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CONTENTS
第5 讲
任意角的三角函数
1
第6 讲
期中复习1
7
第7 讲
期中复习2
18
第8 讲
三角函数的图像与性质
23
参考答案
30
第5 讲
任意角的三角函数
1
【秋】高中数学筑梦班5-8 讲预习卡片
第5 讲
任意角的三角函数
知识梳理
一．角的概念1．定义：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．其中顶点，始
边，终边称为角的三要素．
2．角的分类
⑴正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；
⑵负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；
⑶零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．
【想一想】高中的角与初中的角有什么区别？
3．终边相同的角：设α 表示任意角，所有与α 终边相同的角，包括α 本身构成一个集合，这个集合可
记为S = { β|β = α +k ·360◦,k ∈Z}．
4．象限角与轴线角
象限角：顶点在原点，始边在x 轴正半轴，终边在第几象限就是第几象限角．
轴线角：如果角的终边在坐标轴上，则说这个角不在任何象限，而称之为“轴线角”．
如：终边落在第一象限的角的集合：{α |k ·360◦< α < k ·360◦+90◦,k ∈Z}，
终边落在轴正半轴上的角的集合：{α |α = 90◦+k ·360◦k ∈Z}．
2
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精讲精练
1 （1）判断下列说法的正误：锐角一定是第一象限角．
（2）判断下列说法的正误：小于90◦的角一定是锐角．
（3）判断下列说法的正误：第二象限角一定是钝角．
2 在0◦与360◦范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：
①−120◦；②640◦；③−950◦12′．
第5 讲
任意角的三角函数
3
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知识梳理
二．弧度制1．角度制：把圆周360 等分，其中1 份所对的圆心角是1 度，这样用度作单位来度量角的
制度叫做角度制．
2．1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．
在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为αrad，则α = l
r，这种以“弧度”作为单位来度量角
的制度叫做弧度制．
3．弧度与角度的换算：180◦= πrad，1rad =
(180◦
π
)
≈57.30◦= 57◦18′；
n◦= n· π
180rad，αrad =
(180α
π
)
◦．
一些特殊角的度数与弧度数的对应表：
精讲精练
3 （1）75◦=
rad．
（2）22◦30′ =
rad．
（3）3π
10 =
．
4
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知识梳理
一．三角函数的定义1．定义：在直角坐标系中，设α 是一个任意角，α 终边上任意一点P（除了原点）
的坐标为(x,y)，它与原点的距离为r(r =
√
|x|2 +|y|2 =
√
x2 +y2 > 0)，那么
⑴比值y
r 叫做α 的正弦，记作sinα，即sinα = y
r ；
⑵比值x
r 叫做α 的余弦，记作cosα，即cosα = x
r ；
⑶比值y
x 叫做α 的正切，记作tanα，即tanα = y
x．
【想一想】三角函数值与点P 的选取是否有关？
2．三角函数在各象限的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
⑴正弦值y
r 对于第一、二象限为正，对于第三、四象限为负；
⑵余弦值x
r 对于第一、四象限为正，对于第二、三象限为负；
⑶正切值y
x 对于第一、三象限为正，对于第二、四象限为负．
3．特殊角的三角函数：
第5 讲
任意角的三角函数
5
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精讲精练
4 已知角α 的终边过点(5,−12)，则sinα =
，cosα =
，tanα =
．
5 若sinθ cosθ > 0，则θ 在( )
A. 第一或第二象限
B. 第一或第三象限
C. 第一或第四象限
D. 第二或第四象限
知识梳理
二. 同角基本关系
平方关系：sin2x+cos2x = 1；
商数关系：sinx
cosx = tanx．
这两个关系式（及角的范围）刻画了同角三个三角函数之间的联系，当我们知道一个角的某一三
角函数值时，就可以求出这个角的其余三角函数值．此外，还可以利用它们来解决三角函数式的化简、
求值问题．
精讲精练
6 已知cosα = −4
5，则sinα=
；tanα =
．
6
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7 已知sinα −cosα = 1
5，则sinα +cosα =( )
A. 7
5
B. ±7
5
C. 49
25
D. ±49
25
8 设0 < α < π
4 ，sinα +cosα =
√
6
2 ，则1+tanα
1−tanα 的值为( )
A.
√
3
3
B. −
√
3
3
C.
√
3
D. −
√
3
第6 讲
期中复习1
7
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第6 讲
期中复习1
知识梳理
1. 集合的概念
（1）集合概念
一般的，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成
的集合（或集）. 构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．集合通常用英文大写字母
A,B,C,··· 来表示，元素通常用英文小写字母a,b,c,··· 来表示．
（2）集合中元素的特性
确定性、互异性、无序性.
（3）元素与集合的关系
如果a 是集合A 的元素，记作a ∈A．
如果a 不是集合A 的元素，记作a /∈A．
（4）常见数集
数学中一些常用的数集及其记法：
2. 集合的表示方法
集合的表示方法有列举法、描述法、图示法、区间法.
8
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精讲精练
1 （1）已知x ∈{1，2，x2}，则实数x =
．
（2）含有三个实数的集合可表示为
{
a, b
a,1
}
，也可表示为
{
a2,a+b,0
}
，则a2019 +b2019 的值为( )
A. 0
B. ±1
C. −1
D. 1
2 用∈、/∈填空：
（1）0
N∗；
（2）
3√
2
Q；
（3）π +1
R；
3 集合{x ∈N+|x−3 < 2} 的另一种表示法是( )
A. {0,1,2,3,4}
B. {1,2,3,4}
C. {0,1,2,3,4,5}
D. {1,2,3,4,5}
第6 讲
期中复习1
9
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知识梳理
1. 集合间的基本关系
2. 集合间的运算
（1）交集：A∩B
（2）并集：A∪B
（3）补集：CUA
（4）集合关系的转化
①A∩B = A ⇔A ⊆B
②A∪B = A ⇔A ⊇B
精讲精练
4 （1）下列各个关系式中，正确的是( )
A. ∅= {0}
B.
{√
2
}
∈Q
C. {3,5}̸ = {5,3}
D. {1} ⊆
{
x|x2 = x
}
（2）下列四个关系：①{a,b} ⊆{b,a}；②{0} = ∅；③∅∈{0}；④0 ∈{0}，其中正确的个数为( )
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
10
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5 （1）设全集U = {1,2,3,4,5}，集合M = {1,4}，N = {1,3,5}，则N ∩∁UM =( )
A. {1,3}
B. {1,5}
C. {3,5}
D. {4,5}
（2）已知集合A =
{
x
y = x2 +2x
}
，B =
{
y
y = x2 +6x+4
}
，则A∩B =
；
6 （1）若全集U = R，A = {x ∈N|1 ⩽x ⩽10}，B =
{
x ∈R
x2 +x−6 = 0
}
，则如图中阴影部分表示的集合
为
．
（2）如图所示的韦恩图中，阴影部分对应的集合是( )
A. A∩B
B. ∁U (A∩B)
C. A∩
(
∁UB
)
D.
(
∁UA
)
∩B
7 （1）设A =
{
x|x2 −2x−3 = 0
}
，B = {x|ax = 1}，若A∪B = A，则实数a 的取值集合为
．
第6 讲
期中复习1
11
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（2）设A = {1,2,3,4}，B = {2,4}，如果S ⊆A 且S∩B̸ = ∅，那么符合条件的集合S 的个数是( )
A. 4
B. 10
C. 11
D. 12
知识梳理
1．命题
定义：用语言、符号或式子表达的可以判断真假的语句．一般可用小写英文字母p，q，r 等表示．
以下语句中哪些是命题？如果是命题请判断真假．
(1) 过直线AB 外一点作该直线的平行线有且仅有一条．
(2) 个位数是0 的自然数能被5 整除．
(3) 若A∩B = ∅，则A = ∅．
(4) 数学真好玩啊！
(5) 你是高一学生吗？
2．逻辑联结词：且(∧)、或(∨)、非(¬)
联结词“且”用来联结两个命题p,q 得到新命题“p 且q”，记作p∧q．
联结词“或”用来联结两个命题p,q 得到新命题“p 或q”，记作p∨q．
设p 是一个命题，联结词“非”是对命题p 作否定，得到命题“非p”或“不是p”，记作¬p．由简单命题
和逻辑联结词构成的命题称为复合命题．
观察下列复合命题使用的逻辑连接词，并判断复合命题的真假．
⑴①5 是10 的约数且是15 的约数；②矩形的对角线相等且垂直；
⑵①方程x2 +x+1 = 0 的判别式大于0 或等于0；②2 ⩾1；
⑶①“100 可以被7 整除”的否定是“100 不可以被7 整除”；
②“函数y = 2x 是R 上的增函数”的否定是“函数y = 2x 不是R 上的增函数”．
3．真值表
12
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精讲精练
8 （1）下列判断中正确的是( )
A. 命题p 是真命题时，命题p∧q 一定是真命题
B. 命题p 是假命题时，命题p∧q 不一定是假命题
C. 命题p∧q 是真命题时，命题p 一定是真命题
D. 命题p∧q 是假命题时，命题p 一定是假命题
（2）判断下列命题的真假：①3 > 3 或3 = 3；②∅̸ ⊂{0} 或0 ∈∅；③A ⊆A 或A∩A = A，其中为真
命题的是
．
知识梳理
4．四种命题
(1) 若p，则q：原命题；
(2) 若q，则p：原命题的逆命题；
(3) 若¬p，则¬q：原命题的否命题；
(4) 若¬q，则¬p：原命题的逆否命题．
【举例】原命题：若两个三角形全等，则它们相似；
逆命题：若两个三角形相似，则它们全等；
否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似；
逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等．
性质：互为逆否的命题真假性一致，其它命题的真假性没有必然的联系．
第6 讲
期中复习1
13
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5．命题的否定与否命题
命题的否定是指对命题取否定，即进行“非”操作．
原来的命题与否定以后的命题真假性一定一真一假．常见的否定如下：
【注意】命题的否定与否命题不同．命题的否定是复合命题，与原命题一真一假；否命题是指四种命题
的一种，只相对于原命题而言．其真假性与原命题没有必然的联系．
精讲精练
9 （1）判断下列命题的否命题的真假( )
①若a > 0，则a2 > 0；②若a > 0，则a3 > 0．
A. 全真
B. ①真②假
C. ①假②真
D. 全假
（2）判断下列命题的逆否命题的真假( )
①若a = 0，则ab = 0；②若a2 > b2，则a > b．
A. 全真
B. ①真②假
C. ①假②真
D. 全假
14
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知识梳理
6．全称量词与存在量词(特称量词)
全称量词：
“所有”、
“任意”、
“任何一个”、
“每一个”等等，表示所述事物的全体．可记为“∀”．
存在量词：
“存在”、
“有一个”、
“有些”、
“至少有一个”表示所述事物的个体或部分．可记为“∃”．
【举例】①一切反动派都是纸老虎；
②每一个人都是独一无二的；
③所有的矩形都是正方形；
④三角形内角和为180◦；
⑤平行四边形对角线互相平分．
【举例】①我们班有个同学的身高超过了1.85 米；
②我们班有同学的体重超过了100kg；
③有个实数的平方仍然是无理数；
④有的三角形的内角都是锐角；
⑤有一个数的相反数是自己．
【注意】全称量词在命题中可省略，存在量词不可省略．
全称命题：含有全称量词的命题．如：p：∀x ∈M，p(x)．
存在命题(特称命题)：含有存在量词的命题．如：q：∃x ∈M，q(x)．
【举例】⑴“所有的奇数都是质数”的否定是（）
A．所有的奇数都不是质数B．所有的奇数不都是质数（存在奇数不是质数）
⑵“我们班有同学的身高超过1．85 米”的否定是（）
A．我们班有同学的身高不超过1．85 米B．我们班所有的学生身高都不超过1．85 米
全称命题与存在命题的否定
若p：∀x ∈M，p(x)；则有¬p：∃x ∈M，¬p(x)．
若q：∃x ∈M，q(x)；则有¬q：∀x ∈M，¬q(x)．
第6 讲
期中复习1
15
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精讲精练
10 用数学符号“∀”
“∃”表示下列命题，并判断真假：
（1）x ∈R，x2 −2x+2 > 0；
（2）有个实数x0，使得x02 +2x0 +3 = 0；
（3）自然数不都是正整数；
（4）有理数x 的平方仍为有理数；
（5）有些实数的绝对值是正数；
（6）至少存在一个实数使得x2 > 0．
11（1）命题“∃x0 ∈(0,+∞)，lnx0 = x0 −1”的否定是( )
A. ∃x0 ∈(0,+∞)，lnx0̸ = x0 −1
B. ∃x0 /∈(0,+∞)，lnx0 = x0 −1
C. ∀x ∈(0,+∞)，lnx̸ = x−1
D. ∀x /∈(0,+∞)，lnx = x−1
（2）命题“对任意x ∈R，都有x2 ⩾0”的否定为( )
A. 对任意x ∈R，都有x2 < 0
B. 不存在x ∈R，使得x2 < 0
C. 存在x0 ∈R，使得x2
0 ⩾0
D. 存在x0 ∈R，使得x2
0 < 0
16
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知识梳理
1．充分条件与必要条件
当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说由p 可以推出q，记作
p ⇒q，读作“p 推出q”．此时称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．
【注意】⑴充分条件与必要条件是一种相互关系，只能说谁是谁的充分或必要条件，不能直接说谁是
充分或必要条件．
⑵以下的四个说法：①“若p，则q”为真命题；②p ⇒q；③p 是q 的充分条件；④q 是p 的必
要条件，它们表示的同一个逻辑关系，只是说法不同而已．
2．充要条件
如果p ⇒q，且q ⇒p，则称p 是q 的充分且必要条件，简称p 是q 的充要条件，记作
p ⇔q．p 是q 的充要条件，又常说成：q 当且仅当p，或p 与q 等价．
【注意】p 与q 之间的四种关系与相应结论
【举例】“x ⩾0”是“x > 0”的
条件．
【答案】必要不充分
3．判断条件的步骤
⑴确定条件和结论；
⑵条件⇒结论，充分性成立；结论⇒条件，必要性成立．
第6 讲
期中复习1
17
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精讲精练
12 用“充分不必要条件”、
“必要不充分条件”、
“充要条件”、
“既不充分也不必要条件”填空．
①x < 1 是x < 3 的
；x < 3 是x < 1 的
；
②x ∈A 是x ∈A∪B 的
；A ⊆B 是A∩B = B 的
．
③¬p 为假命题是p∨q 为真命题的
；p∨q 为真命题是p∧q 为真命题的
．
13（1）设x ∈R，则“|x−2| ⩽1”是“x2 +x−2 > 0”的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
（2）已知a，b ∈R+，则“a2 +b2 < 1”是“ab+1 > a+b”的( )
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
18
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第7 讲
期中复习2
知识梳理
1．定义域
自变量(Independent Variable) 的取值范围叫做函数的定义域(Domain)．
【注意】定义域是自变量的取值范围，必须写成集合的形式．
2．常见对应法则下的定义域
(1) 分式的分母不为0；
(2) 偶次根式下非负；
(3) 0 的0 次幂没有意义．
3．定义域的运算
两个函数四则运算以后的定义域是两个函数定义域的交集．如：函数f (x) = g(x) + h(x)，f (x) =
g(x)−h(x) 或f (x) = g(x)×h(x)，那么f (x) 的定义域为g(x) 与h(x) 定义域的交集，f (x) = g(x)÷h(x)
除了是g(x) 与h(x) 定义域的交集，还需要注意分母．
4．复杂函数定义域求解策略
（1）抽象函数谈到定义域都是针对自变量(x) 而言的；
（2）复合函数的定义域求解是从外到里的思想(“脱衣服”的思想)．
【思考探究】f (x) 和f (x+1) 中的x 一样吗？
【答案】不同，前面的x 相当于后面的x+1
【思考探究】f (x) = √x，求f (x+1)、f (x+2)、f (x+3)、f
(
x2 −1
)
的定义域．
【答案】[−1,+∞)；[−2,+∞)；[−3,+∞)；(−∞,−1]∪[1,+∞)．
第7 讲
期中复习2
19
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精讲精练
1 （1）函数f (x) =
√
x2 −3x−4+(x+1)0
|x+2|−2
的定义域为
．
（2）函数y =
√
kx2 −6kx+9 的定义域为R，则k 的取值范围是
．
2 求下列函数的值域：
‘ （1）y = −x2 +3x+1，x ∈[−1,2)．
（2）y = x+√x+3．
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3 求下列函数的值域：
（1）y = 2x−3
x+1 ．
（2）y = 2x2 +2x+3
x2 +x+1 ．
4 （1）二次函数f (x) 满足f(x+1)−f (x) = 2x, 且f (0) = 1，则f (x) =
.
（2）若函数f (x) 满足f (√x+1) = x+2√x, 则f (x) 的最小值为
.
（3）已知定义域为(−∞,0)∪(0,+∞) 的函数f (x) 满足f (x)+2 f
(1
x
)
= 3x，则f (x) =
．
第7 讲
期中复习2
21
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知识梳理
函数的分类
（1）(基本) 初等函数：常函数、正比例、一次、二次、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数．
【注意】一次、二次函数可以称为初等函数，但不能叫做基本初等函数，因为它们可以由更简单的其它
函数组合构成．
（2）分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则的函数．
主要有大括弧、绝对值、y = max{a,b}、y = min{a,b}、取整等形式．
（3）复合函数：如果y 是u 的函数，记作y = f (u)，u 是x 的函数，记为u = g(x)，且g(x) 的值域与
f (u) 的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数y = f [g(x)]，这时y 叫做x 的复合函数，其
中u 叫做中间变量，y = f (u) 叫做外层函数，u = g(x) 叫做内层函数．
图示
【思考探究】y =
√
x2 +2x−3 是不是复合函数？如果是的话，内层函数、外层函数分别是什么？
【答案】是复合函数，内层函数u = x2 +2x−3，外层函数y = √u
（4）抽象函数：只给函数的特性性质，不给出具体解析式的函数．如函数f (x) 满足f (x+1) = f (x)，
f (xy) = f (x)+ f (y)．
【注意】抽象函数重点在于理解对应法则．
（5）其它：重点把握如下两个函数
①y = ax+ b
x——双曲函数；
②y = ax+b
cx+d ——由反比例函数进行平移、伸缩、对称等一系列变化得到．
处理策略：双曲函数和分式线性函数重点把握图像．
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精讲精练
5 （1）若f (x) =
x2 (x ⩾0)
−x(x < 0)
，则f(f (−2)) =( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
（2）若函数f (x) =
x+1(x ⩾0)
f (x+2)(x < 0)
，则f (−3) 的值为( )
A. 5
B. −1
C. −7
D. 2
6 已知函数f (x) 的定义域为[−2,2]，函数g(x) = f (x−1)
√2x+1 ，则g(x) 的定义域为
．
7 g(x) = x+ e2
x −m(x > 0，e 表示自然对数的底数)，若g(x) 在(0,+∞) 上有零点，则m 的取值范围是
．
第8 讲
三角函数的图像与性质
23
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第8 讲
三角函数的图像与性质
知识梳理
1．诱导公式
公式一：终边相同的角的同一三角函数的值相等．
sin(α +2kπ) = sinα，cos(α +2kπ) = cosα，tan(α +2kπ) = tanα(k ∈Z)．
公式二：终边关于原点对称的角三角函数间的关系．
sin(α +π) = −sinα，cos(α +π) = −cosα，tan(α +π) = tanα．
公式三：终边关于y 轴对称的角三角函数间的关系．
sin(π −α) = sinα，cos(π −α) = −cosα，tan(π −α) = −tanα．
公式四：终边关于x 轴对称的角三角函数间的关系．
sin(−α) = −sinα，cos(−α) = cosα，tan(−α) = −tanα．
公式五：终边垂直的角三角函数间的关系．
sin
(π
2 +α
)
= cosα，cos
(π
2 +α
)
= −sinα．
公式六：角α 与π
2 −α 的三角函数间的关系．
sin
(π
2 −α
)
= cosα，cos
(π
2 −α
)
= sinα．
诱导公式揭示了终边具有某种对称性的两个角三角函数间的关系．利用诱导公式，我们可以将任意角
的三角函数问题转化为锐角的三角函数问题．
【思考】你能归纳出把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的一般步骤吗？
24
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精讲精练
1
利用诱导公式化简
（1）sin(6π −α) =
（2）cos
(5π
2 −α
)
=
（3）tan(3π +α) =
2 已知α 是第三象限角，tan
(π
5 −α
)
= 5
12，则cos
(
α + 13π
10
)
=( )
A. 5
13
B. −5
13
C. 12
13
D. −12
13
第8 讲
三角函数的图像与性质
25
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知识梳理
正弦函数的图象与性质
函数的周期性
⑴一般地, 对于函数f(x), 如果存在一个非零的常数T, 使得定义域内的每一个x 值, 都满足f(x+T) =
f(x), 那么函数f(x) 就叫做周期函数, 非零常数T 叫做这个函数的周期．
⑵对于一个周期函数f(x), 如果在它所有的周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小的正数就叫做
f(x) 的最小正周期．
⑶正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k ∈Z且k̸ = 0) 都是它们的周期, 它们的最小正周期都是2π；
正切函数也是周期函数, 最小正周期为π．
26
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精讲精练
3 （1）函数f (x) =
1
sinx−1 的定义域为( )
A. R
B. [−1,0)∪(0,1]
C. {x|x̸ = 1}
D.
{
x
x̸ = 2kπ + π
2 ,k ∈Z
}
（2）函数y = sinx,x ∈
[
−π
6 , 5π
6
]
的值域为( )
A.
[
−1
2, 1
2
]
B.
[
−1
2,1
]
C.
[1
2,1
]
D. [−1,1]
4 （1）下列函数中是奇函数的是( )
A. y = x+sinx
B. y = sinx+1
C. y = xsinx
D. y = |sinx|
（2）下列函数中周期为π 的是( )
A. f (x) = sin|x|
B. f (x) = 2sinx+1
C. f (x) = sinx+|sinx|
D. f (x) = |sinx|
第8 讲
三角函数的图像与性质
27
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知识梳理
余弦函数的图象与性质
精讲精练
5 求函数y = −2cosx+1，x ∈
[
−π
6 , π
3
]
的最大值与最小值．
28
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6 下列各式中正确的为( )
A. cos 4π
7 < cos 5π
7
B. cos
(
−π
5
)
> cos
(
−π
6
)
C. cos 15
8 π > cos
(
−π
7
)
D. cos
(
−3
5π
)
>cos
(
−9
4π
)
知识梳理
正切函数的图象与性质
第8 讲
三角函数的图像与性质
29
【秋】高中数学筑梦班5-8 讲预习卡片
精讲精练
7 函数y = tan
(
x+ π
4
)
的定义域是( )
A. {x|x̸ = π
4 ,x ∈R}
B. {x|x̸ = −π
4 ,x ∈R}
C. {x|x̸ = 3π
4 +kπ,k ∈Z}
D. {x|x̸ = π
4 +kπ,k ∈Z}
8 函数f(x) = tan
(
x−π
4
)
的单调递增区间为( )
A.
(
kπ −π
4 ,kπ + 3π
4
)
，k ∈Z
B.
(
kπ −π
2 ,kπ + π
2
)
，k ∈Z
C. (kπ,(k +1)π)，k ∈Z
D.
(
kπ −3π
4 ,kπ + π
4
)
，k ∈Z
30
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参考答案
第5 讲
任意角的三角函数
1 （1）见解析
【解析】解：锐角的范围是(0◦,90◦)，是第一象限角，正确．
（2）见解析
【解析】解：0◦< 90◦，但0◦不是锐角，错误．
（3）见解析
【解析】解：第二象限角不一定是钝角，例如：−210◦，错误．
2 见解析
【解析】解：①−120◦=360◦×(−1)+240◦，且240◦在第三象限，所以−120◦与240◦终边相同，且位于
第三象限；
②640◦= 360◦×1+280◦，且280◦在第四象限，所以640◦与280◦终边相同，且位于第四象限；
③−950◦12′ = 360◦×(−3)+129◦48′，且129◦48′ 在第二象限，所以−950◦12′ 与129◦48′ 终边相同，且
位于第二象限．
3 （1）5π
12
（2）π
8
（3）54◦
4 −12
13
5
13
−12
5
5 B
【解析】解：∵sinθ cosθ > 0，∴sinθ ，cosθ 同号．
当sinθ > 0，cosθ > 0 时，θ 在第一象限；
当sinθ < 0，cosθ < 0 时，θ 在第三象限；故选B．
参考答案
31
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6
3
5 或−3
5
−3
4 或3
4
【解析】解：∵sin2α +cos2α = 1，∴sin2α = 1−cos2α = 1−
(
−4
5
)2
=
(3
5
)2
，
又∵cosα = −4
5 < 0，∴α 是第二或三象限角．
当α 在第二象限时，即有sinα > 0，从而sinα = 3
5，tanα = sinα
cosα = −3
4；
当α 在第三象限时，即有sinα < 0，从而sinα = −3
5，tanα = sinα
cosα = 3
4．
7 B
【解析】解：2sinα cosα = 1−(sinα −cosα)2=1−1
25 = 24
25，
因为(sinα +cosα)2 = sin2α +cos2α +2sinα cosα = 1+ 24
25 = 49
25，
所以sinα +cosα = ±7
5，故选B．
8 C
【解析】解：∵0 < α < π
4 ，∴sinα < cosα，
∵(cosα −sinα)2 +(cosα +sinα)2 = 2
(
cos2α +sin2α
)
= 2，
∴(cosα −sinα)2 = 2−(cosα +sinα)2 = 1
2，
∴cosα −sinα =
√
2
2 ，1+tanα
1−tanα = cosα +sinα
cosα −sinα =
√
3，故选C．
第6 讲
期中复习1
1 （1）0 或2
【解析】若x ∈{1，2，x2}，则有x = 1 或x = 2 或x = x2 ⇒x = 0 或x = 1 或x = 2．经检验x = 0 或
x = 2 符合题意．
（2）C
【解析】解：三个实数的集合可表示为
{
a, b
a,1
}
，也可表示为
{
a2,a+b,0
}
，
可得b = 0，a2 = 1，因为集合含有三个实数，所以a = −1，
∴a2019 +b2019 = −1．
故选：C．
32
【秋】高中数学筑梦班5-8 讲预习卡片
2 （1）/∈
（2）/∈
（3）∈
3 B
【解析】∵集合{x ∈N+|x −3 < 2} 是用描述法来表示的，用另一种方法来表示就是用列举法，∵{x ∈
N+|x−3 < 2} = {x ∈N+|x < 5} = {1,2,3,4}．故选：B．
4 （1）D
（2）B
【解析】解：①{a,b} ⊆{b,a}，集合本身是它自己的子集，∴①对；
②{0} = ∅，③∅∈{0}，∅是一个集合，没有任何元素，而{0} 是一个集合，含有一个元素是0，∴②③
不对；
④0 ∈{0}，{0} 是一个集合，含有一个元素是0，∴④对，
故选：B．
5 （1）C
【解析】∁UM = {2,3,5}，所以N ∩∁UM = {3,5}．
（2）{x|x ⩾−5}
6 （1）{2}
【解析】∵全集U = R，A = {x ∈N|1 ⩽x ⩽10}，B =
{
x ∈R|x2 +x−6 = 0
}
，
∴A = {1,2,3,4,5,··· ,10}，B = {−3,2}，
∴A∩B = {2}．
图示中阴影部分表示的集合为A∩B，
即阴影部分表示的集合为{2}．
故答案为：{2}．
（2）C
参考答案
33
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7 （1）
{
0,−1, 1
3
}
【解析】由x2 −2x−3 = 0 ⇒(x−3)(x+1) = 0，
解得x1 = −1，x2 = 3，
∴A = {−1,3}．
由A∪B = A 知B ⊆A．
∴①若a = 0，则B = ∅，符合题意．
②若a̸ = 0，则a = −1 或a = 1
3．
综上，实数a 的取值集合为
{
0,−1, 1
3
}
．
（2）D
【解析】解：采用列举法写出满足题意的集合S，
有{2}，{2,1}，{2,3}，{1,2,3}，{4}，{4,1}，{4,3}，{1,4,3}，{2,4}，{2,4,1}，{2,3,4}，{1,2,3,4}，
所以选D.
8 （1）C
（2）①③
9 （1）C
【解析】否命题分别为：①若a ⩽0，则a2 ⩽0，假命题；②若a ⩽0，则a3 ⩽0，真命题，故选C．
（2）B
【解析】逆否命题分别为：①若ab̸ = 0，则a̸ = 0，真命题；②若a ⩽b，则a2 ⩽b2，假命题，故选B．
10 见解析
【解析】（1）∀x ∈R，x2 −2x+2 > 0；真命题．
（2）∃x0 ∈R，x02 +2x0 +3 = 0；假命题．
（3）∃x0 ∈N，x0 /∈N∗；真命题．
（4）∀x ∈Q，x2 ∈Q；真命题．
（5）∃x0 ∈R，|x0| > 0；真命题．
（6）∃x0 ∈R，x02 > 0；真命题．
11（1）C
【解析】解：命题的否定是：∀x ∈(0,+∞)，lnx̸ = x−1，
故选：C．
34
【秋】高中数学筑梦班5-8 讲预习卡片
（2）D
【解析】全称命题的否定是特称命题，
“对任意x ∈R，都有x2 ⩾0”的否定为“存在x0 ∈R，使得x2
0 < 0”．
12 ①充分不必要条件；必要不充分条件②充分不必要条件；既不充分也不必要条件③充分不必要条
件；必要不充分条件
13（1）D
【解析】由|x−2| ⩽1 得1 ⩽x ⩽3，
由x2 +x−2 > 0 得x > 1 或x < −2，
即“|x−2| ⩽1”是“x2 +x−2 > 0”的既不充分也不必要条件，故选：D．
（2）A
【解析】由题意可知：a，b ∈R+，若a2 +b2 < 1，
则a2 +2ab+b2 < 1+2ab+a2 ·b2，
∴(a+b)2 < (1+ab)2，
∴ab+1 > a+b．
当a = b = 2 时，
ab+1 > a+b 成立，但a2 +b2 < 1 不成立．
综上可知：
“a2 +b2 < 1”是“ab+1 > a+b”的充分非必要条件．
故选:A．
第7 讲
期中复习2
1 （1）(−∞,−4)∪(−4,−1)∪[4,+∞)
【解析】
x2 −3x−4 ⩾0
x+1̸ = 0
|x+2|−2̸ = 0
⇒
x ⩽−1或x ⩾4
x̸ = −1
x̸ = 0且x̸ = −4
⇒x < −4 或−4 < x < −1 或x ⩾4，故原函数的定
义域为(−∞,−4)∪(−4,−1)∪[4,+∞)．
（2）[0,1]
【解析】函数y =
√
kx2 −6kx+9 的定义域为R，∴kx2 −6kx+9 ⩾0，x ∈R 恒成立．
①当k = 0 时，9 ⩾0 成立；
②当k > 0 时，∆= (−6k)2 −4×k ×9 ⩽0，得0 < k ⩽1．
由①②得0 ⩽k ⩽1，故答案是[0,1]．
参考答案
35
【秋】高中数学筑梦班5-8 讲预习卡片
2 （1）见解析
【解析】函数配方得y = −
(
x−3
2
)2
+ 13
4 ，x ∈[−1,2)．∴当x = 3
2 时，y 取最大值13
4 ，当x = −1 时，y
取最小值−3．∴该函数值域为
[
−3, 13
4
]
．
（2）见解析
【解析】令t = √x+3，t ⩾0，则x = t2 −3，故y = t2 +t −3 =
(
t + 1
2
)2
−13
4 ，根据抛物线的图象可得
函数的值域为[−3,+∞)．
3 （1）见解析
【解析】y = 2x−3
x+1 = 2(x+1)−5
x+1
= 2 −
5
x+1，∵x̸ = −1，∴
5
x+1̸ = 0，∴2 −
5
x+1̸ = 2，故值域为
{y|y̸ = 2,y ∈R}．
（2）见解析
【解析】y = 2x2 +2x+3
x2 +x+1
= 2+
1
x2 +x+1，
∵x2 +x+1 =
(
x+ 1
2
)2
+ 3
4，∴x2 +x+1 ∈
[3
4,+∞
)
，∴
1
x2 +x+1 ∈(0, 4
3]，∴2+
1
x2 +x+1 ∈(2, 10
3 ]，即
函数的值域为(2, 10
3 ]．
4 （1）x2 −x+1
【解析】设二次函数f (x) = ax2 +bx+c, 则f(x+1)−f (x) = a(x+1)2 +b(x+1)+c−(ax2 +bx+c) =
2ax+a+b = 2x, 且f (0) = c = 1, 解得a = 1,b = −1,c = 1. 则f (x) = x2 −x+1.
（2）0
【解析】法一：换元法．令t = √x + 1，t ⩾1，则x = (t −1)2，故f (t) = (t −1)2 + 2(t −1)= t2 −1，即
f (x) = x2 −1，x ⩾1．∴f (x)min = f (1) = 0．法二：拼凑法．∵f (√x+1) = x + 2√x = (√x+1)
2 −1，
∴f (x) = x2 −1，x ⩾1．∴f (x)min = f (1) = 0．
（3）2
x −x
【解析】∵f (x)+2f
(1
x
)
= 3x，∴f
(1
x
)
+2 f (x) = 3
x，联立，解得f (x) = 2
x −x．
5 （1）C
【解析】∵−2 < 0，∴f (−2) = −(−2) = 2；又∵2 > 0，∴f(f (−2)) = f (2) = 22 = 4．故选C．
36
【秋】高中数学筑梦班5-8 讲预习卡片
（2）D
【解析】依题意知，f (−3) = f(−3+2) = f (−1) = f(−1+2) = f (1) = 1+1 = 2．
故选D．
6
(
−1
2,3
]
【解析】解：由题意得：
−2 ⩽x−1 ⩽2
2x+1 > 0
，
解得：−1
2 < x ⩽3，
故函数g(x) 的定义域是
(
−1
2,3
]
，
故答案为：
(
−1
2,3
]
．
7 [2e,+∞)
【解析】解：g(x) = x+ e2
x −m(x > 0，e 表示自然对数的底数)，
g(x) 在(0,+∞) 上有零点，即方程m = x+ e2
x 有解，
可得m = x+ e2
x ⩾2
√
x· e2
x = 2e，当且仅当x = e 时取等号，
则m 的取值范围是：[2e,+∞)．
故答案为：[2e,+∞)．
第8 讲
三角函数的图像与性质
1 （1）−sinα
【解析】sin(6π −α) = sin(−α) = −sinα
（2）sinα
【解析】cos
(5π
2 −α
)
= cos
(π
2 −α
)
= sinα
（3）tanα
【解析】tan(3π +α) = tanα
参考答案
37
【秋】高中数学筑梦班5-8 讲预习卡片
2 B
【解析】∵tan
(π
5 −α
)
> 0，∴π
5 −α 是第一或第三象限角；又∵α 是第三象限角，∴π
5 −α 是
第一象限角，∴sin
(π
5 −α
)
= 5
13，cos
(π
5 −α
)
= 12
13．观察发现，
(π
5 +α
)
+
(
α + 13π
10
)
= 3π
2 ，∴
cos
(
α + 13π
10
)
= cos
[3π
2 −
(π
5 −α
)]
= −sin
(π
5 −α
)
= −5
13，故选B．
3 （1）D
【解析】解：函数定义域为{x|sinx̸ = 1} 即
{
x
x̸ = 2kπ + π
2 ,k ∈Z
}
，故选D．
（2）B
【解析】根据正弦函数图象可知，函数在
(
−π
6 , π
2
)
上为增函数，在
(π
2 , 5π
6
)
上为减函数，最小值为
ymin = sin
(
−π
6
)
= −1
2，最大值为ymax = sin π
2 = 1，故值域为
[
−1
2,1
]
，故选B．
4 （1）A
【解析】四个函数定义域均为R，根据奇函数、偶函数运算性质有：A. 两个奇函数相加，是奇函数；B.
奇函数加偶函数，非奇非偶函数；C. 两个奇函数相乘，是偶函数；D. 奇函数和偶函数的复合函数，是偶
函数．故选A．
（2）D
【解析】解：四个函数定义域均为R．由图象可知A 中函数不是周期函数；
代入x+π，计算后发现选项B、C 中最小正周期不是π；
D 中f (x+π) = |sin(x+π)| = |−sinx| = |sinx| = f (x)，
故周期是π，故选D．
①f (x) = sin|x|
②f (x) = |sinx|
38
【秋】高中数学筑梦班5-8 讲预习卡片
③f (x) = sinx+|sinx|
5 见解析
【解析】解：余弦函数在
[
−π
6 , π
3
]
上的最大值是1，∴y = −2cosx+1 最小值为−1；
余弦函数在
[
−π
6 , π
3
]
上的最小值是1
2，∴y = −2cosx+1 最大值为0．
6 C
【解析】解：A．∵π
2 < 4π
7 < 5π
7 < π，∴cos 4π
7 > cos 5π
7 ，故此项错；
B．∵−π
2 < −π
5 < −π
6 < 0，∴cos(−π
5 ) < cos
(
−π
6
)
，故此项错；
C．cos 15π
8
= cos
(
−π
8
)
，∵−π
2 < −π
7 < −π
8 < 0，
∴cos 15π
8
= cos
(
−π
8
)
> cos
(
−π
7
)
，故此项对；
D．cos
(
−9π
4
)
= cos
(
−π
4
)
，−π < −3π
5 < −π
4 < 0，
∴cos
(
−3π
5
)
< cos
(
−π
4
)
= cos
(
−9π
4
)
，故此项错；故选：C．
7 D
【解析】函数y = tan(x+ π
4 ) 中，x+ π
4̸ = kπ + π
2 ，k ∈Z，∴{x|x̸ = π
4 +kπ,k ∈Z}．
8 A
【解析】解由kπ −π
2 < x−π
4 < kπ + π
2 ，
解得kπ −π
4 < x < kπ + 3π
4 ，k ∈Z，
即函数的递增区间为
(
kπ −π
4 ,kπ + 3π
4
)
，k ∈Z，故选A．
