的解集是
.
【例3】求不等式ax2 −2(a+1)x+4 > 0 的解集．
40
【例4】已知不等式
(
1
2
)x2−a
> 4−x 的解集是(−2,4)，那么实数a 的值是
．
【例5】
（1）若不等式x2 +2(a−3)x+9 > 0 对于x ∈[1,2] 恒成立，则a 的取值范围是( )
A.
(
−1
4,0
)
B.
(
−1
4,1
)
C.
(
−∞,−1
4
)
D.
(
−1
4, +∞
)
（2）若对于满足−1 ⩽t ⩽3 的一切实数t，不等式x2 −
(
t2 +t −3
)
x+t2 (t −3) > 0 恒成立，则x 的取值范围为
．
【例6】已知二次函数f (x) = ax2 +bx+c，a，b，c ∈R，满足：(1) f (−1) = 0；(2) 对于任意x ∈R，x ⩽f (x) ⩽x2 +1
2
，
那么a =
，b =
，c =
．
第5 讲
41
Part 2
其它类型不等式
知识点睛
1. 分式不等式
f (x)
g(x) > 0 ⇔f (x)·g(x) > 0；
f (x)
g(x) < 0 ⇔f (x)·g(x) < 0；
f (x)
g(x) ≥0 ⇔
f (x)·g(x) ≥0
g(x)̸ = 0
；
f (x)
g(x) ≤0 ⇔
f (x)·g(x) ≤0
g(x)̸ = 0
.
2. 绝对值不等式
|f (x)| > |g(x)| ⇔[f (x)]2 > [g(x)]2；
|f (x)| > g(x) ⇔f (x) > g(x) 或f (x) < −g(x)；
|f (x)| < g(x) ⇔−g(x) < f (x) < g(x).
3. 高次不等式
若关于x 的高次不等式等价变形后一边是0，另一边可以因式分解，各因式均为关于x 的一次式，且x 的系数
均为正数，则可使用穿根法解此不等式，具体步骤如下：
（1）在数轴上标出化简后各因式的根；
（2）自右向左、自上而下穿线，遇偶次重根不穿透，遇奇次重根要穿透（奇穿偶不穿）；
（3）数轴上方曲线对应区域使“>”成立，下方曲线对应区域使“<”成立.
42
精讲精练
【例7】关于x 的不等式ax−b > 0 的解集为(−∞,1)，则不等式x−2
ax−b > 0 的解集为( )
A. (−1,2)
B. (−∞,1)∪(1,2)
C. (1,2)
D. (−∞,−1)∪(−1,2)
【例8】
（1）不等式|x−1|−|x−5| < 2 的解集是( )
A. (−∞,4)
B. (−∞,1)
C. (1,4)
D. (1,5)
（2）不等式
√3x−2−3
> 1 的解集是( )
A. x > 6 或2
3 ⩽x < 2
B. x > 6 或x < 2
C. x > 6
D. x < 2
【例9】
（1）已知a = 1
√
2
，则不等式
(
2
3
)loga|x−1|
< 9
4 的解集是
．
第5 讲
43
（2）不等式logsinx2x > logsinxx2 在区间(0,2π) 上的解集是
．
【例10】不等式arccosx ⩽arccos(2x+1) 的一个解是( )
A. −1
2
B. 1
2
C. 1
D. −1
【例11】解不等式
(
x2 −1
)(
x2 −2x−3
)
(x+5) > 0．
44
【例12】已知函数f(x) =
x2
ax+b，a,b 为常数，且方程f(x)−1 = 0 有两个实根为x1 = −2,x2 = 1．
（1）求函数f(x) 解析式；
（2）设k > 1，解关于x 的不等式f(x) < (k +1)x−k
2−x
第5 讲
45
专业巡礼
电气工程及其自动化涉及电力电子技术，计算机技术，电机电器技术，信息与网络控制技术，机电一
体化技术等诸多领域，是一门综合性较强的学科，使学生获得电工电子、系统控制、电气控制、电力系统
自动化、电气自动化装置及计算机应用技术等领域的基本技能。该专业培养具有工程技术基础知识和相
应的电气工程专业知识，具有解决电气工程技术分析与控制问题基本能力的高级工程技术人才。
本专业毕业生可在电力设备制造行业从事高电压设备的设计、开发、生产和管理等工作，可在电力
系统从事高压设备的运行维护方面的技术工作和管理工作，就业于电业局，供电局，发电厂，也可在高校
和科研院所从事教学和科研工作。
国内该专业排名比较靠前的院校有：清华大学、华中科技大学、西安交通大学、浙江大学、重庆大学、
华北电力大学、哈尔滨工业大学、天津大学、西南交通大学、上海交通大学等。
第
讲
6
47
不等式拓展
Part 1
不等式证明常见方法
Part 2
不等式综合应用
48
Part 1
不等式证明常见方法
知识点睛
柯西不等式
设a1，a2，···，an，b1，b2，···，bn ∈R 都是实数，则有
(a1b1 +a2b2 +···+anbn)2 ≤
(
a2
1 +a2
2 +···+a2
n
)(
b2
1 +b2
2 +···+b2
n
)
，
当且仅当a1
b1
= a2
b2
= ··· = an
bn
时等号成立（假设b1，b2，···，bn 均不为0）.
精讲精练
【例1】若0 < a，b，c < 1，且a+b+c = 2，则a2 +b2 +c2 的取值范围是( )
A.
[
4
3,+∞
)
B.
[
4
3,2
]
C.
[
4
3,2
)
D.
(
4
3,2
)
知识点睛
不等式的证法因题而异，有一些基本方法，如比较法、公式法、分析法、反证法、换元法、数学归纳法及数形结合
法等．与此同时，还可结合应用向量、函数、图形、方程等工具．
第6 讲
49
精讲精练
【例2】已知0 < a < b < 1，求证：a
1+a2 <
b
1+b2 ．
【例3】已知a > b > c，求证：1
a−b +
1
b−c +
1
c−a > 0．
【例4】已知x > 0，y > 0，求证：
√
x2 +y2 >
3√
x3 +y3．
50
【例5】若a，b 是直角三角形两直角边，c 是斜边，求证：c ⩾a+b
√
2
．
【例6】求证：sin3x·sin3x ⩽1
4．
【例7】已知x，y，z ∈R+，求证：
√
z2 +x2 +
√
3zx ⩽
√
x2 +y2 +
√
y2 +z2 −yz．
第6 讲
51
【例8】已知0 < a < 1，0 < b < 1，求证：
√
a2 +b2 +
√
a2 +(1−b)2 +
√
(1−a)2 +b2 +
√
(1−a)2 +(1−b)2 ⩾2
√
2．
【例9】已知|x|+|y| ⩽1，求证：x3 −3x2y+3xy2 −y3 +3x−3y ⩽4．
52
【例10】设x1，x2，x3，y1，y2，y3 ∈R，且满足x2
1 +x2
2 +x2
3 ⩽1．证明：
(x1y1 +x2y2 +x3y3 −1)2⩾
(
x2
1 +x2
2 +x2
3 −1
)(
y2
1 +y2
2 +y2
3 −1
)
．
【例11】求证：1 ⩽
1+x2
1+x+x2 +
x
1+x2 ⩽3
2．
第6 讲
53
Part 2
不等式综合应用
知识点睛
不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题
（1）恒成立问题：
若f (x) 在区间D 上存在最小值，则不等式f (x) > A 在区间D 上恒成立⇔f (x)min > A(x ∈D)；
若f (x) 在区间D 上存在最大值，则不等式f (x) < B 在区间D 上恒成立⇔f (x)max < B(x ∈D).
（2）能成立问题：
若f (x) 在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x) < A 成立⇔f (x)min < A(x ∈D)；
若f (x) 在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x) > B 成立⇔f (x)max > B(x ∈D).
（3）恰成立问题：
不等式f (x) > A 恰在区间D 上成立⇔f (x) > A 的解集为D；
不等式f (x) < B 恰在区间D 上成立⇔f (x) < B 的解集为D.
精讲精练
【例12】设a > b > c，n ∈N，且
1
a−b +
1
b−c ⩾
n2
a−c 恒成立，则n 的最大值是
．
【例13】已知f (x) = |ax−4|−|ax+8|，a ∈R，若f (x) ⩽k 恒成立，求k 的取值范围
．
【例14】在△ABC 中，D 为AB 的中点，点F 在线段CD(不含端点) 上，且满足−→
AF = x−→
AB+y−→
AC，若不等式
1
x + 2
y ⩾a2 +at 对t ∈[−2,2] 恒成立，则a 的最小值为( )
A. −4
B. −2
C. 2
D. 4
54
专业巡礼
金融学是从经济学中分化出来的应用经济学科，是以融通货币和货币资金的经济活动为研究对象，
具体研究个人、机构、政府如何获取、支出以及管理资金以及其他金融资产的学科。金融学专业培养具备
金融学方面的理论知识和业务技能，能在银行、证券、投资、保险及其他经济管理部门和企业从事相关工
作的专门人才。
毕业后可以在以下几个方面就业：
（1）商业银行，包括四大行和股份制商行、城市商业银行、外资银行驻国内分支机构。
（2）证券公司，含基金管理公司；上交所、深交所、期交所。
（3）信托投资公司、金融投资控股公司、投资咨询顾问公司、大型企业财务公司。
（4）金融控股集团、四大资产管理公司、金融租赁、担保公司。
（5）国家公务员序列的政府行政机构如财政、审计、海关部门等；高等院校金融财政专业教师；研究
机构研究人员。
（6）上市股份公司证券部、财务部、证券事务代表、董事会秘书处等。
国内该专业排名比较靠前的院校有：北京大学、中国人民大学、中央财经大学、对外经贸大学、东北
财经大学、上海财经大学、厦门大学、清华大学、南开大学、复旦大学等。
第
讲
7
55
数列的概念与表示法
Part 1
数列的概念与表示
Part 2
数列的性质
56
Part 1
数列的概念与表示
知识点睛
数列的定义
按照一定顺序排列的一列数叫做数列. 数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号
有关，排在第一位的数称为这个数列的第1 项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的第2 项······ 排在第n
位的数称为这个数列的第n 项. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，···，an，···，简记为{an}，其中an 是数列{an}
的第n 项，也叫做数列的通项. 如果数列的第n 项an 与n 之间的关系可以用一个函数式an = f (n) 表示，那么这
个公式叫做这个数列的通项公式.
注意
①数列的项具有有序性，一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，注意与集
合中元素的无序性区分开来.
②数列的项具有可重复性，数列中的数可重复出现，这也要与集合中元素的互异性区分开来.
③注意an 与{an} 的区别：an 表示数列{an} 的第n 项，而{an} 表示数列a1，a2，a3，···，an，···.
数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集N∗（或它的有限子集{1, 2, 3, ··· , n}）为定义域的函数an = f (n)，即数列的通项
公式也是相应函数的解析式. 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应一系列函数值，其图象是无限个或有
限个孤立的点.
精讲精练
【例1】
（1）观察数列：1,2,3,3,2,1,2,3,4,4,3,2,3,4,5,5,4,3,4,5,6,6,5,4,···，则第2017 个数是( )
A. 335
B. 336
C. 337
D. 338
第7 讲
57
（2）已知数列{an} 的通项公式是an = (−1)n (3n−2)，则a1 +a2 +···+a2019 等于( )
A. 3027
B. −3027
C. 3028
D. −3028
【例2】以下是一个有序数对的序列：
(0,0)，(1,0)，(1,1)，(0,1)，(0,2)，(1,2)，(2,2)，(2,1)，(2,0)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(2,3)，(1,3)，(0,3)，(0,4)，···
按顺序将1，3，5，7，···，2n−1 个序数对分别组成第1 组，第2 组，第3 组，第4 组，···，第n 组：
第一组：{(0,0)}；
第二组：{(1,0)}；{(1,1)}；{(0,1)}；
第三组：{(0,2)}；{(1,2)}；{(2,2)}；{(2,1)}；{(2,0)}；
第四组：{(3,0)}；{(3,1)}；{(3,2)}；{(3,3)}；{(2,3)}；{(1,3)}；{(0,3)}；
第五组：{(0,4)}；{(1,4)}；{(2,4)}；{(3,4)}；{(4,4)}；{(4,3)}；{(4,2)}；{(4,1)}；{(4,0)}；
······
那么数对的序列中第2005 个数对在第
组中，该数对是
．
【例3】数列{an}，{bn} 中，an = ln θ n −1
θ n +1 +2n，bn = ln θ n +1
θ n −1 −n，θ 为常数，若a8 = 20，则b8 =( )
A. −12
B. −6
C. 12
D. 6
58
知识点睛
精讲精练
【例4】写出下列数列的一个通项公式，并指出它们分别为哪种类型的数列．
（1）2，5，8，11，14．
（2）1
2，−1
4，1
8，−1
16，1
32，−1
64，…
第7 讲
59
【例5】有下列5 个命题：
①数列0,1,0,−1 与数列−1,0,1,0 是相同的数列；
②数列{an} 中不能有相等的项；
③数列2,4,6,8... 可表示为{2,4,6,8...}；
④数列1,3,5...,2n−1,... 可表示为{2n−1}；
⑤数列1,2,3... 不一定是无穷递增数列．
其中正确命题的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
知识点睛
递推公式的概念
如果已知数列{an} 的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项an 与它的前一项an−1（或
前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
注意
（1）与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.
（2）递推公式是给出数列的一种方法. 事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n 的恒等式.
如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
（3）用递推公式给出一个数列，必须给出：
①基础——数列{an} 的第1 项（或前几项）；
②递推关系——数列{an} 的任意一项an 与它的前一项an−1（n ≥2）（或前几项）间的关系，并且这个关
系可以用等式来表示.
60
数列的表示法
数列作为一种特殊的函数，也可以用列表法和图象法表示. 具体各类表示法的优缺点如下所示：
精讲精练
【例6】
（1）在数列{an} 中，an+1 = an+2 +an，a1 = 2，a2 = 5，则a6 的值是( )
A. −3
B. −11
C. −5
D. 19
（2）已知数列{an} 中，a1 = 1，an+1an−1 = anan−1 +a2
n(n ∈N,n ⩾2)，且an+1
an
= kn+1，则k =( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
第7 讲
61
知识点睛
n
∑
k=1
ak = a1 +a2 +···+an 叫做数列{an} 的前n 项和，记作Sn.
数列的通项an 与前n 项和Sn 的关系：
(1)Sn = a1 +a2 +···+an;
(2)an =
S1 (n = 1),
Sn −Sn−1 (n ≥2).
注意：an = Sn −Sn−1 不是对一切正整数n 都成立，而是对n ≥2 的一切正整数n 恒成立，因为当n = 1 时
Sn −Sn−1 无意义。
因此，由前n 项和Sn 求通项公式an = f (n) 时，要分为n = 1 和n ≥2 两种情况讨论，注意验证两种情形能够
用同一式子表示，若不能，则用分段形式表示。
精讲精练
【例7】判断下面结论是否正确(请在横线上打“√”或“×”)．
（1）所有数列的第n 项都能使用公式表达．
（2）根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．
（3）数列：1，0，1，0，1，0，···，通项公式只能是an = 1+(−1)n+1
2
．
（4）如果数列{an} 的前n 项和为Sn，则对∀n ∈N∗，都有an+1 = Sn+1 −Sn．
62
Part 2
数列的性质
知识点睛
1. 单调性
如果对所有的n ∈N∗，都有an+1 ≥an，那么称数列{an} 为递增数列；如果对所有的n ∈N∗，都有an+1 ≤an，那
么称数列{an} 为递减数列。
2. 周期性
如果对所有的n ∈N∗，都有an+k = an（k 为正整数），那么称数列{an} 为以k 为周期的周期数列。
注意
求数列的最大（小）项时，一般先研究数列的单调性，可以用
an ≥an−1,
an ≥an+1
(n ≥2,n ∈N∗) 或者
an ≥an−1,
an ≥an+1
(n ≥2,n ∈N∗) 求，也可以转化为函数的最值问题求解，或者用数形结合求解。
精讲精练
【例8】已知数列{an} 是递减数列，且对任意的正整数n，an = −n2 +2λn 恒成立，则实数λ 的取值范围为( )
A. (−3,+∞)
B. (−∞,1]
C. (−∞,1)
D.
(
−∞, 3
2
)
第7 讲
63
【例9】数列{an} 的通项an = n−
√
2004
n−
√
2008，在此数列的前50 项中，最大项和最小项依次是( )
A. a1，a50
B. a50，a1
C. a45，a44
D. a44，a45
【例10】已知数列A：a1，a2，…，an (0 ⩽a1 < a2 < ... < an,n ⩾3) 具有性质P：对任意i，j(1 ⩽i ⩽j ⩽n)，aj +ai 与
aj −ai 两数中至少有一个是该数列中的一项、现给出以下四个命题：
①数列0，1，3 具有性质P；
②数列0，2，4，6 具有性质P；
③若数列A 具有性质P，则a1 = 0；
④若数列a1，a2，a3 (0 ⩽a1 < a2 < a3) 具有性质P，则a1 +a3 = 2a2，
其中真命题有( )
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
【例11】若数列{an} 满足：存在正整数T，对于任意正整数n 都有an+T = an 成立，则称数列{an} 为周期数列，
周期为T．已知数列{an} 满足a1 = m(m > 0)，an+1 =
an −1,an > 1
1
an
,0 < an ⩽1
，则有下列结论：
①若a3 = 4，则m 可以取3 个不同的值；
②若m =
√
2，则数列{an} 是周期为3 的数列；
③对任意的T ∈N∗且T ⩾2，存在m > 1，使得{an} 是周期为T 的数列；
④存在m ∈Q 且m ⩾2，使得数列{an} 是周期数列．
其中正确的结论有
．
64
专业巡礼
土木工程是建造各类土地工程设施的科学技术的统称。它既指所应用的材料、设备和所进行的勘
测、设计、施工、保养、维修等技术活动，也指工程建设的对象。即建造在地上或地下、陆上，直接或间接为
人类生活、生产、军事、科研服务的各种工程设施，例如房屋、道路、铁路、管道、隧道、桥梁、运河、堤坝、港
口、电站、飞机场、海洋平台、给水排水以及防护工程等。土木工程是指除房屋建筑以外，为新建、改建或
扩建各类工程的建筑物、构筑物和相关配套设施等所进行的勘察、规划、设计、施工、安装和维护等各项
技术工作及其完成的工程实体。
土木工程专业大体可分为道路、桥梁工程与建筑工程两个不同的方向，在职业生涯中，这两个方向
的职位既有大体上的统一性，又有细节上的具体区别。总体来说，土木工程专业的主要就业方向有以下
几种：
工程技术方向：建筑施工企业、房地产开发企业、路桥施工企业等。
设计、规划及预算方向：工程勘察设计单位、房地产开发企业、交通或市政工程类** 机关职能部门、
工程造价咨询机构等
质量监督及工程监理方向：建筑、路桥监理公司、工程质量检测监督部门。
工程检修方向：轨道交通，铁路工务段（处）。
公务员、教学及科研方向：交通、市政管理部门、大中专院校、科研及设计单位。
国内该专业排名比较靠前的院校有：同济大学、东南大学、清华大学、北京工业大学、哈尔滨工业大
学、浙江大学、天津大学、大连理工大学、河海大学、湖南大学等。
1119092614248
