目
录
CONTENTS
第1 讲
集合的概念及运算
1
第2 讲
简易逻辑
3
第3 讲
函数概念及表示
5
第4 讲
函数的基本性质
8
参考答案
11
第1 讲
集合的概念及运算
1
【秋】高一数学筑梦班复习卡片1
第1 讲
集合的概念及运算
知识梳理
重难点：
1. 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.
2. 若A 为有限集合，card (A) = n(n ∈N∗)，则：①A 的子集个数为2n；②A 的真子集个数为2n −1；③A
的非空子集个数为2n −1；④A 的非空真子集个数为2n −2.
3. 集合运算律：
以I 为全集，
(1) 交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A；
(2) 结合律：A∪(B∪C) = (A∪B)∪C，A∩(B∩C) = (A∩B)∩C；
(3) 分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)；
(4)0−1 律：A∪∅= A，A∩∅= ∅，A∪I = I，A∩I = A；
(5) 等幂律：A∪A = A，A∩A = A；
(6) 吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩(B∪A) = A；
(7) 求补律：A∪∁IA = I，A∩∁IA = ∅；
(8) 反演律：∁I(A∪B) = ∁IA∩∁IB，∁I(A∩B) = ∁IA∪∁IB．
2
【秋】高一数学筑梦班复习卡片1
精讲精练
1
将集合{2,4,6,8} 用描述法表示正确的有
．(写出所有满足要求的选项序号)
①{x|x 是所有大于0 小于10 的偶数}；
②{x|2 ⩽x ⩽8}；
③{x|(x−2)(x−4)(x−6)(x−8) = 0}；
④{x|x 是2 的倍数}；
⑤{x|x = 2n,1 ⩽n ⩽4,n 为自然数}．
2 下列命题：(1) 空集没有子集；(2) 任何集合至少有两个子集；(3) 空集是任何集合的真子集；(4) 若∅& A，
则A̸ = ∅，其中正确的有( )
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
3 已知集合A = {1,3,5}，则集合A 的子集个数为
，所有子集的元素之和为
．
4 设U 为全集，对集合X，Y，定义运算“⊕”，满足X⊕Y =
(
∁UX
)
∪Y，则对于任意集合X，Y，Z，
X⊕(Y⊕Z) =
．
第2 讲
简易逻辑
3
【秋】高一数学筑梦班复习卡片1
第2 讲
简易逻辑
知识梳理
重难点：
1. 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性
没有关系.
2. 充分条件与必要条件的两种判断方法：
4
【秋】高一数学筑梦班复习卡片1
3. 常用的正面叙述词语和它的否定词语：
精讲精练
1
给出下列结论：
①若p，q 为两个命题，则“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件；
②若命题p : ∃x ∈R，x2 +2x ⩽0，则¬p 为∀x ∈R，x2 +2x > 0；
③命题“∀x ∈R，x2 −2x+3 > 0”的否命题是“∃x ∈R，x2 −2x+3 < 0”；
④命题“若¬p 则q”的逆否命题是“若p 则¬q”．
其中正确结论的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2 设函数y = lg
(
−x2 +4x−3
)
的定义域为A，函数y =
2
x+1，x ∈(0,m) 的值域为B．
（1）当m = 2 时，求A∩B．
（2）若“x ∈A”是“x ∈B”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
第3 讲
函数概念及表示
5
【秋】高一数学筑梦班复习卡片1
第3 讲
函数概念及表示
知识梳理
重难点：
1. 映射的定义：设A、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一
个元素x，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f : A →B 为从集合A 到集合
B 的一个映射.
函数的定义：设A、B 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个
数x，在集合B 中都有唯一确定的数f (x) 和它对应，那么就称f : A →B 为从集合A 到集合B 的一个
函数.
2. 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等.
3. 若集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从集合A 到集合B 的映射共有nm 个.
4. 定义域求解类型：①开偶次方时被开方数为非负数；②分式的分母不为零；③零次幂的底数不为
零；④对数的真数大于零；⑤指数、对数的底数大于零且不等于1；⑥实际问题还需要考虑使题目本
身有意义.
复合函数定义域：①已知y = f (x) 的定义域是A，求y = f [g(x)] 的定义域，可由g(x) ∈A 求出x 的范
围，即为y = f [g(x)] 的定义域；②已知y = f [g(x)] 的定义域是A，求y = f (x) 的定义域，可由x ∈A
求出g(x) 的范围，即为y = f (x) 的定义域.
5. 函数解析式常见求法：
配凑法、待定系数法、换元法、解方程组法
6
【秋】高一数学筑梦班复习卡片1
精讲精练
1
设从A 到B 的映射f1：x →2x+1，从B 到C 的映射f2：y →y2 −1，则从A 到C 的映射是f：
．
2 已知：集合M = {a,b,c}，N = {−1,0,1}，映射f : M →N 满足f(a) + f(b) + f(c) = 0，那么映射
f : M →N 的个数是多少？
3 （1）函数f (x) =
√
x2 −3x−4+(x+1)0
|x+2|−2
的定义域为
．
（2）若函数f (x) =
1
√
kx2 −6kx+k +8 的定义域是R，则实数k 的取值范围为
．
第3 讲
函数概念及表示
7
【秋】高一数学筑梦班复习卡片1
4 （1）一次函数g(x) 满足g[g(x)] = 9x+8，则g(x) 是（ ）
A. g(x) = 9x+8
B. g(x) = 3x+8
C. g(x) = −3x−4
D. g(x) = 3x+2 或g(x) = −3x−4
（2）若f
(
x−1
x
)
= x2 + 1
x2 ，则f
(3
2
)
=
；f (x) =
．
（3）已知f (x)−2f (2−x) = x2，则f (x) =
．
8
【秋】高一数学筑梦班复习卡片1
第4 讲
函数的基本性质
知识梳理
重难点：
1. 函数单调性定义的几种形式：
∀x1, x2 ∈D，x1̸ = x2，则[f (x1)−f (x2)](x1 −x2) > 0 ⇔f (x1)−f (x2)
x1 −x2
> 0 ⇔y = f (x) 在D 上单调增；
∀x1, x2 ∈D，x1̸ = x2，则[f (x1)−f (x2)](x1 −x2) < 0 ⇔f (x1)−f (x2)
x1 −x2
< 0 ⇔y = f (x) 在D 上单调减.
2.①若函数f (x) 的图象关于直线x = a 和直线x = b 对称，则函数f (x) 必为周期函数，2|a−b| 是它
的一个周期；
②若函数f (x) 的图象关于点(a, 0) 和点(b, 0) 对称，则函数f (x) 必为周期函数，2|a−b| 是它的一
个周期；
③若函数f (x) 的图象关于点(a, 0) 和直线x = b 对称，则函数f (x) 必为周期函数，4|a−b| 是它的
一个周期.
3.①函数单调性与奇偶性的综合性考察问题经常见到，常运用奇、偶函数图象的对称性判断函数在给
定区间上的单调性.
②周期性与奇偶性的综合问题多为求值问题，运用函数周期性与对称性，将所求值所在的未知区间转
第4 讲
函数的基本性质
9
【秋】高一数学筑梦班复习卡片1
化到已知区间，实现求解.
4. 函数值域的常见求法：
①分式函数：一次分式型函数常使用分离常数法求解最值；二次分式型函数可根据情况使用判别式法
求解最值；高次分式型函数常化归为倒数结构型函数，并运用对勾函数单调性求解函数最值.
②含根式的函数，可使用换元法或利用函数单调性求解最值.
③配方法
④数形结合法
⑤利用函数的单调性
精讲精练
1
定义在R 上的偶函数f (x) 满足：对任意的x1，x2 ∈[0,+∞)(x1̸ = x2)，有f (x2)−f (x1)
x2 −x1
< 0，且f (2) = 0，
则不等式x f (x) < 0 的解集是( )
A. (−2,2)
B. (−2,0)∪(2,+∞)
C. (−∞,−2)∪(0,2)
D. (−∞,−2)∪(2,+∞)
2 已知f (x) 是定义在R 上的偶函数，且满足f (x+6) = f (x)，当x ∈(0,3) 时，f (x) = x2，则f (64) =( )
A. −4
B. 4
C. −98
D. 98
3 （1）函数y = log1
2
(
−x2 +4x
)
的增区间是
；值域是
．
10
【秋】高一数学筑梦班复习卡片1
（2）函数y =
√1−x
x−2
的值域为
．
（3）函数f (x) = 3x+5
x−2 的值域为( )
A. {y|y̸ = 2}
B. {y|y̸ = 3}
C. (−∞,2)
D.
{
y
y̸ = 5
3
}
（4）函数y = x2 +x+4
x2 +4
的值域是
．
（5）已知函数f (x) = |x+3|+|x−3|，则函数f (x) 的值域是
．
（6）用min{a,b,c} 表示a，b，c 三个数中的最小值．设函数f (x) = min{2x,x+2,10−x}，则函数f (x)
的值域为
．
参考答案
11
【秋】高一数学筑梦班复习卡片1
参考答案
第1 讲
集合的概念及运算
1
①③⑤
2 B
【解析】空集的子集是它本身，故(1) 错误；空集只有一个子集，故(2) 错误；空集是非空集合的真子集，
故(3) 错误；若∅是A 的真子集，则A̸ = ∅，故(4) 正确．故选B．
3 8
36
【解析】解：集合A 的子集分别是∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，
{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，
故集合A 的子集有8 个．注意到A 中的每个元素出现在A 的4 个子集中，
故所求元素之和为(1+3+5)×4 = 36．
4
(
∁UX
)
∪
(
∁UY
)
∪Z
【解析】解：∵U 为全集，对集合X，Y，定义运算“⊕”，满足X⊕Y =
(
∁UX
)
∪Y，
∴对于任意集合X，Y，Z，
X⊕(Y⊕Z) =
(
∁UX
)
∪(Y⊕Z) =
(
∁UX
)
∪
(
∁UY
)
∪Z．
故答案为：
(
∁UX
)
∪
(
∁UY
)
∪Z．
第2 讲
简易逻辑
1
A
【解析】对于①，p 且q 为真⇒p 或q 为真，但反之不成立，∴“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分
不必要条件，故①错；由命题的否定、否命题、逆否命题的概念可知，②正确，③④错误，故选A．
12
【秋】高一数学筑梦班复习卡片1
2 （1）见解析
【解析】解：由−x2 +4x−3 > 0，解得：1 < x < 3，∴A = (1,3)，
又函数y =
2
x+1 在区间(0,m) 上单调递减，
∴y ∈
(
2
m+1,2
)
，即B =
(
2
m+1,2
)
，
当m = 2 时，B =
(2
3,2
)
，∴A∩B = (1,2)．
（2）见解析
【解析】解：首先要求m > 0，
而“x ∈A”是“x ∈B”的必要不充分条件，
∴B ⊊A，即
(
2
m+1,2
)
⊊(1,3)，
从而
2
m+1 ⩾1，解得：0 < m ⩽1．
第3 讲
函数概念及表示
1
x →4x2 +4x
【解析】由题意知(2x+1)2 −1 = 4x2 +4x，
故从A 到C 的映射为f : x →4x2 +4x．
2 7
【解析】满足f(a)+ f(b)+ f(c) = 0，则只可能0+0+0 = 0+1+(−1) = 0，即f(a)、f(b)、f(c) 中可以
全部为0，或0,1,−1 各取一个．
∵f(a) ∈N，f(b) ∈N，f(c) ∈N，且f(a)+ f(b)+ f(c) = 0，
∴有0+0+0 = 0+1+(−1) = 0．
当f(a) = f(b) = f(c) = 0 时，只有一个映射；
当f(a)、f(b)、f(c) 中恰有一个为0，而另两个分别为1，−1 时，有3×2 = 6 个映射．
因此所求的映射的个数为1+6 = 7．
3 （1）(−∞,−4)∪(−4,−1)∪[4,+∞)
【解析】
x2 −3x−4 ⩾0
x+1̸ = 0
|x+2|−2̸ = 0
⇒
x ⩽−1或x ⩾4
x̸ = −1
x̸ = 0且x̸ = −4
⇒x < −4 或−4 < x < −1 或x ⩾4，故原函数的定
义域为(−∞,−4)∪(−4,−1)∪[4,+∞)．
参考答案
13
【秋】高一数学筑梦班复习卡片1
（2）[0,1)
【解析】解：∵函数f (x) =
1
√
kx2 −6kx+k +8 的定义域是R，
∴kx2 −6kx+k +8 > 0 对任意x ∈R 都成立，
当k = 0 时，不等式显然成立；
当k̸ = 0 时，需
k > 0
∆= 36k2 −4k2 −32k < 0
，即0 < k < 1．
综上，实数k 的取值范围为[0,1)．
故答案为：[0,1)．
4 （1）D
【解析】解:∵g(x) 是一次函数，
∴设g(x) = kx+b，
∴g[g(x)] = k(kx+b)+b，
又∵g[g(x)] = 9x+8，
∴
k2 = 9
kb+b = 8
，
解之得:
k = 3
b = 2
或
k = −3
b = −4
，
∴g(x) = 3x+2 或g(x) = −3x−4．
故选D．
（2）17
4
x2 +2
【解析】解：∵f
(
x−1
x
)
= x2 + 1
x2 =
(
x−1
x
)2
+2，
∴f (x) = x2 +2，
f
(3
2
)
=
(3
2
)2
+2 = 17
4 ．
故答案为：17
4 ，x2 +2．
（3）−x2 + 8
3x−8
3
【解析】解：由f (x)−2f (2−x) = x2 可得f (2−x)−2 f (x) = (2−x)2，
因此−3f (x) = x2 +2(2−x)2 = 3x2 −8x+8，
即f (x) = −x2 + 8
3x−8
3．
14
【秋】高一数学筑梦班复习卡片1
第4 讲
函数的基本性质
1
B
【解析】解：∵f (x2)−f (x1)
x2 −x1
< 0 在∈[0,+∞) 上恒成立，∴f (x) 在[0,+∞) 上是减函数，又f (2) = 0，
∴当x > 2 时，f (x) < 0，当0 ⩽x < 2 时，f (x) > 0，
又f (x) 是偶函数，
∴当x < −2 时，f (x) < 0，当−2 < x < 0 时，f (x) > 0，
∴x f (x) < 0 的解集为(−2,0)∪(2,+∞)．
故选：B．
2 B
【解析】解：由f (x) 是定义在R 上的偶函数，且满足f (x+6) = f (x)，∴f (x) 是以6 为周期的周期函
数，
又∵当x ∈(0,3) 时，f (x) = x2，
∴f (64) = f (6×11−2) = f (−2) = f (2) = 22 = 4．
故选：B．
3 （1）(2,4)
[−2,+∞)
【解析】解：函数y = log1
2
(
−x2 +4x
)
由函数y = log1
2
t 和t = −x2 +4x 复合而成，
而y = log1
2
t 在(0,+∞) 上是减函数，
又因为−x2 +4x 在真数位置，
故需大于0，t = −x2 +4x > 0 的单调递减区间为(2,4)．
t = −x2 +4x 的值域为(0,4]，y = log1
2
t，t ∈(0,4] 的值域为[−2,+∞)．
故答案为：(2,4)；[−2,+∞)．
（2）
[
−1
2,0
]
【解析】解：∵函数y =
√1−x
x−2 ，
它的定义域是(−∞,1]，
设√1−x = t(t ⩾0)；
∴x = 1−t2，
∴y =
t
1−t2 −2 =
t
−t2 −1，
当t = 0 时，y = 0；
参考答案
15
【秋】高一数学筑梦班复习卡片1
当t > 0 时，y = −
1
t + 1
t
< 0，
∵t + 1
t ⩾2，
∴
1
t + 1
t
⩽1
2，
∴−
1
t + 1
t
⩾−1
2，
即0 > y ⩾−1
2，
综上，y 的值域为
[
−1
2,0
]
．
故答案为：
[
−1
2,0
]
．
（3）B
【解析】解：由f (x) = 3x+5
x−2 ，
分离常数：f (x) = 3(x−2)+11
x−2
= 3+ 11
x−2，
∵
11
x−2̸ = 0，
∴f (x)̸ = 3，
所以函数f (x) 的值域为{y|y̸ = 3}，
故选B．
（4）
[3
4, 5
4
]
【解析】函数y = x2 +x+4
x2 +4
= 1+
x
x2 +4，
当x = 0 时，y = 1；
当x > 0 时，y = 1+
1
x+ 4
x
⩽1+
1
2
√
x· 4
x
= 5
4，
当且仅当x = 2 时取得最大值5
4；
当x < 0 时，y = 1+
1
x+ 4
x
⩾1−
1
2
√
(−x)· 4
−x
= 3
4，
当且仅当x = −2 时取得最小值3
4．
则函数y = x2 +x+4
x2 +4
的值域是
[3
4, 5
4
]
．
故答案为：
[3
4, 5
4
]
．
16
【秋】高一数学筑梦班复习卡片1
（5）[6 , +∞)
【解析】解：函数f (x) = |x+3|+|x−3| = |x+3|+|3−x| ⩾|x+3+3−x| = 6，当−3 ⩽x ⩽3 时取等号．
∴函数f (x) = |x+3|+|x−3| ⩾6，则函数f (x) 的值域是：[6 , +∞)
故答案为：[6 , +∞)
（6）(−∞,6]
【解析】解：y = 10−x 是减函数，y = x+2 是增函数，y = 2x 是增函数，
令x+2 = 10−x，x = 4，
此时，x+2 = 10−x = 6，如下图：
y = x+2 与y = 2x 交点是A、B，y = x+2 与y = 10−x 的交点为C，
∴x ⩽xA 时，f (x) = x+2，f (x) ⩽yA，
xA < x ⩽xB 时，f (x) = 2x，yA < f (x) ⩽yB，
xB < x ⩽xC 时，f (x) = x+2，yB < f (x) ⩽yC = 6，
x > xC 时，f (x) = 10−x，f (x) < yC = 6，
综上，函数的值域是(−∞,6]，
故答案为(−∞,6]．
