文档文本内容
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函数迭代
Part 1 函数迭代
Part 2 不动点及其在函数
迭代中的应用
Part 3 函数递推
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高一/ 数学/ 筑梦班
Part 1 函数迭代
知识点睛
函数迭代：
设f : D →D 是一个函数，对任意x ∈D，记f (0)(x) = x，f (n+1)(x) = f(f (n)(x))(x ∈N)．称f (n)(x) 为f(x) 的n
次迭代．
函数的幂的运算律：函数的迭代满足结合律，不一定满足交换律．
精讲精炼
【例1】
已知f (x) = 1+x
2−x，求f (n) (x)．
【例2】
若f (x) = x−1
x+1 的定义域为A，f (f (x)) 的定义域为B，则( )
A. A∪B = R
B. A ⫌B
C. A = B
D. A ⫋B
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第3 讲
函数迭代
【例3】
已知f (x) = 1+x
2−x，假定f (13) (x) = f (31) (x)，试求f (16) (x) 的表达式．
【例4】
函数f (x) 满足f (x) =
x−3,x ⩾1000
f (f (x+5)),x < 1000
，则f (84) 的值是
．
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Part 2 不动点及其在函数迭代
中的应用
知识点睛
1. 不动点：对函数f，若其定义域内∃x0 使得f(x0) = x0，则称x0 为f 的不动点．
2. 不动点法求解函数迭代：
Ⅰ. 形如f (x) = ax + b(a̸ = 0, a̸ = 1) 的一次函数，其不动点是
b
1−a，则f (x) 的n 次迭代函数解析式可用
f (x) 的不动点表示，即f (n) (x) = an
(
x−
b
1−a
)
+
b
1−a.
Ⅱ. 形如f (x) = ax2 + bx + c(a̸ = 0) 的一元二次函数，其对应的函数迭代形式为f (n) (x) = a
[
f (n−1) (x)
]2
+
bf (n−1) (x)+c(a̸ = 0, n ∈N+). 当且仅当x0 = −b
2a 是f (x) 的不动点时，有f (n) (x)−x0 = a
[
f (n−1) (x)−x0
]2
（a̸ =
0, n ∈N+），或ln
f (n) (x)−x0
= 2ln
f (n−1) (x)−x0
+ln|a|(a̸ = 0, n ∈N+), 即f (n) (x) 可求.
Ⅲ. 形如f (x) = ax+b
cx+d (c̸ = 0, ad −bc̸ = 0) 的分式函数，其对应的函数迭代形式为f (n) (x) = a f (n−1) (x)+b
cf (n−1) (x)+d
(n ∈N+)：
①若方程f (x) = x 有两个不相等的实根x1，x2，则满足f (n) (x)−x1
f (n) (x)−x2
= A· f (n−1) (x)−x1
f (n−1) (x)−x2
（n ∈N+, A = a−cx1
a−cx2
为常数），即f (n) (x) 可求；
②若方程f (x) = x 有两个相等的实根x0，则满足
1
f (n) (x)−x0
=
1
f (n−1) (x)−x0
+A（n ∈N+, A =
2c
a+d 为常
数），即f (n) (x) 可求.
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第3 讲
函数迭代
精讲精炼
【例5】
已知f (f (f (x))) = 8x+7，求一次实系数函数f (x)．
【例6】
证明：若f (f (x)) 有唯一不动点，则f (x) 也有唯一不动点．
【例7】
（1）设f (x) = x2 +bx+c，若方程f (x) = x 无实根，则方程f (f (x)) = x 的实根的个数是
．
（2）二次函数f (x) = ax2 +bx+c(a̸ = 0)，若f (x) > x 恒成立，求证：f (n) (x) > x 恒成立．
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【例8】
若f (x) 为严格递增函数，f (x) 的定义域包含其值域，则对某个x0，fn (x0) = x0 ⇔f (x0) = x0．
【例9】
f (x) = 2x+3，用不动点法求f (n) (x)．
【例10】
设f (x) = x+6
x+2，试求f (n) (x)．
【例11】
已知F (x) = x2 +2x，试求：
（1）F(n) (−1) =
．
（2）F(n) (0) =
．
（3）F(4) (1) =
．
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第3 讲
函数迭代
Part 3 函数递推
精讲精炼
【例12】
设f (x) 是定义在R 上的函数，若f (0) = 2008，且对任意x ∈R，满足f (x+2)−f (x) ⩽3 ·2x，f (x+6)−f (x) ⩾
63·2x，则f (2008) =
．
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本讲重点：
学习心得：
课堂总结
