8
三角函数的图像与性质
Part 1 诱导公式
Part 2 三角函数的图象与
性质
2
高一/ 数学/ 筑梦班
Part 1 诱导公式
知识点睛
诱导公式
公式一：终边相同的角(2kπ +α 与α)
sin(α +2kπ) = sinα，cos(α +2kπ) = cosα，tan(α +2kπ) = tanα (k ∈Z)．
公式二：终边关于原点对称的角(π +α 与α)
sin(π +α) = −sinα，cos(π +α) = −cosα，tan(π +α) = tanα．
公式三：终边关于x 轴对称的角(−α 与α)
sin(−α) = −sinα，cos(−α) = cosα，tan(−α) = −tanα．
公式四：终边关于y 轴对称的角(π −α 与α)
sin(π −α) = sinα，cos(π −α) = −cosα，tan(π −α) = −tanα．
公式五：终边关于y = x 对称的角(π
2 −α 与α)
sin
(
π
2 −α
)
= cosα，cos
(
π
2 −α
)
= sinα，tan
(
π
2 −α
)
=
1
tanα = cotα．
公式六：终边垂直的角(π
2 +α 与α)
sin
(
π
2 +α
)
= cosα，cos
(
π
2 +α
)
= −sinα，tan
(
π
2 +α
)
= −
1
tanα = −cotα．
诱导公式可概括为：
奇变偶不变，符号看象限．
奇、偶是指π
2 的奇数倍或偶数倍，α 看作锐角．
如cos
(
3π
2 +α
)
= cos
(
3× π
2 +α
)
，将余弦变为正弦，3× π
2 +α 是第四象限角，其余弦为正值，所以cos
(
3π
2 +α
)
=
sinα．
3
第8 讲
三角函数的图像与性质
精讲精炼
【例1】
利用诱导公式化简：
①sin(6π −α) =
；②tan(3π +α) =
；③cos
(
5π
2 −α
)
=
；
④tan(5π −α) =
；⑤sin
(
3π
2 +α
)
=
；⑥cos(−7π −α) =
．
【例2】
（1）已知sin(π
6 −x) = 3
5，则cos(x+ π
3 ) 的值是
．
（2）已知cos(π +α) = −
√
3
2 ，且tanα > 0，则sin(π −α) 的值为
．
4
高一/ 数学/ 筑梦班
【例3】
（1）已知A = sin(kπ +α)
sinα
+ cos(kπ +α)
cosα
(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是( )
A. {1,−1,2,−2}
B. {−1,1}
C. {2,−2}
D. {1,−1,0,2,−2}
（2）若f (cosx) = 2−cos3x，则f (sin15◦) =
．
【例4】
sin21◦+sin22◦+sin23◦+···+sin289◦=
．
5
第8 讲
三角函数的图像与性质
Part 2 三角函数的图象与性质
知识点睛
三角函数的图象与性质
①正弦函数y = sinx．
6
高一/ 数学/ 筑梦班
②余弦函数y = cosx．
精讲精炼
【例5】
（1）函数y =
√
sinx−cosx 的定义域是（ ）
A. {x|kπ + π
4 ⩽x ⩽kπ +π,k ∈Z}
B. {x|kπ + π
4 ⩽x ⩽kπ + 3π
4 ,k ∈Z}
C. {x|2kπ + π
4 ⩽x ⩽2kπ + 5π
4 ,k ∈Z}
D. {x|2kπ + π
4 ⩽x ⩽2kπ + 3π
4 ,k ∈Z}
（2）函数y = 3cos2x−4cosx+1
(
x ∈
[
π
3 , 2π
3
])
的最大值是
．
7
第8 讲
三角函数的图像与性质
【例6】
（1）函数y =
3
sin2x +sin2x(x̸ = kπ,k ∈Z) 的值域是( )
A. [4,+∞)
B.
[
2
√
3,+∞
)
C. [3,+∞)
D. [2,+∞)
（2）函数y = cos(sinx) 的值域是( )
A. [0,cos1]
B. [0,1]
C. [cos1,1]
D. [−cos1,cos1]
【例7】
（1）已知奇函数y = f (x) 在[−1,0] 上为单调减函数，又α，β 为锐角三角形内角，则( )
A. f (cosα) > f (cosβ)
B. f (sinα) > f (sinβ)
C. f (sinα) < f (cosβ)
D. f (sinα) > f (cosβ)
（2）设f (x) = cos(sinx)，g(x) = sin(cosx)，则( )
A. f (x) 为偶函数，g(x) 为奇函数
B. f (x) 为奇函数，g(x) 为偶函数
C. f (x) 为偶函数，g(x) 为偶函数
D. f (x) 为奇函数，g(x) 为奇函数
8
高一/ 数学/ 筑梦班
知识点睛
三角函数的图象与性质
③正切函数y = tanx．
9
第8 讲
三角函数的图像与性质
④余切函数y = cotx．
10
高一/ 数学/ 筑梦班
精讲精炼
【例8】
（1）已知π
4 < x < π
2 ，设a = 21−sinx，b = 2cosx，c = 2tanx，则( )
A. a < b < c
B. b < a < c
C. a < c < b
D. b < c < a
（2）比较sin1，sin2，sin3 的大小为( )
A. sin1 < sin2 < sin3
B. sin2 < sin3 < sin1
C. sin3 < sin1 < sin2
D. sin3 < sin2 < sin1
【例9】
函数f (x) = sinx+x
cosx+x2 在[−π,π] 上的图象大致为( )
11
第8 讲
三角函数的图像与性质
知识点睛
三角函数的图像变换
函数y = Asin(ωx+φ)+k 的四个常数中，A 与ω 确定函数的形状，φ 与k 确定图像与坐标轴的位置关系．
当A > 0, ω > 0 时，函数y = Asin(ωx+φ)+k 的图像可看作用下面的方法得到：
（1）将y = sinx 图像上的所有点向左(φ > 0) 或向右(φ < 0) 平移φ 个单位，得到y = sin(x+φ)；
（2）将y = sin(x+φ) 图像上的所有点的横坐标缩短(ω > 1) 或伸长(0 < ω < 1) 到原来的ω 倍（纵坐标不变），
得到y = sin(ωx+φ)；
（3）将y = sin(ωx+φ) 图像上的所有点的纵坐标伸长(A > 1) 或缩短(0 < A < 1) 到原来的A 倍（横坐标不变），
得到y = Asin(ωx+φ)；
（4）将y = Asin(ωx+φ) 的图像向上(k > 0) 或向下(k < 0) 平移|k| 个单位，得到y = Asin(ωx+φ)+k．
精讲精炼
【例10】
（1）将函数y = sinx 的图象向左平移π
4 个单位，再向上平移1 个单位，所得图象的函数解析式是
．
12
高一/ 数学/ 筑梦班
（2）将函数f (x) = 3sin (2x+θ)
(
−π
2 < θ < π
2
)
的图象向右平移φ(φ > 0) 个单位长度后得到函数g(x) 的图
象，若f (x),g(x) 的图象都经过点P
(
0, 3
√
2
2
)
，则φ 的值不可能是（ ）
A. π
4
B. π
C. 7π
4
D. 2π
（3）函数f (x) = Asin(ωx+φ)(ω，φ 是常数，ω > 0,|φ| < π
2 ) 的部分图象如图所示，为得到函数y = cosωx，只需
将函数f (x) = Asin(ωx+φ) 的图象( )
A. 向左平移π
12 个长度单位
B. 向右平移5π
12 个长度单位
C. 向左平移π
6 个长度单位
D. 向右平移5π
6 个长度单位
13
第8 讲
三角函数的图像与性质
知识点睛
1. 三角函数的单调性
（1）求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”.
（2）求形如y = Asin(ωx+φ) 或y = Acos(ωx+φ)（其中ω > 0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过
解不等式求解，但如果ω < 0，那么一定先借助诱导公式将ω 化为正数.
（3）已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，再利用集合间的关系求解.
2. 三角函数的奇偶性
（1）对于y = Asin(ωx+φ)，若为奇函数，则φ = kπ (k ∈Z)；若为偶函数，则φ = π
2 +kπ (k ∈Z).
（2）对于y = Acos(ωx+φ)，若为奇函数，则φ = π
2 +kπ (k ∈Z)；若为偶函数，则φ = kπ (k ∈Z).
（3）对于y = Atan(ωx+φ)，若为奇函数，则φ = k
2π (k ∈Z).
3. 三角函数的周期性
求三角函数的最小正周期，一般先通过三角恒等变换化为y = Asin(ωx+φ) + B 或y = Acos(ωx+φ) 或y =
Atan(ωx+φ)（A, B, ω, φ 为常数，A̸ = 0, ω̸ = 0）的形式，再应用公式T = 2π
|ω|（正弦型、余弦型）或T = π
|ω|
（正切型）求解.
4. 三角函数的对称性
函数y = Asin(ωx+φ)（A, ω, φ 为常数，A̸ = 0, ω̸ = 0）图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中
心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x = x0 或点(x0, 0) 是不是函数图象的对称轴或对称中心时，可
通过检验f (x0) 的值进行判断.
精讲精炼
【例11】
（1）设函数f (x) = Asin(ωx+φ)(A > 0,ω > 0)，则f (0) = 0 是f (x) 为奇函数的
条件．
14
高一/ 数学/ 筑梦班
（2）函数f (x) = Asin(2x+φ)
(
φ ⩽π
2 ,A > 0
)
部分图象如图所示，且f (a) = f (b) = 0，对不同的x1,x2 ∈[a,b]，
若f (x1) = f (x2)，有f (x1 +x2) =
√
3，则( )
A. f (x) 在
(
−5π
12 , π
12
)
上是减函数
B. f (x) 在
(
−5π
12 , π
12
)
上是增函数
C. f (x) 在
(
π
3 , 5π
6
)
上是减函数
D. f (x) 在
(
π
3 , 5π
6
)
上是增函数
【例12】
已知函数f (x) = 2sin(ωx+φ)
(
ω > 0,|φ| < π
2
)
，角φ 的终边经过点P
(
1,−
√
3
)
．若A(x1, f (x1))，B(x2, f (x2))
是f (x) 的图象上任意两点，且当|f (x1)−f (x2)| = 4 时，|x1 −x2| 的最小值为π
3 ．
（1）求ω 和φ 的值．
（2）求函数f (x) 在x ∈[0,π] 上的单调递减区间．
（3）当x ∈
[
π
18,m
]
时，不等式f 2 (x)−f (x)−2 ⩽0 恒成立，求m 的最大值．
15
第8 讲
三角函数的图像与性质
本讲重点：
学习心得：
课堂总结
