文档内容
2024年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．（4分）log x的定义域 （ 0 ， + ∞） ．
2
【分析】结合对数函数真数的性质，即可求解．
【解答】解：log x的定义域为（0，+∞）．
2
故答案为：（0，+∞）．
【点评】本题主要考查对数函数定义域的求解，属于基础题．
2．（4分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角大小为 45 ° ．
【分析】把已知直线的方程变形后，找出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，
即直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到倾斜角的正切值，由倾斜角的范围，利用特殊
角的三角函数值即可求出倾斜角的度数．
【解答】解：由直线x﹣y+1＝0变形得：y＝x+1
所以该直线的斜率k＝1，
设直线的倾斜角为 ，即tan ＝1，
∵ [0，180°），α α
∴α∈＝45°．
故α答案为：45°．
【点评】此题考查了直线的倾斜角，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握直线倾斜角与
斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围．
3．（4分）已知 ，则 ＝ ﹣ 1 ﹣ i ．
【分析】利用复数的运算性质以及共轭复数的定义化简即可求解．
【解答】解：由题意可得z＝i（1+i）＝﹣1+i，
所以 ＝﹣1﹣i．
故答案为：﹣1﹣i．
【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到共轭复数的求解，属于基础题．
4．（4分）（x﹣1）6展开式中x4的系数为 1 5 ．
【分析】直接利用二项式的展开式求出结果．
【解答】解：根据二项式展开 ．故答案为：15．
【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，
属于中档题．
5．（4分）三角形ABC中， ，则AB＝ ．
【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
【解答】解：三角形ABC中， ，
sinC＝ ＝ ，
由正弦定理 ，BC＝2，A＝ ，
故AB＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
6．（4分）已知ab＝1，4a2+9b2的最小值为 1 2 ．
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解：由ab＝1，4a2+9b2≥2•2a•3b＝12，当且仅当2a＝3b，即
或 时取最小值12，
所以4a2+9b2的最小值为12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
7．（5分）数列{a }，a ＝n+c，S ＜0，c的取值范围为 （﹣∞，﹣ 4 ） ．
n n 7
【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．
【解答】解：等差数列由a ＝n+c，知数列{a }为等差数列S ＝ ＝7a ＜0，
n n 7 4
即7（4+c）＜0，
解得c＜﹣4．故c的取值范围为（﹣∞，﹣4）．
故答案为：（﹣∞，﹣4）．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
8．（5分）三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点
的双曲线的离心率为 3 ．
【分析】利用双曲线的定义、离心率的计算公式即可得出结论．
【解答】解：由双曲线的定义，2c＝6，2a＝2，
解得c＝3，a＝1，
∴e＝ ＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了双曲线的定义、离心率的计算公式，考查了推理能力与计算能力，
属于基础题．
9．（5分）已知 ，求g（x）≤2﹣x的x的取值范
围 （﹣∞， 1 ] ．
【分析】根据已知求得 ，再分x≥0以及x＜0分别求解即可．
【解答】解：根据题意知 ，
所以当x≥0时，g（x）≤2﹣x x2+x﹣2≤0，解得x [0，1]；
同理当x＜0时，g（x）≤2﹣x⇒﹣x2+x﹣2≤0，解得∈x （﹣∞，0）；
综上所述：x （﹣∞，1]． ⇒ ∈
故答案为：（∈﹣∞，1]．
【点评】本题主要考查分段函数的相关知识，考查不等式的求解，考查计算能力，属于
中档题．
10．（5分）已知四棱柱ABCD﹣A B C D 底面ABCD为平行四边形，AA ＝3，BD＝4且
1 1 1 1 1
，求异面直线AA 与BD的夹角 arcco s ．
1【分析】由题将 转化为 ＝5即可求解．
【解答】解：如图，
因为 ，又 ，
∴ ，
化简得 ＝5，
∴ ＝5，
∴ ．
异面直线AA 与BD的夹角为arccos ．
1
【点评】本题考查向量法求立体几何中的线线角，属于中档题．
11．（5分）正方形草地ABCD边长1.2，E到AB，AD距离为0.2，F到BC，CD距离为
0.4，有个圆形通道经过E，F，且与AD只有一个交点，求圆形通道的周长 2.73 ．
（精确到0.01）
【分析】先确定圆的圆心坐标和半径，从而得出结论．
【解答】解：以A为原点，线段AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐
标系，
易知E（0.2，0.2），F（0.8，0.8）．不妨设 EF 中点为 M（0.5，0.5）直线 EF 中垂线所在直线方程为 y﹣0.5＝﹣（x﹣
0.5），
化简得y＝﹣x+1．
所以可设圆心为（a，﹣a+1），半径为a，且经过E，F点，
即（a﹣0.2）2+（﹣a+1﹣0.2）2＝a2，
化简得a2﹣2a+0.68＝0，求得a＝ ＝1± ＝1± ．
结合题意可得，a＝1﹣ ＝0.434．
故有圆的周长C＝2 a＝2.725≈2.73．
【点评】本题主要考π查直线和圆相交的性质，圆的标准方程，属于中档题．
12．（5分）a ＝2，a ＝4，a ＝8，a ＝16，任意b ，b ，b ，b R，满足{a+a|1≤i＜
1 2 3 4 1 2 3 4 i j
j≤4}＝{b+b|1≤i＜j≤4}，求有序数列{b ，b ，b ，b }有 4 8 ∈对．
i j 1 2 3 4
【分析】由题意得{a+a|6，10，12，18，20，24}，设b ＜b ＜b ＜b ，由单调性有
i j 1 2 3 4
b +b ＝6，b +b ＝10，b +b ＝20，b +b ＝24，分类讨论可求解．
1 2 1 3 2 4 3 4
【解答】解：由题意得{a+a|6，10，12，18，20，24}，
i j
满足{a +a|1≤i＜j≤4}＝{b +b|1≤i＜j≤4}，
1 j 1 j
不妨设b ＜b ＜b ＜b ，
1 2 3 4
由单调性有b +b ＝6，b +b ＝10，b +b ＝20，b +b ＝24，
1 2 1 3 2 4 3 4
分两种情况讨论：
①b +b ＝12，b +b ＝18，
2 3 1 4
解得b ＝2，b ＝4，b ＝8，b ＝16，
1 2 3 4
②b +b ＝18，b +b ＝12，
2 3 1 4
解得b ＝﹣1，b ＝7，b ＝11，b ＝13，
1 2 3 4
所以有2种，
综上共有2 ＝48对．
故答案为：48．
【点评】本题综合考查了数列，不等式的应用，属于难题．
二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)
13．（4分）a，b，c R，b＞c，下列不等式恒成立的是（ ）
A．a+b2＞a+c2
∈
B．a2+b＞a2+c C．ab2＞ac2 D．a2b＞a2c【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
【解答】解：对于A，若|b|＜|c|，则b2＜c2，选项不成立，故A错误；
对于B，a2＝a2，b＞c，
由不等式的可加性可知，a2+b＞a2+c，故B正确．
对于C、D，若a＝0，则选项不成立，故C、D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
14．（4分）空间中有两个不同的平面 ， 和两条不同的直线m，n，则下列说法中正确
的是（ ） α β
A．若 ⊥ ，m⊥ ，n⊥ ，则m⊥n
B．若α⊥β，m⊥α，m⊥βn，则n⊥
C．若α∥β，m∥α，n∥ ，则m∥βn
D．若α∥β，m∥α，m∥βn，则n∥
【分析α】根β据题意α，由直线与平面平β行、垂直的性质分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若 ⊥ ，m⊥ ，则m∥ 或m ，又n⊥ ，所以m⊥n，故A正确；
对于B，若α⊥β，m⊥α，则m∥β 或m⊂β ，由m⊥βn，则n与 斜交、垂直、平行均有
可能，故B错α 误β； α β ⊂β β
对于C，若 ∥ ，m∥ ，则m∥ 或m ，由n∥ ，则m与n相交、平行、异面均有
可能，故C错α 误β； α β ⊂β β
对于D，若 ∥ ，m∥ ，则m∥ 或m ，又m∥n，则n∥ 或n ，故D错误．
故选：A． α β α β ⊂β β ⊂β
【点评】本题考查空间直线与平面间的位置关系，涉及直线与平面平行、垂直的判断，
属于基础题．
15．（5分）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记本本、笔袋，第四个礼盒里
面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选
盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则（ ）
A．事件A与事件B互斥
B．事件A与事件B相互独立
C．事件A与事件B∪C互斥
D．事件A与事件B∩C相互独立【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可．
【解答】解：选项A，事件A和事件B可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，
又有记事本，事件A与事件B互斥，A错误；
选项B，∵P（A）＝ ，P（B）＝ ，P（AB）＝ ，∴P（A）P（B）＝P（AB），B
正确；
选项C，事件A与事件B∪C可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记
事本或笔袋，C错误；
选项 D，∵P（A）＝ ，P（B∩C）＝ ，P（A∩（B∩C））＝ ，∴P（A）P
（B∩C）≠P（A∩（B∩C）），∴A与B∩C不独立，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查相互独立事件的概率公式，考查互斥事件的定义，属于基础题．
16．（5分）现定义如下：当x （n，n+1）时（n N），若f（x+1）＝f′（x），则称f
（x）为延展函数．现有，当∈x （0，1）时，g（∈x）＝ex与h（x）＝x10均为延展函数，
则以下结论（ ） ∈
（1）存在y＝kx+b（k，b R；k，b≠0）与y＝g（x）有无穷个交点
（2）存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）与y＝h（x）有无穷个交点
A．（1）（2）都成立 ∈ B．（1）（2）都不成立
C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立
【分析】根据题意，对于①，由“延展函数”的定义，分析可得g（x）是周期为1的
周期函数，结合一次函数的性质可得①错误，对于②，举出例子，可得②正确，综合
可得答案．
【解答】解：根据题意，当x （0，1）时，g（x）＝ex与h（x）＝x10均为延展函数，
对于①，对于g（x）＝ex，g∈（x+1）＝g′（x）＝ex，
则g（x）是周期为1的周期函数，其值域为（1，e），
因为k≠0，y＝kx+b与y＝g（x）不会有无穷个交点，所以（1）错；
对于②，当k＝10!时，存在b使得直线y＝kx+b可以与h（x）在区间（9，10）的函数
部分重合，因而有无穷个交点，所以（2）正确．
故选：D．
【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的图象，关键理解“延展函数”的定义，属于基础题．
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）
17．（14分）已知f（x）＝sin（ x+ ）， ＞0．
ω ω
（1）设 ＝1，求解：y＝f（x），x [0， ]的值域；
（2）a＞ω（a R），f（x）的最小正∈周期π为 ，若在x [ ，a]上恰有3个零点，求a的
取值范围．π ∈ π ∈ π
【分析】（1）由题意，根据正弦函数的单调性，求出函数的最值，可得结论．
（2）由题意，根据正弦函数的周期性和零点，求出a的取值范围．
【解答】解：（1）当 ＝1时，f（x）＝sin（ x+ ）＝sin（x+ ）．
ω ω
因为x [0， ]，所以令 ，
∈ π
根据y＝f（t）＝sint在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数的最大值为sin ＝1，最小值为sin ＝﹣sin ＝﹣ ．
因此函数的值域为[﹣ ，1]．
（2）由题知 ，所以 ＝2，f（x）＝sin（2x+ ）．
ω
当f（x）＝0时， ，即 ．
当k＝3时， ，所以 ，即 ．
因此，a的取值范围为[ ， ）．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
18．（14分）如图，PA、PB、PC为圆锥三条母线，AB＝AC．
（1）证明：PA⊥BC；
（2）若圆锥侧面积为 为底面直径，BC＝2，求二面角B﹣PA﹣C的大小．【分析】（1）取BC中点O，连接AO，PO，证明BC⊥面PAO，即可证得结论；
（2）法（i）BD⊥PA交于D，连接CD，可得∠CDB为两个平面所成的二面角的平面角，
由等面积法求出BD的值，求出∠CDB的余弦值，进而可得二面角的平面角，
法（ii ）建立空间直角坐标系，由题设求得平面 PAB和平面PAC的法向量，利用向量
夹角公式求得二面角的大小．
【解答】（1）证明：取BC中点O，连接AO，PO，
因为AB＝AC，PB＝PC，所以AO⊥BC，PO⊥BC，
又因为PO，AO 面PAO，PO∩AO＝O，
所以BC⊥面PAO⊂，又PA 面PAO，
所以PA⊥BC； ⊂
（2）解：法（i）由（1）可知，BC⊥OA，又PO⊥底面ABC，
作PM⊥AB，BD⊥PA交于D，连接CD，
由题意△PBA≌△PCA，可得CD⊥PA，
所以∠CDB为所求的二面角的平面角，连接OD，则∠CDB＝2∠BDO，
因为圆锥侧面积为 为底面直径，BC＝2，
所以底面半径为1，母线长为 ，所以 ，
PA＝ ＝ ＝ ，
AB＝ ，PB＝ ＝ ，PM＝ ＝ ＝ ，
S△PBA ＝ ×AB×PM＝ ×PA×BD，
即 × ＝ ×BD，解得BD＝ ，
所以sin∠BDO＝ ＝ ＝ ，
所以cos∠CDB＝1﹣2sin2∠BDO＝1﹣2×（ ）＝﹣ ，
所以二面角B﹣PA﹣C的平面角为钝角，
所以二面角B﹣PA﹣C的大小为 ．
法（ii）由（1）可知，BC⊥OA，又PO⊥底面ABC，因为圆锥侧面积为 为底面直径，BC＝2，
所以底面半径为1，母线长为 ，所以 ，
建立以OB为x轴，OA为y轴，以OP为z轴的坐标系，
则可得 ，
故 ，
设 为平面PAB的一个法向量，
由 ， ，
可得 ，
令 ，则 ，可得 ，
设 为平面PAC的一个法向量，
由 ， ，
可得 ，
令 ，则 ，可得 ，
则 ，
设二面角B﹣PA﹣C的平面角为 ，由图可知 为钝角，
θ θ
所以二面角B﹣PA﹣C的大小为 ．【点评】本题考查线面垂直及线线垂直的判定，考查二面角的求法，属中档题．
19．（14分）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．
（1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
（2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；
（3）抽取若干箱水果，其中一级果共 120个，单果质量平均数为 303.45克，方差为
603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方
差和平均数，并预估果园中单果的质量．
【分析】（1）由排列组合公式可得样本空间的样本点的个数及所求的事件的样本点的
个数，由古典概型的概率公式可得所求的概率；
（2）由两个级别的箱数之比，可得样本中两个级别的箱数；
（3）由分层抽样的平均数及方差的计算公式，可得168个水果的方差和平均数，进而
估计136箱单果的质量．
【解答】解：（1）古典概型：设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，样本空间
的样本点的个数n＝ ＝ ＝9180，
A事件的样本点的公式m＝ • ＝3468，
所以P（A）＝ ＝ ＝ ；
（2）因为一级果箱数：二级果箱数＝3：1，
所以8箱水果中有一级果抽取6箱，二级果抽取2箱；
（3）设一级果平均质量为 ，方差为 ，二级果质量为 ，方差为 ，总体样本平均
质量为 平均值，方差为S2，
因为 ＝303.45， ＝240.41， ＝603.46， ＝648.21，所以 ＝ ×303.45+ ×240.41＝285.44克，
S2＝ ×[603.46+（303.45﹣285.44）2]+ ×[648.21+（240.41﹣285.44）2]＝
1427.27克2．
预估：平均质量为 • + • ＝287.69克．
【点评】本题考查分层抽样的平均数公式及方差公式的应用，属于基础题．
20．（18分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆 上一点，F 、
1
F 分别为椭圆的左、右焦点．
2
（1）若点A的横坐标为2，求|AF |的长；
1
（2）设Γ的上、下顶点分别为M 、M ，记△AF F 的面积为S ，△AM M 的面积为
1 2 1 2 1 1 2
S ，若S ≥S ，求|OA|的取值范围．
2 1 2
（3）若点A在x轴上方，设直线AF 与Γ交于点B，与y轴交于点K，KF 延长线与Γ
2 1
交 于 点 C ， 是 否 存 在 x 轴 上 方 的 点 C ， 使 得
成立？若存在，请求出点C的坐标；
若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意，设出点A的坐标，将点A的坐标代入椭圆方程中再结合公式进
行求解即可；
（2）设出点A的坐标，结合三角形面积公式以及题目所给信息，列出等式再进行求解
即可；
（3）设出A，B两点的坐标，根据对称性得到点C的坐标，利用向量的运算以及题目所
给信息求出y +2y ＝0，设出直线AF 的方程，将直线AF 的方程与椭圆方程联立，利用
2 1 2 2
韦达定理以及点A在直线AF 上，即可求出满足条件的C点坐标．
2
【解答】解：（1）因为点A的横坐标为2，
不妨设A（2，y），
因为点A在椭圆Γ上，
所以 ，解得 ，
易知F （﹣2，0），
1
所以 ＝ ；
（2）不妨设A（x，y），xy≠0，
此时 ，
因为S ≥S ，
1 2
所以 ，
即2y2≥x2，
又 ，
所以2y2≥6﹣3y2，
解得 ，
则 ，
故|OA|的范围为 ；
（3）不妨设A（x ，y ），y ＞0，B（x ，y ），
1 1 1 2 2
由对称性可得A、C关于y轴对称，
所以C（﹣x ，y ），
1 1
又F （﹣2，0），F （2，0），
1 2
此时 ，
所以 ，
同理得 ，
因为 ，
所以 ，解得y +2y ＝0或 （无解），
2 1
不妨设直线AF ：x＝my+2，
2
联立 ，消去x并整理得（m2+3）y2+4my﹣2＝0，
由韦达定理得 ，
解得 ，
此时 ，
又x ＝my +2，
1 1
解得 ，
此时 ．
故 存 在 x 轴 上 方 的 点 ， 使 得
成立．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档
题．
21．（18分）记M（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≥a}，L（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），
x≤a}．
（1）若f（x）＝x2+1，求M（1）和L（1）；
（2）若f（x）＝x3﹣3x2，求证：对于任意a R，都有M（a） [﹣4，+∞），且存在
a，使得﹣4 M（a）． ∈ ⊆
（3）已知定∈义在R上f（x）有最小值，求证“f（x）是偶函数“的充要条件是“对于
任意正实数c，均有M（﹣c）＝L（c）”．【分析】（1）根据条件，直接求出M（1）和L（1）即可；
（2）由题意知，M（a）＝{t|t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a}，记g（x）＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，
判断g（x）的单调性，求出极值，再对a分类讨论，进一步证明结论成立即可；
（3）必要性：若f（x）为偶函数，则M（﹣c）＝{t|t＝f（x）﹣f（﹣c），x≥﹣c}，L
（c）＝{t|t＝f（x）﹣f（c），x≤c}，结合条件，得到M（﹣c）＝L（c）即可；充分性：
若对于任意正实数c，均有M（﹣c）＝L（c），其中M（﹣c）＝{t|t＝f（x）﹣f（﹣
c），x≥﹣c}，L（c）＝{t|t＝f（x）﹣f（c），x≤c}，由f（x）有最小值，不妨设f
（a）＝f ＝m，进一步证明f（x）是偶函数即可．
min
【解答】解：（1）由题意，得M（1）＝{t|t＝x2+1﹣2，x≥1}＝[0，+∞）；
．
（2）证明：由题意知，M（a）＝{t|t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a}，
记g（x）＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，则g′（x）＝3x2﹣6x＝0 x＝0或2．
x （﹣∞，0） 0 （0，2）⇒ 2 （2，+∞）
g′（x） 正 0 负 0 正
g（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
现对a分类讨论，当a≥2，有t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a为严格增函数，
因为g（a）＝0，所以此时M（a）＝[0，+∞） [﹣4，+∞）符合条件；
当0≤a＜2时，t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a先增后⊆减， 3a2﹣4，
因为﹣a3+3a2＝a2（3﹣a）≥0（a＝0取等号），所以 4≥﹣
4，
则此时M（a）＝[﹣a3+3a2﹣4，+∞） [﹣4，+∞）也符合条件；
当 a＜0 时，t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥⊆a，在[a，0）严格增，在[0，2]严格减，在
[2，+∞）严格增，
，
因为h（a）＝﹣a3+3a2﹣4，当a＜0时，h′（a）＝﹣3a2+6a＞0，则h（a）＞h（0）
＝﹣4，
则此时M（a）＝[t ，+∞） [﹣4，+∞）成立；
min
综上可知，对于任意 a R，⊆都有 M（a） [﹣4，+∞]，且存在 a＝0，使得﹣4 M
∈ ⊆ ∈（a）．
（3）证明：必要性：若f（x）为偶函数，
则M（﹣c）＝{t|t＝f（x）﹣f（﹣c），x≥﹣c}，L（c）＝{t|t＝f（x）﹣f（c），
x≤c}，
当x≥﹣c，t＝f（x）﹣f（﹣c）＝f（﹣x）﹣f（c），因为﹣x≤c，故M（﹣c）＝L
（c）；
充分性：若对于任意正实数c，均有M（﹣c）＝L（c），
其中M（﹣c）＝{t|t＝f（x）﹣f（﹣c），x≥﹣c}，L（c）＝{t|t＝f（x）﹣f（c），
x≤c}，
因为f（x）有最小值，不妨设f（a）＝f ＝m，
min
由于c任意，令c≥|a|，则a [﹣c，c]，所以M（﹣c）最小元素为f（a）﹣f（﹣c）＝m
﹣f（﹣c）． ∈
L（c）中最小元素为m﹣f（c），又M（﹣c）＝L（c） f（c）＝f（﹣c）对任意c≥|a|
成立， ⇒
所以f（a）＝f（﹣a）＝m，
若a＝0，则f（c）＝f（﹣c）对任意c⩾0成立 f（x）是偶函数；
若 a≠ 0 ， 此 后 取 c ⇒ （ ﹣ |a| ， |a| ） ，
∈
，
综上，任意c⩾0，f（c）＝f（﹣c），即f（x）是偶函数．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，充分必要条件的证明，函数的
奇偶性与集合间的关系，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．
