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2024年上海市春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．（4分）log x的定义域 ．
2
2．（4分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角大小为 ．
3．（4分）已知 ，则 ＝ ．
4．（4分）（x﹣1）6展开式中x4的系数为 ．
5．（4分）三角形ABC中， ，则AB＝ ．
6．（4分）已知ab＝1，4a2+9b2的最小值为 ．
7．（5分）数列{a }，a ＝n+c，S ＜0，c的取值范围为 ．
n n 7
8．（5分）三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点
的双曲线的离心率为 ．
9．（5分）已知 ，求g（x）≤2﹣x的x的取值范
围 ．
10．（5分）已知四棱柱ABCD﹣A B C D 底面ABCD为平行四边形，AA ＝3，BD＝4且
1 1 1 1 1
，求异面直线AA 与BD的夹角 ．
1
11．（5分）正方形草地ABCD边长1.2，E到AB，AD距离为0.2，F到BC，CD距离为
0.4，有个圆形通道经过 E，F，且与 AD 只有一个交点，求圆形通道的周长
．（精确到0.01）
12．（5分）a ＝2，a ＝4，a ＝8，a ＝16，任意b ，b ，b ，b R，满足{a+a|1≤i＜
1 2 3 4 1 2 3 4 i j
j≤4}＝{b+b|1≤i＜j≤4}，求有序数列{b ，b ，b ，b }有 ∈ 对．
i j 1 2 3 4
二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)
13．（4分）a，b，c R，b＞c，下列不等式恒成立的是（ ）
∈A．a+b2＞a+c2 B．a2+b＞a2+c C．ab2＞ac2 D．a2b＞a2c
14．（4分）空间中有两个不同的平面 ， 和两条不同的直线m，n，则下列说法中正确
的是（ ） α β
A．若 ⊥ ，m⊥ ，n⊥ ，则m⊥n
B．若α⊥β，m⊥α，m⊥βn，则n⊥
C．若α∥β，m∥α，n∥ ，则m∥βn
D．若α∥β，m∥α，m∥βn，则n∥
15．（5分α）β有四种礼α盒，前三种里面β分别仅装有中国结、记本本、笔袋，第四个礼盒里
面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件 A：所选盒中有中国结，事件B：所选
盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则（ ）
A．事件A与事件B互斥
B．事件A与事件B相互独立
C．事件A与事件B∪C互斥
D．事件A与事件B∩C相互独立
16．（5分）现定义如下：当x （n，n+1）时（n N），若f（x+1）＝f′（x），则称f
（x）为延展函数．现有，当∈x （0，1）时，g（∈x）＝ex与h（x）＝x10均为延展函数，
则以下结论（ ） ∈
（1）存在y＝kx+b（k，b R；k，b≠0）与y＝g（x）有无穷个交点
（2）存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）与y＝h（x）有无穷个交点
A．（1）（2）都成立 ∈ B．（1）（2）都不成立
C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）
17．（14分）已知f（x）＝sin（ x+ ）， ＞0．
ω ω
（1）设 ＝1，求解：y＝f（x），x [0， ]的值域；
（2）a＞ω（a R），f（x）的最小正∈周期π为 ，若在x [ ，a]上恰有3个零点，求a的
取值范围．π ∈ π ∈ π
18．（14分）如图，PA、PB、PC为圆锥三条母线，AB＝AC．
（1）证明：PA⊥BC；
（2）若圆锥侧面积为 为底面直径，BC＝2，求二面角B﹣PA﹣C的大小．19．（14分）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．
（1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
（2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；
（3）抽取若干箱水果，其中一级果共 120个，单果质量平均数为 303.45克，方差为
603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方
差和平均数，并预估果园中单果的质量．
20．（18分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆 上一点，F 、
1
F 分别为椭圆的左、右焦点．
2
（1）若点A的横坐标为2，求|AF |的长；
1
（2）设Γ的上、下顶点分别为M 、M ，记△AF F 的面积为S ，△AM M 的面积为
1 2 1 2 1 1 2
S ，若S ≥S ，求|OA|的取值范围．
2 1 2
（3）若点A在x轴上方，设直线AF 与Γ交于点B，与y轴交于点K，KF 延长线与Γ
2 1
交 于 点 C ， 是 否 存 在 x 轴 上 方 的 点 C ， 使 得
成立？若存在，请求出点C的坐标；
若不存在，请说明理由．
21．（18分）记M（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≥a}，L（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），
x≤a}．
（1）若f（x）＝x2+1，求M（1）和L（1）；
（2）若f（x）＝x3﹣3x2，求证：对于任意a R，都有M（a） [﹣4，+∞），且存在
a，使得﹣4 M（a）． ∈ ⊆
（3）已知定∈义在R上f（x）有最小值，求证“f（x）是偶函数“的充要条件是“对于
任意正实数c，均有M（﹣c）＝L（c）”．
