正弦定理与余弦定理
模块1
正弦定理
4
模块2
余弦定理
7
复数
模块1
复数的概念与几何意义
16
模块2
复数的运算
20
空间几何体初步
模块1
多面体
28
模块2
旋转体
32
空间的平行关系
模块1
平面三公理
40
模块2
线面平行的判定
44
模块3
面面平行的判定
47
目录
Contents
空间的垂直关系
模块1
线面垂直的判定与性质
54
模块2
面面垂直的判定与性质
58
统计初步
模块1
随机抽样
68
模块2
用样本估计总体
70
概率初步
模块1
概率与互斥事件的加法公式
80
模块2
古典概型
84
模块3
相互独立事件的乘法公式
86
第1 讲
正弦定理与余弦
定理
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3
1
知识引航
在非著名游戏Bridge Constructor（桥梁构造者）中，玩家需要客串搬砖民工，在资金有限的情况下，建造出
一座足够牢固的大桥，保障过往车辆的安全. 如果不幸你失败了，那么大概就会变成下面这样：
或者这样：
在构筑一座靠谱的桥梁的过程中，我们很容易发现，三角形的结构是最稳定的，成功的桥梁大概像下面这
样：
或者这样：
那么问题来了，挖掘机——哦不，为什么三角形能够具有如此优越的稳定性？能够在起重机、屋顶、吊臂、桥
梁等诸多方面有如此多的应用呢？
通俗一点来理解的话，当所有的边长都固定以后，其余的多边形的形状都是不固定的，会有无穷多种情况，
而对于三角形而言，就只会有一种情况，正是这种确定性，导致了它的稳固.
也正是因为这种确定性，使得我们能够确定一个三角形的形状，称为解三角形.
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4
1
1
模块
1
正弦定理
知识凝炼
1
解三角形
一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他
元素的过程叫做解三角形．
2
正弦定理
a
sinA =
b
sinB =
c
sinC = 2R（R 为△ABC 的外接圆半径）
精讲精练
例1
★
正确率：82%
在△ABC 中，已知A = 60◦,B = 45◦,b=4，则a =( )．
A.
√
5
B.
√
6
C. 2
√
6
D. 2
√
7
例2
★★
正确率：65%
在△ABC 中，角A、B、C 的对应边分别是a、b、c．已知A = 75◦，B = 45◦，c = 4，则b =( )．
A. 4
√
6
3
B. 4
√
3
3
C. 4
√
6
D. 2
√
6
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5
1
例3
★★
在△ABC 中，cosA = 1
2，∠B = 45◦，a = 2
√
3，则b =
．
达标检测1
★★
在△ABC 中，已知cosB = 4
5，b = 2，A=30◦，则a =( )．
A. 5
3
B. 4
3
C. 5
4
D. 3
4
例4
★★
在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别是a、b、c．已知B = 45◦,b = 2,a =
√
6，求A．
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6
1
例5
★★
在△ABC 中，角A、B、C 对边分别是a、b、c．已知A = 45◦,b =
√
3,a =
√
6，求B．
例6
★★
在△ABC 中，若B = 45◦，b = 4
3
√
3，c = 2
√
2，则A =( )．
A. 15◦
B. 75◦
C. 75◦或105◦
D. 15◦或75◦
达标检测2
★★
已知△ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，且a = 4，b = 4
√
2，B = π
4 ，则角A 的大小为( )．
A. 5π
6
B. π
6 或5π
6
C. π
3
D. π
6
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7
1
2
模块
2
余弦定理
知识凝炼
余弦定理
c2 = a2 +b2 −2abcosC
b2 = a2 +c2 −2accosB
a2 = b2 +c2 −2bccosA
精讲精练
例7
★
正确率：83%
在△ABC 中，已知A = 60◦，b = 2,c = 3，则a =( )．
A.
√
5
B.
√
6
C.
√
7
D. 2
√
2
例8
★★
在△ABC 中，若AB = 2，BC = 3，cosB = −1
4，则cosC =( )．
A. 7
8
B. 5
8
C. 2
3
D. 1
2
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8
1
例9
★★★
设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．若a = 2，c = 2
√
3，cosA =
√
3
2 ，且b < c，则b =( )．
A.
√
3
B. 2
C.
√
2
D. 3
例10 ★★★
正确率：66%
在△ABC 中，已知角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且a = 2，c =
√
6，A = 45◦，则b 的大小是( )．
A.
√
3+1 或
√
3−1
B.
√
3+1
C.
√
3−1
D.
√
3−2 或
√
3+2
例11 ★★★
正确率：60%
在△ABC 中，BC = 2，AB = 4，cosC = −1
4，则AC 的值为( )．
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
达标检测3
★★
△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a，b，c．已知a =
√
5，c = 2，cosA = 2
3，则b =( )．
A.
√
2
B.
√
3
C. 2
D. 3
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9
1
例12 ★★
在△ABC 中，已知a = 3，b = 5，c = 7，则角C 等于
．
例13 ★★
正确率：83%
已知△ABC 的边长分别为5,7,8，则它的最大角与最小角的和是( )．
A. 90◦
B. 120◦
C. 135◦
D. 150◦
例14 ★★★
正确率：55%
在△ABC 中，已知b2 = a2 −c2 −
√
3bc，则A =( )．
A. 105◦
B. 120◦
C. 135◦
D. 150◦
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10
1
春季你会遇见
在△ABC 中，已知(a+b+c)(a−b−c) = −3bc，则A =( )．
A. 30◦
B. 150◦
C. 60◦
D. 120◦
答案
C
解析
(a+b+c)(a−b−c) = −3bc 展开移项得b2 +c2 −a2 = bc，
由余弦定理，得cosA = b2 +c2 −a2
2bc
= 1
2，
∴A = 60◦．
【点石成金】我们已经学习过余弦定理，寒假主要直接利用余弦定理来解题，春季，需要将所给
条件进一步转换成余弦定理解题，期待春季的学习吧！
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11
1
随堂测试
测试1 △ABC 的内角A，B，C 所对的边长分别为a，b，c，且a = 2，b =
√
2，A = π
4 ，则B 为( )．
a. π
6
B. π
6 或5π
6
C. π
3
D. π
3 或2π
3
测试2 在△ABC 中，角A、B、C 所对应的边分别为a、b、c，若a = 2，b+c = 7，cosB = −1
4，则b =
．
测试3 已知△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若a = 3,b = 4,cosB = 3
5，则边c =( )．
A.
√
3
B.
√
5
C. 3
D. 5
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12
1
课堂总结
第2 讲
复数
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15
2
知识引航
复数的发展过程
16 世纪意大利米兰学者卡当在1545 年发表了《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后
人称为“卡当公式”，他是第一个把复数的平方根写到公式中得数学家. 他在讨论能否把10 分成两部分，使它们
的积为40. 尽管他认为是没有意义的，可还是把答案写成就这样把10 分成两部分，而答案为40.
1637 年，法国数学家笛卡尔在《几何学》一书中提出：
“虚的数与实的数相对应”. 自此，虚数流传开来，但
却引起数学系的一片困惑. 很多大数学家都不承认.1702 年德国数学家莱布尼茨说：
“虚数是神灵循迹的精微而
奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界种的两栖物”. 欧拉也说过：
“一切形如√−1，的数学式子是不可能有
的”，
“它们纯属虚幻的”.
然而，真理是经得起考验的.
1747 年，法国数学家达朗贝尔指出按照多项式的四则运算法则对虚数进行运算结果总是a + b√−1（a，b
是实数）的形式.
1748 年，欧拉发现了有名的关系式并且在1777 年发表的《微分公式》中第一次用了i 来表示-1 的平方
根.
1779 年，挪威的测量学家成塞尔给虚数以直观的几个解释并首先发表了其作法，但没有引起学术界的重
视.
1806 年，德国数学家高斯公布了虚数的图象表示法，又在1832 年提出“复数”这个名词，并且将复数的知
识系统的表述出来. 终于虚数在高斯手中得到发展.
自此复数理论才比较完整和系统的建立起来.
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16
2
1
模块
1
复数的概念与几何意义
知识凝炼
一、复数的概念
1
虚数单位i：i2 = −1．
2
复数：所有形如a + bi(a,b ∈R) 的数就称为复数，复数通常用小写字母z 表示，即z = a + bi(a,b ∈R)，其
中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部．
3
复数的分类：z = a+bi（a,b ∈R）
若b = 0，则z 为实数；
若b̸ = 0，则z 为虚数；a = 0，b̸ = 0 时，z 称为纯虚数．
4
复数集：全体复数所构成的集合，也称复数系，常用C 表示，即C = {z|z = a+bi,a ∈R,b ∈R}．
5
复数相等与比较大小
⑴相等的复数：a+bi = c+di⇔a = c 且b = d；
⑵比较大小：虚数不能比较大小，只有实数可以比较大小．
6
对所有的实系数一元二次方程ax2 +bx+c = 0(a̸ = 0)，
若∆= b2 −4ac < 0，则此方程没有实根，但有两个虚根，且两根x = −b
2a ±
√
4ac−b2
2a
i 互为共轭复数，故
实系数一元二次方程的虚根成对出现．
精讲精练
例1
★★
若x ∈R，当x 取何值时，
(
x2 +x−2
)
+
(
x2 −3x+2
)
i 是实数？虚数？纯虚数？
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17
2
例2
★★
已知(x−3)+
(
x2 −14x+40
)
i > 5，则实数x =
．
达标检测1
★★
已知两个复数z1 = (x+y)−(xy+4)i(x ,y ∈R) 和z2 = −5+20i，当实数x 取何值时，z1 和z2 相等( )．
A. −8
B. −3
C. −8 或3
D. 8 或−3
例3
★★★
在复数集内解方程：①x2 +4x+5 = 0；②x2 +x+1 = 0；③x4 −2x2 −3 = 0．
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18
2
例4
★★★
若方程x2 +mx+2xi = −1−mi 有实根，求出实数m 的值，并求出此实根．
达标检测2
★★★
已知复数2i−3 是关于x 的方程2x2 + px+q = 0 的一个根，则实数p，q 的值分别是( )．
A. 12，0
B. 24，26
C. 12，26
D. 6，8
知识凝炼
二、复数的几何意义
1
复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．x 轴的单位是1，y 轴的单位是i．实轴与虚轴的交点叫做原点，
原点(0,0) 对应复数0．
2
复数的模：
设−→
OZ = a + bi(a,b ∈R)，则向量−→
OZ 的长度叫做复数a + bi 的模（或绝对值），记作|a + bi|，|a + bi| =
√
a2 +b2．
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19
2
精讲精练
例5
★★
在复平面内，若复数z =
(
m2 −m−2
)
+
(
m2 −3m+2
)
i 的对应点
①在虚轴上；②在第二象限；③在直线y = x 上，
分别求实数m 的取值范围．
例6
★★
设z = a+bi ∈C，在复平面内，满足条件a > 0，b > 0，2 < |z| < 4 的复数z 对应的点的集合是什么图形？
达标检测3
★★
设z = 2t2 +5t −3+(t2 −2t +2)i，t ∈R，则下列命题中一定正确的是( )．
A. z 的对应点Z 在第一象限
B. z 的对应点Z 在第四象限
C. z 不是纯虚数
D. z 是虚数
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20
2
2
模块
2
复数的运算
知识凝炼
1
复数的加法
定义：设z1 = a+bi(a,b ∈R)，z2 = c+di(c,d ∈R)，定义z1 +z2 = (a+c)+(b+d)i．
2
复数的减法
定义：z1 −z2 = (a+bi)−(c+di) = (a−c)+(b−d)i．
3
复数的乘法
定义：z1 ·z2 = (a+bi)·(c+di) = (ac−bd)+(bc+ad)i．
4
共轭复数
如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．
复数z 的共轭复数用z 表示，即当z = a+bi 时，z = a−bi．¯¯z = z．
5
复数的除法
(a+bi)÷(c+di) = a+bi
c+di = (a+bi)(c−di)
c2 +d2
，
1
z =
1
a+bi =
a−bi
(a+bi)(a−bi) = a−bi
a2 +b2 =
z
|z|2 ，1
z 称为复数z（z̸ = 0）的倒数．
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21
2
精讲精练
例7
★★
正确率：69%
已知a，b ∈R，i 是虚数单位．若(1+i)(1−bi) = a，则a
b 的值为
．
例8
★★★
正确率：63%
若复数a+3i
1+2i (a ∈R) 为纯虚数，则实数a =( )．
A. 6
B. −6
C. −3
2
D. 3
2
达标检测4
★★
设(1+2i)(a+i) 的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =( )．
A. −3
B. −2
C. 2
D. 3
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22
2
例9
★★★
正确率：82%
若复数z 满足2z+z = 3−2i，其中i 为虚数单位，则z =( )．
A. 1+2i
B. 1−2i
C. −1+2i
D. −1−2i
例10 ★★★★正确率：26%
如果复数z = 2−bi
1+2i 的实部与虚部互为相反数，则3zz+z+z =( )．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
达标检测5
★★★
若z = 1+2i，则
4i
zz−1 =( )．
A. 1
B. −1
C. i
D. −i
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23
2
随堂测试
测试1 复数z1 = a+4i，z2 = −3+bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b 的值为( )．
A. a = −3，b = −4
B. a = −3，b = 4
C. a = 3，b = −4
D. a = 3，b = 4
测试2 复数
2i
1+i =( )．
A. −i
B. 1+i
C. i
D. 1−i
测试3 设i 是虚数单位, 若复数z = 2i−
5
2−i, 则|z| 的值为( )．
A.
√
3
B.
√
5
C. 3
D. 5
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24
2
课堂总结
第3 讲
空间几何体初步
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27
3
知识引航
立体几何(Solidgeometry) 是三维欧氏空间的几何的传统名称，实际上大致就是我们生活的空间．在正式学
习之前，我们先来看一个故事．
在颜色问题上，千百年来一直有一个难解的谜：太阳光看起来是白的，可雨后的天空为什么有时会出现一
条七色彩虹呢？对此，众说纷纭．科学家们就开始解释了．法国数学家笛卡儿就说：颜色是许多小粒子在转，转
速不同，颜色也就不同．可将这个现象解释得最好的科学家，还是牛顿．
1666 年，牛顿还在剑桥大学当穷学生时，他脑海里就翻腾过这个颜色问题．有天他一边把玩一块三棱镜，
一边思考问题，不经意间用三棱镜截住了透进房间的细光，他回过头去看这光落在墙上的影子．这一看不要紧，
那墙上竟出现一段红、橙、黄、绿、青、蓝、紫的彩色光带．
于是牛顿大受启发，又弄来一块三棱镜，布置起一个真正的暗室．他先让一束光穿过一个黑色木板上的小
孔，用三棱镜将它分成七条不同的彩色光，再用一个有孔的木板挡住分解后的光，让每条单色光逐一从孔里通
过，木板后再放一个三棱镜．这时新的发现出现在粉墙上：一是这单色光通过三棱镜时不会再分解，二是各色光
束经过三棱镜时折射的角度不同．凭着数学天才和实践才能，牛顿很快就计算出红、绿、蓝三色光的折射指数．
这一实验后不久，1669 年底牛顿就开始在剑桥大学向学生们开设光学课了．三棱镜真是个神奇的物体！
事实上，三棱镜的形状就是三棱柱，在立体几何里面我们会学习圆柱、圆锥、圆台、球、和棱柱等几何体，还
有空间里面的直线和平面．不仅如此，我们还会把平面直角坐标系和平面向量拓展到三维，进化成空间直角坐
标系和空间向量，来帮我们解决更多的问题！
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28
3
1
模块
1
多面体
知识凝炼
一、几何体
1
立体几何中的基本元素：点、线、面．
2
几何体：只考虑形状与大小, 不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体, 比如长方体, 球体等．
3
多面体：由若干个平面多边形所围成的封闭的几何体．
4
旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体.
这条定直线叫做旋转体的轴．
5
截面：一个几何体和一个平面相交所得的平面图形（包括它的内部），叫做这个几何体的截面．
二、多面体的结构特征
1
棱柱：两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体叫
做棱柱．
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29
3
2
棱锥：一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥．
3
棱台：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．
精讲精练
例1
★★★
下列关于棱柱的命题，其中真命题的序号是
．
①棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形；
②有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
③九棱柱有9 条侧棱，9 个侧面，侧面为平行四边形；
④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
⑤底面是矩形的平行六面体是长方体；
⑥所有棱长都相等的直四棱柱是正方体．
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30
3
例2
★★★
下列关于棱锥的命题，其中真命题的序号是
．
①有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥；
②棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥；
③一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；
④一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；
⑤底面是三角形且所有棱长都相等的棱锥是正三棱锥；
⑥侧棱长度相等且底面是菱形的棱锥是正四棱锥．
例3
★★
下列关于棱台的命题，其中真命题的序号是
．
①一平面截一棱锥得到一个棱锥和棱台；
②有两个面互相平行且相似，其余各面均为梯形的多面体是棱台；
③棱台的所有面不可能都是梯形；
④棱台的侧棱延长后必交于一点．
例4
★★★
正四棱锥的斜高为2，侧棱长为
√
5，求中截面(即过高线的中点且平行于底面的截面) 的面积．
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31
3
例5
★★★
已知正三棱锥S−ABC 的高SO = h，斜高SM = l，求经过SO 的中点且平行于底面的截面△A1B1C1 的
面积．
例6
★★★★正确率：60%
正四棱台的高为
√
17，两底面的边长分别是4 和8，它的侧棱长和斜高分别为( )．
A. 10，5
B.
√
21，10
C. 5，
√
21
D. 5，10
达标检测1
★★★
若正四面体的所有棱长都为2，则它的高为( )．
A.
√
6
3
B. 2
√
6
3
C.
√
6
D. 2
√
6
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32
3
2
模块
2
旋转体
知识凝炼
1
圆柱、圆锥和圆台：
圆柱
圆锥
圆台
精讲精练
例7
★
正确率：78%
下列命题中，错误的是( )．
A. 圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形
B. 圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
C. 圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
D. 当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆
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33
3
达标检测2
★
下列结论中，正确的是( )．
A. 三角形绕其一边旋转一周后成一个圆锥
B. 一个直角梯形绕其一边旋转一周后成为一个圆台
C. 平行四边形绕其一边旋转一周后成为圆柱
D. 圆面绕其一条直径旋转一周后成为一个球
例8
★★
正确率：72%
给出如下四个命题：
①用一个平面去截一个正方体，截出的面一定是正方形或长方形；
②用一个平面去截一个圆柱，截出的面一定是圆；
③用一个平面去截圆锥，截出的面一定是三角形；
④用一个平面去截一个球，无论如何截，截面都是一个圆．
其中正确命题的个数为( )．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
达标检测3
★★
用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是( )．
A. 圆锥
B. 圆柱
C. 球体
D. 以上都有可能
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34
3
例9
★★★
正确率：82%
将边长为1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )．
A. 4π
B. 3π
C. 2π
D. π
例10 ★★★
正确率：56%
圆台的一个底面周长是另一个底面周长的1
3，轴截面的面积等于648cm2，母线与底面的夹角是45◦，则
这个圆台的母线长为( )．
A. 9
B. 18
√
2
C. 9
√
2
D. 18
达标检测4
★★★
如果用半径为R = 2
√
3 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是
．
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35
3
春季你会遇见
已知A、B 是球O 的球面上两点，且∠AOB = 120◦,C 为球面上的动点，若三棱锥O−ABC 体积的最
大值为2
√
3
3 ，则球O 的表面积为( )．
A. 4π
B. 32π
3
C. 16π
D. 32π
答案
C
解析
如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O−ABC 的体积最大，设球O
的半径为R，
此时VO−ABC = VC−AOB = 1
3 × 1
2R2 ×
√
3
2 ×R = 2
√
3
3 ，
故R = 2，则球O 的表面积为4πR2 = 16π，
故选：C．
【点石成金】寒假我们学习了旋转体-圆柱、圆锥和圆台，春季我们会学习另外一种旋转体-球
体，学习几何体的外接球，提高空间想象力.
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36
3
随堂测试
测试1 下列说法正确的是( )．
A. 底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱
B. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥
C. 各侧面是正三角形的四棱锥是正四棱锥
D. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
测试2 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
√
2，
√
3，
√
6，则这个长方体对角线的长是( )．
A. 2
√
3
B. 3
√
2
C. 6
D.
√
6
测试3 圆台的上、下底面半径和高的比为1 : 4 : 4，母线长为10，则圆台的侧面积为( )．
A. 81π
B. 100π
C. 14π
D. 169π
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37
3
课堂总结
第4 讲
空间的平行关系
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39
4
知识引航
《星际穿越》中的超正方体
在电影《星际穿越》的最后，主人公库伯掉入了四维超正方体．你知道这个四维超正方体是什么吗？二维
的多边形到了三维对应的是多面体，那么按照同样的类比，在四维空间是什么样的呢？在几何学中超正方体是
立方体的四维类比，四维方体之于立方体，就如立方体之于正方形．它们最先在19 世纪被数学家路德维希·施
莱夫利所发现，通过透视投影，我们可以看到它们中的代表长什么样．对于生活在三维空间的人类来说，四维世
界是很神秘的概念．正像生活在二维世界里的小人（如果存在）很难想象三维世界一样，我们同样难以想象四
维世界．不过也正像我们可以通过研究三维物体在二维物体上的投影来研究想象三维物体一样，我们也可以通
过四维物体在三维世界中的立体图形投影来研究四维世界．
《星际穿越》中展示的超正方体，就是“四维的正方体”的透视投影效果．由于人类目前无法理解四维空间，
所以导演诺兰设计让库伯掉入超正方体的其中一个面里．正方体的面是二维的，因此超正方体的面是三维的．
库伯正是掉入超正方体的“三维面”，才没有灰飞烟灭．同时，墨菲的卧室位于超正方体的另外一个三维面上，这
也是为什么库伯会在超正方体中看到墨菲的卧室．
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40
4
1
模块
1
平面三公理
知识凝炼
一、立体几何中的集合语言：
我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用
集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：
点A 在直线l 上，记作：A ∈l；点A 不在直线l 上，记作A /∈l；
点A 在平面α 内，记作：A ∈α；点A 不在平面α 内，记作A /∈α；
直线l 在平面α 内（即直线上每一个点都在平面α 内），记作l ⊂α；
直线l 不在平面α 内（即直线上存在不在平面α 内的点），记作l̸ ⊂α；
直线l 和m 相交于点A，记作l ∩m = {A}，简记为l ∩m = A；
平面α 与平面β 相交于直线a，记作α ∩β = a．
二、平面的三个公理：
1
公理一：如果一条直线上的两点在同一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
符号语言表述：A ∈l,B ∈l,A ∈α,B ∈α ⇒l ⊂α．
2
公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个
平面．
符号语言表述：A,B,C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈α,B ∈α,C ∈α．
3
公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个
点的公共直线．
符号语言表述：A ∈α ∩β ⇒α ∩β = a,A ∈a．
如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个
平面的交线．
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41
4
三、平面基本性质的推论：
推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
四、线线、线面、面面间的位置关系
1
平行线：在同一个平面内不相交的两条直线．
平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．
2
空间中两直线的位置关系：
⑴共面直线：平行直线与相交直线；
⑵异面直线：不同在任一平面内的两条直线．
3
直线与平面的位置关系：
⑴直线l 在平面α 内：直线上所有的点都在平面内，记作l ⊂α，如图⑴；
⑵直线l 与平面α 相交：直线与平面有一个公共点A；记作l ∩α = A，如图⑵；
⑶直线l 与平面α 平行：直线与平面没有公共点，记作l//α，如图⑶．
4
两个平面的位置关系
⑴两个平面α,β 平行：没有公共点，记为α//β；
⑵两个平面α,β 相交：有一条交线，α ∩β = l．
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42
4
精讲精练
例1
★★
判断下面说法是否正确：
①如果一条直线与两条直线都相交, 那么这三条直线确定一个平面．
②经过一点的两条直线确定一个平面．
③经过空间任意三点有且只有一个平面．
④若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形．
⑤两个平面的公共点的集合，可能是一条线段．
达标检测1
★★
在空间内，一定可以确定一个平面的是( )．
①不共线的三点；
②四边形；
③梯形；
④三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交；
⑤有三个角为直角的四边形；
⑥不同的三个点；
⑦三条两两相交的直线，但不交于同一点．
A. ③④⑥
B. ①②③
C. ①③⑤
D. ①③⑦
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43
4
例2
★★★
正确率：66%
下面4 个命题：
①若直线a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 异面．
②若直线a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交．
③若直线a//b，b//c ，则a//b//c．
④若直线a//b，则a，b 与直线c 所成的角相等．
其中真命题的个数是( )．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
例3
★★★★
给出以下说法：
①不共面的四点中，任意三点不共线；
②有三个不同公共点的两个平面重合；
③没有公共点的两条直线是异面直线；
④分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；
⑤一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．
其中正确结论的序号是
．
达标检测2
★★
下列选项错误的是( )．
A. A ∈l, A ∈α, B ∈l, B ∈α ⇒l ⊂α
B. A ∈α, A ∈β, B ∈α, B ∈β ⇒α ∩β = AB 所在的直线
C. A, B, C ∈α, A, B, C ∈β，且A, B, C 不共线⇒α,β 重合
D. l̸ ⊂α, A ∈l ⇒A /∈α
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44
4
2
模块
2
线面平行的判定
知识凝炼
1
直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线
和这个平面平行．
符号语言表述：l̸ ⊂α,m ⊂α,l//m ⇒l//α．
精讲精练
例4
★
正确率：59%
下列命题，能得出直线m 与平面α 平行的是( )．
A. 直线m 与平面α 内所有直线平行
B. 直线m 与平面α 内无数条直线平行
C. 直线m 与平面α 没有公共点
D. 直线m 与平面α 内的一条直线平行
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45
4
例5
★★
正确率：66%
已知长方体ABCD−A1B1C1D1 中，E 为AA1 的中点，F 为BB1 的中点，与EF 平行的长方体的面有
( )．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
达标检测3
★★
能保证直线a 与平面α 平行的条件是( )．
A. b ⊂α，a//b
B. b ⊂α，c ⊂α，a//b，a//c
C. b ⊂α，A，B ∈a，C，D ∈b，且AC = BD
D. a̸ ⊂α，b ⊂α，a//b
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46
4
例6
★★
如图，四面体ABCD 中，O、E 分别是BD、BC 的中点，求证：OE// 平面ACD．
例7
★★
如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//DC，DC = 2，AB = 1，点E 为棱PC 的中点．
证明：BE// 平面ADP．
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47
4
3
模块
3
面面平行的判定
知识凝炼
2
两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
符号语言表述：a ⊂α,b ⊂α,a∩b = A,a//β,b//β ⇒α//β．
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．
精讲精练
达标检测4
★★
平面α 与平面β 平行的条件可以是( )．
A. α 内有无穷多条直线与β 平行
B. α 内的任何直线都与β 平行
C. 直线a 在平面α 内，直线b 在平面β 内，且a//β,b//α
D. 直线a//α，直线a//β
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48
4
例8
★★★
正确率：30%
下列命题中，真命题的是( )．
①若a//α，a//β，b//α，b//β，则α//β；
②若a ⊂α，b ⊂β，a//b，则α//β；
③若a//α，a//β，b//α，b//β，a∩b = A，则α ∩β̸ = ∅；
④若a ⊂α,b ⊂β,α//β，则a∩b = ∅；
⑤若α//β，a ⊂α，b ⊂β，则a//b；
⑥若两个平面α ∩β = b,a ⊂α，则a∩β̸ = ∅．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
达标检测5
★★★
若平面α// 平面β，直线a ⊂α，点B ⊂β，则在β 内过点B 的所有直线( )．
A. 不一定存在与a 平行的直线
B. 只有两条与a 平行的直线
C. 存在无数条与a 平行的直线
D. 有且只有一条与a 平行的直线
例9
★★★
如图，在棱长为a 的正方体ABCD−A1B1C1D1 中，E、F、G 分别是CB、CD、CC1 的中点．
求证：平面AB1D1// 平面EFG．
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49
4
春季你会遇见
如图，在棱长为2 的正方体ABCD −A1B1C1D1 中，点M 是A1B1 的中点，点P 是侧面CDD1C1 上
的动点，且MP// 截面AB1C，则线段MP 长度的取值范围是( )．
A.
[√
2,
√
6
]
B.
[√
6,2
√
2
]
C.
[√
6,2
√
3
]
D.
[√
6,3
]
答案
B
解析
取CD 的中点N，CC1 的中点R，B1C1 的中点H，连接MH，HR，MR，NR，MN，
则MN//B1C//HR，MH//AC，
故平面MNRH// 平面AB1C，
MP ⊂平面MNRH，线段MP 扫过的图形是△MNR，
由AB = 2，则MN = 2
√
2，NR =
√
2，MR =
√
6，
∴MN2 = NR2 +MR2，
∴∠MRN 是直角，
∴线段MP 长度的取值范围是：[MR,MN]，即
[√
6,2
√
2
]
．
故选：B．
【点石成金】寒假我们学习了线面平行的证明，所给的线、面都是固定的，春季我们将进一步
研究动向问题来求解线段的取值范围等.
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50
4
随堂测试
测试1 在空间四边形ABCD 中，E，F 分别为AB，AD 上的点，且AE : EB = AF : FD = 1 : 4，又H，G 分别是
BC，CD 的中点，则( )．
A. BD// 平面EFG，且四边形EFGH 是平行四边形
B. EF// 平面BCD，且四边形EFGH 是梯形
C. HG// 平面ABD，且四边形EFGH 是平行四边形
D. EH// 平面ADC，且四边形EFGH 是梯形
测试2 在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，E,F,G 分别是A1B1,B1C1,BB1 的中点，给出下列四个推断：
①FG// 平面AA1D1D；
②EF// 平面BC1D1；
③FG// 平面BC1D1；
④平面EFG// 平面BC1D1．
其中推断正确的序号是( )．
①③
①④
②③
②④
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51
4
课堂总结
第5 讲
空间的垂直关系
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53
5
知识引航
欧几里得与《几何原本》
欧几里得是古希腊的数学家, 被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提得
五大公式，其中欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．
《几何原本》的重要性并不在于书中提
出的哪一条定理．书中提出的几乎所有的定理在欧几里德之前就已经为人知晓，使用的许多证明亦是如此．欧
几里得的伟大贡献在于他将这些材料做了整理，并在书中做了全面的系统阐述．这包括首次对公理和公设做了
适当的选择（这是非常困难的工作，需要超乎寻常的判断力和洞察力）．然后，他仔细地将这些定理做了安排，
使每一个定理与以前的定理在逻辑上前后一致．在需要的地方，他对缺少的步骤和不足的证明也做了补充．值
得一提的是，
《几何原本》虽然基本上是平面和立体几何的内容，也包括大量代数和数论的内容．
《几何原本》作为教科书使用了两千多年．在形成文字的教科书之中，它无疑是最成功的．欧几里得的杰
出工作，使以前类似的东西黯然失色．该书问世之后，很快取代了以前的几何教科书，而后者也就很快在人们的
记忆中消失了．
《几何原本》是用希腊文写成的，后来被翻译成多种文字．它首版于1482 年，即谷登堡发明活字
印刷术30 多年之后．自那时以来，
《几何原本》已经出版了上千种不同版本．
在训练人的逻辑推理思维方面，《几何原本》比亚里土多德的任何一本有关逻辑的著作影响都大得多．在
完整地演绎推理结构方面，该书是一个十分杰出的典范．正因为如此，自本书问世以来，思想家们为之而倾倒．
欧几里得是希腊亚历山大的数学教师．著名的古希腊学者阿基米德，是他“学生的学生”——卡农是阿基米
德的老师，而欧几里得是卡农的老师．
欧几里得不仅是一位学识渊博的数学家，同时还是一位有“温和仁慈的蔼然长者”之称的教育家．在著书育
人过程中，他始终没有忘记当年挂在“柏拉图学院”门口的那块警示牌，牢记着柏拉图学派自古承袭的严谨、求
实的传统学风．他对待学生既和蔼又严格，自己却从来不宣扬有什么贡献．对于那些有志于穷尽数学奥秘的学
生，他总是循循善诱地予以启发和教育，而对于那些急功近利、在学习上不肯刻苦钻研的人，则毫不客气地予以
批评．
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54
5
1
模块
1
线面垂直的判定与性质
知识凝炼
1
线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂
直．由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直．
2
直线与平面垂直：
①定义：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直
线与这个平面互相垂直．
这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足．
如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．
②判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
③性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．
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55
5
精讲精练
例1
★
正确率：63%
下列条件中，能判定直线l⊥平面α 的是( )．
A. l 与平面α 内的两条直线垂直
B. l 与平面α 内无数条直线垂直
C. l 与平面α 内的某一条直线垂直
D. l 与平面α 内任意一条直线垂直
例2
★★★
正确率：44%
已知m、n 为空间中任意直线，α、β 为任意平面，
①m⊥α；②n⊥α；③m⊥β；④n⊥β；⑤m⊥n；⑥m//n；⑦n//α．
下列说法中不正确的是( )．
A. ①②⇒⑥
B. ①⑦⇒⑤
C. ⑤⑦⇒①
D. ①③④⇒②
达标检测1
★★
已知直线l 和平面α，无论直线l 与平面α 具有怎样的位置关系，在平面α 内总存在一条直线与直线l
( )．
A. 相交
B. 平行
C. 垂直
D. 异面
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56
5
例3
★★★
正确率：41%
如图，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD 是菱形，下列结论中不正确的是( )．
A. PA⊥BD
B. PD⊥CD
C. BD⊥PC
D. PO⊥BD
达标检测2
★★★
在△ABC 中，∠BAC = 90◦，PA⊥平面ABC，AB = AC，D 是BC 的中点，则图中直角三角形的个数是
( )．
A. 5
B. 8
C. 10
D. 6
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57
5
例4
★★★
如图所示，S 为△ABC 所在平面外一点，且SA = SB = SC，AB⊥BC，D 为AC 的中点，连接SD，BD．
（1）求证：SD⊥平面ABC；
（2）若直角边BA = BC，求证：BD⊥平面SAC．
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5
2
模块
2
面面垂直的判定与性质
知识凝炼
1
定义：
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，
就称这两个平面互相垂直．
2
判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．
3
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
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59
5
精讲精练
例5
★★★
正确率：60%
如图，PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是( )
①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD；③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面PAC．
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ②④
达标检测3
★★★
如图，在四面体D−ABC 中，若AB = CB,AD = CD,E 是AC 的中点，则下列正确的是( )．
A. 平面ABC⊥平面ABD
B. 平面ABD⊥平面BDC
C. 平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D. 平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
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5
例6
★★★★正确率：48%
已知m、n 是两条不同的直线，α、β 是两个不同的平面，给出下列命题：
①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α//β；
②若m⊥β，m//α，则α⊥β；
③若m//α，n//β，且m//n，则α//β；
④若α⊥β，m//α，则m⊥β；
⑤若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥n；
⑥若α//βm̸ ⊂β，m//α，则m//β．
其中是真命题的是( )．
A. ①②⑥
B. ②③④
C. ⑤⑥
D. ②⑥
达标检测4
★★★
正确率：71%
空间四边形ABCD 中，若AD⊥BC，AD⊥BD，则有( )．
A. 平面ABC⊥平面ADC
B. 平面ABC⊥平面ADB
C. 平面ABC⊥平面DBC
D. 平面ADC⊥平面DBC
例7
★★★
如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 所在平面为α，PA⊥α 于点A，C 为⊙O 上异于A，B 的一点，求证：平面
PAC⊥平面PBC．
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61
5
例8
★★
在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，E 是棱DD1 的中点，求证：平面EAC⊥平面AB1C．
例9
★★★
正确率：68%
如图，直角梯形ABCD 中，AB⊥BC，BC⊥CD，已知AB = 25，CD = 16，BC = 12，沿BD 将三角形ABD 折
起到三角形A′BD，使平面A′BD⊥平面BCD，连接A′C，则在四面体A′BCD 的四个面中，互相垂直的平
面有( )．
①平面A′BD 与平面BCD；
②平面A′CD 与平面BCD；
③平面A′BC 与平面BCD；
④平面A′CD 与平面A′BC．
A. ①③④
B. ①②③
C. ①②④
D. ②③④
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62
5
春季你会遇见
在棱长为1 的正方体ABCD−A1B1C1D1 中，点P1，P2 分别是线段AB，BD1(不包括端点) 上的动点，
且线段P1P2 平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1 的体积的最大值是
．
答案
1
24
解析
过P2 作P2G⊥BD，G 为垂足．
依题意可得P2G⊥平面ABCD，又因为P2P1// 平面A1ADD1，所以可得P1G⊥AB．
假设AP1 = x(0 < x < 1)．由P1G//DA 可得P1G = 1−x．
所以四面体P1P2AB1 的体积=VP2−AP1B1 = 1
3S△AP1B1GP1=1
6x(1−x) ⩽1
6
(
x+1−x
2
)2
= 1
24，
当且仅当x = 1−x，∴x = 1
2 时，等号成立．故填1
24．
【点石成金】寒假我们学习了线面的判定以及性质，所给线、面是固定的，春季我们将进一步
学习动向问题来求解最值问题等.
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63
5
随堂测试
测试1 已知m 和n 是两条不同的直线，α 和β 是两个不重合的平面，则下列给出的条件中，一定能推出m⊥β
的是( )．
A. α⊥β 且m ⊂α
B. α⊥β 且m//α
C. m//n 且n⊥β
D. m⊥n 且n//β
测试2 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，O 是底面ABCD 的中心，B1H⊥D1O，H 为垂足，则B1H 与平面
AD1C 的位置关系是( )．
A. 垂直
B. 平行
C. 斜交
D. 以上都不对
测试3 如图，在空间四边形ABCD 中，DA⊥平面ABC，∠ABC = 90◦，AE⊥CD，AF⊥DB．判断下列说法错误的是
( )．
A. 平面DBC⊥平面DAB
B. 平面ADC⊥平面AEF
C. BC⊥平面DAB
D. 平面ADB⊥平面AEF
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64
5
课堂总结
第6 讲
统计初步
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67
6
知识引航
统计概率的技巧是很“神奇“的，曾经就有研究表明：吃冰激凌会导致溺水，因为从数据上来看，当冰激凌销
量增加的时候，溺水的人数也显著增加．
另一个更经典的例子是二战后期，美军对德国和日本法西斯展开了大规模战略轰炸，每天都有成千架轰炸
机呼啸而去，返回时往往损失惨重．美国空军对此十分头疼：如果要降低损失，就要往飞机上焊防弹钢板；但如
果整个飞机都焊上钢板，速度航程载弹量都要受影响．怎么办？空军请来数学家亚伯拉罕. 沃尔德．沃尔德的方
法十分简单．他把统计表发给地勤技师，让他们把飞机上弹洞的位置报上来，然后自己铺开一张大白纸，画出飞
机的轮廓，再把那些小窟窿一个个添上去．画完之后大家一看，飞机浑身上下都是窟窿，只有飞行员座舱和尾翼
两个地方几乎是空白．沃尔德告诉大家：从数学家的眼光来看，这张图明显不符合概率分布的规律，而明显违反
规律的地方往往就是问题的关键．飞行员们一看就明白了：如果座舱中弹，飞行员就完了；尾翼中弹，飞机失去
平衡就要坠落——这两处中弹，轰炸机多半就回不来了，难怪统计数据是一片空白．因此，结论很简单：只需要
给这两个部位焊上钢板就行了．
亲爱的同学们，统计要是没学好，不敢吃冰激凌都是小事，飞机被击落了可就不好玩了．
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68
6
1
模块
1
随机抽样
知识凝炼
1
统计的相关概念
总体：所考察对象的某一数值指标的全体集合；
个体：构成总体的每一个元素；
样本：从总体中抽出若干个体所组成的集合；
样本容量：样本中个体的数目.
2
随机抽样
满足每个个体被抽到的机会是均等的抽样，其中最简单、最基本的抽样方法是简单随机抽样.
简单随机抽样：从元素个数为N 的总体中不放回地抽取容量为n 的样本，如果每一次抽取时总体中的各
个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．
抽出办法：①抽签法（抓阄法）：用纸片或小球分别标号后抽签的方法．
②随机数表法：随机数表是使用计算器或计算机的应用程序生成随机数的功能生成的一张数表．表中每
一位置出现各个数字的可能性相同．随机数表法是对样本进行编号后，按照一定的规律从随机数表中读数，并
取出相应的样本的方法．
随机数表（部分）
达标检测1
★
总体由编号为01,02,··· ,30 的30 个个体组成．利用下面的随机数表选取4 个个体．选取方法是从随机
数表第1 行的第5 列和第6 列数字开始由左到右依次选取两个数字, 则选出的第4 个个体的编号为
．
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69
6
知识凝炼
分层抽样
当总体由明显差别的几部分组成时，要反映总体情况，常采用分层抽样，使总体中各个个体按某种特征分
成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽
样，这种抽样方法叫做分层抽样．分层抽样的样本具有较强的代表性，而且各层抽样时，可灵活选用不同的抽样
方法，应用广泛．
精讲精练
例1
★
正确率：85%
某公司有1000 名员工，其中，高层管理人员占5%，中层管理人员占15%，一般员工占80%，为了了解该
公司的某种情况，现用分层抽样的方法抽取120 人进行调查，则一般员工应抽取
人．
达标检测2
★
某单位青年职工、中年职工、老年职工的人数之比为7 : 5 : 3，为了了解该单位职工的健康情况，用分层
抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为14 人，则样本容量为( )．
A. 14
B. 30
C. 35
D. 25
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70
6
2
模块
2
用样本估计总体
知识凝炼
频率分布直方图
列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；
（2）决定组距与组数：取组距，用极差
组距决定组数；
（3）决定分点：决定起点，进行分组；
（4）列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小组的频数，除以样本容量，得到各小组的频率．
（5）绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以频率
组距的值为纵坐标绘制直方图．
精讲精练
例2
★★
正确率：72%
学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所
示，其中支出在[50,60) 元的同学有30 人，则n 的值为( )
A. 300
B. 200
C. 150
D. 100
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71
6
例3
★★★
正确率：52%
为了解某校学生的视力情况，随机抽查了该校的100 名学生，得到如图所示的频率分布直方图，由于不
慎将部分数据丢失，但知道前4 组的频数和为40，后6 组的频数和为87，设最大频率为a，视力在4.5
到5.2 之间的学生数为b，则a，b 的值分别为( )．
A. 0.27，96
B. 0.27，83
C. 2.7，78
D. 2.7，83
知识凝炼
样本数据的数字特征
（1）众数：在一组数据中出现次数最多的数据.
（2）平均数：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，记作¯x．平均数反映了这组数据的
平均水平．
（3）中位数：是指将统计总体当中的各个数据值按大小顺序排列起来，形成一个数列，处于数列中间位置
的数据值就称为中位数．当数列的项数为奇数时，处于最中间位置的数据值即为中位数；当项数为偶数时，中位
数则为处于中间位置的两个数据值的平均数．
数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述.
（4）极差：又叫全距，是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度．
（5）方差：一般地，设样本的元素为x1,x2,··· ,xn，样本的平均数为¯x，
定义样本方差为s2 = (x1 −¯x)2 +(x2 −¯x)2 +···+(xn −¯x)2
n
，简化公式：s2 = 1
n
[
(x2
1 +x2
2 +···+x2
n)−n¯x2]
；
样本标准差s =
√
(x1 −¯x)2 +(x2 −¯x)2 +···+(xn −¯x)2
n
．
4
用样本估计总体
（1）用样本的频率分布估计总体的频率分布；
（2）用样本平均数估计总体平均数；
（3）用样本方差、标准差估计总体方差、标准差．
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72
6
精讲精练
例4
样本a1，a2，···，a5 的平均数为a，样本b1，b2，···，b10 的平均数为b，则样本a1，a2，···，a5，b1，b2，···，b10
的平均数为( )．
A. a+b
B.
1
10
(
a+b
)
C. 2
(
a+b
)
D. 1
3
(
a+2b
)
达标检测3
已知样本数据x1，x2，···，xn 的平均数是x = 3，则新的样本数据x1 +2，x2 +2，···，xn +2 的平均
数为( )．
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
例5
★★★
某市统计局就某地居民的月收入调查了10000 人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分
组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500)．根据频率分布直方图算出样本数据的
中位数、平均数．
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73
6
例6
★★★
200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别
为( )．
A. 62，62.5
B. 65，62
C. 65，62.5
D. 62.5，62.5
例7
★★★
某工厂从生产的一批产品中随机抽出一部分，对这些产品的一项质量指标进行了检测，整理检测结果得
到如下频率分布表：
据此可估计这批产品的此项质量指标的方差为
．
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74
6
达标检测4
★★
甲、乙两位同学，升入高三以来连续五次模拟考试数学单科成绩如表：
则平均成绩较高与成绩较稳定的分别是( )．
A. 同学甲，同学甲
B. 同学甲，同学乙
C. 同学乙，同学甲
D. 同学乙，同学乙
例8
★★★★
已知某9 个数的平均数为8，方差为3，现又加入一个新数据8，此时这10 个数的平均数为x，方差为
s2，则( )．
A. x = 8,s2 < 3
B. x = 8,s2 > 3
C. x > 8,s2 < 3
D. x > 8,s2 > 3
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75
6
春季你会遇见
正确率：78%
甲、乙两名同学6 次考试的成绩统计如图，甲、乙两组数据的平均数分别为x甲、x乙，标准差分别为
σ甲、σ乙，则( )．
A. x甲< x乙，σ甲< σ乙
B. x甲< x乙，σ甲> σ乙
C. x甲> x乙，σ甲< σ乙
D. x甲> x乙，σ甲> σ乙
答案
C
解析
解：甲、乙两名同学6 次考试的成绩统计如图，
甲、乙两组数据的平均数分别为x甲、x乙，标准差分别为σ甲、σ乙，
由折线图得：x甲> x乙，σ甲< σ乙，
故选：C．
【点石成金】寒假我们学习了样本数据的数字特征，会具体求样本数据的平均数，众数、中位
数、极差、方差等。春季我们会进一步学习数据特征，会通过图象来确定一组数据的稳定性。
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76
6
随堂测试
测试1 某班有男生36 人，女生18 人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9 的样本，则抽取
的女生人数为( )．
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
测试2 某校有男教师80 人，女教师100 人, 现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x 人参加
教师代表大会，若抽到男教师12 人，则x =
．
测试3 某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50 名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间
的数据，结果用如图的条形图表示．根据条形图可得这50 名学生这一天每人的课外阅读时间的中位数
为( )．
A. 0.5 小时
B. 0.9 小时
C. 1.0 小时
D. 0.75 小时
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77
6
课堂总结
第7 讲
概率初步
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79
7
知识引航
1494 年，意大利的帕奇欧里在一本有关计算技术的教科书中提出一个问题：一场赌赛，胜6 局才算赢，当
两个赌徒一个胜5 局，一个胜2 局时，中止赌赛，赌金该怎样分配合理？帕奇欧里给出的答案是按照5 : 2 分，后
来人们一直对这种分配原则表示怀疑，但没有一个人提出更合适的办法来.
两人写信给意大利数学家卡尔达诺，卡尔达诺潜心研究赌博不输的方法，出版有著作《赌博之书》(1) 在书
中提出这样的问题：掷两颗骰子，以两颗骰子的点数和做赌赛，那么押几点最有利？卡尔达诺认为是7 最好，(2)
对赌徒分金的未完成问题进行了叙述，他指出需要分析的不是已经赌过的次数，而是剩下的次数. 他对问题的
解决，虽然已经有了正确的思路，但还没有得到正确的答案.
1651 年，法国著名数学家帕斯卡收到法国大贵族德·美黑的一封信，在信中向帕斯卡请教赌徒分金问
题：
“两个赌金规定谁先赢s 局就算赢了，如果一个人赢a(a < s) 局，另一个人赢b(b < s) 局时，赌博中止，应该
怎样分配赌注才算公平合理？”，这个问题把帕斯卡难住了，他冥思三年才有了满意的解法. 并于1654 年将这个
问题连同自己的答案写信寄给法国数学家费马，不久，费马在回信中给出了另一种解法，他们两人频繁通信，深
入探讨这个问题，这些理论逐渐形成概率的雏形.
不久，荷兰数学家惠更斯加入进来，并把对这类问题的探讨结果载入1657 年出版的《论骰子游戏中的推
理》一书中，这本书引入了数学期望的概念，是概率论的第一部著作. 这样，数学的一个新分支—概率论诞生了.
至此，延续了一个半世纪的分赌金的疑难问题，在概率论的诞生和发展中得到解决.
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80
7
1
模块
1
概率与互斥事件的加法公式
知识凝炼
1
随机事件
(1) 必然现象与随机现象
必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；
随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象.
(2) 试验: 我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为
试验的结果.
(3) 事件
在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；
在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；
在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件.
通常用大写英文字母A,B,C,··· 来表示随机事件，简称为事件.
2
随机事件的概率
一般地，在n 次重复进行的试验中，记事件A 发生的次数为m，当n 很大时，事件A 发生的频率m
n ，总是
在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记为P(A). 从
概率的定义中，我们可以看出事件的概率P(A) 满足:0 ⩽P(A) ⩽1. 当A 是必然事件时，P(A) = 1；当A 是不可
能事件时，P(A) = 0.
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81
7
精讲精练
例1
★
正确率：95%
以下现象是随机现象的是( )．
A. 标准大气压下，水加热到100◦C，必会沸腾
B. 走到十字路口，遇到红灯
C. 长和宽分别为a、b 的矩形，其面积为a·b
D. 实系数一元一次方程必有一实根
达标检测1
★
下面事件：①若a、b ∈R，则a·b = b·a；②某人买彩票中奖；③6+3 > 10；④抛一枚硬币出现正面向
上，其中必然事件有( )．
A. ①
B. ②
C. ③④
D. ①②
知识凝炼
3
互斥事件与对立事件
(1) 互斥事件: 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件.
更一般地，如果事件A1,A2,··· ,An 中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A1,A2,··· ,An 彼此互斥.
(2) 对立事件: 不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件. 事件A 的对立事件记作¯A.
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82
7
精讲精练
例2
★★
正确率：68%
一个人投篮时连续投两次，则事件“至多投中一次”的互斥事件是( )．
A. 只有一次投中
B. 两次都不中
C. 两次都投中
D. 至少投中一次
例3
★★★
正确率：66%
从四双不同的鞋中任意摸出4 只，事件“4 只全部成对”的对立事件是( )．
A. 至多有两只不成对
B. 恰有两只不成对
C. 4 只全部不成对
D. 至少有两只不成对
达标检测2
★★
已知袋子中装有3 个红球、2 个白球、1 个黑球，如果从中随机任取2 个，则下列两个事件中是互斥而不
对立的是( )．
A. 至少有一个白球；都是白球
B. 至少有一个白球；至少有一个红球
C. 至少有一个白球；红球、黑球各一个
D. 恰有一个白球；白球、黑球各一个
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83
7
知识凝炼
4
概率加法公式
(1) 事件的并
由事件A 和事件B 至少有一个发生所构成的事件C，称为事件A 与B 的并(或和)，记作C = A∪B. 如果
C = A∪B，那么若C 发生，则A、B 中至少有一个发生，事件A∪B 是由事件A 或B 所包含的事件组成的集合.
(2) 互斥事件的概率加法公式
若A、B 是互斥事件，有P(A∪B) = P(A)+P(B)；若事件A1,A2,··· ,An 两两互斥(彼此互斥)，有P(A1 ∪A2 ∪
···∪An) = P(A1)+P(A2)+···+P(An).
事件“A1 ∪A2 ∪···∪An”发生是指事件A1,A2,··· ,An 中至少有一个发生.
(3) 对立事件计算公式
若事件A 的对立事件是A，则有P
(
A
)
= 1−P(A)
精讲精练
例4
★★★
正确率：89%
某产品分一、二、三级，其中一、二级是正品，若生产中出现正品的概率是0.98，二级品的概率是0.21，则
出现一级品与三级品的概率分别是( )．
A. 0.77，0.21
B. 0.98，0.2
C. 0.78，0.22
D. 0.77，0.02
达标检测3
★★★
甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲、乙下成和棋的概率为( )．
A. 70%
B. 30%
C. 20%
D. 50%
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84
7
2
模块
2
古典概型
知识凝炼
基本事件
它包含所有可能发生的基本结果．任何两个基本事件都是互斥的．
所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用Ω表示．
精讲精练
例5
正确率：92%
某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2 个，则基本事件共有
( )．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
知识凝炼
古典概型
如果一个试验有以下两个特征：
(1) 有限性：一次试验出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；
(2) 等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的．
则称这样的试验为古典概型．
古典概型的概率公式
随机事件A 的概率定义为P(A) = 事件A包含的基本事件
试验的基本事件总数．
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85
7
精讲精练
例6
★★
若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具) 先后抛掷2 次，则出
现向上的点数之和为4 的概率是
．
例7
★★★
正确率：50%
从3 男3 女共6 名学生中选出2 人参加学校组织的环保活动，则至少一名女生被选中的概率为( )．
A. 1
5
B. 2
5
C. 3
5
D. 4
5
达标检测4
★★★
有5 支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5 支彩笔中任取2 支不同颜色的彩
笔，则取出的2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )．
A. 4
5
B. 3
5
C. 2
5
D. 1
5
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86
7
3
模块
3
相互独立事件的乘法公式
知识凝炼
1
相互独立事件
事件A(或B) 是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.
2
概率乘法公式
(1) 事件的交
事件A 与B 的交(或积) 是事件A 和B 都包含的基本事件（或事件A 和B 同时发生）所构成的事件，记
作D = A∩B.
(2) 相互独立事件的概率乘法公式
若A、B 是相互独立事件，有P(A∩B) = P(A)·P(B)；若事件A1,A2,··· ,An 两两互相独立，有
P(A1 ∩A2 ∩···∩An) = P(A1)·P(A2)·····P(An).
事件“A1 ∩A2 ∩···∩An”发生是指事件A1,A2,··· ,An 同时发生.
精讲精练
例8
★
抛掷一枚均匀的骰子两次，在下列事件中，与事件“第一次得到6 点”不互相独立的事件是( )．
A.“两次得到的点数和是12”
B.“第二次得到6 点”
C.“第二次的点数不超过3 点”
D.“第二次的点数是奇数”
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87
7
例9
★★
某同学从家到学校要经过两个十字路口．设各路口信号灯工作相互独立，且在第一个路口遇到红灯的概
率为2
3，两个路口都遇到红灯的概率为2
5，则他在第二个路口遇到红灯的概率为( )．
A. 1
10
B. 2
5
C. 3
5
D. 9
10
达标检测5
★★
根据广安市环保部门的空气质量监测资料表明，广安市一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天
为优良的概率是0.6．若广安市某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )．
A. 0.45
B. 0.6
C. 0.75
D. 0.8
例10 ★★★
甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙
两人都未达到优秀的概率为( )．
A. 0.42
B. 0.28
C. 0.18
D. 0.12
例11 ★★★★正确率：73%
三人独立去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1
5，1
3，1
4，问三人中至少一人能将密码破译出
的概率是多少？( )．
A. 47
60
B. 3
5
C. 13
30
D. 2
5
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88
7
春季你会遇见
某校组队参加辩论赛，从6 名学生中选出4 人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且
不担任四辩，则不同的安排方法种数为
(结果用数值表示)．
答案
180
解析
解：甲排在一、二、三辩，有C1
3 种排法，剩下的5 名学生中再排三人，∴C1
3A3
5 = 180．
【点石成金】寒假我们学习了概率加法公式与概率乘法公式，春季我们要学习计数方法，排列
组合，快速可算出基本事件数，期待春季的学习吧！
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89
7
随堂测试
测试1 下列各组事件中，不是互斥事件的是( )．
A. 一个射手进行一次射击，命中环数大于8 与命中环数小于6
B. 统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90 分与平均分数不高于90 分
C. 播种菜籽100 粒，发芽90 粒与发芽80 粒
D. 检查某种产品，合格率高于70% 与合格率为70%
测试2 从甲口袋内摸出1 个白球的概率是1
3，从乙口袋内摸出1 个白球的概率是1
2，如果从两个口袋内各摸
出一个球，那么5
6 是( )．
A. 2 个球不都是白球的概率
B. 2 个球都不是白球的概率
C. 2 个球都是白球的概率
D. 2 个球恰好有一个球是白球的概率
测试3 某人练习射击，他脱靶的概率为0.20，命中6 环、7 环、8 环、9 环、10 环的概率依次为0.10，0.20，0.30，
0.15，0.05，则该人射击命中的概率为( )．
A. 0.50
B. 0.60
C. 0.70
D. 0.80
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90
7
课堂总结
1119091112511
