数学思维
兴趣班
四年级（全国）·寒
学而思网校教研中心编著
目 录
第1 讲
进位制···································· 1
第2 讲
格点与割补································· 9
第3 讲
容斥原理（一）····························· 17
第4 讲
方案类问题································ 25
第5 讲
流水行船································· 33
第6 讲
长方形数表································ 41
阿丘学堂参考答案································ 49
学而思计算······································· 77
1
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第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
进位制
进位制
进位制
进位制
进位制
进位制
进位制
进位制
进位制
进位制
进位制
进位制
进位制
进位制
进位制
进位制
进位制
2
1. ab 与ba 的差被9 除（a > b），商等于多少？
2. 已知abcd +abc+ab+a = 2017，abcd =
。
3. 早在公元前3000 年，中国就有了伏羲氏八卦．它的记号是：
请问：
表示的自然数是多少？使用这样的三条线（长线或中间断开的线）可以表示哪几
个数？
3
4. 将下列二进制、五进制、八进制化成十进制。
(235)8 =(
)10
(13214)5 =(
)10
(110100100)2 =(
)10
5. 计算:(5417)8 −(101001)2 =(
)10
6. 小招移居到新星球前，曾被食人族抓到他们的部落。但是小招表演了一个数学游戏后，大家都感叹
小招的聪明才智，最后留下了小招帮忙发展部落。当时小招对食人族首领说：
“我手上有10 张卡片，
每张卡片上写了一个数。1000 以内的任何数，我都可以用其中若干张的和表示出这个数。”接着他把
这些卡片从小到大排列起来，让食人族首领随便挑一个数。首领想了想，说“962！”小招马上翻开第
二、七、八、九、十张卡片，这5 张卡片的和果然是962！这些卡片上的数分别是
，其中的道
理是
。
4
7. 在不同的历史时期，
“斤”和“两”之间的进制不同。成语“半斤八两”就是由十六进制而来的。为方
便计算，我们认为古代16 两是1 斤，每斤为现代的600 克；现代10 两是1 斤，每斤为现代的500
克。现有一批药品，有一部分按古制称，另一部分按现制称，统计发现，按斤算，
“斤”数和是5，按两
算，
“两”数和是68。
那么，这批药品共有
克。
8. 分别把下列各数转换成十进制数。
（a）(2014)5 =(
)10；
（b）(2014)6 =(
)10；
（c）(2014)7 =(
)10；
（d）(2014)8 =(
)10。
9. 请用八进制加法计算(1234)8 +(6544)8 =(
)8。
5
10. 有5 张卡片，在每张卡片上填16 个数字：
老师与学生做游戏，只要从1 ∼31 内挑出一个数，告诉老师这个数在哪几张卡片中出现，就可以知
道这个数是多少。例如一个学生说这个数在第1、2、4、5 张卡片中出现，老师就知道这个数是27。这
是因为
。
11. 在
进制中有4×13 = 100。
12. 把3.625 十进制数转换成二进制数
。
6
13. 把下列十进制数转换成二进制数：
（1）(24)10 = (
)2；
（2）(2013)10 = (
)2。
14. xy，zw 各表示一个两位数，若xy+zw = 139，则x+y+z+w =
。
15. 10 进制中(23)10 改写成七进位制为(32)7，(12)7 ×(53)7 =(
)7。
7
16. 用a、b、c、d、x 分别表示五进制中5 个互不相同的数字。如果
(
adx
)
5、
(
adc
)
5、
(
aab
)
5 是由小到大排
列好的连续自然数，那么
(
cdx
)
5 所表示的整数写成十进制的表示是(
)10。
17. 在7 进制中有三位数
(
abc
)
7，化为9 进制为
(
cba
)
9，这个三位数在十进制中为(
)10。
18. 已知：2x +2y +2z = 41，不同的字母代表不同的数字，则三位数xyz =
。
8
19. 将6 个灯泡排成一行，用和表示灯亮和灯不亮，如图是这一行灯的五种情况，分别表示五个数字：
1，2，3，4，5。那么
表示的数是=
。
20. 在美洲的一个小镇中，对于200 以下的数字读法都是采取20 进制的。如果十进制中的147 在20
进制中的读音是“seyth，ha，seyth，ugens”，而十进制中的49 在20 进制中的读音是“naw，ha，dew，
ugens”，那么20 进制中读音是“dew，ha，naw，ugens”的数指的是十进制中的(
)10。
9
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第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
格点与割补
格点与割补
格点与割补
格点与割补
格点与割补
格点与割补
格点与割补
格点与割补
格点与割补
格点与割补
格点与割补
格点与割补
格点与割补
格点与割补
格点与割补
格点与割补
格点与割补
10
1. 图中，相邻两个格点的距离为1，那么阴影部分的面积是
。
2. 如图，有21 个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是面积为1 的等边三角形，则三
角形ABC 的面积是
。
3. 如图所示，大正方形方格纸的面积为72 平方厘米，则阴影部分的面积为
平方厘米。
11
4. 图中相邻两格点间的距离均为1 厘米，那么阴影图形的面积是
平方厘米。
5. 下图中，每个正六边形的面积是6，那么阴影部分的面积是
。
6. 下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为1 平方厘米。三个多边形的面积
分别为
平方厘米，
平方厘米，
平方厘米。
12
7. 如图所示，这三个正六边形大小相同。X、Y、Z 分别表示三个六边形中阴影部分的面积。下面的说法
（ ）正确。
A. X 等于Y，但不等于Z
B. X 等于Z，但不等于Y
C. Y 等于Z，但不等于X
D. X 等于Y，也等于Z
8. 如图，其中相邻三点所形成的等边三角形的面积为1，这个格点多边形的面积为
。
9. 如图，是一个漂亮礼盒的平面图，已知相邻两个格点距离为1，图形的面积是
。
13
10. 如图所示每个小正方形的面积是1 单位面积，
“小屋”的面积是
个单位面积。
11. 图中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为1 平方厘米。这三个多边形的面积分别是
平方厘米、
平方厘米、
平方厘米。
12. 如图，正六边形的面积为6 平方厘米，那么阴影部分的面积是
平方厘米。
14
13. 两个边长相等的正方形各被分成25 个大小相同的小方格。现将这两个正方形的一部分重叠起来，
若左上角的阴影部分（块状）面积为5.12cm2，右下角的阴影部分（线状）面积为7.4cm2，则大正方
形的面积是
平方厘米。
14. 如图所示，每相邻三个点成“∵”或“∴”形，所形成的三角形都是等边三角形。这样的小正三角形的面
积为1 单位面积。阴影部分的面积为
。
15. 如图，相邻两个格点之间的距离是1，阴影部分的面积是
。
15
16. 比较图中的两个阴影部分I 和II 的面积，它们的大小关系是
。（填汉字）
17. 如图，在10×10 方格内，每个小正方形的面积都是1，请问以格点为顶点一共可以连出多少个面积
是6 的平行四边形？（正方形长方形也算）
18. 将边长为a 的正方形各边的中点连接成第二个正方形，再将第二个正方形各边的中点连接成第三个
正方形，依此规律，继续下去，得到下图。那么，大正方形面积是图中阴影部分面积的
倍。
16
19. 已知：正三角形ABC 的面积是96，点D、F 分别是所在边的中点，点E 是所在边的四等分点，则阴
影三角形的面积为
。
20. 已知：正三角形ABC 的面积是48，点D 是所在边的中点，点E、F 分别是所在边的四等分点，则阴
影三角形的面积为
。
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第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
容斥原理（一）
容斥原理（一）
容斥原理（一）
容斥原理（一）
容斥原理（一）
容斥原理（一）
容斥原理（一）
容斥原理（一）
容斥原理（一）
容斥原理（一）
容斥原理（一）
容斥原理（一）
容斥原理（一）
容斥原理（一）
容斥原理（一）
容斥原理（一）
容斥原理（一）
18
1. 希望小学四年级有50 名学生，有26 人参加乒乓球比赛，21 人参加篮球比赛，两项比赛都不参加的
有17 人，那么两项比赛都参加的有
人。
2. 甲、乙、丙都在读同一本书，书中有100 个故事。每人都从某一个故事开始顺序往下读，已知甲读了
75 个故事，乙读了60 个故事，丙读了52 个故事。那么三人共同读过的故事至少有
个。
3. 不超过210 且与120 互质的数有
个。
19
4. 最近，有人在繁忙的机场进行了一项调查，以了解人们平时爱去哪里旅游。其中每个人在过去的一
年里至少去过以下一个国家：55 个人去了西班牙，53 个人去了法国，79 个人去了德国，18 个人去了
西班牙和法国，17 个人去了西班牙和德国，25 个人去了法国和德国，有10 个人三个地方都去过。那
么，被调查的一共有
人。
5. 第三期的猫咪训练营开始集训，猫咪们共63 只，经过一段时间的训练之后，其中只学会抓鱼的有15
只，只学会抓老鼠的有12 只，既学会抓老鼠又学会抓鱼的有9 只，既学会抓老鼠又学会爬树的有6
只，既能爬树又能抓鱼的有5 只，三种都能做的有2 只，已知这63 只猫咪必然会其中的至少一种，
则只学会爬树的猫咪有
只。
6. 一根100 厘米长的木棍，从左起每隔6 厘米划一个刻度，每隔7 厘米划一个刻度，每隔8 厘米划一
个刻度，如果按刻度把木棍截断，可以截出
段。
20
7. 把长23 厘米和37 厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长3 厘米，焊接后这根铁条有
厘米长。
8. 某班有60 人，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子，其中有12 人穿白色上衣蓝裤子，有34
人穿黑裤子，29 人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有
人.
9. 班级中有100 个同学，期末考试的时候有5 门课，通过的人数分别为91、87、83、74、71 人，如果至少
通过3 门课的人算及格，那么这个班至少有
人及格。
21
10. 由数字1、2、3 组成的不同的两位数共有9 个，老师将这9 个数写在一个九宫格上，让同学选数，每
个同学可以从中选5 个数来求和。小刚选的5 个数的和是120，小明选的5 个数的和是111。如果
两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是
。
11. 五条同样长的线段拼成一个五角星。如果每条线段上恰有2010 个点被染成红色，那么在这个五角
星上红色点最少有
个。
12. 长度为L 的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分成8，12 和18 段，在各划分线处将木棍锯开，则
一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是
。
22
13. 如图，一个长方形与一个正方形部分重合。则它们没有重合的阴影部分面积相差
平方厘
米。（图中单位：厘米）
14. 在1 ∼200 这些数中，既不是3 的倍数，又不是5 的倍数的有
个。
15. 马拉松赛跑的路线上，等距离设置了若干个饮水站和等距离设置了16 个医疗站，起点和终点都设有
饮水站和医疗站，且起点和终点不同。若每个站安排一个值班员，两站重合的只安排一个值班员，那
么一共要安排46 个值班员，且在途中确有医疗站与饮水站重合，也有医疗站不与饮水站重合。那么
最多有
个饮水站。
23
16. 少年宫春季书法班、美术班、器乐班招生。书法班招收了29 名学员，美术班招收了28 名学员，器
乐班招收了27 名学员。在这些学员中，既报书法又报美术的有13 名，既报书法又报器乐的有12
人，既报美术又报器乐的有11 名，三个科目都报的有5 名。那么，只参加一个科目学习的学员有
名。
17. 一次会议有1990 位数学家参加，每人至少有1327 位合作者，证明可以找到四位数学家，他们中每
两人都合作过。
18. 某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪三个
项目的人数分别为10、15、20 人，长跑、跳高、标枪每一项的参加选手中都有五分之一的人还参加了
别的比赛项目，那么这所学校一共派出
人参加比赛。
24
19. 如图，矩形ABCD 中，AB = 6 厘米，BC = 4 厘米，扇形ABE 的半径AE = 6 厘米，扇形CBF 的半径
CB = 4 厘米，则阴影部分的面积是
平方厘米。(π 取3)
20. 在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100 盆花浇水，已知甲浇了30 盆，乙浇了75 盆，丙浇
了80 盆，丁浇了90 盆，那么恰好被3 个人浇过的花最少有
盆。
25
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第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
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第4 讲
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第4 讲
方案类问题
方案类问题
方案类问题
方案类问题
方案类问题
方案类问题
方案类问题
方案类问题
方案类问题
方案类问题
方案类问题
方案类问题
方案类问题
方案类问题
方案类问题
方案类问题
方案类问题
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1. 东东有17 张卡片，飞飞有11 张卡片，盛盛有8 张卡片，琳琳没有卡片，三人如何分配，就能用最少
的步骤让大家卡片一样多？
2. 一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1 张饼需要2 分钟(正面、反面各1 分钟)。那么煎3 张饼
需
分钟，煎法是
。
3. 电车公司维修站有7 辆电车需要维修，如果由一名工人维修这7 辆电车的修复时间分别为12、13、
8、15、20、12、14 分钟。每辆电车每停开1 分钟的损失是10 元，现在由3 名工作效率相同的维修工
人各自单独工作，要使经济损失减到最小程度，那么最小的损失是
元。
27
4. 小河马、小马、小牛和小鹿各拿一只水桶同时到一个水龙头前接水，它们只能一个接一个地接水。
（1）要使它们等候时间(等候时间包括接水时间) 的总和最少，应该按照
−
−
−
的顺序安排它们接水；
（2）它们等候时间的总和最少是
分钟。
5. 学校有一个打气筒，给一辆三轮车打足气需7 分钟，给一辆自行车打足气需4 分钟，给一辆板车打足
气需5 分钟。同时来了3 种车各一辆，怎样安排这3 种车打气的顺序，才能使总共需要的时间（包
括打气和等候的时间）最省？最少用多少分钟？
6. 理发店有甲、乙两位理发师，同时来了5 位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10、12、15、20
和24 分钟，怎样安排他们的理发顺序，才能使这五个人理发及等候所用的总时间最少，最少要用
分钟。
28
7. 有2015 名少先队员等距离的分散在一条公路上执勤宣传交通法规，则完成任务后应该在公路的第
个岗位处集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小。
8. 思思一家提着一盏灯过桥，过桥的时候是黑夜，所以必须有灯。已知：思思过桥要1 分钟，思思的哥
哥要3 分钟，思思的爸爸要6 分钟，思思的妈妈要8 分钟。而且这座桥每次最多可过两人，过桥的速
度依过桥最慢者而定。那么：思思一家过桥的最短时间是
分钟。
9. 青青妈妈早上要做的事情: 烧开水10 分钟，煮牛奶5 分钟，买早点8 分钟，叠被2 分钟，擦桌2 分
钟，灌开水1 分钟。家里只有一个煤气火，做完这些事情至少需要
分钟。
29
10. 某乡有六块麦地，每块麦地的产量如图所示。则麦场设在
（填大写字母）点，才能使收麦
过程中的运输量最少。
11. 烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3 分钟，那么用一次可容下2 块饼的
锅来烙21 块饼，至少需要
分钟。
12. 电车公司维修站有7 辆电车需要维修，如果用一名工人维修这7 辆电车的修复时间分别为12,17,8,
18,23,30,14 分钟。每辆电车每停开1 分钟的损失是11 元，现在由3 名工作效率相同的维修工人各
自单独工作，要使经济损失减到最小程度，那么最小的损失是多少元？
30
13. 要把一根长36.9 厘米的木料锯成长3.9 厘米和6.9 厘米两种规格的小木料，每锯一次要耗损0.1 厘
米的木料。为了使木料的浪费最少，3.9 厘米规格的木料要锯
段，6.9 厘米规格的木料要锯
段。
14. 有一家五口人要在夜晚过一座独木桥。他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要12 分钟；孩子们
的父亲贪吃且不爱运动，体重严重超标，过河需要时间也较长，8 分钟；母亲则一直坚持劳作，动作还
算敏捷，过桥要6 分钟；两个孩子中姐姐需要3 分钟，弟弟只要1 分钟。当时正是初一，夜晚又是阴
天，不要说月亮，连一点星光都没有，真所谓伸手不见五指。所幸的是他们有一盏油灯，一次同时可
以有两个人借助灯光过桥。但要命的是灯油将尽，这盏灯只能再维持30 分钟了！他们焦急万分，该
怎样过桥呢？
15. 小强、小明、小红和小蓉4 个小朋友郊游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木
桥到西岸，但是他们4 个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过2 人，因此必须先由2
个人拿着手电筒过桥，并由1 个人再将手电筒送回，再由2 个人拿着手电筒过桥······ 直到4 人都
通过小木桥。已知，小强单独过桥要1 分钟；小明单独过桥要1.5 分钟；小红单独过桥要2 分钟；小
蓉单独过桥要2.5 分钟。那么，4 个人都通过小木桥，最少要
分钟。
31
16. 北京、洛阳分别有12 台和4 台完全相同的机器，准备给杭州8 台、西安8 台，每台机器的运费如表
所示，如何调运能使总运费最省？运费为
元。
17. 一条直街上有5 栋楼，从左到右编号为1、2、3、4、5，相邻两楼的距离都是50 米。第1 号楼有1 名职
工在A 厂上班，第2 号楼有2 名职工在A 厂上班，······，第5 号楼有5 名职工在A 厂上班。A 厂
计划在直街上建一个通勤车站接送这5 栋楼的职工上下班，为使这些职工到通勤车站所走的路程之
和最小，车站应建在距1 号楼
米处。
18. 图中，小黑格表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线要连，连续标注的数字表示该段网线
单位时间内可以通过的最大的信息量。现在从结点C 向结点B 传递信息，那么单位时间内传递的
最大信息量是
。
32
19. 一个旅游团要从A 城到B 城去观光旅游，路线如图。他们要选择合适的路线，才能在最短的时间内
到达B 城。图中的数是表示走这段路程时需要的时间(单位: 分钟)。那么，从A 城到B 城最短需要
多少分钟。
20. 一个旅游团从A 地出发，最后目的地是N 地，他们要游览图上所有的名胜古迹。示意图上的数字是
两地之间的距离，单位是千米。这些旅游者要按最短的路线游览，一共需要走
千米（所有
名胜古迹只能经过一次）。
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第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
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流水行船
流水行船
流水行船
流水行船
流水行船
流水行船
流水行船
流水行船
流水行船
流水行船
流水行船
流水行船
流水行船
流水行船
流水行船
流水行船
流水行船
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1. 某船从甲地顺流而下，5 天到达乙地；该船从乙地返回甲地用了7 天。则水从甲地流到乙地用了
天。
2. 一艘小船在河中航行，第一次顺流航行33 千米，逆流航行11 千米，共用11 小时；第二次用同样的
时间，顺流航行24 千米，逆流航行14 千米。这艘小船的静水速度是
千米/时，水流速度是
千米/时。
3. 一艘轮船在河流的两个码头间航行，顺流需要6 小时，逆流需要8 小时，水流速度为2.5 千米/时，轮
船在静水中的速度是每小时
千米。
35
4. 轮船用同一速度往返于两码头之间，它顺流而下行了8 小时，逆流而上行了10 小时，如果水流速度
是每小时3 千米，两码头之间的距离是
千米。
5. 一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时6 千米，顺水下行需要4 小时，返回上行需要7 小时。则
这两个港口之间的距离是
千米。
6. 甲、乙两船在静水中的速度相同，它们同时从河的两个码头相对开出，4 小时后相遇。已知水流速度
是6 千米/时，那么相遇时甲、乙两船航行的距离相差
千米。
36
7. 甲、乙两地相距540 千米，轮船从甲地顺流而下到乙地，顺水速度为36 千米/时，然后立即返回，返
回时由于下暴雨，水速变为原来的2 倍，按正常的时间返回结束时距甲地还有54 千米，正常水速为
千米/时。
8. 一艘轮船顺流航行80 千米，逆流航行48 千米共用11 时；顺流航行64 千米，逆流航行96 千米共用
16 时。那么轮船的速度是
千米/ 时。
9. 甲、乙两船从相距64 千米的A、B 两港同时出发相向而行，2 小时相遇；若两船同时同向而行，则甲
用16 小时赶上乙。则甲、乙两船的速度分别是
千米/时和
千米/时。
37
10. A、B 两码头间河流长为220 千米，甲、乙两船分别从A、B 码头同时起航。如果相向而行5 小时相
遇，如果同向而行55 小时甲船追上乙船。甲船静水中的速度是
千米/时，乙船静水中的速
度是
千米/时。
11. 轮船从A 城到B 城需行6 天，而从B 城到A 城需行12 天。某一天，当轮船从B 城往A 城出发时，
同时从A 城放一个无动力的木筏，则轮船和木筏在途中相遇需要
天。
12. 在一条河里，两船分别从上游A 地和下游B 地同时相向前进，水的流速是每分30 米，两船在静水中
的速度都是每分钟走600 米。有一天，两船又分别从A、B 两地同时出发，但这时水流速度是平时的
两倍，所以相遇的地点比平时相遇点差6000 米。那么A、B 两地间的水路的长度是
米。
38
13. 甲、乙两船，在静水中的速度都是每小时30 千米，一次甲、乙两船分别从A，B 两码头同时出发相向
而行，到途中的C 地后返回，结果乙比甲先到达C 地0.5 小时，而乙返回B 码头1.5 小时后，甲才返
回A 码头，已知A 在B 的上游，且水速为每小时2 千米。AB 的距离为
千米。
14. A 地位于河流的上游，B 地位于河流的下游，两船的速度相同。每天早上，甲船从A 地、乙船从B 地
同时出发相向而行，平时两船相遇需要6 小时。11 月20 号，由于天气原因，当水速变为平时的2 倍
时，甲船从B 地到A 地需要16 小时。从12 月1 号开始，两船都装上了新的发动机，在静水中的
速度变为原来的1.5 倍，这时两船的相遇地点与平时相比变化了4 千米。A 地和B 地之间的距离为
千米。
15. 某人畅游长江，逆流而上，在A 处丢失一只水壶，他向前又游了47 分钟后，才发现丢失了水壶，立即
返回追寻，在离A 处2 千米的地方追到，则他返回寻水壶用了
分钟。
39
16. 甲、乙两船分别从A 港出发逆流而上驶向180 千米外的B 港，静水中甲船每小时航行15 千米，乙
船每小时航行12 千米，水流速度是每小时3 千米。乙船出发后两小时，甲船才出发，当甲船追上乙
船的时候，甲已离开A 港多少
千米，若甲船到达B 港之后立即返回，则甲、乙两船相遇地
点离刚才甲船追上乙船的地点
千米。
17. 江上有甲、乙两码头，相距15 千米，甲码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙
码头出发向下游行驶，5 小时后货船追上游船。又行驶了1 小时，货船上有一物品落入江中(该物品
可以浮在水面上)，6 分钟后货船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。则游船
在静水中的速度为每小时
千米。
18. 一条河的水流速度是每小时3 千米，一条船从此河的上游A 地顺流到达下游的C 地，然后掉头逆流
向上到达中游的B 地，共用8 小时。已知这条船的顺流速度是逆流速度的2 倍，A 地与B 地相距
24 千米。那么A、C 两地间的距离是
千米。
40
19. A、B 两个码头间的水路为90 千米，其中A 码头在上游，B 码头在下游。第一天水速为每小时3 千
米，甲、乙两船分别从A、B 两码头同时起航同向而行，3 小时后乙船追上甲船。已知甲船的静水速为
每小时18 千米，乙船的静水速度是
千米/时。第二天由于涨水水速变为每小时5 千米，甲、
乙两船分别从A、B 两码头同时起航相向而行，出发
小时后相遇。
20. 张勇老师沿江乘船顺流而下前往A 港口，途中不慎将一袋宝石(宝石会沉入水中) 和一个空酒葫芦
(葫芦会随水漂流) 掉入江中，到达A 港时，他将草帽丢入江中(草帽也会随水漂流)，并下船去集市上
买了一块表和一套潜水服，返回船上时正好中午12 点。他立刻乘船继续沿江向下航行，并于13 点
追上之前掉入江中的酒葫芦。14 点时又追上自己的草帽，于是立刻返航，回到A 港时是17 点。那
么: 船的静水速度和水速的比是
。之前他在A 港停泊了
小时。他回到A 港再
向上游航行
小时就到达宝石丢失点。
41
≈
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
长方形数表
长方形数表
长方形数表
长方形数表
长方形数表
长方形数表
长方形数表
长方形数表
长方形数表
长方形数表
长方形数表
长方形数表
长方形数表
长方形数表
长方形数表
长方形数表
长方形数表
42
1. 观察下面的日历：
（1）请在日历中圈出一个横行上相邻的三个日期，使三数之和为42。
（2）请在日历中圈出一个竖列上相邻的三个日期，使三数之和为42。
2. 某月的日历如图1 所示。若用2×3(2 行，3 列) 的长方形框出6 个数，使得它们的和是81，那么这6
个数中最小的是
。
3. 观察如下某月日历：
（1）请在日历中圈出一个横行上相邻的三个日期，使三数和为69。
（2）请在日历中圈出一个竖列上相邻的三个日期，使三数和为69。
43
4. 仔细观察下面的数阵，可以发现：从上到下的第3 行，从左向右的第2 个数是10，猜猜第100 行第3
个数是
。
5. 如图所示，将自然数有规律地填入方格表中，那么
（1）500 在第
行，第
列。
（2）第100 行第2 列是
。
6. 从1 开始的连续自然数按如图所示的规则排列，并用一个十字架框出五个数。能否使这五个数的和
等于145，若能办到，请写出框内的最大数和最小数; 若不能办到，说明理由。
44
7. 如图所示，把偶数2、4、6、8……，排成5 列。各列从左到右依次为第1 列、第2 列、第3 列、第4 列
和第5 列，那么:
（1）100 在第
行，第
列。
（2）第20 行第2 列的数是
。
8. 如图，从4 开始的自然数是按某种规律排列的，那么:
（1）100 在第
行，第
列。
（2）第5 行第20 列的数是
。
9. 将1，2，3...2004，2005 作如下位置的排列(横向为“行”):
那么，2005 是排在第
行中的第
个数。
45
10. 把自然数按照下列规则排列，那么2008 应该排在左起第
列。
11. 把1 到500 号卡片依次发给甲、乙、丙、丁四个小朋友，如下图：
那么，119 号卡片发给
。（填“甲”、
“乙”、
“丙”或“丁”）
12. 自然数1，2，3，4……排成如下数阵:
则这个数阵中的第15 列上起第3 个数是
。
46
13. 从1 开始的自然数如下排列，则第2 行中的第7 个数是
。
14.从1 开始的自然数按某种方式排列起来，
（1）100 在第
行。100 是这一行左起第
个数。
（2）第25 行左起第5 个数是
。
15. 如果把从1 开始的连续自然数按下表进行排列，那么652 应在
字母下面。
47
16. 把从1 到100 的自然数如下表那样排列，在这个数表里面，把长的方向的三个数，宽的方向的两个
数，一共六个数用长方形框围起来，六个数的和为81。在数表别的地方，如上述一样的围起来的六个
数和为429，那么这个长方形框里的最大数是
。
17. 一个分数三角阵如下图，那么第6 行的中心数是
；第7 行的左数第7、8、9 个数之和是
.
18. 观察下表中的数的规律，可知第8 行中，从左向右第5 个数是
。
48
19. 将1 到1001 的各数如图格式排列，我们可以用一对数来表示每个数的位置，如16 在第三行第二列，
可表示为(3,2)，用一个正方形框出9 个数(如图，有三列三行)，要使框出的9 个数之和等于2007，
这个正方形里的最大数的位置是第
行，第
列。
20. 如图所示，把自然数按规律排列起来。如果用“土”字型阴影覆盖8 个数并求和，且和为798。这8 个
数中最大的数是
。(“土”字不能旋转或翻转)
49
参考答案
第1 讲
进位制
1. a−b
【解析】(ab−ba)÷9 = [(10a+b)−(10b+a)]÷9 = (9a−9b)÷9 = a−b
2. 1817
【解析】原式= 1111a+111b+11c+d = 2017，
所以a = 1，则111b+11c+d = 2017−1111 = 906，111b+11c+d = 906。
推知b = 8；则888+11c+d = 906，11c+d = 18，
进而推知c = 1，d = 7，所以abcd = 1817。
3. 见解析
【解析】
表示4。这三条线可以表示0，1，2，3，4，5，6，7。
4. 157
1059
420
【解析】(235)8 = (2×8×8+3×8+5×1) = 157
(13214)5 = (1×5×5×5×5+3×5×5×5+2×5×5+1×5+4×1) = 1059
(110100100)2 = (1×2×2×2×2×2×2×2×2+1×2×2×2×2×2×2×2+1×2×2×2×2×
2+1×2×2)
= 420
5. 2790
【解析】先化十进制再相加，(5417)8 = 2831，(101001)2 = 41，所以原式= 2831−41 = 2790。
50
6. 1、2、4、8、16、32、64、128、256、512
道理见解析
【解析】这些数是1、2、4、8、16、32、64、128、256、512．由于1 = (1)2,2 = (10)2,4 = (100)2,8 =
(1000)2,16 = (10000)2,32 = (100000)2 ··· 观察发现，这些数字与二进制中的(1)2,(10)2,(100)2,(1000)2,
(10000)2,(100000)2 ··· 对应，其他的数字都可以用这些二进制相加得来。
7. 2800
【解析】本题是进位制和鸡兔同笼综合的题目，里面有十六进制和十进制。
如果全部是古制（十六进制），那么5 斤就是16×5 = 80（两），
现在是68 两，那么有(80−68)÷(16−10) = 2(斤) 是今制（十进制），
那么5−2 = 3（斤）是古制．那么这批货物是3×600+2×500 = 2800（克）。
8. 259
442
697
1036
【解析】（a）(2014)5 =
(
2×53 +0×52 +1×51 +4×50)
10 = (259)10；
（b）(2014)6 =
(
2×63 +0×62 +1×61 +4×60)
10 = (442)10；
（c）(2014)7 =
(
2×73 +0×72 +1×71 +4×70)
10 = (697)10；
（d）(2014)8 =
(
2×83 +0×82 +1×81 +4×80)
10 = (1036)10。
9. 10000
【解析】八进制加法，注意要“逢八进一”。(1234+6544)8 = (10000)8。
10. 见解析
【解析】方法一：1，2，4，5 张卡片中第一个数字分别是1，2，8，16．1+2+8+16 = 27。
所以简单方法是：在第几张中出现，就将这几张中的第一个数加起来，得到的数就是你要的数。
方法二：把卡片中的十进制数转换成二进制数，就可以发现秘密。(27)10 = (11011)2，
一个数在第1，2，4，5 张卡片上，则该数的二进制数为11011，转换成十进制数为27。
11. 6
【解析】利用尾数分析来解决这个问题:
由于(4)10 ×(3)10 = (12)10，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12 全部进到上一位。
所以说进位制n 为12 的约数，也就是12，6，4，3，2 中的一个。
但是式子中出现了4，所以n 要比4 大，不可能是4，3，2 进制。
51
另外，由于(4)10 ×(13)10 = (52)10，因为52 < 100，也就是说不到10 就已经进位，才能是100，于是知
道n < 10，那么n 不能是12。
所以，n 只能是6。
12. (11.101)2
【解析】整数部分化成(11)2
小数部分乘2 取整法
所以最后结果为(11.101)2。
13. 11000
11111011101
【解析】用“除2 倒取余数法”：
（1）
2|24 ······余数0
2|12 ······余数0
2|6 ······余数0
2|3 ······余数1
2|1 ······余数1
0
(24)10 = (11000)2
52
（2）
2|2013 ······1
2|1006 ······0
2|503 ······1
2|251 ······1
2|125 ······1
2|62 ······0
2|31 ······1
2|15 ······1
2|7 ······1
2|3 ······1
2|1 ······1
0
所以：(2013)10 = (11111011101)2。
14. 22
【解析】和的个位为9，不会发生进位y+w = 9，十位明显进位x+z = 13，所以x+y+z+w = 22。
15. 666
【解析】(12)7 = 9，(53)7 = 38，9×38 = 342，342 = (666)7。
16. 108
【解析】因为
(
adc
)
5 −
(
adx
)
5 = 1，所以c−x = 1。又
(
aab
)
5 −
(
adx
)
5 = 1，则(5a+b)−(5d +c) = 1，
即5(a−d)+b−c = 1。
由于a、b、c、d 都是0 至4 之间的数，从而可以推知a−d ⩾1。经试验，得c = 4，x = 3，b = 0，d = 1，
a = 2。
于是有
(
cdx
)
5 = (413)5 = 4×52 +1×5+3 = 108。
17. 248
【解析】首先还原为十进制：(abc)7 = a×72 +b×7+c = 49a+7b+c；
(cba)9 = c×92 +b×9+a = 81c+9b+a。
53
于是49a+7b+c = 81c+9b+a；得到48a = 80c+2b，即24a = 40c+b。
因为24a 是8 的倍数，40c 也是8 的倍数，所以b 也应该是8 的倍数，于是b = 0 或8。
但是在7 进制下，不可能有8 这个数字。于是b = 0，24a = 40c，则3a = 5c。
所以a 为5 的倍数，c 为3 的倍数。
所以，a = 0 或5，但是，首位不可以是0，于是a = 5，c = 3；
所以(abc)7 = (503)7 = 5×49+3 = 248。
于是，这个三位数在十进制中为248。
18. 305 或350 或503 或530
【解析】将41 转换为二进制数，(41)10 = (101001)2，即41 = 25 +23 +20；所以三位数xyz = 305 或
350 或503 或530。
19. 37
【解析】因为1 = 1、2 = 21、3 = 21 +1、4 = 22、5 = 22 +1；从右到左第1、2、3、4、5、6 个灯对应1、21、
22、23、24、25，即二进制中从右到左第1、2、3、4、5、6 位；灯泡亮表示该位为1，灯泡不亮表示该位
为0，(100101)2 =
(
1×25 +0×24 +0×23 +1×22 +0×21 +1×1
)
10 = (37)10，所以
表示
的数是37。
20. 182
【解析】(147)10 = (77)20，(49)10 = (29)20，所以ha 代表十位，ugens 代表个位，seyth 代表7 ，dew 代
表9，naw 代表2.(92)20 = (182)10，所以答案是182。
第2 讲
格点与割补
1. 12
【解析】通过割补，计算得到阴影部分面积和12 个方格面积相等，所以面积是12。
54
2. 10
【解析】方法一：利用割补，将三角形ABC 分割成四个三角形，
易得S△DEF = 1，S△ACD = 2，S△AEB = 3，S△FBC = 4，所以S△ABC = 1+2+3+4 = 10。
方法二：利用毕克定理，N：4 个，L：4 个，所以S△ABC =
4+ 4
2 −1
×2 = 10。
3. 25
【解析】阴影部分中，N = 9、L = 9，S阴影= 9 + 9
2 −1 = 12.5 面积单位；S正方形格纸= 62 = 36 面积单
位；所以阴影部分的面积S阴影= 12.5
36 ×72 = 25（平方厘米）。
4. 14
【解析】18−2−2 = 14（平方厘米）。
5. 13
【解析】如下图分割，阴影部分占了13 个小等边三角形，所以阴影部分的面积是13。
6. 6
6
13
【解析】（1）0×2+8−2 = 6（平方厘米）
（2）2×2+4−2 = 6（平方厘米）
（3）4×2+7−2 = 13（平方厘米）
55
7. D
【解析】如图X、Y、Z 中，阴影均占正六边形的二分之一，所以X 等于Y，也等于Z，选D。
8. 19
【解析】∵N = 3；L = 15，∴S = (N +L÷2−1)×2 = (3+15÷2−1)×2 = 19。
9. 21
【解析】方法一：利用割补，图中长方形的面积是2 × 6 = 12，左边三角形我们可以把它包含在一个
4 × 4 的方阵中如下左图，用总面积减去其他三角形的面积，所以左边三角形面积是4 × 4 −3 × 4 ÷
2−1×2÷2−2×4÷2 = 5，右边三角形同理包含在一个4×5 的长方形中，所以右边三角形的面积
是4×5−(1+5)×4÷2−4×1÷2−4×1÷2 = 4，所以礼盒的总面积是12+5+4 = 21。
方法二：利用毕克定理，长方形面积：N = 5（个），L = 16（个），S1 = 5+16÷2−1 = 12；
左侧三角形面积：N = 4（个），L = 4（个），S2 = 4+4÷2−1 = 5；
右侧三角形面积：N = 2（个），L = 6（个），S3 = 2+6÷2−1 = 4。
因此总面积为：12+5+4 = 21。
10. 22
【解析】（割补法）如图所示，S小屋= S正方形+S平行四边形+S三角形+S长方形，S小屋= 22 +2×1+
4×2
2
+4×3 = 22 面积单位；
（毕克定理）“小屋”中，N = 12、L = 22，S小屋= 12+ 22
2 −1 = 22 面积单位。
56
11. 7.5
6.5
18
【解析】（1）4+9÷2−1 = 7.5（平方厘米）
（2）3+9÷2−1 = 6.5（平方厘米）
（3）4×2+12−2 = 18（平方厘米）。
12. 2
【解析】将正六边形分割为6 个正三角形，每个正三角形面积为1 平方厘米，对于三角形ABC 用毕
克定理知：N = 0，L = 4，则S =
(
0+ 4
2 −1
)
×2 = 2（平方厘米）。
13. 19
【解析】块状部分与线状部分之间的部分称为D，则D 与前者共14 个方格，与后者共17 个方格，
因此每个方格的面积是(7.4−5.12) ÷ (17−14) = 0.76（cm2），所以大正方形面积是25 × 0.76 = 19
（cm2）。
14. 30
【解析】如图所示，七边形ABCDEFG 中，N = 17、L = 8，
SABCDEFG = 2N +L−2 = 17×2+8−2 = 40 面积单位；
五边形HIJKL 中，N = 2、L = 6，SHIJKL = 2N +L−2 = 2×2+6−2 = 8 面积单位；
三角形MNO 中，N = 0、L = 4，S△MNO = 2N +L−2 = 0×2+4−2 = 2 面积单位；
所以S阴影= SABCDEFG −SHIJKL −S△MNO = 40−8−2 = 30 面积单位。
15. 50
【解析】阴影部分有42 个内部格点，有18 个边界格点，根据毕克公式可知阴影部分面积为42 +
18÷2−1 = 50。
57
16. 相等
【解析】I 的面积为：1
2 ×2×1+ 1
2 ×1×1+ 1
2 ×3×1 = 3，II 的面积也为3。
所以两块阴影部分的面积相等，均为3。
17. 5366 个
【解析】先考虑平行四边形有两条边在框线上的情况，也就是长方形，1×6 的有5×10 个，2×3 的
有8×9 个，3×2 的有9×8 个，6×1 的有10×5 个，一共244 个。
再考虑只有一条边在框线上的情况，排除长方形，边长为1 的有9×10×5×2 = 900（个）；
边长为2 的有8×8×9×2 = 1152（个）；
边长为3 的有7×8×9×2 = 1008（个）；
边长为6 的有5×4×10×2 = 400（个）；
没有一条边在框线上，若它的对角线在框线上，对角线长度为1 时不可能，
对角线长度为2 时，左右两边点距离为3，一共2×5×(1+3+5+7+9+7+5+3+1) = 410（个）
对角线长度为3 时，左右两边点距离为2，一共2×7×(2+4+6+8+8+6+4+2) = 560（个）
对角线长度为6 时，左右两边点距离为1，一共2×9×(5+7+9+7+5) = 594（个）
若对角线不在框线上，只能是边长分别为
√
2 和3
√
2。一共2×(1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1) =
98（个）；
一共是5366 个。
18. 16
【解析】如图将正方形等分为32 个小等腰直角三角形，阴影为两个等腰直角三角形，所以正方形面
积是阴影的16 倍。
58
19. 24
【解析】如图作辅助线，将原图分割成正三角形格点的形式，易知正三角形共含16 个小正三角形，
阴影三角形共含4 个小正三角形，故阴影三角形面积为96÷16×4 = 24。
20. 15
【解析】如图作辅助线，将原图分割成正三角形格点的形式，易知正三角形共含16 个小正三角形。
方法一：阴影三角形共含5 个小正三角形，故阴影三角形面积为48÷16×5 = 15。
方法二：每个小正三角形的面积为48÷16 = 3，根据毕克定理，(2+3÷2−1)×2×3 = 15。
第3 讲
容斥原理（一）
1. 14
【解析】先求出参加乒乓球比赛，篮球比赛和两项都不参加的一共：26+21+17 = 64（人），这样比
总人数多计算出两项都参加的人数，所以减去总人数就是两项都参加的人数：64−50 = 14（人）。
2. 12
【解析】因为具有连续性所以题目变得简单了。我们只要看最小的2 个：60 和52。最小重复数应该
是60+52−100 = 12。因为75 个故事不管从哪个部分开始读都会包含这12 个故事，所以答案就是
12。
59
3. 56
【解析】210 含有120 所有的质因子2，3，5，互质的数满足分别除以2，3，5，余数均不为0，
210×
(
1−1
2
)
×
(
1−1
3
)
×
(
1−1
5
)
= 56（个），共56 个。
4. 137
【解析】由题意得，55+53+79−18−17−25+10 = 137（人）。
5. 20
【解析】根据题意可知只能爬树的有63−15−12−9−6−5+2+2 = 20（只）。
6. 36
【解析】①100÷6 = 16···4，6 厘米的刻度共16 个，
100÷7 = 14···2，7 的刻度共14 个，
100÷8 = 12···4，8 厘米的刻度共12 个，
②6×7 = 42 厘米的刻度共2 个，6、8 最小公倍数24 厘米的刻度共4 个，8×7 = 56 厘米的刻度共1
个，
所以总共不重复的刻度为:16+14+12−(2+4+1) = 35(个)
即总共可截成36 段木棍。
7. 57
【解析】焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长:23 + 37 −3 = 57(厘
米)。
8. 15
【解析】解法一: 有34 人穿黑裤子，那么穿蓝裤子的有60 −34 = 26 人，有12 人穿白上衣蓝裤子，
说明还有26−12 = 14 人是穿黑上衣蓝裤子，有29 人穿黑上衣，那么，有29−14 = 15 人穿黑上衣
黑裤子.
解法二:34 人穿黑裤子中，则穿白色或黑色上衣.29 人穿黑上衣，则穿黑色或蓝色裤子. 再加上
12 人穿白色上衣蓝裤子，则比总人数多加了穿黑上衣黑裤子的人数. 所以穿黑上衣黑裤子的人数
为:(12+34+29)−60 = 15(人)
60
9. 69
【解析】至少有多少人及格和至多有多少人不及格相同，若想使不及格的人数最多，则使通过2 门
课的人数最多即可，没有通过课的人次为9 + 13 + 17 + 26 + 29 = 94，则没有通过3 门的人最多为
94÷3 = 31...1，即31 人，则至少有100−31 = 69 人及格。
下面的情况满足31 人不及格。
10. 33
【解析】这9 个数的和:11+12+13+21+22+23+31+32+33 = (10+20+30)×3+(1+2+3)×3 =
198
由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9 个数全部都取到了，且有一个数
取了两遍。所以他们取的数的总和比这9 个数的和多出来的部分就是所求的数。那么，这个数是
120+111−198 = 33。
11. 10040
【解析】有10 个交点部分的红色点是公用点，因此五角星上红色点最少有2010 × 5 −10 = 10040
（个）。
12. L
72
【解析】红记号个数：7 个，红点间距：L
8；
蓝记号个数：11 个，蓝点间距：L
12；
黑记号个数：17 个，黑点间距：L
18；
红蓝线重合点间距：
[L
8, L
12
]
= L
4，红蓝重合线条数：4−1 = 3；
红黑线重合点间距：
[L
8, L
18
]
= L
2，红黑重合线条数：2−1 = 1；
蓝黑线重合点间距：
[ L
12, L
18
]
= L
6，蓝黑重合线条数：6−1 = 5；
61
红蓝黑线三者重合点间距
[L
8, L
12, L
18
]
= L
2，点数2−1 = 1。
∴共有线：7+11+17−3−1−5+1 = 27（条）
∴能切成27+1 = 28（段）。
[8,12,18] = 72
即红蓝黑每段分别长9
72L，6
72L，4
72L，可以找出某两条线之间距离1
72L，再短的就没有了。
∴最短的一段长L
72。
13. 23
【解析】没有重合的阴影部分相差：（长方形面积−空白部分面积）−（正方形面积−空白部分面
积）= 长方形面积−正方形面积。即：8×6−5×5 = 23（平方厘米）。
14. 107
【解析】在1 ∼200 这些数中，是3 的倍数的有[200÷3] = 66（个），是5 的倍数的有[200÷5] = 40
（个），是15 的倍数的有[200÷15] = 13（个），所以既不是3 的倍数，又不是5 的倍数的有
200−(66+40−13) = 107（个）。
15. 36
【解析】设一共设置了m+1 个饮水站，起点为第0 个饮水站和第0 个医疗站。下面按照跑步方向
对饮水站和医疗站编号。若全程长L 千米，则第k 号饮水站距离起点kL
m 千米；第l 号医疗站距离
起点lL
15 千米。若这两个站在同一位置，则有kL
m = lL
15，k = ml
15。
令(m，15) = d，m = ad，15 = bd，(a，b) = 1，则k = l a
b，
l，k 都是整数，所以l = b，2b，···，db = 15 共有d 个值，即除了起点外还有d 个医疗站与饮水站重合
（包括终点）
由容斥原理，46 = m+1+16−(d +1)，
d 是15 的约数，所以d = 1，3，5，15。
d = 1 是15 的约数，所以d = 1，除了起点和终点外，没有其他的医疗站与饮水站重合，与题意不符；
d = 15 所有的医疗站和饮水站重合，也与题意不符，
d = 3，m = 33 经过验算，满足要求，即一共设置了34 个饮水站；
d = 5，m = 35 经过验算，满足要求，即一共设置了36 个饮水站。
答：最多有36 个饮水站。
62
16. 27
【解析】一共有29+28+27−13−12−11+5 = 53（名）学员；
其中至少报两个科目学习的学员有13+12+11−5×2 = 26（名）学员；
只参加一科学习的学员有53−26 = 27（名）。
17. 见解析
【解析】每个人至多和1990−1327 = 663（个）人没合作过，三个人如果没合作的都不重合，一共就
是3×663 = 1989（个）人，而1990−1989 = 1，所以至少有1 个人与他们三个都合作过。
18. 40
【解析】由题意得，文氏图如下图所示：
可得：
a+d +c = 1
5 ×10 = 2
a+d +b = 1
5 ×20 = 4
a+b+c = 1
5 ×15 = 3
，得
b−c = 4−2 = 2
b−d = 3−2 = 1
；并且b ⩽3；
若b = 3，则a+c = 0，即d = 2，那么a+d +b = 3+2+0 = 5 > 4，矛盾。
所以b = 2；a+c = 1，d = 2−(a+c) = 2−1 = 1，a = 4−(b+d) = 4−(2+1) = 1，c = 0，
所以由容斥原理得：一共有10+15+20−2−1−0−1×2 = 40（人）参加比赛。
19. 15
【解析】利用容斥原理S阴影= S扇形EAB +S扇形BCF −S长方形ABCD = 1
4π ×62 + 1
4π ×42 −4×6 = 15(平
方厘米)
20. 15
【解析】为了恰好被3 个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花和一个
人浇过的花数量都要尽量多，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是30 盆，那么接下来
63
就变成乙浇了45 盆，丙浇了50 盆，丁浇60 盆了，这时共有100 −30 = 70 盆花，我们要让这
70 盆中恰好被3 个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了，恰好被3 个人浇过的花最少有
45+50+60−140 = 15 盆。
第4 讲
方案类问题
1. 见解析
【解析】大家共有36 张卡片，所以平均每人9 张，东东给琳琳8 张，飞飞给盛盛琳琳各1 张即可。
2. 3
见解析
【解析】因为这只平底锅上可煎两只饼，如果只煎1 个饼，显然需要2 分钟; 如果煎2 个饼，仍然需
要2 分钟; 如果煎3 个饼，所以容易想到: 先把两饼一起煎，需2 分钟; 再煎第3 只，仍需2 分钟，共
需4 分钟，但这不是最省时间的办法。最优方法应该是: 首先煎第1 号、第2 号饼的正面用1 分钟;
其次煎第1 号饼的反面及第3 号饼的正面又用1 分钟; 最后煎第2 号、第3 号饼的反面再用1 分
钟; 这样总共只用3 分钟就煎好了3 个饼。(因为每只饼都有正反两面，3 只饼共6 面，1 分钟可煎2
面，煎6 面只需3 钟。)
3. 1470
【解析】按照时间从小到大的顺序排列，8，12，12，13，14，15，20，令其依次维修，则分配方案如下：
工人一：8，13，20
工人二：12，14
工人三：12，15
等待的总时间为：(20 + 14 + 15) × 1 + (12 + 12 + 13) × 2 + 8 × 3 = 147（分钟）。从而最小的损失为
147×10 = 1470（元）。
4. 小鹿
小马
小河马
小牛
34
【解析】第一个人接水时，包括他本人在内，共有4 个人等候；第二个人接水时，有3 个人等候；···；
第4 个人接水时，只有他1 个人等候。可见，等候的人越多（一开始时），接水时间应当越短，这
样总的等候时间才会最少，因此，应当把接水时间按从少到多顺序排列等候接水，这个最短时间是
2×4+3×3+2×5+7 = 34（分钟）。
64
5. 见解析
【解析】各自打气的时间是固定的，为使等候的时间尽量少，则应该给占用时间少的车先打气，因此
打气的先后顺序是自行车、板车、三轮车，板车的等候时间是4 分钟，三轮车的等候时间是4+5 = 9
（分钟）；因此时间最少为4+5+7+4+9 = 29（分钟）。
6. 128
【解析】一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理。甲
先给需10 分钟的人理发，然后15 分钟的，最后24 分钟的；乙先给需12 分钟的人理发，然后20 分
钟的。甲给需10 分钟的人理发时，有2 人等待，占用三人的时间和为(10×3) 分钟；然后，甲给需15
分钟的人理发，有1 人等待，占用两人的时间和为(15×2) 分钟；最后，甲给需24 分钟的人理发，无
人等待。甲理发的三个人，共用(10×3+15×2+24) 分钟，乙理发的两个人，共用(12×2+20) 分
钟。总的占用时间为(10×3+15×2+24)+(12×2+20) = 128（分钟）。
7. 1008
【解析】本题有2015 = 2×1007+1（奇数）个人，因此集合地点应选在从某一端数起第1008 个岗
位处。
8. 18
【解析】①1 分钟和3 分钟的先过去，用3 分钟，然后1 分钟的带灯回来，用1 分钟；
②6 分钟和8 分钟的过去，用8 分钟，然后3 分钟的带灯回来，用3 分钟；
③1 分钟和3 分钟的过去，用3 分钟。
共3+1+8+3+3 = 18（分钟）。
9. 15
【解析】根据题干分析可得，烧开水10 分钟，可以同时买早点，叠被，节约10 分钟；煮牛奶需要5 分
钟，同时可以擦桌、灌开水，节约3 分钟，这样的安排最合理，最少时间是10+5 = 15（分钟）。
10. C
【解析】依据“小往大靠”，
“支往干靠”的原则。我们不妨以F −E −C −D 为干，显然麦场设在C 点
运输量最少。以其它路径为干，也会得到同样结果。譬如：若以F −E −C −A 为干，那么依据“支往
干靠”，D 就靠到C，B 移到G，当作“干”上一成员，同样麦场设在C 点运输量最少。
65
11. 63
【解析】先将两块饼同时放入锅内一起烙，3 分钟后两块饼都熟了一面，这时取出一块，第二块翻
个身，再放入第三块，又烙了3 分钟，第二块已烙熟取出，第三块翻个身，再将第一块放入烙另一
面，再烙3 分钟，锅内的两块饼均已烙熟。这样烙3 块饼，用去9 分钟，所以烙21 块饼，至少用
21÷3×9 = 63(分钟)。
12. 1991
【解析】按照时间从小到大的顺序排列，8,12,14,17,18,23,30，类比依次接水的顺序，举一种分配方
案如下（只要保证最长的三个时间在不同组，除8 以外的剩下三个数在三个不同组，最后8 在哪个
组都可以）：
工人一：8,17,30
工人二：12,18
工人三：14,23
等待的总时间为：(30+18+23)×1+(17+12+14)×2+8×3 = 181 分钟。
从而最小的损失为181×11 = 1991 元。
13. 4
3
【解析】如表可知最佳方案是③，所以3.9 厘米和6.9 厘米的木料各锯4 段和3 段，才能使浪费最
少。
14. 见解析
【解析】首先姐姐跟弟弟一起过桥，用时3 分钟，姐姐再回去送油灯，用时3 分钟，老爷爷跟爸爸一
起过桥，用时12 分钟，弟弟将灯送回去，用时1 分钟，弟弟和母亲一起过桥，用时6 分钟，弟弟过桥
送灯，用时1 分钟，最后与姐姐一起过桥，用时3 分钟。一共用时：3+3+12+1+6+1+3 = 29（分
钟），最后能够安全地全部过桥。
15. 8
【解析】第一步：小强与小明一起过桥，并由小强带手电筒返回，共用：1.5+1 = 2.5（分钟）；
第二步：返回原地的小红与小蓉过桥后再由小明带手电筒返回，共用了2.5+1.5 = 4（分钟）；
66
第三步：最后小强与小明一起过桥用了1.5 分钟；
所以，4 个人都通过小木桥，最少用2.5+4+1.5 = 8（分钟）。
16. 12800
【解析】运往杭州或西安都是洛阳更便宜，但和北京相比，运往西安时相对便宜得更多，所以洛阳的
机器要尽量运往西安，北京的机器尽量运往杭州。配送方案如下：
洛阳的4 台全部运往西安，北京的12 台中8 台运往杭州，4 台运往西安。运输总费用为：
600×4+800×8+1000×4 = 12800（元）。
17. 150
【解析】如图所示，
“小往大处靠”的原则来解决，故应建在4 号楼的位置，距1 号楼150 米处。
18. 17
【解析】从C 点传出的信息，C −→E −→B 线路最多传递7 个信息量，C −→D −→B 线路最多传
递6 个信息量，C −→D −→F −→B 线路最多传递4 个信息量,7+6+4 = 17
19. 见解析
【解析】走四段路，从A 到B 分别走20 分钟、10 分钟、15 分钟、15 分钟，最短需要走60 分钟。
20. 790
【解析】最短的距离走法是A →B →C →X →D →E →T →F →N，共走了790 千米。
67
第5 讲
流水行船
1. 35
【解析】(法1) 水流的时间= 甲乙两地间的距离÷ 水速，而此题并未告诉我们“甲乙两地间距离”，
且根据已知，顺水时间及逆水时间也无法求出，而它又是解决此题顺水速度、逆水速度和水速的关
键。将甲、乙两地距离看成单位“1”，则顺水每天走全程的1
5，逆水每天走全程的1
7。
水速=(顺水速度−逆水速度)÷2 = 1
35，所以水从甲地流到乙地需:1÷ 1
35 = 35(天)。
当然，我们还可以把甲乙两地的距离设成其他方便计算的数字，这其实就是特殊值代入法！
(法2) 用方程思路，5×(船速+ 水速)= 7×(船速−水速)，即船速= 6× 水速，所以轮船顺流行5 天的
路程等于水流5+6×5 = 35(天) 的路程，即木筏从A 城漂到B 城需35 天。
(法3) 逆水比顺水多2 天到达，即船要多行驶2 天，为什么会多2 天呢，因为顺水时得到了5 天的水
速帮助，逆水时又要去克服7 天的水速，这一切都是靠2 天的船速所实现的，即船速等于6 天的水
速；所以轮船顺流行5 天的路程等于水流5+5×6 = 35(天) 的路程，即木筏从A 城漂到B 城需35 天。
2. 4
2
【解析】方法1：两次航行顺流的路程差：33−24 = 9（千米），逆流的路程差：14−11 = 3（千米），也
就是说顺流航行9 千米所用的时间和逆流航行3 千米所用时间相同，那么顺流航行33 千米与逆流
航行33 ÷ 3 = 11（千米）时间相同，则逆流速度：(11+11) ÷ 11 = 2（千米/时），同样可得顺流速度
为：(24+14×3)÷11 = 6（千米/时），静水速度：(6+2)÷2 = 4（千米/时），水流速度：(6−2)÷2 = 2
（千米/时）。
方法2：根据顺流航行9 千米所用的时间和逆流航行3 千米所用时间相同，9 千米= 顺流速度× 时
间= 逆流速度×3 倍的时间，可得：顺流速度= 3× 逆流速度，而后仿照方法1 部分思路解答。
3. 17.5
【解析】方程解法：设轮船在静水中的速度为x 千米/时，则有6(x+2.5) = 8(x−2.5)，解得x = 17.5。
4. 240
【解析】方法一：由题意可知，
（船速+3）×8 =（船速−3）×10，可得船速= 27 千米/时，两码头之
间的距离为(27+3)×8 = 240（千米）。
方法二：由于轮船顺水航行和逆水航行的路程相同，它们用的时间比为8 : 10，那么时间小的速度
大，因此顺水速度和逆水速度比就是10 : 8。设顺水速度为10 份，逆水速度为8 份，则水流速度为
(10−8)÷2 = 1（份），恰好是3 千米/时，所以顺水速度是10×3 = 30（千米/时），所以两码头间的
距离为30×8 = 240（千米）。
68
5. 112
【解析】两港口间的距离= 顺水速度× 顺水时间=(船速+ 水速)× 顺水时间=(船速+6)×4；
两港口间的距离= 逆水速度× 逆水时间=(船速−6)×7；
所以可得:(船速+6)×4 =(船速−6)×7，解得: 船速= 22，
可得两港口间的距离为:(22+6)×4 = (22−6)×7 = 112(千米)。
6. 48
【解析】在两船的船速相同的情况下，一船顺水，一船逆水，它们的航程差是什么造成的呢？不妨设
甲船顺水，乙船逆水，甲船的顺水速度= 船速+ 水速，乙船的逆水速度= 船速−水速，
故：速度差=（船速+ 水速）−（船速−水速）= 2 倍水速，即每小时甲船比乙船多走6 × 2 = 12
（千米）。
4 小时的距离差为12×4 = 48（千米）。
7. 3
【解析】设水速为x 千米/时，则正常时逆水速度为(36−2x) 千米/时，水速变为原来2 倍时，逆水速
度为(36−3x) 千米/时，由已知可得540÷(36−2x) = (540−54)÷(36−3x)，解得x = 3，因此正常水
速为3 千米/时。
8. 12
【解析】由于两次航行的时间不相等，可取两次时间的最小公倍数，等价地化为相等时间的两次航
行。将题目进行改编可以得到:“一艘轮船顺流航行80×16 = 1280 千米，逆流航行48×16 = 768 千米
共用11×16 = 176 小时；顺流航行64×11 = 704 千米，逆流航行96×11 = 1056 千米共用16×11 =
176 小时。”也就是说，顺流航行576 千米所用的时间和逆流航行288 千米所用时间相同，即顺流航
行2 千米所用的时间和逆流航行1 千米所用时间相同。所以顺水速度为:(80+48×2)÷11 = 16(千
米/ 时)，逆水速度为:16÷2 = 8(千米/ 时)，轮船速度为:(16+8)÷2 = 12(千米/ 时)。
9. 18
14
【解析】两船的速度和= 64÷2 = 32（千米/时），两船的速度差= 64÷16 = 4（千米/时）。根据和差
问题，可以分别求出甲、乙两船的速度分别为18 千米/时和14 千米/时。
69
10. 24
20
【解析】相向而行时的速度和等于两船在静水中的速度之和，同向而行时的速度差等于两船在静水
中的速度之差，所以，两船在静水中的速度之和为：220÷5 = 44(千米/时)，两船在静水中的速度之差
为：220÷55 = 4(千米/时)，甲船在静水中的速度为：(44+4)÷2 = 24(千米/时)，乙船在静水中的速度
为：(44−4)÷2 = 20(千米/时)。
11. 8
【解析】假设AB 两地相距120, 轮船顺流速度为20，逆流速度为10，那么水速为5，船速为15，那么
相遇时间为120÷15 = 8 天
12. 240000
【解析】当下行的船速每分钟增加30 米，相遇的地点就偏离原地点6000 米，可知两船相遇的时间
为6000÷30 = 200(分钟)。由此可知，A、B 两地的路长为(600+600)×200 = 240000(米)。
13. 112
【解析】
令AC = S1，CB = S2，S1
30+2 −
S2
30−2 = 0.5①，S1
30−2 −
S2
30+2 = 1②
①−②，得S1 +S2 = 112(千米)。
14. 192
【解析】设A 地和B 地之间的距离为x 千米，船速为y 千米/时，由已知可得当两船速度都变
为原来的1.5 倍时，相遇时间变为4 小时，可得水速为4 ÷ (6 −4) = 2（千米/时），可得方程
x = 6×(y+2+y−2)，x = 16×(y−4) 解得x = 192,y = 16，因此两地之间的距离为192 千米。
15. 47
【解析】该人丢失水壶后继续逆流而上47 分钟，追及时间= 47 分钟。
70
16. 72
90
【解析】甲出发时，乙已出发(12−3)×2 = 18km 所以甲追乙用时:18÷(15−12) = 6h 甲追上乙时，
甲已离开A 港(15−3)×6 = 72km；
甲到B 港时用时:180 ÷ (15−3) = 180 ÷ 12 = 15h，此时乙离开A 港:135km × (12−3) × (15+2) =
153km，此时甲、乙相距距离:180−153 = 27km，还需:27÷(15+12) = 1h 相遇，此时乙又前行:9×1 =
9km，所以两次相遇地点相距:153+9−72 = 90km。
17. 15
【解析】此题可以分为几个阶段来考虑。第一个阶段是一个追及问题。在货船追上游船的过程中，两
者的追及距离是15 千米，共用了5 小时，故两者的速度差是15 ÷5 = 3(千米/ 小时)。由于两者都
是顺水航行，故在静水中两者的速度差也是3 千米。在紧接着的1 个小时中，货船开始领先游船，两
者最后相距3×1 = 3 千米。这时货船上的东西落入水中，6 分钟后货船上的人才发现。此时货船离
落在水中的东西的距离已经是货船的静水速度× 1
10 千米，从此时算起，到货船和落入水中的物体相
遇，又是一个相遇问题，两者的速度之和刚好等于货船的静水速度，所以这段时间是货船的静水速度
× 1
10÷ 货船的静水速度= 1
10 小时。按题意，此时也刚好遇上追上来的游船。货船开始回追物体时，
货船和游船刚好相距3 + 3 × 1
10 = 33
10(千米)，两者到相遇共用了1
10 小时，两者的速度和是每小时
33
10 ÷ 1
10 = 33(千米)，这与它们两者在静水中的速度和相等。又已知在静水中货船比游船每小时快3
千米，故游船的速度为每小时(33−3)÷2 = 15(千米)。
18. 48
【解析】顺流速度比逆流速度多1 倍，那么逆流速度为水速的2 倍。
逆流速度:3×2 = 6(千米/ 小时)；
顺流速度:6×2 = 12(千米/ 小时)；
从A −B 航行时间为:24 ÷ 12 = 2(小时)；剩下路程所用的时间:8 −2 = 6(小时)；因为:BC = 顺水速
度× 顺水时间= 逆水速度× 逆水时间，所以，逆水航行的时间= 2× 顺水航行的时间，那么顺水
航行BC 这段路程用时间:[6÷(2+1)]×1 = 2(小时)，BC = 2×12 = 24(千米)，AC = 24+24 = 48(千米)。
71
19. 48
1 4
11
【解析】V乙静−V甲静= 90÷3 = 30（千米/时），所以V乙静= 30+18 = 48（千米/时），第二天相遇时
间：t相遇= 90÷(48+18) = 1 4
11（小时）。
20. 5 : 1
10
1.5
【解析】(1) 从张勇老师12 点开始继续航行，14 点追上草帽返航，可知这段时间他航行了2 个小时，
接下来返航从14 点到17 点回到A 港，可知他走了3 小时，两段路程相同，时间比是2 : 3，所以顺水
速度: 逆水速度= 3 : 2，不妨设顺水速度为”3”份，则逆水速度为“2”份，由公式: 顺水速度= 静水
速度+ 水速，逆水速度= 静水速度−水速，可得水速为“0.5”份，船的静水速度是“2.5“份，所以静
水速度和水速的比是5 : 1。
(2) 不妨设船的顺水速度是6 份/ 时，水流速度是1 份/ 时，那么船从A 港出发2 个小时后追上草
帽，相当于知道了速度差(5 份/时)，追及时间(2 小时)，那么路程差是10 份，以草帽1 份/ 时的速
度，若想走10 份的路程需10 小时，所以张勇老师在A 港停泊了10 小时。
(3)(方法同上) 设船的顺水速度是6 份/ 时，水流速度是1 份/ 时，那么船从A 港出发1 个小时后追
上空葫芦，相当于知道了速度差是5 份/ 时，追及时间是1 小时，那么路程差是5 份，以空葫芦1 份
/ 时的速度可知若想产生5 份的路程需5 小时，又由于张勇老师在A 港停泊了10 小时，可知张勇
老师到达A 港时酒葫芦还有5 小时才能到达A 港，也就是此时张勇老师与酒葫芦有5 份的路程差，
由这个条件可以求出张勇老师是在到达A 港前1 小时丢的宝石和葫芦，即宝石在距A 港6 份路程
的上游处，因为逆水速度是4 份/ 时，所以张勇再向上游行1.5 小时就能到达宝石丢失点。
第6 讲
长方形数表
1.（1）见解析
【解析】日历数表规律是7 天一循环，同一行相邻两个自然数之间差1；同一列相邻两数之差为7。
等差数列中项公式，中间项是42÷3 = 14，横行上是13、14、15 这三个日期。
（2）见解析
【解析】日历数表规律是7 天一循环，同一行相邻两个自然数之间差1；同一列相邻两数之差为7；
同问题（1），竖列是7、14、21。
72
2. 9
【解析】用2×3(2 行，3 列) 的长方形框出的6 个数中，第二行中的数比第一行同一列的数大7，且
同一行的3 个数相邻，则长方形框出的6 个数中，最小的数是第一行第一列中的数，不妨设为x，x
须满足x+(x+1)+(x+2)+(x+7)+(x+1+7)+(x+2+7) = 81
解得x = 9。即这6 个数中最小的是9。
3.（1）22、23、24
【解析】日历数表规律是7 天一循环，同一行相邻两个自然数之间差1；同一列相邻两数之差为7；
等差数列中项公式，中间项是69÷3 = 23，横行上是22、23、24 这三个日期。
（2）16、23、30
【解析】日历数表规律是7 天一循环，同一行相邻两个自然数之间差1；同一列相邻两数之差为7；
竖列是16、23、30。
4. 399
【解析】可得第n 行第m 个数的表达式为X = 4×(n−1)+m
所以第100 行第3 个数为4×99+3 = 399。
5. 111
5
448
【解析】观察，知两行为一个完整周期，有9 个数，500÷9=55······5。所以500 在第111 行，第5 列；
第98 行的最后一个数为：49×9=441，所以第100 行的第2 列为：441+7=448。
6. 见解析
【解析】十字架中的5 个数的和等于中心数的5 倍，中心数只能分布在2 到7 列; 中心数为29，在
第4 行，第5 列，可以框出5 个数，最大为37，最小为21。
7.（1）15
2
【解析】由于100÷14 = 7···2，则第100 在第15 行第2 列上。
（2）138
【解析】20 行第1 列的数为:10×14 = 140，所以，第20 行第2 列的数为138。
73
8.（1）25
1
【解析】由于(100−3)÷8 = 12···1，所以100 在第25 列第1 行。
（2）81
【解析】第20 列的第一个数为:3+8×10 = 83，所以第20 列第5 行的数为81。
9. 4
502
【解析】2005÷8 = 250······5，所以第4 行第250×2+2 = 502 个
10. 2
【解析】观察数列可知，除了前5 个数之外，后面的数以8 为周期，由2008 = 5 + 8 × 250 + 3 =
8+8×250，所以2008 与8 在同一列，即2008 在左边第2 列。
11. 丙
【解析】119÷4 = 29······3，所以是给丙。
12. 31
【解析】观察这个数阵中的数的排列规律，可以发现: 每列的第二个数都是偶数，并且是每列序数
的2 倍: 每列的四个数是4 个连续自然数按从小到大的顺序排列。因此，第15 列上起第2 个数
是:2×15 = 30，第3 个数就是31。
13. 30
【解析】参看下表：
则第2 行的第7 个数为30。
74
14. 14
9
305
【解析】（1）观察可得：第1 行有1 个数，第2 行有2 个数，第3 行有3 个数，···，第n 行
有n 个数；这个数表是从1 开始的自然数排列起来的，所以100 是这个数表的第100 个数，即
1+2+3+···+13 = 91（个）数，100−91 = 9（个）数，所以100 是在第14 行左起第9 个数。
（1）同上问规律可得：(1+2+3+···+24)+5 = 305（个）数；所以第25 行左起第5 个数是305。
15. A
【解析】652÷7 = 93······1，所以在字母A 的下面。
16. 76
【解析】注意到方框中每排的三个数都为三个连续自然数，且第二排的每个数比对应第一排的数
大7，那么第二排的三个数的和比第一排的三个数的和大7 × 3 = 21，则第二排中的三个数的和为
(429+21)÷2 = 225，那么第二排中中间那个数为225÷3 = 75，所以这6 个数中最大的数为76。
17. 1
32
7
64
【解析】第n 行的中心数(也就是第n 个数) 是
1
2n−1 ，所以第6 行的中心数是
1
26−1 = 1
32，第7 行的
中心数(第7 个数) 是1
64，第8、第9 个数分别是1
32、1
16，它们的和是1
64 + 1
32 + 1
16 = 7
64．
18. 54
【解析】解：由图可知，第1 行的数为1，
第2 行的最后一个数为2×2=4，
第3 行的最后一个数为3×3=9，
··· 所以第7 行最后一个数为7×7=49，
则第8 行第1 个数为49+1 = 50，第5 个数为50+4 = 54，
故答案为：54。
19. 33
7
【解析】从数表中可以发现：用正方形框出9 个数的和是中间数的9 倍，由此可以求出框出的9 个
数之和等于2007 的中间数是2007 ÷ 9 = 223，再由用一个正方形框出的9 个数的特点即每行中相
邻的两个数差1，每列中相邻的两个数差7，由此求出223 下面的数是223+7 = 230，则最大的数是
231；最后再根据1 到1001 的数排列特点每行7 个数,231 ÷ 7 = 33，说明231 在第33 行的最后一
列，所以这个正方形里的最大数的位置是第33 行，第7 列。
75
20. 112
【解析】若土字在最左边，则其和为：2+10+11+12+20+28+29+30 = 142，而798−142 = 656。由
于土字每向下移动一格即增加72，每向右移动一格即增加8。656÷72 = 9···8。所以这个土字应从最
上方的左上角开始，先向下移动9 格，再向右移动1 格，此时8 个数中最大的是：30+9×9+1 = 112。
77
