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三角函数变形
Part 1 和差化积与积化和
差
Part 2 万能代换公式
Part 3 三角函数公式综合
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高一/ 数学/ 筑梦班
Part 1 和差化积与积化和差
知识点睛
和差化积公式：
由前面学过的和角公式与差角公式，可进一步推导得到下列和差化积公式：
sinα +sinβ = 2sin α +β
2
cos α −β
2
sinα −sinβ = 2cos α +β
2
sin α −β
2
cosα +cosβ = 2cos α +β
2
cos α −β
2
cosα −cosβ = −2sin α +β
2
sin α −β
2
精讲精炼
【例1】
（1）已知cosα +cosβ = 1
2，则cos α +β
2
cos α −β
2
=
．
（2）若sin2
(
A+ π
12
)
−sin2
(
A−π
12
)
= 1
4 且A ∈
(
π
4 , π
2
)
，则tanA 的值为
．
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第10 讲
三角函数变形
知识点睛
积化和差公式：
可进一步推导得到积化和差公式：
sinα cosβ = 1
2 [sin(α +β)+sin(α −β)]
cosα sinβ = 1
2 [sin(α +β)−sin(α −β)]
cosα cosβ = 1
2 [cos(α +β)+cos(α −β)]
sinα sinβ = −1
2 [cos(α +β)−cos(α −β)]
精讲精炼
【例2】
（1）计算：sin7◦+sin8◦cos15◦
cos7◦−sin8◦sin15◦=
．
（2）计算：sin10◦sin50◦−sin50◦sin70◦−sin70◦sin10◦=
．
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高一/ 数学/ 筑梦班
Part 2 万能代换公式
知识点睛
万能代换公式：
sinα =
2tan α
2
1+tan2 α
2
cosα =
1−tan2 α
2
1+tan2 α
2
tanα =
2tan α
2
1−tan2 α
2
精讲精炼
【例3】
（1）θ ∈[0,π]，cosθ = 3
4，则tan θ
2 =（ ）
A.
√
7
B.
√
7
7
C. 7
D. 1
7
（2）若cotx =
√
5+1
2
，则cos2
(
x+ π
4
)
的值是
．
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第10 讲
三角函数变形
【例4】
已知tan a
2 = tana+c−1
tana+c+1，求tan a
2．
【例5】
解不等式：
√
sinx
1+cosx > 1(0 < x < π)．
【例6】
已知sin2A = m,cos2A = n，且m,n ∈(0,1)，那么以下四个值中，能作为tan
(
A+ π
4
)
的值有
．(请填写编
号)①1+m
n
，②
n
1−m，③n+m+1
n−m+1，④m−n+1
m+n−1．
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高一/ 数学/ 筑梦班
Part 3 三角函数公式综合
知识点睛
由基础三角恒等式可进一步推导得到下列拓展恒等式：
cos α
2 cos α
4 cos α
8 ···cos α
2n =
sinα
2n sin α
2n
cosx+cos(x+d)+···+cos(x+nd) =
sin
(
n+1
2
d
)
cos
(
x+ n
2d
)
sin d
2
sinx+sin(x+d)+···+sin(x+nd) =
sin
(
n+1
2
d
)
sin
(
x+ n
2d
)
sin d
2
tan(α +β +γ) = tanα +tanβ +tanγ −tanα tanβ tanγ
1−tanα tanβ −tanβ tanγ −tanγ tanα
精讲精炼
【例7】
证明下列三角恒等式：
（1）cos α
2 cos α
4 cos α
8 ···cos α
2n =
sinα
2n ·sin α
2n
．
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第10 讲
三角函数变形
（2）tan(α +β +γ) = tanα +tanβ +tanγ −tanα tanβ tanγ
1−tanα tanβ −tanβ tanγ −tanγ tanα ．
【例8】
证明下列三角恒等式：
（1）cosx+cos(x+d)+···+cos(x+nd) =
sin
(
n+1
2
d
)
cos
(
x+ n
2d
)
sin d
2
．
（2）sinx+sin(x+d)+···+sin(x+nd) =
sin
(
n+1
2
d
)
sin
(
x+ n
2d
)
sin d
2
．
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高一/ 数学/ 筑梦班
【例9】
求值：sin410◦+sin450◦+sin470◦=
．
【例10】
（1）已知α 是第二象限角, 且sin(π
2 +α) = −
√
5
5 ，则cos(2α −1)cosα +2sinα
2cos(α −π
4 )
=( )
A. −14
√
2
15
B. −9
√
2
5
C. 9
√
2
5
D. 14
√
2
5
（2）已知sin
(
π
6 −x
)
= 1
2，则sin
(
19π
6
−x
)
+sin2
(
−2π
3 +x
)
=( )
A. 1
4
B. 3
4
C. −1
4
D. −1
2
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第10 讲
三角函数变形
【例11】
（1）求证：tan 3x
2 −tan x
2 =
2sinx
cosx+cos2x．
（2）求tan70◦+tan50◦−
√
3tan70◦tan50◦的值．
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高一/ 数学/ 筑梦班
【例12】
（1）已知sin2(α +γ) = nsin2β，则tan(α +β +γ)
tan(α −β +γ) =( )
A. n−1
n+1
B.
n
n+1
C.
n
n−1
D. n+1
n−1
（2）若tanα +
1
tanα = 10
3 ，α ∈
(
π
4 , π
2
)
，则sin
(
2α + π
4
)
的值为
．
【例13】
如果f (sinnx) = sinx，(n ∈N∗)，则f (cosnx) =
．
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第10 讲
三角函数变形
本讲重点：
学习心得：
课堂总结
