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三角函数方程
Part 1 反三角函数
Part 2 三角函数方程
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高一/ 数学/ 筑梦班
Part 1 反三角函数
知识点睛
函数y = sinx，x ∈
[
−π
2 , π
2
]
的反函数叫做反正弦函数，记作y = arcsinx；
函数y = cosx，x ∈[0, π] 的反函数叫做反余弦函数，记作y = arccosx；
函数y = tanx，x ∈
(
−π
2 , π
2
)
的反函数叫做反正切函数，记作y = arctanx；
函数y = cotx，x ∈(0, π) 的反函数叫做反余切函数，记作y = arccotx．
注意：
三角函数就整个定义域而言，并不存在反函数，只有在它的某个单调区间才存在反函数．如y = arcsinx，|x| ≤1 并
不是函数y = sinx 的反函数，而是y = sinx，x ∈
[
−π
2 , π
2
]
的反函数．在处理有关反函数的问题时，要特别注意函
数的定义域和值域．
知识点睛
反三角函数相关公式：
1. 余角关系
arcsinx+arccosx = π
2
arctanx+arccotx = π
2
2. 负数关系与倒数关系
arcsinx = −arcsin(−x)
arccosx = π −arccos(−x)
arctanx = −arctan(−x) = arccot
(
1
x
)
arccotx = π −arccot(−x) = arctan
(
1
x
)
3. 当|x| ≤1 时，有sin(arcsinx) = x，这里|arcsinx| ≤π
2 .
当|x| ≤1 时，有cos(arccosx) = x，这里0 ≤arccosx ≤π.
当x ∈R 时，有tan(arctanx) = x，这里|arctanx| < π
2 .
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第14 讲
三角函数方程
当x ∈R 时，有cot(arccotx) = x，这里0 < arccotx < π.
精讲精炼
【例1】
（1）arcsin
(
1
3
)
+arccos 1
3 +arctan
(
−1
3
)
+arccot
(
−1
3
)
=( )
A. 0
B. π
C. 2π
D. −π
（2）arccos
(
−3
5
)
−arctan7 =
．
知识点睛
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高一/ 数学/ 筑梦班
精讲精炼
【例2】
（1）函数y = arccos
(
x2 −1
2
)
的定义域是
，值域是
．
（2）函数f (x) = arccosx+ 1
2arccotx 的值域是( )
A. (0,π)
B.
(
0, π
2
)
C.
[
π
4 , 11π
4
]
D.
[
π
8 , 11π
8
]
【例3】
四个数
1
√
3，sin
√
3，tan
√
3，arctan
√
3 的大小关系是( )
A.
1
√
3 < tan
√
3 < sin
√
3 < arctan
√
3
B. tan
√
3 < 1
√
3 < sin
√
3 < arctan
√
3
C. sin
√
3 < 1
√
3 < arctan
√
3 < tan
√
3
D. tan
√
3 < 1
√
3 < arctan
√
3 < sin
√
3
【例4】
（1）不等式log π
6 arcsin x
2 < 1 的解集是
．
（2）解不等式：2arcsinx+3arccosx > 4π
3 ．
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第14 讲
三角函数方程
【例5】
函数y = cosx+1(−π ⩽x ⩽0) 的反函数为
．
【例6】
函数y = arccos(cosx)，x ∈
[
−π
2 , π
2
]
的图象为( )
【例7】
若△ABC 是钝角三角形，则arccos(sinA)+arccos(sinB)+arccos(sinC) 的取值范围是
．
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Part 2 三角函数方程
知识点睛
求解大多数三角方程的基本方法，是将它们化归为如下表所列的基本方程，处理有关反三角函数的方程问题，
一般要将其转化为三角方程，但要注意方程解的范围．
精讲精炼
【例8】
（1）设−1 < a < 0，θ = arcsina，则不等式sinx < a 的解集为( )
A. {x|2nπ +θ < x < (2n+1)π −θ ,n ∈Z}
B. {x|2nπ −θ < x < (2n+1)π +θ ,n ∈Z}
C. {x|(2n−1)π +θ < x < 2nπ −θ ,n ∈Z}
D. {x|(2n−1)π −θ < x < 2nπ +θ ,n ∈Z}
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第14 讲
三角函数方程
（2）方程cos(π cosx) = 0 的解集是( )
A.
{
x
x = kπ ± π
6 ,k ∈Z
}
B.
{
x
x = 2kπ ± π
6 ,k ∈Z
}
C.
{
x
x = kπ ± π
3 ,k ∈Z
}
D.
{
x
x = 2kπ ± π
3 ,k ∈Z
}
【例9】
关于x 的方程cosx = arcsinx 的实数解的个数为( )
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
【例10】
（1）不等式arcsin(x−1) < x 的解集是( )
A. [0,1]
B. [1,2]
C. [0,2]
D. [0,+∞]
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（2）不等式arcsin|x| > arccos|x| 的解集是
．
【例11】
设x1，x2 是方程x2 −xsin 3π
5 +cos 3π
5 = 0 的两解，则arctanx1 +arctanx2 =
．
【例12】
如果任意实数x 均使arctan
√
x2 +x+ 13
4 ⩾π
3 −a 成立，求a 的取值范围．
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第14 讲
三角函数方程
【例13】
偶函数f (x) 满足：f (x+2) = f (x) 对一切实数x 成立，且当x ∈(−2013,−2012) 时，f (x) = cos π
2 x，f (−2012) = a，
f (−2013) = b(a < b)．
（1）若△ABC 是钝角三角形，C 是钝角，证明：f (sinA) > f (cosB)．
（2）若f (x) 的值域是[a,b]，求a，b 的值，并求方程f (x) = b 的解集．
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本讲重点：
学习心得：
课堂总结
