目录
第13 讲
三角函数最值····························1
第14 讲
三角函数方程····························5
第15 讲
期末复习1·······························9
参考答案···········································18
第
讲
13
1
三角函数最值
Part 1
三角函数值域问题
2
Part 1
三角函数值域问题
知识点睛
四类与三角有关的函数值域问题：
1. 普通化为辅助角公式如：y = Asin(ωx+φ)+B 的值域问题；
2. 化成二次函数如：y = asin2x+bsinx+c（a̸ = 0）（分对称轴动或不动）的值域问题；
3. 形如y = f (sinx±cosx,sinxcosx) 的值域问题；
4. 通过换元法化成三角函数的求值域问题.
注意
以上第一、第二类函数形式以正弦为例，但也可以是余弦、正切等形式.
精讲精练
【例1】已知函数y = acosx+b 的最大值是1，最小值是−7，则acosx+bsinx 的最大值是
．
第13 讲
3
【例2】已知函数f (x) = sin2x+cosx+ 3
4
(
x ∈
[
0, 2π
3
])
，则函数f(x) 的值域为( )
A. [1,2]
B.
[
−1
4, 7
4
]
C.
[
−3
4,1
]
D.
[
−1
4,2
]
【例3】求函数y = sinx+cosx+sinxcosx+1 的值域．
【例4】已知x2 +y2 = 1，则
xy
x+y−1 的最大值为
．
第
讲
14
5
三角函数方程
Part 1
反三角函数
Part 2
三角函数方程
6
Part 1
反三角函数
知识点睛
1. 反正弦函数：
y = arcsinx，定义域为[−1, 1]，值域为
[
−π
2 , π
2
]
，为增函数；
2. 反余弦函数：
y = arccosx，定义域为[−1, 1]，值域为[0, π]，为减函数；
3. 反正切函数：
y = arctanx，定义域为R，值域为
(
−π
2 , π
2
)
，为增函数；
4. 反余切函数：
y = arccotx，定义域为R，值域为(0, π) ，为减函数.
精讲精练
【例1】在下列四个式子中，有意义的为
．
(1)arcsin
√
2；(2)arcsin π
4 ；(3)sin(arcsin2)；(4)arcsin(sin2)．
第14 讲
7
【例2】求函数y = 2arcsin(5−2x) 的定义域和值域．
【例3】求下列函数的反函数
y = sinx，x ∈
[
π
2 ,π
]
．
8
Part 2
三角函数方程
知识点睛
1. sinx = a (|a| ≤1) ⇒x = kπ +(−1)k arcsina, k ∈Z；
2. cosx = a (|a| ≤1) ⇒x = 2kπ ±arccosa, k ∈Z；
3. tanx = a ⇒x = kπ +arctana, k ∈Z.
精讲精练
【例1】方程5sinx = 4+2cos2x 的解集为
．
【例2】方程tanx+1
tanx−1 = 3tan2x 的解集是
．
第
讲
15
9
期末复习1
Part 1
三角函数基本公式与恒等
变换
Part 2
三角函数的图象与性质
Part 3
解三角形
10
Part 1
三角函数基本公式与恒等变换
知识点睛
同角三角函数基本关系式
1. 平方关系：
sin2α +cos2α = 1
2. 商数关系：
sinα
cosα = tanα(α̸ = kπ + π
2 ，k ∈Z)
3. 变形公式
(1)sin2α = 1−cos2α = (1+cosα)(1−cosα)，sinα = ±
√
1−cos2α；
(2)(sinα ±cosα)2 = 1±2sinα cosα；
(3)tan2α +1 =
1
cos2α ；
(4)sinα = tanα ·cosα，cosα = sinα
tanα ．
精讲精练
【例1】已知sinα +3cosα
3cosα −sinα = 5，则sin2α −sinα cosα =( )
A. 2
5
B. −2
5
C. 2
D. −2
【例2】已知cos2α = sinα，则
1
sinα +cos4α =
．
第15 讲
11
知识点睛
诱导公式
公式一：终边相同的角(2kπ +α 与α)
sin(α +2kπ) = sinα，cos(α +2kπ) = cosα，tan(α +2kπ) = tanα (k ∈Z)．
公式二：终边关于原点对称的角(π +α 与α)
sin(π +α) = −sinα，cos(π +α) = −cosα，tan(π +α) = tanα．
公式三：终边关于x 轴对称的角(−α 与α)
sin(−α) = −sinα，cos(−α) = cosα，tan(−α) = −tanα．
公式四：终边关于y 轴对称的角(π −α 与α)
sin(π −α) = sinα，cos(π −α) = −cosα，tan(π −α) = −tanα．
公式五：终边关于y = x 对称的角(π
2 −α 与α)
sin
(
π
2 −α
)
= cosα，cos
(
π
2 −α
)
= sinα．
公式六：终边垂直的角(π
2 +α 与α)
sin
(
π
2 +α
)
= cosα，cos
(
π
2 +α
)
= −sinα．
精讲精练
【例3】在平面直角坐标系xOy 中，角α 与角β 均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα = 1
3，则
sinβ =
．
【例4】下列与sin2017◦最接近的数是( )
A. 3
5
B. 4
5
C. −3
5
D. −4
5
12
知识点睛
一、和差角公式
1．和角的余弦公式C(α+β) : cos(α +β) = cosα cosβ −sinα sinβ；
差角的余弦公式C(α−β) : cos(α −β) = cosα cosβ +sinα sinβ．
2．和角的正弦公式S(α+β) : sin(α +β) = sinα cosβ +cosα sinβ；
差角的正弦公式S(α−β) : sin(α −β) = sinα cosβ −cosα sinβ．
3．和角的正切公式T(α+β) : tan(α +β) = tanα +tanβ
1−tanα tanβ ；
差角的正切公式T(α−β) : tan(α −β) = tanα −tanβ
1+tanα tanβ ．
二、二倍角公式
1. 二倍角公式
(1) 二倍角正弦公式S2α : sin2α = 2sinα cosα；
(2) 二倍角余弦公式C2α : cos2α = cos2α −sin2α = 2cos2α −1 = 1−2sin2α；
(3) 二倍角正切公式T2α : tan2α =
2tanα
1−tan2α ．
2. 变形公式
(1) 配方变换：1±sin2α = (sinα ±cosα)2；
(2) 因式分解：cos2α = (cosα +sinα)(cosα −sinα)；
(3) 降幂扩角：cos2α = 1+cos2α
2
，sin2α = 1−cos2α
2
；
(4) 升幂缩角：1+cosα = 2cos2 α
2 ，1−cosα = 2sin2 α
2 ．
三、辅助角公式
1．asinα +bcosα =
√
a2 +b2 sin(α +φ)，其中
√
a2 +b2 > 0，cosφ =
a
√
a2 +b2 ，sinφ =
b
√
a2 +b2 ．
2. 常见的辅助角公式
(1)sinα ±cosα =
√
2sin
(
α ± π
4
)
；
(2)sinα ±
√
3cosα = 2sin
(
α ± π
3
)
；
(3)
√
3sinα ±cosα = 2sin
(
α ± π
6
)
．
第15 讲
13
注意
使用辅助角公式时，可能需要出现
√
a2 +b2 cos(α +φ) 的形式，保险起见，先用辅助角公式转化为正弦形
式，再用诱导公式转化为余弦形式．
精讲精练
【例5】sin133◦cos13◦+cos47◦cos77◦的结果等于（ ）
A. 1
2
B.
√
3
3
C.
√
2
2
D.
√
3
2
【例6】已知tan(α −β) = 1
2，tanβ = −1
7，α,β ∈(0,π)，求2α −β 的值．
【例7】若sin(π −α) = 1
3，且π
2 ⩽α ⩽π，则sin2α 的值为( )
A. −4
√
2
9
B. −2
√
2
9
C. 2
√
2
9
D. 4
√
2
9
14
Part 2
三角函数的图象与性质
知识点睛
正弦型函数的图象变换
1. 正弦型函数y = Asin(ωx+φ)(A > 0,ω > 0)
2. 三种基本的图象变换
（1）x 轴方向的平移变换：y = sinx
φ>0时向左
−−−−−−→
φ<0时向右平移|φ| 个单位得y = sin(x+φ)．
（2）x 轴方向的伸缩变换：y = sinx 的横坐标
ω>1时缩短
−−−−−−−−→
0<ω<1时伸长到原来的1
ω 倍得y = sinωx．
（3）y 轴方向的伸缩变换：y = sinx 的纵坐标
A>1时伸长
−−−−−−−−→
0<A<1时缩短到原来的A 倍得y = Asinx．
3. y = sinx −→y = Asin(ωx+φ) 图象变换的两种途径：
（1）先平移后伸缩(x →x+φ →ωx+φ)，变换方法如下：
y = sinx 的图象
向左(φ>0)或向右(φ<0)
−−−−−−−−−−−−−−→
平移|φ|个单位长度
y = sin(x +φ) 的图象
横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
到原来的1
ω
(纵坐标不变)
y = sin(ωx +φ) 的图象
纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
为原来的A倍(横坐标不变)
y = Asin(ωx+φ) 的图象．
（2）先伸缩后平移(x →ωx →ωx+φ)，变换方法如下：
y = sinx 的图象
横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
到原来的1
ω
(纵坐标不变)
y = sinωx 的图象
向左(φ>0)或向右(φ<0)
−−−−−−−−−−−−−−→
平移
φ
ω
个单位
y = sin(ωx + φ) 的图象
纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
为原来的A倍(横坐标不变)
y = Asinx(ωx+φ) 的图象．
第15 讲
15
精讲精练
【例1】由函数y = sin
(
2x+ π
2
)
的图象变换得到y = sin
(
x
2 + π
3
)
的图象，可以通过以下两个步骤完成：第一步，
把y = sin
(
2x+ π
2
)
图象上所有点的横坐标变为原来的4 倍，纵坐标不变; 第二步，可以把所得图象沿x 轴( )
A. 向右平移π
3 个单位
B. 向右平移5π
12 个单位
C. 向左平移π
3 个单位
D. 同左平移5π
12 个单位
【例2】已知函数f (x) = 3cos
(
ωx+ π
3
)
(ω > 0) 和g(x) = 2sin(2x+φ) + 1 的图象的对称轴完全相同，若
x ∈
[
0, π
3
]
，则f (x) 的取值范围是( )
A. [−3,3]
B.
[
−3
2,3
]
C.
[
−3, 3
√
3
2
]
D.
[
−3, 3
2
]
【例3】函数f (x) = Asin(ωx+φ)(A > 0，ω > 0，|φ| < π
2 ) 的部分图象如图，且过点B
(
7π
12 ,0
)
，C(0,−1)，则以下
结论不正确的是( )
A. f (x) 的图象关于直线x = −π
6 对称
B. f (x) 的图象关于点
(
π
12,0
)
对称
C. f (x) 在
[
−π
2 ,−π
3
]
上是增函数
D. f (x) 在
[
4π
3 , 3π
2
]
上是减函数
16
Part 3
解三角形
知识点睛
解三角形常用公式
1. 正弦定理：
在三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即
a
sinA =
b
sinB =
c
sinC = 2R (其中R 为△ABC 的外接
圆的半径)
①a = 2RsinA，b = 2RsinB，c = 2RsinC；
②sinA = a
2R，sinB = b
2R，sinC = c
2R；
③a : b : c = sinA : sinB : sinC．
2. 余弦定理：
三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即：
c2 = a2 +b2 −2abcosC
b2 = a2 +c2 −2accosB
a2 = b2 +c2 −2bccosA
它的变形为：
cosC = a2 +b2 −c2
2ab
cosB = a2 +c2 −b2
2ac
cosA = b2 +c2 −a2
2bc
3. 解决三角形的综合问题时，要注意以下关系式的运用：
①A+B+C = π．
②sin(A+B) = sinC；cos(A+B) = −cosC．
③sin A+B
2
= cos C
2 ；cos A+B
2
= sin C
2 ．
④a > b ⇔A > B ⇔sinA > sinB．
第15 讲
17
精讲精练
【例1】在△ABC 中，已知∠B = 45◦，c = 2
√
2，b = 4
√
3
3 ，则∠A 的值是( )
A. 15◦
B. 75◦
C. 105◦
D. 75◦或15◦
【例2】在△ABC 中，已知a+b
a
=
sinB
sinB−sinA，且cos(A−B)+cosC = 1−cos2C，试确定△ABC 的形状．
【例3】若△ABC 的角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且a = 1，B = 45◦，S△ABC = 2，则b =( )
A. 5
B. 25
C.
√
41
D. 5
√
2
【例4】如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，∠ADC = 60◦，CD = AD = 2，BD = 4，则sinB 的值为( )
A. 1
2
B.
√
7
6
C.
√
7
14
D.
√
21
14
18
参考答案
第13 讲
三角函数最值
三角函数值域问题
1
5
【解析】∵函数y = acosx+b 的最大值是1，最小值是−7，
∴
a+b = 1
−a+b = −7
，解得
a = 4
b = −3
，
∴acosx+bsinx = 4cosx−3sinx = 5cos(x+φ)，
∵x ∈R，
∴(acosx+bsinx)max = 5．
2
A
【解析】∵f (x) = sin2x+cosx+ 3
4 = −cos2x+cosx+ 7
4 = −(cosx−1
2)
2
+2，∵0 ⩽x ⩽2π
3 ，∴−1
2 ⩽cosx ⩽
1，根据二次函数的性质可得：当cosx = 1
2 时，函数有最大值2，当cosx = −1
2 时，函数有最小值1，故选
A．
3
见解析
【解析】令sinx+cosx = t，t ∈
[
−
√
2,
√
2
]
，则sinxcosx = t2 −1
2
，
那么y = t + t2 −1
2
+1 = t2
2 +t + 1
2，t ∈
[
−
√
2,
√
2
]
，所以y ∈
[
0, 3+2
√
2
2
]
．
4
√
2+1
2
【解析】∵x2 +y2 = 1，∴设x = cosθ，y = sinθ (θ ∈R)，则
xy
x+y−1 =
sinθ cosθ
sinθ +cosθ −1．令t = sinθ +cosθ，
则sinθ cosθ = t2 −1
2
．∵t = sinθ + cosθ =
√
2sin
(
θ + π
4
)
，θ ∈R，∴t ∈
[
−
√
2,
√
2
]
．∵
xy
x+y−1 =
sinθ cosθ
sinθ +cosθ −1 =
t2 −1
2
t −1 = t +1
2
，∴当t =
√
2 时，
(
xy
x+y−1
)
max
=
√
2+1
2
．
参考答案
19
第14 讲
三角函数方程
反三角函数
1
(2)(4)
【解析】由arcsinx 知x ∈[−1,1]．
2
见解析
【解析】解：由−1 ⩽5−2x ⩽1，可得x ∈[2,3]；
arcsin(5−2x) ∈
[
−π
2 , π
2
]
，则y ∈[−π,π]．
3
见解析
【解析】解：y ∈[0,1]，x−π ∈
[
−π
2 ,0
]
且sin(x−π) = −sinx = −y，则x−π = arcsin(−y)，
则x = π −arcsiny，则反函数是f −1 (x) = π −arcsinx，x ∈[0,1]．
三角函数方程
1
{
x
x = arcsin 3
4 +2kπ或x = π −arcsin 3
4 +2kπ,k ∈Z
}
【解析】解：方程5sinx = 4+2cos2x 可化为5sinx = 4+2
(
1−2sin2x
)
，
即4sin2x+5sinx−6 = 0，
解得sinx = 3
4 或sinx = −2(不合题意，舍去)；
所以该方程的解集为
{
x
x = arcsin 3
4 +2kπ或x = π −arcsin 3
4 +2kπ,k ∈Z
}
．
2
{
x
x = arctan
(
−4±
√
15
)
+kπ,k ∈Z
}
【解析】解：tanx+1
tanx−1 = 3tan2x =
6tanx
1−tan2x．
所以(1+tanx)2 = −6tanx，tan2x+8tanx+1 = 0．
解得tanx = −4±
√
15．
故解集是
{
x
x = arctan
(
−4±
√
15
)
+kπ,k ∈Z
}
．
20
第15 讲
期末复习1
三角函数基本公式与恒等变换
1
A
【解析】由sinα +3cosα
3cosα −sinα = 5 得tanα +3
3−tanα = 5，解得tanα = 2，
∴sin2α −sinα cosα = sin2α −sinα cosα
sin2α +cos2α
= tan2α −tanα
tan2α +1
= 2
5，故选A．
2
2
【解析】解：方法一：cos2α = sinα = 1−sin2α，∴sinα = −1+
√
5
2
或sinα = −1−
√
5
2
(舍去)，
则
1
sinα +cos4α =
1
sinα +sin2α =
2
−1+
√
5
+
(
−1+
√
5
2
)2
= 2，故答案为：2．
方法二：1
sinα +cos4α =
1
sinα +sin2α =
1
sinα +1−cos2α =
1
sinα +1−sinα = 1−sin2α
sinα
+1 = cos2α
sinα +
1 = 2．
3
1
3
【解析】解：∵在平面直角坐标系xOy 中，角α 与角β 均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，
∴α +β = π +2kπ,k ∈Z，∵sinα = 1
3，∴sinβ = sin(π +2kπ −α) = sinα = 1
3．故答案为：1
3．
4
C
【解析】sin2017◦= sin(5×360◦+217◦) = sin217◦= sin(180◦+37◦) = −sin37◦≈−3
5，故选C．
5
D
【解析】sin133◦cos13◦+cos47◦cos77◦= cos43◦cos13◦+sin43◦sin13◦= cos30◦=
√
3
2 ．故选D．
6
−3π
4
【解析】tanα = tan[(α −β)+β] = tan(α −β)+tanβ
1−tan(α −β)tanβ = 1
3．
又由α ∈(0,π)，∴0 < α < π
6 ，0 < 2α < π
3 ．
由tanβ = −1
7，β ∈(0,π)，∴5π
6 < β < π．得到−π < −β < −5π
6 ．∴−π < 2α −β < −π
2 ．
又tan(2α −β) = tan[α +(α −β)] = tanα +tan(α −β)
1−tanα tan(α −β) = 1，∴2α −β = −3π
4 ．
参考答案
21
7
A
【解析】解：∵sin(π −α) = 1
3，∴sinα = 1
3，
又∵π
2 ⩽α ⩽π，∴cosα = −
√
1−sin2α = −2
√
2
3 ，
∴sin2α = 2sinα cosα = 2× 1
3 ×
(
−2
√
2
3
)
= −4
√
2
9 ．
故选：A．
三角函数的图象与性质
1
A
【解析】解：由函数y = sin
(
2x+ π
2
)
的图象变换得到y = sin
(
x
2 + π
3
)
= sin 1
2
(
x+ 2π
3
)
的图象，则可
以通过以下两个步骤完成：
第一步，把y = sin
(
2x+ π
2
)
图象上所有点的横坐标变为原来的4 倍，纵坐标不变，可得y = sin
(
x
2 + π
2
)
=
sin 1
2 (x+π) 的图象；
第二步，可以把所得图象沿x 轴向右平移π −2π
3 = π
3 个单位，
故选：A．
2
D
【解析】因为函数f (x) 和g(x) 的图象的对称轴完全相同，故f (x) 和g(x) 的周期相同，所以ω = 2，所以
f (x) = 3cos
(
2x+ π
3
)
，
由x ∈
[
0, π
3
]
，得2x+ π
3 ∈
[
π
3 ,π
]
，根据余弦函数的单调性，当2x+ π
3 = π，即x = π
3 时，f(x)min = −3，
当2x+ π
3 = π
3 ，即x = 0 时，f(x)max = 3
2，所以f (x) 的取值范围是
[
−3, 3
2
]
．
故选D．
3
C
【解析】∵函数f (x) = Asin(ωx+φ) 图象最高点的纵坐标为2，∴A = 2，∵图象过点C(0,−1)，∴2sinφ =
−1，∴φ = 2kπ + 7π
6 或φ = 2kπ + 11π
6 ，k ∈Z．∵|φ| < π
2 ，∴φ = −π
6 ．
C 点相位为−π
6 ，根据图象B 点相位为π，故ω · 7π
12 −π
6 = π，解得ω = 2，∴f (x) = 2sin
(
2x−π
6
)
．
∵f
(
−π
6
)
= −2，取到最小值，故直线x = −π
6 是其图象的对称轴，A 项正确；
f
(
π
12
)
= 0，故图象关于点
(
π
12,0
)
对称，B 项正确；
22
x ∈
[
−π
2 ,−π
3
]
时，2x−π
6 ∈
[
−7π
6 ,−5π
6
]
，f (x) 为减函数，故C 项错误；
x ∈
[
4π
3 , 3π
2
]
时，2x−π
6 ∈
[
5π
2 , 17π
6
]
，f (x) 为减函数，故D 项正确．
故选C．
解三角形
1
D
【解析】解：方法一：∵在△ABC 中，∠B = 45◦，c = 2
√
2，b = 4
√
3
3 ，∴由余弦定理得：b2 = a2+c2−2accosB，
即16
3 = a2 +8−4a，
解得a = 2+ 2
√
3
3
或a = 2−2
√
3
3 ，
由正弦定理
a
sinA =
b
sinB 得：sinA = asinB
b
=
√
6+
√
2
4
或
√
6−
√
2
4
，
∵sin75◦= sin(45◦+30◦) = sin45◦cos30◦+cos45◦sin30◦=
√
6+
√
2
4
，
sin15◦= sin(45◦−30◦) = sin45◦cos30◦−cos45◦sin30◦=
√
6−
√
2
4
，
∴∠A = 75◦或15◦，
故选D．
方法二：由正弦定理
b
sinB =
c
sinC，即
4
√
3
3
sin45◦= 2
√
2
sinC，可得sinC =
6
4
√
3 =
√
3
2 ，
则∠C = 60◦或120◦，又∠A+∠B+∠C = 180◦，且∠B = 45◦，
则∠A = 75◦或15◦．
2
直角三角形
【解析】∵cosC + cos(A−B) = 1 −cos2C,cos(A−B) −cos(A+B) = 2sin2C，即sinAsinB = sin2C，根
据正弦定理得，ab = c2①，又a+b
a
=
sinB
sinB−sinA，由正弦定理及(b+a)(sinB−sinA) = asinB 可知
b2 −a2 = ab②，由①②得b2 = a2 +c2，所以△ABC 是直角三角形，且B = 90◦．
3
A
【解析】解：解法一：S△ABC = 1
2acsin45◦= 2 ⇒c = 4
√
2，再由余弦定理可得b = 5．
解法二：作△ABC 中AB 边上的高CD，在Rt△BDC 中求得高CD =
√
2
2 ，
结合面积求得AB = 4
√
2，AD = 7
√
2
2 ，从而b =
√
AD2 +CD2 = 5．
参考答案
23
4
D
【解析】解：∠ADC = 60◦，CD = AD = 2，
可得△ADC 为等边三角形，可得AC = 2，
∠C = 60◦，
BC = 4+2 = 6，
由余弦定理可得AB2 = AC2 +BC2 −2AC ×BC ×cosC
= 4+36−2×2×6× 1
2 = 28，
即AB = 2
√
7，
由正弦定理可得sinB = ACsinC
AB
=
2×
√
3
2
2
√
7
=
√
21
14 ，
故选：D．
