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任意角的三角函数
Part 1 任意角与弧度制
Part 2 任意角的三角函数
Part 3 三角函数基本关系
式
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高一/ 数学/ 筑梦班
Part 1 任意角与弧度制
知识点睛
1. 角的概念的推广
（1）角：一条射线绕着端点（顶点）从一个位置（始边）旋转到另一个位置（终边）所成的图形．其中顶点、
始边、终边称为角的三要素．
（2）角按其旋转方向可分为：正角（逆时针旋转），零角（没有旋转），负角（顺时针旋转）．
（3）在直角坐标系中讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上，
①象限角：顶点在原点，始边在x 轴正半轴上，终边在第几象限就是第几象限角．
·第一象限角：{x|x = 360◦k < x < 90◦+360◦k,k ∈Z}
·第二象限角：{x|90◦+360◦k < x < 180◦+360◦k,k ∈Z}
·第三象限角：{x|180◦+360◦k < x < 270◦+360◦k,k ∈Z}
·第四象限角：{x|270◦+360◦k < x < 360◦+360◦k,k ∈Z}
②轴线角：顶点在原点，始边在x 轴正半轴上，终边在坐标轴上，称之为轴线角．
2. 终边相同的角的集合
所有与α 终边相同的角构成的集合S = {β|β = α +k ·360◦,k ∈Z}．
精讲精炼
【例1】
在0◦∽360◦范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是象限角还是轴线角，若是象限角，是第几象限角．
（1）720◦ （2）−496◦ （3）374◦12′ （4）−58◦14′
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第5 讲
任意角的三角函数
【例2】
写出满足下列条件的角的集合．
（1）终边在x 轴上的角的集合．
（2）终边与−1008◦角的终边重合的角的集合．
（3）终边与45◦角的终边关于y 轴对称的角的集合．
【例3】
设A = {θ |θ 为锐角}，B = {θ |θ 为小于90◦的角}，C = {θ |θ 为第一象限角}，D = {θ |θ 为小于90◦的正角}，
则下列等式中成立的是( )
A. A = B
B. B = C
C. A = C
D. A = D
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知识点睛
3. 弧度制及其与角度制的换算
（1）1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，记作1rad．
规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．
任一已知角α 的弧度数的绝对值|α| = l
r，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制．
（2）弧度与角度（六十进制）的换算：采用比例式互换
n◦
180◦= θ
π .
那么180◦= πrad，1rad =
(
180
π
)
◦≈57.30◦= 57◦18′，1◦≈0.01745rad．
4. 弧长、面积公式：
弧长l = |α|r；扇形面积S = 1
2lr = 1
2 |α|r2.
精讲精炼
【例4】
（1）3π
10 =
．
（2）22◦30′=
rad．
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第5 讲
任意角的三角函数
【例5】
将−1485◦化成α +2kπ (0 ⩽α < 2π,k ∈Z) 的形式是( )
A. −π
4 −8π
B. 7π
4 −8π
C. π
4 −10π
D. 7π
4 −10π
【例6】
分别用角度制与弧度制写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)
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Part 2 任意角的三角函数
知识点睛
三角函数的定义
1. 定义：
在直角坐标系中，设α 是一个任意角，α 终边与单位圆交点P 的坐标，无论是横坐标x 还是纵坐标y，都是唯
一确定的，即它们均为角α 的函数. 接下来给出这些函数的定义.
（1）点P 的纵坐标y 叫做α 的正弦函数，记作sinα，即y = sinα；
（2）点P 的横坐标x 叫做α 的余弦函数，记作cosα，即x = cosα；
（3）比值y
x 叫做α 的正切函数，记作tanα，即y
x = tanα．
注意：sinα、cosα 中α 的范围为R，tanα 中α 的范围为
{
α
α̸ = kπ + π
2 ,k ∈Z
}
.
2. 符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
（1）正弦值y 对于第一、二象限为正，对于第三、四象限为负；
（2）余弦值x 对于第一、四象限为正，对于第二、三象限为负；
（3）正切值y
x 对于第一、三象限为正（x、y 同号），对于第二、四象限为负（x、y 异号）．
注意：若角α 的终边落在轴线上，则可直接按照三角函数定义确定符号．
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第5 讲
任意角的三角函数
精讲精炼
【例7】
如图，设α 是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O 重合) 的坐标为(x,y)，点P 与原点的距离为r．求
证：sinα = y
r ，cosα = x
r ，tanα = y
x．
知识点睛
3. 特殊角的三角函数
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精讲精炼
【例8】
求下列三角函数值．
（1）sin
(
−π
3
)
（2）cos
(
−π
6
)
（3）tan
(
−19
4 π
)
【例9】
（1）已知角α 的终边过点P(4a,−3a)(a < 0)，则2sinα +cosα 的值是( )
A. 2
5
B. −2
5
C. 0
D. 与a 的取值有关
（2）已知角α 的终边在直线y = 2x 上，求角α 的正弦、余弦和正切值．
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第5 讲
任意角的三角函数
【例10】
角α 的终边上一点P 和点A(a,b) 关于x 轴对称(ab̸ = 0)，角β 的终边上一点Q 与A 关于直线y = x 对称，求
sinα secβ +tanα cotβ +secα cscβ 的值．
【例11】
（1）如果点P(2sinθ,3cosθ) 位于第四象限，那么角θ 所在的象限是( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
（2）已知cosθ ·tanθ < 0，那么角θ 是( )
A. 第一或第二象限角
B. 第二或第三象限角
C. 第三或第四象限角
D. 第一或第四象限角
【例12】
已知角α = 2kπ −π
5 (k ∈Z)，若角θ 与角α 的终边相同，则y = sinθ
|sinθ| + |cosθ|
cosθ + tanθ
|tanθ| 的值为( )
A. 1
B. −1
C. 3
D. −3
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Part 3 三角函数基本关系式
知识点睛
1. 终边相同的角的同一三角函数的值相等.
公式表示：
sin(α +k ·2π) = sinα
cos(α +k ·2π) = cosα
tan(α +k ·2π) = tanα，其中k ∈Z.
2. 同角三角函数基本关系式：
倒数关系：cotx =
1
tanx，secx =
1
cosx，cscx =
1
sinx
平方关系：sin2x+cos2x = 1，1+tan2 x = sec2 x，1+cot2 x = csc2 x
商数关系：sinx
cosx = tanx，cosx
sinx = cotx
注意：
（1）注意同角，至于角是什么形式无关紧要，比如：sin2 x
3 +cos2 x
3 = 1，sin4x
cos4x = tan4x；
（2）注意这些关系式都是针对使它们有意义的角而言，如：sinx
cosx = tanx（x̸ = kπ + π
2 ,k ∈Z）；
（3）这些公式不仅要牢记，还需要掌握相应的变形，如：sin2x = 1−cos2x，cosx = sinx
tanx 等．
精讲精炼
【例13】
（1）已知tanα = 3，则4sinα −2cosα
5cosα +3sinα 的值为
．
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第5 讲
任意角的三角函数
（2）若tanα = 3，则sin3α −5cosα
4sinα +2cos3α =
．
【例14】
已知sinθ −cosθ > 1，则角θ 的终边在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【例15】
函数f (x) = sin2x+
√
3cosx−3
4
(
x ∈
[
0, π
2
])
的最大值是
．
【例16】
已知tan α 是方程x2 +2xsecα +1 = 0 的两个根中较小的根，求α 的值．
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本讲重点：
学习心得：
课堂总结
