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22
11
32
01
28
19
37
平行专题1
第
讲
1
实数进阶训练
第
讲
2
平面直角坐标系
第
讲
4
坐标系中的几何
问题
第
讲
6
漫步数与式求和
第
讲
3
平面直角坐标系中
的规律探究
第
讲
5
参考答案
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初一数学创新班随堂练习
1
第1 讲
平行专题1
第1 讲
平行专题1
1 已知，直线AB//DC，点P 为平面上一点，连接AP 与CP．
（1）如图1，点P 在直线AB、CD 之间，当∠BAP = 60◦，∠DCP = 20◦时，求∠APC．
（2）如图2，点P 在直线AB、CD 之间，∠BAP 与∠DCP 的平分线相交于点K，写出∠AKC 与∠APC
之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点P 在CD 外，∠BAP 与∠DCP 的平分线相交于点K，∠AKC 与∠APC 有何数量关系？
并说明理由．
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2
第1 讲
平行专题1
2 如图，已知直线AB//CD．
（1）在图1 中，点M 在直线AB 上，点N 在直线CD 上，∠BME、∠E、∠END 的数量关系是
．
（不需证明）
（2）如图2，若NG 平分∠CNE，MF 平分∠AMG，且∠G+ 1
2∠E = 60◦，求∠AMG 的度数．
（3）如图3，直线BM 平分∠ABE，直线DN 平分∠CDE，MB 与ND 相交于点F，求∠F : ∠E 的值．
（4）若∠ABM = 1
n∠MBE，∠CDN = 1
n∠NDE，则∠F
∠E =
．
（用含有n 的代数式表示）
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3
第1 讲
平行专题1
3 完成下列问题．
（1）已知直线AB//CD，点P 为平行线AB，CD 之间的一点．如图1，若∠ABP = 50◦，∠CDP = 60◦，BE
平分∠ABP，DE 平分∠CDP，则∠BED =
．
（2）如图2，当点P 在直线AB 的上方时，若∠ABP = α，∠CDP = β，∠ABP 和∠CDP 的平分线交于
点E1，∠ABE1 与∠CDE1 的平分线交于点E2，∠ABE2 与∠CDE2 的平分线交于点E3，···，以此类
推，求∠En 的度数．
（3）如图3，∠ABP 的平分线的反向延长线和∠CDP 的补角的平分线交于点E，试猜想∠P 与∠E 的
数量关系，并说明理由．
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4
第1 讲
平行专题1
4 如图，AB//CD，点E、F 分别在直线AB、CD 上，点M 为两平行线内部一点．
（1）如图①，∠MEB 和∠MFD 的平分线交于点N，若∠EMF = 130◦，求∠ENF 的度数．
（2）如图②，点G 为直线CD 上一点，且∠MGF = ∠EMF，延长GM 交直线AB 于点Q，点P 为MG
上一点，射线PF、EH 相交于点H，满足∠PFG = 1
3∠MFG，∠BEH = 1
3∠BEM ，设∠EMF = α，
求∠H 的度数．
（用含α 的代数式表示）
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初一数学创新班随堂练习
5
第1 讲
平行专题1
5 如图，已知AB//CD，BF 平分∠ABE，DF 平分∠CDE．得到∠2．
（1）如图1，若∠1 = 110◦，则∠ABE +∠CDE =
度，∠2 =
度．
（2）如图2，已知BG 平分∠ABF，DG 平分∠CDF，得到∠3，BH 平分∠ABG，
DH 平分∠CDG，得到∠4. 若按上述方法依次画角平分线，得到∠n．
已知∠1 = α，则∠n =
（用α 的代数式表示）．
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6
第1 讲
平行专题1
6 有一条纸带ABCD，现小慧对纸带进行了下列操作：
（1）为了检验纸带的两条边线AB 与CD 是否平行，小慧如图①所示画了直线l，后量得∠1 = ∠2，
则AB//CD，理由为
．
（2）将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图②所示，设∠1 为65◦，请求出∠α 的度数．
（3）已知这是一条长方形纸带，点E 在折线AD−DC 上运动，点F 是AB 上的动点，连EF，将纸带
沿着EF 折叠，使点A 的对应点A′ 落在DC 边上，若∠CA′F = x◦，请用含x 的代数式来表示
∠EAA′ 的度数．
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7
第1 讲
平行专题1
7 “一带一路”让中国和世界更紧密，
“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，D 两座可旋转
探照灯，假定主道路是平行的，即PQ//CN，A，B 为PQ 上两点，AD 平分∠CAB 交CN 于点D，E 为
AD 上一点，连接BE，AF 平分∠BAD 交BE 于点F．
（1）若∠C = 20◦，则∠EAP =
．
（2）作AG 交CD 于点G，且满足∠1 = 1
3∠ADC，当∠2+ 6
5∠GAF = 180◦时，试说明：AC//BE．
（3）在（1）问的条件下，探照灯A、D 照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯A 射出的光线AC 以
每秒5 度的速度逆时针转动，探照灯D 射出的光线DN 以每秒15 度的速度逆时针转动，DN 转至
射线DC 后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为t 秒，当DN 回到出发时的
位置时同时停止转动，则在转动过程中，当AC 与DN 互相平行或垂直时，请直接写出此时t 的值．
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8
第1 讲
平行专题1
8 “一带一路”让中国和世界更紧密，为了安全起见，在“中欧铁路”某段铁路两旁安置了两座可旋转探照
灯，如图1 所示，灯A 射线从AM 开始顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线从BP 开始顺时针
旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯A 转动的速度是每秒2 度，灯B 转动的速度
是每秒1 度，假定主道路是平行的，即PQ//MN，且∠BAM : ∠BAN = 2 : 1．
（1）填空：∠BAN =
◦．
（2）若灯B 射线先转动30 秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，灯A 转动几秒，两
灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A 射线到达AN 之前，两灯射出的光束交于点C，过点C 作∠ACD
交PQ 于点D，且∠ACD = 120◦，则在转动过程中，请探究∠BAC 与∠BCD 的数量关系是否发生
变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
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9
第1 讲
平行专题1
9 材料1：反射定律
如图1，当入射光线AO 照射到平面镜上时，将遵循光的反射定律，即反射角（∠BOH）等于入射角
（∠AOH），显然，这两个角的余角也相等．其中法线（OH）与平面镜MN 垂直，并且满足入射光线
（AO）、反射光线（OB）与法线在同一个平面．
材料2：平行逃逸角
对于某定角∠AOB = α（0◦< α < 90◦），P 为边OB 上一点，从点P 发出一光线PQ（射线），其角度
为∠BPQ = β（0◦< β ⩽90◦），当光线PQ 接触到边OA 或OB 时会遵循反射定律发生反射，当光线
PQ 经过n 次反射后与边OA 或OB 平行时，称角β 为定角α 的n 阶平行逃逸角，特别地，当光线
PQ 直接与OA 平行时，称角β 为定角α 的零阶平行逃逸角．
（1）如图2，若∠AOB = α = 30◦，PQ//OA，则∠BPQ =
度，即该角为α 的零阶平行逃逸
角．
（2）如图3，若∠AOB = α = 30◦，经过一次反射后的光线P1Q//OB，此时的∠BPQ 为α 的1 阶平行逃
逸角，求∠BPQ 的度数．
（3）若∠AOB = α = 30◦，且经过两次反射后的光线与OA 平行，请在图4 中补全图形，并求α 的2
阶平行逃逸角的度数．
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10
第1 讲
平行专题1
10 如图，在四边形ABCD 中，AD//BC，DE 平分∠ADB，∠BDC = ∠BCD．
（1）求证：∠1+∠2 = 90◦．
（2）若∠ABD 的平分线与CD 的延长线交于点F，∠F = 55◦，求∠ABC 的度数．
（3）若H 是BC 边上一动点，F 是BA 延长线上一点，FH 交BD 于M，FG 平分∠BFH，交DE 于N，
交BC 于G，当H 在BC 上运动时（不与点B 重合），∠BAD+∠DMH
∠DNG
的值是否变化？如果变
化，说明理由，如果不变，试求出其值．
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11
第2 讲
实数进阶训练
第2 讲
实数进阶训练
1 求证：
√
3 为无理数．
2 （1）已知2a−1 的算术平方根是3，3a+b−1 的立方根是4，c 是
√
40 的整数部分，求a+b−c 的平
方根．
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12
第2 讲
实数进阶训练
（2）已知2a−1 的平方根是±3，3a+b−9 的立方根是2，c 是
√
60 的整数部分，求a+2b+c 的平方
根．
（3）已知2a+4 的立方根是−2，3a+b−1 的算术平方根是1，
√
13 的整数部分是c，求3a+b−c 的
值．
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13
第2 讲
实数进阶训练
3 解答题
（1）一个正数的平方根是x−5 和x+1，求这个正数．
（2）已知：2m+2 的平方根是±4，3m+n+3 的立方根是3，求2m+n−1 的平方根．
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14
第2 讲
实数进阶训练
4 （1）313
81 的四次方根是
，
√
256 的四次方根是
．
（2）1
64 的六次方根是
．
5 （1）(−9)2 的四次方根是
．
（2）(−27)2 的六次方根是
．
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15
第2 讲
实数进阶训练
6 已知x+y 的负的平方根是−3，x−y 的立方根是3，求2x−5y 的四次方根．
7 先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若an = b（a > 0 且a̸ = 1，b > 0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为logab（即logab = n）．
如34 = 81，则4 叫做以3 为底81 的对数，记为log381（即log381 = 4）．
（1）计算以下各对数的值：log24 =
，log216 =
，log264 =
．
（2）观察（1）中三数4、16、64 之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264 之间又满足怎样的关系
式．
（3）猜想一般性的结论：logaM +logaN =
（a > 0 且a̸ = 1，M > 0，N > 0），并根据幂的运
算法则：am ·an = am+n 以及对数的含义证明你的猜想．
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16
第2 讲
实数进阶训练
8 （1）计算：
(1
3
)−1
−(
√
5−2)
0 =
．
（2）计算：
(1
2
)−1
−(2020−π)0 +0.254 ×44．
（3）计算：−12017 +(π −3)0 +(1
2)
−1
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17
第2 讲
实数进阶训练
9 （1）把
4√
73 化成幂的形式是
．
（2）把
5√
23 表示成幂的形式为
．
（3）把
1
7√
53 表示成幂的形式是
．
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18
第2 讲
实数进阶训练
10（1）计算：
(√
2020−1
)0 +
1−
√
3
+
(1
3
)−1
+8
1
3 ．
（2）计算：
√
8+
1−
√
2
−27
1
3 +
(1
2
)−1
．
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19
第3 讲
漫步数与式求和
第3 讲
漫步数与式求和
1 计算：32 +1
32 −1 + 52 +1
52 −1 + 72 +1
72 −1 +···+ 20152 +1
20152 −1 + 20172 +1
20172 −1 =
．
2
1
1×2×3×4 +
1
2×3×4×5 +
1
3×4×5×6 +···+
1
17×18×19×20
3 有一列数2
1，5
2，10
3 ，17
4 ······ 若[x] 表示x 的整数部分，{x} 表示x 的小数部分，这个数列的第n 项
用an 来表示，求
{2
1
}
[3
1
] +
{5
2
}
[7
2
] +
{10
3
}
[13
3
] +
{17
4
}
[21
4
] +···+
{a2017}
[a2017 +1] =
．
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20
第3 讲
漫步数与式求和
4 计算：3×5+5×7+7×9+9×11+11×13+13×15 =
5 计算：1×2×3+2×3×4+3×4×5+···+10×11×12 =
6 计算：100
97 + 100×99
97×96 + 100×99×98
97×96×95 +···+ 100×99×98×···×5×4
97×96×95×···×2×1 =
7 计算：1
2 + 1
6 + 2
15 + 2
35 + 4
77 结果为（ ）．
A. 9
10
B. 10
11
C. 6
7
D. 12
11
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21
第3 讲
漫步数与式求和
8 计算：
1
2
1+ 1
2
+
1
3
(1+ 1
2)(1+ 1
3)
+···+
1
99
(1+ 1
2)(1+ 1
3)···(1+ 1
99)
9 计算：
3
2014×2013 +
3
2013×2012 +···+
3
5×4 +
3
4×3 =
．
10 1×2+4×22 +7×23 +···+(3n+1)×2n+1 =
．
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22
第4 讲
平面直角坐标系
第4 讲
平面直角坐标系
1 图中标明了小英家附近的一些地方．以小英家为坐标原点，建立如图所示的坐标系．
（1）写出汽车站和消防站的坐标．
（2）某星期日早晨，小英同学从家里出发，沿(3,2),(3,−1),(0,−1),(−1,−2),(−3,−1) 的路线转了一
下，又回到家里，写出路上她经过的地方．
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23
第4 讲
平面直角坐标系
2 如图是中国象棋的一盘残局，如果用(2，−3) 表示“帅”的位置，用(6，4) 表示“炮”的位置，那么“将”
的位置应表示为( )
A. (6，4)
B. (4，6)
C. (1，6)
D. (6，1)
3 （1）点P(x−2，x+3) 在第一象限，则x 的取值范围是
．
（2）若点A(a+1，b−2) 在第二象限，则点B(−a，b+1) 在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
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24
第4 讲
平面直角坐标系
4 （1）在平面直角坐标系中，点(a,5) 关于原点对称的点的坐标是(1,b+1)，则点(a,b) 在第
象限．
（2）已知点A(3a+5 ，5a+3) 在第二、四象限的角平分线上，求a2009 +a 的值．
（3）已知A(3,7)，B(−2,5)，线段AC、BC 的中点都在坐标轴上，求C 的坐标．
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25
第4 讲
平面直角坐标系
5 （1）将点P(−3,y) 向下平移3 个单位，向左平移2 个单位后得到点Q(x,−1)，则xy =
．
（2）如图，三角形ABC 中任意一点P(x,y)，经过平移后对应点为P1 (x+5,y−1)，将三角形ABC 作同
样的平移得到三角形A1B1C1，若点A 的坐标为(−4,5)，则点A1 的坐标为
．
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26
第4 讲
平面直角坐标系
6 正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕D 顺时针旋转90◦后，B 点的坐标为
．
7 如图，△AOB 是由△A1O1B1 平移后得到的，已知点A1 的坐标为(−3，−1)．
（1）求O1、B1 的坐标．
（2）指出△A1O1B1 经过怎样的平移得到△AOB．
（3）求△A1O1B1 的面积．
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27
第5 讲
平面直角坐标系中的规律探究
第5 讲
平面直角坐标系中的规律探究
1 （1）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移
动，每次移动一个单位，得到点A1 (0,1)，A2 (1,1)，A3 (1,0)，A4 (2,0)，··· 那么点A2017 的坐标为
．
（2）如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1 次从原点运动到点(1,1)，第2
次接着运动到点(2,0)，第3 次接着运动到点(3,2)，···，按这样的运动规律，经过第2020 次运动
后，动点P 的坐标是( )
A. (2020,1)
B. (2020,0)
C. (2020,2)
D. (2019,0)
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28
第5 讲
平面直角坐标系中的规律探究
2 如图所示，在平面直角坐标系上有点A(1,0)，点A 第一次跳动至点A1 (−1,1)，第四次向右跳动5 个
单位长度后至点A4 (3,2)，···，依此规律跳动下去，点A 第100 次跳动后至点A100 的坐标是( )
A. (50,50)
B. (51,51)
C. (51,50)
D. (50,59)
3 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1、
A2B2C2D2、A3B3C3D3、··· 每个正方形四条边上的整点的个数，按此规律推算出正方形A10B10C10D10
四条边上的整点共有
个．
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29
第5 讲
平面直角坐标系中的规律探究
4 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如
(1,0) →(2,0) →(2,1) →(1,1) →(1,2) →(2,2)··· 根据这个规律，则第2016 个点的横坐标为( )
A. 44
B. 45
C. 46
D. 47
5 在平面直角坐标系中，将点P(3,6) 绕点O 旋转90◦后与点B 重合，则点B 的坐标为
．
6 （1）画出△ABC 关于直线a 成轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1 关于直线b 成轴对称的△A2B2C2；
（3）△ABC 和△A2B2C2
(填“是”或“否”) 关于某点成中心对称．若是，在图中找出对称中心，
并记作点O．
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30
第5 讲
平面直角坐标系中的规律探究
7 如图，动点P 从(0,3) 出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，
当点P 第2015 次碰到矩形的边时，点P 的坐标为( )
A. (3,0)
B. (7,4)
C. (8,1)
D. (1,4)
8 在平面直角坐标系xOy 中，对于P，Q 两点给出如下定义：若点P 到两坐标轴的距离之和等于点Q
到两坐标轴的距离之和，则称P，Q 两点为同族点，下图中的P，Q 两点即为同族点．
（1）已知点A 的坐标为(−3,2)，
①在点R(0,5)，S(2,−2)，T(−1,6) 中，为点A 的同族点的是 ．
②若点B 在x 轴上，且A，B 两点为同族点，则点B 的坐标为 ．
（2）已知点C 的坐标为(2a,3−b)，点D 的坐标为(b,b)，且点D 为点C 的同族点，
①若C，D 都在第一象限，请写出一组符合条件的点C 和点D 的坐标：点C ．
点D ．
②若点C 在y 轴右侧，点D 在第三象限，写出a，b 满足的等量关系式： ．
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31
第6 讲
坐标系中的几何问题
第6 讲
坐标系中的几何问题
1 （1）如图，已知A(3,2)，B(5,0)，E(4,1)，则△AOE 的面积是
．
（2）已知：如图，A(1,2)，B(−3,−2)，C(3,−3)，求△ABC 的面积．
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32
第6 讲
坐标系中的几何问题
2 已知点A(1,0)，B(0,2)，点P 在x 轴上，且三角形PAB 的面积是3，则点P 的坐标是（ ）．
A. (0,−4)
B. (−2,0)
C. (0,−4) 或(0,8)
D. (4,0) 或(−2,0)
3 （1）已知点A(2,5)、B(−3,5)、C(−2,−3)、D(6,−3)，那么四边形ABCD 的面积等于
．
（2）如图所示，直角坐标系中四边形的面积是（ ）．
A. 15.5
B. 20.5
C. 26
D. 31
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33
第6 讲
坐标系中的几何问题
4 如图，把△ABC 向上平移3 个单位长度，再向右平移2 个单位长度，得到△A′B′C′．
（1）在图中画出△A′B′C′．
（2）写出点A′、B′ 的坐标．
（3）在y 轴上是否存在一点P，使得△BCP 与△ABC 面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存
在，说明理由．
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34
第6 讲
坐标系中的几何问题
5 如图，点A(1,0)，点B 在y 轴上，将△OAB 沿x 轴负方向平移，平移后的图形为△DEC，且点C 的坐
标为(a,b)，且a =
√
b−2+
√
2−b−3．
（1）求线段AD 的长．
（2）当点P 在CE 上运动时，请问∠CBP，∠PAD，∠BPA 之间有何数量关系？请说明理由．
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35
第6 讲
坐标系中的几何问题
6 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(a,0)，B(c,c)，C(0,c)，且满足(a+8)2 + √c+4 = 0，P 点从A
点出发沿x 轴正方向以每秒2 个单位长度的速度匀速移动，Q 点从O 点出发沿y 轴负方向以每秒
1 个单位长度的速度匀速移动．
（1）直接写出点B 的坐标，AO 和BC 的位置关系是什么？
（2）当P、Q 分别在线段AO，OC 上时，连接PB，QB，使S△PAB = 2S△QBC，求出点P 的坐标．
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36
随堂练习参考答案
随堂练习参考答案
第1 讲
平行专题1
1 （1）80◦．
【解析】如图1，过P 作PE//AB，
∵AB//DC，
∴PE//AB//CD，
∴∠APE = ∠BAP，∠CPE = ∠DCP，
∴∠APC = ∠APE +∠CPE
= ∠BAP+∠DCP
= 60◦+20◦= 80◦．
（2）∠AKC = 1
2∠APC，证明见解析．
【解析】如图2，过K 作KE//AB，
∵AB//CD，
∴KE//AB//CD，
∴∠AKE = ∠BAK，∠CKE = ∠DCK，
∴∠AKC = ∠AKE +∠CKE = ∠BAK +∠DCK，
过P 作PF//AB，
同理可得，∠APC = ∠BAP+∠DCP，
∵∠BAP 与∠DCP 的平分线相交于点K，
∴∠AKC = ∠BAK +∠DCK = 1
2∠BAP+ 1
2∠DCP
= 1
2(∠BAP+∠DCP) = 1
2∠APC，
∴∠AKC = 1
2∠APC．
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37
随堂练习参考答案
（3）∠AKC = 1
2∠APC，证明见解析．
【解析】如图3，过K 作KE//AB，
∵AB//CD，
∴KE//AB//CD，
∴∠BAK = ∠AKE，∠DCK = ∠CKE，
∴∠AKC = ∠AKE −∠CKE = ∠BAK −∠DCK，
过P 作PF//AB，
同理可得，∠APC = ∠BAP−∠DCP，
∵∠BAP 与∠DCP 的平分线相交于点K，
∴∠AKC = ∠BAK −∠DCK = 1
2∠BAP−1
2∠DCP
= 1
2(∠BAP−∠DCP) = 1
2∠APC，
∴∠AKC = 1
2∠APC．
2 （1）∠E = ∠BME +∠END
【解析】过点E 作EF//AB，
∵AB//EF，AB//CD，
∴AB//EF//CD．
∴∠BME = ∠MEF，∠DNE = ∠NEF．
∴∠MEN = ∠MEF +∠NEF = ∠BME +∠DNE，
即∠MEN = ∠BME +∠DNE．
（2）∠AMG = 40◦．
【解析】过G 作GH//AB，设∠AMF = ∠GMF = x，∠CNG = ∠ENG = y，
∴∠AMG = 2x，∠CNE = 2y，
∵GH//AB，
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38
随堂练习参考答案
∴∠MGH = ∠AMG = 2x，
又∵GH//AB，AB//CD，
∴GH//CD，
∴∠NGH = ∠CNG = y，
∴∠NGM = ∠NGH −∠MGH = y−2x，∠E = ∠BME +∠END = 180◦−2y+x，
又∵∠NGM + 1
2∠E = 60◦，
∴y−2x+ 1
2 (180◦−2y+x) = 60◦⇒x = 20◦，
∴∠AMG = 2x = 40◦．
（3）∠F
∠E = 1
2．
【解析】过E 作EG//AB 交BM 于点G，过F 作FH//CD，
设∠ABM = α，则∠MBE = α，设∠CDN = β，则∠NDE = β，
∵EG//AB，
∴∠GEB+∠ABE = 180◦，∠GEB = 180◦−2α，
又∵EG//AB，AB//CD，
∴EG//CD，
∴∠GED+∠CDE = 180◦，∠GED = 180◦−2β，
∴∠BED = ∠GED−∠GEB = 2(α −β)．
同理：∠GFN = α −β，
∴∠GFN
∠BED = 1
2．
（4）1
n+1
【解析】设∠ABM = x，则∠ABE = (n+1)x，∠CDN = y，
则∠CDE = (n+1)y，
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39
随堂练习参考答案
由（3）可知∠E = ∠ABE −∠CDE = (n+1)(x−y)，
∠F = ∠CDF −∠ABF = (180◦−y)−(180◦−x) = x−y，
∴∠F
∠E =
x−y
(n+1)(x−y) =
1
n+1．
3 （1）55◦
【解析】如图，过E 作EF//AB，又AB//CD，
∴AB//CD//EF，
∴∠ABE = ∠FEB，∠CDE = ∠FED，
∴∠BED = ∠BEF +∠DEF = ∠ABE +∠CDE，
又∵∠ABP = 50◦，∠CDP = 60◦，BE 平分∠ABP，DE 平分∠CDP，
∴∠ABE = 1
2∠ABP = 25◦，∠CDE = 1
2∠CDP = 30◦，
∴∠BED = 25◦+30◦= 55◦，
故答案为：55◦．
（2）1
2n (β −α)．
【解析】如图，∵∠ABP 和∠CDP 的平分线交于点E1，设DE1 与AB 交于点F，DE2 与AB 交于点
G，
∴∠ABE1 = 1
2∠ABP = 1
2α，∠CDE1 = 1
2∠CDP = 1
2β，
∵AB//CD，
∴∠CDF = ∠AFE1 = 1
2β，
∴∠E1 = ∠AFE1 −∠ABE1 = 1
2β −1
2α = 1
2 (β −α)，
∵∠ABE1 与∠CDE1 的平分线交于点E2，
∴∠ABE2 = 1
2∠ABE1 = 1
4α，∠CDE2 = 1
2∠CDE1 = 1
4β，
∴AB//CD，
∴∠CDG = ∠AGE2 = 1
4β，
∴∠E2 = ∠AGE2 −∠ABE2 = 1
4 (β −α)，
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40
随堂练习参考答案
同理可得，∠E3 = 1
8 (β −α)，
以此类推，∠En 的度数为1
2n (β −α)．
（3）∠E = 90◦−1
2∠P．
证明见解析．
【解析】∠DEB = 90◦−1
2∠P．理由如下：
如图，过E 作EG//AB，又AB//CD，
∴AB//CD//EG，
∴∠MBE = ∠BEG，∠FDE = ∠GED，
∴∠DEB = ∠BEG+∠DEG = ∠MBE +∠FDE = ∠ABQ+∠FDE，
又∵∠ABP 的平分线的反向延长线和∠CDP 的补角的平分线交于点E，
∴∠FDE = 1
2∠PDF = 1
2 (180◦−∠CDP)，∠ABQ = 1
2∠ABP，
∴∠DEB = 1
2∠ABP+ 1
2 (180◦−∠CDP) = 90◦−1
2 (∠CDP−∠ABP)，
∵AB//CD，
∴∠CDP = ∠AHP，
∴∠DEB = 90◦−1
2 (∠CDP−∠ABP) = 90◦−1
2 (∠AHP−∠ABP) = 90◦−1
2∠P．
4 （1）∠ENF = 115◦．
【解析】如图，过点N 作NR//AB，
∵AB//CD，NR//AB，
∴NR//CD，
∴∠BEN = ∠ENR，∠RNF = ∠NFD，
∴∠ENF = ∠BEN +∠NFD，
∵EN、NF 分别是∠BEM、∠MFD 的角平分线，
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41
随堂练习参考答案
∴∠BEN = ∠MEN，∠MFN = ∠NFD，
∴∠MEN +∠MFN = ∠BEN +∠NFD = ∠ENF，
又∵在四边形MENF 中，
∠M +∠MEN +∠ENF +∠NFM = 360◦，
∵∠M = 130◦，
∴∠MEN +∠ENF +∠NFM = 2∠ENF = 230◦，
∴∠ENF = 115◦．
（2）∠H = 60◦−1
3α．
【解析】如图，过点M 作MS//AB，
∵AB//CD，MS//AB，
∴MS//CD，
∴∠AEM = ∠EMS，∠SMF = ∠MFC，
∵∠BEH = 1
3∠BEM，∠PFG = 1
3∠MFG，
∴∠BEM = 3∠BEH，∠MFG = 3∠PFG，
∴∠AEM = 180◦−3∠BEH，
∴∠EMF = ∠AEM +∠MFG = 180◦−3∠BEH +3∠PFG = α，
∵∠PFG = ∠DFH，∠1 = ∠DFH +∠H，
∴∠H = ∠1−∠DFH，
∵AB//CD，
∴∠BEH = ∠1，
∴180◦−3∠BEH +3∠PFG = 180◦−3∠1+3∠DFH = α，
∴∠1−∠DFH = 180◦−α
3
= 60◦−1
3α，
∴∠H = ∠1−∠DFH = 60◦−1
3α．
5 （1）110
55
【解析】在下方的图形中，
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42
随堂练习参考答案
AB//DE，过点C 作CF//AB，则有AB//DE//CF，
∴∠1 = ∠BCF，∠2 = ∠DCF，
∴∠1+∠2 = ∠BCF +∠DCF = ∠3，
此为猪蹄模型的一般结论，
图1 即为1 个“猪蹄”模型，有∠ABE +∠CDE = ∠1 = 110◦，∠ABF +CDF = ∠2，
∵BF 平分∠ABE，DF 平分∠CDE，
∴∠ABF = 1
2∠ABE，∠CDF = 1
2∠CDE，
∴∠ABF +∠CDF = 1
2(∠ABE +∠CDE) = 1
2∠1 = 55◦，
∴∠2 = 55◦．
（2）α
2n−1
【解析】∠3 = ∠ABG+∠CDG，
∵BG 平分∠ABF，DG 平分∠CDF，
∴∠ABG = 1
2∠ABF，∠CDG = 1
2∠CDF，
∴∠ABG+∠CDG = 1
2(∠ABF +∠CDF) = 1
2∠2，
即：∠3 = 1
2∠2，
发现规律：∠2 = 1
2∠1，∠3 = 1
2∠2，
以此类推：∠n =
1
2n−1 ·∠1=
α
2n−1 ．
6 （1）同位角相等两直线平行
【解析】如图①中，∵∠1 = ∠2，
∴AB//CD（同位角相等两直线平行）．
故答案为：同位角相等两直线平行．
（2）57.5◦．
【解析】如图②−1 中，
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43
随堂练习参考答案
由翻折的性质可知，∠3 = ∠4，
∵CD//AB，
∴∠α = ∠3，
∴∠α = ∠4，
∵∠1 = ∠2 = 65◦，
∴∠α = 1
2 (180◦−65◦) = 57.5◦．
（3）1
2x 或90◦−1
2x．
【解析】如图③−1 中，
由翻折可知，EA = EA′，∠EA′F = ∠DAB = 90◦，
∴∠EAA′ = ∠EA′A，
∴∠DEA′ = ∠EAA′ +∠EA′A = 2∠EAA′，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠D = 90◦，
∵∠DEA′ +∠DA′E = 90◦，∠DA′E +∠CA′F = 90◦，
∴∠DEA′ = ∠CA′F，
∴∠CA′F = 2∠DAA′，
∴∠EAA′ = 1
2∠CA′F = 1
2x．
如图③−2 中，
由翻折可知，EA = EA′，FA = FA′，
∴∠EAA′ = ∠EA′A，∠FAA′ = ∠FA′A，
∵AB//CD，
∴∠EA′A = ∠FAA′，
∴∠EAA′ = ∠AA′F，
∴∠EA′F = 2∠EAA′，
∵∠CA′F +∠EA′F = 180◦，
∴2∠EAA′ = 180◦−x，
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44
随堂练习参考答案
∴∠EAA′ = 90◦−1
2x．
7 （1）100◦
【解析】∵PQ//CN，
∴∠CAB+∠C = 180◦，∠PAC = 20◦，
∵∠C = 20◦，
∴∠CAB = 160◦，
∵AD 平分∠CAB，
∴∠CAD = 80◦，
∴∠EAP = ∠DAC +∠PAC = 100◦，
故答案为：100◦．
（2）证明见解析．
【解析】∵PQ//CN，
∴∠ADC = ∠BAD，
∴∠1 = 1
3∠ADC，
∴∠1 = 1
3∠BAD，
∵AF 平分∠BAD，
∴∠BAD = 2∠EAF，
∴∠1 = 2
3∠EAF，
∴∠GAF = ∠1+∠EAF = 5
3∠EAF，
∵∠2+ 6
5∠GAF = 180◦，
∴∠2+2∠EAF = 180◦，
∴∠2+∠BAD = 180◦，
∵∠2+∠AEB = 180◦，
∴∠BAD = ∠AEB，
∵∠BAD = ∠CAD，
∴∠CAD = ∠AEB，
∴AC//BE．
（3）2s 或11s 或12.5s 或17s 或21.5s．
【解析】360◦÷15◦= 24(s)，
当AC//DN 时，则∠ACD = ∠HDN，如图，
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45
随堂练习参考答案
∵PB//CH，
∴∠PAC = ∠ACD，
∴∠PAC = ∠HDN，
由题意，∠PAC = 20◦+5◦t，∠HDN = 15◦t，
∴20◦+5◦t = 15◦t，
∴t = 2s．
当AC⊥DN 时，则∠CND = 90◦，如图，
∵PA//CD，
∴∠ACD = ∠PAC = 20◦+5◦t，
∴∠NDH = 15◦t，
∴∠NDC = 180◦−15◦t，
∴20◦+5◦t = 180◦−15◦t，
∴t = 11s．
当AC⊥DN 时，则∠CND = 90◦，如图，
∵PA//CD，
∴∠ACD = ∠PAC = 20◦+5◦t，
∵∠NDC = 15◦t −180◦，
∴20◦+5◦t +15◦t −180◦= 90◦，
∴t = 12.5s．
当ND//AC 时，则∠NDC = ∠ACH，如图，
由题意，∠MDN = 15◦t −180◦，∠PAC = 20◦+5◦t，
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46
随堂练习参考答案
∴∠NDC = 180◦−∠MDN = 360◦−15◦t，
∵PA//CD，
∴∠ACH = ∠PAC = 20◦+5◦t，
∴20◦+5◦t = 360◦−15◦t，
∴t = 17s．
当DN⊥AC 时，∠DNC = 90◦，如图，
∵∠NDC = 360◦−15◦t，
∴∠NDC +∠DCN = 90◦，
∵∠NCD = 180◦−(20◦+5◦t)，
∴360◦−15◦t +180◦−(20◦+5◦t) = 90◦，
∴t = 21.5s．
综上，t 的值为2s 或11s 或12.5s 或17s 或21.5s．
8 （1）60
【解析】解：∵∠BAM +∠BAN = 180◦，∠BAM : ∠BAN = 2 : 1，
∴∠BAN = 180◦× 1
3 = 60◦．
故答案为：60．
（2）见解析
【解析】解：设灯A 转动t 秒，两灯的光束互相平行．
①当0 < t < 90 时，如图1，
∵PQ//MN，
∴∠PBD = ∠BDA．
∵AC//BD，
∴∠CAM = ∠BDA，
∴∠CAM = ∠PBD，
∴2t = 1·(30+t)，
解得t = 30；
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47
随堂练习参考答案
②当90 < t < 150 时，如图2，
∵PQ//MN，
∴∠PBD+∠BDA = 180◦．
∵AC//BD，
∴∠CAN = ∠BDA，
∴∠PBD+∠CAN = 180◦，
∴1·(30+t)+(2t −180) = 180，
解得t = 110．
综上所述，当t = 30 秒或110 秒时，两灯的光束互相平行．
（3）见解析
【解析】解：∠BAC 和∠BCD 的数量关系不会变化．
理由：设灯A 射线转动时间为t 秒．
∵∠CAN = 180◦−2t，
∴∠BAC = 60◦−(180◦−2t) = 2t −120◦，
又∵∠ABC = 120◦−t，
∴∠BCA = 180◦−∠ABC −∠BAC = 180◦−t，而∠ACD = 120◦，
∴∠BCD = 120◦−∠BCA = 120◦−(180◦−t) = t −60◦，
∴∠BAC : ∠BCD = 2 : 1，
即∠BAC = 2∠BCD，
∴∠BAC 和∠BCD 的数量关系不会变化．
9 （1）30
【解析】∵PQ//OA，
∴∠BPQ = ∠AOB = 30◦．
故答案为：30．
（2）60◦．
【解析】∵∠AQP1 = ∠OQP，且∠AQP1 +∠OQP+∠PQP1 = 180◦，
又P1Q//PB，
∴∠PQP1 +∠QPB = 180◦，
∴∠AQP1 = ∠OQP = 1
2∠QPB，
∵P1Q//PB，
∴∠AQP1 = ∠AOB = α，
∴∠BPQ = 2α = 60◦．
故答案为：∠BPQ 的度数为60◦．
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48
随堂练习参考答案
（3）画图见解析；90◦．
【解析】如图，
∵P1Q2//AO，
∴∠P1Q2B = ∠OQ2Q1 = ∠AOB = 30◦，
∴∠P1Q2Q1 = 180◦−30◦−30◦= 120◦，
∴∠AQ1Q2 = ∠OQ1P = β −∠AOB = β −30◦，
又∠AQ1Q2 +∠P1Q2Q1 = 180◦，
即β −30◦+120◦= 180◦，
∴β = 90◦，
∴α 的2 阶平行逃逸角为90◦．
10（1）证明见解析．
【解析】方法一：
∵AD//BC，
∴∠ADC +∠BCD = 180◦，
∵∠BDC = ∠BCD，
∴∠ADC +∠BDC = 180◦，
∴∠ADB+2∠BDC = 180◦，
∵DE 平分∠ADB．
∴∠ADE = ∠EDB = 1
2∠ADB，
∴∠EDB+∠BDC = 90◦，即∠EDC = 90◦，
∴∠1+∠2 = 180◦−90◦= 90◦．
方法二：
过点E 作EM//AD 与DC 交于M 点，
∵AD//BC，
∴AD//BC//EM，
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49
随堂练习参考答案
∴∠3 = ∠4，∠5 = ∠6，
∴∠DEC = ∠4+∠5 = ∠3+∠6．
∵ED 平分∠ADB，∠BDC = ∠BCD = ∠6+∠2，
∴∠3 = ∠7，
∵AD//BC，
∴∠ADC +∠DCB = 180◦，
∴∠3+∠7+∠DBC +∠BCD = 180◦，
∴∠3+∠7+2(∠6+∠2) = 180◦，
∴∠3+∠6+∠2 = 90◦，
∴∠DEC +∠2 = 90◦．
（2）∠ABC = 70◦．
【解析】方法一：
由（1）知∠EDC = 90◦，
∴∠EDF = 90◦．
∴∠FBD+∠BDE = 90◦−∠F = 35◦．
∵DE 平分∠ADB，BF 平分∠ABD，
∴∠ADB+∠ABD = 2(∠FBD+∠BDE) = 70◦，
又∵四边形ABCD 中，AD//BC，
∴∠DBC = ∠ADB，
∴∠ABC = ∠ABD+∠DBC = ∠ABD+∠ADB．
即∠ABC = 70◦．
方法二：
由(1) 知，
∵∠3+∠6+∠2 = 90◦，∠3 = ∠7，
∠6+∠2 = ∠BCD = ∠BDC，
∴∠7+∠BDC = 90◦，
∴∠EDC = 90◦，
∵DF 平分∠ABD，
∴∠8 = ∠9，
∵AD//BC，
∴∠DBC = ∠3+∠7，
∴∠ABC = ∠8+∠9+∠DBC，
= ∠8+∠9+∠3+∠7，
= ∠9+∠7，
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50
随堂练习参考答案
过点F 作FM//DB，
∴∠10 = ∠9，
∴∠MFC +∠FDB = 180◦，
∵∠10+∠BFC +∠FDE +∠7 = 180◦，
∴∠BFC = 55◦，∠FDE = 180◦−∠EDC = 90◦，
∴∠10+∠7 = 180◦−90◦−55◦= 35◦，
∴∠9+∠7 = 35◦，
∴∠ABC = 35◦．
（3）∠BAD+∠DMH
∠DNG
的值不变，∠BAD+∠DMH
∠DNG
= 2．
【解析】方法一：
∠BAD+∠DMH
∠DNG
的值不变．
∵在△BMF 中，
∠BMF = ∠DMH = 180◦−∠ABD−∠BFH，
在△ABD 中，∠BAD = 180◦−∠ABD−∠ADB，
∴∠BAD+∠DMH = (180◦−∠ABD−∠ADB)+(180◦−∠ABD−∠BFH)
= 360◦−∠BFH −2∠ABD−∠ADB．
又∵∠DNG = ∠FNE = 180◦−1
2∠BFH −∠AED= 180◦−1
2∠BFH −∠ABD−1
2∠ADB = 1
2(∠BAD+
∠DMH)．
∴∠BAD+∠DMH
∠DNG
= 2．
方法二：
点F 作FM//AD，
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51
随堂练习参考答案
∵AD//BC，
∴AD//BC//FM，
∴∠BAD = ∠AFM，∠BGF = ∠GFM，∠BHF = ∠HFM，
∵FG 平分∠BFH，DF 平分∠ADB，
∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，
∴∠BAD = ∠AFM = 2∠1+∠HFM，
过点N 作NG//AD，
∵AD//BC，
∴NG//AD//BC，
∴∠5 = ∠3，∠6 = ∠FGB，
∴∠DNG = ∠5+∠6 = ∠3+∠FGB = ∠3+∠MFG= ∠3+∠2+∠NFH，
同理可得∠DMH = 2∠3+∠FHG = 2∠3+∠MFG，
∴∠BAD+∠DMH
∠DNG
= 2∠1+∠HFM +2∠3+∠HFM
∠3+∠2+∠MFH
= 2∠1+2∠3+2∠MFH
∠3+∠2+∠MFH
= 2
第2 讲
实数进阶训练
1
证明见解析．
【解析】用反证法：
假设
√
3 是有理数，
设
√
3 = a
b，
（a，b 是互质的正整数），
两边同时平方，整理得a2 = 3b2，所以a 是3 的倍数，
设a = 3m（m 是正整数），代入上式得：
9m2 = 3b2，
∴b2 = 3m2，
∴b 也是3 的倍数，这与a，b 互质矛盾，
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52
随堂练习参考答案
从而
√
3 不是有理数，而是无理数．
2 （1）±7．
【解析】∵2a−1 的算术平方根是3，
∴√2a−1 = 3，即2a−1 = 9，
∴a = 5，
∵3a+b−1 的立方根是4，
∴
3√
3a+b−1 = 4，即3a+b−1 = 64，
将a = 5 代入3a+b−1 = 64 得，
b = 50，
∵c 是
√
40 的整数部分，
又∵6 <
√
40 < 7，
∴c = 6，
∴a+b−c = 49，
∴a+b−c 的平方根为±7．
故答案为：±7．
（2）±4．
【解析】∵2a−1 的平方根是±3，
∴2a−1 = 9，
2a = 10，
a = 5，
∵3a+b−9 的立方根是2，
∴3a+b−9 = 8，
把a = 5 代入3a+b−9 = 8 得，
15+b−9 = 8，
b = 2，
∵7 <
√
60 < 8，
∴c = 7，
∴a+2b+c = 5+4+7 = 16，
∴a+2b+c 的平方根是±4．
（3）−1．
【解析】由题得
(−2)3 = 2a+4
12 = 3a+b−1
，解得
a = −6
b = 20
．
∵
√
9 <
√
13 <
√
16，即3 <
√
13 < 4．
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53
随堂练习参考答案
∴
√
13 的整数部分为3，即c = 3．
∴3a+b−c = −6×3+20−3 = −1．
3 （1）9．
【解析】由题可知：x−5 = −(x+1)，
解得：x = 2，
将x = 2 代入x−5 得：2−5 = −3，
(−3)2 = 9，
∴这个正数是9．
（2）±4．
【解析】∵2m+2 的平方根是±4，
∴2m+2 = 16，
∴m = 7，
∵
3√3m+n+3 = 3，
∴3m+n+3 = 27，
∴n = 3，
当m = 7，n = 3 时，原式= 2×7+3−1 = 14+3−1 = 16，
则2m+n−1 的平方根为±4．
4 （1）±4
3
±2
【解析】因为313
81 = 256
81 = 44
34 ，所以四次方根为±4
3；
√
256 = 16 = 24 的四次方根为±2．
（2）±1
2
【解析】∵
(
±1
2
)6
= 1
64，
∴1
64 的六次方根是±1
2，
故答案为±1
2．
5 （1）±3
【解析】(−9)2 = 81，81 的四次方根为±3．
（2）±3
【解析】由题意得(−27)2 = 272 =
(
33)2 = 36，
∴(−27)2 的6 次根
= ±
6√
36
= ±3．
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54
随堂练习参考答案
6
±3．
【解析】由题意可知：
x+y = 9，x−y = 27，解得x = 18，y = −9，
所以2x−5y = 2×18−5×(−9) = 81．
∵(±3)4 = 81，
∴2x−5y 的四次方根是±3．
7 （1）2
4
6
【解析】log24 = 2，log216 = 4，log264 = 6．
故答案为：2；4；6．
（2）4×16 = 64，log24+log216 = log264．
【解析】log24+log216 = log264．
（3）loga(MN)；证明见解析．
【解析】猜想logaM +logaN = loga(M +N)．
设logaM = b1，logaN = b2，则ab1 = M，ab2 = N，
故可得MN = ab1 ·ab2 = ab1+b2，b1 +b2 = loga(MN)，
即logaM +logaN = loga(MN)．
8 （1）2
【解析】原式= 3−1
= 2．
（2）见解析
【解析】解：原式= 2−1+(0.25×4)4
= 2−1+14
= 2−1+1
= 2．
（3）2．
【解析】−12017 +(π −3)0 +(1
2)
−1
，
= −1+1+2，
= 2
9 （1）7
3
4
【解析】
4√
73 = 7
3
4 ．
（2）2
3
5
【解析】
5√
23 = 2
3
5 ．
故答案为：2
3
5 ．
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55
随堂练习参考答案
（3）5−3
7
【解析】
1
7√
53 = 1
5
3
7 = 5−3
7 ．
10（1）见解析
【解析】解：原式= 1+
√
3−1+3+2
= 5+
√
3．
（2）3
√
2−2．
【解析】原式=
√
8+
√
2−1−
3√
27+2
= 2
√
2+
√
2−1−3+2
= 3
√
2−2．
第3 讲
漫步数与式求和
1
1008 504
1009
【解析】原式= 1+
2
2×4 +1+
2
4×6 +···+1+
2
2016×2018= 1008+
(1
2 −
1
2018
)
= 1008 504
1009．
2
见解析
【解析】解：原式
= 1
3
[(
1
1×2×3 −
1
2×3×4
)
+···+
(
1
17×18×19 −
1
18×19×20
)]
= 1
3 ×
(
1
1×2×3 −
1
18×19×20
)
= 1139
20520．
3
504
1009
【解析】先找到通项{an}
[an] =
{n2 +1
n
}
[ n(n+1)+1
n
] =
1
n
n+1 =
1
n(n+1) = 1
n −
1
n+1，第一项是0，
原式= 1
2 −
1
2018 = 504
1009．
4
550
【解析】原式= (13×15×17−1×3×5)÷6
= 550
5
4290
【解析】n(n+1)(n+2) = 1
4n(n+1)(n+2)(n+3)−1
4 (n−1)n(n+1)(n+2)，所以，
原式= 1
4 ×1×2×3×4+
(1
4 ×2×3×4×5−1
4 ×1×2×3×4
)
+···+
(1
4 ×10×11×12×13−1
4 ×9×10×11×12
)
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56
随堂练习参考答案
= 1
4 ×10×11×12×13
= 4290
6
242500
【解析】原式= 100
97 + 100×99
97×96 + 100×99×98
97×96×95 + 100×99×98
96×95×94 +···+ 100×99×98
3×2×1
= 100×99×98×
(
1
99×98×97 +
1
98×97×96 +···+
1
3×2×1
)
= 100×99×98× 1
2 ×
(
1
1×2 −
1
99×98
)
= 25×99×98−100× 1
2
= 242500
7
B
【解析】原式= 1−1
2 + 1
2 −1
3 + 1
3 −1
5 + 1
5 −1
7 + 1
7 −1
11
= 1−1
11 = 10
11．
8
49
50
【解析】原式=
1
2
3
2
+
1
3
3
2 × 4
3
+
1
4
3
2 × 4
3 × 5
4
+···+
1
99
3
2 × 4
3 ×···× 100
99
=
2
2×3 +
2
3×4 +
2
4×5 +···+
2
99×100 = 2×(1
2 −1
100) = 49
50
9
2011
2014
【解析】原式= 3×(
1
2013 −
1
2014 +
1
2012 −
1
2013 +···+ 1
4 −1
5 + 1
3 −1
4)
= 3×(1
3 −
1
2014)
= 2011
2014．
10 (3n−2)·2n+2 +10，n 是正整数
【解析】记S = 1×2+4×22 +7×23 +···+(3n+1)×2n+1，
则2S = 1×22 +4×23 +7×24 +···+(3n+1)×2n+2，
两式作差可得−S = 2+3×
(
22 +23 +24 +···+2n+1)
−(3n+1)×2n+2
= 2+3× 4(1−2n)
1−2
−(3n+1)×2n+2，
∴S = (3n−2)·2n+2 +10，n 是正整数．
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57
随堂练习参考答案
第4 讲
平面直角坐标系
1 （1）见解析
【解析】解：汽车站(1,1)，消防站(2,−2)；
（2）见解析
【解析】小英路上经过的地方：游乐场，公园，姥姥家，宠物店，邮局．
2
C
【解析】建立平面直角坐标系如图所示，
“将”的坐标为(1，6)．
故选C．
3 （1）x > 2
【解析】:∵点P(x−2，x+3) 在第一象限，
∴
x−2 > 0
x+3 > 0
，
解得：x > 2．
（2）A
【解析】由A(a+1，b−2) 在第二象限，得a+1 < 0，b−2 > 0
解得a < −1，b > 2
由不等式的性质，得
−a > 1，b+1 > 3，
点B(−a，b+1) 在第一象限，
故选：A．
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58
随堂练习参考答案
4 （1）三
【解析】解：根据中心对称的性质，
得：a = −1，b+1 = −5，
解得：a = −1，b = −6，
∴点(−1,−6) 在第三象限．
故答案为：三．
（2）见解析
【解析】解：
∵点A 在第二、四象限的角平分线上，
∴(3a+5)+(5a+3) = 0，
∴a = −1，
∴a2009 +a = −2．
（3）(−3,−5) 或(2,−7)
【解析】若AC 的中点在y 轴上，BC 的中点在x 轴上，则C(−3,−5)；
若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则C(2,−7)．
5 （1）-10
【解析】∵点P(−3,y) 向下平移3 个单位，
向左平移2 个单位后得到点Q(x,−1)，
∴x = −3−2 = −5，
y−3 = −1，
解得y = 2，
∴xy = −5×2 = −10．
（2）(1,4)
【解析】解：∵三角形ABC 中任意一点P(x,y)，
经过平移后对应点为P1 (x+5,y−1)，
∴点A 的坐标为(−4,5)，
则点A1 的坐标为：(−4+5,5−1) 整理得：(1,4)．
故答案为：(1,4)．
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59
随堂练习参考答案
6
(4，0)
【解析】解：如图所示，
正方形ABCD 绕D 点顺时针旋转90◦至正方形CB
′C
′D，点B
′ 落在x 轴上，坐标为(4，0)．
7 （1）O1(−1，1)，B1(3，3)
【解析】O1(−1，1)，B1(3，3)．
（2）向右平移1 个单位长度，再向下平移1 个单位长度
【解析】向右平移1 个单位长度，再向下平移1 个单位长度．
（3）2
【解析】即求△AOB 的面积，平移不改变图形的面积大小，大小为2．
第5 讲
平面直角坐标系中的规律探究
1 （1）(1008,1)
【解析】解：观察图形可知：A1 (0,1)，A5 (2,1)，A9 (4,1)，A13 (6,1)，···，
∴A4n+1 (2n,1)(n 为自然数)．
∵2017 = 504×4+1，
∴A2017 (1008,1)．
故答案为：(1008,1)．
（2）B
【解析】解：点P 坐标运动规律可以看作每运动四次一个循环，每个循环向右移动4 个单位，则
2020 = 505×4，
所以，前505 次循环运动点P 共向右运动505×4 = 2020 个单位，且在x 轴上，
故点P 坐标为(2020,0)．
故选：B．
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60
随堂练习参考答案
2
C
【解析】解：观察发现，第2 次跳动至点A2 的坐标是(2,1)，
第4 次跳动至点A4 的坐标是(3,2)，
第6 次跳动至点A6 的坐标是(4,3)，
第8 次跳动至点A8 的坐标是(5,4)，
···
第2n 次跳动至点A2n 的坐标是(n+1,n)，
∴第100 次跳动至点A100 的坐标是(51,50)．故选C．
3
80
【解析】解：由题意得：
正方形A1B1C1D1 四条边上整点的个数为8 个，
正方形A2B2C2D2 四条边上整点的个数为16 个，
正方形A3B3C3D3 四条边上整点的个数为24 个，
···
∴正方形A10B10C10D10 四条边上整点的个数为80 个．
故答案为：80．
4
B
【解析】解：根据图形，以最外边的正方形边长上的点为准，点的总个数等于x 轴上右下角的点的
横坐标的平方，
例如：右下角的点的横坐标为1，共有1 个，1 = 12 ，
右下角的点的横坐标为2 时，共有4 个，4 = 22 ，
右下角的点的横坐标为3 时，共有9 个，9 = 32 ，
右下角的点的横坐标为4 时，共有16 个，16 = 42 ，
···
右下角的点的横坐标为n 时，共有n2 个，
∵452 = 2025，45 是奇数，
∴第2025 个点是(45，0)，
第2016 个点是(45，9)，
所以，第2016 个点的横坐标为45．
故选B．
5
(−6,3) 或(6,−3)
【解析】∵点P(3,6) 绕原点O 旋转90◦后与点B 重合，
∴点B 的横坐标长是6，纵坐标长是3，
①逆时针旋转时，点B 在第二象限，横坐标为−6，纵坐标为3，
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61
随堂练习参考答案
所以，点B 的坐标为(−6,3)；
②顺时针旋转时，点B 在第四象限，横坐标为6，纵坐标为−3，
所以，点B 的坐标为(6,−3)．
综上所述，点B 的坐标为(−6,3) 或(6,−3)．
故答案为：(−6,3) 或(6,−3)．
6
见解析
【解析】解：(1) 如图所示，△A1B1C1 即为所求；
(2) 如图所示，△A2B2C2 即为所求；
(3)△ABC 和△A2B2C2 是关于某点成中心对称，点O 如图所示．
7
D
【解析】解：如图，
经过6 次反弹后动点回到出发点(0,3)，
∵2015÷6 = 335······5，
∴当点P 第2015 次碰到矩形的边时为第336 个循环组的第5 次反弹，
点P 的坐标为(1,4)．
故选：D．
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62
随堂练习参考答案
8 （1）①R
②(5,0) 或(−5,0)
【解析】①∵点A 的坐标为(−3,2)，
∴3+2 = 5．
点R(0,5)，S(2,−2)，T(−1,6) 中，
0+5 = 5，2+2 = 4，1+6 = 7，
∴点A 的同族点是R．
②设点B 的坐标为(x,0)，则|x|+0 = |x|．
∵A，B 为同族点，
∴|x| = 5，
∴x = ±5，
∴点B 的坐标为(5,0) 或(−5,0)．
（2）①(3,1)；(2,2)
②2a+b+3 = 0
【解析】①C，D 都在第一象限，且为同族点，
则
2a > 0
3−b > 0
b > 0
2a+3−b = b+b
，
∴
a > 0
0 < b < 3
2a+3 = 3b
，
故可以是点C(3,1)，D(2,2)．
②∵点C 在y 轴右侧，点D 在第三象限，
∴a > 0，b < 0
∴3−b > 0．
∵C，D 为同族点，
∴2a+3−b = −2b，
∴2a+b+3 = 0．
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63
随堂练习参考答案
第6 讲
坐标系中的几何问题
1 （1）5
2
【解析】由题意可得E 为线段AB 的中点，
则S△AOE = 1
2S△AOB = 1
2 × 1
2 ×5×2 = 5
2．
故答案为：5
2．
（2）14．
【解析】如图，构造矩形DECF，
S△ABC = S矩形DECF −S△ABD −S△ACF −S△BEC
= DF ·CF −1
2AD·BD−1
2AF ·CF −1
2BE ·CE
= 6×5−1
2 ×4×4−1
2 ×2×5−1
2 ×1×6
= 30−8−5−3
= 14．
2
D
【解析】如图：
设点P 的坐标为(x,0)，
∴S△PAB = 1
2PA·OB = 3，
∴PA·OB = 6，
∵A(1,0)，B(0,2)，
∴PA = |x−1|，OB = 2，
∴2|x−1| = 6，
∴|x−1| = 3，
∴x = 4 或x = −2，
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64
随堂练习参考答案
∴点P 的坐标为(4,0) 或(−2,0)．
故选D．
3 （1）52
【解析】如图所示：
四边形ABCD 的面积
= (5+4)×8× 1
2 + 1
2 ×4×8
= 36+16，
= 52．
（2）A
【解析】S = 1
2 ×3×2+ 1
2 ×(3+4)×3+ 1
2 ×4×1 = 3+10.5+2 = 15.5，
故选A．
4 （1）见解析
【解析】解：如图所示：
根据图形平移的性质画出△A′B′C′ 即可．
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65
随堂练习参考答案
（2）见解析
【解析】解：根据各点在坐标系中的位置写出点A′、B′ 的坐标．
即A′ (0,4)、B′ (−1,1)．
（3）见解析
【解析】解：存在，点P 的坐标是(0,1) 或(0,−5)．
设P(x,y)，因为P 在y 轴上，所以x = 0；
两个三角形的公共边为BC，所以若两个三角形面积相等，只需该公共边上对应的高相等即可，
由图可以看出，BC 边对应的高为3，
所以y = 1 或−5，故P(0,1) 或(0,−5)．
5 （1）4．
【解析】∵a =
√
b−2+
√
2−b−3，
∴b−2 ⩾0，2−b ⩾0，
∴b = 2，a = −3，
∵点C 的坐标为(a,b)，
∴点C 的坐标为：(−3,2)，
由平移性质可知：∠CDE = ∠BOA = 90◦，
则CD⊥x 轴，
∴D 点坐标为(−3,0)，
又A 点坐标为(1,0)，
∴AD = 1−(−3) = 4，
故线段AD 的长为4．
（2）∠CBP+∠PAD = ∠BPA，证明见解析．
【解析】如图，过点P 作PN//CB，
∴∠CBP = ∠BPN，
又∵BC//AE，
∴PN//AE，
∴∠EAP = ∠APN，
∴∠CBP+∠PAD = ∠BPN +∠APN = ∠BPA．
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66
随堂练习参考答案
6 （1）(−4,−4)，BC//AO．
【解析】∵(a+8)2 +√c+4 = 0，
∴a+8 = 0，c+4 = 0，
解得，a = −8，c = −4，
则点B 的坐标为(−4,−4)，
∵点B 的坐标为(−4,−4)，点C 的坐标为(0,−4)，
∴BC//AO．
（2）(−4,0)．
【解析】过B 点作BE⊥AO 于E，
设时间经过t 秒，S△PAB = 2S△QBC，
则AP = 2t，OQ = t，
∴CQ = 4−t，
∵BE = 4，BC = 4，
∴S△APB = 1
2AP·BE = 1
2 ×2t ×4 = 4t，
S△BCQ = 1
2CQ·BC = 1
2 ×(4−t)×4 = 8−2t，
∵S△APB = 2S△BCQ，
∴4t = 2(8−2t)，
解得，t = 2，
∴AP = 2t = 4，
∴OP = OA−AP = 4，
∴点P 的坐标为(−4,0)．
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